MHT CET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) मान लीजिए $X$ एक यादृच्छिक चर है जो $n$ से छोटी संख्या प्राप्त करने के लिए आवश्यक उछालों की संख्या को दर्शाता है।
यह एक ज्यामितीय वितरण का पालन करता है जहाँ सफलता की प्रायिकता $p$,${1, 2, \dots, n-1}$ में से कोई संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता है।
अतः,$p = \frac{n-1}{n}$।
ज्यामितीय वितरण का माध्य $E[X] = \frac{1}{p}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $E[X] = \frac{n}{9}$,इसलिए $\frac{1}{p} = \frac{n}{9}$।
$p = \frac{n-1}{n}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{n}{n-1} = \frac{n}{9}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $n \in N$ और $n > 1$,हम $n$ से विभाजित करके $\frac{1}{n-1} = \frac{1}{9}$ प्राप्त कर सकते हैं।
इसलिए,$n-1 = 9$,जिसका अर्थ है कि $n = 10$।

(D) माना $E_1$ थैली $I$ चुनने की घटना है और $E_2$ थैली $II$ चुनने की घटना है। चूँकि थैली यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है,$P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}$ है।
माना $G$ एक हरी गेंद निकालने की घटना है।
थैली $I$ से हरी गेंद निकालने की प्रायिकता $P(G|E_1) = \frac{2}{3+2} = \frac{2}{5}$ है।
थैली $II$ से हरी गेंद निकालने की प्रायिकता $P(G|E_2) = \frac{3}{5+3} = \frac{3}{8}$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यदि गेंद हरी है तो उसके थैली $I$ से निकाले जाने की प्रायिकता:
$P(E_1|G) = \frac{P(E_1)P(G|E_1)}{P(E_1)P(G|E_1) + P(E_2)P(G|E_2)}$
$P(E_1|G) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{2}{5}}{\frac{1}{2} \times \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \times \frac{3}{8}}$
$P(E_1|G) = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{1}{5} + \frac{3}{16}} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{16+15}{80}} = \frac{1}{5} \times \frac{80}{31} = \frac{16}{31}$.

(A) मान लीजिए $E_1, E_2, E_3$ वे घटनाएँ हैं कि रोगी को क्रमशः $d_1, d_2, d_3$ बीमारियाँ हैं। चूँकि संभावनाएँ समान हैं,$P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$ है।
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि परीक्षण सकारात्मक है।
दी गई संभावनाएँ $P(A|E_1) = 0.7$,$P(A|E_2) = 0.5$,और $P(A|E_3) = 0.8$ हैं।
हमें $P(E_2|A)$ ज्ञात करना है।
बेयस प्रमेय के अनुसार,$P(E_2|A) = \frac{P(E_2)P(A|E_2)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2) + P(E_3)P(A|E_3)}$.
मान रखने पर: $P(E_2|A) = \frac{\frac{1}{3} \times 0.5}{\frac{1}{3} \times 0.7 + \frac{1}{3} \times 0.5 + \frac{1}{3} \times 0.8}$.
$P(E_2|A) = \frac{0.5}{0.7 + 0.5 + 0.8} = \frac{0.5}{2.0} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$.

(B) मान लीजिए कि सिक्के को $n$ बार उछाला जाता है। $n$ उछालों में $k$ बार चित आने की प्रायिकता द्विपद वितरण सूत्र द्वारा दी जाती है: $P(X=k) = \binom{n}{k} (\frac{1}{2})^n$.
दिया गया है कि $P(X=5) = P(X=7)$,इसलिए $\binom{n}{5} (\frac{1}{2})^n = \binom{n}{7} (\frac{1}{2})^n$.
इसका अर्थ है कि $\binom{n}{5} = \binom{n}{7}$.
गुणधर्म $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ का उपयोग करते हुए,यदि $\binom{n}{a} = \binom{n}{b}$ है,तो या तो $a=b$ या $a+b=n$ होगा।
चूंकि $5 \neq 7$,इसलिए $n = 5+7 = 12$ होगा।
अब,$3$ बार चित आने की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए,$P(X=3) = \binom{12}{3} (\frac{1}{2})^{12}$.
गणना करने पर $\binom{12}{3} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$.
अतः,$P(X=3) = 220 \times \frac{1}{2^{12}} = \frac{220}{4096} = \frac{55}{1024} = \frac{55}{2^{10}}$.

(D) द्विपद बंटन $X \sim B(n, p)$ के लिए,प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ है,जहाँ $q = 1-p$ है।
हमें अनुपात $\frac{P(X=k)}{P(X=k-1)}$ ज्ञात करना है।
$P(X=k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k q^{n-k}$
$P(X=k-1) = \frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!} p^{k-1} q^{n-k+1}$
अनुपात लेने पर:
$\frac{P(X=k)}{P(X=k-1)} = \frac{n!}{k!(n-k)!} p^k q^{n-k} \cdot \frac{(k-1)!(n-k+1)!}{n! p^{k-1} q^{n-k+1}}$
$= \frac{(n-k+1)!}{(n-k)!} \cdot \frac{(k-1)!}{k!} \cdot \frac{p^k}{p^{k-1}} \cdot \frac{q^{n-k}}{q^{n-k+1}}$
$= (n-k+1) \cdot \frac{1}{k} \cdot p \cdot \frac{1}{q}$
$= \frac{n-k+1}{k} \cdot \frac{p}{q}$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) द्विपद वितरण के लिए,प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n=4$ और $q=1-p$ है।
दिया गया है कि $P(X=3) = 3P(X=4)$,मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\binom{4}{3} p^3 q^1 = 3 \binom{4}{4} p^4 q^0$
$4 p^3 q = 3(1) p^4$
चूंकि $p \neq 0$,हम दोनों पक्षों को $p^3$ से विभाजित कर सकते हैं:
$4q = 3p$
$q = 1-p$ रखने पर:
$4(1-p) = 3p$
$4 - 4p = 3p$
$4 = 7p$
$p = \frac{4}{7}$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) यादृच्छिक चर $X$ द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n = 99$ और $p = 0.5$ है।
द्विपद वितरण के लिए,प्रायिकता $P[X=r]$ तब अधिकतम होती है जब $r$ बहुलक (mode) होता है।
यदि $(n+1)p$ एक पूर्णांक है,तो $r = (n+1)p$ और $r = (n+1)p - 1$ पर दो बहुलक होते हैं।
यदि $(n+1)p$ पूर्णांक नहीं है,तो $r = \lfloor (n+1)p \rfloor$ पर एक अद्वितीय बहुलक होता है।
यहाँ,$(n+1)p = (99+1) \times 0.5 = 100 \times 0.5 = 50$ है।
चूँकि $50$ एक पूर्णांक है,इसलिए प्रायिकता $P[X=r]$ का मान $r = 50$ और $r = 50 - 1 = 49$ पर अधिकतम होता है।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,$49$ वह मान है जहाँ प्रायिकता अधिकतम है।

