MHT CET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) बिंदु $P(x_1, y_1, z_1) = (1, -2, 1)$ की समतल $Ax + By + Cz - D = 0$ से दूरी $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 - D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए समतल $x + 2y - 2z - \alpha = 0$ के लिए,$A=1, B=2, C=-2, D=\alpha$ है।
मान रखने पर: $5 = \frac{|1(1) + 2(-2) - 2(1) - \alpha|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}} = \frac{|1 - 4 - 2 - \alpha|}{\sqrt{9}} = \frac{|-5 - \alpha|}{3}$.
चूंकि $\alpha > 0$,इसलिए $|-5 - \alpha| = 5 + \alpha$ होगा। अतः,$5 = \frac{5 + \alpha}{3} \implies 15 = 5 + \alpha \implies \alpha = 10$.
समतल का समीकरण $x + 2y - 2z = 10$ है।
$P(1, -2, 1)$ से गुजरने वाली और समतल के लंबवत रेखा के दिक अनुपात $(1, 2, -2)$ हैं। रेखा का समीकरण $\frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{2} = \frac{z-1}{-2} = k$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(k+1, 2k-2, -2k+1)$ के रूप में होगा।
चूंकि यह बिंदु समतल पर स्थित है: $(k+1) + 2(2k-2) - 2(-2k+1) = 10$.
$k + 1 + 4k - 4 + 4k - 2 = 10 \implies 9k - 5 = 10 \implies 9k = 15 \implies k = \frac{5}{3}$.
$k = \frac{5}{3}$ को बिंदु के निर्देशांकों में रखने पर: $x = \frac{5}{3} + 1 = \frac{8}{3}$,$y = 2(\frac{5}{3}) - 2 = \frac{4}{3}$,$z = -2(\frac{5}{3}) + 1 = -\frac{7}{3}$.
अतः,लंब के पाद के निर्देशांक $\left(\frac{8}{3}, \frac{4}{3}, -\frac{7}{3}\right)$ हैं।

(A) माना रेखा $L: \frac{x-1}{2} = \frac{y-3}{4} = \frac{z-2}{3} = k$ है। रेखा पर कोई बिंदु $Q(2k+1, 4k+3, 3k+2)$ है।
सदिश $\vec{PQ} = (2k+1-3, 4k+3-8, 3k+2-2) = (2k-2, 4k-5, 3k)$ है।
रेखाखंड $PQ$ समतल $3x + 2y - 2z + 15 = 0$ के समांतर है, इसलिए यह समतल के अभिलंब $\vec{n} = (3, 2, -2)$ के लंबवत होगा।
अतः, $\vec{PQ} \cdot \vec{n} = 0$।
$(2k-2)(3) + (4k-5)(2) + (3k)(-2) = 0$।
$6k - 6 + 8k - 10 - 6k = 0$।
$8k - 16 = 0 \implies k = 2$।
$k=2$ रखने पर, $\vec{PQ} = (2(2)-2, 4(2)-5, 3(2)) = (2, 3, 6)$।
दूरी $\vec{PQ}$ का परिमाण है: $\sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7 \text{ इकाई}$।

(A) रेखा का समीकरण $\bar{r} = \bar{a} + \lambda \bar{b}$ है,जहाँ $\bar{a} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ और $\bar{b} = \hat{i} - 2\hat{j}$ है।
समतल का समीकरण $\bar{r} \cdot \bar{n} = d$ है,जहाँ $\bar{n} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $d = 4$ है।
सबसे पहले,$\bar{b} \cdot \bar{n} = (1)(2) + (-2)(1) + (0)(1) = 2 - 2 + 0 = 0$ की गणना करके जाँचें कि क्या रेखा समतल के समानांतर है।
चूँकि $\bar{b} \cdot \bar{n} = 0$ है,इसलिए रेखा समतल के समानांतर है।
समानांतर रेखा और समतल के बीच की दूरी $D = \frac{|\bar{a} \cdot \bar{n} - d|}{|\bar{n}|}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$\bar{a} \cdot \bar{n} = (3)(2) + (-2)(1) + (1)(1) = 6 - 2 + 1 = 5$ की गणना करें।
$|\bar{n}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$ की गणना करें।
अतः,$D = \frac{|5 - 4|}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$ इकाई।

(A) समतल का समीकरण प्राचलिक रूप में $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b} + \mu\vec{c}$ दिया गया है,जहाँ $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j}$,$\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,और $\vec{c} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
समतल के अभिलंब सदिश $\vec{n}$ को ज्ञात करने के लिए,हम सदिश गुणनफल $\vec{n} = \vec{b} \times \vec{c}$ की गणना करते हैं:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3 - (-2)) - \hat{j}(3 - 1) + \hat{k}(-2 - 1) = 5\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}$.
समतल का कार्तीय समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ है,जिसे $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\vec{a} \cdot \vec{n} = (\hat{i} - \hat{j}) \cdot (5\hat{i} - 2\hat{j} - 3\hat{k}) = (1)(5) + (-1)(-2) + (0)(-3) = 5 + 2 = 7$.
अतः,समतल का समीकरण $5x - 2y - 3z = 7$ है।
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल $Ax + By + Cz = D$ की दूरी $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होती है।
यहाँ,$A = 5, B = -2, C = -3$,और $D = 7$ है।
$d = \frac{|7|}{\sqrt{5^2 + (-2)^2 + (-3)^2}} = \frac{7}{\sqrt{25 + 4 + 9}} = \frac{7}{\sqrt{38}}$ इकाई।

(A) रेखा बिंदुओं $A(1,3,2)$ और $B(1,2,1)$ से गुजरती है। रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = B - A = (1-1, 2-3, 1-2) = (0, -1, -1)$ है।
समतल बिंदु $P(2,1,-1)$ और $A(1,3,2)$ से गुजरता है। सदिश $\vec{PA} = (1-2, 3-1, 2-(-1)) = (-1, 2, 3)$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{v} \times \vec{PA} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-3+2) - \hat{j}(0-1) + \hat{k}(0-1) = -\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ है।
समतल का समीकरण $-1(x-2) + 1(y-1) - 1(z+1) = 0$ है,जो सरल होकर $-x+2+y-1-z-1 = 0$ यानी $-x+y-z = 0$ या $x-y+z = 0$ हो जाता है।
चूंकि यह समतल मूल बिंदु $(0,0,0)$ से गुजरता है,इसलिए अंतःखंड $p, q, r$ सभी $0$ हैं।
अतः,$p+q+r = 0+0+0 = 0$।

(A) बिंदु $P(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$ वाले समतल का समीकरण $a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1) = 0$ होता है।
यहाँ,मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल पर खींचे गए लंब का पाद $P(2, -1, 4)$ है।
इसका अर्थ है कि सदिश $\vec{OP} = (2, -1, 4)$ समतल का अभिलंब सदिश है।
अतः,$a = 2, b = -1, c = 4$.
समतल का समीकरण $2(x-2) - 1(y-(-1)) + 4(z-4) = 0$ होगा।
$2(x-2) - 1(y+1) + 4(z-4) = 0$.
$2x - 4 - y - 1 + 4z - 16 = 0$.
$2x - y + 4z - 21 = 0$.

