समाकलन ज्ञात कीजिए: int frac{dx}{2+cos x} | vedclass

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Question

(A) समाकलन $I = \int \frac{dx}{2+\cos x}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम प्रतिस्थापन $\cos x = \frac{1-	an^2(x/2)}{1+	an^2(x/2)}$ का उपयोग करते हैं।इसे

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$\frac{2}{\sqrt{3}} 	an^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}} 	an \frac{x}{2}ight) + c$

Vedclass · Answer

(A) समाकलन $I = \int \frac{dx}{2+\cos x}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम प्रतिस्थापन $\cos x = \frac{1-	an^2(x/2)}{1+	an^2(x/2)}$ का उपयोग करते हैं।इसे समाकलन में रखने पर:$I = \int \frac{dx}{2 + \frac{1-	an^2(x/2)}{1+	an^2(x/2)}} = \int \frac{(1+	an^2(x/2)) dx}{2(1+	an^2(x/2)) + 1 - 	an^2(x/2)} = \int \frac{\sec^2(x/2) dx}{3 + 	an^2(x/2)}$.माना $t = 	an(x/2)$,तो $dt = \frac{1}{2} \sec^2(x/2) dx$,जिसका अर्थ है $\sec^2(x/2) dx = 2 dt$.इन मानों को समाकलन में रखने पर:$I = \int \frac{2 dt}{3 + t^2} = 2 \int \frac{dt}{(\sqrt{3})^2 + t^2}$.मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a} 	an^{-1}(\frac{x}{a}) + c$ का उपयोग करने पर:$I = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} 	an^{-1}\left(\frac{t}{\sqrt{3}}ight) + c = \frac{2}{\sqrt{3}} 	an^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}} 	an \frac{x}{2}ight) + c$.

समाकलन ज्ञात कीजिए: $\int \frac{dx}{2+\cos x}$

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यदि $\int \frac{dx}{(1+\sqrt{x}) \sqrt{x-x^2}} = \frac{A \sqrt{x}}{\sqrt{1-x}} + \frac{B}{\sqrt{1-x}} + C$,जहाँ $C$ एक वास्तविक स्थिरांक है,तो $A+B$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\text{यदि } \int \frac{1}{\operatorname{cosec} x+\cos x} d x = \frac{1}{2 \sqrt{3}} \log |f(x)| - \int \frac{\cos x-\sin x}{2+\sin 2 x} d x + c, \text{ तो } x = \frac{\pi}{3} \text{ पर } |f(x)| = $

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