(C) द्विपद वितरण $B(n, p)$ का प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ है।
यहाँ $n=10$ दिया गया है,इसलिए $P(X=k) = \binom{10}{k} p^k (1-p)^{10-k}$ है।
दिया गया है कि $5 P(X=0) = P(X=1)$:
$5 \binom{10}{0} p^0 (1-p)^{10} = \binom{10}{1} p^1 (1-p)^9$
$5(1-p) = 10p$
$5 - 5p = 10p \implies 15p = 5 \implies p = \frac{1}{3}$.
अतः,$q = 1-p = \frac{2}{3}$.
अब,हम अनुपात $\frac{P(X=5)}{P(X=6)}$ की गणना करते हैं:
$\frac{P(X=5)}{P(X=6)} = \frac{\binom{10}{5} p^5 q^5}{\binom{10}{6} p^6 q^4} = \frac{\binom{10}{5}}{\binom{10}{6}} \cdot \frac{q}{p}$
$\binom{10}{5} = 252$ और $\binom{10}{6} = 210$.
$\frac{P(X=5)}{P(X=6)} = \frac{252}{210} \cdot \frac{2/3}{1/3} = \frac{6}{5} \cdot 2 = \frac{12}{5}$.

(C) $00$ से $99$ तक कुल दो-अंकीय संख्याएँ $100$ हैं।
मान लीजिए $X$ अंकों $d_1 d_2$ द्वारा बनी संख्या है। गुणनफल $d_1 \times d_2 = 24$ है।
संभावित जोड़े $(d_1, d_2)$ हैं: $(3, 8), (4, 6), (6, 4), (8, 3)$।
अतः,ऐसी $4$ संख्याएँ हैं: $38, 46, 64, 83$।
एक प्रयास में घटना $E$ के घटित होने की प्रायिकता $p = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$ है।
घटना $E$ के न घटित होने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$ है।
हम $n = 4$ संख्याएँ चुनते हैं। मान लीजिए $X$ घटना $E$ के घटित होने की संख्या है। $X$ द्विपद वितरण $B(4, \frac{1}{25})$ का पालन करता है।
हमें $P(X \ge 3) = P(X = 3) + P(X = 4)$ ज्ञात करना है।
$P(X = 3) = \binom{4}{3} p^3 q^1 = 4 \times (\frac{1}{25})^3 \times (\frac{24}{25}) = \frac{96}{(25)^4}$।
$P(X = 4) = \binom{4}{4} p^4 q^0 = 1 \times (\frac{1}{25})^4 = \frac{1}{(25)^4}$।
$P(X \ge 3) = \frac{96}{(25)^4} + \frac{1}{(25)^4} = \frac{97}{(25)^4}$।

(C) मान लीजिए $X$ परीक्षण में जीवित रहने वाले घटकों की संख्या है। यहाँ,$n = 4$ और $p = \frac{2}{3}$ है।
अतः $q = 1 - p = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ होगा।
$X$ द्विपद बंटन $B(n, p)$ का पालन करता है,इसलिए $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$।
हमें अधिकतम $2$ घटकों के जीवित रहने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \le 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$ है।
$P(X = 0) = \binom{4}{0} (\frac{2}{3})^0 (\frac{1}{3})^4 = 1 \times 1 \times \frac{1}{81} = \frac{1}{81}$।
$P(X = 1) = \binom{4}{1} (\frac{2}{3})^1 (\frac{1}{3})^3 = 4 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{27} = \frac{8}{81}$।
$P(X = 2) = \binom{4}{2} (\frac{2}{3})^2 (\frac{1}{3})^2 = 6 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{9} = \frac{24}{81}$।
इन प्रायिकताओं का योग करने पर: $P(X \le 2) = \frac{1}{81} + \frac{8}{81} + \frac{24}{81} = \frac{33}{81} = \frac{33}{3^4}$।

(A) माना $n = 100$ उछालों की संख्या है और $p = q = \frac{1}{2}$ एक उछाल में चित या पट आने की प्रायिकता है।
ठीक $r$ चित आने की प्रायिकता द्विपद वितरण द्वारा दी जाती है: $P(X = r) = \binom{100}{r} (\frac{1}{2})^{100}$।
हमें चित के सम संख्या में आने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $S = \sum_{r \text{ is even}} \binom{100}{r} (\frac{1}{2})^{100}$ है।
द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $(p+q)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} p^r q^{n-r} = 1$ और $(q-p)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} (-p)^r q^{n-r}$।
$p=q=\frac{1}{2}$ के लिए,$n \ge 1$ होने पर $(q-p)^n = 0^n = 0$ होता है।
अतः,$\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} (\frac{1}{2})^n = 1$ और $\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} (-1)^r (\frac{1}{2})^n = 0$।
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2 \sum_{r \text{ is even}} \binom{n}{r} (\frac{1}{2})^n = 1 + 0 = 1$।
इसलिए,चित के सम संख्या में आने की प्रायिकता $S = \frac{1}{2}$ है।

(B) दिया गया है $x \sim B\left(n=6, p=\frac{1}{2}\right)$.
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(x=k) = \binom{6}{k} \left(\frac{1}{2}\right)^k \left(\frac{1}{2}\right)^{6-k} = \binom{6}{k} \left(\frac{1}{2}\right)^6 = \binom{6}{k} \frac{1}{64}$ है।
हमें $P(|x-2| \leqslant 1)$ ज्ञात करना है।
$|x-2| \leqslant 1$ का अर्थ है $-1 \leqslant x-2 \leqslant 1$,जो $1 \leqslant x \leqslant 3$ में सरल हो जाता है।
अतः,हमें $P(x=1) + P(x=2) + P(x=3)$ की गणना करनी है।
$P(x=1) = \binom{6}{1} \frac{1}{64} = \frac{6}{64}$.
$P(x=2) = \binom{6}{2} \frac{1}{64} = \frac{15}{64}$.
$P(x=3) = \binom{6}{3} \frac{1}{64} = \frac{20}{64}$.
इन प्रायिकताओं को जोड़ने पर: $P(1 \leqslant x \leqslant 3) = \frac{6+15+20}{64} = \frac{41}{64}$।

(A) जब पासे के एक जोड़े को फेंका जाता है,तो कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
सफलता को दोनों पासों पर समान संख्या प्राप्त करने के रूप में परिभाषित किया गया है। अनुकूल परिणाम $(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)$ हैं,जो कुल $6$ परिणाम हैं।
अतः,सफलता की प्रायिकता $p = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ है।
असफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ है।
हम द्विपद वितरण सूत्र $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ का उपयोग करेंगे,जहाँ $n = 4$ और $k = 2$ है।
$P(X = 2) = \binom{4}{2} \left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(\frac{5}{6}\right)^{4-2}$.
$P(X = 2) = 6 \times \left(\frac{1}{36}\right) \times \left(\frac{25}{36}\right)$.
$P(X = 2) = 6 \times \frac{25}{1296} = \frac{25}{216}$.

