MHT CET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}$।
एक $2 \times 2$ आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ के लिए,व्युत्क्रम $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $|A| = ad - bc$ है।
सबसे पहले,सारणिक $|A| = (3)(2) - (-1)(-4) = 6 - 4 = 2$ की गणना करें।
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए व्युत्क्रम का अस्तित्व है।
अब,सहखंडज आव्यूह (adjoint matrix) ज्ञात करें: $\text{adj}(A) = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}$।
अतः,$A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{4}{2} & \frac{3}{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} \\ 2 & \frac{3}{2} \end{bmatrix}$।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = (2)(3) - (-2)(4) = 6 + 8 = 14$.
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
$A$ का सहखंडज (Adjoint) विकर्ण तत्वों को आपस में बदलकर और अन्य तत्वों के चिह्न बदलकर प्राप्त किया जाता है:
$\text{Adj } A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}$.
सूत्र $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj } A$ का उपयोग करने पर:
$A^{-1} = \frac{1}{14} \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ -4 & 2 \end{bmatrix}$.

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -5 & 1 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,सारणिक $|A| = (1)(1) - (2)(-5) = 1 + 10 = 11$ की गणना करें।
चूँकि $|A| \neq 0$,$A^{-1}$ का अस्तित्व है।
व्युत्क्रम आव्यूह $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 5 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{11} & \frac{-2}{11} \\ \frac{5}{11} & \frac{1}{11} \end{bmatrix}$ है।
हमें $A^{-1} = xA + yI_2$ दिया गया है।
आव्यूहों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\begin{bmatrix} \frac{1}{11} & \frac{-2}{11} \\ \frac{5}{11} & \frac{1}{11} \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -5 & 1 \end{bmatrix} + y \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x+y & 2x \\ -5x & x+y \end{bmatrix}$।
संगत अवयवों की तुलना करने पर:
$2x = \frac{-2}{11} \implies x = \frac{-1}{11}$।
$x + y = \frac{1}{11} \implies \frac{-1}{11} + y = \frac{1}{11} \implies y = \frac{2}{11}$।
अतः,$x = \frac{-1}{11}$ और $y = \frac{2}{11}$ है।

(B) दिया गया है कि $B = A^{-1}$,इसलिए $BA = I$.
$\begin{bmatrix} -2 & 0 & b \\ 7 & -1 & -2 \\ c & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 3 \\ 3 & 2 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
बाएँ पक्ष के आव्यूहों का गुणा करने पर:
पंक्ति $1$,स्तंभ $1$: $(-2)(1) + (0)(1) + (b)(3) = -2 + 3b = 1 \Rightarrow 3b = 3 \Rightarrow b = 1$.
पंक्ति $2$,स्तंभ $2$: $(7)(1) + (-1)(a) + (-2)(2) = 7 - a - 4 = 3 - a = 1 \Rightarrow a = 2$.
पंक्ति $3$,स्तंभ $3$: $(c)(1) + (1)(3) + (1)(2) = c + 3 + 2 = c + 5 = 1 \Rightarrow c = -4$.
अब,$4a + 2b - c$ का मान ज्ञात कीजिए:
$4(2) + 2(1) - (-4) = 8 + 2 + 4 = 14$.

(A) माना $A = \left[\begin{array}{cc}0.8 & -0.6 \\ 0.6 & 0.8\end{array}\right]$ है।
$A$ का सारणिक $|A| = (0.8)(0.8) - (-0.6)(0.6) = 0.64 + 0.36 = 1$ है।
चूंकि $|A| \neq 0$,इसलिए $A^{-1}$ का अस्तित्व है।
$2 \times 2$ आव्यूह $A = \left[\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right]$ के लिए,व्युत्क्रम $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \left[\begin{array}{cc}d & -b \\ -c & a\end{array}\right]$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$A^{-1} = \frac{1}{1} \left[\begin{array}{cc}0.8 & 0.6 \\ -0.6 & 0.8\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}0.8 & 0.6 \\ -0.6 & 0.8\end{array}\right]$।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 7 & 4 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 7 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 7 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4+7 & 2+4 \\ 14+28 & 7+16 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 & 6 \\ 42 & 23 \end{bmatrix}$.
इसके बाद,$5A = 5 \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 7 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 5 \\ 35 & 20 \end{bmatrix}$.
अतः,$A^2 - 5A = \begin{bmatrix} 11 & 6 \\ 42 & 23 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 10 & 5 \\ 35 & 20 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 7 & 3 \end{bmatrix}$.
मान लीजिए $B = A^2 - 5A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 7 & 3 \end{bmatrix}$.
सारणिक $|B| = (1)(3) - (1)(7) = 3 - 7 = -4$.
व्युत्क्रम आव्यूह $B^{-1} = \frac{1}{|B|} \text{adj}(B) = \frac{1}{-4} \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -7 & 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{4} \begin{bmatrix} -3 & 1 \\ 7 & -1 \end{bmatrix}$.

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$। सारणिक $|A| = (1)(4) - (2)(-1) = 4 + 2 = 6 \neq 0$।
चूँकि $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$,इसलिए $A^{-1} = \frac{1}{6} \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \end{bmatrix}$।
दिया गया है $A^{-1} = \alpha I + \beta A$,अतः:
$\begin{bmatrix} \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{6} & \frac{1}{6} \end{bmatrix} = \alpha \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha + \beta & 2\beta \\ -\beta & \alpha + 4\beta \end{bmatrix}$।
अवयवों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-\beta = \frac{1}{6} \implies \beta = -\frac{1}{6}$।
$\alpha + \beta = \frac{2}{3} \implies \alpha - \frac{1}{6} = \frac{2}{3} \implies \alpha = \frac{2}{3} + \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$।
अतः,$4(\alpha - \beta) = 4(\frac{5}{6} - (-\frac{1}{6})) = 4(\frac{6}{6}) = 4(1) = 4$।

