MHT CET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ આપેલ છે:
$P(X=1)=0.15, P(X=2)=0.23, P(X=3)=0.10, P(X=4)=0.12, P(X=5)=0.20, P(X=6)=0.08, P(X=7)=0.07, P(X=8)=0.05$.
ઘટના $E = \{ X \text{ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે} \} = \{ 2, 3, 5, 7 \}$.
$P(E) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=5) + P(X=7) = 0.23 + 0.10 + 0.20 + 0.07 = 0.60$.
ઘટના $F = \{ X < 4 \} = \{ 1, 2, 3 \}$.
$P(F) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 0.15 + 0.23 + 0.10 = 0.48$.
ઘટના $E \cap F = \{ X \text{ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે અને } X < 4 \} = \{ 2, 3 \}$.
$P(E \cap F) = P(X=2) + P(X=3) = 0.23 + 0.10 = 0.33$.
સંભાવના માટે સરવાળાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)$
$P(E \cup F) = 0.60 + 0.48 - 0.33 = 0.75$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે,એટલે કે $\sum P(X=x) = 1$.
આપેલ વિતરણ પરથી:
$k^2 + 2k + k + 2k + 5k^2 = 1$
$6k^2 + 5k - 1 = 0$
$(6k - 1)(k + 1) = 0$
કારણ કે $P(X) \geq 0$,તેથી $k > 0$ હોવું જોઈએ,એટલે કે $k = \frac{1}{6}$.
હવે,આપણે $P(X \geq 2)$ શોધવાનું છે:
$P(X \geq 2) = P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)$
$P(X \geq 2) = 2k + k + 2k + 5k^2 = 5k + 5k^2$
$k = \frac{1}{6}$ મૂકતા:
$P(X \geq 2) = 5(\frac{1}{6}) + 5(\frac{1}{6})^2$
$P(X \geq 2) = \frac{5}{6} + \frac{5}{36} = \frac{30 + 5}{36} = \frac{35}{36}$.

(C) સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો હંમેશા $1$ હોય છે.
$\therefore k + 0.3 + 0.15 + 0.15 + 0.1 + 2k = 1$
$3k + 0.7 = 1$
$3k = 0.3$
$k = 0.1$
અપેક્ષિત કિંમત $E(X)$ એ $\sum x_i \cdot P(x_i)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$E(X) = 0(k) + 1(0.3) + 2(0.15) + 3(0.15) + 4(0.1) + 5(2k)$
$E(X) = 0(0.1) + 0.3 + 0.3 + 0.45 + 0.4 + 5(0.2)$
$E(X) = 0 + 0.3 + 0.3 + 0.45 + 0.4 + 1.0$
$E(X) = 2.45$

(B) ધારો કે $X$ એ છાપની સંખ્યા દર્શાવે છે. જ્યારે ત્રણ સિક્કા ઉછાળવામાં આવે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$ થાય,તેથી કુલ પરિણામોની સંખ્યા $8$ છે.
$X$ ની શક્ય કિંમતો $0, 1, 2$ અને $3$ છે.
$P(X=0) = P(\{TTT\}) = \frac{1}{8}$
$P(X=1) = P(\{HTT, THT, TTH\}) = \frac{3}{8}$
$P(X=2) = P(\{HHT, HTH, THH\}) = \frac{3}{8}$
$P(X=3) = P(\{HHH\}) = \frac{1}{8}$
આમ,સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:

$X=x$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X=x)$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

તેથી,વિકલ્પ $(B)$ સાચો જવાબ છે.

(D) ધારો કે $P(X=0)=p_0, P(X=1)=p_1, P(X=2)=p_2, P(X=3)=p_3$.
આપેલ છે કે $p_2 = 0.3$ અને $p_3 = 2p_1$.
સંભાવનાઓનો સરવાળો $p_0 + p_1 + p_2 + p_3 = 1$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$p_0 + p_1 + 0.3 + 2p_1 = 1 \Rightarrow p_0 + 3p_1 = 0.7 \dots (i)$.
મધ્યક $E(X) = \sum x_i p_i = 0(p_0) + 1(p_1) + 2(p_2) + 3(p_3) = 1.3$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$0 + p_1 + 2(0.3) + 3(2p_1) = 1.3$.
$p_1 + 0.6 + 6p_1 = 1.3 \Rightarrow 7p_1 = 0.7 \Rightarrow p_1 = 0.1$.
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$p_0 + 3(0.1) = 0.7 \Rightarrow p_0 + 0.3 = 0.7 \Rightarrow p_0 = 0.4$.
આમ,$P(X=0) = 0.4$.

(A) સંભાવના વિતરણમાં તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\sum_{x=0}^7 P(X=x) = 1$
$0 + k + 2k + 2k + 3k + k^2 + 2k^2 + (7k^2 + k) = 1$
$10k^2 + 9k - 1 = 0$
$(10k - 1)(k + 1) = 0$
અહીં $k \geq 0$ હોવાથી,$k = \frac{1}{10}$ મળે.
હવે,આપણે $P(X \geq 6)$ શોધવાનું છે:
$P(X \geq 6) = P(X=6) + P(X=7)$
$P(X \geq 6) = 2k^2 + (7k^2 + k) = 9k^2 + k$
$k = \frac{1}{10}$ મૂકતા:
$P(X \geq 6) = 9\left(\frac{1}{10}\right)^2 + \frac{1}{10} = \frac{9}{100} + \frac{10}{100} = \frac{19}{100}$.

(B) $E(X^2)$ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ સંચયી વિતરણ વિધેય $F(x)$ પરથી સંભાવના વિધેય $P(X=x)$ મેળવીશું,જે સંબંધ $P(X=x_i) = F(x_i) - F(x_{i-1})$ નો ઉપયોગ કરીને મળે છે.
$P(X=-1) = F(-1) = 0.3$
$P(X=0) = F(0) - F(-1) = 0.7 - 0.3 = 0.4$
$P(X=1) = F(1) - F(0) = 0.8 - 0.7 = 0.1$
$P(X=2) = F(2) - F(1) = 1 - 0.8 = 0.2$
હવે,આપણે અપેક્ષિત મૂલ્ય $E(X^2)$ ની ગણતરી $E(X^2) = \sum x_i^2 \cdot P(X=x_i)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરીશું:
$E(X^2) = (-1)^2(0.3) + (0)^2(0.4) + (1)^2(0.1) + (2)^2(0.2)$
$E(X^2) = (1)(0.3) + (0)(0.4) + (1)(0.1) + (4)(0.2)$
$E(X^2) = 0.3 + 0 + 0.1 + 0.8$
$E(X^2) = 1.2$

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે સંભાવના વિતરણ માટે,તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ,એટલે કે $\sum_{x=0}^{\infty} P(X=x) = 1$.
આપેલ પદને મૂકતા: $k \sum_{x=0}^{\infty} (x+1) (\frac{1}{5})^x = 1$.
શ્રેણીનું વિસ્તરણ કરતા: $k [ 1 + 2(\frac{1}{5}) + 3(\frac{1}{5})^2 + 4(\frac{1}{5})^3 + \ldots ] = 1$.
આ $\sum_{n=0}^{\infty} (a+nd)r^n = \frac{a}{1-r} + \frac{dr}{(1-r)^2}$ સ્વરૂપની એક અંકગણિતીય-ભૌમિતિક શ્રેણી છે,જ્યાં $a=1, d=1, r=\frac{1}{5}$.
સરવાળાની ગણતરી કરતા: $k [ \frac{1}{1 - 1/5} + \frac{1 \times 1/5}{(1 - 1/5)^2} ] = 1$.
$k [ \frac{5}{4} + \frac{1/5}{16/25} ] = k [ \frac{5}{4} + \frac{5}{16} ] = 1$.
$k [ \frac{20+5}{16} ] = 1 \Rightarrow \frac{25k}{16} = 1$.
તેથી,$k = \frac{16}{25}$.

