MHT CET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) ધારો કે $\bar{v} = 2\bar{a} - \bar{b} + 3\bar{c}$.
આપેલ સદિશોની કિંમત મૂકતા:
$\bar{v} = 2(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - (4\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) + 3(\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})$
$\bar{v} = (2 - 4 + 3)\hat{i} + (2 + 2 - 6)\hat{j} + (2 - 3 + 3)\hat{k}$
$\bar{v} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$
$\bar{v}$ નું માન $|\bar{v}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$ છે.
$\bar{v}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{v} = \frac{\bar{v}}{|\bar{v}|} = \frac{1}{3}(\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k})$ છે.
$6$ એકમ માન ધરાવતો જરૂરી સદિશ $6 \times \hat{v} = 6 \times \frac{1}{3}(\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}) = 2(\hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}) = 2\hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}$ થાય.

(A) સ્થાન સદિશ $\overline{OP} = \hat{a} \cos t + \hat{b} \sin t$ છે.
લંબાઈ $M = |\overline{OP}|$ નીચે મુજબ મળે છે:
$M^2 = |\hat{a} \cos t + \hat{b} \sin t|^2 = |\hat{a}|^2 \cos^2 t + |\hat{b}|^2 \sin^2 t + 2(\hat{a} \cdot \hat{b}) \sin t \cos t$.
કારણ કે $\hat{a}$ અને $\hat{b}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\hat{a}| = |\hat{b}| = 1$.
$M^2 = \cos^2 t + \sin^2 t + (\hat{a} \cdot \hat{b}) \sin 2t = 1 + (\hat{a} \cdot \hat{b}) \sin 2t$.
$M$ મહત્તમ હોવા માટે,$\sin 2t = 1$ હોવું જોઈએ,તેથી $2t = \frac{\pi}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $t = \frac{\pi}{4}$.
તેથી $M = \sqrt{1 + \hat{a} \cdot \hat{b}}$.
$\overline{OP}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{u} = \frac{\overline{OP}}{|\overline{OP}|}$ છે.
$t = \frac{\pi}{4}$ પર,$\overline{OP} = \hat{a} \cos(\frac{\pi}{4}) + \hat{b} \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{a} + \hat{b})$.
આમ,$\hat{u} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{a} + \hat{b})}{|\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{a} + \hat{b})|} = \frac{\hat{a} + \hat{b}}{|\hat{a} + \hat{b}|}$.

(A) આપેલ છે કે $\bar{x}=\frac{\bar{b} \times \bar{c}}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]}, \bar{y}=\frac{\bar{c} \times \bar{a}}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]}, \bar{z}=\frac{\bar{a} \times \bar{b}}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]}$.
આપણે $S = \bar{x} \cdot(\bar{a}+\bar{b})+\bar{y} \cdot(\bar{b}+\bar{c})+\bar{z} \cdot(\bar{c}+\bar{a})$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\bar{x}, \bar{y}, \bar{z}$ ની કિંમતો મૂકતા:
$S = \frac{(\bar{b} \times \bar{c}) \cdot (\bar{a}+\bar{b})}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]} + \frac{(\bar{c} \times \bar{a}) \cdot (\bar{b}+\bar{c})}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]} + \frac{(\bar{a} \times \bar{b}) \cdot (\bar{c}+\bar{a})}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]}$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = (\bar{a} \times \bar{b}) \cdot \bar{c}$ ના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા અને જો કોઈપણ બે સદિશો સમાન હોય તો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે તે હકીકતનો ઉપયોગ કરતા:
$S = \frac{[\bar{b} \bar{c} \bar{a}] + [\bar{b} \bar{c} \bar{b}] + [\bar{c} \bar{a} \bar{b}] + [\bar{c} \bar{a} \bar{c}] + [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + [\bar{a} \bar{b} \bar{a}]}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]}$.
કારણ કે $[\bar{b} \bar{c} \bar{b}] = 0, [\bar{c} \bar{a} \bar{c}] = 0, [\bar{a} \bar{b} \bar{a}] = 0$ અને $[\bar{b} \bar{c} \bar{a}] = [\bar{c} \bar{a} \bar{b}] = [\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$,તેથી આપણને મળે છે:
$S = \frac{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + 0 + [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + 0 + [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + 0}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]} = \frac{3[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]} = 3$.

(D) આપેલ છે કે $\overline{a}+2\overline{b}$ એ $\overline{c}$ સાથે સમરેખ છે,તેથી $\overline{a}+2\overline{b} = n\overline{c}$ જ્યાં $n$ એ શૂન્યતર અદિશ છે. $(i)$
તે જ રીતે,$\overline{b}+3\overline{c}$ એ $\overline{a}$ સાથે સમરેખ છે,તેથી $\overline{b}+3\overline{c} = m\overline{a}$ જ્યાં $m$ એ શૂન્યતર અદિશ છે. (ii)
(ii) પરથી,$\overline{b} = m\overline{a} - 3\overline{c}$ મળે.
આ કિંમત $(i)$ માં મૂકતા: $\overline{a} + 2(m\overline{a} - 3\overline{c}) = n\overline{c}$.
આથી $(1+2m)\overline{a} = (n+6)\overline{c}$ મળે.
કારણ કે $\overline{a}$ અને $\overline{c}$ સમરેખ નથી,તેથી સહગુણકો શૂન્ય થવા જોઈએ: $1+2m = 0 \Rightarrow m = -1/2$ અને $n+6 = 0 \Rightarrow n = -6$.
હવે,$\overline{a}+2\overline{b}+6\overline{c}$ પદને ધ્યાનમાં લો.
$(i)$ પરથી,$\overline{a}+2\overline{b} = n\overline{c} = -6\overline{c}$.
તેથી,$\overline{a}+2\overline{b}+6\overline{c} = -6\overline{c} + 6\overline{c} = \overline{0}$.

(B) ધારો કે બાજુનો સદિશ $\vec{a} = 3 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ છે અને વિકર્ણનો સદિશ $\vec{c} = 2 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}$ છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,ધારો કે $\vec{a} = \vec{AB}$ અને $\vec{c} = \vec{AC}$ છે.
$\triangle ABC$ માં સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$ થાય.
ધારો કે $\vec{b} = \vec{BC}$. તેથી $\vec{a} + \vec{b} = \vec{c}$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{b} = \vec{c} - \vec{a}$.
$\vec{b} = (2 \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}) - (3 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = -\hat{i} - \hat{k}$.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ તેની બે પાસપાસેની બાજુઓના સદિશ ગુણાકારના માન જેટલું હોય છે,એટલે કે $|\vec{a} \times \vec{b}|$.
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - 0) - \hat{j}(-3 - 1) + \hat{k}(0 - (-1)) = -\hat{i} + 4 \hat{j} + \hat{k}$.
ક્ષેત્રફળ $= |-\hat{i} + 4 \hat{j} + \hat{k}| = \sqrt{(-1)^2 + 4^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 16 + 1} = \sqrt{18} = 3 \sqrt{2} \text{ ચોરસ એકમ}$.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $P, Q$ અને $R$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{p} = \hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$,$\vec{q} = -2 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}$ અને $\vec{r} = -8 \hat{i}+13 \hat{j}$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશો $\vec{PQ}$ અને $\vec{QR}$ શોધીએ:
$\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = (-2 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}) - (\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}) = -3 \hat{i}+5 \hat{j}-\hat{k}$.
$\vec{QR} = \vec{r} - \vec{q} = (-8 \hat{i}+13 \hat{j}) - (-2 \hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}) = -6 \hat{i}+10 \hat{j}-2 \hat{k}$.
આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\vec{QR} = 2(-3 \hat{i}+5 \hat{j}-\hat{k}) = 2 \vec{PQ}$.
જેથી $\vec{QR}$ એ $\vec{PQ}$ નો અદિશ ગુણાંક હોવાથી,સદિશો $\vec{PQ}$ અને $\vec{QR}$ સમાંતર છે.
તેઓ સામાન્ય બિંદુ $Q$ ધરાવતા હોવાથી,બિંદુઓ $P, Q$ અને $R$ સમરેખ છે.
અને $\vec{QR} = 2 \vec{PQ}$ હોવાથી,બિંદુ $Q$ એ $P$ અને $R$ ની વચ્ચે આવેલું છે.