(A) माना $p$ एक छात्र के तैराक होने की प्रायिकता है और $q$ एक छात्र के तैराक न होने की प्रायिकता है।
दिया गया है $q = \frac{1}{5}$,इसलिए $p = 1 - q = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.
यहाँ $n = 5$ छात्र हैं और हमें $x = 4$ तैराकों की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X = x) = ^nC_x \cdot p^x \cdot q^{n-x}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X = 4) = ^5C_4 \cdot (\frac{4}{5})^4 \cdot (\frac{1}{5})^{5-4}$
$P(X = 4) = 5 \cdot (\frac{4}{5})^4 \cdot \frac{1}{5}$

(B) माना कि $p$ एक व्यक्ति के खिलाड़ी होने की प्रायिकता है और $q$ एक व्यक्ति के खिलाड़ी न होने की प्रायिकता है।
दिया गया है कि $q = \frac{1}{6}$,इसलिए $p = 1 - q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$।
परिवार में $n = 6$ सदस्य हैं। हमें $x = 5$ सदस्यों के खिलाड़ी होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
द्विपद वितरण सूत्र $P(X = x) = ^nC_x \times p^x \times q^{n-x}$ का उपयोग करने पर:
$P(X = 5) = ^6C_5 \times \left(\frac{5}{6}\right)^5 \times \left(\frac{1}{6}\right)^{6-5}$
$P(X = 5) = 6 \times \left(\frac{5}{6}\right)^5 \times \frac{1}{6}$
अतः,प्रायिकता $6 \times \left(\frac{5}{6}\right)^5 \times \frac{1}{6}$ है।

(A) मान लीजिए कि $p$ एक परीक्षण में घटना $A$ के घटित होने की प्रायिकता है,इसलिए $p = 0.4$ है।
मान लीजिए कि $q$ एक परीक्षण में घटना $A$ के न घटित होने की प्रायिकता है,इसलिए $q = 1 - p = 1 - 0.4 = 0.6$ है।
हम $n = 3$ स्वतंत्र परीक्षण कर रहे हैं।
घटना $A$ के कम से कम एक बार घटित होने की प्रायिकता $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ द्वारा दी जाती है।
द्विपद वितरण सूत्र का उपयोग करते हुए,$P(X = 0) = ^nC_0 \times p^0 \times q^n$ है।
मान रखने पर,$P(X = 0) = 1 \times (0.4)^0 \times (0.6)^3 = 1 \times 1 \times 0.216 = 0.216$ प्राप्त होता है।
अतः,$P(X \geq 1) = 1 - 0.216 = 0.784$ है।

(C) द्विपद वितरण $B(n, p)$ के लिए,प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ है,जहाँ $q = 1-p$ और $n = 33$ है।
दिया गया है $3 P(X=0) = P(X=1)$,मान रखने पर:
$3 \binom{33}{0} p^0 q^{33} = \binom{33}{1} p^1 q^{32}$
$3 \times 1 \times q^{33} = 33 \times p \times q^{32}$
चूंकि $q \neq 0$,दोनों पक्षों को $q^{32}$ से विभाजित करने पर:
$3q = 33p$
$q = 11p$
चूंकि $q = 1-p$,इसलिए $1-p = 11p$,जिसका अर्थ है $1 = 12p$,अतः $p = \frac{1}{12}$।
तब $q = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}$।
द्विपद वितरण का प्रसरण $Var(X) = npq$ होता है।
$Var(X) = 33 \times \frac{1}{12} \times \frac{11}{12} = \frac{33 \times 11}{144} = \frac{363}{144}$।
$3$ से विभाजित करने पर: $\frac{121}{48}$।

(C) चरण $1$: $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1$ गुणधर्म का उपयोग करके $k$ का मान ज्ञात करें।
चूंकि $f(x) = 0$ है $x \leq 0$ के लिए,हमारे पास $\int_{0}^{\infty} \frac{k}{x^2+1} dx = 1$ है।
चरण $2$: समाकलन का मूल्यांकन करें: $k [\tan^{-1} x]_{0}^{\infty} = 1$.
$k (\frac{\pi}{2} - 0) = 1 \implies k = \frac{2}{\pi}$.
चरण $3$: c.d.f. $F(x)$ को $x > 0$ के लिए $P(X \leq x) = \int_{0}^{x} f(t) dt$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$F(x) = \int_{0}^{x} \frac{2/\pi}{t^2+1} dt = \frac{2}{\pi} [\tan^{-1} t]_{0}^{x} = \frac{2}{\pi} \tan^{-1} x$.

(B) प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है।
अतः,$2k + k + 2k + 4k + k = 1$,जिसका अर्थ है $10k = 1$,इसलिए $k = 0.1$।
अब,$a = P(X < 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 2k + k + 2k = 5k = 5(0.1) = 0.5$ की गणना करें।
इसके बाद,$b = P(2 < X < 4) = P(X=3) = 4k = 4(0.1) = 0.4$ की गणना करें।
मानों की तुलना करने पर,$a = 0.5$ और $b = 0.4$,हम देखते हैं कि $a > b$।

(B) जब $3$ सिक्के उछाले जाते हैं,तो कुल परिणामों की संख्या $2^3 = 8$ होती है। प्रतिदर्श समष्टि $S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$ है।
$1$. स्थिति $1$: सभी चित या सभी पट प्राप्त करना।
परिणाम $HHH$ और $TTT$ हैं। ऐसे $2$ परिणाम हैं।
प्रायिकता $P(\text{जीत } ₹150) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
$2$. स्थिति $2$: एक चित या दो चित प्राप्त करना।
परिणाम $HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH$ हैं। ऐसे $6$ परिणाम हैं।
प्रायिकता $P(\text{हार } ₹50) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
$3$. प्रत्याशित मान $E(X)$:
$E(X) = (150 \times \frac{1}{4}) + (-50 \times \frac{3}{4})$
$E(X) = \frac{150}{4} - \frac{150}{4} = 0$.
अतः,प्रति खेल औसतन वह $₹0$ जीत या हार सकता है।

