MHT CET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) प्रायिकता वितरण इस प्रकार दिया गया है:
$P(X=1)=0.15, P(X=2)=0.23, P(X=3)=0.10, P(X=4)=0.12, P(X=5)=0.20, P(X=6)=0.08, P(X=7)=0.07, P(X=8)=0.05$.
घटना $E = \{ X \text{ एक अभाज्य संख्या है} \} = \{ 2, 3, 5, 7 \}$.
$P(E) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=5) + P(X=7) = 0.23 + 0.10 + 0.20 + 0.07 = 0.60$.
घटना $F = \{ X < 4 \} = \{ 1, 2, 3 \}$.
$P(F) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0.15 + 0.23 + 0.10 = 0.48$.
घटना $E \cap F = \{ X \text{ एक अभाज्य संख्या है और } X < 4 \} = \{ 2, 3 \}$.
$P(E \cap F) = P(X=2) + P(X=3) = 0.23 + 0.10 = 0.33$.
प्रायिकता के योग नियम का उपयोग करते हुए:
$P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)$
$P(E \cup F) = 0.60 + 0.48 - 0.33 = 0.75$.

(A) हम जानते हैं कि प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है,अर्थात $\sum P(X=x) = 1$.
दिए गए वितरण से:
$k^2 + 2k + k + 2k + 5k^2 = 1$
$6k^2 + 5k - 1 = 0$
$(6k - 1)(k + 1) = 0$
चूंकि $P(X) \geq 0$,इसलिए $k > 0$ होना चाहिए,अतः $k = \frac{1}{6}$.
अब,हमें $P(X \geq 2)$ ज्ञात करना है:
$P(X \geq 2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$
$P(X \geq 2) = 2k + k + 2k + 5k^2 = 5k + 5k^2$
$k = \frac{1}{6}$ रखने पर:
$P(X \geq 2) = 5(\frac{1}{6}) + 5(\frac{1}{6})^2$
$P(X \geq 2) = \frac{5}{6} + \frac{5}{36} = \frac{30 + 5}{36} = \frac{35}{36}$.

(C) प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग हमेशा $1$ होता है।
$\therefore k + 0.3 + 0.15 + 0.15 + 0.1 + 2k = 1$
$3k + 0.7 = 1$
$3k = 0.3$
$k = 0.1$
प्रत्याशित मान $E(X)$,$\sum x_i \cdot P(x_i)$ द्वारा दिया जाता है:
$E(X) = 0(k) + 1(0.3) + 2(0.15) + 3(0.15) + 4(0.1) + 5(2k)$
$E(X) = 0(0.1) + 0.3 + 0.3 + 0.45 + 0.4 + 5(0.2)$
$E(X) = 0 + 0.3 + 0.3 + 0.45 + 0.4 + 1.0$
$E(X) = 2.45$

(B) मान लीजिए कि $X$ चितों की संख्या को दर्शाता है। जब तीन सिक्के उछाले जाते हैं,तो प्रतिदर्श समष्टि $S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$ है,इसलिए कुल परिणामों की संख्या $8$ है।
$X$ के संभावित मान $0, 1, 2$ और $3$ हैं।
$P(X=0) = P(\{TTT\}) = \frac{1}{8}$
$P(X=1) = P(\{HTT, THT, TTH\}) = \frac{3}{8}$
$P(X=2) = P(\{HHT, HTH, THH\}) = \frac{3}{8}$
$P(X=3) = P(\{HHH\}) = \frac{1}{8}$
अतः,प्रायिकता बंटन इस प्रकार है:

$X=x$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X=x)$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

इसलिए,विकल्प $(B)$ सही उत्तर है।

(D) मान लीजिए $P(X=0)=p_0, P(X=1)=p_1, P(X=2)=p_2, P(X=3)=p_3$ है।
दिया गया है कि $p_2 = 0.3$ और $p_3 = 2p_1$ है।
प्रायिकताओं का योग $p_0 + p_1 + p_2 + p_3 = 1$ होता है।
मान रखने पर,$p_0 + p_1 + 0.3 + 2p_1 = 1 \Rightarrow p_0 + 3p_1 = 0.7 \dots (i)$।
माध्य $E(X) = \sum x_i p_i = 0(p_0) + 1(p_1) + 2(p_2) + 3(p_3) = 1.3$ है।
मान रखने पर,$0 + p_1 + 2(0.3) + 3(2p_1) = 1.3$।
$p_1 + 0.6 + 6p_1 = 1.3 \Rightarrow 7p_1 = 0.7 \Rightarrow p_1 = 0.1$।
समीकरण $(i)$ से,$p_0 + 3(0.1) = 0.7 \Rightarrow p_0 + 0.3 = 0.7 \Rightarrow p_0 = 0.4$।
अतः,$P(X=0) = 0.4$।

(A) चूंकि प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है,इसलिए हमारे पास है:
$\sum_{x=0}^7 P(X=x) = 1$
$0 + k + 2k + 2k + 3k + k^2 + 2k^2 + (7k^2 + k) = 1$
$10k^2 + 9k - 1 = 0$
$(10k - 1)(k + 1) = 0$
चूंकि $k \geq 0$,इसलिए $k = \frac{1}{10}$ प्राप्त होता है।
अब,हमें $P(X \geq 6)$ ज्ञात करना है:
$P(X \geq 6) = P(X=6) + P(X=7)$
$P(X \geq 6) = 2k^2 + (7k^2 + k) = 9k^2 + k$
$k = \frac{1}{10}$ रखने पर:
$P(X \geq 6) = 9\left(\frac{1}{10}\right)^2 + \frac{1}{10} = \frac{9}{100} + \frac{10}{100} = \frac{19}{100}$.

(B) $E(X^2)$ ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले संचयी वितरण फलन $F(x)$ से प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=x)$ निर्धारित करते हैं,जो संबंध $P(X=x_i) = F(x_i) - F(x_{i-1})$ का उपयोग करके प्राप्त होता है।
$P(X=-1) = F(-1) = 0.3$
$P(X=0) = F(0) - F(-1) = 0.7 - 0.3 = 0.4$
$P(X=1) = F(1) - F(0) = 0.8 - 0.7 = 0.1$
$P(X=2) = F(2) - F(1) = 1 - 0.8 = 0.2$
अब,हम सूत्र $E(X^2) = \sum x_i^2 \cdot P(X=x_i)$ का उपयोग करके अपेक्षित मान $E(X^2)$ की गणना करते हैं:
$E(X^2) = (-1)^2(0.3) + (0)^2(0.4) + (1)^2(0.1) + (2)^2(0.2)$
$E(X^2) = (1)(0.3) + (0)(0.4) + (1)(0.1) + (4)(0.2)$
$E(X^2) = 0.3 + 0 + 0.1 + 0.8$
$E(X^2) = 1.2$

(C) हम जानते हैं कि प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए,अर्थात $\sum_{x=0}^{\infty} P(X=x) = 1$.
दिए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर: $k \sum_{x=0}^{\infty} (x+1) (\frac{1}{5})^x = 1$.
श्रेणी का विस्तार करने पर: $k [ 1 + 2(\frac{1}{5}) + 3(\frac{1}{5})^2 + 4(\frac{1}{5})^3 + \ldots ] = 1$.
यह $\sum_{n=0}^{\infty} (a+nd)r^n = \frac{a}{1-r} + \frac{dr}{(1-r)^2}$ के रूप की एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी है,जहाँ $a=1, d=1, r=\frac{1}{5}$.
योग की गणना करने पर: $k [ \frac{1}{1 - 1/5} + \frac{1 \times 1/5}{(1 - 1/5)^2} ] = 1$.
$k [ \frac{5}{4} + \frac{1/5}{16/25} ] = k [ \frac{5}{4} + \frac{5}{16} ] = 1$.
$k [ \frac{20+5}{16} ] = 1 \Rightarrow \frac{25k}{16} = 1$.
अतः,$k = \frac{16}{25}$.