(C) दिया गया समीकरण $x^2 - 8x + 12 = 0$ है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,हमें $(x - 6)(x - 2) = 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $x = 6$ या $x = 2$ है।
$3$-आयामी अंतरिक्ष में,समीकरण $x = k$ एक $YZ$-समतल के समानांतर समतल को दर्शाता है।
इसलिए,$x = 6$ और $x = 2$ दो अलग-अलग समतलों को दर्शाते हैं,जो दोनों $YZ$-समतल के समानांतर हैं।

(D) किसी बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ पर लंब की लंबाई का सूत्र $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ है।
दिया गया बिंदु $P = (1, 1.5, 2)$ और समतल $2x - 2y + 4z + 17 = 0$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$d = \frac{|2(1) - 2(1.5) + 4(2) + 17|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 4^2}}$
$d = \frac{|2 - 3 + 8 + 17|}{\sqrt{4 + 4 + 16}}$
$d = \frac{|24|}{\sqrt{24}}$
$d = \sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6}$ इकाई।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) समतल का समीकरण $\frac{x}{2} - \frac{y}{3} - \frac{z}{5} = 1$ है।
इसे अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ के साथ तुलना करने पर,हमें अक्षों पर अंतःखंड $a = 2, b = -3, c = -5$ प्राप्त होते हैं।
अतः,बिंदुओं के निर्देशांक $A(2, 0, 0)$,$B(0, -3, 0)$ और $C(0, 0, -5)$ हैं।
शीर्षों $(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2)$ और $(x_3, y_3, z_3)$ वाले त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \sqrt{(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\text{Area} = \frac{1}{2} \sqrt{(2 \times -3)^2 + (-3 \times -5)^2 + (-5 \times 2)^2}$.
$\text{Area} = \frac{1}{2} \sqrt{(-6)^2 + (15)^2 + (-10)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{36 + 225 + 100} = \frac{1}{2} \sqrt{361} = \frac{19}{2}$ वर्ग इकाई।

(B) समतल का समीकरण $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{6} = 1$ है।
समतल निर्देशांक अक्षों को $A, B, C$ बिंदुओं पर काटता है।
$y=0, z=0$ रखने पर,$x=2$ प्राप्त होता है,अतः $A = (2, 0, 0)$।
$x=0, z=0$ रखने पर,$y=3$ प्राप्त होता है,अतः $B = (0, 3, 0)$।
$x=0, y=0$ रखने पर,$z=6$ प्राप्त होता है,अतः $C = (0, 0, 6)$।
भुजाओं को दर्शाने वाले सदिश $\vec{AB} = B - A = (-2, 3, 0)$ और $\vec{AC} = C - A = (-2, 0, 6)$ हैं।
त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$ द्वारा दिया जाता है।
सदिश गुणनफल की गणना: $\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 3 & 0 \\ -2 & 0 & 6 \end{vmatrix} = 18\hat{i} + 12\hat{j} + 6\hat{k}$।
इसका परिमाण $\sqrt{18^2 + 12^2 + 6^2} = \sqrt{504} = 6\sqrt{14}$ है।
अतः,क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 6\sqrt{14} = 3\sqrt{14}$ वर्ग इकाई है।

(B) माना बिंदु $P(x_1, y_1, z_1) = (-1, 2, -4)$ है और समतल $ax + by + cz + d = 0$ है,जहाँ $a = 1, b = -1, c = -2, d = 1$ है।
माना प्रतिबिंब $P'(x', y', z')$ है।
समतल $ax + by + cz + d = 0$ में बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ के प्रतिबिंब का सूत्र है:
$\frac{x' - x_1}{a} = \frac{y' - y_1}{b} = \frac{z' - z_1}{c} = -2 \frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{a^2 + b^2 + c^2}$.
सबसे पहले $ax_1 + by_1 + cz_1 + d$ का मान ज्ञात करें:
$1(-1) - 1(2) - 2(-4) + 1 = -1 - 2 + 8 + 1 = 6$.
अब $a^2 + b^2 + c^2$ का मान ज्ञात करें:
$1^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = 1 + 1 + 4 = 6$.
अब इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{x' - (-1)}{1} = \frac{y' - 2}{-1} = \frac{z' - (-4)}{-2} = -2 \frac{6}{6} = -2$.
$x', y', z'$ के लिए हल करने पर:
$x' + 1 = -2 \implies x' = -3$.
$y' - 2 = 2 \implies y' = 4$.
$z' + 4 = 4 \implies z' = 0$.
अतः,प्रतिबिंब $(-3, 4, 0)$ है।

(A) मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल पर खींचे गए लंब का पाद $P(-1, -1, 2)$ है।
यह बिंदु $P$ समतल पर स्थित है और सदिश $\vec{OP} = -\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ समतल का अभिलंब है।
बिंदु $\vec{a}$ से गुजरने वाले और अभिलंब $\vec{n}$ वाले समतल का समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ होता है।
यहाँ,$\vec{a} = -\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{n} = -\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $((x+1)\hat{i} + (y+1)\hat{j} + (z-2)\hat{k}) \cdot (-\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) = 0$.
$-(x+1) - (y+1) + 2(z-2) = 0$.
$-x - 1 - y - 1 + 2z - 4 = 0$.
$-x - y + 2z - 6 = 0$.
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $x + y - 2z + 6 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दो समतलों $P_1: x+2y-z+1=0$ और $P_2: 3x-y-4z+3=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x+2y-z+1) + \lambda(3x-y-4z+3) = 0$.
चूंकि यह समतल बिंदु $(1,1,1)$ से गुजरता है,हम $x=1, y=1, z=1$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(1+2(1)-1+1) + \lambda(3(1)-1-4(1)+3) = 0$.
$(1+2-1+1) + \lambda(3-1-4+3) = 0$.
$3 + \lambda(1) = 0 \implies \lambda = -3$.
अब $\lambda = -3$ को मुख्य समीकरण में रखने पर:
$(x+2y-z+1) - 3(3x-y-4z+3) = 0$.
$x+2y-z+1 - 9x+3y+12z-9 = 0$.
$-8x + 5y + 11z - 8 = 0$.
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $8x - 5y - 11z + 8 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दो समतलों $P_1: \overline{r} \cdot \overline{n}_1 = d_1$ और $P_2: \overline{r} \cdot \overline{n}_2 = d_2$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण $(\overline{r} \cdot \overline{n}_1 - d_1) + \lambda(\overline{r} \cdot \overline{n}_2 - d_2) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए समतल $P_1: \overline{r} \cdot(2 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}) - 1 = 0$ और $P_2: \overline{r} \cdot(\hat{i}-\hat{j}) + 4 = 0$ हैं।
अपेक्षित समतल का समीकरण $\overline{r} \cdot((2+\lambda) \hat{i} + (-3-\lambda) \hat{j} + 4 \hat{k}) - 1 + 4\lambda = 0$ होगा।
यह समतल $\overline{r} \cdot(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) + 8 = 0$ के लंबवत है।
इसलिए,उनके अभिलंब सदिशों का अदिश गुणनफल शून्य होगा: $(2+\lambda)(2) + (-3-\lambda)(-1) + (4)(1) = 0$.
$4 + 2\lambda + 3 + \lambda + 4 = 0 \implies 3\lambda + 11 = 0 \implies \lambda = -\frac{11}{3}$.
$\lambda$ का मान समतल के समीकरण में रखने पर: $\overline{r} \cdot((2-\frac{11}{3}) \hat{i} + (-3+\frac{11}{3}) \hat{j} + 4 \hat{k}) - 1 + 4(-\frac{11}{3}) = 0$.
$\overline{r} \cdot(-\frac{5}{3} \hat{i} + \frac{2}{3} \hat{j} + 4 \hat{k}) - 1 - \frac{44}{3} = 0$.
$3$ से गुणा करने पर: $\overline{r} \cdot(-5 \hat{i} + 2 \hat{j} + 12 \hat{k}) - 3 - 44 = 0$.
$\overline{r} \cdot(-5 \hat{i} + 2 \hat{j} + 12 \hat{k}) = 47$.
$\overline{r} \cdot(-5 \hat{i} + 2 \hat{j} + 12 \hat{k}) = \mu$ से तुलना करने पर,हमें $\mu = 47$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{n_2} = 3\hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ हैं।
चूंकि अभीष्ट समतल दोनों के लंबवत है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$ होगा।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ 3 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - 6) - \hat{j}(2 - 6) + \hat{k}(3 - 6) = -2\hat{i} + 4\hat{j} - 3\hat{k}$.
हम अभिलंब सदिश को $\vec{n} = 2\hat{i} - 4\hat{j} + 3\hat{k}$ के रूप में ले सकते हैं।
बिंदु $(x_0, y_0, z_0) = (1, 2, 1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ है।
$2(x - 1) - 4(y - 2) + 3(z - 1) = 0$.
$2x - 2 - 4y + 8 + 3z - 3 = 0$.
$2x - 4y + 3z + 3 = 0$.

