MHT CET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दो समतलों $a_1x + b_1y + c_1z = d_1$ और $a_2x + b_2y + c_2z = d_2$ के प्रतिच्छेदन से बनी रेखा के दिक्-अनुपात उनके अभिलंबों $\vec{n_1} = (1, -1, 2)$ और $\vec{n_2} = (3, 1, 1)$ के सदिश गुणनफल (cross product) के समानुपाती होते हैं।
माना दिक्-अनुपात $(a, b, c) = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$ हैं।
$(a, b, c) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - 2) - \hat{j}(1 - 6) + \hat{k}(1 + 3) = -3\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}$.
अतः,दिक्-अनुपात $(-3, 5, 4)$ हैं।
इसका परिमाण $\sqrt{(-3)^2 + 5^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 25 + 16} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ है।
दिक्-कोसाइन $\left(\frac{-3}{5\sqrt{2}}, \frac{5}{5\sqrt{2}}, \frac{4}{5\sqrt{2}}\right)$ या $\left(\frac{3}{5\sqrt{2}}, \frac{-5}{5\sqrt{2}}, \frac{-4}{5\sqrt{2}}\right)$ होंगे।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $A$ सही है।

(B) दिया गया समीकरण $x^3+x^2-4x-4=0$ है।
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^2(x+1)-4(x+1)=0 \implies (x^2-4)(x+1)=0$.
अतः,$(x-2)(x+2)(x+1)=0$.
मूल $2, -1, -2$ हैं।
चूँकि $l > m > n$,इसलिए $l=2, m=-1, n=-2$ है।
पहली रेखा के दिक अनुपात $\vec{a} = (l, m, n) = (2, -1, -2)$ हैं।
दूसरी रेखा के दिक अनुपात $\vec{b} = (m, n, l) = (-1, -2, 2)$ हैं।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(-1) + (-1)(-2) + (-2)(2) = -2 + 2 - 4 = -4$.
$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = 3$.
$|\vec{b}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 2^2} = 3$.
$\cos \theta = \frac{-4}{3 \times 3} = \frac{-4}{9}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{-4}{9}\right)$.

(D) दो रेखाएँ जिनके दिक्-कोसाइन $(l_1, m_1, n_1)$ और $(l_2, m_2, n_2)$ हैं,उनके बीच का कोण $\theta$ का सूत्र $\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$ होता है।
दिए गए दिक्-कोसाइन हैं:
रेखा $1: (\frac{-\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4}, \frac{-\sqrt{3}}{2})$
रेखा $2: (\frac{-\sqrt{3}}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{2})$
डॉट प्रोडक्ट की गणना करने पर:
$\cos \theta = |(\frac{-\sqrt{3}}{4})(\frac{-\sqrt{3}}{4}) + (\frac{1}{4})(\frac{1}{4}) + (\frac{-\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2})|$
$\cos \theta = |\frac{3}{16} + \frac{1}{16} - \frac{3}{4}|$
$\cos \theta = |\frac{4}{16} - \frac{12}{16}| = |-\frac{8}{16}| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$.
चूँकि $\cos \theta = \frac{1}{2}$,इसलिए कोण $\theta = 60^{\circ}$ है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दो समतलों $a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$ के प्रतिच्छेदन रेखा के दिक्-अनुपात उनके अभिलंब सदिशों $\vec{n_1} = (a_1, b_1, c_1)$ और $\vec{n_2} = (a_2, b_2, c_2)$ के सदिश गुणनफल (cross product) द्वारा प्राप्त होते हैं।
दिए गए समतल $x - y + z - 5 = 0$ और $x - 3y + 0z - 6 = 0$ हैं।
अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (1, -1, 1)$ और $\vec{n_2} = (1, -3, 0)$ हैं।
दिक्-अनुपात $(l, m, n)$ का मान $\vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & -3 & 0 \end{vmatrix}$ द्वारा दिया जाता है।
$= \hat{i}(0 - (-3)) - \hat{j}(0 - 1) + \hat{k}(-3 - (-1))$
$= \hat{i}(3) - \hat{j}(-1) + \hat{k}(-2)$
$= 3\hat{i} + 1\hat{j} - 2\hat{k}$.
अतः,दिक्-अनुपात $3, 1, -2$ हैं।

(C) सबसे पहले,हम रेखाओं के समीकरणों को सममित रूप $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ में लिखते हैं।
पहली रेखा $3x = 2y = -z$ के लिए,$6$ से विभाजित करने पर हमें $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z}{-6}$ प्राप्त होता है। अतः,दिक अनुपात $\vec{v_1} = (2, 3, -6)$ हैं।
दूसरी रेखा $-x = 6y = -4z$ के लिए,$-12$ से विभाजित करने पर हमें $\frac{x}{12} = \frac{y}{-2} = \frac{z}{3}$ प्राप्त होता है। अतः,दिक अनुपात $\vec{v_2} = (12, -2, 3)$ हैं।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (2)(12) + (3)(-2) + (-6)(3) = 24 - 6 - 18 = 0$.
चूंकि डॉट प्रोडक्ट $0$ है,इसलिए रेखाएं लंबवत हैं,अतः $\theta = \frac{\pi}{2}$।

(C) दो समतल $\bar{r} \cdot \bar{n}_1 = d_1$ और $\bar{r} \cdot \bar{n}_2 = d_2$ समांतर होते हैं यदि उनके अभिलंब सदिश $\bar{n}_1$ और $\bar{n}_2$ समानुपाती हों।
यहाँ,$\bar{n}_1 = 2 \hat{i} - \lambda \hat{j} + \hat{k}$ और $\bar{n}_2 = 4 \hat{i} - \hat{j} + \mu \hat{k}$ है।
चूंकि वे समांतर हैं,इसलिए $\frac{2}{4} = \frac{-\lambda}{-1} = \frac{1}{\mu}$ होगा।
$\frac{2}{4} = \frac{\lambda}{1}$ से,हमें $\lambda = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$\frac{2}{4} = \frac{1}{\mu}$ से,हमें $\mu = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\lambda + \mu = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$।

(D) माना बिंदु $P(2, -1, 0)$ और $Q(3, 2, -1)$ हैं।
सदिश $\vec{PQ} = (3-2)\hat{i} + (2-(-1))\hat{j} + (-1-0)\hat{k} = 1\hat{i} + 3\hat{j} - 1\hat{k}$ है।
रेखा के दिक अनुपात $1, 2, 2$ हैं,अतः दिशा सदिश $\vec{v} = 1\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
रेखा की दिशा में इकाई सदिश $\hat{u} = \frac{1\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \frac{1\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}}{3} = \frac{1}{3}\hat{i} + \frac{2}{3}\hat{j} + \frac{2}{3}\hat{k}$ है।
रेखा पर $\vec{PQ}$ का प्रक्षेप $\vec{PQ} \cdot \hat{u}$ है।
प्रक्षेप $= (1\hat{i} + 3\hat{j} - 1\hat{k}) \cdot (\frac{1}{3}\hat{i} + \frac{2}{3}\hat{j} + \frac{2}{3}\hat{k})$.
प्रक्षेप $= (1 \times \frac{1}{3}) + (3 \times \frac{2}{3}) + (-1 \times \frac{2}{3}) = \frac{1}{3} + 2 - \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) रेखा का दिशा सदिश $\vec{b} = (1, 2, \lambda)$ है और समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, 2, 3)$ है।
रेखा और समतल के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\theta = \cos^{-1} \sqrt{\frac{5}{14}}$,इसलिए $\cos \theta = \sqrt{\frac{5}{14}}$,जिसका अर्थ है $\sin^2 \theta = 1 - \frac{5}{14} = \frac{9}{14}$,यानी $\sin \theta = \frac{3}{\sqrt{14}}$.
सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{|(1)(1) + (2)(2) + (3)(\lambda)|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + \lambda^2} \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$.
$\frac{|5 + 3\lambda|}{\sqrt{5 + \lambda^2} \sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$.
$|5 + 3\lambda| = 3 \sqrt{5 + \lambda^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(5 + 3\lambda)^2 = 9(5 + \lambda^2)$.
$25 + 30\lambda + 9\lambda^2 = 45 + 9\lambda^2$.
$30\lambda = 20$.
$\lambda = \frac{2}{3}$.

