MHT CET 2020 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની કુલ ઉર્જા $(E)$ એ તેની સ્થિતિ ઉર્જા અને ગતિ ઉર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે.
કુલ ઉર્જાનું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} k A^{2}$ છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ છે.
વળી,બળ અચળાંક $k = m \omega^{2}$ થાય.
$k$ ના સૂત્રમાં $\omega$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $k = m \left( \frac{2 \pi}{T} \right)^{2} = \frac{4 \pi^{2} m}{T^{2}}$ મળે છે.
હવે,કુલ ઉર્જાના સૂત્રમાં $k$ ની કિંમત મૂકતા: $E = \frac{1}{2} \left( \frac{4 \pi^{2} m}{T^{2}} \right) A^{2}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $E = \frac{2 \pi^{2} m A^{2}}{T^{2}}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: સ્થાનાંતર $= x$,સ્થિતિઊર્જા $(P.E.) = E$,પુનઃસ્થાપક બળ $= F$.
$S.H.M.$ માં રહેલા કણ માટે,પુનઃસ્થાપક બળ $F = -kx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે.
સ્થિતિઊર્જા $E = \frac{1}{2}kx^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બળના સમીકરણ પરથી,આપણી પાસે $k = -\frac{F}{x}$ છે.
$k$ ની આ કિંમતને સ્થિતિઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$E = \frac{1}{2} \left(-\frac{F}{x}\right) x^2$
$E = -\frac{1}{2} Fx$
$2$ વડે ગુણતા:
$2E = -Fx$
પદોને ગોઠવતા:
$2E + Fx = 0$
$F$ વડે ભાગતા:
$\frac{2E}{F} + x = 0$.

(A) નાના દોલનો કરતા સાદા લોલક માટે,પુનઃસ્થાપક બળ $F = -\frac{mg}{L} x$ છે.
સરળ આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થની સ્થિતિ ઊર્જા $PE = \frac{1}{2} k x^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પુનઃસ્થાપક બળ $F = -kx$ ની સરખામણી $F = -\frac{mg}{L} x$ સાથે કરતા,આપણને સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = \frac{mg}{L}$ મળે છે.
અંતિમ સ્થાન પર,સ્થાનાંતર $x$ એ કંપવિસ્તાર $A$ જેટલું હોય છે.
આ કિંમતોને સ્થિતિ ઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા: $PE = \frac{1}{2} \left( \frac{mg}{L} \right) A^{2} = \frac{mgA^{2}}{2L}$.

(D) સરળ આવર્ત ગતિમાં રહેલા પદાર્થની સ્થિતિઊર્જા $P = \frac{1}{2} k x^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે.
આપેલ છે કે $P_{1} = \frac{1}{2} k x_{1}^2$ અને $P_{2} = \frac{1}{2} k x_{2}^2$.
આપણે સ્થાનાંતર $(x_{1} + x_{2})$ પર સ્થિતિઊર્જા $P$ શોધવાની છે:
$P = \frac{1}{2} k (x_{1} + x_{2})^2$
$P = \frac{1}{2} k (x_{1}^2 + x_{2}^2 + 2 x_{1} x_{2})$
$P = \frac{1}{2} k x_{1}^2 + \frac{1}{2} k x_{2}^2 + 2 \left( \sqrt{\frac{1}{2} k x_{1}^2} \right) \left( \sqrt{\frac{1}{2} k x_{2}^2} \right)$
$P = P_{1} + P_{2} + 2 \sqrt{P_{1} P_{2}}$.

(D) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\omega = \frac{2 \pi}{T}$ હોવાથી,$\omega = \sqrt{\frac{g}{\ell}}$ મળે,જે દર્શાવે છે કે $\omega \propto \frac{1}{\sqrt{\ell}}$.
નવી લંબાઈ $\ell_2 = \frac{\ell_1}{3}$ આપેલ હોવાથી,નવી કોણીય આવૃત્તિ $\omega_2$ અને પ્રારંભિક આવૃત્તિ $\omega_1$ વચ્ચેનો સંબંધ $\frac{\omega_2}{\omega_1} = \sqrt{\frac{\ell_1}{\ell_2}} = \sqrt{\frac{\ell_1}{\ell_1/3}} = \sqrt{3}$ છે.
સરળ આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થની કુલ ઉર્જા $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ છે.
અહીં દળ $(m)$ અને કંપવિસ્તાર $(A)$ અચળ હોવાથી,$E \propto \omega^2$ થાય.
તેથી,$\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{\omega_2}{\omega_1} \right)^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$.
આમ,નવી કુલ ઉર્જા $E_2 = 3 E_1$ થશે.