(C) ચતુષ્ફલકનું મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{x_1+x_2+x_3+x_4}{4}, \frac{y_1+y_2+y_3+y_4}{4}, \frac{z_1+z_2+z_3+z_4}{4}\right)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $P(5, -7, 0)$,$Q(a, 5, 3)$,$R(4, -6, b)$ અને $S(6, c, 2)$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{5+a+4+6}{4}, \frac{-7+5-6+c}{4}, \frac{0+3+b+2}{4}\right) = \left(\frac{15+a}{4}, \frac{-8+c}{4}, \frac{b+5}{4}\right)$ થાય.
આને $(4, -3, 2)$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{15+a}{4} = 4 \Rightarrow a = 1$.
$\frac{-8+c}{4} = -3 \Rightarrow c = -4$.
$\frac{b+5}{4} = 2 \Rightarrow b = 3$.
તેથી,$2a + 3b + c = 2(1) + 3(3) - 4 = 2 + 9 - 4 = 7$.

(B) આપેલ છે $f(x) = \sin(2 \pi x)$.
રોલના પ્રમેય મુજબ,કોઈ $C \in (-1, 1)$ માટે $f'(C) = 0$ થાય.
$f'(x) = 2 \pi \cos(2 \pi x)$.
$f'(C) = 0$ લેતા,$2 \pi \cos(2 \pi C) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\cos(2 \pi C) = 0$.
$C \in (-1, 1)$ હોવાથી,$2 \pi C \in (-2 \pi, 2 \pi)$ થાય.
અંતરાલ $(-2 \pi, 2 \pi)$ માં $\cos(2 \pi C) = 0$ હોય તેવી કિંમતો $\frac{-3 \pi}{2}, \frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}$ છે.
$2 \pi$ વડે ભાગતા,$C = \frac{-3}{4}, \frac{-1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{3}{4}$ મળે.
આમ,$C$ ના કુલ $4$ મૂલ્યો મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $x, y, z$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $2y = x + z$ . . . $(i)$
વળી,$\tan^{-1} x, \tan^{-1} y, \tan^{-1} z$ એ $A.P.$ માં છે,તેથી $2 \tan^{-1} y = \tan^{-1} x + \tan^{-1} z$.
સૂત્ર $\tan^{-1} a + \tan^{-1} b = \tan^{-1} (\frac{a+b}{1-ab})$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\tan^{-1} (\frac{2y}{1-y^2}) = \tan^{-1} (\frac{x+z}{1-xz})$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{2y}{1-y^2} = \frac{x+z}{1-xz}$.
$(i)$ માંથી $x+z = 2y$ મૂકતા,આપણને મળે $\frac{2y}{1-y^2} = \frac{2y}{1-xz}$.
$y < 1$ હોવાથી,$1-y^2 = 1-xz$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $y^2 = xz$ થાય છે.
આમ,$x, y, z$ એ $A.P.$ અને $G.P.$ બંનેમાં હોવાથી,$x = y = z$ થાય.

(C) અપેક્ષિત મૂલ્ય $E(X)$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$E(X) = \sum x_i P(x_i)$
$E(X) = (-2)(0.1) + (-1)(0.2) + (0)(0.2) + (1)(0.3) + (2)(0.15) + (3)(0.05)$
$E(X) = -0.2 - 0.2 + 0 + 0.3 + 0.3 + 0.15 = 0.35$
વર્ગનું અપેક્ષિત મૂલ્ય $E(X^2)$ છે:
$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i)$
$E(X^2) = (-2)^2(0.1) + (-1)^2(0.2) + (0)^2(0.2) + (1)^2(0.3) + (2)^2(0.15) + (3)^2(0.05)$
$E(X^2) = (4)(0.1) + (1)(0.2) + 0 + (1)(0.3) + (4)(0.15) + (9)(0.05)$
$E(X^2) = 0.4 + 0.2 + 0 + 0.3 + 0.6 + 0.45 = 1.95$
વિચરણ $Var(X)$ નીચે મુજબ છે:
$Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
$Var(X) = 1.95 - (0.35)^2$
$Var(X) = 1.95 - 0.1225 = 1.8275$

(D) લીલા દડાની સંખ્યા દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે.
અહીં,કુલ દડાની સંખ્યા $15 + 10 = 25$ છે.
એક પ્રયત્નમાં લીલો દડો પસંદ થવાની સંભાવના $p = \frac{15}{25} = \frac{3}{5}$ છે.
પીળો દડો પસંદ થવાની સંભાવના $q = 1 - p = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$ છે.
પ્રયત્નોની સંખ્યા $n = 10$ છે.
દ્વિપદી વિતરણનું વિચરણ $\sigma^2 = npq$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\sigma^2 = 10 \times \frac{3}{5} \times \frac{2}{5} = 10 \times \frac{6}{25} = \frac{60}{25} = \frac{12}{5}$ મળે છે.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $P(0,3,0)$,$Q(0,0,4)$ અને $R(0,3,4)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ:
$PQ = \sqrt{(0-0)^2 + (0-3)^2 + (4-0)^2} = 5$
$QR = \sqrt{(0-0)^2 + (3-0)^2 + (4-4)^2} = 3$
$PR = \sqrt{(0-0)^2 + (3-3)^2 + (4-0)^2} = 4$
અંતઃકેન્દ્ર $I(x,y,z)$ નું સૂત્ર:
$I = \left( \frac{ax_1 + bx_2 + cx_3}{a+b+c}, \frac{ay_1 + by_2 + cy_3}{a+b+c}, \frac{az_1 + bz_2 + cz_3}{a+b+c} \right)$
અહીં $a=3$,$b=4$,$c=5$.
$I = \left( \frac{3(0)+4(0)+5(0)}{12}, \frac{3(3)+4(0)+5(3)}{12}, \frac{3(0)+4(4)+5(4)}{12} \right)$
$I = (0, 2, 3)$

(C) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(0,2,1)$,$B(-2,0,0)$ અને $C(-2,0,2)$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ ગણો:
$a = BC = \sqrt{(-2 - (-2))^2 + (0 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = 2$
$b = AC = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (0 - 2)^2 + (2 - 1)^2} = 3$
$c = AB = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (0 - 2)^2 + (0 - 1)^2} = 3$
અંતઃકેન્દ્ર $I = \frac{aA + bB + cC}{a + b + c}$ દ્વારા મળે છે.
$I = \frac{2(0,2,1) + 3(-2,0,0) + 3(-2,0,2)}{2 + 3 + 3}$
$I = \frac{(-12, 4, 8)}{8} = \left(-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}, 1\right)$.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(1,2,0)$,$B(1,0,2)$,અને $C(0,3,1)$ છે.
બાજુઓ દર્શાવતા સદિશો $\vec{AB} = -2\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{AC} = -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$ દ્વારા મળે છે.
સદિશ ગુણાકાર: $\vec{AB} \times \vec{AC} = -4\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{16 + 4 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ છે.
તેથી,ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times 2\sqrt{6} = \sqrt{6}$ ચોરસ એકમ થાય.