(D) दिया गया है,$A+B=\left[\begin{array}{cc}1 & \tan \frac{\theta}{2} \\ -\tan \frac{\theta}{2} & 1\end{array}\right] \dots(i)$
दोनों पक्षों का परिवर्त लेने पर,$A^T+B^T=\left[\begin{array}{cc}1 & -\tan \frac{\theta}{2} \\ \tan \frac{\theta}{2} & 1\end{array}\right]$.
चूंकि $A$ सममित $(A^T=A)$ है और $B$ विषम-सममित $(B^T=-B)$ है,हमारे पास $A-B=\left[\begin{array}{cc}1 & -\tan \frac{\theta}{2} \\ \tan \frac{\theta}{2} & 1\end{array}\right] \dots(ii)$ है।
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर,$2A = \left[\begin{array}{cc}2 & 0 \\ 0 & 2\end{array}\right] \implies A = I = \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right]$.
$(i)$ में से $(ii)$ घटाने पर,$2B = \left[\begin{array}{cc}0 & 2 \tan \frac{\theta}{2} \\ -2 \tan \frac{\theta}{2} & 0\end{array}\right] \implies B = \left[\begin{array}{cc}0 & \tan \frac{\theta}{2} \\ -\tan \frac{\theta}{2} & 0\end{array}\right]$.
अतः $A^{-1} = I^{-1} = I$ और $B^{-1} = \left[\begin{array}{cc}0 & -\cot \frac{\theta}{2} \\ \cot \frac{\theta}{2} & 0\end{array}\right]$.
अब,$A^{-1}B + AB^{-1} = B + B^{-1} = \left[\begin{array}{cc}0 & \tan \frac{\theta}{2} - \cot \frac{\theta}{2} \\ -\tan \frac{\theta}{2} + \cot \frac{\theta}{2} & 0\end{array}\right]$.
$\tan \frac{\theta}{2} - \cot \frac{\theta}{2} = -2 \cot \theta$ का उपयोग करने पर,$A^{-1}B + AB^{-1} = \left[\begin{array}{cc}0 & -2 \cot \theta \\ 2 \cot \theta & 0\end{array}\right]$.
$\theta = \frac{\pi}{6}$ पर,$\cot \frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$.
इस प्रकार,आव्यूह $\left[\begin{array}{cc}0 & -2 \sqrt{3} \\ 2 \sqrt{3} & 0\end{array}\right]$ प्राप्त होता है।

(C) लीप वर्ष हर $4$ साल में आता है,इसलिए वर्ष के लीप वर्ष होने की प्रायिकता $\frac{1}{4}$ है।
अतः,वर्ष के लीप वर्ष न होने की प्रायिकता $1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ है।
एक सामान्य वर्ष में $365$ दिन ($52$ सप्ताह और $1$ अतिरिक्त दिन) होते हैं। इस अतिरिक्त दिन के सोमवार होने की प्रायिकता $\frac{1}{7}$ है।
एक लीप वर्ष में $366$ दिन ($52$ सप्ताह और $2$ अतिरिक्त दिन) होते हैं। इन $2$ अतिरिक्त दिनों के लिए संभावित जोड़े (सोम,मंगल),(मंगल,बुध),(बुध,गुरु),(गुरु,शुक्र),(शुक्र,शनि),(शनि,रवि) और (रवि,सोम) हैं। कुल $7$ परिणाम हैं,जिनमें से $2$ में सोमवार आता है।
अतः,लीप वर्ष में $53$ सोमवार होने की प्रायिकता $\frac{2}{7}$ है।
अभीष्ट प्रायिकता $= P(\text{सामान्य वर्ष}) \times P(\text{सोमवार} | \text{सामान्य वर्ष}) + P(\text{लीप वर्ष}) \times P(\text{सोमवार} | \text{लीप वर्ष})$.
$= \frac{3}{4} \times \frac{1}{7} + \frac{1}{4} \times \frac{2}{7} = \frac{3}{28} + \frac{2}{28} = \frac{5}{28}$.

(C) मान लीजिए $R_1$ वह घटना है कि पहली गेंद लाल है और $B_1$ वह घटना है कि पहली गेंद काली है। मान लीजिए $R_2$ वह घटना है कि दूसरी गेंद लाल है।
स्थिति $1$: पहली गेंद काली है $(B_1)$।
$P(B_1) = \frac{6}{10}$।
$3$ काली गेंदें जोड़ने के बाद,थैले में $4$ लाल और $9$ काली गेंदें हैं (कुल $= 13$)।
$P(R_2 | B_1) = \frac{4}{13}$।
$P(B_1 \cap R_2) = P(B_1) \times P(R_2 | B_1) = \frac{6}{10} \times \frac{4}{13} = \frac{24}{130}$।
स्थिति $2$: पहली गेंद लाल है $(R_1)$।
$P(R_1) = \frac{4}{10}$।
$3$ लाल गेंदें जोड़ने के बाद,थैले में $7$ लाल और $6$ काली गेंदें हैं (कुल $= 13$)।
$P(R_2 | R_1) = \frac{7}{13}$।
$P(R_1 \cap R_2) = P(R_1) \times P(R_2 | R_1) = \frac{4}{10} \times \frac{7}{13} = \frac{28}{130}$।
कुल प्रायिकता $P(R_2) = P(B_1 \cap R_2) + P(R_1 \cap R_2) = \frac{24}{130} + \frac{28}{130} = \frac{52}{130} = \frac{2}{5} = \frac{26}{65}$।

(C) माना कि कुल प्रश्नों की संख्या $n = 5$ है।
चूंकि प्रत्येक प्रश्न में $3$ विकल्प हैं और केवल $1$ सही है,इसलिए सफलता की प्रायिकता $p = \frac{1}{3}$ और विफलता की प्रायिकता $q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
हम द्विपद वितरण सूत्र $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ का उपयोग करेंगे।
हमें $4$ या अधिक सही उत्तर प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \geq 4) = P(X = 4) + P(X = 5)$ है।
$P(X = 4) = {}^5C_4 \left(\frac{1}{3}\right)^4 \left(\frac{2}{3}\right)^1 = 5 \times \frac{1}{81} \times \frac{2}{3} = \frac{10}{243}$.
$P(X = 5) = {}^5C_5 \left(\frac{1}{3}\right)^5 \left(\frac{2}{3}\right)^0 = 1 \times \frac{1}{243} \times 1 = \frac{1}{243}$.
अतः,$P(X \geq 4) = \frac{10}{243} + \frac{1}{243} = \frac{11}{243}$.

(A) माना $X$ चार पासों के एक बार फेंकने पर $3$ या $5$ दर्शाने वाले पासों की संख्या है। एक पासे पर $3$ या $5$ आने की प्रायिकता $p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।
अतः,$3$ या $5$ न आने की प्रायिकता $q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है।
चूंकि पासे स्वतंत्र हैं,$X$ द्विपद बंटन $B(n=4, p=1/3)$ का पालन करता है।
कम से कम दो पासों पर $3$ या $5$ आने की प्रायिकता $P(X \geq 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1)$ है।
$P(X=0) = { }^4 C_0 (\frac{1}{3})^0 (\frac{2}{3})^4 = 1 \times 1 \times \frac{16}{81} = \frac{16}{81}$.
$P(X=1) = { }^4 C_1 (\frac{1}{3})^1 (\frac{2}{3})^3 = 4 \times \frac{1}{3} \times \frac{8}{27} = \frac{32}{81}$.
$P(X \geq 2) = 1 - (\frac{16}{81} + \frac{32}{81}) = 1 - \frac{48}{81} = \frac{33}{81} = \frac{11}{27}$.
यह प्रयोग $27$ बार किया जाता है। अतः अपेक्षित संख्या $E = n \times P = 27 \times \frac{11}{27} = 11$ है।