(D) प्रायिकता वितरण के लिए,प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए:
$\frac{1}{5} + A + B = 1 \implies A + B = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ (समीकरण $1$).
अपेक्षित मान $E(X)$,$\sum X \cdot P(X)$ द्वारा दिया जाता है:
$E(X) = 30 \cdot (\frac{1}{5}) + 10 \cdot A + (-10) \cdot B = 4$
$6 + 10A - 10B = 4$
$10A - 10B = -2 \implies 5A - 5B = -1$ (समीकरण $2$).
समीकरण $1$ से,$B = \frac{4}{5} - A$. इसे समीकरण $2$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$5A - 5(\frac{4}{5} - A) = -1$
$5A - 4 + 5A = -1$
$10A = 3 \implies A = \frac{3}{10}$.
अब,$B$ ज्ञात करें: $B = \frac{4}{5} - \frac{3}{10} = \frac{8-3}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.
$AB$ का मान $AB = (\frac{3}{10}) \cdot (\frac{1}{2}) = \frac{3}{20}$ है।

(C) $52$ पत्तों में से $2$ पत्ते निकालने के कुल तरीके $^52C_2 = \frac{52 \times 51}{2} = 1326$ हैं।
मान लीजिए $X$ रानियों की संख्या है। $X$ के मान $0, 1, 2$ हो सकते हैं।
$P(X=0) = \frac{^{48}C_2}{^{52}C_2} = \frac{48 \times 47}{52 \times 51} = \frac{1128}{1326} = \frac{188}{221}$.
$P(X=1) = \frac{^4C_1 \times ^{48}C_1}{^{52}C_2} = \frac{4 \times 48}{1326} = \frac{192}{1326} = \frac{32}{221}$.
$P(X=2) = \frac{^4C_2}{^{52}C_2} = \frac{6}{1326} = \frac{1}{221}$.
$E(X) = 0 \times P(X=0) + 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2) = 0 + \frac{32}{221} + \frac{2}{221} = \frac{34}{221}$.
$E(X^2) = 0^2 \times P(X=0) + 1^2 \times P(X=1) + 2^2 \times P(X=2) = 0 + \frac{32}{221} + \frac{4}{221} = \frac{36}{221}$.
अब,$2 E(X) + 3 E(X^2) = 2 \left(\frac{34}{221}\right) + 3 \left(\frac{36}{221}\right) = \frac{68 + 108}{221} = \frac{176}{221}$.

(A) प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
अतः,$\sum_{x=0}^{\infty} P(X=x) = 1$.
दिए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर: $\sum_{x=0}^{\infty} k(x+1)\left(\frac{1}{5}\right)^x = 1$.
यह $\sum_{x=0}^{\infty} (x+1)r^x$ के रूप की एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी है जहाँ $r = \frac{1}{5}$ है।
श्रेणी $\sum_{x=0}^{\infty} (x+1)r^x = 1 + 2r + 3r^2 + \dots = \frac{1}{(1-r)^2}$ का योग होता है।
$r = \frac{1}{5}$ रखने पर: $\frac{1}{(1 - 1/5)^2} = \frac{1}{(4/5)^2} = \frac{1}{16/25} = \frac{25}{16}$.
इस प्रकार,$k \times \frac{25}{16} = 1$,जिससे $k = \frac{16}{25}$ प्राप्त होता है।
हमें $P(X=0)$ ज्ञात करना है।
$P(X=0) = k(0+1)\left(\frac{1}{5}\right)^0 = k \times 1 \times 1 = k$.
अतः,$P(X=0) = \frac{16}{25}$.

(A) $6$ में से $2$ संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $\binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$ हैं।
मान लीजिए $X$ दोनों संख्याओं में से बड़ी संख्या है। $X$ के लिए संभावित मान $2, 3, 4, 5, 6$ हैं।
यदि $X = 2$ है,तो युग्म $(1, 2)$ है,इसलिए $P(X=2) = \frac{1}{15}$।
यदि $X = 3$ है,तो युग्म $(1, 3), (2, 3)$ हैं,इसलिए $P(X=3) = \frac{2}{15}$।
यदि $X = 4$ है,तो युग्म $(1, 4), (2, 4), (3, 4)$ हैं,इसलिए $P(X=4) = \frac{3}{15}$।
यदि $X = 5$ है,तो युग्म $(1, 5), (2, 5), (3, 5), (4, 5)$ हैं,इसलिए $P(X=5) = \frac{4}{15}$।
यदि $X = 6$ है,तो युग्म $(1, 6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6)$ हैं,इसलिए $P(X=6) = \frac{5}{15}$।
अपेक्षित मान $E(X) = \sum x P(X=x) = 2(\frac{1}{15}) + 3(\frac{2}{15}) + 4(\frac{3}{15}) + 5(\frac{4}{15}) + 6(\frac{5}{15})$।
$E(X) = \frac{2 + 6 + 12 + 20 + 30}{15} = \frac{70}{15} = \frac{14}{3}$।

(C) प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,$\sum_{x=0}^{\infty} P(X=x) = 1$.
दिए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर: $\sum_{x=0}^{\infty} k(x+1)\left(\frac{1}{2}\right)^x = 1$.
$k \sum_{x=0}^{\infty} (x+1)r^x = 1$,जहाँ $r = \frac{1}{2}$.
हम जानते हैं कि $\sum_{x=0}^{\infty} (x+1)r^x = 1 + 2r + 3r^2 + \dots = (1-r)^{-2}$.
$r = \frac{1}{2}$ के लिए,योग $(1 - \frac{1}{2})^{-2} = (\frac{1}{2})^{-2} = 4$ है।
इसलिए,$k(4) = 1$,जिससे $k = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
अब,हमें $P(X=1)$ ज्ञात करना है।
$P(X=1) = k(1+1)\left(\frac{1}{2}\right)^1 = k(2)(\frac{1}{2}) = k$.
चूंकि $k = \frac{1}{4}$,इसलिए $P(X=1) = \frac{1}{4}$।

