यदि cot ^{-1}(sqrt{cos alpha})-tan ^{-1}(sqrt | vedclass

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Question

(D) दिया गया समीकरण: $\cot ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha})-	an ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha})=x$. हम जानते हैं कि $\cot ^{-1}(y) = \frac{\pi}{2} - 	an ^{-1}(y)

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$	an ^2 \frac{\alpha}{2}$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया समीकरण: $\cot ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha})-	an ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha})=x$. हम जानते हैं कि $\cot ^{-1}(y) = \frac{\pi}{2} - 	an ^{-1}(y)$. इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(\frac{\pi}{2} - 	an ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha})) - 	an ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha}) = x$. यह सरल होकर बनता है: $\frac{\pi}{2} - 2 	an ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha}) = x$. इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर: $2 	an ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha}) = \frac{\pi}{2} - x$. दोनों पक्षों का $	an$ लेने पर: $	an(2 	an ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha})) = 	an(\frac{\pi}{2} - x) = \cot x$. सूत्र $	an(2	heta) = \frac{2 	an 	heta}{1 - 	an^2 	heta}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $	heta = 	an ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha})$: $\cot x = \frac{2 \sqrt{\cos \alpha}}{1 - \cos \alpha}$. अर्ध-कोण सूत्र $1 - \cos \alpha = 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}$ का उपयोग करते हुए: $\cot x = \frac{2 \sqrt{\cos \alpha}}{2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}} = \frac{\sqrt{\cos \alpha}}{\sin^2 \frac{\alpha}{2}}$. हालाँकि,मानक सर्वसमिका $2 	an ^{-1}(y) = \cos ^{-1}(\frac{1-y^2}{1+y^2})$ का उपयोग करते हुए,$x = \frac{\pi}{2} - \cos ^{-1}(\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}) = \sin ^{-1}(\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha})$. अतः,$\sin x = \frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha} = \frac{2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}} = 	an^2 \frac{\alpha}{2}$.

यदि $\cot ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha})-\tan ^{-1}(\sqrt{\cos \alpha})=x$ है,तो $\sin x$ का मान है

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