(D) ધારો કે $AD$ એ $\triangle ABC$ ની શિરોબિંદુ $A$ માંથી પસાર થતી મધ્યગા છે.
$D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,સદિશ $\overline{AD}$ એ સૂત્ર $\overline{AD} = \frac{\overline{AB} + \overline{AC}}{2}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ સદિશોની કિંમતો મૂકતા:
$\overline{AD} = \frac{(3 \hat{i} + 4 \hat{k}) + (5 \hat{i} - 2 \hat{j} + 4 \hat{k})}{2}$
$\overline{AD} = \frac{(3+5) \hat{i} + (-2) \hat{j} + (4+4) \hat{k}}{2}$
$\overline{AD} = \frac{8 \hat{i} - 2 \hat{j} + 8 \hat{k}}{2}$
$\overline{AD} = 4 \hat{i} - \hat{j} + 4 \hat{k}$
હવે,મધ્યગાની લંબાઈ એ સદિશ $\overline{AD}$ નું માન છે:
$|\overline{AD}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 4^2}$
$|\overline{AD}| = \sqrt{16 + 1 + 16}$
$|\overline{AD}| = \sqrt{33} \text{ એકમ}$.

(B) આપેલ છે કે $\overline{a} \times \overline{b} = 2 \overline{a} \times \overline{c}$,તેથી આપણે લખી શકીએ કે $\overline{a} \times (\overline{b} - 2 \overline{c}) = \overline{0}$.
આનો અર્થ એ છે કે સદિશ $(\overline{b} - 2 \overline{c})$ એ $\overline{a}$ ને સમાંતર છે,જે $\overline{b} - 2 \overline{c} = \lambda \overline{a}$ સાથે સુસંગત છે.
ધારો કે $\overline{b}$ અને $\overline{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ છે.
$|\overline{b} \times \overline{c}| = \sqrt{15}$ આપેલ હોવાથી,$|\overline{b}| |\overline{c}| \sin \alpha = \sqrt{15}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$(4)(1) \sin \alpha = \sqrt{15}$,તેથી $\sin \alpha = \frac{\sqrt{15}}{4}$.
હવે,$\cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - \frac{15}{16}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$.
હવે,$|\overline{b} - 2 \overline{c}|^2 = |\lambda \overline{a}|^2$ લેતા.
$|\overline{b}|^2 + 4|\overline{c}|^2 - 4(\overline{b} \cdot \overline{c}) = \lambda^2 |\overline{a}|^2$.
$16 + 4(1) - 4(|\overline{b}| |\overline{c}| \cos \alpha) = \lambda^2 (1)^2$.
$20 - 4(4 \times 1 \times \frac{1}{4}) = \lambda^2$.
$20 - 4 = \lambda^2$,તેથી $\lambda^2 = 16$.
આમ,$\lambda = \pm 4$. વિકલ્પોમાં $-4$ આપેલ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ સદિશો $\bar{a}=2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$,$\bar{b}=-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ અને $\bar{c}=3 \hat{i}+\hat{j}$ છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશ $\bar{a}+\lambda \bar{b}$ શોધીએ:
$\bar{a}+\lambda \bar{b} = (2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) + \lambda(-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})$
$= (2-\lambda) \hat{i} + (2+2\lambda) \hat{j} + (3+\lambda) \hat{k}$.
કારણ કે $\bar{a}+\lambda \bar{b}$ એ $\bar{c}$ ને લંબ છે,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ:
$(\bar{a}+\lambda \bar{b}) \cdot \bar{c} = 0$
$((2-\lambda) \hat{i} + (2+2\lambda) \hat{j} + (3+\lambda) \hat{k}) \cdot (3 \hat{i} + 1 \hat{j} + 0 \hat{k}) = 0$
$(2-\lambda)(3) + (2+2\lambda)(1) + (3+\lambda)(0) = 0$
$6 - 3\lambda + 2 + 2\lambda = 0$
$8 - \lambda = 0$
$\lambda = 8$.

(A) સૌ પ્રથમ,સદિશ $\vec{v} = 3 \bar{a} + \bar{b} - 2 \bar{c}$ ની ગણતરી કરો.
$\vec{v} = 3(2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) + (\hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}) - 2(4 \hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k})$
$\vec{v} = (6 \hat{i} - 3 \hat{j} + 3 \hat{k}) + (\hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}) - (8 \hat{i} - 4 \hat{j} + 2 \hat{k})$
$\vec{v} = (6 + 1 - 8) \hat{i} + (-3 + 1 + 4) \hat{j} + (3 - 2 - 2) \hat{k}$
$\vec{v} = -\hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$
હવે,$\vec{v}$ નું માન શોધો:
$|\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$
$\vec{v}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ $\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{-\hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}(-\hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k})$ છે.

(C) ધારો કે $\vec{a} = Cx \hat{i} - 6 \hat{j} - 3 \hat{k}$ અને $\vec{b} = x \hat{i} + 2 \hat{j} + 2Cx \hat{k}$ છે.
સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો ગુરુકોણ હોવાથી,તેમનો અદિશ ગુણાકાર ઋણ હોવો જોઈએ,એટલે કે $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $(Cx)(x) + (-6)(2) + (-3)(2Cx) < 0$.
$Cx^2 - 12 - 6Cx < 0$.
$Cx^2 - 6Cx - 12 < 0$.
બધા જ વાસ્તવિક $x$ માટે આ દ્વિઘાત પદાવલિ ઋણ રહે તે માટે,$x^2$ નો સહગુણક ઋણ $(C < 0)$ હોવો જોઈએ અને વિવેચક $D$ ઋણ $(D < 0)$ હોવો જોઈએ.
$D = (-6C)^2 - 4(C)(-12) = 36C^2 + 48C < 0$.
$12$ વડે ભાગતા: $3C^2 + 4C < 0$.
$C(3C + 4) < 0$.
આ અસમતા ત્યારે જ સાચી ઠરે જ્યારે $-\frac{4}{3} < C < 0$ હોય.
આમ,$C$ ની કિંમત $(-\frac{4}{3}, 0)$ અંતરાલમાં હોઈ શકે.

(B) $f(x) = \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) = \begin{vmatrix} x & -2 & 3 \\ -2 & x & -1 \\ 7 & -2 & x \end{vmatrix}$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$f(x) = x(x^2 - 2) + 2(-2x + 7) + 3(4 - 7x)$
$f(x) = x^3 - 2x - 4x + 14 + 12 - 21x$
$f(x) = x^3 - 27x + 26$
સ્થાનિક ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,$f'(x) = 0$ લેતા:
$f'(x) = 3x^2 - 27 = 0$
$3(x^2 - 9) = 0 \Rightarrow x = \pm 3$
દ્વિતીય વિકલિત કસોટીનો ઉપયોગ કરતા:
$f''(x) = 6x$
$f''(3) = 18 > 0$,તેથી $x_0 = 3$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે.
$x = 3$ આગળ:
$\bar{a} = 3 \hat{i} - 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$
$\bar{b} = -2 \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}$
$\bar{a} \cdot \bar{b} = (3)(-2) + (-2)(3) + (3)(-1)$
$\bar{a} \cdot \bar{b} = -6 - 6 - 3 = -15$

(B) આપેલ સદિશો $\bar{a}=(2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})$,$\bar{b}=(-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})$,અને $\bar{c}=(3 \hat{i}+\hat{j})$ છે.
પ્રથમ,સદિશ $(\bar{a}+\lambda \bar{b})$ ની ગણતરી કરો:
$(\bar{a}+\lambda \bar{b}) = (2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) + \lambda(-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k})$
$= (2-\lambda) \hat{i} + (2+2\lambda) \hat{j} + (3+\lambda) \hat{k}$.
કારણ કે $(\bar{a}+\lambda \bar{b})$ એ $\bar{c}$ ને લંબ છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(\bar{a}+\lambda \bar{b}) \cdot \bar{c} = 0$
$((2-\lambda) \hat{i} + (2+2\lambda) \hat{j} + (3+\lambda) \hat{k}) \cdot (3 \hat{i}+1 \hat{j}+0 \hat{k}) = 0$
$(2-\lambda)(3) + (2+2\lambda)(1) + (3+\lambda)(0) = 0$
$6 - 3\lambda + 2 + 2\lambda = 0$
$8 - \lambda = 0$
$\lambda = 8$.

