MHT CET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) दिए गए समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n}_1 = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{n}_2 = \hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ हैं।
चूंकि रेखा $L$ इन दोनों समतलों की प्रतिच्छेदन रेखा है,इसलिए यह दोनों अभिलंब सदिशों के लंबवत है।
अतः,रेखा $L$ का दिशा सदिश $\vec{v}$,$\vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-3) - \hat{j}(4-1) + \hat{k}(6-3) = 3\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}$.
हम दिशा सदिश को सरल करके $\vec{u} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ लिख सकते हैं।
रेखा द्वारा धनात्मक $X$-अक्ष (जो इकाई सदिश $\hat{i}$ द्वारा दर्शाया जाता है) के साथ बनाया गया कोण $\alpha$,$\cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \hat{i}}{|\vec{u}| |\hat{i}|}$ द्वारा दिया जाता है।
अदिश गुणनफल की गणना: $\vec{u} \cdot \hat{i} = (1)(1) + (-1)(0) + (1)(0) = 1$.
परिमाण की गणना: $|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
अतः,$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3} \times 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(B) $1$. मान लीजिए कि $(1, 2, 1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x - 1) + b(y - 2) + c(z - 1) = 0$ है।
$2$. यह समतल $2x - 2y + z = 0$ और $x - y + 2z = 4$ के लंबवत है। इसके अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (2, -2, 1)$ और $\vec{n_2} = (1, -1, 2)$ हैं।
$3$. अभीष्ट समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 + 1) - \hat{j}(4 - 1) + \hat{k}(-2 + 2) = -3\hat{i} - 3\hat{j} + 0\hat{k}$ होगा।
$4$. हम अभिलंब सदिश को $(1, 1, 0)$ के रूप में ले सकते हैं। समतल का समीकरण $1(x - 1) + 1(y - 2) + 0(z - 1) = 0$ होगा,जो सरल होकर $x + y - 3 = 0$ बन जाता है।
$5$. बिंदु $(2, 3, 4)$ से समतल $x + y - 3 = 0$ की दूरी $d = \frac{|2 + 3 - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ इकाई है।

(C) $yz$-समतल का समीकरण $x = 0$ है। चूंकि अभीष्ट समतल $yz$-समतल के लंबवत है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $yz$-समतल के अभिलंब सदिश (जो $\hat{i} = (1, 0, 0)$ है) के लंबवत होना चाहिए।
मान लीजिए बिंदु $A(-1, 2, -2)$ और $B(-1, 3, 2)$ हैं।
सदिश $\vec{AB} = (-1 - (-1))\hat{i} + (3 - 2)\hat{j} + (2 - (-2))\hat{k} = 0\hat{i} + 1\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
चूंकि समतल $yz$-समतल के लंबवत है,इसका अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$\hat{i} = (1, 0, 0)$ और $\vec{AB} = (0, 1, 4)$ के लंबवत है।
अतः,$\vec{n} = \hat{i} \times \vec{AB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(0) - \hat{j}(4) + \hat{k}(1) = (0, -4, 1)$ है।
बिंदु $(-1, 2, -2)$ से गुजरने वाले और $(0, -4, 1)$ अभिलंब सदिश वाले समतल का समीकरण है:
$0(x + 1) - 4(y - 2) + 1(z + 2) = 0$
$-4y + 8 + z + 2 = 0$
$-4y + z + 10 = 0$
$4y - z = 10$.

(A) एक बिंदु $\vec{a}$ से गुजरने वाले और दो रेखाओं,जिनके दिशा सदिश $\vec{b}$ और $\vec{c}$ हैं,के समांतर समतल का समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$ या $\vec{r} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,बिंदु $\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$ है और रेखाओं के दिशा सदिश $\vec{b} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$ और $\vec{c} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{b} \times \vec{c}$ की गणना करें:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & -4 \\ 2 & -3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - 12) - \hat{j}(6 - (-8)) + \hat{k}(-9 - 4) = -8\hat{i} - 14\hat{j} - 13\hat{k}$.
अब,$\vec{a} \cdot \vec{n}$ की गणना करें:
$\vec{a} \cdot \vec{n} = (2)(-8) + (-1)(-14) + (-3)(-13) = -16 + 14 + 39 = 37$.
समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot (-8\hat{i} - 14\hat{j} - 13\hat{k}) = 37$ है,जिसे $-8x - 14y - 13z = 37$ या $8x + 14y + 13z + 37 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(D) माना बिंदु $\vec{a} = \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$ है और समांतर सदिश $\vec{b} = 2 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ तथा $\vec{c} = \hat{i} - \hat{j} + 3 \hat{k}$ हैं।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{b} \times \vec{c}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3 - 1) - \hat{j}(6 + 1) + \hat{k}(-2 - 1) = 2 \hat{i} - 7 \hat{j} - 3 \hat{k}$.
समतल का सदिश समीकरण $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$ है।
$\vec{a} \cdot \vec{n} = (\hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} - 7 \hat{j} - 3 \hat{k}) = (1)(2) + (2)(-7) + (-1)(-3) = 2 - 14 + 3 = -9$.
अतः,समीकरण $\vec{r} \cdot (2 \hat{i} - 7 \hat{j} - 3 \hat{k}) = -9$ है।

(C) समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ से बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ की लंबवत दूरी $d$ का सूत्र है:
$d = \left| \frac{Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \right|$
यहाँ,बिंदु मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ है और समतल $2x + y - 2z - 18 = 0$ है।
मान रखने पर:
$d = \left| \frac{2(0) + 1(0) - 2(0) - 18}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}} \right|$
$d = \left| \frac{-18}{\sqrt{4 + 1 + 4}} \right|$
$d = \left| \frac{-18}{\sqrt{9}} \right|$
$d = \left| \frac{-18}{3} \right|$
$d = |-6| = 6 \text{ इकाई}$

(B) बिंदु $(1, -5, 9)$ से गुजरने वाली और रेखा $x = y = z$ (दिक् अनुपात $1, 1, 1$) के समांतर रेखा का समीकरण $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 5}{1} = \frac{z - 9}{1} = \lambda$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(\lambda + 1, \lambda - 5, \lambda + 9)$ के रूप का है।
चूंकि यह बिंदु समतल $x - y + z = 5$ पर स्थित है,इसलिए हम इन निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(\lambda + 1) - (\lambda - 5) + (\lambda + 9) = 5$.
$\lambda + 1 - \lambda + 5 + \lambda + 9 = 5$.
$\lambda + 15 = 5$,जिससे $\lambda = -10$ प्राप्त होता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(-10 + 1, -10 - 5, -10 + 9) = (-9, -15, -1)$ है।
अभीष्ट दूरी $(1, -5, 9)$ और $(-9, -15, -1)$ के बीच की दूरी है:
$d = \sqrt{(-9 - 1)^2 + (-15 - (-5))^2 + (-1 - 9)^2}$.
$d = \sqrt{(-10)^2 + (-10)^2 + (-10)^2} = \sqrt{100 + 100 + 100} = \sqrt{300} = 10 \sqrt{3}$ इकाई।

(C) माना चर समतल का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ है।
चूंकि यह निश्चित बिंदु $(3, 2, 1)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{3}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1$ (समीकरण $i$)।
बिंदुओं $A, B$ और $C$ के निर्देशांक क्रमशः $(a, 0, 0), (0, b, 0)$ और $(0, 0, c)$ हैं।
$A(a, 0, 0)$ से गुजरने वाला और $YZ$-समतल के समानांतर समतल $x = a$ है।
$B(0, b, 0)$ से गुजरने वाला और $ZX$-समतल के समानांतर समतल $y = b$ है।
$C(0, 0, c)$ से गुजरने वाला और $XY$-समतल के समानांतर समतल $z = c$ है।
इन तीन समतलों का प्रतिच्छेदन बिंदु $(x, y, z) = (a, b, c)$ है।
समीकरण $i$ में $a = x, b = y$ और $c = z$ रखने पर,हमें बिंदुपथ प्राप्त होता है: $\frac{3}{x} + \frac{2}{y} + \frac{1}{z} = 1$.

