MHT CET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) આપેલ સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n}_1 = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{n}_2 = \hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
રેખા $L$ એ આ બંને સમતલોની છેદરેખા હોવાથી,તે બંને અભિલંબ સદિશોને લંબ છે.
તેથી,રેખા $L$ નો દિશા સદિશ $\vec{v}$ એ $\vec{n}_1 \times \vec{n}_2$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-3) - \hat{j}(4-1) + \hat{k}(6-3) = 3\hat{i} - 3\hat{j} + 3\hat{k}$.
આપણે દિશા સદિશને $\vec{u} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ તરીકે સરળ બનાવી શકીએ છીએ.
રેખા ધન $X$-અક્ષ (જે એકમ સદિશ $\hat{i}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે) સાથે જે ખૂણો $\alpha$ બનાવે છે તે $\cos \alpha = \frac{\vec{u} \cdot \hat{i}}{|\vec{u}| |\hat{i}|}$ દ્વારા મળે છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી: $\vec{u} \cdot \hat{i} = (1)(1) + (-1)(0) + (1)(0) = 1$.
માનની ગણતરી: $|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$.
આમ,$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3} \times 1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(B) $1$. ધારો કે $(1, 2, 1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - 1) + b(y - 2) + c(z - 1) = 0$ છે.
$2$. આ સમતલ $2x - 2y + z = 0$ અને $x - y + 2z = 4$ ને લંબ છે. તેથી તેના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (2, -2, 1)$ અને $\vec{n_2} = (1, -1, 2)$ છે.
$3$. જરૂરી સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-4 + 1) - \hat{j}(4 - 1) + \hat{k}(-2 + 2) = -3\hat{i} - 3\hat{j} + 0\hat{k}$ થશે.
$4$. આપણે અભિલંબ સદિશને $(1, 1, 0)$ તરીકે લઈ શકીએ. સમતલનું સમીકરણ $1(x - 1) + 1(y - 2) + 0(z - 1) = 0$ થશે,જેનું સાદું રૂપ $x + y - 3 = 0$ મળે છે.
$5$. બિંદુ $(2, 3, 4)$ થી સમતલ $x + y - 3 = 0$ નું અંતર $d = \frac{|2 + 3 - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ એકમ થાય.

(C) $yz$-સમતલનું સમીકરણ $x = 0$ છે. માંગેલ સમતલ $yz$-સમતલને લંબ હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $yz$-સમતલના અભિલંબ સદિશ (જે $\hat{i} = (1, 0, 0)$ છે) ને લંબ હોવો જોઈએ.
ધારો કે બિંદુઓ $A(-1, 2, -2)$ અને $B(-1, 3, 2)$ છે.
સદિશ $\vec{AB} = (-1 - (-1))\hat{i} + (3 - 2)\hat{j} + (2 - (-2))\hat{k} = 0\hat{i} + 1\hat{j} + 4\hat{k}$.
સમતલ $yz$-સમતલને લંબ હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\hat{i} = (1, 0, 0)$ અને $\vec{AB} = (0, 1, 4)$ ને લંબ છે.
તેથી,$\vec{n} = \hat{i} \times \vec{AB} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(0) - \hat{j}(4) + \hat{k}(1) = (0, -4, 1)$.
બિંદુ $(-1, 2, -2)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $(0, -4, 1)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ:
$0(x + 1) - 4(y - 2) + 1(z + 2) = 0$
$-4y + 8 + z + 2 = 0$
$-4y + z + 10 = 0$
$4y - z = 10$.

(A) બિંદુ $\vec{a}$ માંથી પસાર થતા અને બે રેખાઓ જેના દિશા સદિશો $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ છે તેને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$ અથવા $\vec{r} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,બિંદુ $\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$ છે અને રેખાઓના દિશા સદિશો $\vec{b} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$ અને $\vec{c} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{b} \times \vec{c}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & -4 \\ 2 & -3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - 12) - \hat{j}(6 - (-8)) + \hat{k}(-9 - 4) = -8\hat{i} - 14\hat{j} - 13\hat{k}$.
હવે,$\vec{a} \cdot \vec{n}$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{a} \cdot \vec{n} = (2)(-8) + (-1)(-14) + (-3)(-13) = -16 + 14 + 39 = 37$.
સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot (-8\hat{i} - 14\hat{j} - 13\hat{k}) = 37$ છે,જેને $-8x - 14y - 13z = 37$ અથવા $8x + 14y + 13z + 37 = 0$ તરીકે લખી શકાય છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $\vec{a} = \hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}$ છે અને સમાંતર સદિશો $\vec{b} = 2 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ તથા $\vec{c} = \hat{i} - \hat{j} + 3 \hat{k}$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \vec{b} \times \vec{c}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3 - 1) - \hat{j}(6 + 1) + \hat{k}(-2 - 1) = 2 \hat{i} - 7 \hat{j} - 3 \hat{k}$.
સમતલનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$ છે.
$\vec{a} \cdot \vec{n} = (\hat{i} + 2 \hat{j} - \hat{k}) \cdot (2 \hat{i} - 7 \hat{j} - 3 \hat{k}) = (1)(2) + (2)(-7) + (-1)(-3) = 2 - 14 + 3 = -9$.
આમ,સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot (2 \hat{i} - 7 \hat{j} - 3 \hat{k}) = -9$ છે.

(C) સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ થી બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ નું લંબ અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$d = \left| \frac{Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \right|$
અહીં,બિંદુ ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ છે અને સમતલ $2x + y - 2z - 18 = 0$ છે।
કિંમતો મૂકતા:
$d = \left| \frac{2(0) + 1(0) - 2(0) - 18}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}} \right|$
$d = \left| \frac{-18}{\sqrt{4 + 1 + 4}} \right|$
$d = \left| \frac{-18}{\sqrt{9}} \right|$
$d = \left| \frac{-18}{3} \right|$
$d = |-6| = 6 \text{ એકમ}$

(B) બિંદુ $(1, -5, 9)$ માંથી પસાર થતી અને રેખા $x = y = z$ (દિશા ગુણોત્તર $1, 1, 1$) ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 5}{1} = \frac{z - 9}{1} = \lambda$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(\lambda + 1, \lambda - 5, \lambda + 9)$ સ્વરૂપનું છે.
આ બિંદુ સમતલ $x - y + z = 5$ પર હોવાથી,આપણે આ યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(\lambda + 1) - (\lambda - 5) + (\lambda + 9) = 5$.
$\lambda + 1 - \lambda + 5 + \lambda + 9 = 5$.
$\lambda + 15 = 5$,જે આપણને $\lambda = -10$ આપે છે.
છેદબિંદુ $(-10 + 1, -10 - 5, -10 + 9) = (-9, -15, -1)$ છે.
જરૂરી અંતર એ $(1, -5, 9)$ અને $(-9, -15, -1)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$d = \sqrt{(-9 - 1)^2 + (-15 - (-5))^2 + (-1 - 9)^2}$.
$d = \sqrt{(-10)^2 + (-10)^2 + (-10)^2} = \sqrt{100 + 100 + 100} = \sqrt{300} = 10 \sqrt{3}$ એકમ.