(D) આપેલ સદિશો $\bar{a}=\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$,$\bar{b}=2\hat{i}+4\hat{j}+\hat{k}$ અને $\bar{c}=m\hat{i}+\hat{j}+n\hat{k}$ છે.
સદિશો પરસ્પર લંબ હોવાથી,$\bar{a} \cdot \bar{c} = 0$ અને $\bar{b} \cdot \bar{c} = 0$ થાય.
$\bar{a} \cdot \bar{c} = 0$ માટે:
$(1)(m) + (-1)(1) + (2)(n) = 0$
$m - 1 + 2n = 0$
$m + 2n = 1$ ... $(i)$
$\bar{b} \cdot \bar{c} = 0$ માટે:
$(2)(m) + (4)(1) + (1)(n) = 0$
$2m + n = -4$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને $2$ વડે ગુણતા,$4m + 2n = -8$ ... $(iii)$ મળે.
સમીકરણ $(iii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$(4m + 2n) - (m + 2n) = -8 - 1$
$3m = -9 \implies m = -3$.
$m = -3$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$-3 + 2n = 1 \implies 2n = 4 \implies n = 2$.
આમ,$(m, n) = (-3, 2)$.

(C) શિરોબિંદુઓ $A(1, -1, 2)$,$B(2, 1, -1)$,અને $C(3, -1, 2)$ છે.
સ્થાન સદિશો $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,અને $\vec{c} = 3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{AC}$ મેળવીએ:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = 2\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}$
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & 0 & 0 \end{vmatrix} = -6\hat{j} - 4\hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-6)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36 + 16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ છે.
તેથી,ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times 2\sqrt{13} = \sqrt{13}$ ચોરસ એકમ થાય.

(C) આપેલ છે કે $\overline{A} \times \overline{X} = \overline{B}$.
બંને બાજુ $\overline{A}$ સાથે સદિશ ગુણાકાર લેતા:
$\overline{A} \times (\overline{A} \times \overline{X}) = \overline{A} \times \overline{B}$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના નિત્યસમ $\overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{c}) = (\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{a} \cdot \overline{b}) \overline{c}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\overline{A} \cdot \overline{X}) \overline{A} - (\overline{A} \cdot \overline{A}) \overline{X} = \overline{A} \times \overline{B}$.
$\overline{A} \cdot \overline{X} = C$ અને $\overline{A} \cdot \overline{A} = |\overline{A}|^2$ કિંમત મૂકતા:
$C \overline{A} - |\overline{A}|^2 \overline{X} = \overline{A} \times \overline{B}$.
$\overline{X}$ ને કર્તા બનાવતા:
$|\overline{A}|^2 \overline{X} = C \overline{A} - \overline{A} \times \overline{B}$.
$\overline{X} = \frac{C \overline{A} - \overline{A} \times \overline{B}}{|\overline{A}|^2}$.

(C) આપેલ છે કે $\overline{R} \times \overline{B} = \overline{C} \times \overline{B}$,તેથી આપણે લખી શકીએ કે $(\overline{R} - \overline{C}) \times \overline{B} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $(\overline{R} - \overline{C})$ એ $\overline{B}$ ને સમાંતર છે,તેથી કોઈ અદિશ $k$ માટે $\overline{R} - \overline{C} = k\overline{B}$.
તેથી,$\overline{R} = \overline{C} + k\overline{B}$.
આપેલ છે કે $\overline{R} \cdot \overline{A} = 0$,તેથી $\overline{R}$ ની કિંમત મૂકતા:
$(\overline{C} + k\overline{B}) \cdot \overline{A} = 0
\Rightarrow \overline{C} \cdot \overline{A} + k(\overline{B} \cdot \overline{A}) = 0$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$\overline{A} \cdot \overline{C} = (2 \hat{i} + \hat{k}) \cdot (4 \hat{i} - 3 \hat{j} + 7 \hat{k}) = 2(4) + 0(-3) + 1(7) = 8 + 7 = 15$.
$\overline{A} \cdot \overline{B} = (2 \hat{i} + \hat{k}) \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 2(1) + 0(1) + 1(1) = 2 + 1 = 3$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$15 + k(3) = 0
\Rightarrow 3k = -15
\Rightarrow k = -5$.
હવે,$\overline{R}$ શોધીએ:
$\overline{R} = \overline{C} - 5\overline{B} = (4 \hat{i} - 3 \hat{j} + 7 \hat{k}) - 5(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})
= (4-5)\hat{i} + (-3-5)\hat{j} + (7-5)\hat{k}
= -\hat{i} - 8\hat{j} + 2\hat{k}$.

(C) આપેલ છે: $|\vec{a}| = \sqrt{27}$,$|\vec{b}| = 7$,અને $|\vec{a} \times \vec{b}| = 35$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$.
તેથી,$\sin \theta = \frac{|\vec{a} \times \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{35}{\sqrt{27} \times 7} = \frac{5}{\sqrt{27}}$.
હવે,$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - \frac{25}{27} = \frac{2}{27}$.
તેથી,$\cos \theta = \sqrt{\frac{2}{27}}$ (ધારો કે $\theta$ લઘુકોણ છે).
અંતે,$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta = \sqrt{27} \times 7 \times \sqrt{\frac{2}{27}} = 7 \sqrt{2}$.

(D) આપેલ છે: $\overline{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ અને $\overline{b}=\hat{i}+\hat{j}$.
પ્રથમ,$\overline{a}$ નું માન શોધો:
$|\overline{a}|=\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{4+1+4}=3$.
હવે,સદિશ ગુણાકાર $\overline{a} \times \overline{b}$ શોધો:
$\overline{a} \times \overline{b}=\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 2 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$.
તેનું માન $|\overline{a} \times \overline{b}|=\sqrt{2^2+(-2)^2+1^2}=3$ છે.
આપેલ છે કે $|(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c}|=3$ અને ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$ છે.
સૂત્ર $|\overline{u} \times \overline{v}| = |\overline{u}||\overline{v}| \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$3 = 3 \times |\overline{c}| \times \sin 30^{\circ} \Rightarrow 3 = 3 \times |\overline{c}| \times \frac{1}{2} \Rightarrow |\overline{c}| = 2$.
હવે,શરત $|\overline{c}-\overline{a}|=3$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|\overline{c}-\overline{a}|^2 = 9 \Rightarrow |\overline{c}|^2 + |\overline{a}|^2 - 2(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 9$.
કિંમતો મૂકતા: $2^2 + 3^2 - 2(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 9 \Rightarrow 4 + 9 - 2(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 9$.
$13 - 2(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 9 \Rightarrow 2(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 4 \Rightarrow \overline{a} \cdot \overline{c} = 2$.

(C) આપેલ છે કે $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ અસમતલીય સદિશો છે,તેથી અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] \neq 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\overline{a} \cdot \overline{p} = \overline{a} \cdot \frac{\overline{b} \times \overline{c}}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]} = \frac{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]} = 1$.
તે જ રીતે,$\overline{b} \cdot \overline{q} = \overline{b} \cdot \frac{\overline{c} \times \overline{a}}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]} = \frac{[\overline{b} \overline{c} \overline{a}]}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]} = 1$.
અને $\overline{c} \cdot \overline{r} = \overline{c} \cdot \frac{\overline{a} \times \overline{b}}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]} = \frac{[\overline{c} \overline{a} \overline{b}]}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]} = 1$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$2 \overline{a} \cdot \overline{p} + \overline{b} \cdot \overline{q} + \overline{c} \cdot \overline{r} = 2(1) + 1 + 1 = 4$.

(B) આપેલ છે કે,$\bar{a}=\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$ અને $\bar{b}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$.
સૌ પ્રથમ,સદિશો $(2 \bar{a}+\bar{b})$ અને $(\bar{a}+2 \bar{b})$ ની ગણતરી કરો:
$2 \bar{a}+\bar{b} = 2(\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}) + (2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}) = 4 \hat{i}-\hat{j}+5 \hat{k}$.
$\bar{a}+2 \bar{b} = (\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}) + 2(2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}) = 5 \hat{i}+4 \hat{j}+\hat{k}$.
હવે,તેમના માન (magnitudes) શોધો:
$|2 \bar{a}+\bar{b}| = \sqrt{4^2+(-1)^2+5^2} = \sqrt{42}$.
$|\bar{a}+2 \bar{b}| = \sqrt{5^2+4^2+1^2} = \sqrt{42}$.
ડોટ પ્રોડક્ટ (અદિશ ગુણાકાર) શોધો:
$(2 \bar{a}+\bar{b}) \cdot (\bar{a}+2 \bar{b}) = (4)(5) + (-1)(4) + (5)(1) = 20 - 4 + 5 = 21$.
સૂત્ર $\cos \theta = \frac{(2 \bar{a}+\bar{b}) \cdot (\bar{a}+2 \bar{b})}{|2 \bar{a}+\bar{b}| |\bar{a}+2 \bar{b}|}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos \theta = \frac{21}{\sqrt{42} \cdot \sqrt{42}} = \frac{21}{42} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$.