(A) माना $A = (5, -1, 4)$ और $B = (4, -1, 3)$ है।
सदिश $\vec{AB} = (4-5)\hat{i} + (-1-(-1))\hat{j} + (3-4)\hat{k} = -\hat{i} - \hat{k}$ है।
सदिश का परिमाण $|\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ है।
समतल $x+y+z=7$ के लिए अभिलंब सदिश $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ है।
माना $\theta$ रेखाखंड $AB$ और समतल के बीच का कोण है। रेखाखंड और समतल के अभिलंब के बीच का कोण $\phi$,$\cos \phi = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{n}|}{|\vec{AB}| |\vec{n}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\cos \phi = \frac{|(-1)(1) + (0)(1) + (-1)(1)|}{\sqrt{2} \sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{2} \sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$ है।
चूंकि $\phi$ अभिलंब के साथ कोण है,इसलिए समतल के साथ कोण $\theta = 90^\circ - \phi$ है,अतः $\sin \theta = \cos \phi = \sqrt{\frac{2}{3}}$ है।
तब $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{1}{3}}$ है।
समतल पर रेखाखंड के प्रक्षेप की लंबाई $|\vec{AB}| \cos \theta = \sqrt{2} \times \sqrt{\frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$ इकाई है।

(D) दी गई दो रेखाओं को समाहित करने वाले समतल का समीकरण सारणिक रूप में इस प्रकार है:
$\begin{vmatrix} x-1 & y-2 & z-3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(x-1)(15-16) - (y-2)(10-12) + (z-3)(8-9) = 0$
$-(x-1) + 2(y-2) - (z-3) = 0$
$-x + 1 + 2y - 4 - z + 3 = 0$
$-x + 2y - z = 0 \implies x - 2y + z = 0$ ... $(i)$
दिया गया समतल समीकरण $Ax - 2y + z = d$ ... $(ii)$
चूंकि समतल समानांतर हैं,इसलिए $x, y, z$ के गुणांक समानुपाती होने चाहिए। अतः,$A = 1$.
दो समानांतर समतलों $ax + by + cz = d_1$ और $ax + by + cz = d_2$ के बीच की दूरी $D = \frac{|d_1 - d_2|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ होती है।
यहाँ,$D = \sqrt{6}$,$a=1, b=-2, c=1$,$d_1 = 0$,और $d_2 = d$ है।
$\sqrt{6} = \frac{|0 - d|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|d|}{\sqrt{6}}$
$|d| = \sqrt{6} \times \sqrt{6} = 6$.

(B) दिए गए समतलों $P_1: x+y+z-1=0$ और $P_2: 2x+3y-z+4=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले किसी भी समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x+y+z-1) + \lambda(2x+3y-z+4) = 0$
$(1+2\lambda)x + (1+3\lambda)y + (1-\lambda)z + (4\lambda-1) = 0$
चूंकि समतल $Y$-अक्ष के समांतर है,इसलिए इसका अभिलंब $Y$-अक्ष (जिसकी दिशा $\vec{j} = (0, 1, 0)$ है) के लंबवत होना चाहिए।
अतः,$y$ का गुणांक शून्य होना चाहिए:
$1+3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{3}$
समीकरण में $\lambda = -\frac{1}{3}$ रखने पर:
$(1 + 2(-\frac{1}{3}))x + (1 + 3(-\frac{1}{3}))y + (1 - (-\frac{1}{3}))z + (4(-\frac{1}{3}) - 1) = 0$
$(1 - \frac{2}{3})x + 0y + (1 + \frac{1}{3})z + (-\frac{4}{3} - 1) = 0$
$\frac{1}{3}x + \frac{4}{3}z - \frac{7}{3} = 0$
$3$ से गुणा करने पर,हमें $x+4z-7=0$ प्राप्त होता है।

(D) समतल के अंतःखंड रूप का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ होता है।
यहाँ $a = 1$ और $b = 1$ दिया गया है,अतः समीकरण $x + y + \frac{z}{c} = 1$ होगा।
चूँकि समतल बिंदु $(-1, 1, 2)$ से गुजरता है,मान रखने पर $-1 + 1 + \frac{2}{c} = 1$ प्राप्त होता है,जिससे $\frac{2}{c} = 1$ अर्थात $c = 2$ मिलता है।
समतल का समीकरण $x + y + \frac{z}{2} = 1$ या $2x + 2y + z - 2 = 0$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}$ है।
$X$-अक्ष की दिशा का सदिश $\vec{v} = 1\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}$ है।
रेखा और समतल के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने के लिए $\sin \theta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{v}|}{|\vec{n}| |\vec{v}|}$ का उपयोग करते हैं।
$\sin \theta = \frac{|(2)(1) + (2)(0) + (1)(0)|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} \cdot 1} = \frac{2}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}$.
अतः,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$.

(C) चूंकि रेखा समतल में स्थित है,इसलिए रेखा का दिशा सदिश समतल के अभिलंब सदिश के लंबवत होता है। रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ है और समतल का अभिलंब $\vec{n} = \ell\hat{i} + m\hat{j} - \hat{k}$ है।
अतः,$\vec{v} \cdot \vec{n} = 0 \Rightarrow (2)(\ell) + (-1)(m) + (3)(-1) = 0 \Rightarrow 2\ell - m = 3$ (समीकरण $i$)।
साथ ही,रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा। बिंदु $(3, -2, -4)$ रेखा पर स्थित है,इसलिए इसे समतल पर भी स्थित होना चाहिए:
$\ell(3) + m(-2) - (-4) = 9 \Rightarrow 3\ell - 2m + 4 = 9 \Rightarrow 3\ell - 2m = 5$ (समीकरण $ii$)।
समीकरणों को हल करने पर:
$(i)$ से,$m = 2\ell - 3$। इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3\ell - 2(2\ell - 3) = 5 \Rightarrow 3\ell - 4\ell + 6 = 5 \Rightarrow -\ell = -1 \Rightarrow \ell = 1$।
तब $m = 2(1) - 3 = -1$।
अतः,$\ell^2 + m^2 = (1)^2 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2$।