(A) ધારો કે બે બિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\bar{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\bar{c} = -\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}$ છે.
આ બિંદુઓને જોડતી રેખાનો દિશા સદિશ $\bar{v} = \bar{c} - \bar{b} = -2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ છે.
બિંદુ $\bar{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ માંથી પસાર થતી અને સદિશ $\bar{v}$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $\bar{r} = \bar{a} + \lambda\bar{v}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\bar{r} = (2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) + \lambda(-2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k})$ મળે છે.

(C) ધારો કે રેખા દ્વારા ધન $X$,$Y$ અને $Z$ અક્ષ સાથે બનતા ખૂણાઓ અનુક્રમે $\alpha$,$\beta$ અને $\gamma$ છે.
આપેલ છે કે $\alpha = 45^{\circ}$ અને $\beta = \gamma$.
દિશા કોસાઇનના ગુણધર્મ $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos^2 45^{\circ} + \cos^2 \beta + \cos^2 \beta = 1$
$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + 2\cos^2 \beta = 1$
$\frac{1}{2} + 2\cos^2 \beta = 1$
$2\cos^2 \beta = \frac{1}{2}$
$\cos^2 \beta = \frac{1}{4}$
$\cos \beta = \frac{1}{2}$ (ખૂણા લઘુકોણ હોવાથી)
$\beta = 60^{\circ}$.
આમ,$\beta = 60^{\circ}$ અને $\gamma = 60^{\circ}$.
ખૂણાઓનો સરવાળો $\alpha + \beta + \gamma = 45^{\circ} + 60^{\circ} + 60^{\circ} = 165^{\circ}$ થાય.

(C) રેખા $PQ$ ની દિક્કોસાઇન સમાન અને ધન હોવાથી,ધારો કે તે $l, m, n$ છે. $l=m=n$ અને $l^2+m^2+n^2=1$ હોવાથી,$3l^2=1$,તેથી $l=m=n=\frac{1}{\sqrt{3}}$.
રેખા $PQ$ ના દિક્ગુણોત્તર $1, 1, 1$ લઈ શકાય.
બિંદુ $P(2,-1,2)$ માંથી પસાર થતી રેખા $PQ$ નું સમીકરણ $\frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z-2}{1} = k$ છે.
તેથી,રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(k+2, k-1, k+2)$ છે.
આ બિંદુ $Q$ સમતલ $2x+y+z=9$ પર આવેલું હોવાથી,$2(k+2) + (k-1) + (k+2) = 9$.
$4k + 5 = 9$ $\Rightarrow 4k = 4$ $\Rightarrow k = 1$.
$k=1$ મૂકતા,$Q$ ના યામ $(3, 0, 3)$ મળે છે.
લંબાઈ $PQ = \sqrt{(3-2)^2 + (0-(-1))^2 + (3-2)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ એકમ.

(A) આપેલ વક્રનું સમીકરણ: $y = a\left(e^{\frac{x}{a}} + e^{-\frac{x}{a}}\right)$.
સ્પર્શકનો ઢાળ શોધવા માટે,$y$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = a \left( e^{\frac{x}{a}} \cdot \frac{1}{a} + e^{-\frac{x}{a}} \cdot (-\frac{1}{a}) \right) = e^{\frac{x}{a}} - e^{-\frac{x}{a}}$.
સ્પર્શક $X$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ શૂન્ય થાય:
$\frac{dy}{dx} = 0 \implies e^{\frac{x}{a}} - e^{-\frac{x}{a}} = 0$.
$e^{\frac{x}{a}} = e^{-\frac{x}{a}}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\frac{x}{a} = -\frac{x}{a} \implies \frac{2x}{a} = 0 \implies x = 0$.
આમ,બિંદુનો $x$-યામ $0$ છે.

(B) આપેલ છે: $|\overline{a}|=2, |\overline{b}|=4, |\overline{c}|=4$.
શરત મુજબ,$\overline{b}$ નો $\overline{a}$ પરનો પ્રક્ષેપ = $\overline{c}$ નો $\overline{a}$ પરનો પ્રક્ષેપ.
$\frac{\overline{b} \cdot \overline{a}}{|\overline{a}|} = \frac{\overline{c} \cdot \overline{a}}{|\overline{a}|}$
$\implies \overline{b} \cdot \overline{a} = \overline{c} \cdot \overline{a}$
$\implies (\overline{b} - \overline{c}) \cdot \overline{a} = 0$ ... $(i)$
વળી,$\overline{b}$ એ $\overline{c}$ ને લંબ છે,તેથી $\overline{b} \cdot \overline{c} = 0$.
હવે,$|\overline{a} + \overline{b} - \overline{c}|^2 = |\overline{a}|^2 + |\overline{b} - \overline{c}|^2 + 2\overline{a} \cdot (\overline{b} - \overline{c})$ લો.
$(i)$ પરથી,$\overline{a} \cdot (\overline{b} - \overline{c}) = 0$.
તેથી,$|\overline{a} + \overline{b} - \overline{c}|^2 = |\overline{a}|^2 + |\overline{b}|^2 + |\overline{c}|^2 - 2(\overline{b} \cdot \overline{c})$.
કારણ કે $\overline{b} \cdot \overline{c} = 0$,આપણને મળે છે:
$|\overline{a} + \overline{b} - \overline{c}|^2 = (2)^2 + (4)^2 + (4)^2 - 0 = 4 + 16 + 16 = 36$.
તેથી,$|\overline{a} + \overline{b} - \overline{c}| = \sqrt{36} = 6$.

