समतलों 2x-y+z-3=0 और 4x-3y+5z+9=0 के प्रतिच्छ | vedclass

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Question

(B) समतलों $P_1: 2x-y+z-3=0$ और $P_2: 4x-3y+5z+9=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतलों के परिवार का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता

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$-48$

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(B) समतलों $P_1: 2x-y+z-3=0$ और $P_2: 4x-3y+5z+9=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतलों के परिवार का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है। $(2x-y+z-3) + \lambda(4x-3y+5z+9) = 0$ $(2+4\lambda)x + (-1-3\lambda)y + (1+5\lambda)z + (-3+9\lambda) = 0$. चूंकि समतल $(2, 4, 5)$ अनुपात वाली रेखा के समानांतर है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश रेखा के दिशा सदिश के लंबवत है। अतः,$2(2+4\lambda) + 4(-1-3\lambda) + 5(1+5\lambda) = 0$. $4 + 8\lambda - 4 - 12\lambda + 5 + 25\lambda = 0$. $21\lambda + 5 = 0 \implies \lambda = -\frac{5}{21}$. $\lambda$ का मान समीकरण में रखने पर: $(2 - \frac{20}{21})x + (-1 + \frac{15}{21})y + (1 - \frac{25}{21})z + (-3 - \frac{45}{21}) = 0$. $(\frac{42-20}{21})x + (\frac{-21+15}{21})y + (\frac{21-25}{21})z + (\frac{-63-45}{21}) = 0$. $22x - 6y - 4z - 108 = 0$. $2$ से विभाजित करने पर: $11x - 3y - 2z - 54 = 0$. यहाँ $\alpha=11, \beta=-3, \gamma=-2, d=-54$. $\alpha+\beta+\gamma+d = 11 - 3 - 2 - 54 = -48$.

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समतलों $ax + by + cz + d = 0$ और $a'x + b'y + c'z + d' = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले और रेखा $y = 0, z = 0$ के समांतर समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

यदि रेखा $x = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 3}{\lambda}$ और समतल $x + 2y + 3z = 4$ के बीच का कोण $\cos^{-1}\left(\sqrt{\frac{5}{14}}\right)$ है,तो $\lambda = \dots$

$x + y + z = 1$ और $2x + 3y - z + 4 = 0$ समतलों के प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले और $x$-अक्ष के समांतर समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

रेखा $\frac{x - 1}{2} = -(y + 1) = \frac{z}{3}$ और समतल $3x + 2y - z = 5$ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। उस बिंदु के निर्देशांक हैं:

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