int frac{d x}{xleft(x^2+1right)}= | vedclass

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Question

(A) समाकलन $I = \int \frac{dx}{x(x^2+1)}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हैं। मान लीजिए $\frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \

Vedclass · Accepted Answer

$\log |x|-\frac{1}{2} \log \left(x^2+1\right)+c$,जहाँ $c$ समाकलन का स्थिरांक है।

Vedclass · Answer

(A) समाकलन $I = \int \frac{dx}{x(x^2+1)}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हैं। मान लीजिए $\frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^2+1}$. $x(x^2+1)$ से गुणा करने पर,हमें $1 = A(x^2+1) + (Bx+C)x$ प्राप्त होता है। $1 = (A+B)x^2 + Cx + A$. गुणांकों की तुलना करने पर,$A=1$,$C=0$,और $A+B=0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $B=-1$. अतः,$\frac{1}{x(x^2+1)} = \frac{1}{x} - \frac{x}{x^2+1}$. दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$I = \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{x}{x^2+1} dx$. दूसरे समाकलन के लिए,मान लीजिए $u = x^2+1$,तो $du = 2x dx$,इसलिए $x dx = \frac{du}{2}$. $I = \log |x| - \frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = \log |x| - \frac{1}{2} \log |x^2+1| + c$. चूंकि $x^2+1 > 0$,हम इसे $\log |x| - \frac{1}{2} \log (x^2+1) + c$ के रूप में लिख सकते हैं।

$\int \frac{d x}{x\left(x^2+1\right)}=$

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$\int \frac{\tan x}{\cos x(\sec x-1)(\sec x-2)} d x=$ . . . . . . $+c$

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