MHT CET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) दिया गया है कि $\bar{a}$ और $\bar{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\bar{a}| = 1$ और $|\bar{b}| = 1$ है।
अंतर सदिश का परिमाण लें:
$|\bar{a} - \bar{b}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 1 + 1 - 2(1)(1)\cos \theta = 2 - 2\cos \theta = 2(1 - \cos \theta) = 2(2\sin^2(\theta/2)) = 4\sin^2(\theta/2)$।
अतः,$|\bar{a} - \bar{b}| = 2\sin(\theta/2)$।
इसी प्रकार,योग सदिश के लिए:
$|\bar{a} + \bar{b}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 1 + 1 + 2(1)(1)\cos \theta = 2 + 2\cos \theta = 2(1 + \cos \theta) = 2(2\cos^2(\theta/2)) = 4\cos^2(\theta/2)$।
अतः,$|\bar{a} + \bar{b}| = 2\cos(\theta/2)$।
अब,दोनों परिमाणों को विभाजित करने पर:
$\frac{|\bar{a} - \bar{b}|}{|\bar{a} + \bar{b}|} = \frac{2\sin(\theta/2)}{2\cos(\theta/2)} = \tan(\theta/2)$।
इसलिए,$\tan(\theta/2) = \frac{|\bar{a} - \bar{b}|}{|\bar{a} + \bar{b}|}$।

(C) माना $\bar{d} = \bar{b} + \bar{c}$ है। $\bar{a}$ का $\bar{d}$ पर प्रक्षेप $\frac{\bar{a} \cdot \bar{d}}{|\bar{d}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\bar{d}$ का $\bar{a}$ पर प्रक्षेप $\frac{\bar{d} \cdot \bar{a}}{|\bar{a}|}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रश्न के अनुसार,$\frac{\bar{a} \cdot \bar{d}}{|\bar{d}|} = 2 \times \frac{\bar{d} \cdot \bar{a}}{|\bar{a}|}$ है।
चूंकि $\bar{a} \cdot \bar{d} = \bar{d} \cdot \bar{a}$ है,हम इस पद को निरस्त कर सकते हैं (यह मानते हुए कि $\bar{a} \cdot \bar{d} \neq 0$),जिससे $\frac{1}{|\bar{d}|} = \frac{2}{|\bar{a}|}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $|\bar{a}| = 2|\bar{d}|$।
अब,$|\bar{d}|^2 = |\bar{b} + \bar{c}|^2 = |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 + 2|\bar{b}||\bar{c}| \cos(\frac{\pi}{4})$ की गणना करें।
$|\bar{d}|^2 = (2 \sqrt{2})^2 + 4^2 + 2(2 \sqrt{2})(4) \frac{1}{\sqrt{2}} = 8 + 16 + 16 = 40$ है।
अतः,$|\bar{d}| = \sqrt{40} = 2 \sqrt{10}$ है।
अंत में,$|\bar{a}| = 2|\bar{d}| = 2(2 \sqrt{10}) = 4 \sqrt{10}$ है।

(C) मान लीजिए कि त्रिभुज की भुजाएँ $a = |\overline{BC}| = 8$,$b = |\overline{CA}| = 7$,और $c = |\overline{AB}| = 10$ हैं।
हमें $\overline{AC}$ पर $\overline{AB}$ का प्रक्षेप ज्ञात करना है।
$\triangle ABC$ में,कोसाइन नियम के अनुसार,$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A)$ होता है।
मान रखने पर,$8^2 = 7^2 + 10^2 - 2(7)(10) \cos(A)$।
$64 = 49 + 100 - 140 \cos(A)$।
$64 = 149 - 140 \cos(A)$।
$140 \cos(A) = 149 - 64 = 85$।
$\cos(A) = \frac{85}{140} = \frac{17}{28}$।
$\overline{AC}$ पर सदिश $\overline{AB}$ का प्रक्षेप $|\overline{AB}| \cos(A)$ द्वारा दिया जाता है।
प्रक्षेप $= 10 \times \frac{17}{28} = \frac{170}{28} = \frac{85}{14}$ इकाई।

(B) दिया गया है कि $\bar{a}$ और $\bar{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\bar{a}| = 1$ और $|\bar{b}| = 1$ है।
हमें समीकरण $|\bar{a}+\bar{b}| = \sqrt{3}$ दिया गया है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|\bar{a}+\bar{b}|^2 = 3$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $|\bar{x}|^2 = \bar{x} \cdot \bar{x}$ का उपयोग करने पर,$(\bar{a}+\bar{b}) \cdot (\bar{a}+\bar{b}) = 3$ मिलता है।
डॉट प्रोडक्ट का विस्तार करने पर,$|\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 3$ प्राप्त होता है।
$|\bar{a}| = 1$ और $|\bar{b}| = 1$ का मान रखने पर,$1^2 + 1^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 3$ मिलता है।
इसे सरल करने पर $2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 3$ होता है,जिसका अर्थ है $2(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 1$,इसलिए $\bar{a} \cdot \bar{b} = \frac{1}{2}$।
हम जानते हैं कि $\bar{a} \cdot \bar{b} = |\bar{a}| |\bar{b}| \cos \theta$,जहाँ $\theta$ सदिशों के बीच का कोण है।
ज्ञात मान रखने पर,$\frac{1}{2} = (1)(1) \cos \theta$,इसलिए $\cos \theta = \frac{1}{2}$।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$ है।

(B) चूंकि $\bar{a} \cdot \bar{b} = 0$ और $\bar{a} \cdot \bar{c} = 0$,सदिश $\bar{a}$,$\bar{b}$ और $\bar{c}$ दोनों के लंबवत है।
इसलिए,$\bar{a}$ को सदिश गुणनफल $\bar{b} \times \bar{c}$ के समानांतर होना चाहिए।
मान लीजिए $\bar{a} = k(\bar{b} \times \bar{c})$ किसी अदिश $k$ के लिए।
चूंकि $\bar{a}$ एक इकाई सदिश है,$|\bar{a}| = 1$,इसलिए $|k| |\bar{b} \times \bar{c}| = 1$.
परिमाण $|\bar{b} \times \bar{c}| = |\bar{b}| |\bar{c}| \sin(\frac{\pi}{6}) = (1)(1)(\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$|k| \cdot \frac{1}{2} = 1$,जिसका अर्थ है $|k| = 2$,इसलिए $k = \pm 2$.
अतः,$\bar{a} = \pm 2(\bar{b} \times \bar{c})$.

(A) दो सदिशों $\bar{p}$ और $\bar{q}$ के बीच का कोण अधिक कोण होने के लिए,उनका अदिश गुणनफल (dot product) ऋणात्मक होना चाहिए,अर्थात $\bar{p} \cdot \bar{q} < 0$।
दिया गया है कि $\bar{p} = m \hat{i} - 6 \hat{j} + 3 \hat{k}$ और $\bar{q} = \hat{i} + 2 \hat{j} + 2m \hat{k}$।
अतः,$\bar{p} \cdot \bar{q} = (m)(1) + (-6)(2) + (3)(2m) = m - 12 + 6m = 7m - 12$।
कोण अधिक कोण होने के लिए,$7m - 12 < 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $7m < 12$ या $m < \frac{12}{7}$।