(C) પાસપાસેની બાજુઓ $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $|\bar{a} \times \bar{b}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $|\bar{a} \times \bar{b}| = 15$.
નવા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ જેની પાસપાસેની બાજુઓ $(3 \bar{a} + 2 \bar{b})$ અને $(\bar{a} + 3 \bar{b})$ છે,તે તેમના સદિશ ગુણાકારના માન દ્વારા મળે છે:
$|(3 \bar{a} + 2 \bar{b}) \times (\bar{a} + 3 \bar{b})|$
$= |3(\bar{a} \times \bar{a}) + 9(\bar{a} \times \bar{b}) + 2(\bar{b} \times \bar{a}) + 6(\bar{b} \times \bar{b})|$
કારણ કે $\bar{a} \times \bar{a} = 0$ અને $\bar{b} \times \bar{b} = 0$,અને $\bar{b} \times \bar{a} = -(\bar{a} \times \bar{b})$,તેથી:
$= |0 + 9(\bar{a} \times \bar{b}) - 2(\bar{a} \times \bar{b}) + 0|$
$= |7(\bar{a} \times \bar{b})| = 7 |\bar{a} \times \bar{b}|$
$= 7 \times 15 = 105$ ચોરસ એકમ.

(C) આપેલ છે કે,$\overline{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ અને $\overline{a} \times \overline{b}=\hat{j}-\hat{k}$.
વળી,$\overline{a} \cdot \overline{b}=1$.
ધારો કે $\overline{b}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\overline{a} \times \overline{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = (z-y)\hat{i} - (z-x)\hat{j} + (y-x)\hat{k}$.
આને $\hat{j}-\hat{k}$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$z-y=0 \implies z=y$ $(i)$
$-(z-x)=1 \implies x-z=1$ $(ii)$
$y-x=-1$ $(iii)$
ડોટ પ્રોડક્ટ પરથી,$\overline{a} \cdot \overline{b} = x+y+z=1$ $(iv)$.
$z=y$ અને $x=z+1$ ને $(iv)$ માં મૂકતા:
$(z+1) + z + z = 1 \implies 3z = 0 \implies z=0$.
આમ,$y=0$ અને $x=0+1=1$.
તેથી,$\overline{b} = 1\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k} = \hat{i}$.

(B) સૌ પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\overline{a} \times \overline{b}$ ની ગણતરી કરો:
$\overline{a} \times \overline{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 2 \hat{i} - 2 \hat{j} + \hat{k}$.
તેનું માન $|\overline{a} \times \overline{b}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = 3$ ...$(i)$.
આપેલ છે કે $|\overline{c} - \overline{a}| = 2 \sqrt{2}$,બંને બાજુ વર્ગ કરતા $|\overline{c}|^2 + |\overline{a}|^2 - 2(\overline{c} \cdot \overline{a}) = 8$ મળે.
અહીં $|\overline{a}| = 3$ હોવાથી $|\overline{a}|^2 = 9$.
શરત $\overline{a} \cdot \overline{c} = |\overline{c}|$ નો ઉપયોગ કરતા,$|\overline{c}|^2 + 9 - 2|\overline{c}| = 8$ મળે.
આ સમીકરણ $|\overline{c}|^2 - 2|\overline{c}| + 1 = 0$ એટલે કે $(|\overline{c}| - 1)^2 = 0$ થાય,તેથી $|\overline{c}| = 1$ ...$(ii)$.
હવે,સદિશ ગુણાકારનું માન $|(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c}| = |\overline{a} \times \overline{b}| |\overline{c}| \sin(60^{\circ})$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(3)(1)(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$.

(B) આપણે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $(\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}) \cdot [(\overline{a}+\overline{b}) \times (\overline{a}+\overline{c})]$ ની ગણતરી કરવાની છે.
પ્રથમ,ક્રોસ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરો: $(\overline{a}+\overline{b}) \times (\overline{a}+\overline{c}) = \overline{a} \times \overline{a} + \overline{a} \times \overline{c} + \overline{b} \times \overline{a} + \overline{b} \times \overline{c} = 0 + \overline{a} \times \overline{c} + \overline{b} \times \overline{a} + \overline{b} \times \overline{c}$.
હવે,$(\overline{a}+\overline{b}+\overline{c})$ સાથે ડોટ પ્રોડક્ટ લો:
$(\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}) \cdot (\overline{a} \times \overline{c} + \overline{b} \times \overline{a} + \overline{b} \times \overline{c})$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ગુણધર્મ $[\overline{x} \overline{y} \overline{z}] = \overline{x} \cdot (\overline{y} \times \overline{z})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= [\overline{a} \overline{a} \overline{c}] + [\overline{a} \overline{b} \overline{a}] + [\overline{a} \overline{b} \overline{c}] + [\overline{b} \overline{a} \overline{c}] + [\overline{b} \overline{b} \overline{a}] + [\overline{b} \overline{b} \overline{c}] + [\overline{c} \overline{a} \overline{c}] + [\overline{c} \overline{b} \overline{a}] + [\overline{c} \overline{b} \overline{c}]$.
કોઈપણ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર જેમાં બે સદિશો સમાન હોય તે $0$ થાય છે:
$= 0 + 0 + [\overline{a} \overline{b} \overline{c}] - [\overline{a} \overline{b} \overline{c}] + 0 + 0 + 0 + [\overline{a} \overline{b} \overline{c}] + 0 = [\overline{a} \overline{b} \overline{c}]$.

(C) ધારો કે $\hat{a}$ અને $\hat{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
આપેલ છે કે $\bar{c}=\hat{a}+2 \hat{b}$ અને $\bar{d}=5 \hat{a}-4 \hat{b}$ પરસ્પર લંબ છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય.
$\bar{c} \cdot \bar{d} = 0$
$(\hat{a}+2 \hat{b}) \cdot (5 \hat{a}-4 \hat{b}) = 0$
$5(\hat{a} \cdot \hat{a}) - 4(\hat{a} \cdot \hat{b}) + 10(\hat{b} \cdot \hat{a}) - 8(\hat{b} \cdot \hat{b}) = 0$
અહીં $\hat{a}$ અને $\hat{b}$ એકમ સદિશો હોવાથી $|\hat{a}|=1$ અને $|\hat{b}|=1$,અને $\hat{a} \cdot \hat{a} = 1$,$\hat{b} \cdot \hat{b} = 1$.
$5(1) + 6(\hat{a} \cdot \hat{b}) - 8(1) = 0$
$6(\hat{a} \cdot \hat{b}) - 3 = 0$
$6 \cos \theta = 3$
$\cos \theta = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$