(C) $\overline{a}$ નો $\overline{c}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\overline{a} \cdot \overline{c}}{|\overline{c}|} = \frac{10}{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$|\overline{c}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4+4} = 3$.
તેથી,$\frac{(\alpha \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}) \cdot (\hat{i} + 2 \hat{j} - 2 \hat{k})}{3} = \frac{10}{3}$.
$\alpha + 6 + 2 = 10 \Rightarrow \alpha = 2$.
હવે,$\overline{b} \times \overline{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -\beta & 4 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2\beta - 8) - \hat{j}(-6 - 4) + \hat{k}(6 + \beta) = (2\beta - 8)\hat{i} + 10\hat{j} + (6 + \beta)\hat{k}$.
આપેલ છે કે $\overline{b} \times \overline{c} = -6\hat{i} + 10\hat{j} + 7\hat{k}$,ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$6 + \beta = 7 \Rightarrow \beta = 1$.
આમ,$\alpha^2 + \beta^2 - \alpha\beta = 2^2 + 1^2 - (2)(1) = 4 + 1 - 2 = 3$.

(B) સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશો $\overline{AB}$ અને $\overline{CD}$ શોધીએ:
$\overline{AB} = (1-2)\hat{i} + (-4 - (-3))\hat{j} + (-2-0)\hat{k} = -\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$
$\overline{CD} = (7-4)\hat{i} + (0-6)\hat{j} + (10-8)\hat{k} = 3\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k}$
સદિશ $\overline{AB}$ નો સદિશ $\overline{CD}$ પરનો અદિશ પ્રક્ષેપ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\text{Projection} = \frac{\overline{AB} \cdot \overline{CD}}{|\overline{CD}|}$
અદિશ ગુણાકાર $\overline{AB} \cdot \overline{CD}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\overline{AB} \cdot \overline{CD} = (-1)(3) + (-1)(-6) + (-2)(2) = -3 + 6 - 4 = -1$
$\overline{CD}$ નું માન શોધીએ:
$|\overline{CD}| = \sqrt{3^2 + (-6)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$
આમ,અદિશ પ્રક્ષેપ:
$\frac{-1}{7}$
નોંધ: પ્રક્ષેપનું મૂલ્ય $|\frac{-1}{7}| = \frac{1}{7}$ થાય.

(D) ધારો કે જરૂરી રેખાના દિકગુણોત્તર $a, b, c$ છે.
આ રેખા $(1, 2, 3)$ અને $(-3, 2, 5)$ દિકગુણોત્તર ધરાવતી રેખાઓને લંબ હોવાથી,આપણને નીચેના સમીકરણો મળે છે:
$a + 2b + 3c = 0$ $(i)$
$-3a + 2b + 5c = 0$ (ii)
$a, b, c$ માટે ઉકેલવા માટે ચોકડી ગુણાકારની રીતનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{a}{(2)(5) - (3)(2)} = \frac{b}{(3)(-3) - (1)(5)} = \frac{c}{(1)(2) - (2)(-3)}$
$\frac{a}{10 - 6} = \frac{b}{-9 - 5} = \frac{c}{2 + 6}$
$\frac{a}{4} = \frac{b}{-14} = \frac{c}{8}$
$2$ વડે ભાગતા,આપણને દિકગુણોત્તર $(2, -7, 4)$ મળે છે.
બિંદુ $(-1, 3, -2)$ માંથી પસાર થતી અને $(2, -7, 4)$ દિકગુણોત્તર ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$\frac{x - (-1)}{2} = \frac{y - 3}{-7} = \frac{z - (-2)}{4}$
$\frac{x+1}{2} = \frac{y-3}{-7} = \frac{z+2}{4}$

(D) ધારો કે બિંદુ $A$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{a} = \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ છે.
આપેલા બે સદિશો $\vec{b} = 2 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{c} = \hat{i} + 3 \hat{j} + 2 \hat{k}$ છે.
રેખાની દિશા $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ બંનેને લંબ છે,તેથી તે $\vec{b} \times \vec{c}$ ને સમાંતર છે.
$\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - (-3)) - \hat{j}(4 - (-1)) + \hat{k}(6 - 1) = 5 \hat{i} - 5 \hat{j} + 5 \hat{k}$.
આપણે દિશા સદિશને $\vec{v} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ તરીકે લઈ શકીએ છીએ ($5$ વડે ભાગતા).
રેખાનું સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{v}$ છે,જે $\vec{r} = (\hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) + \lambda(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$ થાય છે.

(A) આપેલ રેખાઓના સદિશ સમીકરણો $\bar{r}=\hat{j}+\lambda(3 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k})$ અને $\bar{r}=-4 \hat{i}+3 \hat{j}-2 \hat{k}+\mu(3 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k})$ છે.
સમાંતર રેખાઓ $\bar{r}=\bar{a}_1+\lambda \bar{b}$ અને $\bar{r}=\bar{a}_2+\mu \bar{b}$ વચ્ચેનું અંતર $d=\left|\frac{(\bar{a}_2-\bar{a}_1) \times \bar{b}}{|\bar{b}|}\right|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$\bar{a}_1=\hat{j}$,$\bar{a}_2=-4 \hat{i}+3 \hat{j}-2 \hat{k}$,અને $\bar{b}=3 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$ છે.
તેથી,$\bar{a}_2-\bar{a}_1=-4 \hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}$ થાય.
સદિશ ગુણાકાર $(\bar{a}_2-\bar{a}_1) \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -4 & 2 & -2 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} = -2 \hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}$ મળે.
$\bar{b}$ નું માન $|\bar{b}| = \sqrt{9+4+1} = \sqrt{14}$ છે.
આમ,$d = \frac{|-2 \hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}|}{\sqrt{14}} = \sqrt{\frac{4+4+4}{14}} = \sqrt{\frac{12}{14}} = \sqrt{\frac{6}{7}}$ એકમ.

(A) ધારો કે બિંદુ $P(a, 6, 9)$ છે અને તેનું પ્રતિબિંબ $P'(20, b, -a-9)$ છે.
$PP'$ નું મધ્યબિંદુ $M = \left(\frac{a+20}{2}, \frac{6+b}{2}, \frac{9-a-9}{2}\right) = \left(\frac{a+20}{2}, \frac{6+b}{2}, -\frac{a}{2}\right)$ છે.
આ મધ્યબિંદુ $M$ રેખા $\frac{x-3}{7} = \frac{y-2}{5} = \frac{z-1}{-9} = k$ પર આવેલું છે.
તેથી,$\frac{\frac{a+20}{2}-3}{7} = \frac{\frac{6+b}{2}-2}{5} = \frac{-\frac{a}{2}-1}{-9} = k$.
પ્રથમ અને ત્રીજા ભાગ પરથી: $\frac{a+14}{14} = \frac{a+2}{18} \implies 18a + 252 = 14a + 28 \implies 4a = -224 \implies a = -56$.
$a = -56$ ની કિંમત રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{-56+14}{14} = \frac{6+b-4}{10} \implies -3 = \frac{b+2}{10} \implies b+2 = -30 \implies b = -32$.
આમ,$|a+b| = |-56 - 32| = |-88| = 88$.