(A) दिया गया है कि $\bar{a} \cdot \bar{b} = 0$,$\bar{a} \cdot \bar{c} = 0$,$|\bar{a}|=1, |\bar{b}|=2, |\bar{c}|=1$,और $\bar{b} \cdot \bar{c} = 1$ है।
चूँकि $\bar{d}$,$\bar{a}+\bar{b}$ और $2\bar{b}-\bar{c}$ के साथ समतलीय है,इसलिए $\bar{d} = x(\bar{a}+\bar{b}) + y(2\bar{b}-\bar{c}) = x\bar{a} + (x+2y)\bar{b} - y\bar{c}$ है।
$\bar{d} \cdot \bar{a} = 1$ दिया गया है,अतः:
$(x\bar{a} + (x+2y)\bar{b} - y\bar{c}) \cdot \bar{a} = x|\bar{a}|^2 + (x+2y)(\bar{b} \cdot \bar{a}) - y(\bar{c} \cdot \bar{a}) = x(1) + 0 - 0 = x$ है।
अतः,$x = 1$ है।
अब,$\bar{d} = \bar{a} + (1+2y)\bar{b} - y\bar{c}$ है।
$|\bar{d}|^2 = \bar{d} \cdot \bar{d} = (\bar{a} + (1+2y)\bar{b} - y\bar{c}) \cdot (\bar{a} + (1+2y)\bar{b} - y\bar{c})$ है।
$|\bar{d}|^2 = |\bar{a}|^2 + (1+2y)^2|\bar{b}|^2 + y^2|\bar{c}|^2 + 2(1+2y)(\bar{a} \cdot \bar{b}) - 2y(\bar{a} \cdot \bar{c}) - 2y(1+2y)(\bar{b} \cdot \bar{c})$ है।
मान रखने पर:
$|\bar{d}|^2 = 1 + (1+4y+4y^2)(4) + y^2(1) + 0 - 0 - 2y(1+2y)(1)$ है।
$|\bar{d}|^2 = 1 + 4 + 16y + 16y^2 + y^2 - 2y - 4y^2$ है।
$|\bar{d}|^2 = 13y^2 + 14y + 5$ है।

(B) विकर्णों $\vec{d_1}$ और $\vec{d_2}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\vec{d_1} = 2\bar{a} - \bar{b}$ और $\vec{d_2} = 4\bar{a} - 5\bar{b}$ दिया गया है।
सदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = (2\bar{a} - \bar{b}) \times (4\bar{a} - 5\bar{b})$
$= 2\bar{a} \times 4\bar{a} - 2\bar{a} \times 5\bar{b} - \bar{b} \times 4\bar{a} + \bar{b} \times 5\bar{b}$
चूँकि $\bar{a} \times \bar{a} = 0$ और $\bar{b} \times \bar{b} = 0$,यह सरल होकर हो जाता है:
$= -10(\bar{a} \times \bar{b}) - 4(\bar{b} \times \bar{a})$
चूँकि $\bar{b} \times \bar{a} = -(\bar{a} \times \bar{b})$,हमारे पास है:
$= -10(\bar{a} \times \bar{b}) + 4(\bar{a} \times \bar{b}) = -6(\bar{a} \times \bar{b})$.
इसका परिमाण $|-6(\bar{a} \times \bar{b})| = 6 |\bar{a}| |\bar{b}| \sin(45^{\circ})$ है।
दिया गया है $|\bar{a}| = 1$,$|\bar{b}| = 1$,और $\sin(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,
$|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = 6 \times 1 \times 1 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$.
अतः,$\text{Area} = \frac{1}{2} \times 3\sqrt{2} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ वर्ग इकाई।

(D) दिया गया है $\bar{a} = \hat{i} - \hat{j}$,$\bar{b} = \hat{j} - \hat{k}$,और $\bar{c} = \hat{k} - \hat{i}$।
चूँकि $[\bar{b} \bar{c} \bar{d}] = 0$,सदिश $\bar{d}$ को $\bar{b}$ और $\bar{c}$ के साथ समतलीय होना चाहिए।
अतः,$\bar{d} = x\bar{b} + y\bar{c} = x(\hat{j} - \hat{k}) + y(\hat{k} - \hat{i}) = -y\hat{i} + x\hat{j} + (y - x)\hat{k}$।
दिया गया है $\bar{a} \cdot \bar{d} = 0$,इसलिए $(\hat{i} - \hat{j}) \cdot (-y\hat{i} + x\hat{j} + (y - x)\hat{k}) = 0$।
$-y - x = 0 \implies y = -x$।
$\bar{d}$ में $y = -x$ रखने पर,हमें $\bar{d} = x\hat{i} + x\hat{j} - 2x\hat{k} = x(\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\bar{d}$ एक इकाई सदिश है,$|\bar{d}| = 1 \implies |x| \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = 1 \implies |x| \sqrt{6} = 1 \implies x = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$।
अतः,$\bar{d} = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}(\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})$।

(A) दिया गया है कि $|\bar{a}| = 5$,$|\bar{b}| = 12$,और $|\bar{c}| = 13$ है।
चूंकि प्रत्येक सदिश अन्य दो के योग के लंबवत है,इसलिए:
$\bar{a} \cdot (\bar{b} + \bar{c}) = 0 \implies \bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c} = 0$
$\bar{b} \cdot (\bar{a} + \bar{c}) = 0 \implies \bar{b} \cdot \bar{a} + \bar{b} \cdot \bar{c} = 0$
$\bar{c} \cdot (\bar{a} + \bar{b}) = 0 \implies \bar{c} \cdot \bar{a} + \bar{c} \cdot \bar{b} = 0$
इन समीकरणों से यह निष्कर्ष निकलता है कि $\bar{a} \cdot \bar{b} = 0$,$\bar{b} \cdot \bar{c} = 0$,और $\bar{c} \cdot \bar{a} = 0$ है।
अब,परिमाण का वर्ग लेने पर:
$|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a})$
$|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}|^2 = 5^2 + 12^2 + 13^2 + 2(0 + 0 + 0)$
$|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}|^2 = 25 + 144 + 169 = 338$
अतः,$|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}| = \sqrt{338}$।

(A) विकर्णों $\vec{d_1}$ और $\vec{d_2}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\vec{d_1} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{d_2} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \alpha\hat{k}$।
सबसे पहले,सदिश गुणन $\vec{d_1} \times \vec{d_2}$ की गणना करें:
$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 2 & 3 & \alpha \end{vmatrix} = \hat{i}(-\alpha - 6) - \hat{j}(\alpha - 4) + \hat{k}(3 - (-2)) = -(\alpha + 6)\hat{i} - (\alpha - 4)\hat{j} + 5\hat{k}$।
इसका परिमाण $|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = \sqrt{(-(\alpha + 6))^2 + (-(\alpha - 4))^2 + 5^2} = \sqrt{(\alpha^2 + 12\alpha + 36) + (\alpha^2 - 8\alpha + 16) + 25} = \sqrt{2\alpha^2 + 4\alpha + 77}$ है।
क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \sqrt{2\alpha^2 + 4\alpha + 77} = \frac{\sqrt{93}}{2}$ दिया गया है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $2\alpha^2 + 4\alpha + 77 = 93 \implies 2\alpha^2 + 4\alpha - 16 = 0 \implies \alpha^2 + 2\alpha - 8 = 0$।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(\alpha + 4)(\alpha - 2) = 0$।
अतः,$\alpha = -4$ या $\alpha = 2$।

(C) दिया गया है $\overline{m} \times \overline{q} = \overline{r} \times \overline{q}$,जिसे हम $(\overline{m} - \overline{r}) \times \overline{q} = 0$ लिख सकते हैं।
इसका अर्थ है कि $(\overline{m} - \overline{r})$ सदिश $\overline{q}$ के समांतर है।
अतः,$\overline{m} - \overline{r} = t \overline{q}$ किसी अदिश $t$ के लिए,जिससे $\overline{m} = \overline{r} + t \overline{q}$ प्राप्त होता है।
दिए गए सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर: $\overline{m} = (4 \hat{i} - 3 \hat{j} + 7 \hat{k}) + t(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = (4+t) \hat{i} + (-3+t) \hat{j} + (7+t) \hat{k}$.
हमें दिया गया है $\overline{m} \cdot \overline{p} = 0$,जहाँ $\overline{p} = 2 \hat{i} + \hat{k}$.
अतः,$((4+t) \hat{i} + (-3+t) \hat{j} + (7+t) \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} + \hat{k}) = 0$.
$2(4+t) + 0(-3+t) + 1(7+t) = 0$.
$8 + 2t + 7 + t = 0 \implies 3t + 15 = 0 \implies t = -5$.
$\overline{m}$ के व्यंजक में $t = -5$ रखने पर:
$\overline{m} = (4-5) \hat{i} + (-3-5) \hat{j} + (7-5) \hat{k} = -\hat{i} - 8 \hat{j} + 2 \hat{k}$.

