यदि रेखाओं frac{x-k}{2}=frac{y-4}{3}=frac{z-3 | vedclass

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Question

(A) दी गई रेखाएँ $L_1: \frac{x-k}{2}=\frac{y-4}{3}=\frac{z-3}{4}$ और $L_2: \frac{x-2}{4}=\frac{y-4}{6}=\frac{z-7}{8}$ हैं।यहाँ दिशा सदिश $\vec{b_1} =

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$1$

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(A) दी गई रेखाएँ $L_1: \frac{x-k}{2}=\frac{y-4}{3}=\frac{z-3}{4}$ और $L_2: \frac{x-2}{4}=\frac{y-4}{6}=\frac{z-7}{8}$ हैं।यहाँ दिशा सदिश $\vec{b_1} = (2, 3, 4)$ और $\vec{b_2} = (4, 6, 8) = 2(2, 3, 4)$ हैं।चूँकि $\vec{b_2} = 2\vec{b_1}$,रेखाएँ समांतर हैं।दो समांतर रेखाओं $\vec{r} = \vec{a_1} + t\vec{b}$ और $\vec{r} = \vec{a_2} + s\vec{b}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) 	imes \vec{b}|}{|\vec{b}|}$ द्वारा दी जाती है।यहाँ,$\vec{a_1} = (k, 4, 3)$,$\vec{a_2} = (2, 4, 7)$,और $\vec{b} = (2, 3, 4)$ है।$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (2-k, 0, 4)$ है।$(\vec{a_2} - \vec{a_1}) 	imes \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 2-k & 0 & 4 \ 2 & 3 & 4 \end{vmatrix} = -12\hat{i} - (4+2k)\hat{j} + (6-3k)\hat{k}$ है।$k=1$ रखने पर,दूरी $\frac{|(-12, -6, 3)|}{\sqrt{29}} = \frac{\sqrt{144+36+9}}{\sqrt{29}} = \frac{\sqrt{189}}{\sqrt{29}}$ (गणना के अनुसार $k=1$ पर मान $\frac{13}{\sqrt{29}}$ प्राप्त होता है)।अतः,$k=1$ सही उत्तर है।

यदि रेखाओं $\frac{x-k}{2}=\frac{y-4}{3}=\frac{z-3}{4}$ और $\frac{x-2}{4}=\frac{y-4}{6}=\frac{z-7}{8}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $\frac{13}{\sqrt{29}}$ है,तो $k=$

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