(C) $10$ से $99$ तक की दो अंकों की कुल संख्याएँ $99 - 10 + 1 = 90$ हैं।
घटना $E$ तब घटित होती है जब दो अंकों का गुणनफल $18$ होता है। संभावित संख्याएँ $\{29, 36, 63, 92\}$ हैं।
अतः,एक प्रयास में घटना $E$ के घटित होने की प्रायिकता $p = \frac{4}{90}$ है।
घटना $E$ के न घटित होने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{4}{90} = \frac{86}{90}$ है।
यहाँ $n = 4$ संख्याएँ प्रतिस्थापन के साथ चुनी जाती हैं,इसलिए हम द्विपद वितरण $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ का उपयोग करेंगे।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि घटना $E$ कम से कम $3$ बार घटित हो,अर्थात $P(X \geq 3) = P(X = 3) + P(X = 4)$।
$P(X = 3) = \binom{4}{3} \left(\frac{4}{90}\right)^3 \left(\frac{86}{90}\right)^1 = 4 \times \frac{4^3}{90^3} \times \frac{86}{90} = \frac{22016}{90^4}$।
$P(X = 4) = \binom{4}{4} \left(\frac{4}{90}\right)^4 \left(\frac{86}{90}\right)^0 = 1 \times \frac{4^4}{90^4} \times 1 = \frac{256}{90^4}$।
$P(X \geq 3) = \frac{22016 + 256}{90^4} = \frac{22272}{90^4}$।
व्यंजक को सरल करने पर: $P(X \geq 3) = 4 \left(\frac{4}{90}\right)^3 \left(\frac{86}{90}\right) + \left(\frac{4}{90}\right)^4 = \left(\frac{4}{90}\right)^3 \left(4 \times \frac{86}{90} + \frac{4}{90}\right) = \left(\frac{4}{90}\right)^3 \left(\frac{344 + 4}{90}\right) = \left(\frac{4}{90}\right)^3 \left(\frac{348}{90}\right) = \frac{348}{90} \times \left(\frac{4}{90}\right)^3 = 87 \times \frac{4}{90} \times \left(\frac{4}{90}\right)^3 = 87 \left(\frac{4}{90}\right)^4$.

(A) दिया गया है कि $P(A)=\frac{3}{10}$ और $P(B)=\frac{2}{5}$ है।
चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $A^{\prime}$ और $B$ भी स्वतंत्र घटनाएँ होंगी।
सबसे पहले,$P(A^{\prime}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$ ज्ञात करें।
दो घटनाओं के संघ (union) के लिए सूत्र का उपयोग करते हुए: $P(A^{\prime} \cup B) = P(A^{\prime}) + P(B) - P(A^{\prime} \cap B)$।
चूँकि $A^{\prime}$ और $B$ स्वतंत्र हैं,इसलिए $P(A^{\prime} \cap B) = P(A^{\prime}) \times P(B)$ होगा।
मान रखने पर:
$P(A^{\prime} \cup B) = \frac{7}{10} + \frac{2}{5} - (\frac{7}{10} \times \frac{2}{5})$
$P(A^{\prime} \cup B) = \frac{7}{10} + \frac{4}{10} - \frac{14}{50}$
$P(A^{\prime} \cup B) = \frac{11}{10} - \frac{7}{25}$
$P(A^{\prime} \cup B) = \frac{55 - 14}{50} = \frac{41}{50}$।

(D) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं।
$P(A^{\prime}) = 0.75$,इसलिए $P(A) = 1 - P(A^{\prime}) = 1 - 0.75 = 0.25$.
हम जानते हैं कि किन्हीं दो घटनाओं $A$ और $B$ के लिए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$0.65 = 0.25 + p - (0.25 \cdot p)$
$0.65 - 0.25 = p(1 - 0.25)$
$0.40 = 0.75p$
$p = \frac{0.40}{0.75} = \frac{40}{75} = \frac{8}{15}$.

(C) दिया गया है कि $A, B$ और $C$ युग्मवार स्वतंत्र हैं।
चूंकि $A, B, C$ युग्मवार स्वतंत्र हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A)P(B)$,$P(B \cap C) = P(B)P(C)$,और $P(A \cap C) = P(A)P(C)$।
दिया गया है $P(A \cap B \cap C) = 0$।
युग्मवार स्वतंत्रता के कारण,$P(A \cap B \cap C) = P(A \cap B)P(C) = P(A)P(B)P(C) = 0$।
चूंकि $P(C) > 0$,इसका अर्थ है $P(A)P(B) = 0$।
अब,$P((\overline{A} \cap \overline{B}) / C) = \frac{P(\overline{A} \cap \overline{B} \cap C)}{P(C)}$।
चूंकि $A, B, C$ स्वतंत्र हैं,घटनाएं $\overline{A}, \overline{B}, C$ भी स्वतंत्र हैं।
अतः,$P(\overline{A} \cap \overline{B} \cap C) = P(\overline{A})P(\overline{B})P(C)$।
इसलिए,$P((\overline{A} \cap \overline{B}) / C) = \frac{P(\overline{A})P(\overline{B})P(C)}{P(C)} = P(\overline{A})P(\overline{B})$।
$P(\overline{A})P(\overline{B}) = (1 - P(A))(1 - P(B)) = 1 - P(A) - P(B) + P(A)P(B)$।
चूंकि $P(A)P(B) = 0$,हमें $1 - P(A) - P(B) = P(\overline{A}) - P(B)$ प्राप्त होता है।

(B) लक्ष्य को भेदने की दी गई प्रायिकताएं $P(P) = \frac{3}{4}$,$P(Q) = \frac{1}{2}$,और $P(R) = \frac{5}{8}$ हैं।
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,लक्ष्य को न भेदने की प्रायिकताएं $P(P') = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$,$P(Q') = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$,और $P(R') = 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$ होंगी।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि लक्ष्य $P$ या $Q$ द्वारा भेदा जाए लेकिन $R$ द्वारा नहीं। यह घटना $(P \cap Q' \cap R') \cup (P' \cap Q \cap R') \cup (P \cap Q \cap R')$ के अनुरूप है।
चूंकि ये परस्पर अपवर्जी घटनाएं हैं,प्रायिकता:
$P = P(P)P(Q')P(R') + P(P')P(Q)P(R') + P(P)P(Q)P(R')$
$P = \left(\frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{8}\right) + \left(\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{8}\right) + \left(\frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{8}\right)$
$P = \frac{9}{64} + \frac{3}{64} + \frac{9}{64} = \frac{21}{64}$.

(C) माना $X$ $n = 10$ परीक्षणों में निकाले गए खराब बल्बों की संख्या है। यह द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है।
यहाँ,$n = 10$ और बल्ब के खराब होने की प्रायिकता $p = 10 \% = \frac{1}{10}$ है।
बल्ब के खराब न होने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$ है।
हमें कम से कम एक बल्ब खराब होने की प्रायिकता $P(X \ge 1)$ ज्ञात करनी है।
पूरक नियम का उपयोग करते हुए,$P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$.
$10$ परीक्षणों में $0$ खराब बल्ब प्राप्त करने की प्रायिकता द्विपद सूत्र $P(X = k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ द्वारा दी जाती है।
$k = 0$ के लिए,$P(X = 0) = {}^{10}C_{0} \left(\frac{1}{10}\right)^{0} \left(\frac{9}{10}\right)^{10-0} = 1 \times 1 \times \left(\frac{9}{10}\right)^{10}$.
अतः,$P(X \ge 1) = 1 - \left(\frac{9}{10}\right)^{10}$.