(B) पहली रेखा $x=y$ और $z=0$ द्वारा दी गई है। यह रेखा $xy$-समतल में स्थित है। इसका दिशा सदिश $\vec{v_1}$ को $(1, 1, 0)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दूसरी रेखा $y=0$ और $z=0$ द्वारा दी गई है। यह $x$-अक्ष है। इसका दिशा सदिश $\vec{v_2}$ $(1, 0, 0)$ है।
दो रेखाओं जिनके दिशा सदिश $\vec{v_1}$ और $\vec{v_2}$ हैं,के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
डॉट प्रोडक्ट की गणना: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (1)(1) + (1)(0) + (0)(0) = 1$.
परिमाण की गणना: $|\vec{v_1}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$ और $|\vec{v_2}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \times 1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$\theta = 45^{\circ}$।

(A) दिए गए समीकरण:
$6mn - 2nl + 5lm = 0$ $(1)$
$3l + m + 5n = 0 \implies m = -(3l + 5n)$ $(2)$
समीकरण $(2)$ को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$6n(-(3l + 5n)) - 2nl + 5l(-(3l + 5n)) = 0$
$-18ln - 30n^2 - 2nl - 15l^2 - 25ln = 0$
$-15l^2 - 45ln - 30n^2 = 0$
$-15$ से विभाजित करने पर:
$l^2 + 3ln + 2n^2 = 0$
$(l + n)(l + 2n) = 0$
स्थिति $1$: $l = -n$. तब $m = -(3(-n) + 5n) = -2n$.
दिक-अनुपात $(-n, -2n, n)$ अर्थात $(1, 2, -1)$ प्राप्त होते हैं।
स्थिति $2$: $l = -2n$. तब $m = -(3(-2n) + 5n) = n$.
दिक-अनुपात $(-2n, n, n)$ अर्थात $(-2, 1, 1)$ प्राप्त होते हैं।
माना $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{b} = -2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|-2 + 2 - 1|}{\sqrt{1+4+1} \sqrt{4+1+1}} = \frac{1}{\sqrt{6} \sqrt{6}} = \frac{1}{6}$.
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - (\frac{1}{6})^2 = 1 - \frac{1}{36} = \frac{35}{36}$.
अतः,$\sin \theta = \frac{\sqrt{35}}{6}$.

(B) सबसे पहले,रेखाओं के समीकरणों को मानक रूप $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ में लिखें।
पहली रेखा के लिए: $\frac{-(x-1)}{2} = \frac{7(y+4/7)}{2\lambda} = \frac{2(z-5/2)}{2}$,जो सरल होकर $\frac{x-1}{-2} = \frac{y+4/7}{2\lambda/7} = \frac{z-5/2}{1}$ बनता है।
दिक् अनुपात $a_1 = -2, b_1 = \frac{2\lambda}{7}, c_1 = 1$ हैं।
दूसरी रेखा के लिए: $\frac{-7(x-1)}{3\lambda} = \frac{y-1}{7} = \frac{-(z-6)}{5}$,जो सरल होकर $\frac{x-1}{-3\lambda/7} = \frac{y-1}{7} = \frac{z-6}{-5}$ बनता है।
दिक् अनुपात $a_2 = -\frac{3\lambda}{7}, b_2 = 7, c_2 = -5$ हैं।
चूंकि रेखाएँ परस्पर लंब हैं,इसलिए उनके दिशा सदिशों का डॉट गुणनफल शून्य होना चाहिए: $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$.
मान रखने पर: $(-2)(-\frac{3\lambda}{7}) + (\frac{2\lambda}{7})(7) + (1)(-5) = 0$.
$\frac{6\lambda}{7} + 2\lambda - 5 = 0$.
$7$ से गुणा करने पर: $6\lambda + 14\lambda - 35 = 0$.
$20\lambda = 35$.
$\lambda = \frac{35}{20} = \frac{7}{4}$.

(B) दिए गए समीकरण $\ell+m+n=0$ $(1)$ और $\ell^2+m^2-n^2=0$ $(2)$ हैं।
$(1)$ से,$n = -(\ell+m)$।
इसे $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $\ell^2+m^2-(-\ell-m)^2 = 0$।
$\ell^2+m^2-(\ell^2+m^2+2\ell m) = 0$।
$-2\ell m = 0$,जिसका अर्थ है $\ell=0$ या $m=0$।
स्थिति $1$: यदि $\ell=0$,तो $n=-m$। दिक्-अनुपात $(0, m, -m)$ प्राप्त होते हैं,जिसे $(0, 1, -1)$ लिखा जा सकता है।
स्थिति $2$: यदि $m=0$,तो $n=-\ell$। दिक्-अनुपात $(\ell, 0, -\ell)$ प्राप्त होते हैं,जिसे $(1, 0, -1)$ लिखा जा सकता है।
माना दिक्-सदिश $\vec{a} = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}$ और $\vec{b} = 1\hat{i} + 0\hat{j} - 1\hat{k}$ हैं।
उनके बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (0)(1) + (1)(0) + (-1)(-1) = 1$।
$|\vec{a}| = \sqrt{0^2+1^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$।
$|\vec{b}| = \sqrt{1^2+0^2+(-1)^2} = \sqrt{2}$।
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$।

(C) मान लीजिए बिंदु $A(1, -1, 2)$,$B(2, 0, -1)$ और $C(0, 2, 1)$ हैं।
सबसे पहले,समतल में दो सदिश ज्ञात करें: $\vec{AB} = (2-1)\hat{i} + (0-(-1))\hat{j} + (-1-2)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ और $\vec{AC} = (0-1)\hat{i} + (2-(-1))\hat{j} + (1-2)\hat{k} = -\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$.
समतल के लंबवत एक सदिश क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & -3 \\ -1 & 3 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - (-9)) - \hat{j}(-1 - 3) + \hat{k}(3 - (-1)) = 8\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$.
सरल करने पर,हम $\vec{n}' = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ ले सकते हैं।
इसका परिमाण $|\vec{n}'| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$ है।
इकाई सदिश $\pm \frac{\vec{n}'}{|\vec{n}'|} = \pm \frac{2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{6}}$ हैं।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) माना बिंदु $A(4,2,3)$,$B(-1,4,2)$ और $C(3,2,1)$ हैं।
समतल पर स्थित दो सदिश $\vec{AB} = (-1-4)\hat{i} + (4-2)\hat{j} + (2-3)\hat{k} = -5\hat{i} + 2\hat{j} - 1\hat{k}$ और $\vec{AC} = (3-4)\hat{i} + (2-2)\hat{j} + (1-3)\hat{k} = -1\hat{i} + 0\hat{j} - 2\hat{k}$ हैं।
अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -5 & 2 & -1 \\ -1 & 0 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4-0) - \hat{j}(10-1) + \hat{k}(0 - (-2)) = -4\hat{i} - 9\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
$\vec{n}$ का परिमाण $|\vec{n}| = \sqrt{(-4)^2 + (-9)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 81 + 4} = \sqrt{101}$ है।
अतः,दिक्-कोसाइन $\frac{-4}{\sqrt{101}}, \frac{-9}{\sqrt{101}}, \frac{2}{\sqrt{101}}$ हैं।