(B) પાસપાસેની બાજુઓ $\overline{a}$ અને $\overline{b}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $|\overline{a} \times \overline{b}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,આપણે સદિશ ગુણાકાર $\overline{a} \times \overline{b}$ શોધીએ:
$\overline{a} \times \overline{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -\alpha & 1 \\ 1 & \alpha & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-3\alpha - \alpha) - \hat{j}(9 - 1) + \hat{k}(3\alpha + \alpha) = -4\alpha \hat{i} - 8 \hat{j} + 4\alpha \hat{k}$.
તેનું માન $|\overline{a} \times \overline{b}| = \sqrt{(-4\alpha)^2 + (-8)^2 + (4\alpha)^2} = \sqrt{16\alpha^2 + 64 + 16\alpha^2} = \sqrt{32\alpha^2 + 64}$ છે.
ક્ષેત્રફળ $8\sqrt{3}$ આપેલ હોવાથી,$\sqrt{32\alpha^2 + 64} = 8\sqrt{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $32\alpha^2 + 64 = 64 \times 3 = 192$.
$32\alpha^2 = 128 \Rightarrow \alpha^2 = 4$.
હવે,અદિશ ગુણાકાર $\overline{a} \cdot \overline{b} = (3\hat{i} - \alpha\hat{j} + \hat{k}) \cdot (\hat{i} + \alpha\hat{j} + 3\hat{k}) = 3(1) - \alpha(\alpha) + 1(3) = 3 - \alpha^2 + 3 = 6 - \alpha^2$.
$\alpha^2 = 4$ મૂકતા,આપણને $\overline{a} \cdot \overline{b} = 6 - 4 = 2$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $|\overline{a}| = 2, |\overline{b}| = 3, |\overline{c}| = 4$.
કારણ કે $\overline{a} \perp (\overline{b}+\overline{c})$,તેથી $\overline{a} \cdot (\overline{b}+\overline{c}) = 0 \Rightarrow \overline{a} \cdot \overline{b} + \overline{a} \cdot \overline{c} = 0$.
કારણ કે $\overline{b} \perp (\overline{c}+\overline{a})$,તેથી $\overline{b} \cdot (\overline{c}+\overline{a}) = 0 \Rightarrow \overline{b} \cdot \overline{c} + \overline{b} \cdot \overline{a} = 0$.
કારણ કે $\overline{c} \perp (\overline{a}+\overline{b})$,તેથી $\overline{c} \cdot (\overline{a}+\overline{b}) = 0 \Rightarrow \overline{c} \cdot \overline{a} + \overline{c} \cdot \overline{b} = 0$.
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$2(\overline{a} \cdot \overline{b} + \overline{b} \cdot \overline{c} + \overline{c} \cdot \overline{a}) = 0 \Rightarrow \overline{a} \cdot \overline{b} + \overline{b} \cdot \overline{c} + \overline{c} \cdot \overline{a} = 0$.
હવે,સરવાળાના માનનો વર્ગ ધ્યાનમાં લો:
$|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}|^2 = |\overline{a}|^2 + |\overline{b}|^2 + |\overline{c}|^2 + 2(\overline{a} \cdot \overline{b} + \overline{b} \cdot \overline{c} + \overline{c} \cdot \overline{a})$.
જાણીતી કિંમતો મૂકતા:
$|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}|^2 = 2^2 + 3^2 + 4^2 + 2(0) = 4 + 9 + 16 = 29$.
તેથી,$|\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}| = \sqrt{29}$.

(D) આપેલ છે કે $|\overline{A}|=3, |\overline{B}|=4, |\overline{C}|=5$.
કારણ કે $\overline{A} \perp (\overline{B}+\overline{C})$,તેથી $\overline{A} \cdot (\overline{B}+\overline{C}) = 0 \Rightarrow \overline{A} \cdot \overline{B} + \overline{A} \cdot \overline{C} = 0$.
કારણ કે $\overline{B} \perp (\overline{C}+\overline{A})$,તેથી $\overline{B} \cdot (\overline{C}+\overline{A}) = 0 \Rightarrow \overline{B} \cdot \overline{C} + \overline{B} \cdot \overline{A} = 0$.
કારણ કે $\overline{C} \perp (\overline{A}+\overline{B})$,તેથી $\overline{C} \cdot (\overline{A}+\overline{B}) = 0 \Rightarrow \overline{C} \cdot \overline{A} + \overline{C} \cdot \overline{B} = 0$.
આ ત્રણેય સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,આપણને $2(\overline{A} \cdot \overline{B} + \overline{B} \cdot \overline{C} + \overline{C} \cdot \overline{A}) = 0$ મળે છે.
હવે,$|\overline{A}+\overline{B}+\overline{C}|^2 = |\overline{A}|^2 + |\overline{B}|^2 + |\overline{C}|^2 + 2(\overline{A} \cdot \overline{B} + \overline{B} \cdot \overline{C} + \overline{C} \cdot \overline{A})$ ધ્યાનમાં લો.
કિંમતો મૂકતા,$|\overline{A}+\overline{B}+\overline{C}|^2 = 3^2 + 4^2 + 5^2 + 0 = 9 + 16 + 25 = 50$.
તેથી,$|\overline{A}+\overline{B}+\overline{C}| = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}$.

(B) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $O(0), A(\bar{a}+2\bar{b}), B(\bar{a}-2\bar{b})$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\vec{OA} \times \vec{OB}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{OA} = \bar{a}+2\bar{b}$ અને $\vec{OB} = \bar{a}-2\bar{b}$.
$\vec{OA} \times \vec{OB} = (\bar{a}+2\bar{b}) \times (\bar{a}-2\bar{b})$
$= \bar{a} \times \bar{a} - 2(\bar{a} \times \bar{b}) + 2(\bar{b} \times \bar{a}) - 4(\bar{b} \times \bar{b})$
કારણ કે $\bar{a} \times \bar{a} = 0$ અને $\bar{b} \times \bar{b} = 0$,અને $\bar{b} \times \bar{a} = -(\bar{a} \times \bar{b})$:
$= 0 - 2(\bar{a} \times \bar{b}) - 2(\bar{a} \times \bar{b}) - 0 = -4(\bar{a} \times \bar{b})$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |-4(\bar{a} \times \bar{b})| = 2 |\bar{a} \times \bar{b}|$.
કારણ કે $\bar{a} \perp \bar{b}$,$|\bar{a} \times \bar{b}| = |\bar{a}| |\bar{b}| \sin(90^{\circ}) = 2 \times 3 \times 1 = 6$.
ક્ષેત્રફળ $= 2 \times 6 = 12 \text{ ચોરસ એકમ}$.

(B) આપેલ છે કે,$|\bar{a}|=1, |\bar{b}|=1$ અને $|\bar{c}|=2$.
સદિશ ત્રિગુણન સૂત્ર $\bar{a} \times (\bar{a} \times \bar{c}) = (\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{a} - (\bar{a} \cdot \bar{a})\bar{c}$ નો ઉપયોગ કરતા.
આપેલ સમીકરણ: $(\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{a} - |\bar{a}|^2\bar{c} + \bar{b} = \bar{0}$.
કારણ કે $|\bar{a}|=1$,તેથી $(\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{a} - \bar{c} = -\bar{b}$.
બંને બાજુ માનનો વર્ગ લેતા: $|(\bar{a} \cdot \bar{c})\bar{a} - \bar{c}|^2 = |-\bar{b}|^2$.
$(\bar{a} \cdot \bar{c})^2 |\bar{a}|^2 + |\bar{c}|^2 - 2(\bar{a} \cdot \bar{c})(\bar{a} \cdot \bar{c}) = |\bar{b}|^2$.
$(\bar{a} \cdot \bar{c})^2(1) + 4 - 2(\bar{a} \cdot \bar{c})^2 = 1$.
$-(\bar{a} \cdot \bar{c})^2 = -3 \Rightarrow (\bar{a} \cdot \bar{c})^2 = 3$.
આમ,$\bar{a} \cdot \bar{c} = \sqrt{3}$ (લઘુકોણ માટે).
$|\bar{a}||\bar{c}| \cos \theta = \sqrt{3} \Rightarrow (1)(2) \cos \theta = \sqrt{3}$.
$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \theta = \frac{\pi}{6}$.

(D) આપેલ શરત મુજબ,$\overline{b}+\lambda \overline{a}$ એ $\overline{c}$ ને લંબ છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $(\overline{b}+\lambda \overline{a}) \cdot \overline{c} = 0$.
પ્રથમ,$\overline{b}+\lambda \overline{a}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\overline{b}+\lambda \overline{a} = (-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}) + \lambda(2 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) = (-1+2\lambda)\hat{i} + (2+2\lambda)\hat{j} + (1+3\lambda)\hat{k}$.
હવે,$\overline{c} = 3 \hat{i}+\hat{j}$ સાથે અદિશ ગુણાકાર લેતા:
$((-1+2\lambda)\hat{i} + (2+2\lambda)\hat{j} + (1+3\lambda)\hat{k}) \cdot (3 \hat{i}+\hat{j}) = 0$.
$3(-1+2\lambda) + 1(2+2\lambda) + 0(1+3\lambda) = 0$.
$-3 + 6\lambda + 2 + 2\lambda = 0$.
$8\lambda - 1 = 0$.
$8\lambda = 1$.
$\lambda = \frac{1}{8}$.

