बिंदुओं A(1, -1, 2),B(2, 0, -1) और C(0, 2, 1) | vedclass

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Question

(C) मान लीजिए बिंदु $A(1, -1, 2)$,$B(2, 0, -1)$ और $C(0, 2, 1)$ हैं।सबसे पहले,समतल में दो सदिश ज्ञात करें: $\vec{AB} = (2-1)\hat{i} + (0-(-1))\hat{j}

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$\pm\left(\frac{2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}}{\sqrt{6}}\right)$

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(C) मान लीजिए बिंदु $A(1, -1, 2)$,$B(2, 0, -1)$ और $C(0, 2, 1)$ हैं।सबसे पहले,समतल में दो सदिश ज्ञात करें: $\vec{AB} = (2-1)\hat{i} + (0-(-1))\hat{j} + (-1-2)\hat{k} = \hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ और $\vec{AC} = (0-1)\hat{i} + (2-(-1))\hat{j} + (1-2)\hat{k} = -\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$.समतल के लंबवत एक सदिश क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{n} = \vec{AB} 	imes \vec{AC}$ द्वारा दिया जाता है।$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 1 & 1 & -3 \ -1 & 3 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - (-9)) - \hat{j}(-1 - 3) + \hat{k}(3 - (-1)) = 8\hat{i} + 4\hat{j} + 4\hat{k}$.सरल करने पर,हम $\vec{n}' = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ ले सकते हैं।इसका परिमाण $|\vec{n}'| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$ है।इकाई सदिश $\pm \frac{\vec{n}'}{|\vec{n}'|} = \pm \frac{2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{6}}$ हैं।अतः,सही विकल्प $C$ है।

बिंदुओं $A(1, -1, 2)$,$B(2, 0, -1)$ और $C(0, 2, 1)$ द्वारा निर्धारित समतल के लंबवत इकाई सदिश हैं:

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किसी भी सदिश $\vec{a} \in \mathbb{R}^3$ के लिए,$|\vec{a} \times \hat{i}|^2 + |\vec{a} \times \hat{j}|^2 + |\vec{a} \times \hat{k}|^2 = $ . . . . . . .

किन्हीं दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के लिए,$|\vec{a} \times \vec{b}|^2$ किसके बराबर है?

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