(A) तीन बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$ और $(x_3, y_3, z_3)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} = 0$.
बिंदुओं $(2,1,0)$,$(3,-2,4)$ और $(1,-3,3)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\begin{vmatrix} x-2 & y-1 & z \\ 1 & -3 & 4 \\ -1 & -4 & 3 \end{vmatrix} = 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर:
$(x-2)(-9 + 16) - (y-1)(3 + 4) + z(-4 - 3) = 0$
$7(x-2) - 7(y-1) - 7z = 0 \implies x - y - z - 1 = 0$.
बिंदु $(x_0, y_0, z_0)$ की समतल $ax + by + cz + d = 0$ से दूरी $d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ होती है।
बिंदु $(5,3,-1)$ और समतल $x - y - z - 1 = 0$ के लिए:
$d = \frac{|1(5) - 1(3) - 1(-1) - 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + (-1)^2}} = \frac{|5 - 3 + 1 - 1|}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ इकाई।

(A) माना समतल का समीकरण $a(x-1) + by + cz = 0$ है,जिसे $ax + by + cz - a = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह $(0,1,0)$ से गुजरता है,इसलिए $a(0) + b(1) + c(0) - a = 0$,जिसका अर्थ है $b = a$।
अतः समीकरण $ax + ay + cz - a = 0$ या $x + y + \frac{c}{a}z - 1 = 0$ बन जाता है।
माना $k = \frac{c}{a}$,तो अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (1, 1, k)$ है।
समतल $x+y-3=0$ का अभिलंब $\vec{n_2} = (1, 1, 0)$ है।
दोनों समतलों के बीच का कोण $45^{\circ}$ है,इसलिए $\cos(45^{\circ}) = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$।
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{|1+1+0|}{\sqrt{1^2+1^2+k^2} \sqrt{1^2+1^2+0^2}} = \frac{2}{\sqrt{2+k^2} \sqrt{2}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{2} = \frac{4}{2(2+k^2)}$,जो $2+k^2 = 4$ देता है,इसलिए $k^2 = 2$,अर्थात $k = \pm \sqrt{2}$।
$k$ का मान रखने पर,हमें $x + y \pm \sqrt{2}z - 1 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) रेखा $\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{2}$ है,इसलिए इसका दिशा सदिश $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
समतल $2x - y + \sqrt{\lambda}z + 4 = 0$ है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} - \hat{j} + \sqrt{\lambda}\hat{k}$ है।
रेखा और समतल के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ है।
दिया गया है कि $\sin \theta = \frac{1}{3}$,इसलिए $\frac{1}{3} = \frac{|(1)(2) + (2)(-1) + (2)(\sqrt{\lambda})|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (\sqrt{\lambda})^2}}$.
$\frac{1}{3} = \frac{|2 - 2 + 2\sqrt{\lambda}|}{\sqrt{9} \sqrt{5 + \lambda}} = \frac{2\sqrt{\lambda}}{3\sqrt{5 + \lambda}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{1}{9} = \frac{4\lambda}{9(5 + \lambda)}$.
$5 + \lambda = 4\lambda$,जिसका अर्थ है कि $3\lambda = 5$,इसलिए $\lambda = \frac{5}{3}$.
अतः,$\lambda + 1 = \frac{5}{3} + 1 = \frac{8}{3}$.

(A) चार बिंदु $A, B, C, D$ समतलीय होते हैं यदि सदिशों $\vec{DA}, \vec{DB}, \vec{DC}$ का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो।
दिया है $A(2-x, 2, 2)$,$B(2, 2-y, 2)$,$C(2, 2, 2-z)$ और $D(1, 1, 1)$।
$\vec{DA} = (1-x, 1, 1)$,$\vec{DB} = (1, 1-y, 1)$,$\vec{DC} = (1, 1, 1-z)$।
सारणिक $\begin{vmatrix} 1-x & 1 & 1 \\ 1 & 1-y & 1 \\ 1 & 1 & 1-z \end{vmatrix} = 0$ का उपयोग करने पर।
विस्तार करने पर: $(1-x)(yz-y-z) + z + y = 0$।
$yz - y - z - xyz + xy + xz + z + y = 0$।
$yz + xy + xz - xyz = 0$।
$xyz$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1$।

(A) दो रेखाएँ $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ समतलीय होती हैं यदि $\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$ हो।
यहाँ,$(x_1, y_1, z_1) = (3, 2, 5)$,$(a_1, b_1, c_1) = (1, 1, -k)$,$(x_2, y_2, z_2) = (4, 3, 3)$,और $(a_2, b_2, c_2) = (k, 1, 2)$ है।
शर्त के अनुसार $\begin{vmatrix} 4-3 & 3-2 & 3-5 \\ 1 & 1 & -k \\ k & 1 & 2 \end{vmatrix} = 0$.
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & -k \\ k & 1 & 2 \end{vmatrix} = 0$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $1(2 - (-k)) - 1(2 - (-k^2)) - 2(1 - k) = 0$.
$1(2 + k) - 1(2 + k^2) - 2 + 2k = 0$.
$2 + k - 2 - k^2 - 2 + 2k = 0$.
$-k^2 + 3k - 2 = 0$.
$k^2 - 3k + 2 = 0$.
$(k-1)(k-2) = 0$.
अतः,$k = 1$ या $k = 2$।

(D) दो समतलों की प्रतिच्छेदन रेखा दोनों समतलों के अभिलंब सदिशों के लंबवत होती है। मान लीजिए अभिलंब सदिश $\vec{n}_1 = 3 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{n}_2 = \hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k}$ हैं।
प्रतिच्छेदन रेखा का दिशा सदिश $\vec{v}$ अभिलंब सदिशों के क्रॉस गुणनफल द्वारा दिया जाता है: $\vec{v} = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2$.
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 1 \\ 1 & 4 & -2 \end{vmatrix}$.
$\vec{v} = \hat{i}((-1)(-2) - (1)(4)) - \hat{j}((3)(-2) - (1)(1)) + \hat{k}((3)(4) - (-1)(1))$.
$\vec{v} = \hat{i}(2 - 4) - \hat{j}(-6 - 1) + \hat{k}(12 + 1)$.
$\vec{v} = -2 \hat{i} + 7 \hat{j} + 13 \hat{k}$.
अतः,रेखा $-2 \hat{i} + 7 \hat{j} + 13 \hat{k}$ सदिश के समांतर है।