(A) આપેલ છે કે,આવર્તકાળ $T = 6 \ s$. ગતિઊર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર $K.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$ છે અને કુલ ઊર્જા $(T.E.)$ $T.E. = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ છે.
આપણને આપેલ છે કે $K.E. = 50\% \text{ of } T.E.$,તેથી $K.E. = \frac{1}{2} T.E.$.
સૂત્રો મૂકતા: $\frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2) = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} m \omega^2 A^2)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $A^2 - x^2 = \frac{A^2}{2}$ મળે,જેનો અર્થ છે $x^2 = \frac{A^2}{2}$ અથવા $x = \frac{A}{\sqrt{2}}$.
કણ મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂઆત કરતો હોવાથી,સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x = A \sin(\omega t)$ છે.
$x = \frac{A}{\sqrt{2}}$ મૂકતા,આપણને મળે $\frac{A}{\sqrt{2}} = A \sin(\frac{2\pi}{T} t)$.
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \sin(\frac{2\pi}{6} t) = \sin(\frac{\pi}{3} t)$.
કારણ કે $\sin(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} t$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = \frac{3}{4} = 0.75 \ s$.

(A) સરળ આવર્ત ગતિમાં,પ્રવેગ $a$ નું સૂત્ર $a = -\omega^2 x$ છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $x$ એ મધ્યમાન સ્થાનથી સ્થાનાંતર છે.
મધ્યમાન સ્થાન પર,સ્થાનાંતર $x = 0$ હોય છે.
સૂત્રમાં $x = 0$ મૂકતા,આપણને $a = -\omega^2 (0) = 0$ મળે છે.
તેથી,મધ્યમાન સ્થાન પર વજનનો પ્રવેગ શૂન્ય હોય છે.

(D) આપેલ છે: લંબાઈ $L = 0.4 \ m$,મહત્તમ ઝડપ $v_{max} = 4 \ m/s$ (સૌથી નીચેના બિંદુએ).
જ્યારે દોરી સમક્ષિતિજ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે,ત્યારે તે શિરોલંબ સાથે $\theta = 60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
સૌથી નીચેના બિંદુથી લોલકના ગોળાની ઊંચાઈ $h = L - L \cos \theta = L(1 - \cos 60^{\circ})$ દ્વારા મળે છે.
$h = 0.4(1 - 0.5) = 0.4 \times 0.5 = 0.2 \ m$.
સૌથી નીચેના બિંદુ અને $\theta$ ખૂણે રહેલા બિંદુ વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણનો નિયમ વાપરતા:
$\frac{1}{2} m v_{max}^{2} = \frac{1}{2} m v^{2} + mgh$
$v^{2} = v_{max}^{2} - 2gh$
$v^{2} = (4)^{2} - 2 \times 10 \times 0.2$
$v^{2} = 16 - 4 = 12$
$v = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3} \ m/s$.

(C) આપેલ છે,$y_{1} = 2 \sin (10 t + \theta)$.
વેગ $V_{1} = \frac{dy_{1}}{dt} = 2 \times 10 \cos (10 t + \theta) = 20 \cos (10 t + \theta)$.
આપેલ છે,$y_{2} = 3 \cos 10 t = 3 \sin (10 t + \frac{\pi}{2})$.
વેગ $V_{2} = \frac{dy_{2}}{dt} = 3 \times 10 \cos (10 t + \frac{\pi}{2}) = 30 \cos (10 t + \frac{\pi}{2})$.
$V_{1}$ ની કળા $\phi_{1} = 10 t + \theta$ છે.
$V_{2}$ ની કળા $\phi_{2} = 10 t + \frac{\pi}{2}$ છે.
કળા તફાવત $\Delta \phi = \phi_{1} - \phi_{2} = (10 t + \theta) - (10 t + \frac{\pi}{2}) = \theta - \frac{\pi}{2}$.

(B) $S.H.M.$ માં સ્થાનાંતર $x$ પર કણનો વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x = \frac{2A}{3}$ પર,વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - (\frac{2A}{3})^2} = \omega \sqrt{A^2 - \frac{4A^2}{9}} = \omega \sqrt{\frac{5A^2}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \omega A$ છે.
જ્યારે ઝડપ ત્રણ ગણી કરવામાં આવે,ત્યારે નવો વેગ $v' = 3v = 3 \times \frac{\sqrt{5}}{3} \omega A = \sqrt{5} \omega A$ થાય.
$S.H.M.$ ની કુલ ઉર્જા કોઈપણ બિંદુએ અચળ રહે છે,તેથી $E' = K' + U$.
નવી કુલ ઉર્જા $E' = \frac{1}{2} m \omega^2 A'^2$ છે.
$x = \frac{2A}{3}$ પર સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 (\frac{2A}{3})^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 \frac{4A^2}{9}$ છે.
નવી ગતિ ઉર્જા $K' = \frac{1}{2} m v'^2 = \frac{1}{2} m (\sqrt{5} \omega A)^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 (5A^2)$ છે.
કુલ ઉર્જાને સરખાવતા: $\frac{1}{2} m \omega^2 A'^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 (\frac{4A^2}{9}) + \frac{1}{2} m \omega^2 (5A^2)$.
$A'^2 = \frac{4A^2}{9} + 5A^2 = A^2 (\frac{4+45}{9}) = \frac{49A^2}{9}$.
વર્ગમૂળ લેતા,$A' = \frac{7A}{3}$ મળે છે.