(B) प्रायिकता वितरण के लिए,प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए:
$\frac{1+p}{5} + \frac{2-2p}{5} + \frac{2-p}{5} + \frac{2p}{5} = 1$
$\frac{1+p+2-2p+2-p+2p}{5} = 1$
$\frac{5}{5} = 1$. यह किसी भी $p$ के लिए हमेशा सत्य है।
चूंकि सभी $x$ के लिए $P(X=x) \ge 0$,हमारे पास है:
$1+p \ge 0 \implies p \ge -1$
$2-2p \ge 0 \implies p \le 1$
$2-p \ge 0 \implies p \le 2$
$2p \ge 0 \implies p \ge 0$
इन सबको मिलाने पर,$0 \le p \le 1$ प्राप्त होता है। $p$ का न्यूनतम मान $0$ है।
अब,$E(X) = \sum x P(X=x)$ की गणना करें:
$E(X) = 0 \cdot \frac{1+p}{5} + 1 \cdot \frac{2-2p}{5} + 2 \cdot \frac{2-p}{5} + 3 \cdot \frac{2p}{5}$
$E(X) = \frac{2-2p + 4-2p + 6p}{5} = \frac{6+2p}{5}$
$p=0$ के लिए,$E(X) = \frac{6}{5}$।
अतः,$5 E(X) = 5 \cdot \frac{6}{5} = 6$।

(B) संचयी वितरण फलन $F(x) = P(X \le x)$ है।
$P[X=-3]$ ज्ञात करने के लिए,हम c.d.f. की परिभाषा का उपयोग करते हैं:
$P[X=-3] = F(-3) = 0.1$.
$P[X < 0]$ ज्ञात करने के लिए,हम देखते हैं कि $X < 0$ में $X = -3$ और $X = -1$ मान शामिल हैं।
अतः,$P[X < 0] = P(X = -3) + P(X = -1) = F(-1) = 0.3$.
अब,हम आवश्यक अनुपात की गणना करते हैं:
$\frac{P[X=-3]}{P[X < 0]} = \frac{0.1}{0.3} = \frac{1}{3}$.
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(B) दिया गया प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=x) = \frac{{}^4C_x}{2^4} = {}^4C_x \left(\frac{1}{2}\right)^x \left(\frac{1}{2}\right)^{4-x}$ है।
यह एक द्विपद बंटन $B(n, p)$ है,जहाँ $n = 4$ और $p = \frac{1}{2}$ है।
द्विपद बंटन का माध्य $\mu = np = 4 \times \frac{1}{2} = 2$ होता है।
द्विपद बंटन का प्रसरण $\sigma^2 = npq$ होता है,जहाँ $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
अतः,$\sigma^2 = 4 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = 1$ होता है।
इसलिए,$\mu = 2$ और $\sigma^2 = 1$ है।

(B) प्रायिकता घनत्व फलन (p.d.f.) के लिए,वक्र के नीचे का कुल क्षेत्रफल $1$ होना चाहिए।
अतः,$\int_{1}^{3} f(x) dx = 1$.
$f(x) = \frac{ax^2}{2} + bx$ रखने पर:
$\int_{1}^{3} (\frac{ax^2}{2} + bx) dx = [\frac{ax^3}{6} + \frac{bx^2}{2}]_{1}^{3} = 1$.
सीमाओं पर गणना करने पर: $(\frac{27a}{6} + \frac{9b}{2}) - (\frac{a}{6} + \frac{b}{2}) = 1$.
$\frac{26a}{6} + \frac{8b}{2} = 1 \implies \frac{13a}{3} + 4b = 1 \implies 13a + 12b = 3$ (समीकरण $1$).
दिया गया है कि $f(2) = 2$:
$\frac{a(2)^2}{2} + b(2) = 2 \implies 2a + 2b = 2 \implies a + b = 1 \implies b = 1 - a$ (समीकरण $2$).
समीकरण $2$ को समीकरण $1$ में रखने पर:
$13a + 12(1 - a) = 3$.
$13a + 12 - 12a = 3$.
$a = 3 - 12 = -9$.
$b = 1 - a$ का उपयोग करने पर:
$b = 1 - (-9) = 10$.
अतः,$a = -9$ और $b = 10$.

(C) मान लीजिए $S$ $5$ या $6$ प्राप्त करने की घटना (सफलता) है और $F$ $1, 2, 3,$ या $4$ प्राप्त करने की घटना (विफलता) है।
सफलता की प्रायिकता $P(S) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
विफलता की प्रायिकता $P(F) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
खेल रुक जाता है यदि उसे $S$ मिलता है या $3$ उछाल के बाद।
संभावित परिणाम:
$1$. पहले उछाल पर सफलता: $S$. प्रायिकता $P_1 = \frac{1}{3}$. लाभ = $₹ 40$.
$2$. दूसरे उछाल पर सफलता: $FS$. प्रायिकता $P_2 = \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{9}$. लाभ = $40 - 20 = ₹ 20$.
$3$. तीसरे उछाल पर सफलता: $FFS$. प्रायिकता $P_3 = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{27}$. लाभ = $40 - 20 - 20 = ₹ 0$.
$4$. तीनों उछालों में विफलता: $FFF$. प्रायिकता $P_4 = \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{27}$. लाभ = $-20 - 20 - 20 = -₹ 60$.
अपेक्षित लाभ $E = (40 \times \frac{1}{3}) + (20 \times \frac{2}{9}) + (0 \times \frac{4}{27}) + (-60 \times \frac{8}{27})$.
$E = \frac{40}{3} + \frac{40}{9} + 0 - \frac{480}{27} = \frac{360 + 120 - 480}{27} = \frac{0}{27} = 0$.

(B) $1$. प्रायिकता वितरण में प्रायिकताओं का योग $1$ होता है। अतः,$\frac{1}{4} + K + \frac{1}{4} + \frac{1}{3} = 1$.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + K = 1 \implies \frac{5}{6} + K = 1 \implies K = \frac{1}{6}$.
$2$. माध्य $\mu = \sum x_i P(x_i) = (-3)(\frac{1}{4}) + (0)(\frac{1}{6}) + (1)(\frac{1}{4}) + (\alpha)(\frac{1}{3}) = -\frac{3}{4} + 0 + \frac{1}{4} + \frac{\alpha}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{\alpha}{3}$.
$3$. प्रसरण $\sigma^2 = \sum x_i^2 P(x_i) - \mu^2$.
$\sum x_i^2 P(x_i) = (-3)^2(\frac{1}{4}) + (0)^2(\frac{1}{6}) + (1)^2(\frac{1}{4}) + (\alpha)^2(\frac{1}{3}) = \frac{9}{4} + 0 + \frac{1}{4} + \frac{\alpha^2}{3} = \frac{5}{2} + \frac{\alpha^2}{3}$.
$4$. दिया गया है कि $\sigma - \mu = 2$,अतः $\sigma = \mu + 2$. इस मान को $\sigma^2 = \sum x_i^2 P(x_i) - \mu^2$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\mu + 2)^2 = \sum x_i^2 P(x_i) - \mu^2 \implies \mu^2 + 4\mu + 4 = \frac{5}{2} + \frac{\alpha^2}{3} - \mu^2$.
$5$. $\mu = -\frac{1}{2} + \frac{\alpha}{3}$ को समीकरण में रखकर $\alpha$ के लिए हल करने पर $\alpha = 3$ प्राप्त होता है।
$6$. अतः $\mu = -\frac{1}{2} + \frac{3}{3} = \frac{1}{2}$.
$7$. अंत में,$\sigma = \mu + 2 = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$.