(B) આપેલ છે: $\bar{a} = \hat{j} - \hat{k}$ અને $\bar{c} = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$.
ધારો કે $\bar{b} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$.
$\bar{a} \times \bar{b} + \bar{c} = \vec{0}$ પરથી,$\bar{a} \times \bar{b} = -\bar{c} = -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
$\bar{a} \times \bar{b}$ ની ગણતરી કરતા:
$\bar{a} \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & -1 \\ x & y & z \end{vmatrix} = (y + z)\hat{i} - z\hat{j} - x\hat{k}$.
સરખાવતા: $y + z = -1$,$-z = 1 \Rightarrow z = -1$,$-x = 1 \Rightarrow x = -1$.
$z = -1$ મુકતા,$y - 1 = -1 \Rightarrow y = 0$.
હવે,$\bar{a} \cdot \bar{b} = 3$ ચકાસતા:
$\bar{a} \cdot \bar{b} = y - z = 0 - (-1) = 1$.
અહીં $1 \neq 3$ હોવાથી,પ્રશ્નમાં આપેલી શરતો સુસંગત નથી.

(D) આપેલ રેખાઓ $\bar{r} = \bar{a}_1 + \lambda \bar{b}_1$ અને $\bar{r} = \bar{a}_2 + \mu \bar{b}_2$ છે.
અહીં,$\bar{a}_1 = \hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$,$\bar{b}_1 = 2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$,$\bar{a}_2 = 2\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$,અને $\bar{b}_2 = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
પ્રથમ,$\bar{a}_2 - \bar{a}_1 = (2-1)\hat{i} + (-1-2)\hat{j} + (2-(-1))\hat{k} = \hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}$ શોધો.
ત્યારબાદ,સદિશ ગુણાકાર $\bar{b}_1 \times \bar{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-3) - \hat{j}(2+3) + \hat{k}(-2-1) = -2\hat{i} - 5\hat{j} - 3\hat{k}$ શોધો.
તેનું માન $|\bar{b}_1 \times \bar{b}_2| = \sqrt{(-2)^2 + (-5)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 25 + 9} = \sqrt{38}$ છે.
લઘુત્તમ અંતર $d = \left| \frac{(\bar{b}_1 \times \bar{b}_2) \cdot (\bar{a}_2 - \bar{a}_1)}{|\bar{b}_1 \times \bar{b}_2|} \right| = \left| \frac{(-2\hat{i} - 5\hat{j} - 3\hat{k}) \cdot (\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k})}{\sqrt{38}} \right| = \left| \frac{-2 + 15 - 9}{\sqrt{38}} \right| = \frac{4}{\sqrt{38}} = \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{19}}$ એકમ થાય.

(C) ધારો કે માંગેલ સદિશ $\vec{r}$ છે. કારણ કે $\vec{r}$ એ $\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} - 3\hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ ને લંબ છે,તેથી તે $\vec{a} \times \vec{b}$ ને સમાંતર હોવો જોઈએ.
પ્રથમ,ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{a} \times \vec{b}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1 - 6) - \hat{j}(2 + 3) + \hat{k}(-4 - 1) = -5\hat{i} - 5\hat{j} - 5\hat{k} = -5(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
બંનેને લંબ એકમ સદિશ $\hat{n} = \pm \frac{-5(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})}{|-5(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})|} = \pm \frac{-5(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})}{5\sqrt{3}} = \mp \frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ છે.
$6$ માન ધરાવતો માંગેલ સદિશ $\vec{r} = 6 \times \hat{n} = \pm \frac{6}{\sqrt{3}}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = \pm 2\sqrt{3}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો સદિશ $2\sqrt{3}(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ છે.

(A) સદિશો $\overline{a}$,$\overline{b}$ અને $\overline{c}$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $\overline{a} \cdot \overline{c} = 0$ અને $\overline{b} \cdot \overline{c} = 0$.
$\overline{a} \cdot \overline{c} = 0$ માટે:
$(\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}) \cdot (\lambda \hat{i}+\hat{j}+\mu \hat{k}) = 0$
$\lambda - 1 + 2\mu = 0 \implies \lambda + 2\mu = 1 \quad ...(i)$
$\overline{b} \cdot \overline{c} = 0$ માટે:
$(2 \hat{i}+4 \hat{j}+\hat{k}) \cdot (\lambda \hat{i}+\hat{j}+\mu \hat{k}) = 0$
$2\lambda + 4 + \mu = 0 \implies 2\lambda + \mu = -4 \quad ...(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને $2$ વડે ગુણતા,$4\lambda + 2\mu = -8 \quad ...(iii)$ મળે.
સમીકરણ $(iii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$(4\lambda + 2\mu) - (\lambda + 2\mu) = -8 - 1$
$3\lambda = -9 \implies \lambda = -3$.
$\lambda = -3$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$-3 + 2\mu = 1
2\mu = 4
\mu = 2$.
આમ,$(\lambda, \mu) = (-3, 2)$.

(B) $\overline{a}$ અને $\overline{b}$ ને લંબ સદિશ તેમના સદિશ ગુણાકાર $\overline{a} \times \overline{b}$ દ્વારા મળે છે.
$\overline{a} \times \overline{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(1-0) - \hat{j}(1-0) + \hat{k}(1-0) = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
આ સદિશનું માન $|\overline{a} \times \overline{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ છે.
$\overline{a}$ અને $\overline{b}$ બંનેને લંબ એકમ સદિશો $\pm \frac{\overline{a} \times \overline{b}}{|\overline{a} \times \overline{b}|} = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k})$ દ્વારા મળે છે.
આમ,આવા કુલ બે એકમ સદિશો છે.

(C) આપેલ છે કે $\hat{a}=\frac{1}{\sqrt{10}}(3 \hat{i}+\hat{k})$ અને $\hat{b}=\frac{1}{7}(2 \hat{i}+3 \hat{j}-6 \hat{k})$.
પ્રથમ,ડોટ પ્રોડક્ટ $\hat{a} \cdot \hat{b} = \frac{1}{7\sqrt{10}}(3 \times 2 + 0 \times 3 + 1 \times (-6)) = \frac{1}{7\sqrt{10}}(6 - 6) = 0$ ગણો.
કારણ કે $\hat{a} \cdot \hat{b} = 0$,$\hat{a}$ અને $\hat{b}$ લંબ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\hat{a}| = 1, |\hat{b}| = 1$ અને $\hat{a} \times \hat{b}$ એ બંનેને લંબ એકમ સદિશ છે.
આપણે $(2 \hat{a}-\hat{b}) \cdot [(\hat{a} \times \hat{b}) \times (\hat{a}+2 \hat{b})]$ ની કિંમત શોધવાની છે.
સ્કેલર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટના ગુણધર્મ $[\vec{u} \quad \vec{v} \quad \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$ નો ઉપયોગ કરતા,પદ $[2 \hat{a}-\hat{b} \quad \hat{a} \times \hat{b} \quad \hat{a}+2 \hat{b}]$ બને છે.
સ્કેલર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટના ગુણધર્મ $[\vec{u} \quad \vec{v} \quad \vec{w}] = -[\vec{v} \quad \vec{u} \quad \vec{w}]$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $-[\hat{a} \times \hat{b} \quad 2 \hat{a}-\hat{b} \quad \hat{a}+2 \hat{b}]$ મળે છે.
અંદરના ક્રોસ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા: $(2 \hat{a}-\hat{b}) \times (\hat{a}+2 \hat{b}) = 2(\hat{a} \times \hat{a}) + 4(\hat{a} \times \hat{b}) - (\hat{b} \times \hat{a}) - 2(\hat{b} \times \hat{b})$.
કારણ કે $\hat{a} \times \hat{a} = 0$,$\hat{b} \times \hat{b} = 0$,અને $\hat{b} \times \hat{a} = -(\hat{a} \times \hat{b})$,આ $0 + 4(\hat{a} \times \hat{b}) + (\hat{a} \times \hat{b}) - 0 = 5(\hat{a} \times \hat{b})$ બને છે.
આમ,પદ $-(\hat{a} \times \hat{b}) \cdot [5(\hat{a} \times \hat{b})] = -5 |\hat{a} \times \hat{b}|^2$ થાય છે.
કારણ કે $\hat{a} \perp \hat{b}$ અને તે એકમ સદિશો છે,$|\hat{a} \times \hat{b}| = |\hat{a}| |\hat{b}| \sin(90^{\circ}) = 1 \times 1 \times 1 = 1$.
તેથી,$-5(1)^2 = -5$.