(D) माना दी गई रेखा $L: \frac{x-1}{3}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-4}{-5} = k$ है। रेखा पर कोई भी बिंदु $(3k+1, k+3, -5k+4)$ है।
रेखा $L$ और समतल $2x-y+z+3=0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,$2(3k+1)-(k+3)+(-5k+4)+3=0$ प्राप्त होता है।
$6k+2-k-3-5k+4+3=0 \implies 6=0$,जो संभव नहीं है। अतः,रेखा समतल के समांतर है।
रेखा पर स्थित बिंदु $P(1, 3, 4)$ का समतल $2x-y+z+3=0$ में प्रतिबिंब $P'(x', y', z')$ है।
सूत्र $\frac{x'-1}{2} = \frac{y'-3}{-1} = \frac{z'-4}{1} = -2 \frac{2(1)-3+4+3}{2^2+(-1)^2+1^2} = -2 \frac{6}{6} = -2$ का उपयोग करने पर।
$x'-1 = -4 \implies x' = -3$.
$y'-3 = 2 \implies y' = 5$.
$z'-4 = -2 \implies z' = 2$.
प्रतिबिंब रेखा $(-3, 5, 2)$ से गुजरती है और मूल रेखा के समान ही दिक अनुपात $(3, 1, -5)$ रखती है।
अतः,समीकरण $\frac{x+3}{3} = \frac{y-5}{1} = \frac{z-2}{-5}$ है।

(C) दी गई रेखा $\frac{x-4}{1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z - m/2}{3/2}$ है।
यह रेखा बिंदु $P(4, 2, m/2)$ से होकर गुजरती है।
चूंकि रेखा समतल $2x - 5y + 2z = 7$ में स्थित है,इसलिए बिंदु $P$ को समतल के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए।
$P$ के निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(4) - 5(2) + 2(m/2) = 7$
$8 - 10 + m = 7$
$-2 + m = 7$
$m = 9$
इसके अतिरिक्त,रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = (1, 1, 3/2)$ समतल के अभिलंब $\vec{n} = (2, -5, 2)$ के लंबवत होना चाहिए।
अदिश गुणनफल की जाँच करने पर: $\vec{v} \cdot \vec{n} = (1)(2) + (1)(-5) + (3/2)(2) = 2 - 5 + 3 = 0$.
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,रेखा समतल के समानांतर है,और चूंकि बिंदु $P$ समतल पर स्थित है,इसलिए $m = 9$ के लिए पूरी रेखा समतल में स्थित है।

(A) माना रेखा $\frac{x-4}{2}=\frac{y-5}{2}=\frac{z-3}{1}=\lambda$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(2\lambda+4, 2\lambda+5, \lambda+3)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि यह बिंदु समतल $x+y+z=2$ पर स्थित है,हम निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(2\lambda+4) + (2\lambda+5) + (\lambda+3) = 2$.
$5\lambda + 12 = 2$.
$5\lambda = -10$,इसलिए $\lambda = -2$.
$\lambda = -2$ को बिंदु के निर्देशांकों में रखने पर:
$x = 2(-2) + 4 = 0$,
$y = 2(-2) + 5 = 1$,
$z = (-2) + 3 = 1$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 1, 1)$ है।
अब,जांचें कि कौन सा विकल्प बिंदु $(0, 1, 1)$ को संतुष्ट करता है:
विकल्प $(A)$ के लिए: $\frac{0-1}{1} = -1$,$\frac{1-3}{2} = -1$,$\frac{1+4}{-5} = -1$.
चूंकि सभी अनुपात $-1$ के बराबर हैं,इसलिए बिंदु $(0, 1, 1)$ विकल्प $(A)$ में दी गई रेखा पर स्थित है।

(B) दो रेखाएँ $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ समतलीय होती हैं यदि $\left|\begin{array}{ccc} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{array}\right| = 0$ हो।
यहाँ,$(x_1, y_1, z_1) = (2, 3, 4)$,$(a_1, b_1, c_1) = (1, 1, -k)$,$(x_2, y_2, z_2) = (1, 4, 5)$,और $(a_2, b_2, c_2) = (k, 2, 1)$ है।
इन मानों को सारणिक की शर्त में रखने पर:
$\left|\begin{array}{ccc} 1-2 & 4-3 & 5-4 \\ 1 & 1 & -k \\ k & 2 & 1 \end{array}\right| = 0$
$\left|\begin{array}{ccc} -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -k \\ k & 2 & 1 \end{array}\right| = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$-1(1 - (-2k)) - 1(1 - (-k^2)) + 1(2 - k) = 0$
$-1(1 + 2k) - 1(1 + k^2) + 2 - k = 0$
$-1 - 2k - 1 - k^2 + 2 - k = 0$
$-k^2 - 3k = 0$
$k^2 + 3k = 0$
$k(k + 3) = 0$
अतः,$k = 0$ या $k = -3$ प्राप्त होता है।

(A) माना $A(x_1, y_1, z_1) = (3, 4, 1)$ और $B(x_2, y_2, z_2) = (5, 1, 6)$ है।
दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}$ होता है।
मान रखने पर,हमें $\frac{x-3}{5-3} = \frac{y-4}{1-4} = \frac{z-1}{6-1}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{x-3}{2} = \frac{y-4}{-3} = \frac{z-1}{5} = k$ हो जाता है।
चूंकि रेखा $xy$-समतल को काटती है,इसलिए $z$-निर्देशांक $0$ होना चाहिए।
$z = 0$ रखने पर,$\frac{0-1}{5} = k$,अतः $k = -\frac{1}{5}$।
अब,$k = -\frac{1}{5}$ का उपयोग करके $x$ और $y$ ज्ञात करें:
$x - 3 = 2k \Rightarrow x = 3 + 2(-\frac{1}{5}) = 3 - \frac{2}{5} = \frac{13}{5}$।
$y - 4 = -3k \Rightarrow y = 4 - 3(-\frac{1}{5}) = 4 + \frac{3}{5} = \frac{23}{5}$।
अतः,अभीष्ट बिंदु $\left(\frac{13}{5}, \frac{23}{5}, 0\right)$ है।

(B) $1$. दिक-कोसाइन: चूँकि रेखा निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती है,इसके दिक-अनुपात $(1, 1, 1)$ के समानुपाती हैं।
$2$. रेखा का समीकरण: बिंदु $P(2, 1, 2)$ से गुजरने वाली और $(1, 1, 1)$ दिक-अनुपात वाली रेखा का प्राचलिक रूप:
$\frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-2}{1} = t$
अतः,$x = 2+t, y = 1+t, z = 2+t$.
$3$. समतल के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु: इन मानों को समतल के समीकरण $2x+y+z=9$ में रखने पर:
$2(2+t) + (1+t) + (2+t) = 9$
$4 + 2t + 1 + t + 2 + t = 9$
$4t + 7 = 9 \Rightarrow 4t = 2 \Rightarrow t = \frac{1}{2}$.
$4$. $Q$ के निर्देशांक: $t = \frac{1}{2}$ रखने पर,$Q = (2+\frac{1}{2}, 1+\frac{1}{2}, 2+\frac{1}{2}) = (\frac{5}{2}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2})$.
$5$. $PQ$ की लंबाई: दूरी सूत्र का उपयोग करने पर:
$PQ = \sqrt{(\frac{5}{2}-2)^2 + (\frac{3}{2}-1)^2 + (\frac{5}{2}-2)^2}$
$PQ = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ इकाई।