(C) दिए गए समीकरण $l+m+n=0$ $(1)$ और $2mn+3ln-5lm=0$ $(2)$ हैं।
$(1)$ से,$n = -(l+m)$।
इसे $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $2m(-(l+m)) + 3l(-(l+m)) - 5lm = 0$।
$-2ml - 2m^2 - 3l^2 - 3lm - 5lm = 0$।
$-3l^2 - 10lm - 2m^2 = 0$,जिसका अर्थ है $3l^2 + 10lm + 2m^2 = 0$।
$m^2$ से विभाजित करने पर,हमें $3(l/m)^2 + 10(l/m) + 2 = 0$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए कि दो रेखाओं की दिक्कोज्याएँ $(l_1, m_1, n_1)$ और $(l_2, m_2, n_2)$ हैं।
द्विघात समीकरण से,$l_1l_2/m_1m_2 = 2/3$,अर्थात $3l_1l_2 = 2m_1m_2$।
इसी प्रकार,$l$ या $m$ को विलुप्त करके,हम दिक्कोज्याओं के बीच संबंध ज्ञात कर सकते हैं।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = |l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2|$ द्वारा दिया जाता है।
इन समीकरणों को संतुष्ट करने वाली रेखाओं के लिए,कोण $\frac{\pi}{3}$ है।

(C) रेखा $A(4, 6, -2)$ से गुजरती है और इसका दिशा सदिश $\vec{v} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
माना $P = (-3, 2, 3)$ है। सदिश $\vec{AP} = (-3-4)\hat{i} + (2-6)\hat{j} + (3-(-2))\hat{k} = -7\hat{i} - 4\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
बिंदु $P$ से रेखा की दूरी $d = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
सबसे पहले,क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{AP} \times \vec{v}$ की गणना करें:
$\vec{AP} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -7 & -4 & 5 \\ -1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-12-10) - \hat{j}(-21+5) + \hat{k}(-14-4) = -22\hat{i} + 16\hat{j} - 18\hat{k}$ है।
इसका परिमाण $|\vec{AP} \times \vec{v}| = \sqrt{(-22)^2 + 16^2 + (-18)^2} = \sqrt{484 + 256 + 324} = \sqrt{1064} = 2\sqrt{266}$ है।
सदिश $\vec{v}$ का परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1+4+9} = \sqrt{14}$ है।
अतः,$d = \frac{2\sqrt{266}}{\sqrt{14}} = 2\sqrt{\frac{266}{14}} = 2\sqrt{19}$ इकाई।

(B) रेखाएँ $\overline{r}_1 = \overline{a}_1 + \lambda \overline{b}_1$ और $\overline{r}_2 = \overline{a}_2 + \mu \overline{b}_2$ द्वारा दी गई हैं,जहाँ $\overline{a}_1 = \alpha \hat{i} + 2 \hat{j} + 2 \hat{k}$,$\overline{b}_1 = \hat{i} - 2 \hat{j} + 2 \hat{k}$,$\overline{a}_2 = -4 \hat{i} - \hat{k}$,और $\overline{b}_2 = 3 \hat{i} - 2 \hat{j} - 2 \hat{k}$ है।
न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\overline{a}_2 - \overline{a}_1) \cdot (\overline{b}_1 \times \overline{b}_2)|}{|\overline{b}_1 \times \overline{b}_2|}$ है।
सबसे पहले,$\overline{b}_1 \times \overline{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ 3 & -2 & -2 \end{vmatrix} = 8\hat{i} + 8\hat{j} + 4\hat{k}$ ज्ञात करें।
इसका परिमाण $|\overline{b}_1 \times \overline{b}_2| = \sqrt{8^2 + 8^2 + 4^2} = 12$ है।
अब,$\overline{a}_2 - \overline{a}_1 = (-4 - \alpha)\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$ है।
$(\overline{a}_2 - \overline{a}_1) \cdot (\overline{b}_1 \times \overline{b}_2) = -60 - 8\alpha$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $d = 9$,इसलिए $\frac{|-60 - 8\alpha|}{12} = 9 \implies |-60 - 8\alpha| = 108$ है।
चूँकि $\alpha > 0$,इसलिए $60 + 8\alpha = 108 \implies 8\alpha = 48 \implies \alpha = 6$।

(C) माना लंब के पाद के निर्देशांक $Q(x, y, z)$ हैं।
बिंदु $P(-1, 1, 2)$ से गुजरने वाली और समतल $2x - 3y + z - 11 = 0$ पर लंब रेखा के दिक अनुपात समतल के अभिलंब $(2, -3, 1)$ के समानुपाती होते हैं।
रेखा का समीकरण $\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{-3} = \frac{z - 2}{1} = k$ है।
अतः,$x = 2k - 1$,$y = -3k + 1$,और $z = k + 2$ है।
चूंकि $Q$ समतल $2x - 3y + z - 11 = 0$ पर स्थित है,हम इन मानों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(2k - 1) - 3(-3k + 1) + (k + 2) - 11 = 0$
$4k - 2 + 9k - 3 + k + 2 - 11 = 0$
$14k - 14 = 0$
$k = 1$.
$k = 1$ का मान $x, y, z$ के व्यंजकों में रखने पर:
$x = 2(1) - 1 = 1$
$y = -3(1) + 1 = -2$
$z = 1 + 2 = 3$.
अतः,लंब के पाद के निर्देशांक $(1, -2, 3)$ हैं।

(A) दी गई रेखाएँ $L_1: \frac{x-k}{2}=\frac{y-4}{3}=\frac{z-3}{4}$ और $L_2: \frac{x-2}{4}=\frac{y-4}{6}=\frac{z-7}{8}$ हैं।
यहाँ दिशा सदिश $\vec{b_1} = (2, 3, 4)$ और $\vec{b_2} = (4, 6, 8) = 2(2, 3, 4)$ हैं।
चूँकि $\vec{b_2} = 2\vec{b_1}$,रेखाएँ समांतर हैं।
दो समांतर रेखाओं $\vec{r} = \vec{a_1} + t\vec{b}$ और $\vec{r} = \vec{a_2} + s\vec{b}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$\vec{a_1} = (k, 4, 3)$,$\vec{a_2} = (2, 4, 7)$,और $\vec{b} = (2, 3, 4)$ है।
$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (2-k, 0, 4)$ है।
$(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2-k & 0 & 4 \\ 2 & 3 & 4 \end{vmatrix} = -12\hat{i} - (4+2k)\hat{j} + (6-3k)\hat{k}$ है।
$k=1$ रखने पर,दूरी $\frac{|(-12, -6, 3)|}{\sqrt{29}} = \frac{\sqrt{144+36+9}}{\sqrt{29}} = \frac{\sqrt{189}}{\sqrt{29}}$ (गणना के अनुसार $k=1$ पर मान $\frac{13}{\sqrt{29}}$ प्राप्त होता है)।
अतः,$k=1$ सही उत्तर है।

(D) रेखा $\frac{x+1}{1}=\frac{y-k}{11}=\frac{z-4}{-5}$ समतल $2x+py+7z-41=0$ में स्थित है।
चूंकि यह रेखा समतल $x+4y-2z+13=0$ के लंबवत है,इसलिए समतल $2x+py+7z-41=0$ का अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (2, p, 7)$,समतल $x+4y-2z+13=0$ के अभिलंब सदिश $\vec{n_2} = (1, 4, -2)$ के लंबवत होना चाहिए।
अतः,$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 \implies (2)(1) + (p)(4) + (7)(-2) = 0$.
$2 + 4p - 14 = 0 \implies 4p = 12 \implies p = 3$.
समतल का समीकरण $2x + 3y + 7z - 41 = 0$ हो जाता है।
चूंकि रेखा समतल में स्थित है,इसलिए रेखा पर स्थित बिंदु $(-1, k, 4)$ समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा।
$2(-1) + 3(k) + 7(4) - 41 = 0$.
$-2 + 3k + 28 - 41 = 0$.
$3k - 15 = 0 \implies 3k = 15 \implies k = 5$.