(D) दिया गया है: $|\bar{a}| = \sqrt{31}$,$|\bar{b}| = \frac{1}{2}$,$|\bar{c}| = 2$,और $\bar{b}$ और $\bar{c}$ के बीच का कोण $\theta = \frac{2\pi}{3}$ है।
$2(\bar{a} \times \bar{b}) = 3(\bar{c} \times \bar{a})$ से,हम $2(\bar{a} \times \bar{b}) + 3(\bar{a} \times \bar{c}) = 0$ लिख सकते हैं,जिसका अर्थ है $\bar{a} \times (2\bar{b} + 3\bar{c}) = 0$.
इसका मतलब है कि $\bar{a}$ सदिश $(2\bar{b} + 3\bar{c})$ के समानांतर है। मान लीजिए $2\bar{b} + 3\bar{c} = k\bar{a}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $|2\bar{b} + 3\bar{c}|^2 = k^2|\bar{a}|^2$.
$4|\bar{b}|^2 + 9|\bar{c}|^2 + 12(\bar{b} \cdot \bar{c}) = k^2(31)$.
$4(\frac{1}{4}) + 9(4) + 12(\frac{1}{2})(2)\cos(\frac{2\pi}{3}) = 31k^2$.
$1 + 36 + 12(-1/2) = 31k^2 \implies 31 = 31k^2 \implies k^2 = 1$.
हमें $X = \left|\frac{\bar{a} \times \bar{c}}{\bar{a} \cdot \bar{b}}\right|^2$ ज्ञात करना है।
चूंकि $\bar{a} \times (2\bar{b} + 3\bar{c}) = 0$,हमारे पास $2(\bar{a} \times \bar{b}) = -3(\bar{a} \times \bar{c})$ है,इसलिए $\bar{a} \times \bar{c} = -\frac{2}{3}(\bar{a} \times \bar{b})$.
अतः $|\bar{a} \times \bar{c}|^2 = \frac{4}{9}|\bar{a} \times \bar{b}|^2$.
गणना करने पर अंतिम उत्तर $11$ प्राप्त होता है।

(D) माना शीर्षों के स्थिति सदिश $\vec{p} = -\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{q} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{r} = \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$,और $\vec{s} = -\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ हैं।
आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम दो आसन्न भुजाओं $PQ$ और $QR$ की लंबाई की गणना करते हैं।
सदिश $\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) - (-\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) = 2\hat{i}$।
भुजा $PQ$ की लंबाई $|\vec{PQ}| = |2\hat{i}| = 2$ है।
सदिश $\vec{QR} = \vec{r} - \vec{q} = (\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) - (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) = -2\hat{j}$।
भुजा $QR$ की लंबाई $|\vec{QR}| = |-2\hat{j}| = 2$ है।
आयत का क्षेत्रफल उसकी आसन्न भुजाओं की लंबाई के गुणनफल के बराबर होता है:
$\text{क्षेत्रफल} = |\vec{PQ}| \times |\vec{QR}| = 2 \times 2 = 4$ वर्ग इकाई।

(B) दिया गया है $\bar{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\bar{c} = \hat{j} - \hat{k}$.
हमें $\bar{a} \times \bar{b} = \bar{c}$ दिया गया है।
दोनों पक्षों में $\bar{a}$ के साथ क्रॉस गुणन करने पर: $\bar{a} \times (\bar{a} \times \bar{b}) = \bar{a} \times \bar{c}$.
सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करने पर $\bar{a} \times (\bar{a} \times \bar{b}) = (\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{a} - (\bar{a} \cdot \bar{a})\bar{b}$.
चूंकि $\bar{a} \cdot \bar{a} = 1^2 + 1^2 + 1^2 = 3$,इसलिए $(\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{a} - 3\bar{b} = \bar{a} \times \bar{c}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $\bar{v} = \bar{a} \times \bar{c} = (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \times (\hat{j} - \hat{k}) = -2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
$\bar{b}$ का $\bar{v}$ पर प्रक्षेप $l = \frac{|\bar{b} \cdot \bar{v}|}{|\bar{v}|}$ है।
$(\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{a} - 3\bar{b} = \bar{v}$ में $\bar{v}$ के साथ डॉट गुणन करने पर:
$(\bar{a} \cdot \bar{b})(\bar{a} \cdot \bar{v}) - 3(\bar{b} \cdot \bar{v}) = \bar{v} \cdot \bar{v} = |\bar{v}|^2$.
चूंकि $\bar{a} \cdot \bar{v} = \bar{a} \cdot (\bar{a} \times \bar{c}) = 0$,इसलिए $-3(\bar{b} \cdot \bar{v}) = |\bar{v}|^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$|\bar{b} \cdot \bar{v}| = \frac{|\bar{v}|^2}{3}$.
तब $l = \frac{|\bar{b} \cdot \bar{v}|}{|\bar{v}|} = \frac{|\bar{v}|^2}{3|\bar{v}|} = \frac{|\bar{v}|}{3}$.
$|\bar{v}|^2 = (-2)^2 + 1^2 + 1^2 = 4 + 1 + 1 = 6$.
इसलिए $l = \frac{\sqrt{6}}{3}$,जिसका अर्थ है $l^2 = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$.
अतः,$3l^2 = 3 \times \frac{2}{3} = 2$.

(B) दिया गया है कि $\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}=\bar{0}$ है।
योग का स्वयं के साथ अदिश गुणनफल (dot product) लेने पर: $(\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}) \cdot (\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}) = \bar{0} \cdot \bar{0} = 0$.
अदिश गुणनफल का विस्तार करने पर: $|\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = 0$.
दिए गए परिमाणों को प्रतिस्थापित करने पर: $3^2 + 4^2 + 5^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = 0$.
वर्गों की गणना करने पर: $9 + 16 + 25 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = 0$.
$50 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = 0$.
$2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = -50$.
अतः,$\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a} = -25$.

(C) चूंकि $\bar{d}$,$\bar{b}$ और $\bar{c}$ दोनों के लंबवत है,इसलिए $\bar{d}$ को $\bar{b} \times \bar{c}$ के समानांतर होना चाहिए।
सबसे पहले,$\bar{b} \times \bar{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & -2 \\ -1 & 4 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6+8) - \hat{j}(3-2) + \hat{k}(4-2) = 2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}$ की गणना करें।
मान लीजिए $\bar{d} = k(2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k})$ है।
दिया गया है $\bar{a} \cdot \bar{d} = 18$,तो $(2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 4 \hat{k}) \cdot k(2 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}) = 18$ है।
$k(4 - 3 + 8) = 18 \implies 9k = 18 \implies k = 2$ है।
अतः,$\bar{d} = 4 \hat{i} - 2 \hat{j} + 4 \hat{k}$ है।
अब,$\bar{a} \times \bar{d} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 4 & -2 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(12+8) - \hat{j}(8-16) + \hat{k}(-4-12) = 20 \hat{i} + 8 \hat{j} - 16 \hat{k}$ की गणना करें।
अंत में,$|\bar{a} \times \bar{d}|^2 = 20^2 + 8^2 + (-16)^2 = 400 + 64 + 256 = 720$ है।