(B) किसी रेखा के समतल में स्थित होने के लिए,रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु को समतल के समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए। रेखा $\frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+m}{2}$ बिंदु $(4, 2, -m)$ से होकर गुजरती है।
इस बिंदु को समतल के समीकरण $2x - 4y + z = 7$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(4) - 4(2) + (-m) = 7$
$8 - 8 - m = 7$
$-m = 7$
$m = -7$
इसके अतिरिक्त,समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (2, -4, 1)$ रेखा के दिशा सदिश $\vec{v} = (1, 1, 2)$ के लंबवत होना चाहिए।
अदिश गुणनफल की जाँच करने पर: $(2)(1) + (-4)(1) + (1)(2) = 2 - 4 + 2 = 0$।
चूँकि अदिश गुणनफल $0$ है,रेखा समतल के समांतर है। $m = -7$ के लिए बिंदु $(4, 2, -m)$ समतल पर स्थित है,इसलिए पूरी रेखा समतल में स्थित है।

(B) रेखा का दिया गया समीकरण $\frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{-5}=\frac{z+2}{2}$ है।
यह रेखा बिंदु $P(2, 1, -2)$ से होकर गुजरती है।
चूंकि रेखा समतल $x+3y-\alpha z+\beta=0$ में स्थित है,इसलिए बिंदु $P$ समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$2 + 3(1) - \alpha(-2) + \beta = 0$
$2 + 3 + 2\alpha + \beta = 0$
$2\alpha + \beta = -5$ $(i)$
साथ ही,रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = (3, -5, 2)$ समतल के अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, 3, -\alpha)$ के लंबवत है।
इसलिए,उनका डॉट गुणनफल शून्य होगा:
$3(1) + (-5)(3) + 2(-\alpha) = 0$
$3 - 15 - 2\alpha = 0$
$-12 - 2\alpha = 0$
$2\alpha = -12 \implies \alpha = -6$
समीकरण $(i)$ में $\alpha = -6$ रखने पर:
$2(-6) + \beta = -5$
$-12 + \beta = -5$
$\beta = 7$
अतः,$(\alpha, \beta) = (-6, 7)$.

(D) चूंकि रेखा समतल में स्थित है,इसलिए रेखा का दिशा सदिश समतल के अभिलंब सदिश के लंबवत होता है। रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$ है और समतल का अभिलंब $\vec{n} = \ell\hat{i} + m\hat{j} - \hat{k}$ है।
अतः,$\vec{v} \cdot \vec{n} = 0 \Rightarrow 2\ell + m - 3 = 0$,जिससे $2\ell + m = 3$ प्राप्त होता है (समीकरण $i$)।
साथ ही,रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु समतल पर होना चाहिए। बिंदु $(3, -2, -4)$ रेखा पर स्थित है,इसलिए यह समतल के समीकरण $\ell x + my - z = 9$ को संतुष्ट करेगा।
बिंदु को प्रतिस्थापित करने पर: $3\ell - 2m - (-4) = 9 \Rightarrow 3\ell - 2m = 5$ (समीकरण $ii$)।
समीकरणों को हल करने पर:
समीकरण $(i)$ से,$m = 3 - 2\ell$। इसे $(ii)$ में रखने पर:
$3\ell - 2(3 - 2\ell) = 5 \Rightarrow 3\ell - 6 + 4\ell = 5 \Rightarrow 7\ell = 11 \Rightarrow \ell = \frac{11}{7}$।
तब $m = 3 - 2(\frac{11}{7}) = \frac{21 - 22}{7} = -\frac{1}{7}$।
अंत में,$\ell^2 + m^2 = (\frac{11}{7})^2 + (-\frac{1}{7})^2 = \frac{121}{49} + \frac{1}{49} = \frac{122}{49}$।

(C) समतल का समीकरण $2x + 3y + 4z = 1$ है।
$X$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के लिए,$y = 0$ और $z = 0$ रखें: $2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$. अतः,$A = (\frac{1}{2}, 0, 0)$।
$Y$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के लिए,$x = 0$ और $z = 0$ रखें: $3y = 1 \implies y = \frac{1}{3}$. अतः,$B = (0, \frac{1}{3}, 0)$।
$Z$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के लिए,$x = 0$ और $y = 0$ रखें: $4z = 1 \implies z = \frac{1}{4}$. अतः,$C = (0, 0, \frac{1}{4})$।
$\triangle ABC$ का केंद्रक $(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3})$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर:
केंद्रक $= (\frac{1/2 + 0 + 0}{3}, \frac{0 + 1/3 + 0}{3}, \frac{0 + 0 + 1/4}{3}) = (\frac{1}{6}, \frac{1}{9}, \frac{1}{12})$।

(A) रेखा पर बिंदु $Q$ का स्थिति सदिश $\vec{q} = (1 - 3\mu)\hat{i} + (-1 + \mu)\hat{j} + (2 + 5\mu)\hat{k}$ है।
दिया गया बिंदु $P(3, 2, 6)$ है,इसलिए इसका स्थिति सदिश $\vec{p} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$ है।
सदिश $\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = (-3\mu - 2)\hat{i} + (\mu - 3)\hat{j} + (5\mu - 4)\hat{k}$ है।
समतल $x - 4y + 3z = 1$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \hat{i} - 4\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
चूंकि $\vec{PQ}$ समतल के समानांतर है,इसलिए यह अभिलंब सदिश $\vec{n}$ के लंबवत होना चाहिए,अतः $\vec{PQ} \cdot \vec{n} = 0$.
$(-3\mu - 2)(1) + (\mu - 3)(-4) + (5\mu - 4)(3) = 0$.
$-3\mu - 2 - 4\mu + 12 + 15\mu - 12 = 0$.
$8\mu - 2 = 0$.
$8\mu = 2 \Rightarrow \mu = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

(B) रेखाएं $L_1$ और $L_2$ समतलीय होती हैं यदि प्रत्येक रेखा पर एक बिंदु को जोड़ने वाले सदिश और उनकी दिशा सदिशों का सारणिक शून्य हो।
दिए गए बिंदु: $P_1 = (-1, 2, 1)$ और $P_2 = (-2, -1, -1)$।
दिशा सदिश: $\vec{v_1} = (2, -1, 1)$ और $\vec{v_2} = (\alpha, 5-\alpha, 1)$।
समतलीयता के लिए शर्त:
$\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} -2-(-1) & -1-2 & -1-1 \\ 2 & -1 & 1 \\ \alpha & 5-\alpha & 1 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} -1 & -3 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \alpha & 5-\alpha & 1 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$-1(-1 - (5-\alpha)) + 3(2 - \alpha) - 2(2(5-\alpha) - (-1)\alpha) = 0$
$-1(-6+\alpha) + 6 - 3\alpha - 2(10 - 2\alpha + \alpha) = 0$
$6 - \alpha + 6 - 3\alpha - 20 + 2\alpha = 0$
$-2\alpha - 8 = 0 \Rightarrow \alpha = -4$।
$\alpha = -4$ को $L_2$ में रखने पर:
$L_2: \frac{x+2}{-4} = \frac{y+1}{5-(-4)} = \frac{z+1}{1} \Rightarrow \frac{x+2}{-4} = \frac{y+1}{9} = \frac{z+1}{1}$।
विकल्प $(B) (2, -10, -2)$ की जाँच करने पर:
$\frac{2+2}{-4} = \frac{-10+1}{9} = \frac{-2+1}{1} \Rightarrow -1 = -1 = -1$।
अतः,रेखा $L_2$ बिंदु $(2, -10, -2)$ से होकर गुजरती है।

(NONE) दिया गया बिंदु $P = (2, 1, 5)$ है।
रेखा $\vec{r} = (1, -1, 2) + \mu(-3, 1, 5)$ पर कोई भी बिंदु $Q = (1-3\mu, -1+\mu, 2+5\mu)$ के रूप में होगा।
सदिश $\vec{PQ} = Q - P = (1-3\mu-2, -1+\mu-1, 2+5\mu-5) = (-1-3\mu, -2+\mu, -3+5\mu)$ है।
समतल $3x-y+4z=1$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (3, -1, 4)$ है।
यदि $\vec{PQ}$ समतल के समांतर है,तो $\vec{PQ} \cdot \vec{n} = 0$ होगा।
$3(-1-3\mu) - 1(-2+\mu) + 4(-3+5\mu) = 0$.
$-3 - 9\mu + 2 - \mu - 12 + 20\mu = 0$.
$10\mu - 13 = 0$.
$\mu = \frac{13}{10}$.