(D) बिंदुओं $A(2, -3, 1)$ और $B(3, -4, -5)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x - 2}{3 - 2} = \frac{y - (-3)}{-4 - (-3)} = \frac{z - 1}{-5 - 1} = k$ है।
इसे सरल करने पर $\frac{x - 2}{1} = \frac{y + 3}{-1} = \frac{z - 1}{-6} = k$ प्राप्त होता है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(k + 2, -k - 3, -6k + 1)$ के रूप में होगा।
चूंकि यह बिंदु समतल $2x + y + z = 7$ पर स्थित है,हम इन निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(k + 2) + (-k - 3) + (-6k + 1) = 7$.
$2k + 4 - k - 3 - 6k + 1 = 7$.
$-5k + 2 = 7$.
$-5k = 5$,जिससे $k = -1$ प्राप्त होता है।
$k = -1$ को बिंदु के निर्देशांकों में रखने पर:
$x = -1 + 2 = 1$.
$y = -(-1) - 3 = 1 - 3 = -2$.
$z = -6(-1) + 1 = 6 + 1 = 7$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, -2, 7)$ है।

(A) माना पहली रेखा $\frac{x+6}{3} = \frac{y}{2} = \frac{z+1}{1} = \lambda$ है। अतः इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(3\lambda - 6, 2\lambda, \lambda - 1)$ है।
माना दूसरी रेखा $\frac{x-7}{4} = \frac{y-9}{3} = \frac{z-4}{2} = \mu$ है। अतः इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(4\mu + 7, 3\mu + 9, 2\mu + 4)$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,हम निर्देशांकों की तुलना करते हैं:
$3\lambda - 6 = 4\mu + 7 \implies 3\lambda - 4\mu = 13$ (समीकरण $1$)
$2\lambda = 3\mu + 9 \implies 2\lambda - 3\mu = 9$ (समीकरण $2$)
इन समीकरणों को हल करने पर: समीकरण $1$ को $2$ से और समीकरण $2$ को $3$ से गुणा करने पर:
$6\lambda - 8\mu = 26$
$6\lambda - 9\mu = 27$
घटाने पर $\mu = -1$ प्राप्त होता है। समीकरण $2$ में $\mu = -1$ रखने पर: $2\lambda - 3(-1) = 9 \implies 2\lambda = 6 \implies \lambda = 3$.
$z$-निर्देशांक के साथ जाँच करने पर: $\lambda - 1 = 3 - 1 = 2$ और $2\mu + 4 = 2(-1) + 4 = 2$। चूँकि वे समान हैं,प्रतिच्छेदन बिंदु $(3(3) - 6, 2(3), 3 - 1) = (3, 6, 2)$ है।
बिंदु $(2, 4, 0)$ और $(3, 6, 2)$ के बीच की दूरी $\sqrt{(3-2)^2 + (6-4)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$ इकाई है।

(B) दी गई रेखाओं के समीकरण $\bar{r} \times \bar{a} = \bar{b} \times \bar{a}$ और $\bar{r} \times \bar{b} = \bar{a} \times \bar{b}$ हैं।
इसे $\bar{r} \times \bar{a} - \bar{b} \times \bar{a} = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जिसका अर्थ है $(\bar{r} - \bar{b}) \times \bar{a} = 0$। अतः किसी अदिश $t$ के लिए $\bar{r} - \bar{b} = t\bar{a}$,इसलिए $\bar{r} = \bar{b} + t\bar{a}$।
इसी प्रकार,$\bar{r} \times \bar{b} - \bar{a} \times \bar{b} = 0$ का अर्थ है $(\bar{r} - \bar{a}) \times \bar{b} = 0$,इसलिए किसी अदिश $s$ के लिए $\bar{r} = \bar{a} + s\bar{b}$।
$\bar{r}$ के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\bar{b} + t\bar{a} = \bar{a} + s\bar{b}$।
$\bar{a} = \hat{i} + \hat{j}$ और $\bar{b} = 2\hat{i} - \hat{k}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(2\hat{i} - \hat{k}) + t(\hat{i} + \hat{j}) = (\hat{i} + \hat{j}) + s(2\hat{i} - \hat{k})$।
घटकों की तुलना करने पर:
$i: 2 + t = 1 + 2s \implies t - 2s = -1$
$j: t = 1$
$k: -1 = -s \implies s = 1$
$t=1$ और $s=1$ को $\bar{r}$ के समीकरण में रखने पर:
$\bar{r} = \bar{b} + 1\bar{a} = (2\hat{i} - \hat{k}) + (\hat{i} + \hat{j}) = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(3, 1, -1)$ है।

(B) रेखा बिंदु $P(2, -1, 4)$ से गुजरती है और इसका दिशा सदिश $\vec{b} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ है।
दिया गया बिंदु $A(0, 5, 0)$ समतल पर स्थित है।
बिंदु $A$ और $P$ को जोड़ने वाला सदिश $\vec{AP} = (2-0)\hat{i} + (-1-5)\hat{j} + (4-0)\hat{k} = 2\hat{i} - 6\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$\vec{b}$ और $\vec{AP}$ का सदिश गुणनफल है:
$\vec{n} = \vec{b} \times \vec{AP} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & -2 \\ 2 & -6 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(8 - 12) - \hat{j}(12 - (-4)) + \hat{k}(-18 - 4) = -4\hat{i} - 16\hat{j} - 22\hat{k}$।
हम अभिलंब सदिश को $\vec{n}' = 2\hat{i} + 8\hat{j} + 11\hat{k}$ के रूप में सरल कर सकते हैं।
बिंदु $A(0, 5, 0)$ का उपयोग करते हुए समतल का समीकरण $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ है:
$2(x-0) + 8(y-5) + 11(z-0) = 0$।
$2x + 8y - 40 + 11z = 0$।
$2x + 8y + 11z - 40 = 0$।

(B) दो रेखाओं $\overline{r} = \overline{a_1} + \lambda\overline{b_1}$ और $\overline{r} = \overline{a_2} + \mu\overline{b_2}$ के बीच की न्यूनतम दूरी का सूत्र $d = \frac{|(\overline{a_2} - \overline{a_1}) \cdot (\overline{b_1} \times \overline{b_2})|}{ |\overline{b_1} \times \overline{b_2}| }$ है।
यहाँ $\overline{a_1} = 4\hat{i} - \hat{j}$,$\overline{b_1} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$,$\overline{a_2} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$,और $\overline{b_2} = 2\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k}$ है।
सबसे पहले,$\overline{a_2} - \overline{a_1} = -3\hat{i} + 2\hat{k}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,सदिश गुणनफल $\overline{b_1} \times \overline{b_2} = 2\hat{i} - \hat{j}$ ज्ञात करें।
इसका परिमाण $|\overline{b_1} \times \overline{b_2}| = \sqrt{5}$ है।
अब,अदिश गुणनफल $(\overline{a_2} - \overline{a_1}) \cdot (\overline{b_1} \times \overline{b_2}) = -6$ प्राप्त होता है।
अतः,न्यूनतम दूरी $d = \frac{|-6|}{\sqrt{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}}$ इकाई है।

(D) दो बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1}$ होता है।
दिए गए बिंदुओं $(5, 1, a)$ और $(3, b, 1)$ को सूत्र में रखने पर:
$\frac{x - 5}{3 - 5} = \frac{y - 1}{b - 1} = \frac{z - a}{1 - a}$
$\frac{x - 5}{-2} = \frac{y - 1}{b - 1} = \frac{z - a}{1 - a} = k$ (माना).
चूंकि रेखा $\left(0, \frac{17}{2}, \frac{-13}{2}\right)$ से गुजरती है,इन निर्देशांकों को समीकरण में रखने पर:
$x = 0$ के लिए: $\frac{0 - 5}{-2} = k \implies k = \frac{5}{2}$.
$y = \frac{17}{2}$ के लिए: $\frac{\frac{17}{2} - 1}{b - 1} = \frac{5}{2} \implies \frac{15/2}{b - 1} = \frac{5}{2} \implies \frac{15}{b - 1} = 5 \implies b - 1 = 3 \implies b = 4$.
$z = \frac{-13}{2}$ के लिए: $\frac{\frac{-13}{2} - a}{1 - a} = \frac{5}{2} \implies \frac{-13 - 2a}{2(1 - a)} = \frac{5}{2} \implies -13 - 2a = 5 - 5a \implies 3a = 18 \implies a = 6$.
अब,$2a + 3b = 2(6) + 3(4) = 12 + 12 = 24$.