(C) चतुष्फलक का केंद्रक $\left(\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}, \frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4}, \frac{z_1+z_2+z_3+z_4}{4}\right)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिए गए शीर्ष $P(5, -7, 0)$,$Q(a, 5, 3)$,$R(4, -6, b)$ और $S(6, c, 2)$ हैं।
केंद्रक $\left(\frac{5+a+4+6}{4}, \frac{-7+5-6+c}{4}, \frac{0+3+b+2}{4}\right) = \left(\frac{15+a}{4}, \frac{-8+c}{4}, \frac{b+5}{4}\right)$ है।
इसे $(4, -3, 2)$ के बराबर रखने पर:
$\frac{15+a}{4} = 4 \Rightarrow a = 1$.
$\frac{-8+c}{4} = -3 \Rightarrow c = -4$.
$\frac{b+5}{4} = 2 \Rightarrow b = 3$.
अतः,$2a + 3b + c = 2(1) + 3(3) - 4 = 2 + 9 - 4 = 7$.

(B) दिया गया है $f(x) = \sin(2 \pi x)$.
रोले के प्रमेय के अनुसार,किसी $C \in (-1, 1)$ के लिए $f'(C) = 0$ होता है।
$f'(x) = 2 \pi \cos(2 \pi x)$.
$f'(C) = 0$ रखने पर,$2 \pi \cos(2 \pi C) = 0$,जिसका अर्थ है $\cos(2 \pi C) = 0$.
चूंकि $C \in (-1, 1)$,इसलिए $2 \pi C \in (-2 \pi, 2 \pi)$ होगा।
अंतराल $(-2 \pi, 2 \pi)$ में $\cos(2 \pi C) = 0$ के मान $\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}$ हैं।
$2 \pi$ से विभाजित करने पर,$C = \frac{-3}{4}, \frac{-1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$C$ के कुल $4$ मान हैं।

(A) दिया गया है कि $x, y, z$ एक $A.P.$ में हैं,इसलिए $2y = x + z$ . . . $(i)$
साथ ही,$\tan^{-1} x, \tan^{-1} y, \tan^{-1} z$ एक $A.P.$ में हैं,इसलिए $2 \tan^{-1} y = \tan^{-1} x + \tan^{-1} z$.
सूत्र $\tan^{-1} a + \tan^{-1} b = \tan^{-1} (\frac{a+b}{1-ab})$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है $\tan^{-1} (\frac{2y}{1-y^2}) = \tan^{-1} (\frac{x+z}{1-xz})$.
इसका अर्थ है $\frac{2y}{1-y^2} = \frac{x+z}{1-xz}$.
$(i)$ से $x+z = 2y$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $\frac{2y}{1-y^2} = \frac{2y}{1-xz}$.
चूंकि $y < 1$,इसलिए $1-y^2 = 1-xz$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $y^2 = xz$ हो जाता है।
अतः,$x, y, z$ के $A.P.$ और $G.P.$ दोनों में होने के कारण,$x = y = z$ होगा।

(C) अपेक्षित मान $E(X)$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$E(X) = \sum x_i P(x_i)$
$E(X) = (-2)(0.1) + (-1)(0.2) + (0)(0.2) + (1)(0.3) + (2)(0.15) + (3)(0.05)$
$E(X) = -0.2 - 0.2 + 0 + 0.3 + 0.3 + 0.15 = 0.35$
वर्ग का अपेक्षित मान $E(X^2)$ है:
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i)$
$E(X^2) = (-2)^2(0.1) + (-1)^2(0.2) + (0)^2(0.2) + (1)^2(0.3) + (2)^2(0.15) + (3)^2(0.05)$
$E(X^2) = (4)(0.1) + (1)(0.2) + 0 + (1)(0.3) + (4)(0.15) + (9)(0.05)$
$E(X^2) = 0.4 + 0.2 + 0 + 0.3 + 0.6 + 0.45 = 1.95$
प्रसरण $Var(X)$ इस प्रकार है:
$Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
$Var(X) = 1.95 - (0.35)^2$
$Var(X) = 1.95 - 0.1225 = 1.8275$

(D) हरी गेंदों की संख्या का वितरण द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है।
यहाँ,गेंदों की कुल संख्या $15 + 10 = 25$ है।
एक प्रयास में हरी गेंद निकालने की प्रायिकता $p = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$ है।
पीली गेंद निकालने की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$ है।
प्रयासों की संख्या $n = 10$ है।
द्विपद वितरण का प्रसरण $\sigma^2 = npq$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\sigma^2 = 10 \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{5} = 10 \times \frac{6}{25} = \frac{60}{25} = \frac{12}{5}$ प्राप्त होता है।

(B) माना शीर्ष $P(0,3,0)$,$Q(0,0,4)$ और $R(0,3,4)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई:
$PQ = \sqrt{(0-0)^2 + (0-3)^2 + (4-0)^2} = 5$
$QR = \sqrt{(0-0)^2 + (3-0)^2 + (4-4)^2} = 3$
$PR = \sqrt{(0-0)^2 + (3-3)^2 + (4-0)^2} = 4$
अंतःकेंद्र $I(x,y,z)$ का सूत्र:
$I = \left( \frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a+b+c}, \frac{az_1 + bz_2 + cz_3}{a+b+c} \right)$
यहाँ $a=3$,$b=4$,$c=5$ है।
$I = \left( \frac{3(0)+4(0)+5(0)}{12}, \frac{3(3)+4(0)+5(3)}{12}, \frac{3(0)+4(4)+5(4)}{12} \right)$
$I = (0, 2, 3)$

(C) माना शीर्ष $A(0,2,1)$,$B(-2,0,0)$ और $C(-2,0,2)$ हैं।
भुजाओं की लंबाई की गणना करें:
$a = BC = \sqrt{(-2 - (-2))^2 + (0 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = 2$
$b = AC = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (0 - 2)^2 + (2 - 1)^2} = 3$
$c = AB = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (0 - 2)^2 + (0 - 1)^2} = 3$
अंतःकेंद्र $I = \frac{aA + bB + cC}{a + b + c}$ द्वारा दिया जाता है।
$I = \frac{2(0,2,1) + 3(-2,0,0) + 3(-2,0,2)}{2 + 3 + 3}$
$I = \frac{(-12, 4, 8)}{8} = \left(-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, 1\right)$.