(A) दो रेखाओं को समाहित करने वाले समतल का समीकरण सारणिक रूप में इस प्रकार है:
$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$
दूसरी रेखा पर स्थित बिंदु $(1, 4, -4)$ और दिशा सदिशों $(3, 5, 7)$ तथा $(1, 4, 7)$ का उपयोग करने पर:
$\begin{vmatrix} x-1 & y-4 & z+4 \\ 3 & 5 & 7 \\ 1 & 4 & 7 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$(x-1)(35-28) - (y-4)(21-7) + (z+4)(12-5) = 0$
$7(x-1) - 14(y-4) + 7(z+4) = 0$
$7$ से भाग देने पर:
$(x-1) - 2(y-4) + (z+4) = 0$
$x - 2y + z - 1 + 8 + 4 = 0$
$x - 2y + z + 11 = 0$
मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$d = \frac{|11|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{11}{\sqrt{1+4+1}} = \frac{11}{\sqrt{6}}$ इकाई।

(A) माना मूल बिंदु $O(0, 0, 0)$ है और लंब का पाद $M(2, 1, -2)$ है।
चूंकि $OM$ समतल का अभिलंब है,इसलिए अभिलंब सदिश $\vec{n}$ सदिश $\vec{OM}$ द्वारा दिया जाता है,जो $\vec{n} = (2 - 0)\hat{i} + (1 - 0)\hat{j} + (-2 - 0)\hat{k} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ है।
एक बिंदु $\vec{a}$ से गुजरने वाले और अभिलंब $\vec{n}$ वाले समतल का सदिश समीकरण $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$ होता है।
यहाँ,$\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ और $\vec{n} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ है।
अतः,$\vec{r} \cdot (2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) = (2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) \cdot (2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})$.
अदिश गुणन की गणना करने पर: $(2 \times 2) + (1 \times 1) + (-2 \times -2) = 4 + 1 + 4 = 9$.
अतः,समतल का समीकरण $\vec{r} \cdot (2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) = 9$ है।

(D) चूँकि सदिश $\overline{c}$,$\overline{a}$ और $\overline{b}$ के समतल में स्थित है,इसलिए सदिश $\overline{a}, \overline{b}$ और $\overline{c}$ समतलीय (coplanar) हैं।
तीन सदिशों के समतलीय होने के लिए,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए: $\overline{a} \cdot (\overline{b} \times \overline{c}) = 0$।
यह घटकों के सारणिक (determinant) के शून्य होने के बराबर है:
$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ x & -(2-x) & -1 \end{vmatrix} = 0$
$\Rightarrow 1(-1 - (-(2-x))) - (-1)(-1 - x) + 2(-(2-x) - x) = 0$
$\Rightarrow 1(-1 + 2 - x) + 1(-1 - x) + 2(-2 + x - x) = 0$
$\Rightarrow 1(1 - x) - 1 - x + 2(-2) = 0$
$\Rightarrow 1 - x - 1 - x - 4 = 0$
$\Rightarrow -2x - 4 = 0$
$\Rightarrow -2x = 4$
$\Rightarrow x = -2$

(D) समतलों $x+y+z-1=0$ और $2x+3y+4z-5=0$ के प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतल का समीकरण $(x+y+z-1) + \lambda(2x+3y+4z-5) = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$(1+2\lambda)x + (1+3\lambda)y + (1+4\lambda)z - (1+5\lambda) = 0$ प्राप्त होता है।
यह समतल,समतल $x-y+z=0$ के लंबवत है।
इन दो समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (1+2\lambda)\hat{i} + (1+3\lambda)\hat{j} + (1+4\lambda)\hat{k}$ और $\vec{n_2} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ हैं।
चूंकि समतल लंबवत हैं,उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$.
$(1+2\lambda)(1) + (1+3\lambda)(-1) + (1+4\lambda)(1) = 0$.
$1+2\lambda - 1 - 3\lambda + 1 + 4\lambda = 0$.
$1 + 3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{3}$.
$\lambda = -\frac{1}{3}$ को समतल के समीकरण में रखने पर:
$(1 - \frac{2}{3})x + (1 - 1)y + (1 - \frac{4}{3})z - (1 - \frac{5}{3}) = 0$.
$\frac{1}{3}x + 0y - \frac{1}{3}z + \frac{2}{3} = 0$.
$3$ से गुणा करने पर,$x - z + 2 = 0$ प्राप्त होता है।
इसका सदिश समीकरण $\overline{r} \cdot (\hat{i} - \hat{k}) + 2 = 0$ है।

(D) बिंदु $(x_0, y_0, z_0)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ होता है।
दिए गए बिंदु $(2, -1, -3)$ के लिए,समीकरण $a(x-2) + b(y+1) + c(z+3) = 0$ है।
चूंकि समतल $(3, 2, -4)$ और $(2, -3, 2)$ दिशा अनुपात वाली रेखाओं के समानांतर है,इसलिए अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$ दोनों दिशा सदिशों के लंबवत होगा।
अतः,$\vec{n} = (3, 2, -4) \times (2, -3, 2) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & -4 \\ 2 & -3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - 12) - \hat{j}(6 + 8) + \hat{k}(-9 - 4) = -8\hat{i} - 14\hat{j} - 13\hat{k}$।
अभिलंब सदिश $(8, 14, 13)$ लेने पर,समीकरण $8(x-2) + 14(y+1) + 13(z+3) = 0$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर,$8x - 16 + 14y + 14 + 13z + 39 = 0$,जो सरल होकर $8x + 14y + 13z + 37 = 0$ हो जाता है।

(A) दिया गया है $f(x) = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$.
सर्वसमिका $\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$ का उपयोग करने पर,$f(x) = \sin 3x$ प्राप्त होता है।
वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ फलन वर्धमान है,हम अवकलज $f'(x) = 3 \cos 3x$ निकालते हैं।
फलन के वर्धमान होने के लिए $f'(x) \geq 0$,जिसका अर्थ है $3 \cos 3x \geq 0$ या $\cos 3x \geq 0$।
कोसाइन फलन $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ अंतराल में अ-ऋणात्मक होता है।
अतः,$-\frac{\pi}{2} \leq 3x \leq \frac{\pi}{2}$।
$3$ से भाग देने पर,$-\frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{\pi}{6}$ प्राप्त होता है।
इस अंतराल की लंबाई $\frac{\pi}{6} - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ है।

(C) माना $x = 2 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{5}\right)$.
तब $\tan \left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{5}$.
सूत्र $\tan x = \frac{2 \tan (x/2)}{1 - \tan^2 (x/2)}$ का उपयोग करने पर:
$\tan x = \frac{2(1/5)}{1 - (1/5)^2} = \frac{2/5}{24/25} = \frac{5}{12}$.
अब,$\tan \left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ का मान ज्ञात करते हैं।
सूत्र $\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर:
$\tan \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{5/12 + 1}{1 - 5/12} = \frac{17/12}{7/12} = \frac{17}{7}$.

