જો $x, y, z$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય અને $\tan^{-1} x, \tan^{-1} y, \tan^{-1} z$ પણ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય,જ્યાં $x, z > 0$ અને $xz < 1, y < 1$,તો

ધારો કે $\alpha = 3 \sin^{-1}(\frac{6}{11})$ અને $\beta = 3 \cos^{-1}(\frac{4}{9})$,જ્યાં પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય વિધેયો ફક્ત મુખ્ય કિંમતો લે છે. નીચે બે વિધાનો આપેલા છે:
વિધાન $I$: $\cos(\alpha + \beta) > 0$.
વિધાન $II$: $\cos(\alpha) < 0$.
ઉપરના વિધાનોના પ્રકાશમાં,નીચે આપેલા વિકલ્પોમાંથી સાચો જવાબ પસંદ કરો:

જો $f(x) = \sin^{-1}\left(\frac{2x}{1+x^2}\right) + \cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)$,જ્યાં $x \in (1, \infty)$,તો $f'(x)$ ની કિંમત શોધો.

$\tan \left(2 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{5}\right)+\frac{\pi}{4}\right)$ નું સંખ્યાત્મક મૂલ્ય શોધો.

સમીકરણ $\theta=\tan ^{-1}(2 \tan \theta)-\frac{1}{2} \sin ^{-1}\left(\frac{6 \tan \theta}{9+\tan ^2 \theta}\right)$ ના વાસ્તવિક ઉકેલોની કુલ સંખ્યા કેટલી છે? $($અહીં,પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય વિધેયો $\sin ^{-1} x$ અને $\tan ^{-1} x$ અનુક્રમે $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ અને $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ માં કિંમતો ધારણ કરે છે.$)$

જો $0 \leq A \leq \frac{\pi}{4}$ હોય,તો $\tan ^{-1}\left(\frac{1}{2} \tan 2 A\right)+\tan ^{-1}(\cot A)+\tan ^{-1}(\cot ^{3} A)$ ની કિંમત શોધો.