रेखा $\frac{x+1}{2}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-2}{3}$ और बिंदु $(1,-1,3)$ को समाहित करने वाले समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $P (-2,-1,1)$ और $Q \left(\frac{56}{17}, \frac{43}{17}, \frac{111}{17}\right)$ समचतुर्भुज $PRQS$ के शीर्ष हैं। यदि विकर्ण $RS$ के दिक्-अनुपात $\alpha, -1, \beta$ हैं,जहाँ $\alpha$ और $\beta$ दोनों न्यूनतम निरपेक्ष मान वाले पूर्णांक हैं,तो $\alpha^{2}+\beta^{2}$ का मान $.....$ है।

रेखा $\vec{r} = (\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) + \lambda(\hat{i} + \hat{j} - \hat{k})$ और समतल $\vec{r} \cdot (-2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = 0$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

एक बिंदु $P$,$Q(1, -2, 3)$ से गुजरने वाली और रेखा $\frac{x}{1} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}$ के समानांतर एक रेखा पर स्थित है। यदि $P$,समतल $2x + 3y - 4z + 22 = 0$ पर स्थित है,तो रेखाखंड $PQ$ की लंबाई ज्ञात कीजिए।

समतलों $\vec{r} \cdot(\hat{i}+3 \hat{j})-6=0$ और $\vec{r} \cdot(3 \hat{i}-\hat{j}-4 \hat{k})=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए,जिसकी मूल बिंदु से लंबवत दूरी एक इकाई है।

समतलों $\overline{r} \cdot(3 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})=1$ और $\overline{r} \cdot(\hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k})=2$ की प्रतिच्छेदन रेखा निम्नलिखित में से किस सदिश के समांतर है?