रेखा frac{x}{1}=frac{y}{2}=frac{z}{3} को समाह | vedclass

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Question

(C) माना अभीष्ट समतल $P_1$ है। यह रेखा $L_1: \frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$ को समाहित करता है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $\vec{n_1}$,$\vec{v_1} = (1

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$13x-8y+z=0$

Vedclass · Answer

(C) माना अभीष्ट समतल $P_1$ है। यह रेखा $L_1: \frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$ को समाहित करता है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $\vec{n_1}$,$\vec{v_1} = (1, 2, 3)$ के लंबवत है।माना $P_2$ वह समतल है जो रेखाओं $L_2: \frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{1}$ और $L_3: \frac{x}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z}{1}$ को समाहित करता है। $P_2$ का अभिलंब सदिश $\vec{n_2}$,दिशा सदिशों $\vec{v_2} = (2, 3, 1)$ और $\vec{v_3} = (3, 2, 1)$ के क्रॉस प्रोडक्ट द्वारा प्राप्त होता है:$\vec{n_2} = \vec{v_2} 	imes \vec{v_3} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 2 & 3 & 1 \ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-2) - \hat{j}(2-3) + \hat{k}(4-9) = (1, 1, -5)$.चूंकि $P_1$,$P_2$ के लंबवत है,इसलिए इसका अभिलंब $\vec{n_1}$,$\vec{n_2}$ के लंबवत होना चाहिए। अतः,$\vec{n_1} = \vec{v_1} 	imes \vec{n_2}$:$\vec{n_1} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 1 & 2 & 3 \ 1 & 1 & -5 \end{vmatrix} = \hat{i}(-10-3) - \hat{j}(-5-3) + \hat{k}(1-2) = (-13, 8, -1)$.मूल बिंदु $(0,0,0)$ से गुजरने वाले और $(-13, 8, -1)$ अभिलंब वाले समतल $P_1$ का समीकरण $-13x + 8y - z = 0$ है,जिसे सरल करने पर $13x - 8y + z = 0$ प्राप्त होता है।

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बिंदु $(3, 4, 5)$ की रेखा $\frac{x-3}{1} = \frac{y-4}{2} = \frac{z-5}{2}$ और समतल $x+y+z=2$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से दूरी क्या है ($\text{इकाई}$ में)?

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