(A) $S.H.M.$ કરતા કણ માટે,સમય $t$ ના વિધેય તરીકે સ્થાનાંતર $x$ એ $x = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
$S.H.M.$ માટે હૂકના નિયમ મુજબ,પુનઃસ્થાપક બળ $F$ એ $F = -kx$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે.
$x$ માટેનું સમીકરણ મૂકતા,આપણને $F = -k(A \sin(\omega t)) = -kA \sin(\omega t)$ મળે છે.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે બળ $F$ એ સ્થાનાંતર $x$ ના ઋણ મૂલ્યના સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી,બળ-સમયનો આલેખ એ સ્થાનાંતર-સમયના આલેખનું ઉલટું સ્વરૂપ હશે. જો સ્થાનાંતરનો આલેખ ઉગમબિંદુથી શરૂ થઈને ધન દિશામાં જાય,તો બળનો આલેખ ઉગમબિંદુથી શરૂ થઈને ઋણ દિશામાં જવો જોઈએ.

(D) $S.H.M.$ માં કણની કુલ ઉર્જા $E = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોઈપણ સ્થાનાંતર $x$ પર,સ્થિતિ ઉર્જા $U = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2$ છે.
ગતિ ઉર્જા $K = E - U = \frac{1}{2} m \omega^2 (A^2 - x^2)$ છે.
આપેલ છે કે $K = \frac{3E}{4}$,તેથી સ્થિતિ ઉર્જા $U = E - \frac{3E}{4} = \frac{E}{4}$ થાય.
$U$ અને $E$ ના સમીકરણો મૂકતા:
$\frac{1}{2} m \omega^2 x^2 = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} m \omega^2 A^2)$.
સાદુરૂપ આપતા,$x^2 = \frac{A^2}{4}$ મળે છે.
વર્ગમૂળ લેતા,$x = \frac{A}{2}$ મળે છે.

(A) $S.H.M.$ માં કણનો વેગ $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$.
આપેલ છે: $m = 10 \ kg$,$k = 10 \ N/m$,$A = 0.5 \ m$,અને $v = 40 \ cm/s = 0.4 \ m/s$.
પ્રથમ,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{10}{10}} = 1 \ rad/s$ ગણો.
હવે,કિંમતોને વેગના સમીકરણમાં મૂકો: $0.4 = 1 \cdot \sqrt{(0.5)^2 - x^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $0.16 = 0.25 - x^2$.
$x^2$ માટે ગોઠવતા: $x^2 = 0.25 - 0.16 = 0.09$.
વર્ગમૂળ લેતા: $x = 0.3 \ m$.

(A) જ્યારે સ્પ્રિંગ સાથે $m_{1}$ દળ જોડાયેલું હોય,ત્યારે $S.H.M.$ ની કુલ ઉર્જા $E = \frac{1}{2} k A_{1}^{2}$ છે.
મધ્યમાન સ્થાન પર,$m_{1}$ દળનો વેગ $v_{1}$ મહત્તમ હોય છે,જે $v_{1} = \omega_{1} A_{1} = \sqrt{\frac{k}{m_{1}}} A_{1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે મધ્યમાન સ્થાન પર $m_{1}$ પર $m_{2}$ દળ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તંત્રનું વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે કારણ કે કોઈ બાહ્ય આડું બળ લાગતું નથી.
પ્રારંભિક વેગમાન $p_{i} = m_{1} v_{1}$.
અંતિમ વેગમાન $p_{f} = (m_{1} + m_{2}) v_{2}$,જ્યાં $v_{2}$ એ મધ્યમાન સ્થાન પરનો નવો વેગ છે.
$p_{i} = p_{f}$ હોવાથી,$m_{1} v_{1} = (m_{1} + m_{2}) v_{2}$.
$v_{2} = \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} v_{1}$.
નવી કોણીય આવૃત્તિ $\omega_{2} = \sqrt{\frac{k}{m_{1} + m_{2}}}$ છે.
$v_{2} = \omega_{2} A_{2}$ હોવાથી,$A_{2} = \frac{v_{2}}{\omega_{2}} = \frac{m_{1} v_{1}}{(m_{1} + m_{2})} \sqrt{\frac{m_{1} + m_{2}}{k}}$.
$v_{1} = \sqrt{\frac{k}{m_{1}}} A_{1}$ મૂકતા,આપણને $A_{2} = \frac{m_{1}}{(m_{1} + m_{2})} \sqrt{\frac{k}{m_{1}}} A_{1} \sqrt{\frac{m_{1} + m_{2}}{k}} = A_{1} \sqrt{\frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}}}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{A_{2}}{A_{1}} = \left[\frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}}\right]^{1/2}$.

(D) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $Y = A \sin 2 \pi (n t - \frac{x}{\lambda})$ છે.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $Y = A \sin (\omega t - kx)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega = 2 \pi n$ અને $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$ મળે છે.
કણનો મહત્તમ વેગ $v_{p, \text{max}} = A \omega = A (2 \pi n)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તરંગનો વેગ $v_w = \frac{\omega}{k} = \frac{2 \pi n}{2 \pi / \lambda} = n \lambda$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$v_{p, \text{max}} = 4 v_w$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $A (2 \pi n) = 4 (n \lambda)$ મળે છે.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા,$2 \pi A n = 4 n \lambda$.
બંને બાજુ $2n$ વડે ભાગતા,આપણને $\lambda = \pi A$ મળે છે.