(A) यादृच्छिक चर $X$ का माध्य $E(X) = \sum x_i P(x_i)$ द्वारा दिया जाता है।
$E(X) = (0 \times 0.4) + (1 \times 0.3) + (2 \times 0.1) + (3 \times 0.1) + (4 \times 0.1)$
$E(X) = 0 + 0.3 + 0.2 + 0.3 + 0.4 = 1.2$.
$X^2$ का अपेक्षित मान $E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i)$ है।
$E(X^2) = (0^2 \times 0.4) + (1^2 \times 0.3) + (2^2 \times 0.1) + (3^2 \times 0.1) + (4^2 \times 0.1)$
$E(X^2) = 0 + 0.3 + 0.4 + 0.9 + 1.6 = 3.2$.
$X$ का प्रसरण $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ द्वारा दिया जाता है।
$Var(X) = 3.2 - (1.2)^2$
$Var(X) = 3.2 - 1.44 = 1.76$.

(A) चरण $1$: $\int_{0}^{1} f(x) dx = 1$ गुणधर्म का उपयोग करके $k$ का मान ज्ञात करें।
$\int_{0}^{1} k(x - x^2) dx = k [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{0}^{1} = k(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) = k(\frac{1}{6}) = 1 \implies k = 6$.
चरण $2$: शर्त $P(X > a) = \frac{20}{27}$ का उपयोग करें।
$P(X > a) = \int_{a}^{1} 6(x - x^2) dx = \frac{20}{27}$.
$6 [\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{a}^{1} = \frac{20}{27}$.
$6 [(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) - (\frac{a^2}{2} - \frac{a^3}{3})] = \frac{20}{27}$.
$6 [\frac{1}{6} - \frac{a^2}{2} + \frac{a^3}{3}] = \frac{20}{27}$.
$1 - 3a^2 + 2a^3 = \frac{20}{27}$.
$2a^3 - 3a^2 + 1 - \frac{20}{27} = 0 \implies 2a^3 - 3a^2 + \frac{7}{27} = 0$.
$54a^3 - 81a^2 + 7 = 0$.
$a = \frac{1}{3}$ रखने पर: $54(\frac{1}{27}) - 81(\frac{1}{9}) + 7 = 2 - 9 + 7 = 0$.
अतः,$a = \frac{1}{3}$ सही उत्तर है।

(A) प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
$\sum P(X=x) = 0 + k + 2k + 2k + 3k + k^2 + 2k^2 + (7k^2 + k) = 1$
$10k^2 + 9k = 1$
$10k^2 + 9k - 1 = 0$
$(10k - 1)(k + 1) = 0$
चूंकि $k > 0$,इसलिए $k = \frac{1}{10}$ है।
हमें $P(X \geqslant 6) = P(X=6) + P(X=7)$ ज्ञात करना है।
$P(X=6) = 2k^2 = 2(\frac{1}{10})^2 = \frac{2}{100}$.
$P(X=7) = 7k^2 + k = 7(\frac{1}{10})^2 + \frac{1}{10} = \frac{7}{100} + \frac{10}{100} = \frac{17}{100}$.
अतः,$P(X \geqslant 6) = \frac{2}{100} + \frac{17}{100} = \frac{19}{100}$.

(C) प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए। अतः,$\sum P(X=x) = 1$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 1$.
$0.1 + k(1) + k(2) + k(5-3) + k(5-4) = 1$.
$0.1 + k + 2k + 2k + k = 1$.
$0.1 + 6k = 1$.
$6k = 0.9$,इसलिए $k = 0.15$.
हमें रविवार को कम से कम दो घंटे अध्ययन करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \ge 2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)$ है।
$P(X=2) = k(2) = 2(0.15) = 0.3$.
$P(X=3) = k(5-3) = 2(0.15) = 0.3$.
$P(X=4) = k(5-4) = 1(0.15) = 0.15$.
$P(X \ge 2) = 0.3 + 0.3 + 0.15 = 0.75$.

(C) प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
अतः,$\sum P(X=x) = K + 2K + K^2 + 2K + 5K^2 = 1$.
समान पदों को जोड़ने पर,हमें $6K^2 + 5K - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(6K - 1)(K + 1) = 0$.
इससे $K = \frac{1}{6}$ या $K = -1$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रायिकता कभी ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $K = \frac{1}{6}$ लेना होगा।
हमें $P(X > 2) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$ ज्ञात करना है।
$P(X > 2) = K^2 + 2K + 5K^2 = 6K^2 + 2K$.
$K = \frac{1}{6}$ रखने पर: $P(X > 2) = 6(\frac{1}{6})^2 + 2(\frac{1}{6}) = 6(\frac{1}{36}) + \frac{2}{6} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1+2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

(C) माना $X$ जीती गई राशि को दर्शाने वाला यादृच्छिक चर है। दो सिक्कों को उछालने के संभावित परिणाम ${HH, HT, TH, TT}$ हैं।
$1$. यदि $2$ चित आते हैं $(HH)$,तो $X = 10$. प्रायिकता $P(X=10) = \frac{1}{4}$.
$2$. यदि $1$ चित आता है $(HT, TH)$,तो $X = 5$. प्रायिकता $P(X=5) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$3$. यदि $0$ चित आते हैं $(TT)$,तो $X = 2$. प्रायिकता $P(X=2) = \frac{1}{4}$.
माध्य $E(X) = \sum x_i p_i = (10 \times \frac{1}{4}) + (5 \times \frac{1}{2}) + (2 \times \frac{1}{4}) = 2.5 + 2.5 + 0.5 = 5.5$.
$E(X^2) = \sum x_i^2 p_i = (10^2 \times \frac{1}{4}) + (5^2 \times \frac{1}{2}) + (2^2 \times \frac{1}{4}) = (100 \times 0.25) + (25 \times 0.5) + (4 \times 0.25) = 25 + 12.5 + 1 = 38.5$.
प्रसरण $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 38.5 - (5.5)^2 = 38.5 - 30.25 = 8.25$.