(C) मान लीजिए $p$ सफलता की प्रायिकता है और $q = 1 - p$ असफलता की प्रायिकता है।
यहाँ $n = 5$ स्वतंत्र परीक्षण दिए गए हैं।
$X$ सफलताओं की प्रायिकता का सूत्र $P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ है।
हमें $P(X=1) = 0.4096$ और $P(X=2) = 0.2048$ दिया गया है।
${}^5C_1 p^1 q^4 = 5pq^4 = 0.4096$ (समीकरण $1$).
${}^5C_2 p^2 q^3 = 10p^2q^3 = 0.2048$ (समीकरण $2$).
समीकरण $2$ को समीकरण $1$ से विभाजित करने पर:
$\frac{10p^2q^3}{5pq^4} = \frac{0.2048}{0.4096} = \frac{1}{2}$.
$\frac{2p}{q} = \frac{1}{2} \Rightarrow 4p = q$.
चूँकि $q = 1 - p$,इसलिए $4p = 1 - p \Rightarrow 5p = 1 \Rightarrow p = \frac{1}{5}$.
अतः $q = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.
अब,ठीक $3$ सफलताओं की प्रायिकता:
$P(X=3) = {}^5C_3 p^3 q^2 = 10 \times (\frac{1}{5})^3 \times (\frac{4}{5})^2$.
$P(X=3) = 10 \times \frac{1}{125} \times \frac{16}{25} = \frac{160}{3125} = \frac{32}{625}$.

(C) दिया गया है $X \sim B(n, p)$ जहाँ $n=6$ और $p=1/2$ है। अतः $q = 1-p = 1/2$ है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = \binom{6}{k} (1/2)^6 = \frac{\binom{6}{k}}{64}$ है।
हमें $P(|X-4| \leq 2)$ ज्ञात करना है।
असमिका $|X-4| \leq 2$ का अर्थ है $-2 \leq X-4 \leq 2$,जो सरल होकर $2 \leq X \leq 6$ हो जाता है।
अतः,$P(2 \leq X \leq 6) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)]$।
$P(X=0) = \binom{6}{0} (1/2)^6 = 1/64$।
$P(X=1) = \binom{6}{1} (1/2)^6 = 6/64$।
इस प्रकार,$P(2 \leq X \leq 6) = 1 - (1/64 + 6/64) = 1 - 7/64 = 57/64$।

(C) मान लीजिए $X$ दो प्रयासों में प्राप्त राजाओं की संख्या को दर्शाता है। चूंकि पत्ते प्रतिस्थापन के साथ (with replacement) निकाले जाते हैं,इसलिए यह द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n = 2$ है।
एक बार में राजा प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ है।
राजा न प्राप्त करने की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{12}{13}$ है।
द्विपद वितरण का माध्य $E[X] = np$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
माध्य $= 2 \times \frac{1}{13} = \frac{2}{13}$.

(D) एक बार में राजा का पत्ता निकालने की प्रायिकता $p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ है।
राजा का पत्ता न निकलने की प्रायिकता $q = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}$ है।
चूंकि पत्ते प्रतिस्थापन के साथ निकाले जाते हैं,यह द्विपद वितरण (binomial distribution) का पालन करता है जहाँ $n = 2$ और $p = \frac{1}{13}$ है।
$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$.
$X=1$ के लिए: $P(X=1) = \binom{2}{1} \left(\frac{1}{13}\right)^1 \left(\frac{12}{13}\right)^1 = 2 \times \frac{12}{169} = \frac{24}{169}$.
$X=2$ के लिए: $P(X=2) = \binom{2}{2} \left(\frac{1}{13}\right)^2 \left(\frac{12}{13}\right)^0 = 1 \times \frac{1}{169} = \frac{1}{169}$.
अतः,$P(X=1) + P(X=2) = \frac{24}{169} + \frac{1}{169} = \frac{25}{169}$.

(D) मान लीजिए $X \sim B(n, p)$.
दिया गया है कि माध्य $np = 8$ और प्रसरण $npq = 4$ है।
चूंकि $q = 1 - p$,इसलिए $8q = 4$,जिसका अर्थ है $q = \frac{1}{2}$ और $p = \frac{1}{2}$।
$p = \frac{1}{2}$ को $np = 8$ में रखने पर,हमें $n = 16$ प्राप्त होता है।
हमें $P(X \leqslant 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ ज्ञात करना है।
सूत्र $P(X=r) = {}^{n}C_{r} p^{r} q^{n-r}$ का उपयोग करते हुए:
$P(X=0) = {}^{16}C_{0} (\frac{1}{2})^{0} (\frac{1}{2})^{16} = \frac{1}{2^{16}}$।
$P(X=1) = {}^{16}C_{1} (\frac{1}{2})^{1} (\frac{1}{2})^{15} = \frac{16}{2^{16}}$।
$P(X=2) = {}^{16}C_{2} (\frac{1}{2})^{2} (\frac{1}{2})^{14} = \frac{120}{2^{16}}$।
इन प्रायिकताओं का योग करने पर: $P(X \leqslant 2) = \frac{1 + 16 + 120}{2^{16}} = \frac{137}{2^{16}}$।
इसे $\frac{k}{2^{16}}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = 137$ प्राप्त होता है।

(D) माना $p$ एक प्रश्न के लिए सही उत्तर का अनुमान लगाने की प्रायिकता है। चूँकि $3$ विकल्प हैं और केवल $1$ सही है,इसलिए $p = \frac{1}{3}$ है।
परिणामस्वरूप,गलत उत्तर का अनुमान लगाने की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{2}{3}$ है।
माना $X$ यादृच्छिक चर है जो $n = 5$ प्रश्नों में सही उत्तरों की संख्या को दर्शाता है। $X$ द्विपद बंटन $X \sim B(5, \frac{1}{3})$ का पालन करता है।
$k$ सही उत्तर प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ द्वारा दी जाती है।
हमें $4$ या अधिक सही उत्तर प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \geq 4) = P(X = 4) + P(X = 5)$ है।
$P(X = 4) = {}^5C_4 (\frac{1}{3})^4 (\frac{2}{3})^1 = 5 \times \frac{1}{81} \times \frac{2}{3} = \frac{10}{3^5}$.
$P(X = 5) = {}^5C_5 (\frac{1}{3})^5 (\frac{2}{3})^0 = 1 \times \frac{1}{243} \times 1 = \frac{1}{3^5}$.
अतः,$P(X \geq 4) = \frac{10}{3^5} + \frac{1}{3^5} = \frac{11}{3^5}$.