(B) રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ ના દિશા સદિશો અનુક્રમે $\vec{v_1} = 3\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{v_2} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
$L_1$ અને $L_2$ બંનેને લંબ સદિશ એ ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-4) - \hat{j}(9-2) + \hat{k}(6-1) = -\hat{i} - 7\hat{j} + 5\hat{k}$.
આ સદિશનું માન $|\vec{n}| = \sqrt{(-1)^2 + (-7)^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 49 + 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$ છે.
જરૂરી એકમ સદિશ $\frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{-\hat{i} - 7\hat{j} + 5\hat{k}}{5\sqrt{3}}$ છે.

(A) આપેલ કાર્તેઝિયન સમીકરણ $2x - 2 = 3y + 1 = 6z - 2$ છે.
આખા સમીકરણને $x, y, z$ ના સહગુણકોના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ એટલે કે $6$ વડે ભાગતા:
$\frac{2(x - 1)}{6} = \frac{3(y + 1/3)}{6} = \frac{6(z - 1/3)}{6}$
જેનું સાદું રૂપ:
$\frac{x - 1}{3} = \frac{y + 1/3}{2} = \frac{z - 1/3}{1}$
આ રેખા બિંદુ $(1, -1/3, 1/3)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેના દિકગુણોત્તર $(3, 2, 1)$ છે.
રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{b}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\vec{r} = \left(\hat{i} - \frac{1}{3}\hat{j} + \frac{1}{3}\hat{k}\right) + \lambda(3\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k})$.

(C) ધારો કે $\frac{x-1}{2} = \frac{y+3}{-1} = \frac{z+1}{-2} = \lambda$.
રેખા પરનું કોઈ સામાન્ય બિંદુ $Q(2\lambda+1, -\lambda-3, -2\lambda-1)$ છે।
સદિશ $\vec{AQ} = (2\lambda, -\lambda-1, -2\lambda+2)$ મળે।
$AQ$ એ રેખાને લંબ હોવાથી, તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$2(2\lambda) - 1(-\lambda-1) - 2(-2\lambda+2) = 0$.
$4\lambda + \lambda + 1 + 4\lambda - 4 = 0$.
$9\lambda - 3 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{1}{3}$.
$\lambda = \frac{1}{3}$ મુકતા, $Q = (\frac{5}{3}, -\frac{10}{3}, -\frac{5}{3})$ મળે।
લંબાઈ $AQ = \sqrt{(\frac{5}{3}-1)^2 + (-\frac{10}{3}-(-2))^2 + (-\frac{5}{3}-(-3))^2}$.
$AQ = \sqrt{(\frac{2}{3})^2 + (-\frac{4}{3})^2 + (\frac{4}{3})^2} = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{16}{9} + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{36}{9}} = \sqrt{4} = 2 \text{ એકમ}$.

(A) બે રેખાઓ $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ અને $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ ત્યારે જ છેદે જો તેમના દિશા ગુણોત્તરો અને બિંદુઓના તફાવતથી બનતા નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય હોય:
$\left|\begin{array}{ccc} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{array}\right| = 0$
આપેલી રેખાઓ માટે:
રેખા $1$: $(x_1, y_1, z_1) = (1, 2, 1)$ અને $(a_1, b_1, c_1) = (2, 3, 4)$
રેખા $2$: $(x_2, y_2, z_2) = (3, k, 0)$ અને $(a_2, b_2, c_2) = (-1, 2, 1)$
આ કિંમતોને નિશ્ચાયકમાં મૂકતા:
$\left|\begin{array}{ccc} 3-1 & k-2 & 0-1 \\ 2 & 3 & 4 \\ -1 & 2 & 1 \end{array}\right| = 0$
$\left|\begin{array}{ccc} 2 & k-2 & -1 \\ 2 & 3 & 4 \\ -1 & 2 & 1 \end{array}\right| = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$2(3(1) - 4(2)) - (k-2)(2(1) - 4(-1)) - 1(2(2) - 3(-1)) = 0$
$2(3 - 8) - (k-2)(2 + 4) - 1(4 + 3) = 0$
$2(-5) - (k-2)(6) - 1(7) = 0$
$-10 - 6k + 12 - 7 = 0$
$-6k - 5 = 0$
$-6k = 5$
$k = \frac{-5}{6}$

(C) માંગેલ રેખા બિંદુ $(3, 1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે અને તે $\vec{v_1} = (1, 2, 3)$ અને $\vec{v_2} = (-3, 2, 5)$ દિશા સદિશો ધરાવતી રેખાઓને લંબ છે.
માંગેલ રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{b}$ એ $\vec{v_1}$ અને $\vec{v_2}$ નો સદિશ ગુણાકાર છે:
$\vec{b} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ -3 & 2 & 5 \end{vmatrix}$
$\vec{b} = \hat{i}(10 - 6) - \hat{j}(5 + 9) + \hat{k}(2 + 6) = 4\hat{i} - 14\hat{j} + 8\hat{k}$
દિશા સદિશને $2$ વડે ભાગતા,આપણને $\vec{b'} = 2\hat{i} - 7\hat{j} + 4\hat{k}$ મળે છે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતી અને દિશા સદિશ $(a, b, c)$ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ છે.
બિંદુ $(3, 1, 2)$ અને દિશા સદિશ $(2, -7, 4)$ મૂકતા:
$\frac{x-3}{2} = \frac{y-1}{-7} = \frac{z-2}{4}$.

(B) બે રેખાઓ $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ અને $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ ત્યારે જ છેદે જો બિંદુઓના તફાવત અને દિશા સદિશો દ્વારા બનતા નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય હોય:
$\left|\begin{array}{ccc} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{array}\right| = 0$
આપેલ બિંદુઓ $(-1, -k, 4)$ અને $(-10, -1, 1)$ છે,અને દિશા સદિશો $(-10, -1, 1)$ અને $(-1, -3, 4)$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\left|\begin{array}{ccc} -10-(-1) & -1-(-k) & 1-4 \\ -10 & -1 & 1 \\ -1 & -3 & 4 \end{array}\right| = 0$
$\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc} -9 & k-1 & -3 \\ -10 & -1 & 1 \\ -1 & -3 & 4 \end{array}\right| = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$-9((-1)(4) - (1)(-3)) - (k-1)((-10)(4) - (1)(-1)) - 3((-10)(-3) - (-1)(-1)) = 0$
$-9(-4 + 3) - (k-1)(-40 + 1) - 3(30 - 1) = 0$
$-9(-1) - (k-1)(-39) - 3(29) = 0$
$9 + 39(k-1) - 87 = 0$
$39(k-1) = 78$
$k-1 = 2$
$k = 3$