(B) रेखाएँ $L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{k}=\frac{z}{2}$ और $L_2: \frac{x+1}{5}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{k}$ द्वारा दी गई हैं।
चूँकि रेखाएँ समतलीय हैं,शर्त $\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$ है।
यहाँ,$(x_1, y_1, z_1) = (1, -1, 0)$ और $(x_2, y_2, z_2) = (-1, -1, 0)$ है।
अतः,$\begin{vmatrix} -1-1 & -1-(-1) & 0-0 \\ 2 & k & 2 \\ 5 & 2 & k \end{vmatrix} = 0 \implies \begin{vmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 2 & k & 2 \\ 5 & 2 & k \end{vmatrix} = 0$ है।
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $-2(k^2 - 4) = 0 \implies k^2 = 4 \implies k = \pm 2$ है।
स्थिति $1$: यदि $k=2$,तो रेखाएँ $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{2}$ और $\frac{x+1}{5}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{2}$ हैं। अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 2 & 2 \\ 5 & 2 & 2 \end{vmatrix} = 0\hat{i} + 6\hat{j} - 6\hat{k}$ है। समतल का समीकरण $0(x-1) + 6(y+1) - 6(z-0) = 0 \implies y - z + 1 = 0$ है।
स्थिति $2$: यदि $k=-2$,तो रेखाएँ $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z}{2}$ और $\frac{x+1}{5}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{-2}$ हैं। अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & 2 \\ 5 & 2 & -2 \end{vmatrix} = 0\hat{i} + 14\hat{j} + 14\hat{k}$ है। समतल का समीकरण $0(x-1) + 14(y+1) + 14(z-0) = 0 \implies y + z + 1 = 0$ है।
दोनों को मिलाने पर,समीकरण $y \pm z + 1 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) रेखा का समीकरण $\frac{x-0}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-3}{\lambda}$ है। रेखा का दिशा सदिश $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + \lambda\hat{k}$ है।
समतल $x + 2y + 3z = 4$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
माना रेखा और समतल के बीच का कोण $\theta$ है। तब $\sin \theta = \frac{|\vec{b} \cdot \vec{n}|}{|\vec{b}| |\vec{n}|}$ होता है।
दिया है $\theta = \cos^{-1} \sqrt{\frac{5}{14}}$,इसलिए $\cos \theta = \sqrt{\frac{5}{14}}$,जिसका अर्थ है $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{5}{14} = \frac{9}{14}$.
अतः,$\sin \theta = \frac{3}{\sqrt{14}}$.
$\sin \theta$ के लिए सूत्र $\frac{|(1)(1) + (2)(2) + (\lambda)(3)|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + \lambda^2} \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{|5 + 3\lambda|}{\sqrt{5 + \lambda^2} \sqrt{14}}$ है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{|5 + 3\lambda|}{\sqrt{5 + \lambda^2} \sqrt{14}} = \frac{3}{\sqrt{14}}$.
$|5 + 3\lambda| = 3\sqrt{5 + \lambda^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(5 + 3\lambda)^2 = 9(5 + \lambda^2)$.
$25 + 30\lambda + 9\lambda^2 = 45 + 9\lambda^2$.
$30\lambda = 20$.
$\lambda = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$.

(A) $Q(3,-4,-5)$ और $R(2,-3,1)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-3}{2-3} = \frac{y-(-4)}{-3-(-4)} = \frac{z-(-5)}{1-(-5)}$ है।
इसे सरल करने पर $\frac{x-3}{-1} = \frac{y+4}{1} = \frac{z+5}{6} = k$ प्राप्त होता है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(3-k, -4+k, -5+6k)$ है।
चूंकि यह बिंदु समतल $2x+y+z=7$ पर स्थित है,हम निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(3-k) + (-4+k) + (-5+6k) = 7$.
$6 - 2k - 4 + k - 5 + 6k = 7$.
$5k - 3 = 7 \implies 5k = 10 \implies k = 2$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(3-2, -4+2, -5+12) = (1, -2, 7)$ है।
$P(3,4,4)$ और $(1,-2,7)$ के बीच की दूरी $\sqrt{(3-1)^2 + (4-(-2))^2 + (4-7)^2}$ है।
$= \sqrt{2^2 + 6^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 36 + 9} = \sqrt{49} = 7$ इकाई।

(A) रेखाएँ $L_1: \frac{x}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z+3}{\lambda}$ और $L_2: \frac{x-2}{2} = \frac{y-6}{3} = \frac{z-3}{\lambda}$ हैं।
रेखाओं पर बिंदु $A(0, 2, -3)$ और $B(2, 6, 3)$ हैं।
दिशा सदिश $\vec{v_1} = \hat{i} + 2\hat{j} + \lambda\hat{k}$ और $\vec{v_2} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \lambda\hat{k}$ हैं।
समतल का अभिलंब $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = -\lambda\hat{i} + \lambda\hat{j} - \hat{k}$ है।
समतल का समीकरण $-\lambda x + \lambda y - 2\lambda - z - 3 = 0$ है।
इसे $-\lambda(x - y + 2) - (z + 3) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\lambda$ के सभी मानों के लिए,$x - y + 2 = 0$ और $z = -3$ होना चाहिए।

(D) रेखा बिंदु $P(3, -5, -2)$ से होकर गुजरती है। चूँकि रेखा समतल $\alpha x + 3y - z + \beta = 0$ में स्थित है,इसलिए बिंदु $P$ को समतल के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए:
$\alpha(3) + 3(-5) - (-2) + \beta = 0$
$3\alpha - 15 + 2 + \beta = 0$
$3\alpha + \beta = 13$ (समीकरण $1$)।
साथ ही,रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$,समतल के अभिलंब सदिश $\vec{n} = \alpha\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ के लंबवत होना चाहिए।
अतः,$\vec{v} \cdot \vec{n} = 0$:
$(2)(\alpha) + (-1)(3) + (2)(-1) = 0$
$2\alpha - 3 - 2 = 0$
$2\alpha = 5$
$\alpha = \frac{5}{2}$।
$\alpha = \frac{5}{2}$ को समीकरण $1$ में रखने पर:
$3(\frac{5}{2}) + \beta = 13$
$\frac{15}{2} + \beta = 13$
$\beta = 13 - \frac{15}{2} = \frac{26-15}{2} = \frac{11}{2}$।
अतः,$\alpha = \frac{5}{2}$ और $\beta = \frac{11}{2}$ प्राप्त होते हैं।

(D) सबसे पहले,रेखाओं को सममित रूप में लिखें:
रेखा $1$: $x = a(y - 1/a) = z - 2 \implies \frac{x}{1} = \frac{y - 1/a}{1/a} = \frac{z - 2}{1}$. बिंदु $P_1 = (0, 1/a, 2)$,दिशा सदिश $\vec{v_1} = (1, 1/a, 1)$.
रेखा $2$: $x = 3(y - 2/3) = b(z - 2/b) \implies \frac{x}{1} = \frac{y - 2/3}{1/3} = \frac{z - 2/b}{1/b}$. बिंदु $P_2 = (0, 2/3, 2/b)$,दिशा सदिश $\vec{v_2} = (1, 1/3, 1/b)$.
रेखाओं के समतलीय होने के लिए,अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{P_1P_2}, \vec{v_1}, \vec{v_2}] = 0$ होना चाहिए।
$\vec{P_1P_2} = (0, 2/3 - 1/a, 2/b - 2)$.
सारणिक है:
$|\begin{matrix} 0 & 2/3 - 1/a & 2/b - 2 \\ 1 & 1/a & 1 \\ 1 & 1/3 & 1/b \end{matrix}| = 0$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$-(2/3 - 1/a)(1/b - 1) + (2/b - 2)(1/3 - 1/a) = 0$.
$-(2/3 - 1/a)(1/b - 1) + 2(1/b - 1)(1/3 - 1/a) = 0$.
$(1/b - 1) [-(2/3 - 1/a) + 2(1/3 - 1/a)] = 0$.
$(1/b - 1) [-2/3 + 1/a + 2/3 - 2/a] = 0$.
$(1/b - 1)(-1/a) = 0$.
चूंकि $a \neq 0$,इसलिए $1/b - 1 = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $b = 1$.
अतः,$b = 1$ और $a$ कोई भी अशून्य वास्तविक संख्या हो सकती है। सही विकल्प $D$ है।

(A) बिंदु $A(3, -4, 5)$ से गुजरने वाली और रेखा $\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{-2}$ के समानांतर रेखा का समीकरण $\frac{x-3}{2} = \frac{y+4}{1} = \frac{z-5}{-2} = r$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $P(2r+3, r-4, -2r+5)$ के रूप का है।
चूंकि यह बिंदु $P$ समतल $2x + 5y - 6z = 16$ पर स्थित है,हम $P$ के निर्देशांक को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(2r+3) + 5(r-4) - 6(-2r+5) = 16$.
$4r + 6 + 5r - 20 + 12r - 30 = 16$.
$21r - 44 = 16$.
$21r = 60$.
$r = \frac{60}{21} = \frac{20}{7}$.
दूरी $AP$,$(3, -4, 5)$ और $(2r+3, r-4, -2r+5)$ के बीच की दूरी है,जो $\sqrt{(2r)^2 + (r)^2 + (-2r)^2} = \sqrt{4r^2 + r^2 + 4r^2} = \sqrt{9r^2} = 3|r|$ है।
$r = \frac{20}{7}$ रखने पर,हमें $3 \times \frac{20}{7} = \frac{60}{7}$ इकाई प्राप्त होता है।