(C) ધારો કે ચલ સમતલનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે.
તે નિશ્ચિત બિંદુ $(3, 2, 1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$\frac{3}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1$ (સમીકરણ $i$).
બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ ના યામ અનુક્રમે $(a, 0, 0), (0, b, 0)$ અને $(0, 0, c)$ છે.
$A(a, 0, 0)$ માંથી પસાર થતું અને $YZ$-સમતલને સમાંતર સમતલ $x = a$ છે.
$B(0, b, 0)$ માંથી પસાર થતું અને $ZX$-સમતલને સમાંતર સમતલ $y = b$ છે.
$C(0, 0, c)$ માંથી પસાર થતું અને $XY$-સમતલને સમાંતર સમતલ $z = c$ છે.
આ ત્રણ સમતલોનું છેદબિંદુ $(x, y, z) = (a, b, c)$ છે.
સમીકરણ $i$ માં $a = x, b = y$ અને $c = z$ મૂકતા,આપણને બિંદુપથ મળે છે: $\frac{3}{x} + \frac{2}{y} + \frac{1}{z} = 1$.

(A) ધારો કે $A = (5, -1, 4)$ અને $B = (4, -1, 3)$.
સદિશ $\vec{AB} = (4-5)\hat{i} + (-1-(-1))\hat{j} + (3-4)\hat{k} = -\hat{i} - \hat{k}$.
સદિશનું માન $|\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ છે.
સમતલ $x+y+z=7$ માટે અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
ધારો કે $\theta$ એ રેખાખંડ $AB$ અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો છે. રેખાખંડ અને સમતલના અભિલંબ વચ્ચેનો ખૂણો $\phi$ એ $\cos \phi = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{n}|}{|\vec{AB}| |\vec{n}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\cos \phi = \frac{|(-1)(1) + (0)(1) + (-1)(1)|}{\sqrt{2} \sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{2} \sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
અભિલંબ સાથેનો ખૂણો $\phi$ હોવાથી,સમતલ સાથેનો ખૂણો $\theta = 90^\circ - \phi$ થાય,તેથી $\sin \theta = \cos \phi = \sqrt{\frac{2}{3}}$.
ત્યારબાદ $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{1}{3}}$.
સમતલ પર રેખાખંડના પ્રક્ષેપની લંબાઈ $|\vec{AB}| \cos \theta = \sqrt{2} \times \sqrt{\frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$ એકમ થાય.

(D) આપેલ બે રેખાઓને સમાવતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ છે:
$\begin{vmatrix} x-1 & y-2 & z-3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$(x-1)(15-16) - (y-2)(10-12) + (z-3)(8-9) = 0$
$-(x-1) + 2(y-2) - (z-3) = 0$
$-x + 1 + 2y - 4 - z + 3 = 0$
$-x + 2y - z = 0 \implies x - 2y + z = 0$ ... $(i)$
આપેલ સમતલનું સમીકરણ $Ax - 2y + z = d$ ... $(ii)$
સમતલો સમાંતર હોવાથી,$x, y, z$ ના સહગુણકો પ્રમાણસર હોવા જોઈએ. તેથી,$A = 1$.
બે સમાંતર સમતલો $ax + by + cz = d_1$ અને $ax + by + cz = d_2$ વચ્ચેનું અંતર $D = \frac{|d_1 - d_2|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$ છે.
અહીં,$D = \sqrt{6}$,$a=1, b=-2, c=1$,$d_1 = 0$,અને $d_2 = d$.
$\sqrt{6} = \frac{|0 - d|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|d|}{\sqrt{6}}$
$|d| = \sqrt{6} \times \sqrt{6} = 6$.

(B) આપેલ સમતલો $P_1: x+y+z-1=0$ અને $P_2: 2x+3y-z+4=0$ ના છેદમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x+y+z-1) + \lambda(2x+3y-z+4) = 0$
$(1+2\lambda)x + (1+3\lambda)y + (1-\lambda)z + (4\lambda-1) = 0$
સમતલ $Y$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનો અભિલંબ $Y$-અક્ષ (જેની દિશા $\vec{j} = (0, 1, 0)$ છે) ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$y$ નો સહગુણક શૂન્ય થવો જોઈએ:
$1+3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{3}$
$\lambda = -\frac{1}{3}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(1 + 2(-\frac{1}{3}))x + (1 + 3(-\frac{1}{3}))y + (1 - (-\frac{1}{3}))z + (4(-\frac{1}{3}) - 1) = 0$
$(1 - \frac{2}{3})x + 0y + (1 + \frac{1}{3})z + (-\frac{4}{3} - 1) = 0$
$\frac{1}{3}x + \frac{4}{3}z - \frac{7}{3} = 0$
$3$ વડે ગુણતા,આપણને $x+4z-7=0$ મળે છે.

(D) સમતલના અંતઃખંડ સ્વરૂપનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ છે.
અહીં $a = 1$ અને $b = 1$ આપેલ છે,તેથી સમીકરણ $x + y + \frac{z}{c} = 1$ થાય.
સમતલ બિંદુ $(-1, 1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $-1 + 1 + \frac{2}{c} = 1$ લેતા,$\frac{2}{c} = 1$ મળે,એટલે કે $c = 2$.
સમતલનું સમીકરણ $x + y + \frac{z}{2} = 1$ અથવા $2x + 2y + z - 2 = 0$ થાય.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + 1\hat{k}$ છે.
$X$-અક્ષની દિશાનો સદિશ $\vec{v} = 1\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}$ છે.
રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\sin \theta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{v}|}{|\vec{n}| |\vec{v}|}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,
$\sin \theta = \frac{|(2)(1) + (2)(0) + (1)(0)|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} \cdot 1} = \frac{2}{\sqrt{9}} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$.

(C) રેખા સમતલમાં આવેલી હોવાથી,રેખાનો દિશા સદિશ સમતલના અભિલંબ સદિશને લંબ હોય છે. રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ છે અને સમતલનો અભિલંબ $\vec{n} = \ell\hat{i} + m\hat{j} - \hat{k}$ છે.
તેથી,$\vec{v} \cdot \vec{n} = 0 \Rightarrow (2)(\ell) + (-1)(m) + (3)(-1) = 0 \Rightarrow 2\ell - m = 3$ (સમીકરણ $i$).
વળી,રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ સમતલના સમીકરણનું પાલન કરે છે. બિંદુ $(3, -2, -4)$ રેખા પર છે,તેથી તે સમતલ પર પણ હોવું જોઈએ:
$\ell(3) + m(-2) - (-4) = 9 \Rightarrow 3\ell - 2m + 4 = 9 \Rightarrow 3\ell - 2m = 5$ (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણો ઉકેલતા:
$(i)$ પરથી,$m = 2\ell - 3$. તેને $(ii)$ માં મૂકતા:
$3\ell - 2(2\ell - 3) = 5 \Rightarrow 3\ell - 4\ell + 6 = 5 \Rightarrow -\ell = -1 \Rightarrow \ell = 1$.
તેથી $m = 2(1) - 3 = -1$.
આમ,$\ell^2 + m^2 = (1)^2 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2$.