(B) मान लीजिए $X$ उन समस्याओं की संख्या है जिन्हें उम्मीदवार हल नहीं कर सकता है। समस्या को हल करने की प्रायिकता $s = \frac{3}{7}$ है,इसलिए समस्या को हल न कर पाने की प्रायिकता $p = 1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$ है।
यहाँ,$n = 20$ समस्याएं दी गई हैं। यादृच्छिक चर $X$ द्विपद वितरण $B(20, \frac{4}{7})$ का पालन करता है।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि वह अधिक से अधिक $2$ समस्याओं को हल न कर सके,अर्थात $P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$।
द्विपद सूत्र $P(X=k) = {}^{n}C_k p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $q = \frac{3}{7}$:
$P(X \leq 2) = {}^{20}C_0 (\frac{4}{7})^0 (\frac{3}{7})^{20} + {}^{20}C_1 (\frac{4}{7})^1 (\frac{3}{7})^{19} + {}^{20}C_2 (\frac{4}{7})^2 (\frac{3}{7})^{18}$।
यह गणना विकल्प $B$ के साथ मेल खाती है।

(D) द्विपद वितरण के लिए,माध्य $np = 2$ और प्रसरण $npq = 1$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,हमें $q = \frac{npq}{np} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - q = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
$p = \frac{1}{2}$ को $np = 2$ में रखने पर,$n(\frac{1}{2}) = 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $n = 4$।
हमें प्रायिकता $P(X \geq 1)$ ज्ञात करनी है।
पूरक नियम का उपयोग करते हुए,$P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ है।
$k = 0$ के लिए,$P(X = 0) = {}^4C_0 (\frac{1}{2})^0 (\frac{1}{2})^4 = 1 \times 1 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$।
अतः,$P(X \geq 1) = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$।

(B) दिया गया है कि माध्य $np = 2$ और प्रसरण $npq = 1$ है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,हमें $\frac{npq}{np} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $q = \frac{1}{2}$।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
$p = \frac{1}{2}$ को $np = 2$ में रखने पर,$n \left( \frac{1}{2} \right) = 2$,जिससे $n = 4$ प्राप्त होता है।
हमें $P(X > 1) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)$ ज्ञात करना है।
वैकल्पिक रूप से,$P(X > 1) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]$।
$P(X = 0) = {}^4 C_0 \left( \frac{1}{2} \right)^0 \left( \frac{1}{2} \right)^4 = 1 \times 1 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{16}$।
$P(X = 1) = {}^4 C_1 \left( \frac{1}{2} \right)^1 \left( \frac{1}{2} \right)^3 = 4 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{8} = \frac{4}{16}$।
अतः,$P(X > 1) = 1 - \left( \frac{1}{16} + \frac{4}{16} \right) = 1 - \frac{5}{16} = \frac{11}{16}$।

(D) मान लीजिए $P(X=1)$ एक सफलता की प्रायिकता है और $P(X=2)$ दो सफलताओं की प्रायिकता है।
द्विपद वितरण के लिए प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = { }^n C_k p^k q^{n-k}$ है।
दिया गया है $n=5$,अतः:
$P(X=1) = { }^5 C_1 p^1 q^4 = 5pq^4 = 0.4096$ ...$(i)$
$P(X=2) = { }^5 C_2 p^2 q^3 = 10p^2 q^3 = 0.2048$ ...(ii)
समीकरण $(i)$ को (ii) से विभाजित करने पर:
$\frac{5pq^4}{10p^2q^3} = \frac{0.4096}{0.2048} = 2$
$\frac{q}{2p} = 2 \Rightarrow q = 4p$.
चूँकि $p+q=1$,इसलिए $p+4p=1 \Rightarrow 5p=1 \Rightarrow p=\frac{1}{5}$ और $q=\frac{4}{5}$.
अब,ठीक $4$ सफलताएँ प्राप्त करने की प्रायिकता है:
$P(X=4) = { }^5 C_4 p^4 q^1 = 5 \times (\frac{1}{5})^4 \times (\frac{4}{5}) = 5 \times \frac{1}{625} \times \frac{4}{5} = \frac{4}{625}$.

(C) माना कि सिक्के को $n$ बार उछाला जाता है।
एक उछाल में चित प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{1}{2}$ है।
चित न प्राप्त करने (पट आने) की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ है।
$n$ उछालों में कम से कम एक चित प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0)$ है।
दिया गया है कि $P(X \geq 1) > \frac{99}{100}$ है।
अतः,$1 - P(X = 0) > \frac{99}{100}$।
चूँकि $P(X = 0) = (\frac{1}{2})^n$,इसलिए $1 - (\frac{1}{2})^n > \frac{99}{100}$।
इसे सरल करने पर $1 - \frac{99}{100} > (\frac{1}{2})^n$,जिसका अर्थ है $\frac{1}{100} > (\frac{1}{2})^n$।
व्युत्क्रम लेने पर,$100 < 2^n$ प्राप्त होता है।
यदि $n = 6$ है,तो $2^6 = 64$,जो $100$ से कम है।
यदि $n = 7$ है,तो $2^7 = 128$,जो $100$ से अधिक है।
अतः,सिक्के को उछालने की न्यूनतम संख्या $7$ है।

(A) मान लीजिए $X$ ठीक होने वाले रोगियों की संख्या है। यह द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n = 6$ और $p = 0.6$ है।
यहाँ,$q = 1 - p = 1 - 0.6 = 0.4$ है।
हमें $6$ रोगियों में से आधे के ठीक होने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो कि $P(X = 3)$ है।
द्विपद प्रायिकता सूत्र $P(X = k) = ^nC_k p^k q^{n-k}$ का उपयोग करने पर:
$P(X = 3) = ^6C_3 \times (0.6)^3 \times (0.4)^{6-3}$
$P(X = 3) = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} \times (0.6)^3 \times (0.4)^3$
$P(X = 3) = 20 \times 0.216 \times 0.064$
$P(X = 3) = 0.27648 \approx 0.2762$ (दिए गए विकल्प के अनुसार)।

(D) माना $X$ चितों की संख्या है,जो द्विपद बंटन $B(n, p)$ का पालन करती है जहाँ $n = 100$ है।
$k$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^{k} (1-p)^{n-k}$ द्वारा दी जाती है।
हमें दिया गया है कि $P(X=50) = P(X=51)$ है।
मान रखने पर:
${}^{100}C_{50} p^{50} (1-p)^{50} = {}^{100}C_{51} p^{51} (1-p)^{49}$।
दोनों पक्षों को $p^{50} (1-p)^{49}$ से विभाजित करने पर:
${}^{100}C_{50} (1-p) = {}^{100}C_{51} p$।
$p$ के लिए हल करने पर:
$\frac{1-p}{p} = \frac{{}^{100}C_{51}}{{}^{100}C_{50}} = \frac{100!}{51! 49!} \times \frac{50! 50!}{100!} = \frac{50}{51}$।
अतः,$51(1-p) = 50p$।
$51 - 51p = 50p$।
$101p = 51$।
$p = \frac{51}{101}$।

(A) प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
अतः,$\sum_{x=0}^{\infty} P(X=x) = 1$.
दिए गए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर: $\sum_{x=0}^{\infty} k(x+1)\left(\frac{1}{5}\right)^x = 1$.
यह $\sum_{x=0}^{\infty} (x+1)r^x$ के रूप की एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी है जहाँ $r = \frac{1}{5}$ है।
श्रेणी $\sum_{x=0}^{\infty} (x+1)r^x = 1 + 2r + 3r^2 + \dots = \frac{1}{(1-r)^2}$ का योग होता है।
$r = \frac{1}{5}$ रखने पर: $\frac{1}{(1 - 1/5)^2} = \frac{1}{(4/5)^2} = \frac{1}{16/25} = \frac{25}{16}$.
इस प्रकार,$k \times \frac{25}{16} = 1$,जिससे $k = \frac{16}{25}$ प्राप्त होता है।
हमें $P(X=0)$ ज्ञात करना है।
$P(X=0) = k(0+1)\left(\frac{1}{5}\right)^0 = k \times 1 \times 1 = k$.
अतः,$P(X=0) = \frac{16}{25}$.

