theta in (0, pi) के लिए sin theta + sin (4 th | vedclass

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Question

(D) दिया गया समीकरण: $\sin 	heta + \sin (4 	heta) + \sin (7 	heta) = 0$. योग-से-गुणनफल सूत्र $\sin A + \sin B = 2 \sin \left( \frac{A+B}{2} ight)

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$\frac{2 \pi}{9}, \frac{\pi}{4}, \frac{4 \pi}{9}, \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}, \frac{8 \pi}{9}$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया समीकरण: $\sin 	heta + \sin (4 	heta) + \sin (7 	heta) = 0$. योग-से-गुणनफल सूत्र $\sin A + \sin B = 2 \sin \left( \frac{A+B}{2} ight) \cos \left( \frac{A-B}{2} ight)$ का उपयोग करके,$\sin 	heta$ और $\sin (7 	heta)$ को संयोजित करने पर: $2 \sin (4 	heta) \cos (3 	heta) + \sin (4 	heta) = 0$. $\sin (4 	heta)$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $\sin (4 	heta) (2 \cos (3 	heta) + 1) = 0$. इसके दो मामले हैं: मामला $1$: $\sin (4 	heta) = 0 \implies 4 	heta = n \pi \implies 	heta = \frac{n \pi}{4}$. $	heta \in (0, \pi)$ के लिए,मान $\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}$ हैं। मामला $2$: $2 \cos (3 	heta) + 1 = 0 \implies \cos (3 	heta) = -\frac{1}{2}$. $3 	heta = 2 n \pi \pm \frac{2 \pi}{3} \implies 	heta = \frac{2 n \pi}{3} \pm \frac{2 \pi}{9}$. $	heta \in (0, \pi)$ के लिए: यदि $n=0$,तो $	heta = \frac{2 \pi}{9}$. यदि $n=1$,तो $	heta = \frac{4 \pi}{9}$ और $	heta = \frac{8 \pi}{9}$. सभी मानों को संयोजित करने पर,$	heta \in \{ \frac{2 \pi}{9}, \frac{\pi}{4}, \frac{4 \pi}{9}, \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}, \frac{8 \pi}{9} \}$ प्राप्त होता है।

$\theta \in (0, \pi)$ के लिए $\sin \theta + \sin (4 \theta) + \sin (7 \theta) = 0$ के संभावित मान क्या हैं?

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