(B) माना शीर्ष $A(1,2,0)$,$B(1,0,2)$,और $C(0,3,1)$ हैं।
भुजाओं को दर्शाने वाले सदिश $\vec{AB} = -2\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{AC} = -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ हैं।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$ द्वारा दिया जाता है।
सदिश गुणनफल: $\vec{AB} \times \vec{AC} = -4\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}$ है।
इसका परिमाण $|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{16 + 4 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ है।
अतः,क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 2\sqrt{6} = \sqrt{6}$ वर्ग इकाई है।

(A) माना कि दो बिंदुओं के स्थिति सदिश $\bar{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\bar{c} = -\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}$ हैं।
इन बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा का दिशा सदिश $\bar{v} = \bar{c} - \bar{b} = -2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ है।
बिंदु $\bar{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ से गुजरने वाली और सदिश $\bar{v}$ के समांतर रेखा का समीकरण $\bar{r} = \bar{a} + \lambda\bar{v}$ होता है।
मान रखने पर,हमें $\bar{r} = (2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) + \lambda(-2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k})$ प्राप्त होता है।

(C) माना रेखा द्वारा धनात्मक $X$,$Y$ और $Z$ अक्षों के साथ बनाए गए कोण क्रमशः $\alpha$,$\beta$ और $\gamma$ हैं।
दिया गया है कि $\alpha = 45^{\circ}$ और $\beta = \gamma$।
दिक् कोज्या (direction cosine) गुणधर्म $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ का उपयोग करने पर:
$\cos^2 45^{\circ} + \cos^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$
$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + 2\cos^2 \beta = 1$
$\frac{1}{2} + 2\cos^2 \beta = 1$
$2\cos^2 \beta = \frac{1}{2}$
$\cos^2 \beta = \frac{1}{4}$
$\cos \beta = \frac{1}{2}$ (चूंकि कोण न्यून हैं)
$\beta = 60^{\circ}$।
अतः,$\beta = 60^{\circ}$ और $\gamma = 60^{\circ}$।
कोणों का योग $\alpha + \beta + \gamma = 45^{\circ} + 60^{\circ} + 60^{\circ} = 165^{\circ}$ है।

(C) चूंकि रेखा $PQ$ के दिक्-कोसाइन समान और धनात्मक हैं,मान लीजिए वे $l, m, n$ हैं। $l=m=n$ और $l^2+m^2+n^2=1$ होने के कारण,$3l^2=1$,इसलिए $l=m=n=\frac{1}{\sqrt{3}}$।
रेखा $PQ$ के दिक्-अनुपात $1, 1, 1$ लिए जा सकते हैं।
बिंदु $P(2,-1,2)$ से गुजरने वाली रेखा $PQ$ का समीकरण $\frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-2}{1} = k$ है।
अतः,रेखा पर कोई भी बिंदु $(k+2, k-1, k+2)$ है।
चूंकि यह बिंदु $Q$ समतल $2x+y+z=9$ पर स्थित है,इसलिए $2(k+2) + (k-1) + (k+2) = 9$।
$4k + 5 = 9$ $\Rightarrow 4k = 4$ $\Rightarrow k = 1$।
$k=1$ रखने पर,$Q$ के निर्देशांक $(3, 0, 3)$ प्राप्त होते हैं।
लंबाई $PQ = \sqrt{(3-2)^2 + (0-(-1))^2 + (3-2)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ इकाई।

(A) दिए गए वक्र का समीकरण: $y = a\left(e^{\frac{x}{a}} + e^{-\frac{x}{a}}\right)$.
स्पर्श रेखा की प्रवणता ज्ञात करने के लिए,$y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = a \left( e^{\frac{x}{a}} \cdot \frac{1}{a} + e^{-\frac{x}{a}} \cdot (-\frac{1}{a}) \right) = e^{\frac{x}{a}} - e^{-\frac{x}{a}}$.
चूँकि स्पर्श रेखा $X$-अक्ष के समांतर है,इसलिए इसकी प्रवणता शून्य होगी:
$\frac{dy}{dx} = 0 \implies e^{\frac{x}{a}} - e^{-\frac{x}{a}} = 0$.
$e^{\frac{x}{a}} = e^{-\frac{x}{a}}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$\frac{x}{a} = -\frac{x}{a} \implies \frac{2x}{a} = 0 \implies x = 0$.
अतः,बिंदु का भुज $0$ है।

(B) दिया गया है: $|\overline{a}|=2, |\overline{b}|=4, |\overline{c}|=4$.
शर्त के अनुसार,$\overline{b}$ का $\overline{a}$ पर प्रक्षेप = $\overline{c}$ का $\overline{a}$ पर प्रक्षेप।
$\frac{\overline{b} \cdot \overline{a}}{|\overline{a}|} = \frac{\overline{c} \cdot \overline{a}}{|\overline{a}|}$
$\implies \overline{b} \cdot \overline{a} = \overline{c} \cdot \overline{a}$
$\implies (\overline{b} - \overline{c}) \cdot \overline{a} = 0$ ... $(i)$
साथ ही,$\overline{b}, \overline{c}$ के लंबवत है,इसलिए $\overline{b} \cdot \overline{c} = 0$.
अब,$|\overline{a} + \overline{b} - \overline{c}|^2 = |\overline{a}|^2 + |\overline{b} - \overline{c}|^2 + 2\overline{a} \cdot (\overline{b} - \overline{c})$ लें।
$(i)$ से,$\overline{a} \cdot (\overline{b} - \overline{c}) = 0$.
अतः,$|\overline{a} + \overline{b} - \overline{c}|^2 = |\overline{a}|^2 + |\overline{b}|^2 + |\overline{c}|^2 - 2(\overline{b} \cdot \overline{c})$.
चूंकि $\overline{b} \cdot \overline{c} = 0$,हमें प्राप्त होता है:
$|\overline{a} + \overline{b} - \overline{c}|^2 = (2)^2 + (4)^2 + (4)^2 - 0 = 4 + 16 + 16 = 36$.
इसलिए,$|\overline{a} + \overline{b} - \overline{c}| = \sqrt{36} = 6$.