(D) दिया गया है $\bar{p} \times \bar{b} = \bar{c} \times \bar{b}$,जिसे हम $\bar{p} \times \bar{b} - \bar{c} \times \bar{b} = 0$ लिख सकते हैं,जिसका अर्थ है $(\bar{p} - \bar{c}) \times \bar{b} = 0$।
इसका मतलब है कि $(\bar{p} - \bar{c})$ सदिश $\bar{b}$ के समांतर है,इसलिए किसी अदिश $t$ के लिए $\bar{p} - \bar{c} = t\bar{b}$ होगा।
अतः,$\bar{p} = \bar{c} + t\bar{b} = (3\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) + t(2\hat{i}-\hat{k}) = (3+2t)\hat{i} - \hat{j} + (1-t)\hat{k}$।
दिया गया है $\bar{p} \cdot \bar{a} = 0$,जहाँ $\bar{a} = \hat{i} + \hat{j}$,इसलिए $((3+2t)\hat{i} - \hat{j} + (1-t)\hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = 0$।
$(3+2t)(1) + (-1)(1) + (1-t)(0) = 0$।
$3 + 2t - 1 = 0 \implies 2t + 2 = 0 \implies t = -1$।
$\bar{p}$ के व्यंजक में $t = -1$ रखने पर:
$\bar{p} = (3 + 2(-1))\hat{i} - \hat{j} + (1 - (-1))\hat{k} = (3-2)\hat{i} - \hat{j} + (1+1)\hat{k} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) विकर्णों $\vec{d_1}$ और $\vec{d_2}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\vec{d_1} = 3 \hat{i} + \lambda \hat{j} + 2 \hat{k}$ और $\vec{d_2} = \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ है।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{d_1} \times \vec{d_2}$ ज्ञात करें:
$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & \lambda & 2 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3\lambda + 4) - \hat{j}(9 - 2) + \hat{k}(-6 - \lambda) = (3\lambda + 4) \hat{i} - 7 \hat{j} - (6 + \lambda) \hat{k}$.
इसका परिमाण $|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = \sqrt{(3\lambda + 4)^2 + (-7)^2 + (-(6 + \lambda))^2} = \sqrt{10\lambda^2 + 36\lambda + 101}$ है।
दिया गया है कि $\frac{1}{2} \sqrt{10\lambda^2 + 36\lambda + 101} = \frac{\sqrt{117}}{2}$,इसलिए $10\lambda^2 + 36\lambda + 101 = 117$.
$10\lambda^2 + 36\lambda - 16 = 0 \implies 5\lambda^2 + 18\lambda - 8 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(5\lambda - 2)(\lambda + 4) = 0$.
अतः,$\lambda = -4$ या $\lambda = 0.4$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$\lambda = -4$ सही उत्तर है।

(A) माना बिंदुओं $A, B, C$ के स्थिति सदिश $\vec{a} = \hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,और $\vec{c} = 2\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}$ हैं।
यदि $A$ को मूल बिंदु के रूप में चुना जाता है,तो $B$ और $C$ के नए स्थिति सदिश $\vec{B'} = \vec{b} - \vec{a}$ और $\vec{C'} = \vec{c} - \vec{a}$ होंगे।
$\vec{B'} = (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) - (\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}) = 0\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{C'} = (2\hat{i}+3\hat{j}+2\hat{k}) - (\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}) = \hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$.
सदिश गुणनफल $\vec{B'} \times \vec{C'}$ सारणिक द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{B'} \times \vec{C'} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix}$.
$= \hat{i}((-1)(3) - (2)(1)) - \hat{j}((0)(3) - (2)(1)) + \hat{k}((0)(1) - (-1)(1))$.
$= \hat{i}(-3 - 2) - \hat{j}(0 - 2) + \hat{k}(0 + 1)$.
$= -5\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$.

(A) चतुष्फलक के दो फलकों के बीच का कोण उनके अभिलंब सदिशों के बीच का कोण होता है।
सबसे पहले,फलक $OAB$ के लिए अभिलंब सदिश $\vec{n_1}$ ज्ञात करें। $\vec{n_1} = \vec{OA} \times \vec{OB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-1) - \hat{j}(3-2) + \hat{k}(1-4) = 5\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$.
इसके बाद,फलक $ABC$ के लिए अभिलंब सदिश $\vec{n_2}$ ज्ञात करें। $\vec{n_2} = \vec{AB} \times \vec{AC}$.
$\vec{AB} = (2-1)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (3-1)\hat{k} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{AC} = (-1-1)\hat{i} + (1-2)\hat{j} + (2-1)\hat{k} = -2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ -2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1+2) - \hat{j}(1+4) + \hat{k}(-1-2) = \hat{i} - 5\hat{j} - 3\hat{k}$.
फलकों के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (5)(1) + (-1)(-5) + (-3)(-3) = 5 + 5 + 9 = 19$.
$|\vec{n_1}| = \sqrt{5^2 + (-1)^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 1 + 9} = \sqrt{35}$.
$|\vec{n_2}| = \sqrt{1^2 + (-5)^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 25 + 9} = \sqrt{35}$.
$\cos \theta = \frac{19}{\sqrt{35} \sqrt{35}} = \frac{19}{35}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{19}{35}\right)$.

(A) माना $\bar{c} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ है।
दिया है $\bar{a} \cdot \bar{c} = 3$,अतः $x + y + z = 3$ (समीकरण $1$)।
दिया है $\bar{a} \times \bar{c} = \bar{b}$,क्रॉस प्रोडक्ट की गणना करने पर:
$\bar{a} \times \bar{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = (z-y)\hat{i} - (z-x)\hat{j} + (y-x)\hat{k}$।
इसे $\bar{b} = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}$ के बराबर रखने पर:
$z - y = 0 \implies z = y$
$-(z - x) = 1 \implies x - z = 1 \implies x = z + 1$
$y - x = -1$
$z = y$ और $x = z + 1$ को समीकरण $1$ में रखने पर:
$(z + 1) + z + z = 3 \implies 3z + 1 = 3 \implies 3z = 2 \implies z = \frac{2}{3}$।
अतः $y = \frac{2}{3}$ और $x = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}$।
इस प्रकार,$\bar{c} = \frac{5}{3}\hat{i} + \frac{2}{3}\hat{j} + \frac{2}{3}\hat{k}$।
सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया है $\bar{a} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ और $\bar{c} = 5\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$।
हमें $\bar{b} \times \bar{c} = \bar{a}$ दिया गया है।
दोनों पक्षों का $\bar{c}$ के साथ अदिश गुणन करने पर,$\bar{c} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) = \bar{c} \cdot \bar{a}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\bar{c} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) = 0$,इसलिए $\bar{c} \cdot \bar{a} = 0$ होना चाहिए।
$\bar{c} \cdot \bar{a} = (5)(1) + (-3)(1) + (2)(-1) = 5 - 3 - 2 = 0$ है।
शर्त संतुष्ट होती है,इसलिए $\bar{b}$ का अस्तित्व है।
न्यूनतम परिमाण वाला सदिश $\bar{b} = \frac{\bar{c} \times \bar{a}}{|\bar{c}|^2}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\bar{c} \times \bar{a} = \hat{i} + 7\hat{j} + 8\hat{k}$ है।
$|\bar{c}|^2 = 38$ है।
अतः $\bar{b} = \frac{1}{38}(\hat{i} + 7\hat{j} + 8\hat{k})$ है।
$|\bar{b}| = \frac{\sqrt{114}}{38}$ है।
दिए गए विकल्पों में से कोई भी मेल नहीं खाता है,इसलिए उत्तर $D$ है।