(A) મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ થતી સરળ આવર્ત ગતિ માટે સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $y = A \sin(\omega t)$ છે.
આપેલ છે કે,આવર્તકાળ $T = 3 \ s$,તેથી કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{3} \ rad/s$.
આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે સ્થાનાંતર $y = \frac{A}{2}$ હોય.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{A}{2} = A \sin\left(\frac{2\pi}{3} t\right)$.
$\frac{1}{2} = \sin\left(\frac{2\pi}{3} t\right)$.
કારણ કે $\sin 30^{\circ} = 0.5$,તેથી $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{2\pi}{3} t\right)$.
ખૂણાઓને સરખાવતા: $\frac{\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} t$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = \frac{\pi}{6} \times \frac{3}{2\pi} = \frac{3}{12} = 0.25 \ s = \frac{1}{4} \ s$.

(B) ડેમ્પિંગ ફોર્સ $F$ એ સંબંધ $F = -bv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $b$ એ પ્રમાણસરતાનો અચળાંક (ડેમ્પિંગ કોન્સ્ટન્ટ) છે અને $v$ એ વેગ છે.
$b$ નો એકમ શોધવા માટે,આપણે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવીએ છીએ: $b = \frac{F}{v}$.
બળ $F$ નો $SI$ એકમ ન્યૂટન $(N)$ છે,જે $kg \cdot m \cdot s^{-2}$ ની સમકક્ષ છે.
વેગ $v$ નો $SI$ એકમ $m \cdot s^{-1}$ છે.
આ એકમોને $b$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$b = \frac{kg \cdot m \cdot s^{-2}}{m \cdot s^{-1}} = kg \cdot s^{-1}$.
તેથી,પ્રમાણસરતાના અચળાંકનો એકમ $kg \cdot s^{-1}$ છે.

(A) સિક્કો પ્લેટ પર સ્થિર છે અને તેની સાથે ગતિ કરે છે. $S.H.M.$ માં પ્લેટનો પ્રવેગ $a = \omega^{2} x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $x$ એ સરેરાશ સ્થાનથી સ્થાનાંતર છે.
જ્યારે પ્લેટ નીચેની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે તેનો પ્રવેગ ઉપરની તરફ હોય છે. જ્યારે પ્લેટ ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે તેનો પ્રવેગ નીચેની તરફ હોય છે.
જ્યારે પ્લેટનો નીચેની તરફનો પ્રવેગ ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ કરતા વધી જાય ત્યારે સિક્કો પ્લેટ સાથેનો સંપર્ક ગુમાવે છે.
દોલનના સૌથી ઉપરના બિંદુએ,નીચેની તરફનો પ્રવેગ મહત્તમ હોય છે,જે $a_{max} = \omega^{2} A$ દ્વારા મળે છે.
સિક્કો સંપર્ક ગુમાવે તે માટેની શરત $a_{max} \geq g$ છે.
તેથી,ન્યૂનતમ કંપવિસ્તાર જેના પર સંપર્ક ગુમાવાય છે તે $A = \frac{g}{\omega^{2}}$ છે.

(D) દોલનનો વિસ્તાર $L$ એ બે અંતિમ સ્થાનો વચ્ચેનું કુલ અંતર છે,જે $2A$ જેટલું થાય છે,જ્યાં $A$ એ દોલનનો કંપવિસ્તાર છે.
તેથી,$A = \frac{L}{2}$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ એ $\omega = 2 \pi f$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$S.H.M.$ માં કણનો પ્રવેગ $a = -\omega^{2} x$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
દોલનના સૌથી ઉપરના બિંદુએ (અંતિમ સ્થાન),સ્થાનાંતર $x = A = \frac{L}{2}$ થાય છે.
કિંમતો મૂકતા,પ્રવેગનું મૂલ્ય $|a| = \omega^{2} A = (2 \pi f)^{2} \times \frac{L}{2}$ મળે છે.
$|a| = 4 \pi^{2} f^{2} \times \frac{L}{2} = 2 \pi^{2} f^{2} L$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) ધારો કે $a$ એ $S$.$H$.$M$. નો કંપવિસ્તાર છે.
આપેલ છે કે કણ અંતિમ સ્થાનથી $\frac{a}{3}$ અંતરે છે,તેથી મધ્યમાન સ્થાનથી તેનું સ્થાનાંતર $x = a - \frac{a}{3} = \frac{2a}{3}$ થાય.
પ્રવેગનું મૂલ્ય $a_p = \omega^2 x = \omega^2 \left( \frac{2a}{3} \right)$ છે.
વેગનું મૂલ્ય $v_p = \omega \sqrt{a^2 - x^2} = \omega \sqrt{a^2 - \left( \frac{2a}{3} \right)^2} = \omega \sqrt{a^2 - \frac{4a^2}{9}} = \omega \sqrt{\frac{5a^2}{9}} = \frac{\omega a \sqrt{5}}{3}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$v_p = \frac{1}{3} a_p$.
$v_p$ અને $a_p$ ના મૂલ્યો મૂકતા:
$\frac{\omega a \sqrt{5}}{3} = \frac{1}{3} \left( \omega^2 \frac{2a}{3} \right)$.
$\frac{\omega a \sqrt{5}}{3} = \frac{2 \omega^2 a}{9}$.
બંને બાજુ $\omega a$ વડે ભાગતા:
$\frac{\sqrt{5}}{3} = \frac{2 \omega}{9}$.
$\omega = \frac{9 \sqrt{5}}{3 \times 2} = \frac{3 \sqrt{5}}{2}$.
આવર્તકાળ $T = \frac{2 \pi}{\omega}$ હોવાથી:
$T = \frac{2 \pi}{\frac{3 \sqrt{5}}{2}} = \frac{4 \pi}{3 \sqrt{5}} \text{ s}$.