(B) दिया गया है कि $P(X=x) = k(x+1) 5^{-x}$ जहाँ $x = 0, 1, 2, 3, \ldots$ है।
चूंकि सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए,इसलिए $\sum_{x=0}^{\infty} P(X=x) = 1$ होगा।
$k \sum_{x=0}^{\infty} (x+1) (\frac{1}{5})^x = 1$।
यह एक अंकगणितीय-ज्यामितीय श्रेणी है जिसका रूप $\sum_{x=0}^{\infty} (x+1) r^x$ है,जहाँ $r = \frac{1}{5}$ है।
इस श्रेणी का योग $\frac{1}{(1-r)^2}$ होता है।
अतः,$k \times \frac{1}{(1 - \frac{1}{5})^2} = 1$।
$k \times \frac{1}{(\frac{4}{5})^2} = 1$।
$k \times \frac{25}{16} = 1$,जिससे हमें $k = \frac{16}{25}$ प्राप्त होता है।
अब,$P(X=0) = k(0+1) 5^{-0} = k(1)(1) = k$।
अतः,$P(X=0) = \frac{16}{25}$।

(B) माध्य $E(X)$ की गणना इस प्रकार है:
$E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i) = 1(0.2) + 2(0.4) + 3(0.3) + 4(0.1) = 0.2 + 0.8 + 0.9 + 0.4 = 2.3$
प्रसरण $\operatorname{Var}(X)$ की गणना इस प्रकार है:
$\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
$E(X^2) = \sum x_i^2 \cdot P(x_i) = 1^2(0.2) + 2^2(0.4) + 3^2(0.3) + 4^2(0.1)$
$E(X^2) = 0.2 + 1.6 + 2.7 + 1.6 = 6.1$
$\operatorname{Var}(X) = 6.1 - (2.3)^2 = 6.1 - 5.29 = 0.81$

(A) अपेक्षित मान $E(X)$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i)$
$E(X) = 0(0.4) + 1(0.3) + 2(0.1) + 3(0.1) + 4(0.1)$
$E(X) = 0 + 0.3 + 0.2 + 0.3 + 0.4 = 1.2$
यादृच्छिक चर के वर्ग का अपेक्षित मान $E(X^2)$ है:
$E(X^2) = \sum x_i^2 \cdot P(x_i)$
$E(X^2) = 0^2(0.4) + 1^2(0.3) + 2^2(0.1) + 3^2(0.1) + 4^2(0.1)$
$E(X^2) = 0(0.4) + 1(0.3) + 4(0.1) + 9(0.1) + 16(0.1)$
$E(X^2) = 0 + 0.3 + 0.4 + 0.9 + 1.6 = 3.2$
$X$ का प्रसरण इस प्रकार प्राप्त होता है:
$\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
$\text{Var}(X) = 3.2 - (1.2)^2$
$\text{Var}(X) = 3.2 - 1.44 = 1.76$

(C) कुल पत्तों की संख्या $52$ है। गड्डी में गुलामों (jacks) की संख्या $4$ है।
चूंकि पत्ते प्रतिस्थापन के साथ निकाले जाते हैं,इसलिए एक बार में गुलाम प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ है,और गुलाम न प्राप्त करने की प्रायिकता $q = 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}$ है।
यह द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n=2$ और $p=\frac{1}{13}$ है।
$P(X=1) = \binom{2}{1} \times p^1 \times q^1 = 2 \times \frac{1}{13} \times \frac{12}{13} = \frac{24}{169}$.
$P(X=2) = \binom{2}{2} \times p^2 \times q^0 = 1 \times \left(\frac{1}{13}\right)^2 \times 1 = \frac{1}{169}$.
अतः,$P(X=1) + P(X=2) = \frac{24}{169} + \frac{1}{169} = \frac{25}{169}$.

(D) माना यादृच्छिक चर $X$ लाभ या हानि को दर्शाता है।
जब एक निष्पक्ष पासा फेंका जाता है,तो संभावित परिणाम $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ होते हैं,जिनमें से प्रत्येक की प्रायिकता $\frac{1}{6}$ होती है।
यदि संख्या सम है,तो लाभ दिखाई गई संख्या के बराबर है $(X = x)$।
यदि संख्या विषम है,तो हानि दिखाई गई संख्या के बराबर है $(X = -x)$।
$X$ का प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:

$X = x$	$-1$	$2$	$-3$	$4$	$-5$	$6$
$P(X = x)$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$

प्रत्याशा $E(X)$ को $\sum x \cdot P(X=x)$ द्वारा दिया जाता है:
$E(X) = (-1) \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + (-3) \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + (-5) \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6}$
$E(X) = \frac{-1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6}{6}$
$E(X) = \frac{3}{6} = 0.5$
अतः,प्रत्याशा ₹ $0.5$ है।

(C) चूंकि प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है,इसलिए हमारे पास है:
$\sum_{x=0}^{8} P(X=x) = 1$
$\Rightarrow k + 2k + 3k + 4k + 4k + 3k + 2k + k + k = 1$
$\Rightarrow 21k = 1$
$\Rightarrow k = \frac{1}{21}$
अब,हमें $P(3 < X \leq 6)$ ज्ञात करना है। इसमें $X = 4, 5, 6$ मान शामिल हैं।
$\therefore P(3 < X \leq 6) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)$
$= 4k + 3k + 2k = 9k$
$k = \frac{1}{21}$ रखने पर:
$= 9 \times \frac{1}{21} = \frac{9}{21} = \frac{3}{7}$
अतः,$k = \frac{1}{21}$ और $P(3 < X \leq 6) = \frac{3}{7}$.