(D) ધારો કે આપેલી રેખા $L: \frac{x-1}{3}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-4}{-5} = k$ છે. રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(3k+1, k+3, -5k+4)$ છે.
રેખા $L$ અને સમતલ $2x-y+z+3=0$ ના છેદબિંદુ માટે,$2(3k+1)-(k+3)+(-5k+4)+3=0$ મળે છે.
$6k+2-k-3-5k+4+3=0 \implies 6=0$,જે શક્ય નથી. તેથી,રેખા સમતલને સમાંતર છે.
રેખા પરના બિંદુ $P(1, 3, 4)$ નું સમતલ $2x-y+z+3=0$ માં પ્રતિબિંબ $P'(x', y', z')$ છે.
સૂત્ર $\frac{x'-1}{2} = \frac{y'-3}{-1} = \frac{z'-4}{1} = -2 \frac{2(1)-3+4+3}{2^2+(-1)^2+1^2} = -2 \frac{6}{6} = -2$ નો ઉપયોગ કરતા.
$x'-1 = -4 \implies x' = -3$.
$y'-3 = 2 \implies y' = 5$.
$z'-4 = -2 \implies z' = 2$.
પ્રતિબિંબ રેખા $(-3, 5, 2)$ માંથી પસાર થાય છે અને મૂળ રેખા જેવા જ દિશા ગુણોત્તર $(3, 1, -5)$ ધરાવે છે.
તેથી,સમીકરણ $\frac{x+3}{3} = \frac{y-5}{1} = \frac{z-2}{-5}$ છે.

(C) આપેલ રેખા $\frac{x-4}{1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z - m/2}{3/2}$ છે.
આ રેખા બિંદુ $P(4, 2, m/2)$ માંથી પસાર થાય છે.
કારણ કે રેખા સમતલ $2x - 5y + 2z = 7$ માં આવેલી છે,તેથી બિંદુ $P$ એ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરવું જોઈએ.
$P$ ના યામ સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(4) - 5(2) + 2(m/2) = 7$
$8 - 10 + m = 7$
$-2 + m = 7$
$m = 9$
વધુમાં,રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = (1, 1, 3/2)$ એ સમતલના અભિલંબ $\vec{n} = (2, -5, 2)$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
અદિશ ગુણાકાર તપાસતા: $\vec{v} \cdot \vec{n} = (1)(2) + (1)(-5) + (3/2)(2) = 2 - 5 + 3 = 0$.
અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,રેખા સમતલને સમાંતર છે,અને બિંદુ $P$ સમતલ પર હોવાથી,$m = 9$ માટે આખી રેખા સમતલમાં આવેલી છે.

(A) ધારો કે રેખા $\frac{x-4}{2}=\frac{y-5}{2}=\frac{z-3}{1}=\lambda$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2\lambda+4, 2\lambda+5, \lambda+3)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આ બિંદુ સમતલ $x+y+z=2$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે યામને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(2\lambda+4) + (2\lambda+5) + (\lambda+3) = 2$.
$5\lambda + 12 = 2$.
$5\lambda = -10$,તેથી $\lambda = -2$.
$\lambda = -2$ ને બિંદુના યામમાં મૂકતા:
$x = 2(-2) + 4 = 0$,
$y = 2(-2) + 5 = 1$,
$z = (-2) + 3 = 1$.
છેદબિંદુ $(0, 1, 1)$ છે.
હવે,ચકાસો કે કયો વિકલ્પ બિંદુ $(0, 1, 1)$ નું સમાધાન કરે છે:
વિકલ્પ $(A)$ માટે: $\frac{0-1}{1} = -1$,$\frac{1-3}{2} = -1$,$\frac{1+4}{-5} = -1$.
બધા ગુણોત્તર $-1$ સમાન હોવાથી,બિંદુ $(0, 1, 1)$ વિકલ્પ $(A)$ માં આપેલી રેખા પર આવેલું છે.

(B) બે રેખાઓ $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ અને $\frac{x-x_2}{a_2} = \frac{y-y_2}{b_2} = \frac{z-z_2}{c_2}$ સમતલીય હોય જો $\left|\begin{array}{ccc} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{array}\right| = 0$ થાય.
અહીં,$(x_1, y_1, z_1) = (2, 3, 4)$,$(a_1, b_1, c_1) = (1, 1, -k)$,$(x_2, y_2, z_2) = (1, 4, 5)$,અને $(a_2, b_2, c_2) = (k, 2, 1)$ છે.
આ કિંમતોને નિશ્ચાયકની શરતમાં મૂકતા:
$\left|\begin{array}{ccc} 1-2 & 4-3 & 5-4 \\ 1 & 1 & -k \\ k & 2 & 1 \end{array}\right| = 0$
$\left|\begin{array}{ccc} -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -k \\ k & 2 & 1 \end{array}\right| = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$-1(1 - (-2k)) - 1(1 - (-k^2)) + 1(2 - k) = 0$
$-1(1 + 2k) - 1(1 + k^2) + 2 - k = 0$
$-1 - 2k - 1 - k^2 + 2 - k = 0$
$-k^2 - 3k = 0$
$k^2 + 3k = 0$
$k(k + 3) = 0$
તેથી,$k = 0$ અથવા $k = -3$ મળે છે.

(A) ધારો કે $A(x_1, y_1, z_1) = (3, 4, 1)$ અને $B(x_2, y_2, z_2) = (5, 1, 6)$.
બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{x-3}{5-3} = \frac{y-4}{1-4} = \frac{z-1}{6-1}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x-3}{2} = \frac{y-4}{-3} = \frac{z-1}{5} = k$ થાય છે.
રેખા $xy$-સમતલને છેદે છે,તેથી $z$-યામ $0$ હોવો જોઈએ.
$z = 0$ લેતા,$\frac{0-1}{5} = k$,તેથી $k = -\frac{1}{5}$.
હવે,$k = -\frac{1}{5}$ નો ઉપયોગ કરીને $x$ અને $y$ શોધો:
$x - 3 = 2k \Rightarrow x = 3 + 2(-\frac{1}{5}) = 3 - \frac{2}{5} = \frac{13}{5}$.
$y - 4 = -3k \Rightarrow y = 4 - 3(-\frac{1}{5}) = 4 + \frac{3}{5} = \frac{23}{5}$.
આમ,જરૂરી બિંદુ $\left(\frac{13}{5}, \frac{23}{5}, 0\right)$ છે.

(B) $1$. દિશા કોસાઇન: રેખા યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે,તેથી તેના દિશા ગુણોત્તર $(1, 1, 1)$ ના પ્રમાણમાં છે.
$2$. રેખાનું સમીકરણ: બિંદુ $P(2, 1, 2)$ માંથી પસાર થતી અને $(1, 1, 1)$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાનું પ્રાચલિત સ્વરૂપ:
$\frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-2}{1} = t$
તેથી,$x = 2+t, y = 1+t, z = 2+t$.
$3$. સમતલ સાથે છેદબિંદુ: આ કિંમતોને સમતલના સમીકરણ $2x+y+z=9$ માં મૂકતા:
$2(2+t) + (1+t) + (2+t) = 9$
$4 + 2t + 1 + t + 2 + t = 9$
$4t + 7 = 9 \Rightarrow 4t = 2 \Rightarrow t = \frac{1}{2}$.
$4$. $Q$ ના યામ: $t = \frac{1}{2}$ મૂકતા,$Q = (2+\frac{1}{2}, 1+\frac{1}{2}, 2+\frac{1}{2}) = (\frac{5}{2}, \frac{3}{2}, \frac{5}{2})$.
$5$. $PQ$ ની લંબાઈ: અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$PQ = \sqrt{(\frac{5}{2}-2)^2 + (\frac{3}{2}-1)^2 + (\frac{5}{2}-2)^2}$
$PQ = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ એકમ.

