$3x+4y \geqslant 12$,$x+y \leqslant 5$,$x, y \geqslant 0$ अवरोधों के अंतर्गत $z=4x+2y$ का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए।

एक निर्माता के पास अपनी फैक्ट्री में तीन मशीनें $I, II$ और $III$ हैं। मशीन $I$ और $II$ को अधिकतम $12 \, \text{घंटे}$ तक चलाया जा सकता है,जबकि मशीन $III$ को दिन में कम से कम $5 \, \text{घंटे}$ चलाना आवश्यक है। वह केवल दो वस्तुएं $M$ और $N$ बनाती है,जिनमें से प्रत्येक को तीनों मशीनों के उपयोग की आवश्यकता होती है। तीनों मशीनों पर $M$ और $N$ की $1$ इकाई बनाने के लिए आवश्यक घंटों की संख्या नीचे दी गई तालिका में दी गई है:

वस्तुएं	मशीन $I$	मशीन $II$	मशीन $III$
$M$	$1$	$2$	$1$
$N$	$2$	$1$	$1.25$

वह वस्तुओं $M$ और $N$ पर क्रमशः $Rs. \, 600$ और $Rs. \, 400$ का लाभ कमाती है। उसे प्रत्येक वस्तु की कितनी इकाइयों का उत्पादन करना चाहिए ताकि उसका लाभ अधिकतम हो,यह मानते हुए कि वह उत्पादित सभी वस्तुओं को बेच सकती है? अधिकतम लाभ क्या होगा?

एक इलेक्ट्रॉनिक सर्किट निर्माता के पास $200$ प्रतिरोधक (resistors),$120$ ट्रांजिस्टर और $150$ संधारित्र (capacitors) का स्टॉक है और उसे दो प्रकार के सर्किट $A$ और $B$ बनाने हैं। प्रकार $A$ के लिए $20$ प्रतिरोधक,$10$ ट्रांजिस्टर और $10$ संधारित्र की आवश्यकता होती है। प्रकार $B$ के लिए $10$ प्रतिरोधक,$20$ ट्रांजिस्टर और $30$ संधारित्र की आवश्यकता होती है। यदि प्रकार $A$ सर्किट पर लाभ $Rs. 50$ है और प्रकार $B$ सर्किट पर लाभ $Rs. 60$ है,तो इस समस्या को $LPP$ के रूप में तैयार करें ताकि निर्माता अपने लाभ को अधिकतम कर सके।

एक फैक्ट्री टेनिस रैकेट और क्रिकेट बैट बनाती है। एक टेनिस रैकेट बनाने में $1.5\, \text{घंटे}$ मशीन का समय और $3\, \text{घंटे}$ कारीगर का समय लगता है, जबकि एक क्रिकेट बैट बनाने में $3\, \text{घंटे}$ मशीन का समय और $1\, \text{घंटा}$ कारीगर का समय लगता है। एक दिन में, फैक्ट्री के पास $42\, \text{घंटे}$ से अधिक मशीन का समय और $24\, \text{घंटे}$ से अधिक कारीगर का समय उपलब्ध नहीं है। यदि फैक्ट्री अपनी पूर्ण क्षमता पर काम करती है, तो कितने रैकेट और बैट बनाए जाने चाहिए?

$L.P.P.$ में,$x + y \leq 5, x + 2y \geq 4, 4x + y \leq 12, x, y \geq 0$ अवरोधों के अंतर्गत उद्देश्य फलन $Z = 6x + 3y$ का अधिकतम मान क्या है?

किसानों की एक सहकारी समिति के पास दो फसलों $X$ और $Y$ को उगाने के लिए $50$ हेक्टेयर भूमि है। फसलों $X$ और $Y$ से प्रति हेक्टेयर लाभ का अनुमान क्रमशः रु. $10,500$ और रु. $9,000$ है। खरपतवार को नियंत्रित करने के लिए,फसलों $X$ और $Y$ के लिए प्रति हेक्टेयर $20$ लीटर और $10$ लीटर की दर से तरल शाकनाशी (herbicide) का उपयोग किया जाना है। इसके अलावा,इस भूमि से जल निकासी एकत्र करने वाले तालाब में मछलियों और वन्यजीवों की सुरक्षा के लिए $800$ लीटर से अधिक शाकनाशी का उपयोग नहीं किया जाना चाहिए। समिति के कुल लाभ को अधिकतम करने के लिए प्रत्येक फसल के लिए कितनी भूमि आवंटित की जानी चाहिए?