(D) આપેલ છે કે $\bar{u} \cdot \hat{n}=0$ અને $\bar{v} \cdot \hat{n}=0$.
આનો અર્થ એ છે કે એકમ સદિશ $\hat{n}$ એ $\bar{u}$ અને $\bar{v}$ બંનેને લંબ છે.
તેથી,$\hat{n}$ એ સદિશ ગુણાકાર $\bar{u} \times \bar{v}$ ને સમાંતર છે.
આમ,$\hat{n} = \pm \frac{\bar{u} \times \bar{v}}{|\bar{u} \times \bar{v}|}$.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરીએ:
$\bar{u} \times \bar{v} = (\hat{i}+\hat{j}) \times (\hat{i}-\hat{j}) = \hat{i} \times \hat{i} - \hat{i} \times \hat{j} + \hat{j} \times \hat{i} - \hat{j} \times \hat{j} = 0 - \hat{k} - \hat{k} - 0 = -2\hat{k}$.
તેનું માન $|\bar{u} \times \bar{v}| = |-2\hat{k}| = 2$ છે.
તેથી,$\hat{n} = \pm \frac{-2\hat{k}}{2} = \pm \hat{k}$.
હવે,$|\bar{w} \cdot \hat{n}|$ ની ગણતરી કરીએ:
$|\bar{w} \cdot \hat{n}| = |(\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}) \cdot (\pm \hat{k})| = |\pm 3| = 3$.

(C) આપેલ સદિશો $\bar{a}$,$\bar{b}$ અને $\bar{c}$ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય.
પ્રથમ,$\bar{a} \cdot \bar{b} = (1)(2) + (-1)(4) + (2)(1) = 2 - 4 + 2 = 0$.
હવે,$\bar{a} \cdot \bar{c} = 0$ લેતા:
$(1)(p) + (-1)(1) + (2)(q) = p - 1 + 2q = 0 \implies p + 2q = 1$ ... $(i)$
ત્યારબાદ,$\bar{b} \cdot \bar{c} = 0$ લેતા:
$(2)(p) + (4)(1) + (1)(q) = 2p + 4 + q = 0 \implies 2p + q = -4$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ પરથી,$q = -4 - 2p$. આ કિંમતને $(i)$ માં મૂકતા:
$p + 2(-4 - 2p) = 1$
$p - 8 - 4p = 1$
$-3p = 9 \implies p = -3$.
$p = -3$ ની કિંમત $q = -4 - 2p$ માં મૂકતા:
$q = -4 - 2(-3) = -4 + 6 = 2$.
આમ,$(p, q) = (-3, 2)$.

(B) ધારો કે $\overline{a}$ અને $\overline{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
$\overline{a}$ અને $\overline{b}$ એકમ સદિશો હોવાથી,$|\overline{a}| = 1$ અને $|\overline{b}| = 1$ થાય.
આપેલ છે કે $(5 \overline{a} + 4 \overline{b})$ અને $(\overline{a} - 2 \overline{b})$ પરસ્પર લંબ છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય.
$(5 \overline{a} + 4 \overline{b}) \cdot (\overline{a} - 2 \overline{b}) = 0$
$5(\overline{a} \cdot \overline{a}) - 10(\overline{a} \cdot \overline{b}) + 4(\overline{b} \cdot \overline{a}) - 8(\overline{b} \cdot \overline{b}) = 0$
$5|\overline{a}|^2 - 6(\overline{a} \cdot \overline{b}) - 8|\overline{b}|^2 = 0$
$|\overline{a}| = 1$ અને $|\overline{b}| = 1$ કિંમતો મૂકતા,$5(1)^2 - 6(1)(1)\cos \theta - 8(1)^2 = 0$.
$5 - 6 \cos \theta - 8 = 0$
$-6 \cos \theta = 3$
$\cos \theta = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}$
તેથી,$\theta = \frac{2\pi}{3}$ મળે.

(B) ધારો કે $\overline{a}$ અને $\overline{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
$\overline{a}$ અને $\overline{b}$ એકમ સદિશો હોવાથી,$|\overline{a}| = 1$ અને $|\overline{b}| = 1$ થાય.
આપેલ છે કે $\overline{c} = \overline{a} + 2\overline{b}$ અને $\overline{d} = 5\overline{a} - 4\overline{b}$ પરસ્પર લંબ છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$\overline{c} \cdot \overline{d} = 0$
$(\overline{a} + 2\overline{b}) \cdot (5\overline{a} - 4\overline{b}) = 0$
$5(\overline{a} \cdot \overline{a}) - 4(\overline{a} \cdot \overline{b}) + 10(\overline{b} \cdot \overline{a}) - 8(\overline{b} \cdot \overline{b}) = 0$
$5|\overline{a}|^2 + 6(\overline{a} \cdot \overline{b}) - 8|\overline{b}|^2 = 0$
અહીં $|\overline{a}| = 1, |\overline{b}| = 1$ અને $\overline{a} \cdot \overline{b} = \cos \theta$ મૂકતા:
$5(1) + 6 \cos \theta - 8(1) = 0$
$6 \cos \theta - 3 = 0$
$6 \cos \theta = 3$
$\cos \theta = \frac{1}{2}$
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}$.

(C) ધારો કે $\overline{u} = 3 \overline{a} + 5 \overline{b}$ અને $\overline{v} = 5 \overline{a} + 3 \overline{b}$.
$\overline{u} = 3(\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}) + 5(2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}) = (3+10)\hat{i} + (-6+15)\hat{j} + (9-5)\hat{k} = 13 \hat{i} + 9 \hat{j} + 4 \hat{k}$.
$\overline{v} = 5(\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}) + 3(2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}) = (5+6)\hat{i} + (-10+9)\hat{j} + (15-3)\hat{k} = 11 \hat{i} - \hat{j} + 12 \hat{k}$.
$\overline{u}$ અને $\overline{v}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{\overline{u} \cdot \overline{v}}{|\overline{u}| |\overline{v}|}$.
$\overline{u} \cdot \overline{v} = (13)(11) + (9)(-1) + (4)(12) = 143 - 9 + 48 = 182$.
$|\overline{u}| = \sqrt{13^2 + 9^2 + 4^2} = \sqrt{169 + 81 + 16} = \sqrt{266}$.
$|\overline{v}| = \sqrt{11^2 + (-1)^2 + 12^2} = \sqrt{121 + 1 + 144} = \sqrt{266}$.
$\cos \theta = \frac{182}{\sqrt{266} \cdot \sqrt{266}} = \frac{182}{266} = \frac{13}{19}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{13}{19}\right)$.

(D) સદિશો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ દ્વારા બનતા સમાંતરફલકનું ઘનફળ $V$ એ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $|[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]|$ દ્વારા મળે છે.
$V = \begin{vmatrix} 1 & m & 1 \\ 0 & 1 & m \\ m & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1(1 - 0) - m(0 - m^2) + 1(0 - m) = 1 + m^3 - m$.
ઘનફળ ન્યૂનતમ શોધવા માટે,આપણે $V$ નું $m$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dV}{dm} = 3m^2 - 1$.
$\frac{dV}{dm} = 0$ લેતા,આપણને $3m^2 = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $m^2 = \frac{1}{3}$,તેથી $m = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આપણે ઘનફળ (જે ધન હોવું જોઈએ) શોધી રહ્યા છીએ,તેથી $m > 0$ માટે $m = \frac{1}{\sqrt{3}}$ લઈએ.
દ્વિતીય વિકલન તપાસતા: $\frac{d^2V}{dm^2} = 6m$.
$m = \frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે,$\frac{d^2V}{dm^2} = 6(\frac{1}{\sqrt{3}}) > 0$,જે સાબિત કરે છે કે $m = \frac{1}{\sqrt{3}}$ પર ઘનફળ ન્યૂનતમ છે.