(C) $\overline{a}$ का $\overline{c}$ पर प्रक्षेप $\frac{\overline{a} \cdot \overline{c}}{|\overline{c}|} = \frac{10}{3}$ द्वारा दिया जाता है।
$|\overline{c}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4+4} = 3$.
अतः,$\frac{(\alpha \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}) \cdot (\hat{i} + 2 \hat{j} - 2 \hat{k})}{3} = \frac{10}{3}$.
$\alpha + 6 + 2 = 10 \Rightarrow \alpha = 2$.
अब,$\overline{b} \times \overline{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -\beta & 4 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2\beta - 8) - \hat{j}(-6 - 4) + \hat{k}(6 + \beta) = (2\beta - 8)\hat{i} + 10\hat{j} + (6 + \beta)\hat{k}$.
दिया है $\overline{b} \times \overline{c} = -6\hat{i} + 10\hat{j} + 7\hat{k}$,घटकों की तुलना करने पर:
$6 + \beta = 7 \Rightarrow \beta = 1$.
अतः,$\alpha^2 + \beta^2 - \alpha\beta = 2^2 + 1^2 - (2)(1) = 4 + 1 - 2 = 3$.

(B) सबसे पहले,हम सदिश $\overline{AB}$ और $\overline{CD}$ ज्ञात करते हैं:
$\overline{AB} = (1-2)\hat{i} + (-4 - (-3))\hat{j} + (-2-0)\hat{k} = -\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$
$\overline{CD} = (7-4)\hat{i} + (0-6)\hat{j} + (10-8)\hat{k} = 3\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k}$
सदिश $\overline{AB}$ का सदिश $\overline{CD}$ पर अदिश प्रक्षेप का सूत्र है:
$\text{Projection} = \frac{\overline{AB} \cdot \overline{CD}}{|\overline{CD}|}$
अदिश गुणनफल $\overline{AB} \cdot \overline{CD}$ की गणना करें:
$\overline{AB} \cdot \overline{CD} = (-1)(3) + (-1)(-6) + (-2)(2) = -3 + 6 - 4 = -1$
$\overline{CD}$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|\overline{CD}| = \sqrt{3^2 + (-6)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$
अतः,अदिश प्रक्षेप:
$\frac{-1}{7}$
नोट: प्रक्षेप का परिमाण $|\frac{-1}{7}| = \frac{1}{7}$ है।

(D) माना कि अभीष्ट रेखा के दिक अनुपात $a, b, c$ हैं।
चूंकि रेखा $(1, 2, 3)$ और $(-3, 2, 5)$ दिक अनुपात वाली रेखाओं पर लंब है,इसलिए हमें निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होते हैं:
$a + 2b + 3c = 0$ $(i)$
$-3a + 2b + 5c = 0$ (ii)
$a, b, c$ के लिए हल करने हेतु वज्र-गुणन विधि का उपयोग करने पर:
$\frac{a}{(2)(5) - (3)(2)} = \frac{b}{(3)(-3) - (1)(5)} = \frac{c}{(1)(2) - (2)(-3)}$
$\frac{a}{10 - 6} = \frac{b}{-9 - 5} = \frac{c}{2 + 6}$
$\frac{a}{4} = \frac{b}{-14} = \frac{c}{8}$
$2$ से विभाजित करने पर,हमें दिक अनुपात $(2, -7, 4)$ प्राप्त होते हैं।
बिंदु $(-1, 3, -2)$ से गुजरने वाली और $(2, -7, 4)$ दिक अनुपात वाली रेखा का समीकरण:
$\frac{x - (-1)}{2} = \frac{y - 3}{-7} = \frac{z - (-2)}{4}$
$\frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{-7} = \frac{z+2}{4}$

(D) माना बिंदु $A$ का स्थिति सदिश $\vec{a} = \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ है।
माना दो दिए गए सदिश $\vec{b} = 2 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{c} = \hat{i} + 3 \hat{j} + 2 \hat{k}$ हैं।
रेखा की दिशा $\vec{b}$ और $\vec{c}$ दोनों के लंबवत है,इसलिए यह $\vec{b} \times \vec{c}$ के समानांतर है।
$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - (-3)) - \hat{j}(4 - (-1)) + \hat{k}(6 - 1) = 5 \hat{i} - 5 \hat{j} + 5 \hat{k}$.
हम दिशा सदिश को $\vec{v} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ के रूप में ले सकते हैं ($5$ से विभाजित करने पर)।
रेखा का समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{v}$ है,जो $\vec{r} = (\hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) + \lambda(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$ है।

(A) दी गई रेखाओं के सदिश समीकरण $\bar{r}=\hat{j}+\lambda(3 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k})$ और $\bar{r}=-4 \hat{i}+3 \hat{j}-2 \hat{k}+\mu(3 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k})$ हैं।
समांतर रेखाओं $\bar{r}=\bar{a}_1+\lambda \bar{b}$ और $\bar{r}=\bar{a}_2+\mu \bar{b}$ के बीच की दूरी $d=\left|\frac{(\bar{a}_2-\bar{a}_1) \times \bar{b}}{|\bar{b}|}\right|$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$\bar{a}_1=\hat{j}$,$\bar{a}_2=-4 \hat{i}+3 \hat{j}-2 \hat{k}$,और $\bar{b}=3 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$ है।
इसलिए,$\bar{a}_2-\bar{a}_1=-4 \hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}$ है।
सदिश गुणनफल $(\bar{a}_2-\bar{a}_1) \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -4 & 2 & -2 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} = -2 \hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}$ प्राप्त होता है।
$\bar{b}$ का परिमाण $|\bar{b}| = \sqrt{9+4+1} = \sqrt{14}$ है।
अतः,$d = \frac{|-2 \hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}|}{\sqrt{14}} = \sqrt{\frac{4+4+4}{14}} = \sqrt{\frac{12}{14}} = \sqrt{\frac{6}{7}}$ इकाई।

(A) माना बिंदु $P(a, 6, 9)$ है और इसका दर्पण प्रतिबिंब $P'(20, b, -a-9)$ है।
$PP'$ का मध्य-बिंदु $M = \left(\frac{a+20}{2}, \frac{6+b}{2}, \frac{9-a-9}{2}\right) = \left(\frac{a+20}{2}, \frac{6+b}{2}, -\frac{a}{2}\right)$ है।
चूंकि $M$ रेखा $\frac{x-3}{7} = \frac{y-2}{5} = \frac{z-1}{-9} = k$ पर स्थित है,इसलिए:
$\frac{\frac{a+20}{2}-3}{7} = \frac{\frac{6+b}{2}-2}{5} = \frac{-\frac{a}{2}-1}{-9} = k$.
पहले और तीसरे भाग से: $\frac{a+14}{14} = \frac{a+2}{18} \implies 18a + 252 = 14a + 28 \implies 4a = -224 \implies a = -56$.
$a = -56$ का मान रेखा के समीकरण में रखने पर: $\frac{-56+14}{14} = \frac{6+b-4}{10} \implies -3 = \frac{b+2}{10} \implies b+2 = -30 \implies b = -32$.
अतः,$|a+b| = |-56 - 32| = |-88| = 88$.