(D) $(1, 1, 1)$ और $(2, 2, 2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-1}{2-1} = \frac{y-1}{2-1} = \frac{z-1}{2-1} = k$ द्वारा दिया जाता है।
इसे सरल करने पर $x-1 = k$,$y-1 = k$,और $z-1 = k$ प्राप्त होता है।
अतः,रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु $(k+1, k+1, k+1)$ के रूप में होता है।
चूंकि यह बिंदु समतल $x + y + z = 9$ पर स्थित है,इसलिए हम इन निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(k+1) + (k+1) + (k+1) = 9$.
$3k + 3 = 9$.
$3k = 6$,जिससे $k = 2$ प्राप्त होता है।
$k = 2$ को बिंदु के निर्देशांक $(k+1, k+1, k+1)$ में रखने पर,हमें $(2+1, 2+1, 2+1) = (3, 3, 3)$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(3, 3, 3)$ है।

(A) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \tan^{-1}\left(\frac{2^{n-1}}{1+2^{2n-1}}\right)$ है।
हम तर्क को $\frac{2^n - 2^{n-1}}{1 + 2^n \cdot 2^{n-1}}$ के रूप में लिख सकते हैं।
सूत्र $\tan^{-1}(x) - \tan^{-1}(y) = \tan^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}\right)$ का उपयोग करने पर,$T_n = \tan^{-1}(2^n) - \tan^{-1}(2^{n-1})$ प्राप्त होता है।
प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} (\tan^{-1}(2^k) - \tan^{-1}(2^{k-1}))$ है।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है: $S_n = (\tan^{-1}(2^1) - \tan^{-1}(2^0)) + (\tan^{-1}(2^2) - \tan^{-1}(2^1)) + \dots + (\tan^{-1}(2^n) - \tan^{-1}(2^{n-1}))$।
$S_n = \tan^{-1}(2^n) - \tan^{-1}(1) = \tan^{-1}(2^n) - \frac{\pi}{4}$।
जैसे $n \to \infty$,$S_n = \tan^{-1}(\infty) - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$।

(C) हम जानते हैं कि $|\vec{x}-\vec{y}|^2 = |\vec{x}|^2 + |\vec{y}|^2 - 2(\vec{x} \cdot \vec{y})$.
दी गई अभिव्यक्ति का विस्तार करने पर:
$S = |\vec{a}-\vec{b}|^2+|\vec{b}-\vec{c}|^2+|\vec{c}-\vec{a}|^2$
$S = ( |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} ) + ( |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 - 2\vec{b} \cdot \vec{c} ) + ( |\vec{c}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2\vec{c} \cdot \vec{a} )$
$S = 2(|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2) - 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$
दिया गया है कि $|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=5, |\vec{c}|=7$,इसलिए $|\vec{a}|^2=9, |\vec{b}|^2=25, |\vec{c}|^2=49$.
$S = 2(9+25+49) - 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 166 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$.
हम जानते हैं कि $|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 \ge 0$,जिसका अर्थ है कि $|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \ge 0$.
इसलिए,$2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \ge -(9+25+49) = -83$.
अतः,$S = 166 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \le 166 - (-83) = 249$.
इस प्रकार,यह अभिव्यक्ति $249$ से अधिक नहीं हो सकती।

(C) माना शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं।
चूंकि $P$,$BC$ को $3:4$ के अनुपात में विभाजित करता है,$P$ का स्थिति सदिश $\vec{p} = \frac{4\vec{b} + 3\vec{c}}{7}$ है।
चूंकि $Q$,$CA$ को $5:3$ के अनुपात में विभाजित करता है,$Q$ का स्थिति सदिश $\vec{q} = \frac{3\vec{c} + 5\vec{a}}{8}$ है।
माना $G$,$AP$ को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करता है। तब $\vec{g} = \frac{1\vec{a} + k\vec{p}}{k+1} = \frac{\vec{a} + k(\frac{4\vec{b} + 3\vec{c}}{7})}{k+1} = \frac{7\vec{a} + 4k\vec{b} + 3k\vec{c}}{7(k+1)}$.
साथ ही,$G$,$BQ$ पर स्थित है,इसलिए $\vec{g} = \frac{m\vec{q} + 1\vec{b}}{m+1} = \frac{m(\frac{3\vec{c} + 5\vec{a}}{8}) + \vec{b}}{m+1} = \frac{5m\vec{a} + 8\vec{b} + 3m\vec{c}}{8(m+1)}$.
$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$\frac{7}{7(k+1)} = \frac{5m}{8(m+1)} \implies \frac{1}{k+1} = \frac{5m}{8(m+1)}$
$\frac{4k}{7(k+1)} = \frac{8}{8(m+1)} \implies \frac{4k}{7(k+1)} = \frac{1}{m+1}$
$\frac{3k}{7(k+1)} = \frac{3m}{8(m+1)} \implies \frac{k}{7(k+1)} = \frac{m}{8(m+1)}$
पहले और तीसरे समीकरण से,$\frac{1}{k+1} = 5 \times \frac{k}{7(k+1)} \implies 1 = \frac{5k}{7} \implies k = \frac{7}{5}$.
अतः,अनुपात $7:5$ है।

(A) मान लीजिए $\hat{a} = \frac{\overline{a}}{|\overline{a}|}$ और $\hat{b} = \frac{\overline{b}}{|\overline{b}|}$ क्रमशः $\overline{OA}$ और $\overline{OB}$ की दिशा में इकाई सदिश हैं।
$\angle AOB$ का कोण समद्विभाजक इकाई सदिशों के योग की दिशा में होता है,जो $\hat{a} + \hat{b}$ है।
यह दिया गया है कि कोण समद्विभाजक के अनुदिश सदिश $x\hat{a} + y\hat{b}$ है,इसलिए किसी अदिश $k \neq 0$ के लिए $x\hat{a} + y\hat{b} = k(\hat{a} + \hat{b})$ होगा।
$\hat{a}$ और $\hat{b}$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $x = k$ और $y = k$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = y$,जिसका अर्थ है कि $x - y = 0$।

(B) माना अभीष्ट सदिश $\vec{v}$ है। चूँकि $\vec{v}$,$\vec{a} = \hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$ के साथ समतलीय है,इसे $\vec{v} = \vec{c} \times (\vec{a} \times \vec{b})$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $\vec{c} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ है।
सबसे पहले,$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-4) - \hat{j}(1-2) + \hat{k}(2-1) = -3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ की गणना करें।
अब,$\vec{v} = \vec{c} \times (-3\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ -3 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-1) - \hat{j}(1+3) + \hat{k}(1+3) = 0\hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
$\vec{v}$ का परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{0^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ है।

(B) दिया गया है कि $\bar{a}$ और $\bar{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\bar{a}| = 1$ और $|\bar{b}| = 1$ है।
चूंकि $\bar{a}+\bar{b}$ एक इकाई सदिश है,इसलिए $|\bar{a}+\bar{b}| = 1$ होगा।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$|\bar{a}+\bar{b}|^2 = 1^2$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $|\bar{x}|^2 = \bar{x} \cdot \bar{x}$ का उपयोग करने पर,$(\bar{a}+\bar{b}) \cdot (\bar{a}+\bar{b}) = 1$ मिलता है।
डॉट प्रोडक्ट का विस्तार करने पर,$|\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 1$ प्राप्त होता है।
$|\bar{a}| = 1$ और $|\bar{b}| = 1$ का मान रखने पर,$1^2 + 1^2 + 2|\bar{a}||\bar{b}| \cos \theta = 1$ मिलता है।
$1 + 1 + 2(1)(1) \cos \theta = 1$.
$2 + 2 \cos \theta = 1$.
$2 \cos \theta = -1$.
$\cos \theta = -\frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = \frac{2 \pi}{3}$ प्राप्त होता है।

