निश्चित समाकलन की परिभाषा द्वारा,lim _{n righ | vedclass

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Question

(B) दी गई सीमा $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r^4}{r^5+n^5}$ है।हम इसे $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{

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$B$. $\frac{1}{5} \log 2$

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(B) दी गई सीमा $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r^4}{r^5+n^5}$ है।हम इसे $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r^4}{n^5( (r/n)^5 + 1 )} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \frac{(r/n)^4}{(r/n)^5 + 1}$ के रूप में लिख सकते हैं।निश्चित समाकलन की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f(r/n) = \int_0^1 f(x) dx$ होता है।यहाँ,$f(x) = \frac{x^4}{x^5 + 1}$ है।अतः,$S = \int_0^1 \frac{x^4}{x^5 + 1} dx$ है।माना $t = x^5 + 1$,तो $dt = 5x^4 dx$,या $x^4 dx = \frac{dt}{5}$ है।जब $x = 0$,तो $t = 1$ है। जब $x = 1$,तो $t = 2$ है।$S = \int_1^2 \frac{1}{t} \cdot \frac{dt}{5} = \frac{1}{5} [\ln |t|]_1^2 = \frac{1}{5} (\ln 2 - \ln 1) = \frac{1}{5} \ln 2$।

निश्चित समाकलन की परिभाषा द्वारा,$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1^4}{1^5+n^5}+\frac{2^4}{2^5+n^5}+\frac{3^4}{3^5+n^5}+\ldots+\frac{n^4}{n^5+n^5}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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निश्चित समाकल की परिभाषा के अनुसार,$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2-1^2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2-2^2}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n^2-(n-1)^2}}\right)$ का मान किसके बराबर है?

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\ldots+\frac{1}{3 n}\right]=$

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,\left( {\frac{n}{{{n^2} + {1^2}}} + \frac{n}{{{n^2} + {2^2}}} + \frac{n}{{{n^2} + {3^2}}} + ... + \frac{n}{{{n^2} + {{(2n)}^2}}}} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

योगफल की सीमा के रूप में $\int_{0}^{2} e^{x} dx$ का मूल्यांकन कीजिए।

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{\sqrt{n^2-1^2}}{n^2}+\frac{\sqrt{n^2-2^2}}{n^2}+\frac{\sqrt{n^2-3^2}}{n^2}+\ldots+\frac{\sqrt{n^2-n^2}}{n^2}\right]=$

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