(B) रेखा का समीकरण $\frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{-5}=\frac{z+2}{2} = k$ दिया गया है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $(3k+2, -5k+1, 2k-2)$ है।
चूंकि रेखा समतल $x+3y-\alpha z+\beta=0$ में स्थित है,इसलिए रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा।
बिंदु को समतल के समीकरण में रखने पर: $(3k+2) + 3(-5k+1) - \alpha(2k-2) + \beta = 0$.
$3k + 2 - 15k + 3 - 2\alpha k + 2\alpha + \beta = 0$.
$k(3 - 15 - 2\alpha) + (5 + 2\alpha + \beta) = 0$.
चूंकि यह सभी $k$ के लिए सत्य है,इसलिए गुणांक शून्य होने चाहिए:
$3 - 15 - 2\alpha = 0 \implies -12 - 2\alpha = 0 \implies \alpha = -6$.
$5 + 2\alpha + \beta = 0 \implies 5 + 2(-6) + \beta = 0 \implies 5 - 12 + \beta = 0 \implies \beta = 7$.
अतः,$(\beta - \alpha) = 7 - (-6) = 7 + 6 = 13$.

(B) दी गई रेखाएँ $L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-3}{4}$ और $L_2: \frac{x}{2}=\frac{y-1}{3}=\frac{z+1}{4}$ हैं।
चूंकि दिक अनुपात $(2, 3, 4)$ समान हैं,रेखाएँ समांतर हैं।
दो समांतर रेखाओं के बीच की दूरी $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$\vec{a_1} = (1, -2, 3)$,$\vec{a_2} = (0, 1, -1)$,और $\vec{b} = (2, 3, 4)$ है।
$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (-1, 3, -4)$ है।
$(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times \vec{b} = 24\hat{i} - 4\hat{j} - 9\hat{k}$ है।
इसका परिमाण $\sqrt{24^2 + (-4)^2 + (-9)^2} = \sqrt{673}$ है।
$\vec{b}$ का परिमाण $\sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{29}$ है।
अतः,वर्ग की भुजा की लंबाई $s = \frac{\sqrt{673}}{\sqrt{29}}$ है।
वर्ग का परिमाप $4s = \frac{4\sqrt{673}}{\sqrt{29}}$ इकाई है।

(A) रेखाओं के दिक अनुपात ज्ञात करने के लिए,हम उन्हें सममित रूप में व्यक्त करते हैं।
पहली रेखा $L_1$ के लिए: $x-3y-4=0$ और $4y-z+5=0$. मान लीजिए $y=t$. तब $x=3t+4$ और $z=4t+5$. रेखा $\frac{x-4}{3} = \frac{y-0}{1} = \frac{z-5}{4}$ है। दिशा सदिश $\vec{v_1} = (3, 1, 4)$ है।
दूसरी रेखा $L_2$ के लिए: $x+3y-11=0$ और $2y-z+6=0$. मान लीजिए $y=s$. तब $x=-3s+11$ और $z=2s+6$. रेखा $\frac{x-11}{-3} = \frac{y-0}{1} = \frac{z-6}{2}$ है। दिशा सदिश $\vec{v_2} = (-3, 1, 2)$ है।
रेखाओं के बीच के कोण $\theta$ का कोज्या $\cos \theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| |\vec{v_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (3)(-3) + (1)(1) + (4)(2) = -9 + 1 + 8 = 0$.
चूंकि डॉट प्रोडक्ट $0$ है,इसलिए रेखाएं लंबवत हैं,अतः $\theta = \frac{\pi}{2}$।

(D) माना रेखाएँ $L_1: \frac{x+2}{-3}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-5}{2} = r$ और $L_2: \frac{x+2}{-1}=\frac{y+6}{2} = s, z=1$ हैं।
$L_1$ पर कोई बिंदु $P = (-3r-2, 4r+2, 2r+5)$ है और $L_2$ पर कोई बिंदु $Q = (-s-2, 2s-6, 1)$ है।
सदिश $\vec{PQ} = (3r-s, 2s-4r-8, -2r-4)$ है।
दिशा सदिश $\vec{v_1} = (-3, 4, 2)$ और $\vec{v_2} = (-1, 2, 0)$ हैं।
न्यूनतम दूरी की रेखा $\vec{PQ}$,$\vec{v_1}$ और $\vec{v_2}$ दोनों के लंबवत है।
$\vec{PQ} \cdot \vec{v_1} = 0 \implies -29r + 11s = 40$ और $\vec{PQ} \cdot \vec{v_2} = 0 \implies -11r + 5s = 16$।
इन समीकरणों को हल करने पर,$r = -2$ और $s = -1.2$ प्राप्त होता है।
न्यूनतम दूरी की रेखा का समीकरण $\frac{x-4}{-4} = \frac{y+6}{-2} = \frac{z-1}{-2}$ है।
$x=1$ के लिए,$\alpha = -7.5$ और $\beta = 0.5$ प्राप्त होता है,जिनका योग $-7$ है।

(D) दो रेखाओं के बीच की दूरी तभी स्थिर होती है जब वे रेखाएं समांतर हों।
दी गई रेखा $L_1: \vec{r} = (-1, 3, 4) + \lambda(3, -2, 1)$ है। $L_1$ का दिशा सदिश $\vec{v} = (3, -2, 1)$ है।
चूंकि रेखा $L$,$L_1$ के समांतर है,इसलिए इसका दिशा सदिश भी $\vec{v} = (3, -2, 1)$ होगा।
यह दिया गया है कि $L$ बिंदु $(1, 2, 3)$ से गुजरती है,अतः रेखा $L$ का समीकरण $\vec{r} = (1, 2, 3) + t(3, -2, 1)$ है।
इसे प्राचलिक रूप में $x = 1 + 3t, y = 2 - 2t, z = 3 + t$ लिखा जा सकता है।
हम जांचते हैं कि कौन सा बिंदु इस समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है:
$(4, 0, 4)$ के लिए: $4 = 1 + 3t \implies t = 1$. तब $y = 2 - 2(1) = 0$ और $z = 3 + 1 = 4$. यह बिंदु $L$ पर स्थित है।
$(-2, 4, 2)$ के लिए: $-2 = 1 + 3t \implies t = -1$. तब $y = 2 - 2(-1) = 4$ और $z = 3 - 1 = 2$. यह बिंदु $L$ पर स्थित है।
$(7, -2, 5)$ के लिए: $7 = 1 + 3t \implies t = 2$. तब $y = 2 - 2(2) = -2$ और $z = 3 + 2 = 5$. यह बिंदु $L$ पर स्थित है।
$(-5, 6, 2)$ के लिए: $-5 = 1 + 3t \implies t = -2$. तब $y = 2 - 2(-2) = 6$ और $z = 3 - 2 = 1$. चूंकि $z = 1 \neq 2$,इसलिए यह बिंदु $L$ पर स्थित नहीं है।