(D) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનો $x$ સ્થાનાંતરે વેગ $v$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v = \omega \sqrt{A^2 - x^2}$.
અહીં આપેલ છે કે કણ મધ્યમાન સ્થાન $(x = 0)$ અને અંતિમ સ્થાન $(x = A)$ ની વચ્ચે અડધે રસ્તે છે,તેથી સ્થાનાંતર $x = \frac{A}{2}$ થશે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ અને આવર્તકાળ $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = \frac{2 \pi}{T}$ છે.
આ કિંમતોને વેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$v = \frac{2 \pi}{T} \sqrt{A^2 - (\frac{A}{2})^2}$
$v = \frac{2 \pi}{T} \sqrt{A^2 - \frac{A^2}{4}}$
$v = \frac{2 \pi}{T} \sqrt{\frac{3 A^2}{4}}$
$v = \frac{2 \pi}{T} \times \frac{\sqrt{3} A}{2}$
$v = \frac{\sqrt{3} \pi A}{T}$

(D) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે દળમાં $m$ જેટલો વધારો થાય છે,ત્યારે નવો આવર્તકાળ $T' = \frac{5T}{3}$ થાય છે.
તેથી,$\frac{5T}{3} = 2\pi \sqrt{\frac{M+m}{k}}$.
સમીકરણમાં $T = 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}}$ મૂકતા:
$\frac{5}{3} \times 2\pi \sqrt{\frac{M}{k}} = 2\pi \sqrt{\frac{M+m}{k}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{25}{9} \times \frac{M}{k} = \frac{M+m}{k}$.
$\frac{25}{9}M = M + m$.
$M$ વડે ભાગતા:
$\frac{25}{9} = 1 + \frac{m}{M}$.
$\frac{m}{M} = \frac{25}{9} - 1 = \frac{16}{9}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{M}{m} = \frac{9}{16}$ થાય.

(C) સરળ લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વી પર સેકન્ડ લોલક માટે,$T = 2 \text{ s}$ છે.
ગ્રહ પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = \frac{GM'}{R'^2}$ છે.
આપેલ છે કે $M' = 3M$ અને $R' = 3R$,તેથી:
$\frac{g'}{g} = \frac{M'}{M} \cdot \frac{R^2}{R'^2} = 3 \cdot \frac{1}{3^2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
ગ્રહ પર આવર્તકાળ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g'}}$ છે.
તેથી,$\frac{T'}{T} = \sqrt{\frac{g}{g'}} = \sqrt{3}$.
$T' = T \cdot \sqrt{3} = 2 \sqrt{3} \text{ સેકન્ડ}$.

(A) સરળ લોલકની આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર,$n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}}$.
સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ,ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ નું મૂલ્ય $g' = g(1 - \frac{d}{R})$ છે.
અહીં $d = \frac{R}{2}$ આપેલ હોવાથી,$g' = g(1 - \frac{R/2}{R}) = g(1 - \frac{1}{2}) = \frac{g}{2}$.
ઊંડાઈ $d$ પર નવી આવૃત્તિ $n' = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g'}{l}}$ થાય.
$g' = \frac{g}{2}$ મૂકતા,$n' = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g/2}{l}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}} \right)$.
તેથી,$n' = \frac{n}{\sqrt{2}}$.

(A) જ્યારે $m$ દળને તાર પર લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે તાર સ્પ્રિંગ અચળાંક $k$ ધરાવતી સ્પ્રિંગ તરીકે વર્તે છે.
હૂકના નિયમ મુજબ,$x$ જેટલા વિસ્તરણ માટે તારમાં ઉદ્ભવતું તણાવ બળ $T = \frac{YA}{L} x$ છે.
આને સ્પ્રિંગ બળના સમીકરણ $F = kx$ સાથે સરખાવતા,આપણને અસરકારક સ્પ્રિંગ અચળાંક $k = \frac{YA}{L}$ મળે છે.
દળ-સ્પ્રિંગ તંત્ર માટે દોલન આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$k$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{YA}{mL}}$ મળે છે.