(B) રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ અનુક્રમે સદિશો $\vec{b}_1 = 5\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b}_2 = 4\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$ ને સમાંતર છે.
$L_1$ અને $L_2$ બંનેને લંબ એકમ સદિશ $\hat{n} = \pm \frac{\vec{b}_1 \times \vec{b}_2}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા: $\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 5 & 2 & 1 \\ 4 & 3 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(10-3) - \hat{j}(25-4) + \hat{k}(15-8) = 7\hat{i} - 21\hat{j} + 7\hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{7^2 + (-21)^2 + 7^2} = \sqrt{49 + 441 + 49} = \sqrt{539} = 7\sqrt{11}$ છે.
આમ,$\hat{n} = \pm \frac{7(\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k})}{7\sqrt{11}} = \pm \frac{\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}}{\sqrt{11}}$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો $\frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{3}=\frac{z-1}{4}$ અને $\frac{x-3}{1}=\frac{y-k}{2}=\frac{z}{1}$ છે.
રેખાઓ બિંદુઓ $P_1(1, -2, 1)$ અને $P_2(3, k, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેમની દિશાના ગુણોત્તર $\vec{v_1} = (2, 3, 4)$ અને $\vec{v_2} = (1, 2, 1)$ છે.
બે રેખાઓ છેદે તે માટે તેમની વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર શૂન્ય હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે બિંદુઓને જોડતા સદિશ અને દિશા સદિશોનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય થવો જોઈએ:
$\left|\begin{array}{ccc} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{array}\right|=0$
કિંમતો મૂકતા:
$\left|\begin{array}{ccc} 3-1 & k-(-2) & 0-1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right|=0$
$\left|\begin{array}{ccc} 2 & k+2 & -1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 1 \end{array}\right|=0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$2(3(1) - 4(2)) - (k+2)(2(1) - 4(1)) - 1(2(2) - 3(1)) = 0$
$2(3-8) - (k+2)(2-4) - 1(4-3) = 0$
$2(-5) - (k+2)(-2) - 1(1) = 0$
$-10 + 2k + 4 - 1 = 0$
$2k - 7 = 0$
$k = \frac{7}{2}$

(A) ધારો કે $\frac{x-7}{3} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z+2}{1} = \lambda$. તેથી $x = 3\lambda + 7, y = 1 - \lambda, z = \lambda - 2$.
ધારો કે $\frac{x}{2} = \frac{y-7}{3} = \frac{z}{1} = \mu$. તેથી $x = 2\mu, y = 3\mu + 7, z = \mu$.
પ્રથમ રેખા પરના બિંદુ $A$ ના યામ $(3\lambda + 7, 1 - \lambda, \lambda - 2)$ છે.
બીજી રેખા પરના બિંદુ $B$ ના યામ $(2\mu, 3\mu + 7, \mu)$ છે.
રેખા $AB$ ના દિશા ગુણોત્તર $(3\lambda - 2\mu + 7, -\lambda - 3\mu - 6, \lambda - \mu - 2)$ છે.
રેખાના દિશા ગુણોત્તર $1, -4, 2$ હોવાથી,આપણને મળે:
$\frac{3\lambda - 2\mu + 7}{1} = \frac{-\lambda - 3\mu - 6}{-4} = \frac{\lambda - \mu - 2}{2}$.
$\frac{3\lambda - 2\mu + 7}{1} = \frac{\lambda + 3\mu + 6}{4}$ પરથી,$12\lambda - 8\mu + 28 = \lambda + 3\mu + 6$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $\lambda - \mu + 2 = 0$ $(i)$ થાય છે.
$\frac{\lambda + 3\mu + 6}{4} = \frac{\lambda - \mu - 2}{2}$ પરથી,$\lambda + 3\mu + 6 = 2\lambda - 2\mu - 4$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $\lambda - 5\mu - 10 = 0$ $(ii)$ થાય છે.
$(i)$ અને $(ii)$ ને ઉકેલતા,$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા: $4\mu + 12 = 0$,તેથી $\mu = -3$.
$\mu = -3$ ને $(i)$ માં મૂકતા,$\lambda - (-3) + 2 = 0$,તેથી $\lambda = -5$.
આમ,$A = (-8, 6, -7)$ અને $B = (-6, -2, -3)$ મળે છે.

(A) ધારો કે રેખા $\frac{x+3}{5}=\frac{y+1}{2}=\frac{z+4}{3}=\lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(5\lambda-3, 2\lambda-1, 3\lambda-4)$ છે.
આપેલ બિંદુ $A(0, 2, 3)$ છે.
રેખા $AP$ ના દિક્-ગુણોત્તરો $(5\lambda-3-0, 2\lambda-1-2, 3\lambda-4-3)$ એટલે કે $(5\lambda-3, 2\lambda-3, 3\lambda-7)$ છે.
રેખા $AP$ એ આપેલ રેખા (જેના દિક્-ગુણોત્તરો $(5, 2, 3)$ છે) ને લંબ હોવાથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$5(5\lambda-3) + 2(2\lambda-3) + 3(3\lambda-7) = 0$.
$25\lambda - 15 + 4\lambda - 6 + 9\lambda - 21 = 0$.
$38\lambda - 42 = 0$.
$\lambda = \frac{42}{38} = \frac{21}{19}$.
$\lambda = \frac{21}{19}$ ને $P$ ના યામમાં મૂકતા:
$x = 5(\frac{21}{19}) - 3 = \frac{105-57}{19} = \frac{48}{19}$.
$y = 2(\frac{21}{19}) - 1 = \frac{42-19}{19} = \frac{23}{19}$.
$z = 3(\frac{21}{19}) - 4 = \frac{63-76}{19} = \frac{-13}{19}$.
આમ,લંબપાદના યામ $\left(\frac{48}{19}, \frac{23}{19}, \frac{-13}{19}\right)$ છે.

(C) ત્રણ બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$,$(x_2, y_2, z_2)$,અને $(x_3, y_3, z_3)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક દ્વારા નીચે મુજબ મળે છે:
$\left|\begin{array}{ccc} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{array}\right| = 0$
આપેલ બિંદુઓ $(3,1,1)$,$(1,2,3)$,અને $(-1,4,2)$ મૂકતા:
$\left|\begin{array}{ccc} x-3 & y-1 & z-1 \\ 1-3 & 2-1 & 3-1 \\ -1-3 & 4-1 & 2-1 \end{array}\right| = 0$
$\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc} x-3 & y-1 & z-1 \\ -2 & 1 & 2 \\ -4 & 3 & 1 \end{array}\right| = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$(x-3)(1-6) - (y-1)(-2+8) + (z-1)(-6+4) = 0$
$-5(x-3) - 6(y-1) - 2(z-1) = 0$
$-5x + 15 - 6y + 6 - 2z + 2 = 0$
$-5x - 6y - 2z + 23 = 0$
$-1$ વડે ગુણતા:
$5x + 6y + 2z - 23 = 0$