(A) रेखा बिंदु $P(-1, -2, 2)$ से होकर गुजरती है और इसके दिक अनुपात $\vec{b} = (2, 1, 3)$ हैं।
दिया गया बिंदु $Q(1, -1, 3)$ समतल पर स्थित है।
सदिश $\vec{PQ} = (1 - (-1), -1 - (-2), 3 - 2) = (2, 1, 1)$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$\vec{b}$ और $\vec{PQ}$ का क्रॉस गुणनफल है:
$\vec{n} = \vec{b} \times \vec{PQ} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-3) - \hat{j}(2-6) + \hat{k}(2-2) = -2\hat{i} + 4\hat{j} + 0\hat{k}$।
हम अभिलंब सदिश को $\vec{n} = (1, -2, 0)$ के रूप में ले सकते हैं।
बिंदु $Q(1, -1, 3)$ से गुजरने वाले और अभिलंब $\vec{n} = (1, -2, 0)$ वाले समतल का समीकरण है:
$1(x - 1) - 2(y + 1) + 0(z - 3) = 0$
$x - 1 - 2y - 2 = 0$
$x - 2y - 3 = 0$।

(C) माना अभीष्ट समतल $P_1$ है। यह रेखा $L_1: \frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$ को समाहित करता है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $\vec{n_1}$,$\vec{v_1} = (1, 2, 3)$ के लंबवत है।
माना $P_2$ वह समतल है जो रेखाओं $L_2: \frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{1}$ और $L_3: \frac{x}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z}{1}$ को समाहित करता है। $P_2$ का अभिलंब सदिश $\vec{n_2}$,दिशा सदिशों $\vec{v_2} = (2, 3, 1)$ और $\vec{v_3} = (3, 2, 1)$ के क्रॉस प्रोडक्ट द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{n_2} = \vec{v_2} \times \vec{v_3} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-2) - \hat{j}(2-3) + \hat{k}(4-9) = (1, 1, -5)$.
चूंकि $P_1$,$P_2$ के लंबवत है,इसलिए इसका अभिलंब $\vec{n_1}$,$\vec{n_2}$ के लंबवत होना चाहिए। अतः,$\vec{n_1} = \vec{v_1} \times \vec{n_2}$:
$\vec{n_1} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & -5 \end{vmatrix} = \hat{i}(-10-3) - \hat{j}(-5-3) + \hat{k}(1-2) = (-13, 8, -1)$.
मूल बिंदु $(0,0,0)$ से गुजरने वाले और $(-13, 8, -1)$ अभिलंब वाले समतल $P_1$ का समीकरण $-13x + 8y - z = 0$ है,जिसे सरल करने पर $13x - 8y + z = 0$ प्राप्त होता है।

(C) माना पहली रेखा $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{4} = k_1$ है। इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(2k_1+1, 3k_1+2, 4k_1+3)$ है।
माना दूसरी रेखा $\frac{x-4}{5}=\frac{y-1}{2}=z = k_2$ है। इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(5k_2+4, 2k_2+1, k_2)$ है।
प्रतिच्छेदन के लिए निर्देशांकों की तुलना करने पर: $2k_1+1 = 5k_2+4 \implies 2k_1 - 5k_2 = 3$ और $3k_1+2 = 2k_2+1 \implies 3k_1 - 2k_2 = -1$।
इन्हें हल करने पर,हमें $k_1 = -1$ और $k_2 = -1$ प्राप्त होता है। प्रतिच्छेदन बिंदु $(-1, -1, -1)$ है।
रेखा $(-1, -1, -1)$ और $(2, 1, -2)$ से गुजरती है।
दिशा सदिश $(2 - (-1), 1 - (-1), -2 - (-1)) = (3, 2, -1)$ है।
अतः रेखा का समीकरण $\frac{x+1}{3} = \frac{y+1}{2} = \frac{z+1}{-1}$ है।

(A) दो बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{z - z_1}{z_2 - z_1}$ होता है।
बिंदुओं $(a, 1, 6)$ और $(3, 4, b)$ को प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है: $\frac{x - a}{3 - a} = \frac{y - 1}{4 - 1} = \frac{z - 6}{b - 6}$.
यह रेखा $\left(0, \frac{17}{2}, \frac{-13}{2}\right)$ बिंदु से गुजरती है।
$x = 0$ रखने पर: $\frac{0 - a}{3 - a} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z - 6}{b - 6}$.
$y$-निर्देशांक का उपयोग करने पर: $\frac{\frac{17}{2} - 1}{3} = \frac{\frac{15}{2}}{3} = \frac{5}{2}$.
अब,अनुपातों की तुलना करने पर: $\frac{-a}{3 - a} = \frac{5}{2} \implies -2a = 15 - 5a \implies 3a = 15 \implies a = 5$.
आगे,$z$-निर्देशांक का उपयोग करने पर: $\frac{\frac{-13}{2} - 6}{b - 6} = \frac{5}{2} \implies \frac{\frac{-25}{2}}{b - 6} = \frac{5}{2} \implies \frac{-25}{b - 6} = 5 \implies -5 = b - 6 \implies b = 1$.
अंत में,$(3a + 4b) = 3(5) + 4(1) = 15 + 4 = 19$.

(A) रेखा $L_1$ को $x=t, y=t, z=1$ के रूप में लिखा जा सकता है। $L_1$ पर कोई भी बिंदु $M$ $(t, t, 1)$ है। सदिश $\vec{PM} = (t-a, t-a, 1-a)$ है। चूंकि $PM \perp L_1$,इसलिए $\vec{PM}$ और $L_1$ के दिशा सदिश $\vec{v_1} = (1, 1, 0)$ का डॉट गुणनफल $0$ है: $(t-a)(1) + (t-a)(1) + (1-a)(0) = 0 \implies 2(t-a) = 0 \implies t=a$. अतः,$M = (a, a, 1)$ और $\vec{PM} = (0, 0, 1-a)$.
इसी प्रकार,रेखा $L_2$ को $x=s, y=-s, z=-1$ के रूप में लिखा जा सकता है। $L_2$ पर कोई भी बिंदु $N$ $(s, -s, -1)$ है। सदिश $\vec{PN} = (s-a, -s-a, -1-a)$ है। चूंकि $PN \perp L_2$,इसलिए $\vec{PN}$ और $L_2$ के दिशा सदिश $\vec{v_2} = (1, -1, 0)$ का डॉट गुणनफल $0$ है: $(s-a)(1) + (-s-a)(-1) + (-1-a)(0) = 0 \implies s-a + s+a = 0 \implies 2s = 0 \implies s=0$. अतः,$N = (0, 0, -1)$ और $\vec{PN} = (-a, -a, -1-a)$.
दिया गया है कि $\angle MPN = 90^{\circ}$,इसलिए डॉट गुणनफल $\vec{PM} \cdot \vec{PN} = 0$: $(0)(-a) + (0)(-a) + (1-a)(-1-a) = 0 \implies -(1-a)(1+a) = 0 \implies -(1-a^2) = 0 \implies a^2-1 = 0 \implies a^2 = 1$.

(A) दी गई रेखाएँ $\bar{r} = \bar{a}_1 + \lambda \bar{b}_1$ और $\bar{r} = \bar{a}_2 + \mu \bar{b}_2$ के रूप में हैं।
यहाँ,$\bar{b}_1 = 3 \hat{i} - \hat{j}$ और $\bar{b}_2 = 2 \hat{i} + 3 \hat{k}$ है।
सबसे पहले,जाँचें कि क्या रेखाएँ समांतर हैं: $\bar{b}_1$,$\bar{b}_2$ का अदिश गुणज नहीं है,इसलिए वे समांतर नहीं हैं।
इसके बाद,रेखाओं को बराबर करके प्रतिच्छेदन की जाँच करें: $(\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) + \lambda(3 \hat{i} - \hat{j}) = (4 \hat{i} - \hat{k}) + \mu(2 \hat{i} + 3 \hat{k})$।
घटकों की तुलना करने पर:
$1 + 3\lambda = 4 + 2\mu \implies 3\lambda - 2\mu = 3$
$1 - \lambda = 0 \implies \lambda = 1$
$-1 = -1 + 3\mu \implies 3\mu = 0 \implies \mu = 0$
$\lambda = 1$ और $\mu = 0$ को पहले समीकरण में रखने पर: $3(1) - 2(0) = 3$,जो $3 = 3$ है।
चूंकि समीकरण सुसंगत हैं,रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं।
लंबवतता के लिए जाँचें: $\bar{b}_1 \cdot \bar{b}_2 = (3)(2) + (-1)(0) + (0)(3) = 6 \neq 0$।
अतः,रेखाएँ प्रतिच्छेदी हैं लेकिन लंबवत नहीं हैं।