(A) સાદા લોલકની આવૃત્તિ $f$ નું સૂત્ર $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{\ell}}$ છે.
આના પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $f \propto \frac{1}{\sqrt{\ell}}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{f_1}{f_2} = \sqrt{\frac{\ell_2}{\ell_1}}$.
આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $\frac{f_1}{f_2} = \frac{3}{4}$ આપેલ છે,તેથી આપણે તેને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$\frac{3}{4} = \sqrt{\frac{\ell_2}{\ell_1}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\frac{9}{16} = \frac{\ell_2}{\ell_1}$ મળે છે.
તેથી,તેમની લંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\ell_1}{\ell_2} = \frac{16}{9}$ થાય.

(B) રેખીય $S.H.M.$ માટેનું પ્રમાણિત સમીકરણ $x = A \sin(\omega t + \phi)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $x = 0.25 \sin(11t + 0.5)$ ને પ્રમાણિત સમીકરણ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 11 \ rad/s$ મળે છે.
$S.H.M.$ નો આવર્તકાળ $T$ એ કોણીય આવૃત્તિ સાથે $T = \frac{2\pi}{\omega}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
આપેલ કિંમતો $\pi = \frac{22}{7}$ અને $\omega = 11$ મૂકતા:
$T = \frac{2 \times (22/7)}{11} = \frac{2 \times 22}{11 \times 7} = \frac{44}{77} = \frac{4}{7} \ s$.
આમ,$S.H.M.$ નો આવર્તકાળ $\frac{4}{7} \ s$ છે.

(B) સંતુલન સ્થિતિમાં,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ સ્પ્રિંગના પુનઃસ્થાપક બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે: $mg = kx$.
આના પરથી,સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક $k = \frac{mg}{x}$ મળે છે.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રની કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$ છે.
સંતુલન સ્થિતિમાંથી $k$ ની કિંમત મૂકતા: $T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{(mg/x)}} = 2\pi\sqrt{\frac{mx}{mg}}$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $T = 2\pi\sqrt{\frac{x}{g}}$ મળે છે.

(D) સરળ આવર્ત તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = A \sin(\omega t - kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = 5 \sin \frac{\pi}{2}(100t - x)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા:
$y = 5 \sin(50\pi t - \frac{\pi}{2}x)$.
અહીં,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 50\pi \ rad/s$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે આવર્તકાળ $T$ એ કોણીય આવૃત્તિ સાથે $T = \frac{2\pi}{\omega}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા:
$T = \frac{2\pi}{50\pi} = \frac{1}{25} \ s$.
$T = 0.04 \ s$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) સ્થિર લિફ્ટમાં સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}} = \sqrt{3} \ s$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે લિફ્ટ $a = \frac{g}{3}$ ના પ્રવેગ સાથે ઉપર તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g_{eff} = g + a = g + \frac{g}{3} = \frac{4g}{3}$ થાય છે.
નવો આવર્તકાળ $T^{\prime} = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g_{eff}}} = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{4g/3}}$ દ્વારા મળે છે.
$T^{\prime}$ ને $T$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{T^{\prime}}{T} = \sqrt{\frac{g}{4g/3}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે છે.
$T = \sqrt{3} \ s$ ની કિંમત મૂકતા,$T^{\prime} = \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2} = 1.5 \ s$ મળે છે.

(A) ભ્રમણ કરતી વસ્તુનું કોણીય વેગમાન $L = I\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}I\omega^2$ છે.
આપણે $L$ ને $K$ અને $\omega$ ના સ્વરૂપમાં $L = \frac{2K}{\omega}$ તરીકે લખી શકીએ.
આપેલ છે કે આવૃત્તિ $f$ બમણી થાય છે,તેથી કોણીય વેગ $\omega = 2\pi f$ પણ બમણો થાય છે. ધારો કે પ્રારંભિક સ્થિતિ $(L_1, K_1, \omega_1)$ છે અને અંતિમ સ્થિતિ $(L_2, K_2, \omega_2)$ છે.
આપણને $K_2 = \frac{K_1}{2}$ અને $\omega_2 = 2\omega_1$ આપેલ છે.
સંબંધ $\frac{L_2}{L_1} = \frac{K_2}{K_1} \times \frac{\omega_1}{\omega_2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{L_2}{L} = \frac{K_1/2}{K_1} \times \frac{\omega_1}{2\omega_1} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
તેથી,$L_2 = \frac{L}{4}$.

(C) વર્તુળાકાર ગતિમાં રહેલા કણનું કોણીય વેગમાન $L = mvr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ પૃથ્વીનું દળ છે,$v$ તેનો કક્ષીય વેગ છે અને $r$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
સૂર્યની આસપાસ ફરતા ગ્રહ માટે,કેન્દ્રગામી બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે:
$\frac{mv^2}{R} = \frac{GMm}{R^2}$
$v$ માટે ઉકેલતા,આપણને $v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ મળે છે.
આ કિંમતને કોણીય વેગમાનના સમીકરણમાં મૂકતા:
$L = m \times \sqrt{\frac{GM}{R}} \times R$
$L = m \sqrt{GM} \times \frac{R}{\sqrt{R}}$
$L = m \sqrt{GM} \times \sqrt{R}$
અહીં $m$,$G$ અને $M$ અચળાંકો હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $L \propto \sqrt{R}$.