(B) કોઈ રેખા સમતલમાં આવેલી હોય તે માટે,રેખા પરનું દરેક બિંદુ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરવું જોઈએ. રેખા $\frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+m}{2}$ એ બિંદુ $(4, 2, -m)$ માંથી પસાર થાય છે.
આ બિંદુને સમતલના સમીકરણ $2x - 4y + z = 7$ માં મૂકતા:
$2(4) - 4(2) + (-m) = 7$
$8 - 8 - m = 7$
$-m = 7$
$m = -7$
વધુમાં,સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (2, -4, 1)$ એ રેખાના દિશા સદિશ $\vec{v} = (1, 1, 2)$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
અદિશ ગુણાકાર તપાસતા: $(2)(1) + (-4)(1) + (1)(2) = 2 - 4 + 2 = 0$.
અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,રેખા સમતલને સમાંતર છે. $m = -7$ માટે બિંદુ $(4, 2, -m)$ સમતલ પર હોવાથી,આખી રેખા સમતલમાં આવેલી છે.

(B) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{-5}=\frac{z+2}{2}$ છે.
આ રેખા બિંદુ $P(2, 1, -2)$ માંથી પસાર થાય છે.
કારણ કે રેખા સમતલ $x+3y-\alpha z+\beta=0$ માં આવેલી છે,તેથી બિંદુ $P$ સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$2 + 3(1) - \alpha(-2) + \beta = 0$
$2 + 3 + 2\alpha + \beta = 0$
$2\alpha + \beta = -5$ $(i)$
વળી,રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = (3, -5, 2)$ એ સમતલના અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, 3, -\alpha)$ ને લંબ છે.
તેથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$3(1) + (-5)(3) + 2(-\alpha) = 0$
$3 - 15 - 2\alpha = 0$
$-12 - 2\alpha = 0$
$2\alpha = -12 \implies \alpha = -6$
સમીકરણ $(i)$ માં $\alpha = -6$ મૂકતા:
$2(-6) + \beta = -5$
$-12 + \beta = -5$
$\beta = 7$
આમ,$(\alpha, \beta) = (-6, 7)$.

(D) રેખા સમતલમાં આવેલી હોવાથી,રેખાનો દિશા સદિશ સમતલના અભિલંબ સદિશને લંબ હોય છે. રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$ છે અને સમતલનો અભિલંબ $\vec{n} = \ell\hat{i} + m\hat{j} - \hat{k}$ છે.
તેથી,$\vec{v} \cdot \vec{n} = 0 \Rightarrow 2\ell + m - 3 = 0$,જે $2\ell + m = 3$ આપે છે (સમીકરણ $i$).
વળી,રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ સમતલ પર હોવું જોઈએ. બિંદુ $(3, -2, -4)$ રેખા પર છે,તેથી તે સમતલના સમીકરણ $\ell x + my - z = 9$ નું સમાધાન કરશે.
બિંદુ મૂકતા: $3\ell - 2m - (-4) = 9 \Rightarrow 3\ell - 2m = 5$ (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણો ઉકેલતા:
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$m = 3 - 2\ell$. તેને $(ii)$ માં મૂકતા:
$3\ell - 2(3 - 2\ell) = 5 \Rightarrow 3\ell - 6 + 4\ell = 5 \Rightarrow 7\ell = 11 \Rightarrow \ell = \frac{11}{7}$.
તેથી $m = 3 - 2(\frac{11}{7}) = \frac{21 - 22}{7} = -\frac{1}{7}$.
અંતે,$\ell^2 + m^2 = (\frac{11}{7})^2 + (-\frac{1}{7})^2 = \frac{121}{49} + \frac{1}{49} = \frac{122}{49}$.

(C) સમતલનું સમીકરણ $2x + 3y + 4z = 1$ છે.
$X$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુ માટે,$y = 0$ અને $z = 0$ લેતા: $2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$. તેથી,$A = (\frac{1}{2}, 0, 0)$.
$Y$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુ માટે,$x = 0$ અને $z = 0$ લેતા: $3y = 1 \implies y = \frac{1}{3}$. તેથી,$B = (0, \frac{1}{3}, 0)$.
$Z$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુ માટે,$x = 0$ અને $y = 0$ લેતા: $4z = 1 \implies z = \frac{1}{4}$. તેથી,$C = (0, 0, \frac{1}{4})$.
$\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3})$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
યામો મૂકતા:
મધ્યકેન્દ્ર $= (\frac{1/2 + 0 + 0}{3}, \frac{0 + 1/3 + 0}{3}, \frac{0 + 0 + 1/4}{3}) = (\frac{1}{6}, \frac{1}{9}, \frac{1}{12})$.

(A) રેખા પરના બિંદુ $Q$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{q} = (1 - 3\mu)\hat{i} + (-1 + \mu)\hat{j} + (2 + 5\mu)\hat{k}$ છે.
આપેલ બિંદુ $P$ એ $(3, 2, 6)$ છે,તેથી તેનો સ્થાન સદિશ $\vec{p} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$ છે.
સદિશ $\vec{PQ} = \vec{q} - \vec{p} = (-3\mu - 2)\hat{i} + (\mu - 3)\hat{j} + (5\mu - 4)\hat{k}$ થાય.
સમતલ $x - 4y + 3z = 1$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \hat{i} - 4\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
જેহেতু $\vec{PQ}$ સમતલને સમાંતર છે,તે અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ ને લંબ હોવો જોઈએ,તેથી $\vec{PQ} \cdot \vec{n} = 0$.
$(-3\mu - 2)(1) + (\mu - 3)(-4) + (5\mu - 4)(3) = 0$.
$-3\mu - 2 - 4\mu + 12 + 15\mu - 12 = 0$.
$8\mu - 2 = 0$.
$8\mu = 2 \Rightarrow \mu = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

(B) રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ સમતલીય હોય જો દરેક રેખા પરના બિંદુને જોડતા સદિશ અને તેમની દિશાના સદિશોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય હોય.
આપેલ બિંદુઓ: $P_1 = (-1, 2, 1)$ અને $P_2 = (-2, -1, -1)$.
દિશા સદિશો: $\vec{v_1} = (2, -1, 1)$ અને $\vec{v_2} = (\alpha, 5-\alpha, 1)$.
સમતલીયતા માટેની શરત:
$\begin{vmatrix} x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} -2-(-1) & -1-2 & -1-1 \\ 2 & -1 & 1 \\ \alpha & 5-\alpha & 1 \end{vmatrix} = 0$
$\begin{vmatrix} -1 & -3 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \alpha & 5-\alpha & 1 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$-1(-1 - (5-\alpha)) + 3(2 - \alpha) - 2(2(5-\alpha) - (-1)\alpha) = 0$
$-1(-6+\alpha) + 6 - 3\alpha - 2(10 - 2\alpha + \alpha) = 0$
$6 - \alpha + 6 - 3\alpha - 20 + 2\alpha = 0$
$-2\alpha - 8 = 0 \Rightarrow \alpha = -4$.
$\alpha = -4$ ને $L_2$ માં મૂકતા:
$L_2: \frac{x+2}{-4} = \frac{y+1}{5-(-4)} = \frac{z+1}{1} \Rightarrow \frac{x+2}{-4} = \frac{y+1}{9} = \frac{z+1}{1}$.
વિકલ્પ $(B) (2, -10, -2)$ ચકાસતા:
$\frac{2+2}{-4} = \frac{-10+1}{9} = \frac{-2+1}{1} \Rightarrow -1 = -1 = -1$.
આમ,રેખા $L_2$ બિંદુ $(2, -10, -2)$ માંથી પસાર થાય છે.