(D) दी गई व्यंजक $\cos \left(2 \cos ^{-1} x+\sin ^{-1} x\right)$ है।
हम तर्क को $\cos \left(\cos ^{-1} x + (\cos ^{-1} x + \sin ^{-1} x)\right)$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर,व्यंजक $\cos \left(\cos ^{-1} x + \frac{\pi}{2}\right)$ हो जाता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos \left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = -\sin \theta$ का उपयोग करने पर,हमें $-\sin \left(\cos ^{-1} x\right)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin \left(\cos ^{-1} x\right) = \sqrt{1-x^2}$,व्यंजक $-\sqrt{1-x^2}$ में सरल हो जाता है।
$x = \frac{1}{5}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$-\sqrt{1-\left(\frac{1}{5}\right)^2} = -\sqrt{1-\frac{1}{25}} = -\sqrt{\frac{24}{25}} = -\frac{2 \sqrt{6}}{5}$।

(C) रेखा के दिए गए कार्तीय समीकरण $y=2$ और $4x-3z+5=0$ हैं।
हम इन्हें $y=2$ और $4x=3z-5$ के रूप में लिख सकते हैं।
मानक रूप $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ प्राप्त करने के लिए $12$ से विभाजित करने पर:
$4x = 3(z - \frac{5}{3}) \implies \frac{x}{3} = \frac{z - 5/3}{4}$.
चूंकि $y=2$ एक स्थिरांक है,$y$ के लिए दिशा अनुपात $0$ है।
अतः,रेखा को $\frac{x-0}{3} = \frac{y-2}{0} = \frac{z-5/3}{4}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा बिंदु $(0, 2, 5/3)$ से गुजरती है और दिशा अनुपात $(3, 0, 4)$ है।
सदिश समीकरण $\overline{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ है,जहाँ $\vec{a} = 0\hat{i} + 2\hat{j} + \frac{5}{3}\hat{k}$ और $\vec{b} = 3\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
इसलिए,$\overline{r} = (2\hat{j} + \frac{5}{3}\hat{k}) + \lambda(3\hat{i} + 4\hat{k})$.

(C) माना $\vec{a}=5 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}$,$\vec{b}=2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,और $\vec{c}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ है।
चूंकि अभीष्ट सदिश $\vec{a}$ के लंबवत है और $\vec{b}$ तथा $\vec{c}$ के साथ समतलीय है,इसलिए यह $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})$ के समानांतर होगा।
सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हुए: $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}$।
अदिश गुणन की गणना:
$\vec{a} \cdot \vec{c} = (5)(1) + (2)(-1) + (6)(1) = 5 - 2 + 6 = 9$।
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (5)(2) + (2)(1) + (6)(1) = 10 + 2 + 6 = 18$।
सूत्र में मान रखने पर:
$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = 9(2 \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - 18(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = (18-18)\hat{i} + (9+18)\hat{j} + (9-18)\hat{k} = 27 \hat{j} - 9 \hat{k}$।
इसका परिमाण $|27 \hat{j} - 9 \hat{k}| = \sqrt{27^2 + (-9)^2} = \sqrt{729 + 81} = \sqrt{810} = 9 \sqrt{10}$ है।
इकाई सदिश $\pm \frac{27 \hat{j} - 9 \hat{k}}{9 \sqrt{10}} = \pm \frac{3 \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{10}}$ है।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$\frac{3 \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{10}}$ सही उत्तर है।

(D) हम जानते हैं कि अदिश त्रिगुणन $[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = (\overline{a} \times \overline{b}) \cdot \overline{c}$ होता है।
पहले पद के लिए: $\overline{p} \cdot (\overline{a} + \overline{b}) = \overline{p} \cdot \overline{a} + \overline{p} \cdot \overline{b}$.
$\overline{p} = \frac{\overline{b} \times \overline{c}}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\overline{p} \cdot \overline{a} = \frac{(\overline{b} \times \overline{c}) \cdot \overline{a}}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]} = \frac{[\overline{b} \overline{c} \overline{a}]}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]} = \frac{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]} = 1$.
$\overline{p} \cdot \overline{b} = \frac{(\overline{b} \times \overline{c}) \cdot \overline{b}}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]} = 0$ (क्योंकि $\overline{b} \times \overline{c}$,$\overline{b}$ के लंबवत है)।
अतः,$\overline{p} \cdot (\overline{a} + \overline{b}) = 1 + 0 = 1$.
इसी प्रकार,$\overline{q} \cdot (\overline{b} + \overline{c}) = 1$ और $\overline{r} \cdot (\overline{c} + \overline{a}) = 1$.
इनका योग करने पर,हमें $1 + 1 + 1 = 3$ प्राप्त होता है।

(C) माना $\overline{d} = p\hat{i} + q\hat{j} + r\hat{k}$,जहाँ $p, q, r \in \mathbb{R}$ है।
चूंकि $\overline{b}, \overline{c}, \overline{d}$ समतलीय हैं,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होगा:
$\begin{vmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ p & q & r \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर: $0(0 - q) - 1(-r - p) + (-1)(-q - 0) = 0$
$r + p + q = 0 \implies p + q + r = 0 \dots (i)$
दिया गया है कि $\overline{a}$ और $\overline{d}$ लंबवत हैं,इसलिए उनका डॉट गुणनफल शून्य होगा:
$\overline{a} \cdot \overline{d} = (1, -1, 0) \cdot (p, q, r) = p - q = 0 \implies p = q \dots (ii)$
समीकरण $(ii)$ को $(i)$ में रखने पर: $p + p + r = 0 \implies r = -2p$.
अतः,$\overline{d} = p\hat{i} + p\hat{j} - 2p\hat{k} = p(\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})$.
चूंकि $\overline{d}$ एक इकाई सदिश है,$|\overline{d}| = 1$:
$|p|\sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = 1 \implies |p|\sqrt{6} = 1 \implies p = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$.
यदि $p = \frac{1}{\sqrt{6}}$ है,तो $\overline{d} = \frac{1}{\sqrt{6}}(1, 1, -2)$,जो विकल्प $(C)$ के अनुरूप है।

(A) दिया गया है $\overline{a} \times \overline{b} + \overline{c} = \overline{0}$,जिसका अर्थ है $\overline{a} \times \overline{b} = -\overline{c}$।
दोनों पक्षों का $\overline{a}$ के साथ क्रॉस प्रोडक्ट लेने पर: $\overline{a} \times (\overline{a} \times \overline{b}) = -\overline{a} \times \overline{c}$।
वेक्टर ट्रिपल प्रोडक्ट सूत्र $\overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{c}) = (\overline{a} \cdot \overline{c})\overline{b} - (\overline{a} \cdot \overline{b})\overline{c}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $(\overline{a} \cdot \overline{b})\overline{a} - (\overline{a} \cdot \overline{a})\overline{b} = -\overline{a} \times \overline{c}$।
दिया है $\overline{a} = \hat{j} - \hat{k}$,इसलिए $\overline{a} \cdot \overline{a} = 0^2 + 1^2 + (-1)^2 = 2$।
दिया है $\overline{a} \cdot \overline{b} = 3$,इसलिए $3\overline{a} - 2\overline{b} = -\overline{a} \times \overline{c}$।
$\overline{a} \times \overline{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - 1) - \hat{j}(0 - (-1)) + \hat{k}(0 - 1) = -2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$।
अतः,$2\overline{b} = 3\overline{a} + (\overline{a} \times \overline{c}) = 3(\hat{j} - \hat{k}) + (-2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) = -2\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$।
इसलिए,$\overline{b} = -\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$।