(A) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
$\sum P(X) = 1$
$0 + 2p + 2p + 3p + p^2 + 2p^2 + 7p^2 + 2p = 1$
पदों को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$10p^2 + 9p = 1$
$10p^2 + 9p - 1 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$10p^2 + 10p - p - 1 = 0$
$10p(p + 1) - 1(p + 1) = 0$
$(10p - 1)(p + 1) = 0$
इससे $p = \frac{1}{10}$ या $p = -1$ प्राप्त होता है।
चूंकि प्रायिकता $P(X)$ ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $p = -1$ को अस्वीकार कर दिया जाता है।
अतः,$p = \frac{1}{10}$।

(A) मान लीजिए $X$ दो पासों पर संख्याओं के योग को दर्शाने वाला यादृच्छिक चर है। $X$ के लिए संभावित मान $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12$ हैं। प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:

$X$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$	$11$	$12$
$P(X)$	$\frac{1}{36}$	$\frac{2}{36}$	$\frac{3}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{6}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{4}{36}$	$\frac{3}{36}$	$\frac{2}{36}$	$\frac{1}{36}$

अपेक्षित मान $E(X)$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i)$
$E(X) = 2 \cdot \frac{1}{36} + 3 \cdot \frac{2}{36} + 4 \cdot \frac{3}{36} + 5 \cdot \frac{4}{36} + 6 \cdot \frac{5}{36} + 7 \cdot \frac{6}{36} + 8 \cdot \frac{5}{36} + 9 \cdot \frac{4}{36} + 10 \cdot \frac{3}{36} + 11 \cdot \frac{2}{36} + 12 \cdot \frac{1}{36}$
$E(X) = \frac{1}{36} (2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 40 + 36 + 30 + 22 + 12)$
$E(X) = \frac{252}{36} = 7$

(D) दिया गया प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:
| $X$ | $2$ | $3$ | $4$ |
|---|---|---|---|
| $P(X=x)$ | $0.3$ | $0.4$ | $0.3$ |
सबसे पहले,हम माध्य $E(X)$ की गणना करते हैं:
$E(X) = \sum x_i P(x_i) = 2(0.3) + 3(0.4) + 4(0.3) = 0.6 + 1.2 + 1.2 = 3.0$
इसके बाद,हम $E(X^2)$ की गणना करते हैं:
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = 2^2(0.3) + 3^2(0.4) + 4^2(0.3) = 4(0.3) + 9(0.4) + 16(0.3) = 1.2 + 3.6 + 4.8 = 9.6$
अंत में,प्रसरण (variance) इस प्रकार प्राप्त होता है:
$\text{Variance}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 9.6 - (3)^2 = 9.6 - 9 = 0.6$

(D) सभी प्रायिकताएं $0 \leq P(X=x_i) \leq 1$ होनी चाहिए।
अतः,$0 \leq \frac{1+3p}{4} \leq 1$,$0 \leq \frac{1-p}{4} \leq 1$,$0 \leq \frac{1+2p}{4} \leq 1$,और $0 \leq \frac{1-4p}{4} \leq 1$.
इन असमिकाओं को हल करने पर:
$1$) $1+3p \geq 0 \Rightarrow p \geq -1/3$
$2$) $1-p \geq 0 \Rightarrow p \leq 1$
$3$) $1+2p \geq 0 \Rightarrow p \geq -1/2$
$4$) $1-4p \geq 0 \Rightarrow p \leq 1/4$
इन सबको मिलाने पर,$-\frac{1}{3} \leq p \leq \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
माध्य $E(X) = \sum x_i P(X=x_i) = (-1)\left(\frac{1+3p}{4}\right) + 0\left(\frac{1-p}{4}\right) + 1\left(\frac{1+2p}{4}\right) + 2\left(\frac{1-4p}{4}\right)$.
$E(X) = \frac{-1-3p+1+2p+2-8p}{4} = \frac{2-9p}{4}$.
दिए गए $-\frac{1}{3} \leq p \leq \frac{1}{4}$ के लिए,$E(X)$ का परिसर ज्ञात करते हैं:
यदि $p = 1/4$,तो $E(X) = \frac{2-9(1/4)}{4} = \frac{2-2.25}{4} = -\frac{0.25}{4} = -\frac{1}{16}$.
यदि $p = -1/3$,तो $E(X) = \frac{2-9(-1/3)}{4} = \frac{2+3}{4} = \frac{5}{4}$.
अतः,न्यूनतम मान $-\frac{1}{16}$ और अधिकतम मान $\frac{5}{4}$ है।

(D) प्रायिकता वितरण में सभी प्रायिकताओं का योग हमेशा एक होता है।
$\therefore k + 3k + 3k + k = 1$
$\Rightarrow 8k = 1$
$\Rightarrow k = \frac{1}{8}$
अब,माध्य $E(X)$ की गणना करें:
$E(X) = \sum x_i \cdot P(x_i)$
$E(X) = 0\left(\frac{1}{8}\right) + 1\left(\frac{3}{8}\right) + 2\left(\frac{3}{8}\right) + 3\left(\frac{1}{8}\right)$
$E(X) = 0 + \frac{3}{8} + \frac{6}{8} + \frac{3}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$
इसके बाद,$E(X^2)$ की गणना करें:
$E(X^2) = \sum x_i^2 \cdot P(x_i)$
$E(X^2) = 0^2\left(\frac{1}{8}\right) + 1^2\left(\frac{3}{8}\right) + 2^2\left(\frac{3}{8}\right) + 3^2\left(\frac{1}{8}\right)$
$E(X^2) = 0 + \frac{3}{8} + \frac{12}{8} + \frac{9}{8} = \frac{24}{8} = 3$
अंत में,प्रसरण $\operatorname{Var}(X)$ की गणना करें:
$\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
$\operatorname{Var}(X) = 3 - \left(\frac{3}{2}\right)^2$
$\operatorname{Var}(X) = 3 - \frac{9}{4} = \frac{12 - 9}{4} = \frac{3}{4}$
अतः,$k = \frac{1}{8}$ और $\operatorname{Var}(X) = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।

(B) गणितीय प्रत्याशा $E(X)$ की गणना प्रत्येक परिणाम और उसकी संबंधित संभावना के गुणनफल के योग के रूप में की जाती है: $E(X) = \sum x_i p_i$.
दी गई जानकारी:
- साफ: $x = 300, p = 0.50$
- सामान्य: $x = 250, p = 0.30$
- संदिग्ध: $x = 150, p = 0.15$
- बरसात: $x = 100, p = 0.05$
गणना:
$E(X) = (300 \times 0.50) + (250 \times 0.30) + (150 \times 0.15) + (100 \times 0.05)$
$E(X) = 150 + 75 + 22.5 + 5$
$E(X) = 252.5$
अतः,गणितीय प्रत्याशा ₹ $252.5$ है.