(NONE) આપેલ બિંદુ $P = (2, 1, 5)$.
રેખા $\vec{r} = (1, -1, 2) + \mu(-3, 1, 5)$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q = (1-3\mu, -1+\mu, 2+5\mu)$ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.
સદિશ $\vec{PQ} = Q - P = (1-3\mu-2, -1+\mu-1, 2+5\mu-5) = (-1-3\mu, -2+\mu, -3+5\mu)$.
સમતલ $3x-y+4z=1$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (3, -1, 4)$ છે.
જો $\vec{PQ}$ એ સમતલને સમાંતર હોય,તો $\vec{PQ} \cdot \vec{n} = 0$ થાય.
$3(-1-3\mu) - 1(-2+\mu) + 4(-3+5\mu) = 0$.
$-3 - 9\mu + 2 - \mu - 12 + 20\mu = 0$.
$10\mu - 13 = 0$.
$\mu = \frac{13}{10}$.

(A) બે રેખાઓને સમાવતા સમતલનું સમીકરણ નિશ્ચાયક સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ છે:
$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{vmatrix} = 0$
બીજી રેખા પરનું બિંદુ $(1, 4, -4)$ અને દિશા સદિશો $(3, 5, 7)$ અને $(1, 4, 7)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\begin{vmatrix} x-1 & y-4 & z+4 \\ 3 & 5 & 7 \\ 1 & 4 & 7 \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x-1)(35-28) - (y-4)(21-7) + (z+4)(12-5) = 0$
$7(x-1) - 14(y-4) + 7(z+4) = 0$
$7$ વડે ભાગતા:
$(x-1) - 2(y-4) + (z+4) = 0$
$x - 2y + z - 1 + 8 + 4 = 0$
$x - 2y + z + 11 = 0$
ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ થી સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ નું લંબ અંતર $d = \frac{|D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$d = \frac{|11|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{11}{\sqrt{1+4+1}} = \frac{11}{\sqrt{6}}$ એકમ.

(A) ધારો કે ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ છે અને લંબપાદ $M(2, 1, -2)$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ સદિશ $\vec{OM}$ છે,તેથી $\vec{n} = (2 - 0)\hat{i} + (1 - 0)\hat{j} + (-2 - 0)\hat{k} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$.
સમતલનું સદિશ સમીકરણ જે બિંદુ $\vec{a}$ માંથી પસાર થાય છે અને અભિલંબ $\vec{n}$ ધરાવે છે તે $\vec{r} \cdot \vec{n} = \vec{a} \cdot \vec{n}$ છે.
અહીં,$\vec{a} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ અને $\vec{n} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
તેથી,$\vec{r} \cdot (2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) = (2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) \cdot (2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $(2 \times 2) + (1 \times 1) + (-2 \times -2) = 4 + 1 + 4 = 9$.
આમ,સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} \cdot (2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) = 9$ છે.

(D) સદિશ $\overline{c}$ એ $\overline{a}$ અને $\overline{b}$ ના સમતલમાં હોવાથી,સદિશો $\overline{a}, \overline{b}$ અને $\overline{c}$ સમતલીય છે.
ત્રણ સદિશો સમતલીય હોય તો તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $\overline{a} \cdot (\overline{b} \times \overline{c}) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે ઘટકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ x & -(2-x) & -1 \end{vmatrix} = 0$
$\Rightarrow 1(-1 - (-(2-x))) - (-1)(-1 - x) + 2(-(2-x) - x) = 0$
$\Rightarrow 1(-1 + 2 - x) + 1(-1 - x) + 2(-2 + x - x) = 0$
$\Rightarrow 1(1 - x) - 1 - x + 2(-2) = 0$
$\Rightarrow 1 - x - 1 - x - 4 = 0$
$\Rightarrow -2x - 4 = 0$
$\Rightarrow -2x = 4$
$\Rightarrow x = -2$

(D) સમતલો $x+y+z-1=0$ અને $2x+3y+4z-5=0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $(x+y+z-1) + \lambda(2x+3y+4z-5) = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$(1+2\lambda)x + (1+3\lambda)y + (1+4\lambda)z - (1+5\lambda) = 0$ મળે છે.
આ સમતલ,સમતલ $x-y+z=0$ ને લંબ છે.
આ બે સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (1+2\lambda)\hat{i} + (1+3\lambda)\hat{j} + (1+4\lambda)\hat{k}$ અને $\vec{n_2} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ છે.
સમતલો લંબ હોવાથી,તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0$.
$(1+2\lambda)(1) + (1+3\lambda)(-1) + (1+4\lambda)(1) = 0$.
$1+2\lambda - 1 - 3\lambda + 1 + 4\lambda = 0$.
$1 + 3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{3}$.
$\lambda = -\frac{1}{3}$ ને સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(1 - \frac{2}{3})x + (1 - 1)y + (1 - \frac{4}{3})z - (1 - \frac{5}{3}) = 0$.
$\frac{1}{3}x + 0y - \frac{1}{3}z + \frac{2}{3} = 0$.
$3$ વડે ગુણતા,$x - z + 2 = 0$ મળે છે.
તેનું સદિશ સમીકરણ $\overline{r} \cdot (\hat{i} - \hat{k}) + 2 = 0$ છે.

(D) બિંદુ $(x_0, y_0, z_0)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ છે.
આપેલ બિંદુ $(2, -1, -3)$ માટે,સમીકરણ $a(x-2) + b(y+1) + c(z+3) = 0$ થશે.
સમતલ એ $(3, 2, -4)$ અને $(2, -3, 2)$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાઓને સમાંતર હોવાથી,અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (a, b, c)$ બંને દિશા સદિશોને લંબ હશે.
તેથી,$\vec{n} = (3, 2, -4) \times (2, -3, 2) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & -4 \\ 2 & -3 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - 12) - \hat{j}(6 + 8) + \hat{k}(-9 - 4) = -8\hat{i} - 14\hat{j} - 13\hat{k}$.
અભિલંબ સદિશ $(8, 14, 13)$ લેતા,સમીકરણ $8(x-2) + 14(y+1) + 13(z+3) = 0$ મળે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$8x - 16 + 14y + 14 + 13z + 39 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $8x + 14y + 13z + 37 = 0$ થાય છે.

(A) આપેલ છે $f(x) = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$.
નિત્યસમ $\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$ નો ઉપયોગ કરતા,$f(x) = \sin 3x$ મળે.
વિધેય વધતું હોય તે અંતરાલ શોધવા માટે,વિકલિત $f'(x) = 3 \cos 3x$ મેળવીએ.
વિધેય વધતું હોવા માટે $f'(x) \geq 0$,એટલે કે $3 \cos 3x \geq 0$ અથવા $\cos 3x \geq 0$.
કોસાઇન વિધેય $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ અંતરાલમાં અ-ઋણ હોય છે.
તેથી,$-\frac{\pi}{2} \leq 3x \leq \frac{\pi}{2}$.
$3$ વડે ભાગતા,$-\frac{\pi}{6} \leq x \leq \frac{\pi}{6}$ મળે.
આ અંતરાલની લંબાઈ $\frac{\pi}{6} - (-\frac{\pi}{6}) = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ છે.

(C) ધારો કે $x = 2 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{5}\right)$.
તેથી $\tan \left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{5}$.
સૂત્ર $\tan x = \frac{2 \tan (x/2)}{1 - \tan^2 (x/2)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan x = \frac{2(1/5)}{1 - (1/5)^2} = \frac{2/5}{24/25} = \frac{5}{12}$.
હવે,$\tan \left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ ની કિંમત શોધીએ.
સૂત્ર $\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{5/12 + 1}{1 - 5/12} = \frac{17/12}{7/12} = \frac{17}{7}$.