(C) સમતલ $x-y+z=3$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, -1, 1)$ છે.
ધારો કે $Q = (3, 1, 7)$. $Q$ માંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ રેખા $\frac{x-3}{1} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z-7}{1} = \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(\lambda+3, -\lambda+1, \lambda+7)$ છે.
સમતલ સાથેના છેદબિંદુ $M$ માટે,$(\lambda+3) - (-\lambda+1) + (\lambda+7) = 3$,જેનું સાદુંરૂપ $3\lambda + 9 = 3$ થાય છે,તેથી $3\lambda = -6$,એટલે કે $\lambda = -2$.
આમ,$M = (-2+3, -(-2)+1, -2+7) = (1, 3, 5)$.
$M$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,જો $P = (a, b, c)$ હોય,તો $\frac{3+a}{2} = 1, \frac{1+b}{2} = 3, \frac{7+c}{2} = 5$.
આનાથી $a = -1, b = 5, c = 3$ મળે છે,તેથી $P = (-1, 5, 3)$.
સમતલ $P(-1, 5, 3)$ માંથી પસાર થાય છે અને રેખા $\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{1}$ ને સમાવે છે,જે ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને દિશા સદિશ $\vec{v} = (1, 2, 1)$ ધરાવે છે.
જરૂરી સમતલનો અભિલંબ $\vec{n'} = \vec{OP} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 5 & 3 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(5-6) - \hat{j}(-1-3) + \hat{k}(-2-5) = -\hat{i} + 4\hat{j} - 7\hat{k}$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $-1(x-0) + 4(y-0) - 7(z-0) = 0$ છે,જે $-x + 4y - 7z = 0$ અથવા $x - 4y + 7z = 0$ થાય છે.

(B) ધારો કે $M$ એ રેખાખંડ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$M$ ના યામ $\left(\frac{1+3}{2}, \frac{2+4}{2}, \frac{5+3}{2}\right) = (2, 3, 4)$ છે.
રેખા $PQ$ ના દિકગુણોત્તર $(3-1, 4-2, 3-5) = (2, 2, -2)$ છે.
સમતલ $PQ$ ને લંબ હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
$(x_0, y_0, z_0)$ માંથી પસાર થતા અને $(a, b, c)$ અભિલંબ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $2(x-2) + 2(y-3) - 2(z-4) = 0$ મળે છે.
$2$ વડે ભાગતા,આપણને $(x-2) + (y-3) - (z-4) = 0$ મળે છે.
$x + y - z - 2 - 3 + 4 = 0$.
$x + y - z - 1 = 0$.

(C) ધારો કે જરૂરી સમતલ $P_1$ છે. તે રેખા $L_1: \frac{x}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z}{4}$ ને સમાવે છે,તેથી તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_1$ એ $\vec{v}_1 = (3, 2, 4)$ ને લંબ છે.
ધારો કે $P_2$ એ રેખાઓ $L_2: \frac{x}{4}=\frac{y}{3}=\frac{z}{2}$ અને $L_3: \frac{x}{2}=\frac{y}{-4}=\frac{z}{3}$ ને સમાવતું સમતલ છે.
$P_2$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_2 = \vec{v}_2 \times \vec{v}_3 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 4 & 3 & 2 \\ 2 & -4 & 3 \end{vmatrix} = 17\hat{i} - 8\hat{j} - 22\hat{k}$ છે.
કારણ કે $P_1 \perp P_2$,તેથી $\vec{n}_1$ એ $\vec{n}_2 = (17, -8, -22)$ ને લંબ છે.
આમ,$\vec{n}_1 = \vec{v}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 4 \\ 17 & -8 & -22 \end{vmatrix} = -12\hat{i} + 134\hat{j} - 58\hat{k}$.
$-2$ વડે ભાગતા,આપણને અભિલંબ સદિશ $(6, -67, 29)$ મળે છે.
તેથી સમતલનું સમીકરણ $6x - 67y + 29z = 0$ છે.

(C) ધારો કે માંગેલ સમતલ $P_1$ છે. તે રેખા $L_1: \frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$ ને સમાવે છે,તેથી તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_1$ એ $\vec{v}_1 = (2, 3, 4)$ ને લંબ છે.
ધારો કે $P_2$ એ રેખાઓ $L_2: \frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{2}$ અને $L_3: \frac{x}{4}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$ ને સમાવતું સમતલ છે.
$P_2$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}_2$ એ $L_2$ અને $L_3$ ના દિશા સદિશોના ક્રોસ પ્રોડક્ટ દ્વારા મળે છે:
$\vec{n}_2 = (3, 4, 2) \times (4, 2, 3) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & 2 \\ 4 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(12-4) - \hat{j}(9-8) + \hat{k}(6-16) = (8, -1, -10)$.
આમ,સમતલ $P_2$ નું સમીકરણ $8x - y - 10z = 0$ છે.
$P_1$ એ $P_2$ ને લંબ હોવાથી,તેનો અભિલંબ $\vec{n}_1$ એ $\vec{n}_2 = (8, -1, -10)$ ને લંબ છે.
વળી,$\vec{n}_1$ એ $\vec{v}_1 = (2, 3, 4)$ ને પણ લંબ છે.
તેથી,$\vec{n}_1 = \vec{v}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 8 & -1 & -10 \end{vmatrix} = \hat{i}(-30+4) - \hat{j}(-20-32) + \hat{k}(-2-24) = (-26, 52, -26)$.
$-26$ વડે ભાગતા,આપણને અભિલંબ સદિશ $(1, -2, 1)$ મળે છે.
સમતલનું સમીકરણ $1(x-0) - 2(y-0) + 1(z-0) = 0$ એટલે કે $x - 2y + z = 0$ થાય છે.

(B) આપેલ સમતલ બિંદુ $(1,1,1)$ માંથી પસાર થાય છે અને તે $2x-y-2z=5$ અને $3x-6y+2z=7$ ને લંબ છે.
આ સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = 2\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$ અને $\vec{n_2} = 3\hat{i} - 6\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
માગેલ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2}$ થશે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & -2 \\ 3 & -6 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2-12) - \hat{j}(4+6) + \hat{k}(-12+3) = -14\hat{i} - 10\hat{j} - 9\hat{k}$.
સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_1) + b(y-y_1) + c(z-z_1) = 0$ મુજબ:
$-14(x-1) - 10(y-1) - 9(z-1) = 0$.
$-14x + 14 - 10y + 10 - 9z + 9 = 0$.
$-14x - 10y - 9z + 33 = 0$.
તેથી,$14x + 10y + 9z = 33$.

(D) $(1, -2, 1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - 1) + b(y + 2) + c(z - 1) = 0$ છે.
સમતલ એ $2x - 2y + z = 0$ અને $x - y + 2z = 4$ ને લંબ હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (a, b, c)$ એ $\vec{n_1} = (2, -2, 1)$ અને $\vec{n_2} = (1, -1, 2)$ ને લંબ છે.
તેથી,$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 + 1) - \hat{j}(4 - 1) + \hat{k}(-2 + 2) = -3\hat{i} - 3\hat{j} + 0\hat{k}$.
આપણે અભિલંબ સદિશ $(1, 1, 0)$ લઈ શકીએ છીએ.
સમતલનું સમીકરણ $1(x - 1) + 1(y + 2) + 0(z - 1) = 0$ થાય,જેનું સાદું રૂપ $x + y + 1 = 0$ છે.
બિંદુ $(1, 2, 2)$ થી સમતલ $x + y + 0z + 1 = 0$ નું અંતર $d = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} = \frac{|1(1) + 1(2) + 0(2) + 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{|1 + 2 + 1|}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ એકમ થાય.