(C) चार बिंदु $A, B, C,$ और $D$ समतलीय होते हैं यदि सदिशों $\vec{AB}, \vec{AC},$ और $\vec{AD}$ का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,अर्थात $[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}] = 0$।
सबसे पहले,हम सदिश ज्ञात करते हैं:
$\vec{AB} = (2-1)\hat{i} + (1-1)\hat{j} + (p-2)\hat{k} = \hat{i} + 0\hat{j} + (p-2)\hat{k}$
$\vec{AC} = (1-1)\hat{i} + (0-1)\hat{j} + (3-2)\hat{k} = 0\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$
$\vec{AD} = (2-1)\hat{i} + (2-1)\hat{j} + (0-2)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$
अब,सारणिक की गणना करते हैं:
$\begin{vmatrix} 1 & 0 & p-2 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1((-1)(-2) - (1)(1)) - 0(...) + (p-2)((0)(1) - (-1)(1)) = 0$
$1(2 - 1) + (p-2)(1) = 0$
$1 + p - 2 = 0$
$p - 1 = 0$
$p = 1$

(B) दो रेखाएँ $\overline{r} = \overline{a_1} + \lambda \overline{v_1}$ और $\overline{r} = \overline{a_2} + \mu \overline{v_2}$ केवल तभी प्रतिच्छेद करती हैं यदि उनके बीच की न्यूनतम दूरी $0$ हो।
प्रतिच्छेदन के लिए शर्त $(\overline{a_2} - \overline{a_1}) \cdot (\overline{v_1} \times \overline{v_2}) = 0$ है।
यहाँ,$\overline{a_1} = \overline{a}$,$\overline{v_1} = \overline{b} \times \overline{c}$,$\overline{a_2} = \overline{c}$,और $\overline{v_2} = \overline{a} \times \overline{b}$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर: $(\overline{c} - \overline{a}) \cdot ((\overline{b} \times \overline{c}) \times (\overline{a} \times \overline{b})) = 0$।
सदिश त्रिक गुणनफल के नियम $(\overline{x} \times \overline{y}) \times \overline{z} = (\overline{x} \cdot \overline{z})\overline{y} - (\overline{y} \cdot \overline{z})\overline{x}$ का उपयोग करके,हम $(\overline{b} \times \overline{c}) \times (\overline{a} \times \overline{b})$ को सरल करते हैं।
मान लीजिए $\overline{d} = \overline{a} \times \overline{b}$। तब $(\overline{b} \times \overline{c}) \times \overline{d} = (\overline{b} \cdot \overline{d})\overline{c} - (\overline{c} \cdot \overline{d})\overline{b}$।
चूँकि $\overline{d} = \overline{a} \times \overline{b}$,इसलिए $\overline{b} \cdot \overline{d} = 0$ और $\overline{c} \cdot \overline{d} = [\overline{c} \overline{a} \overline{b}] = [\overline{a} \overline{b} \overline{c}]$ होता है।
इस प्रकार,सदिश गुणनफल $-[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] \overline{b}$ प्राप्त होता है।
शर्त $(\overline{c} - \overline{a}) \cdot (-[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] \overline{b}) = 0$ बन जाती है।
इसका अर्थ है कि $-[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] (\overline{c} \cdot \overline{b} - \overline{a} \cdot \overline{b}) = 0$।
यह शर्त तब संतुष्ट होती है यदि $[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = 0$ हो।

(C) तीन सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ समतलीय होते हैं यदि और केवल यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो,अर्थात $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$।
दिए गए सदिश $\vec{a} = m \hat{i} + m \hat{j} + n \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + 0 \hat{j} + \hat{k}$,और $\vec{c} = n \hat{i} + n \hat{j} + p \hat{k}$ हैं।
अदिश त्रिक गुणनफल सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$\begin{vmatrix} m & m & n \\ 1 & 0 & 1 \\ n & n & p \end{vmatrix} = 0$।
दूसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$-1 \begin{vmatrix} m & n \\ n & p \end{vmatrix} + 0 - 1 \begin{vmatrix} m & m \\ n & n \end{vmatrix} = 0$।
$-1(mp - n^2) - 1(mn - mn) = 0$।
$-(mp - n^2) - 0 = 0$।
$n^2 - mp = 0 \implies n^2 = mp$।
यह स्थिति दर्शाती है कि $m, n, p$ $G$.$P$. (गुणोत्तर श्रेणी) में हैं।

(B) दिया गया है कि $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\bar{a}| = |\bar{b}| = |\bar{c}| = 1$ है।
दिए गए समीकरण का विस्तार करने पर:
$|\bar{a}+\bar{b}|^2+|\bar{a}+\bar{c}|^2=8$
$(|\bar{a}|^2+|\bar{b}|^2+2\bar{a} \cdot \bar{b}) + (|\bar{a}|^2+|\bar{c}|^2+2\bar{a} \cdot \bar{c}) = 8$
चूंकि $|\bar{a}|^2 = |\bar{b}|^2 = |\bar{c}|^2 = 1$,हमारे पास है:
$(1+1+2\bar{a} \cdot \bar{b}) + (1+1+2\bar{a} \cdot \bar{c}) = 8$
$4 + 2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c}) = 8$
$2(\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c}) = 4$
$\bar{a} \cdot \bar{b} + \bar{a} \cdot \bar{c} = 2$।
चूंकि दो इकाई सदिशों के अदिश गुणनफल (dot product) का अधिकतम मान $1$ होता है,इसलिए दो अदिश गुणनफलों का योग $2$ तभी संभव है जब $\bar{a} \cdot \bar{b} = 1$ और $\bar{a} \cdot \bar{c} = 1$ हो।
इसका अर्थ है कि $\bar{a} = \bar{b} = \bar{c}$ है।
अब,आवश्यक व्यंजक की गणना करने पर:
$|\bar{a}+3\bar{b}|^2+|\bar{a}+3\bar{c}|^2 = |\bar{a}+3\bar{a}|^2+|\bar{a}+3\bar{a}|^2$
$= |4\bar{a}|^2 + |4\bar{a}|^2$
$= 16|\bar{a}|^2 + 16|\bar{a}|^2$
$= 16(1) + 16(1) = 32$।

(B) तीन सदिश रैखिक रूप से आश्रित होते हैं यदि उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो।
माना सदिश $\vec{a} = (p+1) \hat{i} - 3 \hat{j} + p \hat{k}$,$\vec{b} = p \hat{i} + (p+1) \hat{j} - 3 \hat{k}$,और $\vec{c} = -3 \hat{i} + p \hat{j} + (p+1) \hat{k}$ हैं।
रैखिक आश्रितता के लिए शर्त $\det(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = 0$ है।
$\begin{vmatrix} p+1 & -3 & p \\ p & p+1 & -3 \\ -3 & p & p+1 \end{vmatrix} = 0$.
सारणिक का विस्तार करने पर:
$(p+1)((p+1)^2 + 3p) + 3(p(p+1) - 9) + p(p^2 + 3(p+1)) = 0$.
$(p+1)(p^2 + 2p + 1 + 3p) + 3(p^2 + p - 9) + p(p^2 + 3p + 3) = 0$.
$(p+1)(p^2 + 5p + 1) + 3p^2 + 3p - 27 + p^3 + 3p^2 + 3p = 0$.
$(p^3 + 5p^2 + p + p^2 + 5p + 1) + 6p^2 + 6p + p^3 - 27 = 0$.
$2p^3 + 12p^2 + 12p - 26 = 0$.
$p^3 + 6p^2 + 6p - 13 = 0$.
निरीक्षण द्वारा,$p=1$ एक मूल है क्योंकि $1 + 6 + 6 - 13 = 0$.
$(p-1)$ से विभाजित करने पर,हमें $(p-1)(p^2 + 7p + 13) = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण $p^2 + 7p + 13 = 0$ का विविक्तकर $D = 49 - 4(13) = 49 - 52 = -3 < 0$ है।
अतः,$p$ के लिए केवल एक वास्तविक पूर्णांक मान है,जो $p=1$ है।
इसलिए,$p$ के पूर्णांक मानों की संख्या $1$ है।