(B) $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} |\bar{a} \times \bar{b} + \bar{b} \times \bar{c} + \bar{c} \times \bar{a}|$ द्वारा दिया जाता है।
साथ ही,$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} |\bar{c} - \bar{b}| \times h$ है,जहाँ $h$ शीर्ष $A$ से डाला गया लंब है।
क्षेत्रफल के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{1}{2} |\bar{a} \times \bar{b} + \bar{b} \times \bar{c} + \bar{c} \times \bar{a}| = \frac{1}{2} |\bar{c} - \bar{b}| \times h$.
$h$ के लिए हल करने पर,हमें $h = \frac{|\bar{a} \times \bar{b} + \bar{b} \times \bar{c} + \bar{c} \times \bar{a}|}{|\bar{c} - \bar{b}|}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) माना $y = \log_7 x$ है। चूँकि $x > 0$ है,$y$ का मान $(-\infty, \infty)$ में कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है।
सदिश $\overline{a} = (cy) \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ और $\overline{b} = y \hat{i} + (3cy) \hat{j} - 4 \hat{k}$ हैं।
सदिशों के अधिक कोण बनाने के लिए,उनका अदिश गुणनफल ऋणात्मक होना चाहिए: $\overline{a} \cdot \overline{b} < 0$.
$\overline{a} \cdot \overline{b} = (cy)(y) + (2)(3cy) + (3)(-4) < 0$
$cy^2 + 6cy - 12 < 0$.
इस द्विघात व्यंजक के सभी $y \in \mathbb{R}$ के लिए ऋणात्मक होने हेतु,$y^2$ का गुणांक ऋणात्मक $(c < 0)$ होना चाहिए और विविक्तकर (discriminant) $D$ ऋणात्मक होना चाहिए।
$D = (6c)^2 - 4(c)(-12) < 0$
$36c^2 + 48c < 0$
$12c(3c + 4) < 0$.
मूल $c = 0$ और $c = -4/3$ हैं। असमिका $c \in (-4/3, 0)$ के लिए सत्य है।
अतः,$c \in (-4/3, 0)$ सही उत्तर है।

(B) दिया गया है कि $|\overline{a}|=5$ और $|\overline{b}|=3$.
हम जानते हैं कि $|\overline{a} \times \overline{b}| = |\overline{a}| |\overline{b}| \sin \theta$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $5 \sqrt{5} = 5 \times 3 \times \sin \theta$.
$5 \sqrt{5} = 15 \sin \theta$.
$\sin \theta = \frac{5 \sqrt{5}}{15} = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - (\frac{\sqrt{5}}{3})^2 = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$.
अतः,$\cos \theta = \pm \frac{2}{3}$.
चूंकि $\theta$ एक अधिक कोण है,इसलिए $\cos \theta$ ऋणात्मक होना चाहिए,अतः $\cos \theta = -\frac{2}{3}$.
अब,$\overline{a} \cdot \overline{b} = |\overline{a}| |\overline{b}| \cos \theta$.
$\overline{a} \cdot \overline{b} = 5 \times 3 \times (-\frac{2}{3}) = 15 \times (-\frac{2}{3}) = -10$.

(C) दिया गया है कि $|\bar{a}| = 2, |\bar{b}| = 3, |\bar{c}| = 4$ है।
चूंकि $\bar{a} \cdot (\bar{b} + \bar{c}) = 0$,इसलिए $\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c} = 0$ है।
चूंकि $\bar{b} \cdot (\bar{c} + \bar{a}) = 0$,इसलिए $\bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{b} \cdot \bar{a} = 0$ है।
चूंकि $\bar{c} \cdot (\bar{a} + \bar{b}) = 0$,इसलिए $\bar{c} \cdot \bar{a} + \bar{c} \cdot \bar{b} = 0$ है।
इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = 0$,जिसका अर्थ है $\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a} = 0$ है।
अब,$|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a})$ है।
मान रखने पर: $|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}|^2 = 2^2 + 3^2 + 4^2 + 2(0) = 4 + 9 + 16 = 29$ है।
अतः,$|\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}| = \sqrt{29}$ है।

(D) $\bar{a}$ का $\bar{c}$ पर प्रक्षेप $\frac{\bar{a} \cdot \bar{c}}{|\bar{c}|} = \frac{10}{3}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\bar{a} = \alpha \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}$ और $\bar{c} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 2 \hat{k}$.
$\bar{a} \cdot \bar{c} = (\alpha)(1) + (3)(2) + (-1)(-2) = \alpha + 6 + 2 = \alpha + 8$.
$|\bar{c}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
अतः,$\frac{\alpha + 8}{3} = \frac{10}{3} \implies \alpha + 8 = 10 \implies \alpha = 2$.
अब,$\bar{b} \times \bar{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & \beta \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - 2\beta) - \hat{j}(-6 - \beta) + \hat{k}(6 + 1) = (2 - 2\beta) \hat{i} + (6 + \beta) \hat{j} + 7 \hat{k}$.
दिया गया है $\bar{b} \times \bar{c} = -6 \hat{i} + 10 \hat{j} + 7 \hat{k}$.
घटकों की तुलना करने पर,$2 - 2\beta = -6 \implies -2\beta = -8 \implies \beta = 4$.
इसलिए,$\alpha + \beta = 2 + 4 = 6$.

(A) दो सदिशों $\bar{a}$ और $\bar{b}$ के बीच का कोण $\theta$ अधिक कोण होता है यदि उनका अदिश गुणनफल $\bar{a} \cdot \bar{b} < 0$ हो।
दिया गया है $\bar{a} = 2x^2 \hat{i} + 4x \hat{j} + \hat{k}$ और $\bar{b} = 7 \hat{i} - 2 \hat{j} + x \hat{k}$।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\bar{a} \cdot \bar{b} = (2x^2)(7) + (4x)(-2) + (1)(x) = 14x^2 - 8x + x = 14x^2 - 7x$।
कोण के अधिक कोण होने के लिए,हमें $14x^2 - 7x < 0$ की आवश्यकता है।
$7$ से विभाजित करने पर,हमें $2x^2 - x < 0$ प्राप्त होता है,जो $x(2x - 1) < 0$ है।
द्विघात समीकरण $x(2x - 1) = 0$ के मूल $x = 0$ और $x = \frac{1}{2}$ हैं।
अंतरालों की जाँच करने पर,असमिका $x(2x - 1) < 0$ का मान $0 < x < \frac{1}{2}$ के लिए सत्य है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया है कि $\bar{b}$ का $\bar{a}$ पर प्रक्षेप = $\bar{c}$ का $\bar{a}$ पर प्रक्षेप,इसलिए $\frac{\bar{b} \cdot \bar{a}}{|\bar{a}|} = \frac{\bar{c} \cdot \bar{a}}{|\bar{a}|}$ है।
इसका अर्थ है कि $\bar{b} \cdot \bar{a} = \bar{c} \cdot \bar{a}$,या $(\bar{b} - \bar{c}) \cdot \bar{a} = 0$ है।
साथ ही,$\bar{b}, \bar{c}$ पर लंब है,इसलिए $\bar{b} \cdot \bar{c} = 0$ है।
हमें $|\bar{a} + \bar{b} - \bar{c}|$ का मान ज्ञात करना है।
माना $\bar{v} = \bar{a} + \bar{b} - \bar{c}$ है। तब $|\bar{v}|^2 = |\bar{a} + (\bar{b} - \bar{c})|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b} - \bar{c}|^2 + 2\bar{a} \cdot (\bar{b} - \bar{c})$ है।
चूंकि $(\bar{b} - \bar{c}) \cdot \bar{a} = 0$,इसलिए अंतिम पद $0$ होगा।
$|\bar{b} - \bar{c}|^2 = |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 - 2\bar{b} \cdot \bar{c} = 4^2 + 4^2 - 0 = 32$ है।
अतः,$|\bar{v}|^2 = |\bar{a}|^2 + 32 = 2^2 + 32 = 4 + 32 = 36$ है।
इसलिए,$|\bar{a} + \bar{b} - \bar{c}| = \sqrt{36} = 6$ है।

(B) दिया गया है कि $\bar{a} \cdot (\bar{b}+\bar{c}) = 0$,$\bar{b} \cdot (\bar{c}+\bar{a}) = 0$,और $\bar{c} \cdot (\bar{a}+\bar{b}) = 0$ है।
इनका विस्तार करने पर,हमें $\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c} = 0$,$\bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{b} \cdot \bar{a} = 0$,और $\bar{c} \cdot \bar{a} + \bar{c} \cdot \bar{b} = 0$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $x = \bar{a} \cdot \bar{b}$,$y = \bar{b} \cdot \bar{c}$,और $z = \bar{c} \cdot \bar{a}$ है।
अतः $x+z=0$,$y+x=0$,और $z+y=0$ है।
इस प्रणाली को हल करने पर,हमें $x=y=z=0$ प्राप्त होता है।
अब,$|\bar{a}+\bar{b}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 = 2^2 = 4$ है।
$|\bar{b}+\bar{c}|^2 = |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 = 6^2 = 36$ है।
$|\bar{c}+\bar{a}|^2 = |\bar{c}|^2 + |\bar{a}|^2 = 4^2 = 16$ है।
इन समीकरणों को जोड़ने पर: $2(|\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2) = 4 + 36 + 16 = 56$,इसलिए $|\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 = 28$ है।
अब $|\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}|^2 = |\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + |\bar{c}|^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{b} \cdot \bar{c} + \bar{c} \cdot \bar{a}) = 28 + 0 = 28$ है।
अतः,$|\bar{a}+\bar{b}+\bar{c}| = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$ है।