(B) रेखाओं $L_1$ और $L_2$ के दिशा सदिश क्रमशः $\vec{v_1} = 3\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{v_2} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ हैं।
$L_1$ और $L_2$ दोनों के लंबवत सदिश क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-4) - \hat{j}(9-2) + \hat{k}(6-1) = -\hat{i} - 7\hat{j} + 5\hat{k}$.
इस सदिश का परिमाण $|\vec{n}| = \sqrt{(-1)^2 + (-7)^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 49 + 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ है।
आवश्यक इकाई सदिश $\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{-\hat{i} - 7\hat{j} + 5\hat{k}}{5\sqrt{3}}$ है।

(A) दिया गया कार्तीय समीकरण $2x - 2 = 3y + 1 = 6z - 2$ है।
पूरे समीकरण को $x, y, z$ के गुणांकों के लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$,जो कि $6$ है,से विभाजित करने पर:
$\frac{2(x - 1)}{6} = \frac{3(y + 1/3)}{6} = \frac{6(z - 1/3)}{6}$
इसे सरल करने पर:
$\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 1/3}{2} = \frac{z - 1/3}{1}$
यह रेखा बिंदु $(1, -1/3, 1/3)$ से होकर गुजरती है और इसके दिक अनुपात $(3, 2, 1)$ हैं।
रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b}$ होता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\vec{r} = \left(\hat{i} - \frac{1}{3}\hat{j} + \frac{1}{3}\hat{k}\right) + \lambda(3\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k})$.

(C) माना $\frac{x-1}{2} = \frac{y+3}{-1} = \frac{z+1}{-2} = \lambda$.
रेखा पर कोई सामान्य बिंदु $Q(2\lambda+1, -\lambda-3, -2\lambda-1)$ है।
सदिश $\vec{AQ} = (2\lambda, -\lambda-1, -2\lambda+2)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $AQ$ रेखा पर लंब है, इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$2(2\lambda) - 1(-\lambda-1) - 2(-2\lambda+2) = 0$.
$4\lambda + \lambda + 1 + 4\lambda - 4 = 0$.
$9\lambda - 3 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{3}$.
$\lambda = \frac{1}{3}$ रखने पर, $Q = (\frac{5}{3}, -\frac{10}{3}, -\frac{5}{3})$ प्राप्त होता है।
लंबाई $AQ = \sqrt{(\frac{5}{3}-1)^2 + (-\frac{10}{3}-(-2))^2 + (-\frac{5}{3}-(-3))^2}$.
$AQ = \sqrt{(\frac{2}{3})^2 + (-\frac{4}{3})^2 + (\frac{4}{3})^2} = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{16}{9} + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{36}{9}} = \sqrt{4} = 2 \text{ इकाई}$.

(A) दो रेखाएँ $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ केवल तभी प्रतिच्छेद करती हैं जब उनके दिक अनुपातों और उनके बिंदुओं के अंतर से बने सारणिक का मान शून्य हो:
$\left|\begin{array}{ccc} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{array}\right| = 0$
दी गई रेखाओं के लिए:
रेखा $1$: $(x_1, y_1, z_1) = (1, 2, 1)$ और $(a_1, b_1, c_1) = (2, 3, 4)$
रेखा $2$: $(x_2, y_2, z_2) = (3, k, 0)$ और $(a_2, b_2, c_2) = (-1, 2, 1)$
इन मानों को सारणिक में रखने पर:
$\left|\begin{array}{ccc} 3-1 & k-2 & 0-1 \\ 2 & 3 & 4 \\ -1 & 2 & 1 \end{array}\right| = 0$
$\left|\begin{array}{ccc} 2 & k-2 & -1 \\ 2 & 3 & 4 \\ -1 & 2 & 1 \end{array}\right| = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$2(3(1) - 4(2)) - (k-2)(2(1) - 4(-1)) - 1(2(2) - 3(-1)) = 0$
$2(3 - 8) - (k-2)(2 + 4) - 1(4 + 3) = 0$
$2(-5) - (k-2)(6) - 1(7) = 0$
$-10 - 6k + 12 - 7 = 0$
$-6k - 5 = 0$
$-6k = 5$
$k = \frac{-5}{6}$

(C) अभीष्ट रेखा बिंदु $(3, 1, 2)$ से गुजरती है और दिशा सदिशों $\vec{v_1} = (1, 2, 3)$ और $\vec{v_2} = (-3, 2, 5)$ वाली रेखाओं पर लंब है।
अभीष्ट रेखा का दिशा सदिश $\vec{b}$,$\vec{v_1}$ और $\vec{v_2}$ का सदिश गुणनफल है:
$\vec{b} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ -3 & 2 & 5 \end{vmatrix}$
$\vec{b} = \hat{i}(10 - 6) - \hat{j}(5 + 9) + \hat{k}(2 + 6) = 4\hat{i} - 14\hat{j} + 8\hat{k}$
दिशा सदिश को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $\vec{b'} = 2\hat{i} - 7\hat{j} + 4\hat{k}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाली और दिशा सदिश $(a, b, c)$ वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ होता है।
बिंदु $(3, 1, 2)$ और दिशा सदिश $(2, -7, 4)$ रखने पर:
$\frac{x-3}{2} = \frac{y-1}{-7} = \frac{z-2}{4}$.

(B) दो रेखाएं $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ और $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ तभी प्रतिच्छेद करती हैं जब बिंदुओं के अंतर और दिशा सदिशों द्वारा बने सारणिक का मान शून्य हो:
$\left|\begin{array}{ccc} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{array}\right| = 0$
दिए गए बिंदु $(-1, -k, 4)$ और $(-10, -1, 1)$ हैं,और दिशा सदिश $(-10, -1, 1)$ और $(-1, -3, 4)$ हैं।
मान रखने पर:
$\left|\begin{array}{ccc} -10-(-1) & -1-(-k) & 1-4 \\ -10 & -1 & 1 \\ -1 & -3 & 4 \end{array}\right| = 0$
$\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc} -9 & k-1 & -3 \\ -10 & -1 & 1 \\ -1 & -3 & 4 \end{array}\right| = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$-9((-1)(4) - (1)(-3)) - (k-1)((-10)(4) - (1)(-1)) - 3((-10)(-3) - (-1)(-1)) = 0$
$-9(-4 + 3) - (k-1)(-40 + 1) - 3(30 - 1) = 0$
$-9(-1) - (k-1)(-39) - 3(29) = 0$
$9 + 39(k-1) - 87 = 0$
$39(k-1) = 78$
$k-1 = 2$
$k = 3$

(B) रेखाएं $L_1$ और $L_2$ क्रमशः सदिशों $\vec{b}_1 = 5\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b}_2 = 4\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$ के समानांतर हैं।
$L_1$ और $L_2$ दोनों के लंबवत इकाई सदिश $\hat{n} = \pm \frac{\vec{b}_1 \times \vec{b}_2}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$ द्वारा दिया जाता है।
क्रॉस प्रोडक्ट की गणना करने पर: $\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 5 & 2 & 1 \\ 4 & 3 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(10-3) - \hat{j}(25-4) + \hat{k}(15-8) = 7\hat{i} - 21\hat{j} + 7\hat{k}$.
इसका परिमाण $|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{7^2 + (-21)^2 + 7^2} = \sqrt{49 + 441 + 49} = \sqrt{539} = 7\sqrt{11}$ है।
अतः,$\hat{n} = \pm \frac{7(\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k})}{7\sqrt{11}} = \pm \frac{\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{11}}$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $B$ सही है।