(B) संचयी वितरण फलन $F(x)$ को $F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$0 < x < 4$ के लिए,$F(x) = \int_{0}^{x} \frac{t}{8} \, dt = \left[ \frac{t^2}{16} \right]_{0}^{x} = \frac{x^2}{16}$.
$x \le 0$ के लिए,$F(x) = 0$.
$x \ge 4$ के लिए,$F(x) = 1$.
मानों की गणना:
$F(0.5) = \frac{(0.5)^2}{16} = \frac{0.25}{16} = 0.015625 \approx 0.0156$.
$F(1.7) = \frac{(1.7)^2}{16} = \frac{2.89}{16} = 0.180625 \approx 0.18$.
$F(5) = 1$ (चूंकि $5 \ge 4$).
अतः,मान $0.0156, 0.18, 1$ हैं।

(B) माध्य $E(X)$ की गणना $\sum x_i P(x_i) = (1 \times 0.1) + (2 \times 0.2) + (3 \times 0.3) + (4 \times 0.4) = 0.1 + 0.4 + 0.9 + 1.6 = 3.0$ के रूप में की जाती है।
प्रसरण $Var(X)$ की गणना $E(X^2) - [E(X)]^2$ के रूप में की जाती है।
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = (1^2 \times 0.1) + (2^2 \times 0.2) + (3^2 \times 0.3) + (4^2 \times 0.4) = 0.1 + 0.8 + 2.7 + 6.4 = 10.0$।
$Var(X) = 10.0 - (3.0)^2 = 10.0 - 9.0 = 1.0$।
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{1.0} = 1.0$।
अतः,माध्य $3$ है और मानक विचलन $1$ है।

(A) दिया गया है कि $70 \%$ सदस्य प्रस्ताव के पक्ष में हैं,इसलिए प्रायिकता $P(X=1) = 0.70$ है।
चूंकि $30 \%$ सदस्य विरोध में हैं,इसलिए प्रायिकता $P(X=0) = 0.30$ है।
माध्य $E(X) = \sum x_i P(x_i) = (0 \times 0.30) + (1 \times 0.70) = 0.70$ है।
$X^2$ का अपेक्षित मान $E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = (0^2 \times 0.30) + (1^2 \times 0.70) = 0.70$ है।
प्रसरण $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 0.70 - (0.70)^2 = 0.70 - 0.49 = 0.21$ है।

(B) यादृच्छिक चर $X$ का माध्य $E(X) = \sum x_i P(x_i)$ द्वारा दिया जाता है।
$E(X) = (2 \times 0.2) + (3 \times 0.5) + (4 \times 0.3) = 0.4 + 1.5 + 1.2 = 3.1$.
$X^2$ का अपेक्षित मान $E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i)$ है।
$E(X^2) = (2^2 \times 0.2) + (3^2 \times 0.5) + (4^2 \times 0.3) = (4 \times 0.2) + (9 \times 0.5) + (16 \times 0.3) = 0.8 + 4.5 + 4.8 = 10.1$.
प्रसरण $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ है।
$Var(X) = 10.1 - (3.1)^2 = 10.1 - 9.61 = 0.49$.
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{Var(X)} = \sqrt{0.49} = 0.7$ है।

(B) प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
$\sum P(X=x) = 1$
$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 1$
$0.2 + k(1) + k(2) + k(6-3) + k(6-4) = 1$
$0.2 + k + 2k + 3k + 2k = 1$
$0.2 + 8k = 1$
$8k = 0.8$
$k = 0.1$
हमें उस प्रायिकता को ज्ञात करना है कि छात्र अधिकतम दो घंटे पढ़ाई करता है,जो $P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ है।
$P(X \le 2) = 0.2 + k(1) + k(2) = 0.2 + 3k$
$k = 0.1$ रखने पर:
$P(X \le 2) = 0.2 + 3(0.1) = 0.2 + 0.3 = 0.5$.

(B) दिया गया है $X \sim B(n, p)$ जहाँ $n=35$ है। प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ है,जहाँ $q = 1-p$ है।
दी गई शर्त $7 P(X=0) = P(X=1)$ के अनुसार:
$7 \binom{35}{0} p^0 q^{35} = \binom{35}{1} p^1 q^{34}$.
$7 q = 35 p \implies q = 5p$.
चूँकि $p+q=1$,इसलिए $p+5p=1 \implies 6p=1 \implies p = \frac{1}{6}$ और $q = \frac{5}{6}$.
अब,$\frac{P(X=15)}{P(X=20)} = \frac{\binom{35}{15} p^{15} q^{20}}{\binom{35}{20} p^{20} q^{15}} = \frac{\binom{35}{15}}{\binom{35}{20}} \cdot (\frac{q}{p})^5$.
चूँकि $\binom{35}{15} = \binom{35}{20}$,इसलिए अनुपात $(q/p)^5 = (5)^5 = 3125$ होगा।

(D) कुल पत्तों की संख्या $52$ है। गड्डी में राजाओं की संख्या $4$ है।
चूंकि पत्ते प्रतिस्थापन के साथ निकाले जाते हैं,इसलिए एक प्रयास में राजा आने की प्रायिकता $p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ है।
राजा न आने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}$ है।
माना $X$ एक यादृच्छिक चर है जो $n = 2$ प्रयासों में प्राप्त राजाओं की संख्या को दर्शाता है। $X$ द्विपद वितरण $B(n, p) = B(2, \frac{1}{13})$ का पालन करता है।
$X$ का प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:
$P(X=0) = \binom{2}{0} p^0 q^2 = 1 \times 1 \times (\frac{12}{13})^2 = \frac{144}{169}$
$P(X=1) = \binom{2}{1} p^1 q^1 = 2 \times \frac{1}{13} \times \frac{12}{13} = \frac{24}{169}$
$P(X=2) = \binom{2}{2} p^2 q^0 = 1 \times (\frac{1}{13})^2 \times 1 = \frac{1}{169}$
हमें $E(X^2) = \sum x^2 P(X=x)$ ज्ञात करना है।
$E(X^2) = (0^2 \times \frac{144}{169}) + (1^2 \times \frac{24}{169}) + (2^2 \times \frac{1}{169})$
$E(X^2) = 0 + \frac{24}{169} + \frac{4}{169} = \frac{28}{169}$.