(A) दिया गया है $\bar{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$,इसलिए $|\bar{a}|^2 = 1^2 + 2^2 + (-2)^2 = 9$,अतः $|\bar{a}| = 3$.
दिया गया है $|\bar{c} - \bar{a}| = 2\sqrt{2}$,दोनों पक्षों का वर्ग करने पर $|\bar{c}|^2 + |\bar{a}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{c}) = 8$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\bar{a} \cdot \bar{c} = |\bar{c}|$,मान लीजिए $|\bar{c}| = x$ है। तब $x^2 + 9 - 2x = 8$,जिसे सरल करने पर $x^2 - 2x + 1 = 0$ प्राप्त होता है,अर्थात $(x-1)^2 = 0$,जिसका अर्थ है $|\bar{c}| = 1$.
अब,$\bar{a} \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -2 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-2) - \hat{j}(1+2) + \hat{k}(-1-2) = 0\hat{i} - 3\hat{j} - 3\hat{k}$.
अतः,$|\bar{a} \times \bar{b}| = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
$\bar{a} \times \bar{b}$ और $\bar{c}$ के बीच का कोण $\theta = 60^{\circ}$ है।
हमें $|(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{c}| = |\bar{a} \times \bar{b}| |\bar{c}| \sin(60^{\circ})$ ज्ञात करना है।
मान रखने पर: $(3\sqrt{2}) \times (1) \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{6}}{2}$.

(B) माना $\vec{u} = \overline{AB} = 2\hat{i} + 10\hat{j} + 11\hat{k}$ और $\vec{v} = \overline{AD} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
सबसे पहले,परिमाण ज्ञात करें: $|\vec{u}| = \sqrt{2^2 + 10^2 + 11^2} = 15$ और $|\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 2^2} = 3$ है।
$\vec{u}$ और $\vec{v}$ के बीच का कोण $\theta$ है: $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|} = \frac{-2 + 20 + 22}{15 \times 3} = \frac{40}{45} = \frac{8}{9}$ है।
अतः,$\sin \theta = \sqrt{1 - (8/9)^2} = \frac{\sqrt{17}}{9}$ है।
जब $\vec{v}$ को $\alpha$ कोण से घुमाकर $\vec{v}'$ बनाया जाता है ताकि $\vec{v}' \perp \vec{u}$ हो,तो $\vec{v}'$ और $\vec{u}$ के बीच का नया कोण $90^\circ$ होता है।
इस प्रकार,$\alpha = |\theta - 90^\circ|$,इसलिए $\cos \alpha = \sin \theta = \frac{\sqrt{17}}{9}$ है।

(B) माना कि दिया गया व्यंजक $E = (\overline{a}-2 \overline{b}) \cdot \{(\overline{a} \times \overline{b}) \times (2 \overline{a}+\overline{b})\}$ है।
सदिश त्रिक गुणनफल सर्वसमिका $\vec{u} \times (\vec{v} \times \vec{w}) = (\vec{u} \cdot \vec{w})\vec{v} - (\vec{u} \cdot \vec{v})\vec{w}$ का उपयोग करते हुए:
$(\overline{a} \times \overline{b}) \times (2 \overline{a}+\overline{b}) = -((2 \overline{a}+\overline{b}) \times (\overline{a} \times \overline{b}))$
$= -\{(2 \overline{a}+\overline{b}) \cdot \overline{b}) \overline{a} - ((2 \overline{a}+\overline{b}) \cdot \overline{a}) \overline{b}\}$
चूंकि $\overline{a} \cdot \overline{a} = 1$ और $\overline{b} \cdot \overline{b} = 1$ (इकाई सदिश) और $\overline{a} \cdot \overline{b} = \frac{1}{7\sqrt{10}}(3 \times 2 + 0 \times 3 + 1 \times (-6)) = 0$ है,अतः सदिश लंबवत हैं।
इसलिए,$(2 \overline{a}+\overline{b}) \cdot \overline{b} = 2(\overline{a} \cdot \overline{b}) + \overline{b} \cdot \overline{b} = 0 + 1 = 1$.
और $(2 \overline{a}+\overline{b}) \cdot \overline{a} = 2(\overline{a} \cdot \overline{a}) + \overline{b} \cdot \overline{a} = 2(1) + 0 = 2$.
अतः,व्यंजक $- \{1 \cdot \overline{a} - 2 \cdot \overline{b}\} = 2 \overline{b} - \overline{a}$ हो जाता है।
अब,$E = (\overline{a}-2 \overline{b}) \cdot (2 \overline{b} - \overline{a}) = -(\overline{a}-2 \overline{b}) \cdot (\overline{a}-2 \overline{b}) = -|\overline{a}-2 \overline{b}|^2$.
$|\overline{a}-2 \overline{b}|^2 = |\overline{a}|^2 + 4|\overline{b}|^2 - 4(\overline{a} \cdot \overline{b}) = 1 + 4(1) - 0 = 5$.
इसलिए,$E = -5$.

(A) सह-अंतिम किनारों $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ वाले चतुष्फलक का आयतन $V = \frac{1}{6} |[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]|$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $V = 12$,इसलिए $\frac{1}{6} |[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]| = 12$,जिसका अर्थ है कि $|[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]| = 72$ है।
अदिश त्रिक गुणन को $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c})$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$\bar{b} \times \bar{c}$ पर $\bar{a}$ का अदिश प्रक्षेप $\frac{\bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c})}{|\bar{b} \times \bar{c}|} = 4$ है।
मान लीजिए $X = |\bar{b} \times \bar{c}|$ है। तब $\frac{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]}{X} = 4$,इसलिए $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 4X$ है।
इस मान को आयतन के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $|4X| = 72$ प्राप्त होता है।
अतः,$4X = 72$,जिससे $X = \frac{72}{4} = 18$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$|\bar{b} \times \bar{c}| = 18$ है।

(C) माना $\bar{u} = \bar{a} \times \bar{b}$ और $\bar{v} = \bar{c} \times \bar{d}$ है।
दिया गया है कि $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}, \bar{d}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\bar{a}| = |\bar{b}| = |\bar{c}| = |\bar{d}| = 1$ है।
चूँकि $\bar{a} \cdot \bar{b} = \frac{1}{2}$ है,$\bar{a}$ और $\bar{b}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है,इसलिए $|\bar{a} \times \bar{b}| = |\bar{a}||\bar{b}| \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
इसी प्रकार,$|\bar{c} \times \bar{d}| = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
सदिश त्रिक गुणनफल सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,$[\bar{a} \bar{b} \bar{d}] \bar{c} - [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] \bar{d} = (\bar{a} \times \bar{b}) \times (\bar{c} \times \bar{d}) = \bar{u} \times \bar{v}$ है।
इसका परिमाण $|\bar{u} \times \bar{v}| = |\bar{u}| |\bar{v}| \sin(\theta)$ है,जहाँ $\theta = \frac{\pi}{6}$ है।
$|\bar{u} \times \bar{v}| = (\frac{\sqrt{3}}{2}) (\frac{\sqrt{3}}{2}) \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$ है।