(A) दी गई रेखाओं के समीकरण $\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-1}{4}$ और $\frac{x-3}{1}=\frac{y-k}{2}=\frac{z}{1}$ हैं।
रेखाएं बिंदुओं $P_1(1, -2, 1)$ और $P_2(3, k, 0)$ से गुजरती हैं और उनके दिशा अनुपात $\vec{v_1} = (2, 3, 4)$ और $\vec{v_2} = (1, 2, 1)$ हैं।
दो रेखाओं के प्रतिच्छेद करने के लिए,उनके बीच की न्यूनतम दूरी शून्य होनी चाहिए,जिसका अर्थ है कि बिंदुओं को जोड़ने वाले सदिश और दिशा सदिशों का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$\left|\begin{array}{ccc} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{array}\right|=0$
मान रखने पर:
$\left|\begin{array}{ccc} 3-1 & k-(-2) & 0-1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right|=0$
$\left|\begin{array}{ccc} 2 & k+2 & -1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right|=0$
पहली पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$2(3(1) - 4(2)) - (k+2)(2(1) - 4(1)) - 1(2(2) - 3(1)) = 0$
$2(3-8) - (k+2)(2-4) - 1(4-3) = 0$
$2(-5) - (k+2)(-2) - 1(1) = 0$
$-10 + 2k + 4 - 1 = 0$
$2k - 7 = 0$
$k = \frac{7}{2}$

(A) माना $\frac{x-7}{3} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z+2}{1} = \lambda$. तब $x = 3\lambda + 7, y = 1 - \lambda, z = \lambda - 2$.
माना $\frac{x}{2} = \frac{y-7}{3} = \frac{z}{1} = \mu$. तब $x = 2\mu, y = 3\mu + 7, z = \mu$.
पहली रेखा पर बिंदु $A$ के निर्देशांक $(3\lambda + 7, 1 - \lambda, \lambda - 2)$ हैं।
दूसरी रेखा पर बिंदु $B$ के निर्देशांक $(2\mu, 3\mu + 7, \mu)$ हैं।
रेखा $AB$ के दिक-अनुपात $(3\lambda - 2\mu + 7, -\lambda - 3\mu - 6, \lambda - \mu - 2)$ हैं।
चूंकि रेखा के दिक-अनुपात $1, -4, 2$ हैं,इसलिए हमारे पास है:
$\frac{3\lambda - 2\mu + 7}{1} = \frac{-\lambda - 3\mu - 6}{-4} = \frac{\lambda - \mu - 2}{2}$.
$\frac{3\lambda - 2\mu + 7}{1} = \frac{\lambda + 3\mu + 6}{4}$ से,$12\lambda - 8\mu + 28 = \lambda + 3\mu + 6$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\lambda - \mu + 2 = 0$ $(i)$ हो जाता है।
$\frac{\lambda + 3\mu + 6}{4} = \frac{\lambda - \mu - 2}{2}$ से,$\lambda + 3\mu + 6 = 2\lambda - 2\mu - 4$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\lambda - 5\mu - 10 = 0$ $(ii)$ हो जाता है।
$(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर,$(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर: $4\mu + 12 = 0$,जिससे $\mu = -3$ प्राप्त होता है।
$\mu = -3$ को $(i)$ में रखने पर,$\lambda - (-3) + 2 = 0$,जिससे $\lambda = -5$ प्राप्त होता है।
अतः,$A = (-8, 6, -7)$ और $B = (-6, -2, -3)$ प्राप्त होते हैं।

(A) माना रेखा $\frac{x+3}{5}=\frac{y+1}{2}=\frac{z+4}{3}=\lambda$ है।
रेखा पर कोई बिंदु $P(5\lambda-3, 2\lambda-1, 3\lambda-4)$ है।
दिया गया बिंदु $A(0, 2, 3)$ है।
रेखा $AP$ के दिक्-अनुपात $(5\lambda-3-0, 2\lambda-1-2, 3\lambda-4-3)$ अर्थात $(5\lambda-3, 2\lambda-3, 3\lambda-7)$ हैं।
चूंकि $AP$ दी गई रेखा (जिसके दिक्-अनुपात $(5, 2, 3)$ हैं) पर लंब है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$5(5\lambda-3) + 2(2\lambda-3) + 3(3\lambda-7) = 0$.
$25\lambda - 15 + 4\lambda - 6 + 9\lambda - 21 = 0$.
$38\lambda - 42 = 0$.
$\lambda = \frac{42}{38} = \frac{21}{19}$.
$\lambda = \frac{21}{19}$ को $P$ के निर्देशांकों में रखने पर:
$x = 5(\frac{21}{19}) - 3 = \frac{105-57}{19} = \frac{48}{19}$.
$y = 2(\frac{21}{19}) - 1 = \frac{42-19}{19} = \frac{23}{19}$.
$z = 3(\frac{21}{19}) - 4 = \frac{63-76}{19} = \frac{-13}{19}$.
अतः,लंब के पाद के निर्देशांक $\left(\frac{48}{19}, \frac{23}{19}, \frac{-13}{19}\right)$ हैं।

(C) तीन बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$,और $(x_3, y_3, z_3)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण सारणिक द्वारा इस प्रकार दिया जाता है:
$\left|\begin{array}{ccc} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{array}\right| = 0$
दिए गए बिंदुओं $(3,1,1)$,$(1,2,3)$,और $(-1,4,2)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\left|\begin{array}{ccc} x-3 & y-1 & z-1 \\ 1-3 & 2-1 & 3-1 \\ -1-3 & 4-1 & 2-1 \end{array}\right| = 0$
$\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc} x-3 & y-1 & z-1 \\ -2 & 1 & 2 \\ -4 & 3 & 1 \end{array}\right| = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(x-3)(1-6) - (y-1)(-2+8) + (z-1)(-6+4) = 0$
$-5(x-3) - 6(y-1) - 2(z-1) = 0$
$-5x + 15 - 6y + 6 - 2z + 2 = 0$
$-5x - 6y - 2z + 23 = 0$
$-1$ से गुणा करने पर:
$5x + 6y + 2z - 23 = 0$