(D) આપેલ પદાવલિ $\cos \left(2 \cos ^{-1} x+\sin ^{-1} x\right)$ છે.
આપણે દલીલને $\cos \left(\cos ^{-1} x + (\cos ^{-1} x + \sin ^{-1} x)\right)$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ.
નિત્યસમ $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ $\cos \left(\cos ^{-1} x + \frac{\pi}{2}\right)$ બને છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos \left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = -\sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $-\sin \left(\cos ^{-1} x\right)$ મળે છે.
કારણ કે $\sin \left(\cos ^{-1} x\right) = \sqrt{1-x^2}$,પદાવલિ $-\sqrt{1-x^2}$ માં સરળ બને છે.
$x = \frac{1}{5}$ મૂકતા:
$-\sqrt{1-\left(\frac{1}{5}\right)^2} = -\sqrt{1-\frac{1}{25}} = -\sqrt{\frac{24}{25}} = -\frac{2 \sqrt{6}}{5}$.

(C) રેખાના આપેલા કાર્તેઝિયન સમીકરણો $y=2$ અને $4x-3z+5=0$ છે.
આપણે તેને $y=2$ અને $4x=3z-5$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ મેળવવા માટે $12$ વડે ભાગતા:
$4x = 3(z - \frac{5}{3}) \implies \frac{x}{3} = \frac{z - 5/3}{4}$.
$y=2$ અચળ હોવાથી,$y$ માટે દિશા ગુણોત્તર $0$ છે.
આમ,રેખાને $\frac{x-0}{3} = \frac{y-2}{0} = \frac{z-5/3}{4}$ તરીકે લખી શકાય.
રેખા બિંદુ $(0, 2, 5/3)$ માંથી પસાર થાય છે અને દિશા ગુણોત્તર $(3, 0, 4)$ છે.
સદિશ સમીકરણ $\overline{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ છે,જ્યાં $\vec{a} = 0\hat{i} + 2\hat{j} + \frac{5}{3}\hat{k}$ અને $\vec{b} = 3\hat{i} + 0\hat{j} + 4\hat{k}$.
તેથી,$\overline{r} = (2\hat{j} + \frac{5}{3}\hat{k}) + \lambda(3\hat{i} + 4\hat{k})$.

(C) ધારો કે $\vec{a}=5 \hat{i}+2 \hat{j}+6 \hat{k}$,$\vec{b}=2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,અને $\vec{c}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$.
જરૂરી સદિશ $\vec{a}$ ને લંબ છે અને $\vec{b}$ તથા $\vec{c}$ સાથે સમતલીય છે,તેથી તે $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})$ ને સમાંતર હશે.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી:
$\vec{a} \cdot \vec{c} = (5)(1) + (2)(-1) + (6)(1) = 5 - 2 + 6 = 9$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (5)(2) + (2)(1) + (6)(1) = 10 + 2 + 6 = 18$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = 9(2 \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) - 18(\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) = (18-18)\hat{i} + (9+18)\hat{j} + (9-18)\hat{k} = 27 \hat{j} - 9 \hat{k}$.
તેનું માન $|27 \hat{j} - 9 \hat{k}| = \sqrt{27^2 + (-9)^2} = \sqrt{729 + 81} = \sqrt{810} = 9 \sqrt{10}$ છે.
એકમ સદિશ $\pm \frac{27 \hat{j} - 9 \hat{k}}{9 \sqrt{10}} = \pm \frac{3 \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{10}}$ છે.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$\frac{3 \hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{10}}$ સાચો જવાબ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = (\overline{a} \times \overline{b}) \cdot \overline{c}$ છે.
પ્રથમ પદ માટે: $\overline{p} \cdot (\overline{a} + \overline{b}) = \overline{p} \cdot \overline{a} + \overline{p} \cdot \overline{b}$.
$\overline{p} = \frac{\overline{b} \times \overline{c}}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\overline{p} \cdot \overline{a} = \frac{(\overline{b} \times \overline{c}) \cdot \overline{a}}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]} = \frac{[\overline{b} \overline{c} \overline{a}]}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]} = \frac{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]} = 1$.
$\overline{p} \cdot \overline{b} = \frac{(\overline{b} \times \overline{c}) \cdot \overline{b}}{[\overline{a} \overline{b} \overline{c}]} = 0$ (કારણ કે $\overline{b} \times \overline{c}$ એ $\overline{b}$ ને લંબ છે).
આમ,$\overline{p} \cdot (\overline{a} + \overline{b}) = 1 + 0 = 1$.
તે જ રીતે,$\overline{q} \cdot (\overline{b} + \overline{c}) = 1$ અને $\overline{r} \cdot (\overline{c} + \overline{a}) = 1$.
આ બધાનો સરવાળો કરતા,આપણને $1 + 1 + 1 = 3$ મળે છે.

(C) ધારો કે $\overline{d} = p\hat{i} + q\hat{j} + r\hat{k}$,જ્યાં $p, q, r \in \mathbb{R}$.
$\overline{b}, \overline{c}, \overline{d}$ સમતલીય હોવાથી,તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \\ p & q & r \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા: $0(0 - q) - 1(-r - p) + (-1)(-q - 0) = 0$
$r + p + q = 0 \implies p + q + r = 0 \dots (i)$
આપેલ છે કે $\overline{a}$ અને $\overline{d}$ પરસ્પર લંબ છે,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$\overline{a} \cdot \overline{d} = (1, -1, 0) \cdot (p, q, r) = p - q = 0 \implies p = q \dots (ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $p + p + r = 0 \implies r = -2p$.
તેથી,$\overline{d} = p\hat{i} + p\hat{j} - 2p\hat{k} = p(\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})$.
$\overline{d}$ એકમ સદિશ હોવાથી,$|\overline{d}| = 1$:
$|p|\sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = 1 \implies |p|\sqrt{6} = 1 \implies p = \pm \frac{1}{\sqrt{6}}$.
જો $p = \frac{1}{\sqrt{6}}$ લઈએ,તો $\overline{d} = \frac{1}{\sqrt{6}}(1, 1, -2)$,જે વિકલ્પ $(C)$ સાથે સુસંગત છે.

(A) આપેલ છે કે $\overline{a} \times \overline{b} + \overline{c} = \overline{0}$,જેનો અર્થ છે કે $\overline{a} \times \overline{b} = -\overline{c}$.
બંને બાજુ $\overline{a}$ સાથે ક્રોસ પ્રોડક્ટ લેતા: $\overline{a} \times (\overline{a} \times \overline{b}) = -\overline{a} \times \overline{c}$.
વેક્ટર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટ સૂત્ર $\overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{c}) = (\overline{a} \cdot \overline{c})\overline{b} - (\overline{a} \cdot \overline{b})\overline{c}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $(\overline{a} \cdot \overline{b})\overline{a} - (\overline{a} \cdot \overline{a})\overline{b} = -\overline{a} \times \overline{c}$.
આપેલ છે $\overline{a} = \hat{j} - \hat{k}$,તેથી $\overline{a} \cdot \overline{a} = 0^2 + 1^2 + (-1)^2 = 2$.
આપેલ છે $\overline{a} \cdot \overline{b} = 3$,તેથી $3\overline{a} - 2\overline{b} = -\overline{a} \times \overline{c}$.
$\overline{a} \times \overline{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-1 - 1) - \hat{j}(0 - (-1)) + \hat{k}(0 - 1) = -2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$.
આમ,$2\overline{b} = 3\overline{a} + (\overline{a} \times \overline{c}) = 3(\hat{j} - \hat{k}) + (-2\hat{i} - \hat{j} - \hat{k}) = -2\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$.
તેથી,$\overline{b} = -\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$.