(A) सदिशों $\vec{a}$,$\vec{b}$,और $\vec{c}$ द्वारा दर्शाए गए किनारों वाले समांतर षट्फलक का आयतन $V$ अदिश त्रिक गुणनफल के निरपेक्ष मान के बराबर होता है: $V = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$.
यह सदिशों के घटकों द्वारा निर्मित सारणिक के बराबर है:
$V = |\det \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ \lambda & 1 & 1-\lambda \\ \mu & \lambda & 1+\lambda-\mu \end{bmatrix}|$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$V = |1(1(1+\lambda-\mu) - \lambda(1-\lambda)) - 0 + (-1)(\lambda(\lambda) - 1(\mu))|$.
$V = |(1+\lambda-\mu - \lambda + \lambda^2) - (\lambda^2 - \mu)|$.
$V = |1 + \lambda^2 - \mu - \lambda - \lambda^2 + \mu|$.
$V = |1 - \lambda|$.
अतः,आयतन $V = |1 - \lambda|$ केवल $\lambda$ पर निर्भर करता है और $\mu$ से स्वतंत्र है।

(A) दिया गया है कि $\bar{a}$ और $\bar{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\bar{a}| = 1$ और $|\bar{c}| = 1$ है। उनके बीच का कोण $\theta = \frac{\pi}{3}$ है,इसलिए $\bar{a} \cdot \bar{c} = |\bar{a}| |\bar{c}| \cos(\frac{\pi}{3}) = 1 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हुए,$\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c}) = (\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{c}$ होता है।
इसे दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $((\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{c}) \cdot (\bar{a} \times \bar{c}) = 5$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(\bar{a} \times \bar{c})$,$\bar{a}$ और $\bar{c}$ दोनों के लंबवत है,इसलिए $\bar{c} \cdot (\bar{a} \times \bar{c}) = 0$ है।
इस प्रकार,समीकरण $(\bar{a} \cdot \bar{c}) \bar{b} \cdot (\bar{a} \times \bar{c}) = 5$ में सरल हो जाता है।
$\bar{a} \cdot \bar{c} = \frac{1}{2}$ रखने पर,हमें $\frac{1}{2} [\bar{b} \bar{a} \bar{c}] = 5$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $[\bar{b} \bar{a} \bar{c}] = 10$ है।
चूंकि अदिश त्रिक गुणन चक्रीय होता है,इसलिए $[\bar{b} \bar{a} \bar{c}] = [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 10$ है।

(B) समांतर षट्फलक का आयतन $V$,किनारों $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ के अदिश त्रिक गुणनफल $|\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\vec{a} = \hat{i}+x \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{j}+x \hat{k}$,और $\vec{c} = x \hat{i}+\hat{k}$ है।
आयतन सारणिक है:
$V = |\det \begin{bmatrix} 1 & x & 1 \\ 0 & 1 & x \\ x & 0 & 1 \end{bmatrix}|$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$V = |1(1-0) - x(0-x^2) + 1(0-x)| = |1 + x^3 - x|$.
माना $f(x) = x^3 - x + 1$ है। चरम मान के लिए $f'(x) = 3x^2 - 1 = 0$ रखने पर,$x^2 = \frac{1}{3}$,अतः $x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ पर,$f(\frac{1}{\sqrt{3}}) = 1 - \frac{2}{3\sqrt{3}}$.
$x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ पर,$f(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = 1 + \frac{2}{3\sqrt{3}}$.
अतः,अधिकतम मान $1 + \frac{2}{3\sqrt{3}}$ और न्यूनतम मान $1 - \frac{2}{3\sqrt{3}}$ है।

(D) शीर्षों $A, B, C, D$ वाले चतुष्फलक का आयतन $V = \frac{1}{6} |(\vec{a}-\vec{d}) \cdot ((\vec{b}-\vec{d}) \times (\vec{c}-\vec{d})))|$ द्वारा दिया जाता है।
वैकल्पिक रूप से,$V = \frac{1}{3} \times \text{Area}(\triangle ABC) \times h$,जहाँ $h$ बिंदु $D$ से शीर्षलंब है।
सबसे पहले,सदिश $\vec{AB} = (2, -2, -3)$ और $\vec{AC} = (4, 0, 6)$ ज्ञात करें।
क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = (-12, -24, 8)$ है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\vec{n}| = \frac{1}{2} \sqrt{144 + 576 + 64} = 14$ वर्ग इकाई।
आयतन $V = \frac{1}{6} |(\vec{AD}) \cdot (\vec{AB} \times \vec{AC})|$। $\vec{AD} = (-7, -7, 7)$।
$V = \frac{1}{6} |(-7, -7, 7) \cdot (-12, -24, 8)| = \frac{308}{6} = \frac{154}{3}$।
$V = \frac{1}{3} \times 14 \times h = \frac{154}{3}$ का उपयोग करने पर,$14h = 154$,अतः $h = 11$ इकाई।

(C) सह-अंतिम भुजाओं $\bar{a}$,$\bar{b}$,और $\bar{c}$ वाले चतुष्फलक का आयतन सूत्र $V = \frac{1}{6} |[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]|$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $V = 570$,इसलिए $|[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]| = 6 \times 570 = 3420$.
अदिश त्रिक गुणनफल $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$ सदिशों के घटकों द्वारा निर्मित सारणिक है:
$[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = \begin{vmatrix} -12 & 0 & p \\ 0 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & -15 \end{vmatrix}$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = -12(3(-15) - (-1)(1)) - 0 + p(0(1) - 3(2))$
$= -12(-45 + 1) + p(-6)$
$= -12(-44) - 6p = 528 - 6p$.
अतः $|528 - 6p| = 3420$,जिसके दो मामले हैं:
स्थिति $1$: $528 - 6p = 3420 \implies -6p = 2892 \implies p = -482$.
स्थिति $2$: $528 - 6p = -3420 \implies -6p = -3948 \implies p = 658$.
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$p = -482$ सही मान है।

(C) दिया गया सारणिक दो सदिश गुणनफलों के अदिश गुणनफल के लिए लैग्रेंज पहचान है,जिसे $(\bar{a} \times \bar{b}) \cdot (\bar{c} \times \bar{d}) = 0$ द्वारा दर्शाया जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) \cdot (3\hat{i} + 2\hat{j} + \lambda\hat{k}) = 0$.
अदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$(2)(3) + (3)(2) + (-1)(\lambda) = 0$.
$6 + 6 - \lambda = 0$.
$12 - \lambda = 0$.
अतः,$\lambda = 12$.

(C) $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ सह-अंतिम किनारों वाले चतुष्फलक का आयतन $V_{tetra} = \frac{1}{6} |[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]|$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $V_{tetra} = \frac{64}{3}$,इसलिए $\frac{1}{6} |[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]| = \frac{64}{3}$,जिसका अर्थ है कि $|[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]| = 128$.
$\bar{a}+\bar{b}, \bar{b}+\bar{c}, \bar{c}+\bar{a}$ सह-अंतिम किनारों वाले समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $|[(\bar{a}+\bar{b}) (\bar{b}+\bar{c}) (\bar{c}+\bar{a})]|$ द्वारा प्राप्त होता है।
अदिश त्रिक गुणनफल के गुण का उपयोग करते हुए,$[(\bar{a}+\bar{b}) (\bar{b}+\bar{c}) (\bar{c}+\bar{a})] = 2 [\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$.
अतः,आयतन $|2 [\bar{a} \bar{b} \bar{c}]| = 2 \times 128 = 256$ घन इकाई है।

(NONE) समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $|[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]|$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,अदिश त्रिक गुणनफल की गणना करें:
$[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & -1 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 1(12 - (-1)) - 1(6 - (-1)) + 1(2 - 4) = 1(13) - 1(7) + 1(-2) = 13 - 7 - 2 = 4$.
अतः,आयतन $V = 4$.
$\bar{a}$ और $\bar{b}$ द्वारा निर्मित आधार का क्षेत्रफल $|\bar{a} \times \bar{b}|$ है।
$\bar{a} \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - 4) - \hat{j}(-1 - 2) + \hat{k}(4 - 2) = -5\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$.
आधार का क्षेत्रफल = $|-5\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}| = \sqrt{(-5)^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 9 + 4} = \sqrt{38}$.
ऊँचाई $h = V / \text{आधार का क्षेत्रफल} = 4 / \sqrt{38} = 4\sqrt{38}/38 = 2\sqrt{38}/19$.