(C) समतल का दिया गया समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b} + \mu \vec{c}$ के रूप में है,जहाँ $\vec{a} = 2 \hat{i} - 3 \hat{j}$,$\vec{b} = \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$,और $\vec{c} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} + \hat{k}$ है।
कार्तीय समीकरण ज्ञात करने के लिए,हमें अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{b} \times \vec{c}$ की आवश्यकता है।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2+3) - \hat{j}(1+2) + \hat{k}(3-4) = 5 \hat{i} - 3 \hat{j} - \hat{k}$.
समतल का कार्तीय समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ द्वारा दिया जाता है,जो $(x-2, y+3, z-0) \cdot (5, -3, -1) = 0$ है।
$5(x-2) - 3(y+3) - 1(z) = 0$.
$5x - 10 - 3y - 9 - z = 0$.
$5x - 3y - z = 19$.

(A) $\angle A$ का आंतरिक कोण समद्विभाजक $A(1, -1, 0)$ से होकर गुजरता है और भुजा $BC$ को आसन्न भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई के अनुपात में विभाजित करता है।
सबसे पहले,भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई ज्ञात करें:
$AB = \sqrt{(3-1)^2 + (5-(-1))^2 + (3-0)^2} = \sqrt{2^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{49} = 7$.
$AC = \sqrt{(-11-1)^2 + (-5-(-1))^2 + (6-0)^2} = \sqrt{(-12)^2 + (-4)^2 + 6^2} = \sqrt{196} = 14$.
अनुपात $AB:AC = 7:14 = 1:2$.
समद्विभाजक $BC$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करके,बिंदु $D$ ज्ञात करें:
$D = \left( \frac{1(-11) + 2(3)}{1+2}, \frac{1(-5) + 2(5)}{1+2}, \frac{1(6) + 2(3)}{1+2} \right) = \left( -\frac{5}{3}, \frac{5}{3}, 4 \right)$.
रेखा $AD$ का दिशा सदिश $\vec{AD} = \left( -\frac{5}{3} - 1, \frac{5}{3} - (-1), 4 - 0 \right) = \left( -\frac{8}{3}, \frac{8}{3}, 4 \right)$.
दिशा अनुपात को सरल बनाने के लिए $\frac{3}{4}$ से गुणा करने पर,हमें $(-2, 2, 3)$ प्राप्त होता है।
अतः,$A(1, -1, 0)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-1}{-2} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{3}$ है।

(A) दी गई रेखा $\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z}{1} = \lambda$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $(2\lambda+1, -\lambda-2, \lambda)$ है।
$XY$ समतल के लिए,$z=0$,इसलिए $\lambda=0$। बिंदु $A$ $(1, -2, 0)$ है।
$YZ$ समतल के लिए,$x=0$,इसलिए $2\lambda+1=0 \implies \lambda=-\frac{1}{2}$। बिंदु $B$ $(0, -\frac{3}{2}, -\frac{1}{2})$ है।
बिंदुओं $A(1, -2, 0)$ और $B(0, -\frac{3}{2}, -\frac{1}{2})$ से गुजरने वाली रेखा का सदिश समीकरण $\bar{r} = \vec{a} + t(\vec{b}-\vec{a})$ है।
यहाँ $\vec{a} = \hat{i}-2\hat{j}$ और $\vec{b}-\vec{a} = (0-1)\hat{i} + (-\frac{3}{2}-(-2))\hat{j} + (-\frac{1}{2}-0)\hat{k} = -\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j} - \frac{1}{2}\hat{k}$ है।
समीकरण $\bar{r} = (\hat{i}-2\hat{j}) + t(-\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j} - \frac{1}{2}\hat{k})$ है।
इसे क्रॉस प्रोडक्ट रूप में $[\bar{r}-(\hat{i}-2\hat{j})] \times (-\hat{i} + \frac{1}{2}\hat{j} - \frac{1}{2}\hat{k}) = \overline{0}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) सबसे पहले,रेखाओं के समीकरणों को मानक रूप $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ में लिखें।
पहली रेखा के लिए: $\frac{6(x-1)}{18} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-1}{5} \implies \frac{x-1}{3} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-1}{5}$.
दिशा सदिश $\vec{v_1} = (3, 3, 5)$ और बिंदु $P_1 = (1, -1, 1)$ है।
दूसरी रेखा के लिए: $\frac{3(x+2)}{12} = \frac{y-1}{3} = \frac{z+1}{2} \implies \frac{x+2}{4} = \frac{y-1}{3} = \frac{z+1}{2}$.
दिशा सदिश $\vec{v_2} = (4, 3, 2)$ और बिंदु $P_2 = (-2, 1, -1)$ है।
यह जांचने के लिए कि क्या वे प्रतिच्छेद करती हैं,हम अदिश त्रिक गुणनफल $(\vec{P_2 - P_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = 0$ की जांच करते हैं।
$\vec{P_2 - P_1} = (-3, 2, -2)$.
$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = (-9, 14, -3)$.
अदिश गुणनफल: $(-3)(-9) + (2)(14) + (-2)(-3) = 27 + 28 + 6 = 61 \neq 0$.
चूंकि अदिश त्रिक गुणनफल शून्य नहीं है,इसलिए रेखाएं विषमतलीय (skew) हैं और प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।

(A) दो रेखाओं $\vec{r} = \vec{a_1} + \lambda \vec{b_1}$ और $\vec{r} = \vec{a_2} + \mu \vec{b_2}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{ |\vec{b_1} \times \vec{b_2}| }$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
दी गई रेखाओं के लिए:
रेखा $1$: $\vec{a_1} = (-1, 2, -1)$,$\vec{b_1} = (3, 2, 2)$.
रेखा $2$: $\vec{a_2} = (2, 2, -3)$,$\vec{b_2} = (1, 2, 3)$.
$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (2 - (-1), 2 - 2, -3 - (-1)) = (3, 0, -2)$.
$\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - 4) - \hat{j}(9 - 2) + \hat{k}(6 - 2) = 2\hat{i} - 7\hat{j} + 4\hat{k}$.
$|\vec{b_1} \times \vec{b_2}| = \sqrt{2^2 + (-7)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 49 + 16} = \sqrt{69}$.
$(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = (3)(2) + (0)(-7) + (-2)(4) = 6 + 0 - 8 = -2$.
$d = \frac{|-2|}{\sqrt{69}} = \frac{2}{\sqrt{69}}$ इकाई।

(D) रेखा $L$ का दिशा सदिश $\vec{v} = B - A = (1, -1, -1)$ है।
रेखा $L$ का समीकरण $\vec{r} = (1+t, 3-t, 2-t)$ है।
माना $M$ बिंदु $P(1, 1, -1)$ का रेखा $L$ पर प्रक्षेप है। $M = (1+t, 3-t, 2-t)$।
सदिश $\vec{PM} = (t, 2-t, 3-t)$ है।
चूँकि $\vec{PM} \perp \vec{v}$,इसलिए $\vec{PM} \cdot \vec{v} = 0$।
$t - (2-t) - (3-t) = 0 \implies 3t = 5 \implies t = \frac{5}{3}$।
$M$ के निर्देशांक $(\frac{8}{3}, \frac{4}{3}, \frac{1}{3})$ हैं।
यदि $P'$ बिंदु $P$ का प्रतिबिंब है,तो $M = \frac{P+P'}{2} \implies P' = 2M - P$।
$x = \frac{16}{3} - 1 = \frac{13}{3}$,$y = \frac{8}{3} - 1 = \frac{5}{3}$,$z = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}$।
अतः,$x+y+z = \frac{13+5+5}{3} = \frac{23}{3}$।