(C) રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ અનુક્રમે સદિશો $\vec{b}_1 = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b}_2 = 2 \hat{i} + \hat{j} + 3 \hat{k}$ ને સમાંતર છે.
$L_1$ અને $L_2$ બંનેને લંબ એકમ સદિશ $\hat{n} = \frac{\vec{b}_1 \times \vec{b}_2}{|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,આપણે સદિશ ગુણાકાર $\vec{b}_1 \times \vec{b}_2$ ની ગણતરી કરીએ:
$\vec{b}_1 \times \vec{b}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-1) - \hat{j}(9-2) + \hat{k}(3-4) = 5 \hat{i} - 7 \hat{j} - \hat{k}$.
ત્યારબાદ,આપણે સદિશ ગુણાકારનું માન શોધીએ:
$|\vec{b}_1 \times \vec{b}_2| = \sqrt{5^2 + (-7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 49 + 1} = \sqrt{75} = 5 \sqrt{3}$.
તેથી,જરૂરી એકમ સદિશ $\hat{n} = \frac{5 \hat{i} - 7 \hat{j} - \hat{k}}{5 \sqrt{3}}$ છે.

(B) આપેલ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારનું સમીકરણ: $[m\overline{a}+\overline{b} \quad m\overline{b}+\overline{c} \quad m\overline{c}+\overline{a}] = 28[\overline{a} \quad \overline{b} \quad \overline{c}]$.
ગુણધર્મ $[\overline{u}+\overline{v} \quad \overline{w} \quad \overline{x}] = [\overline{u} \quad \overline{w} \quad \overline{x}] + [\overline{v} \quad \overline{w} \quad \overline{x}]$ નો ઉપયોગ કરીને વિસ્તરણ કરતા:
$[m\overline{a}+\overline{b} \quad m\overline{b}+\overline{c} \quad m\overline{c}+\overline{a}] = m^3[\overline{a} \quad \overline{b} \quad \overline{c}] + [\overline{b} \quad \overline{c} \quad \overline{a}] = m^3[\overline{a} \quad \overline{b} \quad \overline{c}] + [\overline{a} \quad \overline{b} \quad \overline{c}]$.
ચક્રીય ક્રમચયના નિયમ મુજબ $[\overline{b} \quad \overline{c} \quad \overline{a}] = [\overline{a} \quad \overline{b} \quad \overline{c}]$ થાય છે.
તેથી,$(m^3+1)[\overline{a} \quad \overline{b} \quad \overline{c}] = 28[\overline{a} \quad \overline{b} \quad \overline{c}]$.
સદિશો અસમતલીય હોવાથી,$[\overline{a} \quad \overline{b} \quad \overline{c}] \neq 0$.
તેથી,$m^3+1 = 28 \implies m^3 = 27 \implies m = 3$.

(B) આપેલ છે કે $\overline{a}$ અને $\overline{b}$ લંબ નથી,તેથી $\overline{a} \cdot \overline{b} \neq 0$.
આપણને $\overline{a} \cdot \overline{d} = 0$ અને $\overline{b} \times \overline{c} = \overline{b} \times \overline{d}$ આપેલ છે.
સમીકરણ $\overline{b} \times \overline{c} = \overline{b} \times \overline{d}$ ની બંને બાજુએ $\overline{a}$ સાથે ક્રોસ ગુણાકાર લેતા,આપણને મળે છે:
$\overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{c}) = \overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{d})$
વેક્ટર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટના સૂત્ર $\overline{a} \times (\overline{b} \times \overline{c}) = (\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{a} \cdot \overline{b}) \overline{c}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{a} \cdot \overline{b}) \overline{c} = (\overline{a} \cdot \overline{d}) \overline{b} - (\overline{a} \cdot \overline{b}) \overline{d}$
કારણ કે $\overline{a} \cdot \overline{d} = 0$,સમીકરણ આ રીતે સરળ બને છે:
$(\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{a} \cdot \overline{b}) \overline{c} = 0 - (\overline{a} \cdot \overline{b}) \overline{d}$
$\overline{d}$ માટે ઉકેલતા:
$(\overline{a} \cdot \overline{b}) \overline{d} = (\overline{a} \cdot \overline{b}) \overline{c} - (\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b}$
$(\overline{a} \cdot \overline{b})$ વડે ભાગતા:
$\overline{d} = \overline{c} - \left(\frac{\overline{a} \cdot \overline{c}}{\overline{a} \cdot \overline{b}}\right) \overline{b}$

(B) સદિશો $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ દ્વારા બનતા સમાંતરફલકનું ઘનફળ $V = |\vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$V = \begin{vmatrix} 1 & a & 1 \\ 0 & 1 & a \\ a & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1(1 - 0) - a(0 - a^2) + 1(0 - a) = 1 + a^3 - a$.
ઘનફળ ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે $V$ નું $a$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dV}{da} = 3a^2 - 1$.
$\frac{dV}{da} = 0$ લેતા,આપણને $3a^2 = 1$ મળે છે,તેથી $a^2 = \frac{1}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $a = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
હવે,આપણે દ્વિતીય વિકલન ચકાસીએ: $\frac{d^2V}{da^2} = 6a$.
$a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે,$\frac{d^2V}{da^2} = 6(\frac{1}{\sqrt{3}}) > 0$,જે દર્શાવે છે કે આ બિંદુએ ઘનફળ ન્યૂનતમ છે.
$a = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે,$\frac{d^2V}{da^2} = 6(-\frac{1}{\sqrt{3}}) < 0$,જે દર્શાવે છે કે આ બિંદુએ ઘનફળ મહત્તમ છે.
આમ,$a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે ઘનફળ ન્યૂનતમ છે.

(A) ધારો કે $\vec{r}$ અને $\vec{s}$ એ બિંદુઓ $R$ અને $S$ ના સ્થાન સદિશો છે.
$2:3$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{r} = \frac{2\vec{q} + 3\vec{p}}{2+3} = \frac{3\vec{p} + 2\vec{q}}{5}$
$2:3$ ના ગુણોત્તરમાં બહિર્વિભાજન માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{s} = \frac{2\vec{q} - 3\vec{p}}{2-3} = \frac{2\vec{q} - 3\vec{p}}{-1} = 3\vec{p} - 2\vec{q}$
કારણ કે $\vec{OR}$ અને $\vec{OS}$ પરસ્પર લંબ છે,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$\vec{r} \cdot \vec{s} = 0$
$\left(\frac{3\vec{p} + 2\vec{q}}{5}\right) \cdot (3\vec{p} - 2\vec{q}) = 0$
$(3\vec{p} + 2\vec{q}) \cdot (3\vec{p} - 2\vec{q}) = 0$
$9|\vec{p}|^2 - 6(\vec{p} \cdot \vec{q}) + 6(\vec{q} \cdot \vec{p}) - 4|\vec{q}|^2 = 0$
$9p^2 - 4q^2 = 0$
$9p^2 = 4q^2$

(C) $\overline{a}$ નો $\overline{c}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{\overline{a} \cdot \overline{c}}{|\overline{c}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\overline{a} = \alpha \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}$ અને $\overline{c} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 2 \hat{k}$.
$\overline{a} \cdot \overline{c} = (\alpha)(1) + (3)(2) + (-1)(-2) = \alpha + 6 + 2 = \alpha + 8$.
$|\overline{c}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
તેથી,$\frac{\alpha + 8}{3} = \frac{10}{3} \implies \alpha + 8 = 10 \implies \alpha = 2$.
હવે,$\overline{b} \times \overline{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -\beta & 4 \\ 1 & 2 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2\beta - 8) - \hat{j}(-6 - 4) + \hat{k}(6 + \beta) = (2\beta - 8)\hat{i} + 10\hat{j} + (6 + \beta)\hat{k}$.
આને $-6\hat{i} + 10\hat{j} + 7\hat{k}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $2\beta - 8 = -6 \implies 2\beta = 2 \implies \beta = 1$ મળે છે.
અંતે,$2\alpha + \beta = 2(2) + 1 = 4 + 1 = 5$.