(C) समतल $x-y+z=3$ का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1, -1, 1)$ है।
मान लीजिए $Q = (3, 1, 7)$ है। $Q$ से गुजरने वाली और समतल के लंबवत रेखा $\frac{x-3}{1} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z-7}{1} = \lambda$ द्वारा दी जाती है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(\lambda+3, -\lambda+1, \lambda+7)$ है।
समतल के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $M$ के लिए,$(\lambda+3) - (-\lambda+1) + (\lambda+7) = 3$,जो सरल होकर $3\lambda + 9 = 3$ हो जाता है,इसलिए $3\lambda = -6$,जिससे $\lambda = -2$ प्राप्त होता है।
अतः,$M = (-2+3, -(-2)+1, -2+7) = (1, 3, 5)$ है।
चूंकि $M$,$PQ$ का मध्यबिंदु है,यदि $P = (a, b, c)$ है,तो $\frac{3+a}{2} = 1, \frac{1+b}{2} = 3, \frac{7+c}{2} = 5$ होगा।
इससे $a = -1, b = 5, c = 3$ प्राप्त होता है,इसलिए $P = (-1, 5, 3)$ है।
समतल $P(-1, 5, 3)$ से गुजरता है और रेखा $\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1}$ को समाहित करता है,जो मूल बिंदु $O(0, 0, 0)$ से गुजरती है और जिसका दिशा सदिश $\vec{v} = (1, 2, 1)$ है।
वांछित समतल का अभिलंब $\vec{n'} = \vec{OP} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 5 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(5-6) - \hat{j}(-1-3) + \hat{k}(-2-5) = -\hat{i} + 4\hat{j} - 7\hat{k}$ है।
समतल का समीकरण $-1(x-0) + 4(y-0) - 7(z-0) = 0$ है,जो $-x + 4y - 7z = 0$ या $x - 4y + 7z = 0$ है।

(B) माना $M$ रेखाखंड $PQ$ का मध्य बिंदु है।
$M$ के निर्देशांक $\left(\frac{1+3}{2}, \frac{2+4}{2}, \frac{5+3}{2}\right) = (2, 3, 4)$ हैं।
रेखा $PQ$ के दिक अनुपात $(3-1, 4-2, 3-5) = (2, 2, -2)$ हैं।
चूंकि समतल $PQ$ पर लंब है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ है।
$(x_0, y_0, z_0)$ से गुजरने वाले और $(a, b, c)$ अभिलंब वाले समतल का समीकरण $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ होता है।
मान रखने पर,हमें $2(x-2) + 2(y-3) - 2(z-4) = 0$ प्राप्त होता है।
$2$ से विभाजित करने पर,हमें $(x-2) + (y-3) - (z-4) = 0$ प्राप्त होता है।
$x + y - z - 2 - 3 + 4 = 0$.
$x + y - z - 1 = 0$.

(C) माना अभीष्ट समतल $P_1$ है। यह रेखा $L_1: \frac{x}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z}{4}$ को समाहित करता है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $\vec{n}_1$,$\vec{v}_1 = (3, 2, 4)$ के लंबवत है।
माना $P_2$ वह समतल है जो रेखाओं $L_2: \frac{x}{4}=\frac{y}{3}=\frac{z}{2}$ और $L_3: \frac{x}{2}=\frac{y}{-4}=\frac{z}{3}$ को समाहित करता है।
$P_2$ का अभिलंब सदिश $\vec{n}_2 = \vec{v}_2 \times \vec{v}_3 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 3 & 2 \\ 2 & -4 & 3 \end{vmatrix} = 17\hat{i} - 8\hat{j} - 22\hat{k}$ है।
चूंकि $P_1 \perp P_2$,इसलिए $\vec{n}_1$,$\vec{n}_2 = (17, -8, -22)$ के लंबवत है।
अतः,$\vec{n}_1 = \vec{v}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 4 \\ 17 & -8 & -22 \end{vmatrix} = -12\hat{i} + 134\hat{j} - 58\hat{k}$ है।
$-2$ से विभाजित करने पर,हमें अभिलंब सदिश $(6, -67, 29)$ प्राप्त होता है।
अतः समतल का समीकरण $6x - 67y + 29z = 0$ है।

(C) माना अभीष्ट समतल $P_1$ है। यह रेखा $L_1: \frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$ को समाहित करता है,अतः इसका अभिलंब सदिश $\vec{n}_1$,$\vec{v}_1 = (2, 3, 4)$ के लंबवत है।
माना $P_2$ वह समतल है जो रेखाओं $L_2: \frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{2}$ और $L_3: \frac{x}{4}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$ को समाहित करता है।
$P_2$ का अभिलंब सदिश $\vec{n}_2$,$L_2$ और $L_3$ के दिशा सदिशों के क्रॉस प्रोडक्ट द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{n}_2 = (3, 4, 2) \times (4, 2, 3) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & 2 \\ 4 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(12-4) - \hat{j}(9-8) + \hat{k}(6-16) = (8, -1, -10)$.
अतः,समतल $P_2$ का समीकरण $8x - y - 10z = 0$ है।
चूंकि $P_1$,$P_2$ के लंबवत है,इसका अभिलंब $\vec{n}_1$,$\vec{n}_2 = (8, -1, -10)$ के लंबवत है।
साथ ही,$\vec{n}_1$,$\vec{v}_1 = (2, 3, 4)$ के भी लंबवत है।
इसलिए,$\vec{n}_1 = \vec{v}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 8 & -1 & -10 \end{vmatrix} = \hat{i}(-30+4) - \hat{j}(-20-32) + \hat{k}(-2-24) = (-26, 52, -26)$.
$-26$ से विभाजित करने पर,हमें अभिलंब सदिश $(1, -2, 1)$ प्राप्त होता है।
समतल का समीकरण $1(x-0) - 2(y-0) + 1(z-0) = 0$ अर्थात $x - 2y + z = 0$ है।

(B) अभीष्ट समतल बिंदु $(1,1,1)$ से गुजरता है और समतलों $2x-y-2z=5$ और $3x-6y+2z=7$ के लंबवत है।
इन समतलों के अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = 2\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$ और $\vec{n_2} = 3\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k}$ हैं।
अभीष्ट समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$ होगा।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & -2 \\ 3 & -6 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2-12) - \hat{j}(4+6) + \hat{k}(-12+3) = -14\hat{i} - 10\hat{j} - 9\hat{k}$.
समतल का समीकरण $a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1) = 0$ के अनुसार:
$-14(x-1) - 10(y-1) - 9(z-1) = 0$.
$-14x + 14 - 10y + 10 - 9z + 9 = 0$.
$-14x - 10y - 9z + 33 = 0$.
अतः,$14x + 10y + 9z = 33$।

(D) $(1, -2, 1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x - 1) + b(y + 2) + c(z - 1) = 0$ है।
चूंकि समतल $2x - 2y + z = 0$ और $x - y + 2z = 4$ के लंबवत है,इसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$,$\vec{n_1} = (2, -2, 1)$ और $\vec{n_2} = (1, -1, 2)$ के लंबवत है।
अतः,$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 + 1) - \hat{j}(4 - 1) + \hat{k}(-2 + 2) = -3\hat{i} - 3\hat{j} + 0\hat{k}$।
हम अभिलंब सदिश को $(1, 1, 0)$ के रूप में ले सकते हैं।
समतल का समीकरण $1(x - 1) + 1(y + 2) + 0(z - 1) = 0$ है,जो सरल होकर $x + y + 1 = 0$ हो जाता है।
बिंदु $(1, 2, 2)$ से समतल $x + y + 0z + 1 = 0$ की दूरी $d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \frac{|1(1) + 1(2) + 0(2) + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{|1 + 2 + 1|}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ इकाई है।