(C) रेखाएँ $L_1$ और $L_2$ क्रमशः सदिशों $\vec{b}_1 = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b}_2 = 2 \hat{i} + \hat{j} + 3 \hat{k}$ के समानांतर हैं।
$L_1$ और $L_2$ दोनों के लंबवत इकाई सदिश $\hat{n} = \frac{\vec{b}_1 \times \vec{b}_2}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,हम सदिश गुणनफल $\vec{b}_1 \times \vec{b}_2$ की गणना करते हैं:
$\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-1) - \hat{j}(9-2) + \hat{k}(3-4) = 5 \hat{i} - 7 \hat{j} - \hat{k}$.
इसके बाद,हम सदिश गुणनफल का परिमाण ज्ञात करते हैं:
$|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{5^2 + (-7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 49 + 1} = \sqrt{75} = 5 \sqrt{3}$.
अतः,अभीष्ट इकाई सदिश $\hat{n} = \frac{5 \hat{i} - 7 \hat{j} - \hat{k}}{5 \sqrt{3}}$ है।

(B) दिया गया अदिश त्रिक गुणन समीकरण: $[m\overline{a}+\overline{b} \quad m\overline{b}+\overline{c} \quad m\overline{c}+\overline{a}] = 28[\overline{a} \quad \overline{b} \quad \overline{c}]$।
गुणधर्म $[\overline{u}+\overline{v} \quad \overline{w} \quad \overline{x}] = [\overline{u} \quad \overline{w} \quad \overline{x}] + [\overline{v} \quad \overline{w} \quad \overline{x}]$ का उपयोग करके विस्तार करने पर:
$[m\overline{a}+\overline{b} \quad m\overline{b}+\overline{c} \quad m\overline{c}+\overline{a}] = m^3[\overline{a} \quad \overline{b} \quad \overline{c}] + [\overline{b} \quad \overline{c} \quad \overline{a}] = m^3[\overline{a} \quad \overline{b} \quad \overline{c}] + [\overline{a} \quad \overline{b} \quad \overline{c}]$।
चक्रीय क्रमचय के नियम के अनुसार $[\overline{b} \quad \overline{c} \quad \overline{a}] = [\overline{a} \quad \overline{b} \quad \overline{c}]$ होता है।
अतः,$(m^3+1)[\overline{a} \quad \overline{b} \quad \overline{c}] = 28[\overline{a} \quad \overline{b} \quad \overline{c}]$।
चूंकि सदिश असमतलीय हैं,इसलिए $[\overline{a} \quad \overline{b} \quad \overline{c}] \neq 0$।
अतः,$m^3+1 = 28 \implies m^3 = 27 \implies m = 3$।

(B) दिया गया है कि $\overline{a}$ और $\overline{b}$ लंबवत नहीं हैं,इसलिए $\overline{a} \cdot \overline{b} \neq 0$ है।
हमें $\overline{a} \cdot \overline{d} = 0$ और $\overline{b} \times \overline{c} = \overline{b} \times \overline{d}$ दिया गया है।
समीकरण $\overline{b} \times \overline{c} = \overline{b} \times \overline{d}$ के दोनों पक्षों का $\overline{a}$ के साथ क्रॉस गुणन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{c}) = \overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{d})$
सदिश त्रिक गुणन सूत्र $\overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{c}) = (\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{a} \cdot \overline{b}) \overline{c}$ का उपयोग करने पर:
$(\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{a} \cdot \overline{b}) \overline{c} = (\overline{a} \cdot \overline{d}) \overline{b} - (\overline{a} \cdot \overline{b}) \overline{d}$
चूंकि $\overline{a} \cdot \overline{d} = 0$,समीकरण सरल होकर यह हो जाता है:
$(\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{a} \cdot \overline{b}) \overline{c} = 0 - (\overline{a} \cdot \overline{b}) \overline{d}$
$\overline{d}$ के लिए हल करने पर:
$(\overline{a} \cdot \overline{b}) \overline{d} = (\overline{a} \cdot \overline{b}) \overline{c} - (\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b}$
$(\overline{a} \cdot \overline{b})$ से विभाजित करने पर:
$\overline{d} = \overline{c} - \left(\frac{\overline{a} \cdot \overline{c}}{\overline{a} \cdot \overline{b}}\right) \overline{b}$

(B) सदिशों $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक का आयतन $V = |\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})|$ द्वारा दिया जाता है।
$V = \begin{vmatrix} 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & a \\ a & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1(1 - 0) - a(0 - a^2) + 1(0 - a) = 1 + a^3 - a$.
आयतन को न्यूनतम करने के लिए,हम $V$ का $a$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dV}{da} = 3a^2 - 1$.
$\frac{dV}{da} = 0$ रखने पर,हमें $3a^2 = 1$ प्राप्त होता है,इसलिए $a^2 = \frac{1}{3}$,जिसका अर्थ है $a = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$।
अब,हम द्वितीय अवकलज की जाँच करते हैं: $\frac{d^2V}{da^2} = 6a$।
$a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए,$\frac{d^2V}{da^2} = 6(\frac{1}{\sqrt{3}}) > 0$,जो दर्शाता है कि इस बिंदु पर आयतन न्यूनतम है।
$a = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए,$\frac{d^2V}{da^2} = 6(-\frac{1}{\sqrt{3}}) < 0$,जो दर्शाता है कि इस बिंदु पर आयतन अधिकतम है।
अतः,$a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए आयतन न्यूनतम है।

(A) मान लीजिए कि $\vec{r}$ और $\vec{s}$ क्रमशः बिंदु $R$ और $S$ के स्थिति सदिश हैं।
$2:3$ के अनुपात में आंतरिक विभाजन के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\vec{r} = \frac{2\vec{q} + 3\vec{p}}{2+3} = \frac{3\vec{p} + 2\vec{q}}{5}$
$2:3$ के अनुपात में बाह्य विभाजन के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\vec{s} = \frac{2\vec{q} - 3\vec{p}}{2-3} = \frac{2\vec{q} - 3\vec{p}}{-1} = 3\vec{p} - 2\vec{q}$
चूंकि $\vec{OR}$ और $\vec{OS}$ लंबवत हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य है:
$\vec{r} \cdot \vec{s} = 0$
$\left(\frac{3\vec{p} + 2\vec{q}}{5}\right) \cdot (3\vec{p} - 2\vec{q}) = 0$
$(3\vec{p} + 2\vec{q}) \cdot (3\vec{p} - 2\vec{q}) = 0$
$9|\vec{p}|^2 - 6(\vec{p} \cdot \vec{q}) + 6(\vec{q} \cdot \vec{p}) - 4|\vec{q}|^2 = 0$
$9p^2 - 4q^2 = 0$
$9p^2 = 4q^2$