(D) चूंकि $\bar{c}$,$\bar{a}$ और $\bar{b}$ के साथ समतलीय है,हम $\bar{c} = x\bar{a} + y\bar{b}$ लिख सकते हैं,जहाँ $x$ और $y$ अदिश हैं।
$\bar{c} = x(2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) + y(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = (2x + y)\hat{i} + (x + 2y)\hat{j} + (x - y)\hat{k}$.
दिया गया है कि $\bar{c} \perp \bar{a}$,इसलिए उनका अदिश गुणनफल $\bar{c} \cdot \bar{a} = 0$ होगा।
$(2x + y)(2) + (x + 2y)(1) + (x - y)(1) = 0$.
$4x + 2y + x + 2y + x - y = 0 \implies 6x + 3y = 0 \implies y = -2x$.
$\bar{c}$ के समीकरण में $y = -2x$ रखने पर:
$\bar{c} = x(2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - 2x(\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) = x(2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k} - 2\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}) = x(-3\hat{j} + 3\hat{k}) = 3x(-\hat{j} + \hat{k})$.
यदि $x = 1/3$ लिया जाए,तो $\bar{c} = -\hat{j} + \hat{k}$ प्राप्त होता है। अतः,विकल्प $D$ सही है।

(C) दिए गए सदिश $\vec{a} = (\lambda x) \hat{i} + (y) \hat{j} + (4z) \hat{k}$,$\vec{b} = (y) \hat{i} + (x) \hat{j} + (3y) \hat{k}$,और $\vec{c} = (-z) \hat{i} + (-2z) \hat{j} - (\lambda + 1) \hat{k}$ हैं।
शर्त $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ के अनुसार घटकों का योग करने पर:
$i$-घटक: $\lambda x + y - z = 0$ $(1)$
$j$-घटक: $y + x - 2z = 0$ $(2)$
$k$-घटक: $4z + 3y - (\lambda + 1) = 0$ $(3)$
समीकरण $(2)$ से,$x + y = 2z$ प्राप्त होता है। इन मानों का उपयोग करके हल करने पर $\lambda = 2$ प्राप्त होता है।

(C) माना शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं।
$P$,$AC$ को $3:4$ के अनुपात में विभाजित करता है,इसलिए $\vec{p} = \frac{4\vec{a} + 3\vec{c}}{7}$।
$Q$,$BC$ को $4:3$ के अनुपात में विभाजित करता है,इसलिए $\vec{q} = \frac{3\vec{b} + 4\vec{c}}{7}$।
$M$,$BP$ और $AQ$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है। $\triangle ACQ$ के लिए मेनेलॉस प्रमेय का उपयोग रेखा $B-M-P$ के साथ करने पर: $\frac{AM}{MQ} \cdot \frac{QB}{BC} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$।
यहाँ $BQ:QC = 4:3$,इसलिए $QB:BC = 4:7$।
और $AP:PC = 3:4$,इसलिए $CP:PA = 4:3$।
अतः,$\frac{AM}{MQ} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{4}{3} = 1$।
$\frac{AM}{MQ} \cdot \frac{16}{21} = 1 \implies \frac{AM}{MQ} = \frac{21}{16}$।
इस प्रकार,$M$,$AQ$ को $21:16$ के अनुपात में विभाजित करता है।

(A) चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल दो त्रिभुजों,$\triangle ABC$ और $\triangle ADC$ के क्षेत्रफलों के योग के रूप में ज्ञात किया जा सकता है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\overline{AB} \times \overline{AC}| = \frac{1}{2} |\bar{a} \times (3\bar{a} + 2\bar{b})| = \frac{1}{2} |3(\bar{a} \times \bar{a}) + 2(\bar{a} \times \bar{b})| = \frac{1}{2} |0 + 2(\bar{a} \times \bar{b})| = |\bar{a} \times \bar{b}|$.
$\triangle ADC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\overline{AD} \times \overline{AC}| = \frac{1}{2} |\bar{b} \times (3\bar{a} + 2\bar{b})| = \frac{1}{2} |3(\bar{b} \times \bar{a}) + 2(\bar{b} \times \bar{b})| = \frac{1}{2} |-3(\bar{a} \times \bar{b}) + 0| = \frac{3}{2} |\bar{a} \times \bar{b}|$.
चतुर्भुज $ABCD$ का कुल क्षेत्रफल $= |\bar{a} \times \bar{b}| + \frac{3}{2} |\bar{a} \times \bar{b}| = \frac{5}{2} |\bar{a} \times \bar{b}|$.
$\bar{a}$ और $\bar{b}$ आसन्न भुजाओं वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $|\bar{a} \times \bar{b}|$ है।
यह दिया गया है कि चतुर्भुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का $\alpha$ गुना है,इसलिए $\frac{5}{2} |\bar{a} \times \bar{b}| = \alpha |\bar{a} \times \bar{b}|$.
अतः,$\alpha = \frac{5}{2} = 2.5$.

(C) माना $\vec{a} = 4\hat{i}+7\hat{j}+8\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}$,और $\vec{c} = 2\hat{i}+5\hat{j}+7\hat{k}$ हैं।
कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\angle B$ का समद्विभाजक सम्मुख भुजा $AC$ को $BA : BC$ के अनुपात में विभाजित करता है।
लंबाई $BA$ और $BC$ की गणना करें:
$BA = |\vec{a} - \vec{b}| = |2\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}| = \sqrt{4+16+16} = 6$.
$BC = |\vec{c} - \vec{b}| = |0\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}| = \sqrt{0+4+9} = \sqrt{13}$.
बिंदु $D$,$AC$ को $6 : \sqrt{13}$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,स्थिति सदिश $\vec{d} = \frac{6\vec{c} + \sqrt{13}\vec{a}}{6+\sqrt{13}}$ है।
$\vec{d} = \frac{(12+4\sqrt{13})\hat{i} + (30+7\sqrt{13})\hat{j} + (42+8\sqrt{13})\hat{k}}{6+\sqrt{13}}$.

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$(1)$ $\bar{c} = 5\bar{a} + 6\bar{b}$
$(2)$ $3\bar{c} = \bar{a} - 4\bar{b}$
समीकरण $(1)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$3\bar{c} = 15\bar{a} + 18\bar{b}$
अब,इसे समीकरण $(2)$ के साथ बराबर करने पर:
$15\bar{a} + 18\bar{b} = \bar{a} - 4\bar{b}$
$14\bar{a} = -22\bar{b}$
$\bar{a} = -\frac{11}{7}\bar{b}$
चूंकि $\bar{a}$,$\bar{b}$ का एक ऋणात्मक अदिश गुणज है,इसलिए $\bar{a}$ और $\bar{b}$ संरेख हैं और विपरीत दिशाओं में हैं।
$\bar{a} = -\frac{11}{7}\bar{b}$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$\bar{c} = 5(-\frac{11}{7}\bar{b}) + 6\bar{b} = -\frac{55}{7}\bar{b} + \frac{42}{7}\bar{b} = -\frac{13}{7}\bar{b}$
चूंकि $\bar{c}$ भी $\bar{b}$ का एक ऋणात्मक अदिश गुणज है,इसलिए $\bar{c}$ और $\bar{b}$ विपरीत दिशाओं में हैं।
चूंकि $\bar{a} = -\frac{11}{7}\bar{b}$ और $\bar{c} = -\frac{13}{7}\bar{b}$ है,इसलिए $\bar{a} = \frac{11}{13}\bar{c}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\bar{a}$,$\bar{c}$ का एक धनात्मक अदिश गुणज है,इसलिए $\bar{a}$ और $\bar{c}$ एक ही दिशा में हैं।
अतः,$\bar{a}$ और $\bar{c}$ एक ही दिशा में हैं,जबकि $\bar{a}$ और $\bar{b}$ विपरीत दिशा में हैं।