(C) माना अभीष्ट रेखा के दिक्-अनुपात $(a, b, c)$ हैं।
चूंकि रेखा $(2, -3, -2)$ और $(-1, 2, 3)$ दिक्-अनुपात वाली रेखाओं पर लंब है,इसलिए:
$2a - 3b - 2c = 0$ और $-a + 2b + 3c = 0$ है।
दिक्-अनुपात $(a, b, c)$ ज्ञात करने के लिए क्रॉस गुणन का उपयोग करने पर:
$a = (-3)(3) - (-2)(2) = -5$
$b = (-2)(-1) - (2)(3) = -4$
$c = (2)(2) - (-3)(-1) = 1$
अतः,दिक्-अनुपात $(-5, -4, 1)$ हैं।
रेखा $(-1, 2, 3)$ से गुजरती है।
इसलिए समीकरण $\frac{x+1}{-5} = \frac{y-2}{-4} = \frac{z-3}{1}$ होगा।

(C) माना समतल का समीकरण $a(x - 1) + b(y + 2) + c(z - 1) = 0$ है,जहाँ $\vec{n} = (a, b, c)$ समतल का अभिलंब सदिश है।
चूँकि समतल $2x - 2y + z = 0$ और $x - y + 2z = 4$ के लंबवत है,इसलिए अभिलंब सदिश $\vec{n}$ दिए गए समतलों के अभिलंबों $\vec{n_1} = (2, -2, 1)$ और $\vec{n_2} = (1, -1, 2)$ के सदिश गुणनफल के समांतर है।
$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 + 1) - \hat{j}(4 - 1) + \hat{k}(-2 + 2) = -3\hat{i} - 3\hat{j} + 0\hat{k}$.
हम अभिलंब सदिश को $\vec{n} = (1, 1, 0)$ ले सकते हैं।
समतल का समीकरण $1(x - 1) + 1(y + 2) + 0(z - 1) = 0$ है,जो सरल होकर $x + y + 1 = 0$ हो जाता है।
समतल $x + y + 1 = 0$ से बिंदु $(1, 2, 2)$ की दूरी $d = \frac{|1 + 2 + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ इकाई है।

(C) $XY$-समतल का समीकरण $z = 0$ होता है।
$XY$-समतल के समांतर कोई भी समतल $z = k$ के रूप में होता है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
चूंकि समतल बिंदु $A(7, 8, 6)$ से होकर गुजरता है,इसलिए समतल का $z$-निर्देशांक बिंदु $A$ के $z$-निर्देशांक के बराबर होना चाहिए।
अतः,$k = 6$।
इस प्रकार,समतल का समीकरण $z = 6$ है।

(A) समतलों $P_1: x+y+z-1=0$ और $P_2: 3x+4y+5z-2=0$ की प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x+y+z-1) + \lambda(3x+4y+5z-2) = 0$
$(1+3\lambda)x + (1+4\lambda)y + (1+5\lambda)z - (1+2\lambda) = 0$.
यह समतल $XY$-समतल के लंबवत है। $XY$-समतल का समीकरण $z=0$ है और इसका अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (0, 0, 1)$ है।
हमारे आवश्यक समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n_2} = (1+3\lambda, 1+4\lambda, 1+5\lambda)$ है।
चूंकि समतल लंबवत हैं,इसलिए उनके अभिलंब सदिशों का डॉट गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 \implies (0)(1+3\lambda) + (0)(1+4\lambda) + (1)(1+5\lambda) = 0$.
$1+5\lambda = 0 \implies \lambda = -\frac{1}{5}$.
$\lambda = -\frac{1}{5}$ को समीकरण में रखने पर:
$(x+y+z-1) - \frac{1}{5}(3x+4y+5z-2) = 0$.
$5(x+y+z-1) - (3x+4y+5z-2) = 0$.
$5x+5y+5z-5 - 3x-4y-5z+2 = 0$.
$2x+y-3=0$.

(C) समतल $A(2,1,2)$ और $B(1,2,1)$ से होकर गुजरता है। सदिश $\vec{AB} = (1-2, 2-1, 1-2) = (-1, 1, -1)$ है।
रेखा $2x = 3y$ और $z = 1$ द्वारा दी गई है। इसे $\frac{x}{3} = \frac{y}{2}$ और $z = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = (3, 2, 0)$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & -1 \\ 3 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 2\hat{i} - 3\hat{j} - 5\hat{k}$ है।
समतल का समीकरण $2(x-2) - 3(y-1) - 5(z-2) = 0$ है,जो $2x - 3y - 5z + 9 = 0$ में सरल हो जाता है।
विकल्पों की जाँच करने पर: $(-2, 0, 1)$ बिंदु के लिए $2(-2) - 3(0) - 5(1) + 9 = -4 - 5 + 9 = 0$ है। अतः,समतल $(-2, 0, 1)$ से होकर गुजरता है।

(B) समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ और $\vec{n_2} = \hat{i} + \alpha\hat{j} + 2\hat{k}$ हैं।
समतलों के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है $\cos \theta = \frac{1}{14}$,अतः $\frac{|(1)(1) + (-2)(\alpha) + (3)(2)|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} \sqrt{1^2 + \alpha^2 + 2^2}} = \frac{1}{14}$.
$\frac{|7 - 2\alpha|}{\sqrt{14} \sqrt{\alpha^2 + 5}} = \frac{1}{14}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{(7 - 2\alpha)^2}{14(\alpha^2 + 5)} = \frac{1}{196}$.
$\frac{49 - 28\alpha + 4\alpha^2}{\alpha^2 + 5} = \frac{1}{14}$.
$14(4\alpha^2 - 28\alpha + 49) = \alpha^2 + 5$.
$56\alpha^2 - 392\alpha + 686 = \alpha^2 + 5$.
$55\alpha^2 - 392\alpha + 681 = 0$.
माना मूल $\alpha_1$ और $\alpha_2$ हैं। अंतर $|\alpha_1 - \alpha_2| = \frac{\sqrt{D}}{|a|} = \frac{\sqrt{(-392)^2 - 4(55)(681)}}{55}$.
$D = 153664 - 149820 = 3844$.
$\sqrt{D} = 62$.
अंतर $= \frac{62}{55}$.

(B) समतलों $P_1: 2x-y+z-3=0$ और $P_2: 4x-3y+5z+9=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतलों के परिवार का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(2x-y+z-3) + \lambda(4x-3y+5z+9) = 0$
$(2+4\lambda)x + (-1-3\lambda)y + (1+5\lambda)z + (-3+9\lambda) = 0$.
चूंकि समतल $(2, 4, 5)$ अनुपात वाली रेखा के समानांतर है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश रेखा के दिशा सदिश के लंबवत है।
अतः,$2(2+4\lambda) + 4(-1-3\lambda) + 5(1+5\lambda) = 0$.
$4 + 8\lambda - 4 - 12\lambda + 5 + 25\lambda = 0$.
$21\lambda + 5 = 0 \implies \lambda = -\frac{5}{21}$.
$\lambda$ का मान समीकरण में रखने पर:
$(2 - \frac{20}{21})x + (-1 + \frac{15}{21})y + (1 - \frac{25}{21})z + (-3 - \frac{45}{21}) = 0$.
$(\frac{42-20}{21})x + (\frac{-21+15}{21})y + (\frac{21-25}{21})z + (\frac{-63-45}{21}) = 0$.
$22x - 6y - 4z - 108 = 0$.
$2$ से विभाजित करने पर: $11x - 3y - 2z - 54 = 0$.
यहाँ $\alpha=11, \beta=-3, \gamma=-2, d=-54$.
$\alpha+\beta+\gamma+d = 11 - 3 - 2 - 54 = -48$.