रेखा x = frac{y-1}{2} = frac{z-3}{lambda} और | vedclass

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Question

(A) रेखा का दिशा सदिश $\vec{b} = (1, 2, \lambda)$ है और समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, 2, 3)$ है।रेखा और समतल के बीच का कोण $	heta$ सूत्र $\sin \

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$\frac{2}{3}$

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(A) रेखा का दिशा सदिश $\vec{b} = (1, 2, \lambda)$ है और समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, 2, 3)$ है।रेखा और समतल के बीच का कोण $	heta$ सूत्र $\sin 	heta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ द्वारा दिया जाता है।दिया गया है $	heta = \cos^{-1} \sqrt{\frac{5}{14}}$,इसलिए $\cos 	heta = \sqrt{\frac{5}{14}}$,जिसका अर्थ है $\sin^2 	heta = 1 - \frac{5}{14} = \frac{9}{14}$,यानी $\sin 	heta = \frac{3}{\sqrt{14}}$.सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{|(1)(1) + (2)(2) + (3)(\lambda)|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + \lambda^2} \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$.$\frac{|5 + 3\lambda|}{\sqrt{5 + \lambda^2} \sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$.$|5 + 3\lambda| = 3 \sqrt{5 + \lambda^2}$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(5 + 3\lambda)^2 = 9(5 + \lambda^2)$.$25 + 30\lambda + 9\lambda^2 = 45 + 9\lambda^2$.$30\lambda = 20$.$\lambda = \frac{2}{3}$.

रेखा $x = \frac{y-1}{2} = \frac{z-3}{\lambda}$ और समतल $x + 2y + 3z = 6$ के बीच का कोण $\cos^{-1} \sqrt{\frac{5}{14}}$ है,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

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