(B) चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल दो त्रिभुजों,$\triangle ABC$ और $\triangle ADC$ के क्षेत्रफलों के योग के रूप में गणना की जा सकती है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\overline{AB} \times \overline{AC}| = \frac{1}{2} |\bar{a} \times (2\bar{a} + 3\bar{b})| = \frac{1}{2} |2(\bar{a} \times \bar{a}) + 3(\bar{a} \times \bar{b})| = \frac{1}{2} |0 + 3(\bar{a} \times \bar{b})| = \frac{3}{2} |\bar{a} \times \bar{b}|$.
$\triangle ADC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\overline{AD} \times \overline{AC}| = \frac{1}{2} |\bar{b} \times (2\bar{a} + 3\bar{b})| = \frac{1}{2} |2(\bar{b} \times \bar{a}) + 3(\bar{b} \times \bar{b})| = \frac{1}{2} |-2(\bar{a} \times \bar{b}) + 0| = |\bar{a} \times \bar{b}|$.
चतुर्भुज $ABCD$ का कुल क्षेत्रफल $= \frac{3}{2} |\bar{a} \times \bar{b}| + |\bar{a} \times \bar{b}| = \frac{5}{2} |\bar{a} \times \bar{b}|$.
$AB$ और $AD$ आसन्न भुजाओं वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $|\bar{a} \times \bar{b}|$ है।
यह दिया गया है कि चतुर्भुज का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का $\alpha$ गुना है,इसलिए $\frac{5}{2} |\bar{a} \times \bar{b}| = \alpha |\bar{a} \times \bar{b}|$.
अतः,$\alpha = \frac{5}{2}$.

(A) दिया गया है कि $\overline{u}$ की दिशा में $\overline{v}$ का प्रक्षेप = $\overline{u}$ की दिशा में $\overline{w}$ का प्रक्षेप।
अतः,$\frac{\overline{v} \cdot \overline{u}}{|\overline{u}|} = \frac{\overline{w} \cdot \overline{u}}{|\overline{u}|}$।
चूंकि $|\overline{u}|=1$,इसलिए $\overline{v} \cdot \overline{u} = \overline{w} \cdot \overline{u}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $(\overline{v}-\overline{w}) \cdot \overline{u} = 0$।
साथ ही,$\overline{v} \perp \overline{w}$ है,इसलिए $\overline{v} \cdot \overline{w} = 0$।
अब,$|\overline{u}-\overline{v}+\overline{w}|^2 = (\overline{u}-\overline{v}+\overline{w}) \cdot (\overline{u}-\overline{v}+\overline{w})$।
विस्तार करने पर:
$|\overline{u}-\overline{v}+\overline{w}|^2 = |\overline{u}|^2 + |\overline{v}|^2 + |\overline{w}|^2 - 2(\overline{u} \cdot \overline{v}) + 2(\overline{u} \cdot \overline{w}) - 2(\overline{v} \cdot \overline{w})$।
मान रखने पर:
$|\overline{u}-\overline{v}+\overline{w}|^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 - 2(\overline{u} \cdot \overline{v} - \overline{u} \cdot \overline{w}) - 2(0)$।
चूंकि $\overline{u} \cdot \overline{v} = \overline{u} \cdot \overline{w}$ है,इसलिए वह पद शून्य हो जाएगा।
अतः,$|\overline{u}-\overline{v}+\overline{w}|^2 = 1 + 4 + 9 = 14$।
इस प्रकार,$|\overline{u}-\overline{v}+\overline{w}| = \sqrt{14}$।

(D) दिया गया है कि $\bar{c} = (2 \bar{a} \times \bar{b}) - 3 \bar{b}$ है।
$\bar{b}$ और $\bar{c}$ के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने के लिए,हम अदिश गुणनफल (dot product) के सूत्र का उपयोग करते हैं: $\cos \theta = \frac{\bar{b} \cdot \bar{c}}{|\bar{b}| |\bar{c}|}$।
सबसे पहले,$\bar{b} \cdot \bar{c} = \bar{b} \cdot (2 \bar{a} \times \bar{b} - 3 \bar{b}) = 2 \bar{b} \cdot (\bar{a} \times \bar{b}) - 3 |\bar{b}|^2$ की गणना करें।
चूंकि $\bar{b} \cdot (\bar{a} \times \bar{b}) = 0$ (क्योंकि क्रॉस गुणनफल दोनों सदिशों के लंबवत होता है),इसलिए $\bar{b} \cdot \bar{c} = 0 - 3(4)^2 = -48$ है।
अगला,$|\bar{c}|^2 = |2(\bar{a} \times \bar{b}) - 3 \bar{b}|^2 = 4|\bar{a} \times \bar{b}|^2 + 9|\bar{b}|^2 - 12 \bar{b} \cdot (\bar{a} \times \bar{b}) = 4|\bar{a} \times \bar{b}|^2 + 9(16) - 0$ की गणना करें।
हम जानते हैं कि $|\bar{a} \times \bar{b}|^2 = |\bar{a}|^2 |\bar{b}|^2 - (\bar{a} \cdot \bar{b})^2 = (1)^2(4)^2 - (2)^2 = 16 - 4 = 12$ है।
अतः,$|\bar{c}|^2 = 4(12) + 144 = 48 + 144 = 192$,जिसका अर्थ है $|\bar{c}| = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$ है।
अब,$\cos \theta = \frac{-48}{4 \times 8\sqrt{3}} = \frac{-48}{32\sqrt{3}} = -\frac{3}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
इस प्रकार,$\theta = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$।

(B) माना $\bar{v} = (2 \bar{a} - \bar{b}) \cdot [(\bar{a} \times \bar{b}) \times (\bar{a} + 2 \bar{b})]$ है।
सदिश त्रिक गुणनफल सर्वसमिका $(\bar{x} \times \bar{y}) \times \bar{z} = (\bar{x} \cdot \bar{z}) \bar{y} - (\bar{y} \cdot \bar{z}) \bar{x}$ का उपयोग करने पर:
$(\bar{a} \times \bar{b}) \times (\bar{a} + 2 \bar{b}) = (\bar{a} \cdot (\bar{a} + 2 \bar{b})) \bar{b} - (\bar{b} \cdot (\bar{a} + 2 \bar{b})) \bar{a}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\bar{a}$ और $\bar{b}$ इकाई सदिश हैं $(|\bar{a}| = 1, |\bar{b}| = 1)$,माना $\bar{a} \cdot \bar{b} = \cos \theta$ है।
अतः $\bar{a} \cdot \bar{a} = 1$ और $\bar{b} \cdot \bar{b} = 1$ है।
इस प्रकार,$(\bar{a} \times \bar{b}) \times (\bar{a} + 2 \bar{b}) = (1 + 2 \cos \theta) \bar{b} - (\cos \theta + 2) \bar{a}$ है।
अब,$(2 \bar{a} - \bar{b}) \cdot [(1 + 2 \cos \theta) \bar{b} - (\cos \theta + 2) \bar{a}] = 2(1 + 2 \cos \theta)(\bar{a} \cdot \bar{b}) - 2(\cos \theta + 2)(\bar{a} \cdot \bar{a}) - (1 + 2 \cos \theta)(\bar{b} \cdot \bar{b}) + (\cos \theta + 2)(\bar{b} \cdot \bar{a})$ है।
$= 2(1 + 2 \cos \theta) \cos \theta - 2(\cos \theta + 2) - (1 + 2 \cos \theta) + (\cos \theta + 2) \cos \theta$.
$= 2 \cos \theta + 4 \cos^2 \theta - 2 \cos \theta - 4 - 1 - 2 \cos \theta + \cos^2 \theta + 2 \cos \theta$.
$= 5 \cos^2 \theta - 5 = 5(\cos^2 \theta - 1) = -5 \sin^2 \theta$ है।
दिया गया है कि $\bar{a} = \frac{1}{\sqrt{10}}(3 \hat{i} + \hat{k})$ और $\bar{b} = \frac{1}{7}(2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 6 \hat{k})$,अतः $\cos \theta = \bar{a} \cdot \bar{b} = \frac{1}{7\sqrt{10}}(6 + 0 - 6) = 0$ है।
अतः $\sin^2 \theta = 1 - 0^2 = 1$ है।
मान $-5(1) = -5$ है।