(C) $\overline{a}$ का $\overline{c}$ पर प्रक्षेप $\frac{\overline{a} \cdot \overline{c}}{|\overline{c}|}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $\overline{a} = \alpha \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}$ और $\overline{c} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 2 \hat{k}$.
$\overline{a} \cdot \overline{c} = (\alpha)(1) + (3)(2) + (-1)(-2) = \alpha + 6 + 2 = \alpha + 8$.
$|\overline{c}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
अतः,$\frac{\alpha + 8}{3} = \frac{10}{3} \implies \alpha + 8 = 10 \implies \alpha = 2$.
अब,$\overline{b} \times \overline{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -\beta & 4 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2\beta - 8) - \hat{j}(-6 - 4) + \hat{k}(6 + \beta) = (2\beta - 8)\hat{i} + 10\hat{j} + (6 + \beta)\hat{k}$.
इसकी तुलना $-6\hat{i} + 10\hat{j} + 7\hat{k}$ से करने पर,हमें $2\beta - 8 = -6 \implies 2\beta = 2 \implies \beta = 1$ प्राप्त होता है।
अंत में,$2\alpha + \beta = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5$.

(C) दिया गया है कि $\bar{s} = 4\bar{p} + 3\bar{q} + 5\bar{r}$.
साथ ही,$\bar{s} = x(-\bar{p} + \bar{q} + \bar{r}) + y(\bar{p} - \bar{q} + \bar{r}) + z(-\bar{p} - \bar{q} + \bar{r})$.
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर,$\bar{s} = (-x + y - z)\bar{p} + (x - y - z)\bar{q} + (x + y + z)\bar{r}$ प्राप्त होता है।
$\bar{p}, \bar{q}, \bar{r}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$-x + y - z = 4$ $(i)$
$x - y - z = 3$ $(ii)$
$x + y + z = 5$ $(iii)$
$(ii)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर,$2x = 8 \implies x = 4$ प्राप्त होता है।
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर,$-2z = 7 \implies z = -\frac{7}{2}$ प्राप्त होता है।
$x=4$ और $z=-\frac{7}{2}$ को $(iii)$ में रखने पर,$4 + y - \frac{7}{2} = 5 \implies y = 1 + \frac{7}{2} = \frac{9}{2}$ प्राप्त होता है।
अब,$2x + y + z = 2(4) + \frac{9}{2} - \frac{7}{2} = 8 + \frac{2}{2} = 8 + 1 = 9$.

(A) चूंकि सदिश समतलीय हैं,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य है: $\left|\begin{array}{lll}a & 1 & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & 1 & c\end{array}\right|=0$.
$R_2 \rightarrow R_2-R_1$ और $R_3 \rightarrow R_3-R_1$ लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है $\left|\begin{array}{ccc} a & 1 & 1 \\ 1-a & b-1 & 0 \\ 1-a & 0 & c-1 \end{array}\right|=0$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर: $a(b-1)(c-1) - 1(1-a)(c-1) + 1(0 - (b-1)(1-a)) = 0$.
$a(b-1)(c-1) + (1-a)(c-1) + (1-a)(b-1) = 0$.
पूरे समीकरण को $(1-a)(1-b)(1-c)$ से विभाजित करने पर,हमें मिलता है: $\frac{a(b-1)(c-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} + \frac{(1-a)(c-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} + \frac{(1-a)(b-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} = 0$.
यह सरल होकर बनता है: $\frac{-a}{(1-a)} + \frac{1}{(1-b)} + \frac{1}{(1-c)} = 0$.
हम $\frac{-a}{1-a}$ को $\frac{1-a-1}{1-a} = 1 - \frac{1}{1-a}$ के रूप में लिख सकते हैं।
इसे वापस रखने पर: $1 - \frac{1}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 0$.
अतः,$\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 1$.

(A) माना $\vec{a} = \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,और $\vec{c} = 2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ है।
चूंकि आवश्यक सदिश $\vec{b}$ और $\vec{c}$ के साथ समतलीय है,इसलिए यह $\vec{v} = \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})$ के रूप में होना चाहिए।
सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हुए,$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणन (dot product) की गणना करें:
$\vec{a} \cdot \vec{c} = (1)(2) + (1)(1) + (-1)(1) = 2 + 1 - 1 = 2$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (1)(1) + (-1)(1) = 1 + 1 - 1 = 1$.
अब,इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:
$\vec{v} = 2(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) - 1(2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) = (2\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}) - (2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) = \hat{j}+\hat{k}$ है।
इस सदिश का परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ है।
इकाई सदिश $\pm \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \pm \frac{\hat{j}+\hat{k}}{\sqrt{2}}$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही विकल्प $A$ है (ऋणात्मक चिह्न को ध्यान में रखते हुए)।

(A) चूंकि $\overline{a}$,$\overline{b}$ और $\overline{c}$ के बीच के कोण को समद्विभाजित करता है,इसलिए यह $\overline{b}$ और $\overline{c}$ की दिशा में इकाई सदिशों के योग के समानुपाती होना चाहिए।
मान लीजिए $\hat{b} = \frac{\hat{i}+\hat{j}}{\sqrt{2}}$ और $\hat{c} = \frac{\hat{j}+\hat{k}}{\sqrt{2}}$.
सदिश $\overline{a}$ को किसी अदिश $k$ के लिए $\overline{a} = k(\hat{b} + \hat{c})$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$\overline{a} = k \left( \frac{\hat{i}+\hat{j}}{\sqrt{2}} + \frac{\hat{j}+\hat{k}}{\sqrt{2}} \right) = \frac{k}{\sqrt{2}} (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k})$.
दिया गया है कि $\overline{a} = \alpha \hat{i} + 2 \hat{j} + \beta \hat{k}$.
घटकों की तुलना करने पर,हमें $\alpha = \frac{k}{\sqrt{2}}$,$2 = \frac{2k}{\sqrt{2}}$,और $\beta = \frac{k}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
$2 = \frac{2k}{\sqrt{2}}$ से,हमें $k = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
$\alpha$ और $\beta$ के समीकरणों में $k = \sqrt{2}$ रखने पर,हमें $\alpha = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$ और $\beta = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha=1$ और $\beta=1$.

(D) दिया गया है: $(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c} = \frac{1}{3}|\overline{b}||\overline{c}| \overline{a}$.
सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हुए: $(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c} = (\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{b} \cdot \overline{c}) \overline{a}$.
चूंकि कोई भी दो सदिश संरेख नहीं हैं,$\overline{a}$ और $\overline{b}$ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। इसलिए,$\overline{b}$ का गुणांक शून्य होना चाहिए,अर्थात $(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 0$.
$\overline{a}$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें मिलता है: $-(\overline{b} \cdot \overline{c}) = \frac{1}{3}|\overline{b}||\overline{c}|$.
डॉट प्रोडक्ट की परिभाषा को प्रतिस्थापित करने पर,$-|\overline{b}||\overline{c}| \cos \theta = \frac{1}{3}|\overline{b}||\overline{c}|$.
चूंकि सदिश शून्येतर हैं,$|\overline{b}||\overline{c}|$ से विभाजित करने पर: $\cos \theta = -\frac{1}{3}$.
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ का उपयोग करते हुए,$\sin^2 \theta = 1 - (-\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.
अतः,$\sin \theta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
इसलिए,$\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{3}{2\sqrt{2}}$.