(A) આપેલ પદ: $\overline{a} \cdot [(\overline{b} + \overline{c}) \times (\overline{a} + \overline{b} + \overline{c})]$
ક્રોસ ગુણાકારના વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$(\overline{b} + \overline{c}) \times (\overline{a} + \overline{b} + \overline{c}) = \overline{b} \times \overline{a} + \overline{b} \times \overline{b} + \overline{b} \times \overline{c} + \overline{c} \times \overline{a} + \overline{c} \times \overline{b} + \overline{c} \times \overline{c}$
કારણ કે $\overline{x} \times \overline{x} = 0$ અને $\overline{c} \times \overline{b} = -(\overline{b} \times \overline{c})$,તેથી:
$= \overline{b} \times \overline{a} + 0 + \overline{b} \times \overline{c} + \overline{c} \times \overline{a} - (\overline{b} \times \overline{c}) + 0 = \overline{b} \times \overline{a} + \overline{c} \times \overline{a}$
હવે,$\overline{a}$ સાથે ડોટ ગુણાકાર કરતા:
$\overline{a} \cdot (\overline{b} \times \overline{a} + \overline{c} \times \overline{a}) = \overline{a} \cdot (\overline{b} \times \overline{a}) + \overline{a} \cdot (\overline{c} \times \overline{a})$
$= [\overline{a} \overline{b} \overline{a}] + [\overline{a} \overline{c} \overline{a}]$
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારમાં જો બે સદિશો સમાન હોય તો તેનું મૂલ્ય શૂન્ય થાય છે:
$= 0 + 0 = 0$

(B) આપેલ છે કે $|\overline{c}-\overline{a}|=2 \sqrt{2}$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $|\overline{c}|^2+|\overline{a}|^2-2(\overline{a} \cdot \overline{c})=8$ મળે છે.
કારણ કે $|\overline{a}|^2 = 2^2+1^2+(-2)^2 = 9$ અને $\overline{a} \cdot \overline{c}=|\overline{c}|$,તેથી સમીકરણ $|\overline{c}|^2+9-2|\overline{c}|=8$ બને છે.
આનું સાદું રૂપ $(|\overline{c}|-1)^2=0$ થાય છે,તેથી $|\overline{c}|=1$.
હવે,$\overline{a} \times \overline{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-2)) - \hat{j}(0 - (-2)) + \hat{k}(2 - 1) = 2\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$.
તેનું માન $|\overline{a} \times \overline{b}| = \sqrt{2^2+(-2)^2+1^2} = \sqrt{4+4+1} = 3$ છે.
અંતે,$|(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c}| = |\overline{a} \times \overline{b}| |\overline{c}| \sin(30^{\circ}) = 3 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

(D) આપેલ છે કે $|\overline{a}| = |\overline{c}| = 1$ અને $\overline{a}$ તથા $\overline{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ છે.
$\overline{a} \cdot \overline{c} = |\overline{a}||\overline{c}| \cos \frac{\pi}{3} = 1 \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
સદિશ ત્રિગુણન સૂત્ર $\overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{c}) = (\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{a} \cdot \overline{b}) \overline{c}$ નો ઉપયોગ કરતા.
આ કિંમત આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા: $((\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{a} \cdot \overline{b}) \overline{c}) \cdot (\overline{a} \times \overline{c}) = 5$.
કારણ કે $(\overline{c} \cdot (\overline{a} \times \overline{c})) = 0$ (કારણ કે બે સમાન સદિશો સાથેનો અદિશ ત્રિગુણન શૂન્ય થાય છે),તેથી સમીકરણ સરળ બને છે:
$(\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} \cdot (\overline{a} \times \overline{c}) = 5$.
$\frac{1}{2} [\overline{b} \overline{a} \overline{c}] = 5 \Rightarrow [\overline{b} \overline{a} \overline{c}] = 10$.
અદિશ ત્રિગુણનના ગુણધર્મ મુજબ,$[\overline{b} \overline{a} \overline{c}] = -[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]$.
તેથી,$-[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = 10 \Rightarrow [\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = -10$.
અંતે,$5[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = 5 \times (-10) = -50$.

(C) અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકાર $\overline{a} \cdot(\overline{b} \times \overline{c})$ એ સદિશો $\overline{a}, \overline{b},$ અને $\overline{c}$ ના ઘટકોના નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1 \\ x & 1 & 1-x \\ y & x & 1+x-y \end{vmatrix}$
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_3 \rightarrow C_3 + C_1$ લાગુ પાડતા:
$[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & -1+1 \\ x & 1 & 1-x+x \\ y & x & 1+x-y+y \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ x & 1 & 1 \\ y & x & 1+x \end{vmatrix}$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$= 1 \times \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ x & 1+x \end{vmatrix} - 0 + 0$
$= 1 \times ((1+x) - x) = 1 \times 1 = 1$
પરિણામ $1$ મળે છે,જે અચળ છે અને $x$ કે $y$ પર આધારિત નથી,તેથી $\overline{a} \cdot(\overline{b} \times \overline{c})$ એ $x$ કે $y$ બંનેમાંથી કોઈ પણ પર આધાર રાખતું નથી.

(C) આપેલ છે કે $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ પરસ્પર લંબ સદિશો છે,તેથી $\overline{a} \cdot \overline{b} = 0, \overline{b} \cdot \overline{c} = 0, \overline{c} \cdot \overline{a} = 0$ અને તેમના માન $|\overline{a}|=1, |\overline{b}|=2, |\overline{c}|=3$ છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ,$[\overline{a}+\overline{b}+\overline{c} \quad \overline{b}-\overline{a} \quad \overline{c}] = (\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}) \cdot ((\overline{b}-\overline{a}) \times \overline{c})$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા: $(\overline{b}-\overline{a}) \times \overline{c} = \overline{b} \times \overline{c} - \overline{a} \times \overline{c}$.
હવે,આ કિંમત મૂકતા: $(\overline{a}+\overline{b}+\overline{c}) \cdot (\overline{b} \times \overline{c} - \overline{a} \times \overline{c})$.
કારણ કે $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ પરસ્પર લંબ છે,$\overline{a} \cdot (\overline{b} \times \overline{c}) = |\overline{a}| |\overline{b}| |\overline{c}| = 1 \times 2 \times 3 = 6$.
તેમજ,$\overline{b} \cdot (\overline{b} \times \overline{c}) = 0$ અને $\overline{c} \cdot (\overline{b} \times \overline{c}) = 0$.
તેવી જ રીતે,$\overline{a} \cdot (\overline{a} \times \overline{c}) = 0, \overline{b} \cdot (\overline{a} \times \overline{c}) = 0, \overline{c} \cdot (\overline{a} \times \overline{c}) = 0$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા: $\overline{a} \cdot (\overline{b} \times \overline{c}) - \overline{a} \cdot (\overline{a} \times \overline{c}) + \overline{b} \cdot (\overline{b} \times \overline{c}) - \overline{b} \cdot (\overline{a} \times \overline{c}) + \overline{c} \cdot (\overline{b} \times \overline{c}) - \overline{c} \cdot (\overline{a} \times \overline{c})$.
આ પદાવલિ $\overline{a} \cdot (\overline{b} \times \overline{c}) - (-\overline{b} \cdot (\overline{a} \times \overline{c})) = [\overline{a} \overline{b} \overline{c}] + [\overline{b} \overline{a} \overline{c}] = [\overline{a} \overline{b} \overline{c}] + [\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = 2[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]$ માં પરિણમે છે.
કારણ કે $[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = 1 \times 2 \times 3 = 6$,અંતિમ મૂલ્ય $2 \times 6 = 12$ મળે છે.

(A) ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ: $A(1, -6, 10)$,$B(-1, -3, 7)$,$C(5, -1, k)$,$D(7, -4, 7)$.
સદિશો:
$\vec{AB} = -2\hat{i} + 3\hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{AC} = 4\hat{i} + 5\hat{j} + (k-10)\hat{k}$
$\vec{AD} = 6\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}$
ઘનફળ $= \frac{1}{6} |\det(\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})| = 11$.
નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $= \begin{vmatrix} -2 & 3 & -3 \\ 4 & 5 & k-10 \\ 6 & 2 & -3 \end{vmatrix} = 22k - 88$.
તેથી,$\frac{1}{6} |22k - 88| = 11 \Rightarrow |22k - 88| = 66$.
કિસ્સો $1$: $22k - 88 = 66 \Rightarrow 22k = 154 \Rightarrow k = 7$.
કિસ્સો $2$: $22k - 88 = -66 \Rightarrow 22k = 22 \Rightarrow k = 1$.
વિકલ્પો મુજબ,$k=7$ એ સાચો જવાબ છે.