(C) यहाँ हमें प्रायिकता घनत्व फलन $f(x) = \frac{x^2}{18}$ दिया गया है,जहाँ $-3 < x < 3$ है।
हमें $P[|X| < 2]$ ज्ञात करना है।
प्रतिबंध $|X| < 2$ का अर्थ $-2 < x < 2$ है।
अतः,$P[|X| < 2] = \int_{-2}^{2} f(x) \, dx$.
$P[|X| < 2] = \int_{-2}^{2} \frac{x^2}{18} \, dx$.
चूँकि फलन सम है,$P[|X| < 2] = 2 \int_{0}^{2} \frac{x^2}{18} \, dx$.
$P[|X| < 2] = 2 \times \frac{1}{18} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2}$.
$P[|X| < 2] = \frac{1}{9} \left( \frac{2^3}{3} - 0 \right)$.
$P[|X| < 2] = \frac{1}{9} \times \frac{8}{3} = \frac{8}{27}$.

(A) पहली रेखा के दिक अनुपात $a_1 = 2, b_1 = -4, c_1 = 1$ हैं।
दूसरी रेखा के दिक अनुपात $a_2 = -1, b_2 = 2, c_2 = 3$ हैं।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ का सूत्र:
$\cos \theta = \left| \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} \right|$
मान रखने पर:
$\cos \theta = \left| \frac{(2)(-1) + (-4)(2) + (1)(3)}{\sqrt{2^2 + (-4)^2 + 1^2} \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 3^2}} \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{-2 - 8 + 3}{\sqrt{21} \sqrt{14}} \right| = \frac{7}{\sqrt{294}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)$।

(C) समतल का समीकरण $\frac{x}{3}+\frac{y}{2}-\frac{z}{4}=1$ है।
निर्देशांक अक्षों पर बिंदुओं को ज्ञात करने के लिए,हम अन्य दो चरों को शून्य रखते हैं।
$x$-अक्ष के लिए,$y=0$ और $z=0$ रखने पर: $\frac{x}{3}=1 \implies x=3$. अतः,$A = (3, 0, 0)$.
$y$-अक्ष के लिए,$x=0$ और $z=0$ रखने पर: $\frac{y}{2}=1 \implies y=2$. अतः,$B = (0, 2, 0)$.
$z$-अक्ष के लिए,$x=0$ और $y=0$ रखने पर: $-\frac{z}{4}=1 \implies z=-4$. अतः,$C = (0, 0, -4)$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{AB} = B - A = (-3, 2, 0)$ और $\vec{AC} = C - A = (-3, 0, -4)$.
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -3 & 2 & 0 \\ -3 & 0 & -4 \end{vmatrix} = -8\hat{i} - 12\hat{j} + 6\hat{k}$.
इसका परिमाण $\sqrt{(-8)^2 + (-12)^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 144 + 36} = \sqrt{244} = 2\sqrt{61}$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 2\sqrt{61} = \sqrt{61}$ वर्ग इकाई।

(B) मान लीजिए कि रेखा के दिशा कोण $\alpha = 45^{\circ}$,$\beta = 60^{\circ}$ और $\gamma = \theta$ हैं।
हम जानते हैं कि दिशा कोज्याओं (direction cosines) के वर्गों का योग $1$ होता है,अर्थात $\cos^{2}\alpha + \cos^{2}\beta + \cos^{2}\gamma = 1$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\cos^{2}(45^{\circ}) + \cos^{2}(60^{\circ}) + \cos^{2}\theta = 1$.
$(\frac{1}{\sqrt{2}})^{2} + (\frac{1}{2})^{2} + \cos^{2}\theta = 1$.
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cos^{2}\theta = 1$.
$\frac{3}{4} + \cos^{2}\theta = 1$.
$\cos^{2}\theta = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
$\cos\theta = \pm \frac{1}{2}$.
चूंकि कोण $\theta$ अधिक कोण (obtuse angle) है,इसलिए $\cos\theta$ ऋणात्मक होना चाहिए,अतः $\cos\theta = -\frac{1}{2}$.
इसलिए,$\theta = 120^{\circ}$.

(B) सबसे पहले,हम रेखाओं के समीकरणों को मानक रूप $\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$ में लिखते हैं।
पहली रेखा के लिए: $\frac{x-3}{-2}=\frac{y-2/5}{(3\lambda+1)/5}=\frac{z-5}{-1}$.
दिक् अनुपात $\vec{v_1} = (-2, \frac{3\lambda+1}{5}, -1)$ हैं।
दूसरी रेखा के लिए: $\frac{x+2}{-1}=\frac{y-1/3}{-7/3}=\frac{z-4}{-2\mu}$.
दिक् अनुपात $\vec{v_2} = (-1, -7/3, -2\mu)$ हैं।
चूंकि रेखाएँ परस्पर लंबवत हैं,उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$.
$(-2)(-1) + (\frac{3\lambda+1}{5})(-\frac{7}{3}) + (-1)(-2\mu) = 0$.
$2 - \frac{21\lambda+7}{15} + 2\mu = 0$.
$15$ से गुणा करने पर: $30 - (21\lambda+7) + 30\mu = 0$.
$30 - 21\lambda - 7 + 30\mu = 0$.
$23 - 21\lambda + 30\mu = 0 \implies 21\lambda - 30\mu = 23$.
$3$ से विभाजित करने पर: $7\lambda - 10\mu = \frac{23}{3}$.

(A) मान लीजिए बिंदु $P(2,1,-3)$ और $Q(-1,0,2)$ हैं।
सदिश $\vec{PQ} = (-1-2)\hat{i} + (0-1)\hat{j} + (2-(-3))\hat{k} = -3\hat{i} - 1\hat{j} + 5\hat{k}$ है।
रेखा के दिक्-अनुपात $3, 2, 6$ हैं। रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$ है।
दिशा सदिश का परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$ है।
रेखा के अनुदिश इकाई सदिश $\hat{u} = \frac{3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}}{7}$ है।
रेखाखंड $PQ$ का रेखा पर प्रक्षेप $\vec{PQ}$ और $\hat{u}$ के अदिश गुणनफल का निरपेक्ष मान है:
प्रक्षेप $= |\vec{PQ} \cdot \hat{u}| = |(-3\hat{i} - 1\hat{j} + 5\hat{k}) \cdot \frac{(3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k})}{7}|$
$= |\frac{(-3)(3) + (-1)(2) + (5)(6)}{7}| = |\frac{-9 - 2 + 30}{7}| = |\frac{19}{7}| = \frac{19}{7}$ इकाई।