(C) આપેલ છે કે $\bar{s} = 4\bar{p} + 3\bar{q} + 5\bar{r}$.
વળી,$\bar{s} = x(-\bar{p} + \bar{q} + \bar{r}) + y(\bar{p} - \bar{q} + \bar{r}) + z(-\bar{p} - \bar{q} + \bar{r})$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા,$\bar{s} = (-x + y - z)\bar{p} + (x - y - z)\bar{q} + (x + y + z)\bar{r}$ મળે.
$\bar{p}, \bar{q}, \bar{r}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$-x + y - z = 4$ $(i)$
$x - y - z = 3$ $(ii)$
$x + y + z = 5$ $(iii)$
$(ii)$ અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા,$2x = 8 \implies x = 4$ મળે.
$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા,$-2z = 7 \implies z = -\frac{7}{2}$ મળે.
$x=4$ અને $z=-\frac{7}{2}$ ને $(iii)$ માં મૂકતા,$4 + y - \frac{7}{2} = 5 \implies y = 1 + \frac{7}{2} = \frac{9}{2}$ મળે.
હવે,$2x + y + z = 2(4) + \frac{9}{2} - \frac{7}{2} = 8 + \frac{2}{2} = 8 + 1 = 9$.

(A) સદિશો સમતલીય હોવાથી,તેમનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય થાય: $\left|\begin{array}{lll}a & 1 & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & 1 & c\end{array}\right|=0$.
$R_2 \rightarrow R_2-R_1$ અને $R_3 \rightarrow R_3-R_1$ લેતા,આપણને મળે $\left|\begin{array}{ccc} a & 1 & 1 \\ 1-a & b-1 & 0 \\ 1-a & 0 & c-1 \end{array}\right|=0$.
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા: $a(b-1)(c-1) - 1(1-a)(c-1) + 1(0 - (b-1)(1-a)) = 0$.
$a(b-1)(c-1) + (1-a)(c-1) + (1-a)(b-1) = 0$.
આખા સમીકરણને $(1-a)(1-b)(1-c)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે: $\frac{a(b-1)(c-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} + \frac{(1-a)(c-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} + \frac{(1-a)(b-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} = 0$.
આનું સાદું રૂપ: $\frac{-a}{(1-a)} + \frac{1}{(1-b)} + \frac{1}{(1-c)} = 0$.
આપણે $\frac{-a}{1-a}$ ને $\frac{1-a-1}{1-a} = 1 - \frac{1}{1-a}$ તરીકે લખી શકીએ.
આ કિંમત મૂકતા: $1 - \frac{1}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 0$.
તેથી,$\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 1$.

(A) ધારો કે $\vec{a} = \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,અને $\vec{c} = 2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$.
જરૂરી સદિશ $\vec{b}$ અને $\vec{c}$ સાથે સમતલીય હોવાથી,તે $\vec{v} = \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})$ સ્વરૂપમાં હોવો જોઈએ.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c})\vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b})\vec{c}$.
પ્રથમ,ડોટ ગુણાકારની ગણતરી કરો:
$\vec{a} \cdot \vec{c} = (1)(2) + (1)(1) + (-1)(1) = 2 + 1 - 1 = 2$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (1)(1) + (-1)(1) = 1 + 1 - 1 = 1$.
હવે,આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\vec{v} = 2(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) - 1(2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) = (2\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}) - (2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) = \hat{j}+\hat{k}$.
આ સદિશનું માન $|\vec{v}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ છે.
એકમ સદિશ $\pm \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \pm \frac{\hat{j}+\hat{k}}{\sqrt{2}}$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો વિકલ્પ $A$ છે (ઋણ ચિહ્નને ધ્યાનમાં લેતા).

(A) કારણ કે $\overline{a}$ એ $\overline{b}$ અને $\overline{c}$ વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગે છે,તેથી તે $\overline{b}$ અને $\overline{c}$ ની દિશામાંના એકમ સદિશોના સરવાળાના પ્રમાણમાં હોવો જોઈએ.
ધારો કે $\hat{b} = \frac{\hat{i}+\hat{j}}{\sqrt{2}}$ અને $\hat{c} = \frac{\hat{j}+\hat{k}}{\sqrt{2}}$.
સદિશ $\overline{a}$ ને કોઈ અદિશ $k$ માટે $\overline{a} = k(\hat{b} + \hat{c})$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
$\overline{a} = k \left( \frac{\hat{i}+\hat{j}}{\sqrt{2}} + \frac{\hat{j}+\hat{k}}{\sqrt{2}} \right) = \frac{k}{\sqrt{2}} (\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k})$.
આપેલ છે કે $\overline{a} = \alpha \hat{i} + 2 \hat{j} + \beta \hat{k}$.
ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે $\alpha = \frac{k}{\sqrt{2}}$,$2 = \frac{2k}{\sqrt{2}}$,અને $\beta = \frac{k}{\sqrt{2}}$.
$2 = \frac{2k}{\sqrt{2}}$ પરથી,આપણને $k = \sqrt{2}$ મળે છે.
$\alpha$ અને $\beta$ ના સમીકરણોમાં $k = \sqrt{2}$ મૂકતા,આપણને $\alpha = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$ અને $\beta = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 1$ મળે છે.
આમ,$\alpha=1$ અને $\beta=1$.

(D) આપેલ છે: $(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c} = \frac{1}{3}|\overline{b}||\overline{c}| \overline{a}$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $(\overline{a} \times \overline{b}) \times \overline{c} = (\overline{a} \cdot \overline{c}) \overline{b} - (\overline{b} \cdot \overline{c}) \overline{a}$.
કોઈ પણ બે સદિશો સમરેખ ન હોવાથી,$\overline{a}$ અને $\overline{b}$ સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર છે. તેથી,$\overline{b}$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $(\overline{a} \cdot \overline{c}) = 0$.
$\overline{a}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે: $-(\overline{b} \cdot \overline{c}) = \frac{1}{3}|\overline{b}||\overline{c}|$.
ડોટ પ્રોડક્ટની વ્યાખ્યા મૂકતા,$-|\overline{b}||\overline{c}| \cos \theta = \frac{1}{3}|\overline{b}||\overline{c}|$.
સદિશો શૂન્યતર હોવાથી,$|\overline{b}||\overline{c}|$ વડે ભાગતા: $\cos \theta = -\frac{1}{3}$.
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin^2 \theta = 1 - (-\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$.
આમ,$\sin \theta = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
તેથી,$\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{3}{2\sqrt{2}}$.