(A) समतल $P_1$ का अभिलंब सदिश $\overline{n_1} = \overline{a} \times \overline{b}$ द्वारा दिया जाता है।
समतल $P_2$ का अभिलंब सदिश $\overline{n_2} = \overline{c} \times \overline{d}$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई शर्त $(\overline{a} \times \overline{b}) \times (\overline{c} \times \overline{d}) = \overline{0}$ यह दर्शाती है कि सदिश $\overline{n_1}$,सदिश $\overline{n_2}$ के समांतर है।
चूंकि दोनों समतलों के अभिलंब सदिश समांतर हैं,इसलिए समतल $P_1$ और $P_2$ एक-दूसरे के समांतर हैं।
दो समांतर समतलों के बीच का कोण $0$ होता है।

(C) माना बिंदु $(x_1, y_1, z_1) = (-1, 2, -3)$ है।
दो रेखाओं के दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1) = (3, 2, -4)$ और $(a_2, b_2, c_2) = (2, -3, 2)$ हैं।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले और सदिशों $\vec{b_1} = (a_1, b_1, c_1)$ और $\vec{b_2} = (a_2, b_2, c_2)$ के समांतर समतल का समीकरण सारणिक द्वारा दिया जाता है:
$\begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$
मान रखने पर:
$\begin{vmatrix} x + 1 & y - 2 & z + 3 \\ 3 & 2 & -4 \\ 2 & -3 & 2 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(x + 1)(2(2) - (-4)(-3)) - (y - 2)(3(2) - (-4)(2)) + (z + 3)(3(-3) - 2(2)) = 0$
$(x + 1)(4 - 12) - (y - 2)(6 + 8) + (z + 3)(-9 - 4) = 0$
$-8(x + 1) - 14(y - 2) - 13(z + 3) = 0$
$-8x - 8 - 14y + 28 - 13z - 39 = 0$
$-8x - 14y - 13z - 19 = 0$
$-1$ से गुणा करने पर,हमें $8x + 14y + 13z + 19 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) $(2,1,0)$,$(4,1,1)$ और $(5,0,1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण सारणिक द्वारा:
$\begin{vmatrix} x-2 & y-1 & z-0 \\ 4-2 & 1-1 & 1-0 \\ 5-2 & 0-1 & 1-0 \end{vmatrix} = 0$
$\Rightarrow \begin{vmatrix} x-2 & y-1 & z \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(x-2)(0 - (-1)) - (y-1)(2 - 3) + z(-2 - 0) = 0$
$(x-2)(1) - (y-1)(-1) - 2z = 0$
$x - 2 + y - 1 - 2z = 0$
$x + y - 2z = 3$
मान लीजिए $R'(x, y, z)$ समतल $x + y - 2z - 3 = 0$ के सापेक्ष $R(2, 1, 6)$ का प्रतिबिंब है।
प्रतिबिंब का सूत्र:
$\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c} = -2 \frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{a^2 + b^2 + c^2}$
मान रखने पर:
$\frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-6}{-2} = -2 \frac{2 + 1 - 2(6) - 3}{1^2 + 1^2 + (-2)^2}$
$\frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-6}{-2} = -2 \frac{3 - 12 - 3}{6} = 4$
प्रत्येक भाग को $4$ के बराबर रखने पर:
$x - 2 = 4 \Rightarrow x = 6$
$y - 1 = 4 \Rightarrow y = 5$
$z - 6 = -8 \Rightarrow z = -2$
अतः,प्रतिबिंब $R'$ का मान $(6, 5, -2)$ है।

(B) बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ की समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ से दूरी $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि बिंदु $(1, -1, \lambda)$ और $(-3, 0, 1)$ समतल $3x - 4y - 12z + 13 = 0$ से समान दूरी पर हैं,इसलिए:
$\frac{|3(1) - 4(-1) - 12(\lambda) + 13|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2 + (-12)^2}} = \frac{|3(-3) - 4(0) - 12(1) + 13|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2 + (-12)^2}}$
$|3 + 4 - 12\lambda + 13| = |-9 - 0 - 12 + 13|$
$|20 - 12\lambda| = |-8|$
$|20 - 12\lambda| = 8$
इसका अर्थ है $20 - 12\lambda = 8$ या $20 - 12\lambda = -8$ है।
स्थिति $1$: $20 - 12\lambda = 8 \Rightarrow 12\lambda = 12 \Rightarrow \lambda = 1$.
स्थिति $2$: $20 - 12\lambda = -8 \Rightarrow 12\lambda = 28 \Rightarrow \lambda = \frac{28}{12} = \frac{7}{3}$.
$\lambda$ के सभी संभावित मानों का योग $1 + \frac{7}{3} = \frac{10}{3}$ है।

(A) अभिलंब सदिश $\vec{n}$ दोनों रेखाओं के दिशा सदिशों $\vec{v_1} = (1, -2, 3)$ और $\vec{v_2} = (2, -1, -1)$ के लंबवत है।
$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & -1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2+3) - \hat{j}(-1-6) + \hat{k}(-1+4) = 5\hat{i} + 7\hat{j} + 3\hat{k}$.
बिंदु $(1, -1, -1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $(5, 7, 3)$ वाले समतल का समीकरण $5(x-1) + 7(y+1) + 3(z+1) = 0$ है,जिसे सरल करने पर $5x + 7y + 3z + 5 = 0$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(1, 3, -7)$ की समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ से दूरी $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $d = \frac{|5(1) + 7(3) + 3(-7) + 5|}{\sqrt{5^2 + 7^2 + 3^2}} = \frac{|5 + 21 - 21 + 5|}{\sqrt{25 + 49 + 9}} = \frac{10}{\sqrt{83}}$ इकाई।

(C) बिंदु $(1, 1, 1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x - 1) + b(y - 1) + c(z - 1) = 0$ है।
चूंकि यह समतल $2x + y - 2z = 5$ और $3x - 6y - 2z = 7$ के लंबवत है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$ दिए गए समतलों के अभिलंब सदिशों $\vec{n_1} = (2, 1, -2)$ और $\vec{n_2} = (3, -6, -2)$ के लंबवत होगा।
अतः,अभिलंब सदिश $\vec{n}$ का मान $\vec{n_1} \times \vec{n_2}$ द्वारा प्राप्त होता है:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 3 & -6 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 - 12) - \hat{j}(-4 + 6) + \hat{k}(-12 - 3) = -14\hat{i} - 2\hat{j} - 15\hat{k}$.
अभिलंब सदिश $(14, 2, 15)$ लेने पर,समतल का समीकरण $14(x - 1) + 2(y - 1) + 15(z - 1) = 0$ होगा।
इसे हल करने पर,$14x - 14 + 2y - 2 + 15z - 15 = 0$,अर्थात $14x + 2y + 15z = 31$ प्राप्त होता है।