(C) ઉપગ્રહની ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2}mv^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,આપણે વેગ $v$ ને $v = \sqrt{\frac{2E}{m}}$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
$r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરતા કણનું કોણીય વેગમાન $L$ એ $L = mvr$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$L$ ના સૂત્રમાં $v$ ની કિંમત મૂકતા:
$L = m \cdot \sqrt{\frac{2E}{m}} \cdot r$
$L = \sqrt{m^{2} \cdot \frac{2E}{m} \cdot r^{2}}$
$L = \sqrt{2mEr^{2}}$
$L = (2mEr^{2})^{\frac{1}{2}}$.

(A) ટોર્ક $(\tau)$ અને કોણીય વેગમાનમાં થતા ફેરફાર $(\Delta L)$ વચ્ચેનો સંબંધ કોણીય આઘાત-વેગમાન પ્રમેય દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta L = \int \tau dt$.
અહીં ટોર્ક અચળ હોવાથી, કોણીય વેગમાનમાં થતો ફેરફાર એ ટોર્ક અને સમયનો ગુણાકાર છે: $\Delta L = \tau \times \Delta t$.
આપેલ છે:
ટોર્ક $(\tau)$ = $200 \, N-m$
સમય $(\Delta t)$ = $4 \, s$
ગણતરી:
$\Delta L = 200 \, N-m \times 4 \, s = 800 \, kg-m^{2}/s$.
તેથી, કોણીય વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $800 \, kg-m^{2}/s$ છે.

(D) ચાકગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે અને કોણીય વેગમાન $L = I \omega$ છે.
આપેલ છે કે કોણીય આવૃત્તિ બમણી થાય છે,$\omega' = 2\omega$.
નવી ચાકગતિ ઉર્જા $K' = \frac{K}{2}$ છે.
સમીકરણો મૂકતા: $\frac{1}{2} I' \omega'^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} I \omega^2)$.
$\frac{1}{2} I' (2\omega)^2 = \frac{1}{4} I \omega^2$.
$2 I' \omega^2 = \frac{1}{4} I \omega^2 \implies I' = \frac{I}{8}$.
નવું કોણીય વેગમાન $L' = I' \omega' = (\frac{I}{8}) (2\omega) = \frac{I \omega}{4} = \frac{L}{4}$.

(B) $r$ અંતરે પૃથ્વીની આસપાસ ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોણીય વેગમાન $L$ ને $L = mvr$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$L$ ના સમીકરણમાં $v$ ની કિંમત મૂકતા:
$L = m \left(\sqrt{\frac{GM}{r}}\right) r$
$L = m \sqrt{GM} \cdot \sqrt{r}$
$L = m \sqrt{GMr}$
$L = m(GMr)^{1/2}$.

(A) તકતીના બાકી રહેલા ભાગની જડત્વની ચાકમાત્રા $(I_r)$ સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત દ્વારા નીચે મુજબ મળે છે:
$I_r = I_{\text{disc}} - I_{\text{hole}}$
જ્યાં $I_{\text{disc}}$ એ મૂળ તકતીની કેન્દ્રિય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે,અને $I_{\text{hole}}$ એ દૂર કરેલા વર્તુળાકાર ભાગની તે જ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
$1$. મૂળ તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_{\text{disc}} = \frac{1}{2} MR^2$
$2$. દૂર કરેલા કાણાના ગુણધર્મો:
કાણાની ત્રિજ્યા $r = \frac{R}{2}$.
પૃષ્ઠ દળ ઘનતા $\sigma = \frac{M}{\pi R^2}$ સમાન હોવાથી,કાણાનું દળ $M_h$:
$M_h = \sigma \cdot \pi r^2 = \left(\frac{M}{\pi R^2}\right) \cdot \pi \left(\frac{R}{2}\right)^2 = \frac{M}{4}$.
$3$. મૂળ તકતીની કેન્દ્રિય અક્ષને અનુલક્ષીને કાણાની જડત્વની ચાકમાત્રા:
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I_{\text{hole}} = I_{\text{cm}} + M_h d^2$,જ્યાં $I_{\text{cm}} = \frac{1}{2} M_h r^2$ અને $d = \frac{R}{2}$ એ કાણાના કેન્દ્ર અને મૂળ તકતીના કેન્દ્ર વચ્ચેનું અંતર છે.
$I_{\text{hole}} = \frac{1}{2} \left(\frac{M}{4}\right) \left(\frac{R}{2}\right)^2 + \left(\frac{M}{4}\right) \left(\frac{R}{2}\right)^2$
$I_{\text{hole}} = \frac{MR^2}{32} + \frac{MR^2}{16} = \frac{MR^2 + 2MR^2}{32} = \frac{3MR^2}{32}$.
$4$. બાકી રહેલા ભાગની જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_r = \frac{1}{2} MR^2 - \frac{3MR^2}{32} = \frac{16MR^2 - 3MR^2}{32} = \frac{13MR^2}{32}$.