(B) दिए गए सारणिक समीकरण:
$\left|\begin{array}{lll} a & a^2 & 1+a^3 \\ b & b^2 & 1+b^3 \\ c & c^2 & 1+c^3 \end{array}\right|=0$
इसे दो सारणिकों में विभाजित किया जा सकता है:
$\left|\begin{array}{lll} a & a^2 & 1 \\ b & b^2 & 1 \\ c & c^2 & 1 \end{array}\right| + \left|\begin{array}{lll} a & a^2 & a^3 \\ b & b^2 & b^3 \\ c & c^2 & c^3 \end{array}\right| = 0$
दूसरे सारणिक से $abc$ कॉमन लेने पर:
$\left|\begin{array}{lll} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array}\right| + abc \left|\begin{array}{lll} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array}\right| = 0$
$(1 + abc) \left|\begin{array}{lll} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array}\right| = 0$
सारणिक $\left|\begin{array}{lll} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{array}\right|$ वेंडरमोंड सारणिक है,जिसका मान $(a-b)(b-c)(c-a)$ होता है।
चूंकि सदिश $\overline{p}, \overline{q}, \overline{r}$ असमतलीय हैं,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य नहीं है,जिसका अर्थ है कि $a, b, c$ अलग-अलग हैं,इसलिए $(a-b)(b-c)(c-a) \neq 0$।
अतः,$1 + abc = 0$,जिससे $abc = -1$ प्राप्त होता है।

(B) सबसे पहले,$|\bar{a}|^2 = 4^2 + 3^2 + 1^2 = 16 + 9 + 1 = 26$ की गणना करें।
साथ ही,$\bar{a} \cdot \bar{b} = (4)(1) + (3)(-2) + (1)(2) = 4 - 6 + 2 = 0$ है।
सदिश त्रिक गुणनफल सूत्र $\bar{a} \times (\bar{a} \times \bar{b}) = (\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{a} - (\bar{a} \cdot \bar{a})\bar{b}$ का उपयोग करते हुए,चूंकि $\bar{a} \cdot \bar{b} = 0$,हमें $\bar{a} \times (\bar{a} \times \bar{b}) = -|\bar{a}|^2 \bar{b} = -26\bar{b}$ प्राप्त होता है।
अब,मान लीजिए $\bar{v} = \bar{a} \times (\bar{a} \times \bar{b}) = -26\bar{b}$ है।
तब $\bar{a} \times (\bar{a} \times \bar{v}) = \bar{a} \times (\bar{a} \times (-26\bar{b})) = -26(\bar{a} \times (\bar{a} \times \bar{b}))$ होगा।
पिछले परिणाम को प्रतिस्थापित करने पर: $-26(-26\bar{b}) = 676\bar{b}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हुए,$\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c}) = (\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{c}$.
दिया गया है कि $\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c}) = \frac{1}{\sqrt{2}}\bar{b} + \frac{1}{\sqrt{2}}\bar{c}$.
$\bar{b}$ और $\bar{c}$ के गुणांकों की तुलना करने पर (चूंकि $\bar{b}$ और $\bar{c}$ असमतलीय हैं,इसलिए वे रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं),हमें प्राप्त होता है:
$\bar{a} \cdot \bar{c} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $-(\bar{a} \cdot \bar{b}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,जिसका अर्थ है $\bar{a} \cdot \bar{b} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
चूंकि $\bar{a}$ और $\bar{b}$ इकाई सदिश हैं,$\bar{a} \cdot \bar{b} = |\bar{a}||\bar{b}| \cos \theta = \cos \theta$.
अतः,$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
इसलिए,$\theta = \frac{3\pi}{4}$.

(C) सदिश त्रिक गुणनफल सूत्र $\bar{u} \times (\bar{v} \times \bar{w}) = (\bar{u} \cdot \bar{w})\bar{v} - (\bar{u} \cdot \bar{v})\bar{w}$ का उपयोग करते हुए,हम दिए गए व्यंजक का विस्तार करते हैं:
$\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c}) = (\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{c}$
$\bar{b} \times (\bar{c} \times \bar{a}) = (\bar{b} \cdot \bar{a})\bar{c} - (\bar{b} \cdot \bar{c})\bar{a}$
इनका योग करने पर: $(\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{b} - (\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{c} + (\bar{b} \cdot \bar{a})\bar{c} - (\bar{b} \cdot \bar{c})\bar{a} = \frac{1}{2}\bar{a}$
चूंकि $(\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{c}$ और $(\bar{b} \cdot \bar{a})\bar{c}$ कट जाते हैं,हमारे पास है: $(\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{b} - (\bar{b} \cdot \bar{c})\bar{a} = \frac{1}{2}\bar{a}$
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{b} = (\frac{1}{2} + \bar{b} \cdot \bar{c})\bar{a}$
चूंकि $\bar{a}$ और $\bar{b}$ संरेख नहीं हैं,गुणांक शून्य होने चाहिए: $\bar{a} \cdot \bar{c} = 0$ और $\frac{1}{2} + \bar{b} \cdot \bar{c} = 0$
$\bar{a} \cdot \bar{c} = 0 \implies \theta_{ac} = 90^{\circ}$
$\bar{b} \cdot \bar{c} = -\frac{1}{2} \implies |\bar{b}||\bar{c}| \cos(\theta_{bc}) = -\frac{1}{2} \implies (1)(1) \cos(\theta_{bc}) = -\frac{1}{2} \implies \theta_{bc} = 120^{\circ}$
अतः,कोण $90^{\circ}$ और $120^{\circ}$ हैं।

(A) दिया गया है कि $\bar{b} \cdot \bar{c} = |\bar{b}| |\bar{c}| \cos(45^{\circ}) = 8$.
मान रखने पर,$2 \times |\bar{c}| \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 8$,जिसका अर्थ है कि $|\bar{c}| = 4 \sqrt{2}$.
चूंकि $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ समतलीय हैं,सदिश $\bar{b} \times \bar{c}$ उस समतल के लंबवत है जिसमें $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ स्थित हैं।
इसलिए,$\bar{a}$ सदिश $\bar{b} \times \bar{c}$ के लंबवत है।
गुणधर्म $|\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c})| = |\bar{a}| |\bar{b} \times \bar{c}| \sin(90^{\circ}) = |\bar{a}| |\bar{b} \times \bar{c}|$ का उपयोग करते हुए।
हम जानते हैं कि $|\bar{b} \times \bar{c}| = |\bar{b}| |\bar{c}| \sin(45^{\circ}) = 2 \times 4 \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 8$.
अतः,$|\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c})| = 1 \times 8 = 8$.

(A) दिया गया है कि $\bar{b} \cdot \bar{c} = |\bar{b}| |\bar{c}| \cos(45^{\circ}) = 8$.
मान रखने पर,$2 \cdot |\bar{c}| \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 8$,जिसका अर्थ है कि $|\bar{c}| = 4\sqrt{2}$.
चूंकि $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ समतलीय हैं,सदिश $\bar{v} = (\bar{b} \times \bar{c})$ उस समतल के लंबवत है जिसमें $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ स्थित हैं।
अतः,$\bar{a}$ सदिश $(\bar{b} \times \bar{c})$ के लंबवत है।
इसलिए,$|\bar{a} \times (\bar{b} \times \bar{c})| = |\bar{a}| |\bar{b} \times \bar{c}| \sin(90^{\circ}) = |\bar{a}| |\bar{b} \times \bar{c}|$.
हम जानते हैं कि $|\bar{b} \times \bar{c}| = |\bar{b}| |\bar{c}| \sin(45^{\circ}) = 2 \cdot 4\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 8$.
चूंकि $|\bar{a}| = 1$,मान $1 \cdot 8 = 8$ है।