(A) સમતલ $P_1$ નો અભિલંબ સદિશ $\overline{n_1} = \overline{a} \times \overline{b}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમતલ $P_2$ નો અભિલંબ સદિશ $\overline{n_2} = \overline{c} \times \overline{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ શરત $(\overline{a} \times \overline{b}) \times (\overline{c} \times \overline{d}) = \overline{0}$ સૂચવે છે કે સદિશ $\overline{n_1}$ એ સદિશ $\overline{n_2}$ ને સમાંતર છે.
બે સમતલોના અભિલંબ સદિશો સમાંતર હોવાથી,સમતલો $P_1$ અને $P_2$ એકબીજાને સમાંતર છે.
બે સમાંતર સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $0$ થાય છે.

(C) ધારો કે બિંદુ $(x_1, y_1, z_1) = (-1, 2, -3)$ છે.
બે રેખાઓના દિશા ગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1) = (3, 2, -4)$ અને $(a_2, b_2, c_2) = (2, -3, 2)$ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા અને સદિશો $\vec{b_1} = (a_1, b_1, c_1)$ અને $\vec{b_2} = (a_2, b_2, c_2)$ ને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક દ્વારા મળે છે:
$\begin{vmatrix} x - x_1 & y - y_1 & z - z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$
કિંમતો મૂકતા:
$\begin{vmatrix} x + 1 & y - 2 & z + 3 \\ 3 & 2 & -4 \\ 2 & -3 & 2 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$(x + 1)(2(2) - (-4)(-3)) - (y - 2)(3(2) - (-4)(2)) + (z + 3)(3(-3) - 2(2)) = 0$
$(x + 1)(4 - 12) - (y - 2)(6 + 8) + (z + 3)(-9 - 4) = 0$
$-8(x + 1) - 14(y - 2) - 13(z + 3) = 0$
$-8x - 8 - 14y + 28 - 13z - 39 = 0$
$-8x - 14y - 13z - 19 = 0$
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $8x + 14y + 13z + 19 = 0$ મળે છે.

(C) $(2,1,0)$,$(4,1,1)$ અને $(5,0,1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયકની મદદથી:
$\begin{vmatrix} x-2 & y-1 & z-0 \\ 4-2 & 1-1 & 1-0 \\ 5-2 & 0-1 & 1-0 \end{vmatrix} = 0$
$\Rightarrow \begin{vmatrix} x-2 & y-1 & z \\ 2 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$(x-2)(0 - (-1)) - (y-1)(2 - 3) + z(-2 - 0) = 0$
$(x-2)(1) - (y-1)(-1) - 2z = 0$
$x - 2 + y - 1 - 2z = 0$
$x + y - 2z = 3$
ધારો કે $R'(x, y, z)$ એ સમતલ $x + y - 2z - 3 = 0$ ની સાપેક્ષે $R(2, 1, 6)$ નું પ્રતિબિંબ છે.
પ્રતિબિંબ શોધવાનું સૂત્ર:
$\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c} = -2 \frac{ax_1 + by_1 + cz_1 + d}{a^2 + b^2 + c^2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-6}{-2} = -2 \frac{2 + 1 - 2(6) - 3}{1^2 + 1^2 + (-2)^2}$
$\frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-6}{-2} = -2 \frac{3 - 12 - 3}{6} = 4$
દરેક ભાગને $4$ સાથે સરખાવતા:
$x - 2 = 4 \Rightarrow x = 6$
$y - 1 = 4 \Rightarrow y = 5$
$z - 6 = -8 \Rightarrow z = -2$
તેથી,પ્રતિબિંબ $R'$ એ $(6, 5, -2)$ છે.

(B) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ નું સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ થી અંતર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે બિંદુઓ $(1, -1, \lambda)$ અને $(-3, 0, 1)$ એ સમતલ $3x - 4y - 12z + 13 = 0$ થી સમાન અંતરે છે,તેથી:
$\frac{|3(1) - 4(-1) - 12(\lambda) + 13|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2 + (-12)^2}} = \frac{|3(-3) - 4(0) - 12(1) + 13|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2 + (-12)^2}}$
$|3 + 4 - 12\lambda + 13| = |-9 - 0 - 12 + 13|$
$|20 - 12\lambda| = |-8|$
$|20 - 12\lambda| = 8$
આનો અર્થ એ છે કે $20 - 12\lambda = 8$ અથવા $20 - 12\lambda = -8$.
કિસ્સો $1$: $20 - 12\lambda = 8 \Rightarrow 12\lambda = 12 \Rightarrow \lambda = 1$.
કિસ્સો $2$: $20 - 12\lambda = -8 \Rightarrow 12\lambda = 28 \Rightarrow \lambda = \frac{28}{12} = \frac{7}{3}$.
$\lambda$ ના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો $1 + \frac{7}{3} = \frac{10}{3}$ થાય છે.

(A) અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ બે રેખાઓના દિશા સદિશો $\vec{v_1} = (1, -2, 3)$ અને $\vec{v_2} = (2, -1, -1)$ ને લંબ છે.
$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 2 & -1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2+3) - \hat{j}(-1-6) + \hat{k}(-1+4) = 5\hat{i} + 7\hat{j} + 3\hat{k}$.
બિંદુ $(1, -1, -1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $(5, 7, 3)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $5(x-1) + 7(y+1) + 3(z+1) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $5x + 7y + 3z + 5 = 0$ થાય છે.
બિંદુ $(1, 3, -7)$ નું સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ થી અંતર $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $d = \frac{|5(1) + 7(3) + 3(-7) + 5|}{\sqrt{5^2 + 7^2 + 3^2}} = \frac{|5 + 21 - 21 + 5|}{\sqrt{25 + 49 + 9}} = \frac{10}{\sqrt{83}}$ એકમ.

(C) બિંદુ $(1, 1, 1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - 1) + b(y - 1) + c(z - 1) = 0$ છે.
આ સમતલ $2x + y - 2z = 5$ અને $3x - 6y - 2z = 7$ ને લંબ હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (a, b, c)$ એ આપેલા સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (2, 1, -2)$ અને $\vec{n_2} = (3, -6, -2)$ ને લંબ હશે.
તેથી,અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\vec{n_1} \times \vec{n_2}$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 3 & -6 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2 - 12) - \hat{j}(-4 + 6) + \hat{k}(-12 - 3) = -14\hat{i} - 2\hat{j} - 15\hat{k}$.
અભિલંબ સદિશ $(14, 2, 15)$ લેતા,સમતલનું સમીકરણ $14(x - 1) + 2(y - 1) + 15(z - 1) = 0$ થાય.
આનું સાદુરૂપ આપતા,$14x - 14 + 2y - 2 + 15z - 15 = 0$,એટલે કે $14x + 2y + 15z = 31$ મળે છે.