ધારો કે સદિશો $\overline{a}, \overline{b}, \overline{c}$ અને $\overline{d}$ એવા છે કે જેથી $(\overline{a} \times \overline{b}) \times(\overline{c} \times \overline{d})=\overline{0}$ થાય. ધારો કે $P_1$ અને $P_2$ એ અનુક્રમે સદિશોની જોડી $\overline{a}, \overline{b}$ અને $\overline{c}, \overline{d}$ દ્વારા નિર્ધારિત સમતલો છે,તો $P_1$ અને $P_2$ વચ્ચેનો ખૂણો કેટલો થાય?

$a=3 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}, b=\hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}, c=4 \hat{i}+5 \hat{j}-\hat{k}$ ત્રણ સદિશો છે અને સદિશ $r$ એ સદિશો $b$ અને $c$ બંનેને લંબ છે. જો $r \cdot a=9$ હોય,તો $r=$

ધારો કે $O$ ઉગમબિંદુ છે,અને $\overline{OX}, \overline{OY}, \overline{OZ}$ એ ત્રિકોણ $PQR$ ની બાજુઓ $QR, RP, PQ$ ની દિશામાં ત્રણ એકમ સદિશો છે.
$(1)$ $|\overline{OX} \times \overline{OY}|$ શોધો.
$[A] \sin(P+Q)$
$[B] \sin 2R$
$[C] \sin(P+R)$
$[D] \sin(Q+R)$
$(2)$ જો ત્રિકોણ $PQR$ બદલાતો હોય,તો $\cos(P+Q) + \cos(Q+R) + \cos(R+P)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.
$[A] -\frac{5}{3}$
$[B] -\frac{3}{2}$
$[C] \frac{3}{2}$
$[D] \frac{5}{3}$
$(1)$ અને $(2)$ માટે સાચા વિકલ્પો પસંદ કરો.

જો $a = 2i + k$,$b = i + j + k$ અને $c = 4i - 3j + 7k$ હોય. જો $d \times b = c \times b$ અને $d \cdot a = 0$ હોય,તો $d$ ની કિંમત શું થાય?

બિંદુઓ $A(1, -1, 2)$,$B(2, 0, -1)$ અને $C(0, 2, 1)$ દ્વારા નિર્ધારિત સમતલને લંબ એકમ સદિશ કયો છે?

ધારો કે $\bar{a}$,$\bar{b}$,અને $\bar{c}$ એકમ સદિશો છે. જો $\bar{a} \cdot \bar{b} = \bar{a} \cdot \bar{c} = 0$ અને $\bar{b}$ તથા $\bar{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{6}$ હોય,તો $\bar{a}$ બરાબર શું થાય?