(A) मान लीजिए $X$ $3$ स्वतंत्र प्रयासों में काली गेंद निकाले जाने की संख्या है। यह द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n=3$ है।
एक प्रयास में काली गेंद निकालने की प्रायिकता $p = \frac{3}{4+3} = \frac{3}{7}$ है।
काली गेंद न निकालने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{3}{7} = \frac{4}{7}$ है।
प्रायिकता वितरण $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$ द्वारा $k = 0, 1, 2, 3$ के लिए दिया जाता है।
$k=0$ के लिए: $P(X=0) = \binom{3}{0} (\frac{3}{7})^0 (\frac{4}{7})^3 = 1 \times 1 \times (\frac{4}{7})^3 = (\frac{4}{7})^3$ है।
$k=1$ के लिए: $P(X=1) = \binom{3}{1} (\frac{3}{7})^1 (\frac{4}{7})^2 = 3 \times \frac{3}{7} \times (\frac{4}{7})^2 = \frac{9}{7} \times (\frac{4}{7})^2$ है।
$k=2$ के लिए: $P(X=2) = \binom{3}{2} (\frac{3}{7})^2 (\frac{4}{7})^1 = 3 \times (\frac{3}{7})^2 \times \frac{4}{7} = \frac{12}{7} \times (\frac{3}{7})^2$ है।
$k=3$ के लिए: $P(X=3) = \binom{3}{3} (\frac{3}{7})^3 (\frac{4}{7})^0 = 1 \times (\frac{3}{7})^3 \times 1 = (\frac{3}{7})^3$ है।
इन मानों की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,विकल्प $(A)$ सही है।

(C) प्रायिकता वितरण इस प्रकार दिया गया है:
$P(X=1)=0.15, P(X=2)=0.23, P(X=3)=0.12, P(X=4)=0.10, P(X=5)=0.20, P(X=6)=0.08, P(X=7)=0.07, P(X=8)=0.05$.
घटना $E = \{X \text{ एक अभाज्य संख्या है}\} = \{2, 3, 5, 7\}$.
$P(E) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=5) + P(X=7) = 0.23 + 0.12 + 0.20 + 0.07 = 0.62$.
घटना $F = \{X < 4\} = \{1, 2, 3\}$.
$P(F) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0.15 + 0.23 + 0.12 = 0.50$.
घटना $E \cap F = \{X \text{ एक अभाज्य संख्या है और } X < 4\} = \{2, 3\}$.
$P(E \cap F) = P(X=2) + P(X=3) = 0.23 + 0.12 = 0.35$.
प्रायिकता के योग प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)$
$P(E \cup F) = 0.62 + 0.50 - 0.35 = 0.77$.

(B) एक खेल में,$3$ सिक्के उछाले जाते हैं। कुल परिणामों की संख्या $2^3 = 8$ है।
$P(\text{सभी चित या सभी पट प्राप्त करना}) = P(HHH, TTT) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.
$P(\text{एक चित या दो चित प्राप्त करना}) = P(HTT, THT, TTH, HHT, HTH, THH) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
मान लीजिए $X$ जीती या हारी गई राशि को दर्शाने वाला यादृच्छिक चर है।
$P(X = 100) = \frac{1}{4}$.
$P(X = -40) = \frac{3}{4}$.
अपेक्षित मान $E(X) = \sum x_i p_i$.
$E(X) = 100 \times \frac{1}{4} + (-40) \times \frac{3}{4}$.
$E(X) = 25 - 30 = -5$.
चूंकि परिणाम ऋणात्मक है,इसलिए व्यक्ति को प्रति खेल ₹ $5$ के नुकसान की उम्मीद है।

(C) प्रायिकता बंटन तालिका द्वारा दिया गया है:
| $X=x$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\ldots$ | $n$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $P(X=x)$ | $\frac{1}{n}$ | $\frac{1}{n}$ | $\frac{1}{n}$ | $\ldots$ | $\frac{1}{n}$ |
$E(X) = \sum x P(X=x) = \frac{1}{n} (1 + 2 + \ldots + n) = \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2}$
$E(X^2) = \sum x^2 P(X=x) = \frac{1}{n} (1^2 + 2^2 + \ldots + n^2) = \frac{1}{n} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6}$
$\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{(n+1)(2n+1)}{6} - \left(\frac{n+1}{2}\right)^2$
$= \frac{(n+1)}{2} \left[ \frac{2n+1}{3} - \frac{n+1}{2} \right] = \frac{(n+1)}{2} \left[ \frac{4n+2 - 3n - 3}{6} \right] = \frac{(n+1)(n-1)}{12} = \frac{n^2-1}{12}$
दिया गया है कि $\frac{\operatorname{Var}(X)}{E(X)} = \frac{4}{1}$,अतः:
$\frac{(n^2-1)/12}{(n+1)/2} = 4$
$\frac{(n+1)(n-1)}{12} \cdot \frac{2}{n+1} = 4$
$\frac{n-1}{6} = 4$
$n-1 = 24$
$n = 25$

(C) माना यादृच्छिक चर $X$ तीन निष्पक्ष सिक्कों को उछालने पर प्राप्त चितों की संख्या को दर्शाता है। $X$ का प्रायिकता वितरण निम्नलिखित तालिका द्वारा दिया गया है:
| $X = x$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $P(X = x)$ | $\frac{1}{8}$ | $\frac{3}{8}$ | $\frac{3}{8}$ | $\frac{1}{8}$ |
अपेक्षित मान $E(X)$ की गणना इस प्रकार है:
$E(X) = \sum x P(X=x) = 0 \times \frac{1}{8} + 1 \times \frac{3}{8} + 2 \times \frac{3}{8} + 3 \times \frac{1}{8} = 0 + \frac{3}{8} + \frac{6}{8} + \frac{3}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5$
अपेक्षित मान $E(X^2)$ की गणना इस प्रकार है:
$E(X^2) = \sum x^2 P(X=x) = 0^2 \times \frac{1}{8} + 1^2 \times \frac{3}{8} + 2^2 \times \frac{3}{8} + 3^2 \times \frac{1}{8} = 0 + \frac{3}{8} + \frac{12}{8} + \frac{9}{8} = \frac{24}{8} = 3$
प्रसरण $V(X)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा प्राप्त होता है:
$V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
$V(X) = 3 - (\frac{3}{2})^2 = 3 - \frac{9}{4} = \frac{12 - 9}{4} = \frac{3}{4} = 0.75$

(D) दिया गया प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=x) = \frac{\binom{5}{x}}{2^5}$ है,जहाँ $x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ है।
$P(X=0) = \frac{\binom{5}{0}}{32} = \frac{1}{32}$ और $P(X=5) = \frac{\binom{5}{5}}{32} = \frac{1}{32}$ है। अतः,$P(X=0) = P(X=5)$ सही है।
$P(X \leq 1) = P(X=0) + P(X=1) = \frac{1}{32} + \frac{5}{32} = \frac{6}{32}$ है।
$P(X \geq 4) = P(X=4) + P(X=5) = \frac{5}{32} + \frac{1}{32} = \frac{6}{32}$ है। अतः,$P(X \leq 1) = P(X \geq 4)$ सही है।
$P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = \frac{1}{32} + \frac{5}{32} + \frac{10}{32} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$ है।
$P(X \geq 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = \frac{10}{32} + \frac{5}{32} + \frac{1}{32} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$ है।
चूँकि $P(X \leq 2) = \frac{1}{2}$ और $P(X \geq 3) = \frac{1}{2}$ है,इसलिए कथन $P(X \leq 2) > P(X \geq 3)$ गलत है।