(A) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = MR^2$ છે.
એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\lambda$ આપેલ છે. પ્રથમ રીંગનું દળ $M_1 = \lambda(2\pi R)$ અને તેની ત્રિજ્યા $R_1 = R$ છે.
તેથી,$I_1 = M_1 R_1^2 = (2\pi R \lambda) R^2 = 2\pi \lambda R^3$.
બીજી રીંગનું દળ $M_2 = \lambda(2\pi nR)$ અને તેની ત્રિજ્યા $R_2 = nR$ છે.
તેથી,$I_2 = M_2 R_2^2 = (2\pi nR \lambda) (nR)^2 = 2\pi \lambda n^3 R^3$.
ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{1}{8}$ આપેલ છે.
પદો મૂકતા: $\frac{2\pi \lambda R^3}{2\pi \lambda n^3 R^3} = \frac{1}{n^3} = \frac{1}{8}$.
તેથી,$n^3 = 8$,જેનું સાદુંરૂપ આપતા $n = 2$ મળે છે.

(A) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}MR^2$ છે.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી,મોટા ગોળાનું કદ $27$ નાના ગોળાઓના કદના સરવાળા જેટલું થાય: $\frac{4}{3}\pi R^3 = 27 \times \frac{4}{3}\pi r^3$,જ્યાં $r$ એ દરેક નાના ગોળાની ત્રિજ્યા છે.
આથી $R^3 = 27r^3$,એટલે કે $R = 3r$ અથવા $r = R/3$.
ઘનતા સમાન હોવાથી દરેક નાના ગોળાનું દળ $m = M/27$ થશે.
દરેક નાના ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = \frac{2}{5}mr^2$ છે.
$m = M/27$ અને $r = R/3$ મૂકતા:
$I' = \frac{2}{5} \times (M/27) \times (R/3)^2 = \frac{2}{5} \times \frac{M}{27} \times \frac{R^2}{9} = \frac{2}{5}MR^2 \times \frac{1}{243} = \frac{I}{243}$.

(A) ધારો કે રીંગ અને ડિસ્ક બંનેનું દળ $M$ અને ત્રિજ્યા $R$ છે.
રીંગ માટે,તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $\frac{1}{2}MR^2$ છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,તેના સમતલમાં રહેલી સ્પર્શકને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{diameter} + MR^2 = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$ થાય.
ડિસ્ક માટે,તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = \frac{1}{4}MR^2$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{I}{I'} = \frac{\frac{3}{2}MR^2}{\frac{1}{4}MR^2} = \frac{3}{2} \times 4 = 6$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $6: 1$ છે.

(A) મૂળ તકતીનું દળ $M_{total} = 9M$ અને તેની ત્રિજ્યા $R$ છે. તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને સંપૂર્ણ તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{1} = \frac{1}{2} M_{total} R^{2} = \frac{1}{2} (9M) R^{2} = \frac{9 MR^{2}}{2}$ છે.
દળ એ ક્ષેત્રફળના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,દૂર કરેલી તકતીનું દળ $m = M_{total} \times \frac{\pi (R/3)^{2}}{\pi R^{2}} = 9M \times \frac{1}{9} = M$ મળે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને દૂર કરેલી તકતીની તે જ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I^{\prime} = I_{cm} + m d^{2}$ થાય,જ્યાં $I_{cm} = \frac{1}{2} m (R/3)^{2}$ અને $d = \frac{2R}{3}$ છે.
$I^{\prime} = \frac{1}{2} M (R/3)^{2} + M (2R/3)^{2} = \frac{MR^{2}}{18} + \frac{4MR^{2}}{9} = \frac{MR^{2} + 8MR^{2}}{18} = \frac{9MR^{2}}{18} = \frac{MR^{2}}{2}$.
બાકી રહેલી તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{remaining} = I_{1} - I^{\prime} = \frac{9 MR^{2}}{2} - \frac{MR^{2}}{2} = \frac{8 MR^{2}}{2} = 4 MR^{2}$ થાય.

(A) $M$ દળ અને $L$ લંબાઈ ધરાવતા પાતળા સમાન સળિયાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{ML^2}{12}$ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$I_1 = MK_1^2$,જ્યાં $K_1$ એ ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા છે.
તેથી,$MK_1^2 = \frac{ML^2}{12} \implies K_1 = \frac{L}{\sqrt{12}} = \frac{L}{2\sqrt{3}}$.
એક છેડામાંથી પસાર થતી અને લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{ML^2}{3}$ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$I_2 = MK_2^2$,જ્યાં $K_2$ એ ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા છે.
તેથી,$MK_2^2 = \frac{ML^2}{3} \implies K_2 = \frac{L}{\sqrt{3}}$.
પ્રથમ કિસ્સામાં અને બીજા કિસ્સામાં ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{K_1}{K_2} = \frac{L / (2\sqrt{3})}{L / \sqrt{3}} = \frac{1}{2}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $1:2$ છે.

(A) ધારો કે સળિયાનું દળ $M$ છે અને તેની લંબાઈ $L$ છે. સળિયાના એક છેડામાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{ML^2}{3}$ છે.
જ્યારે સળિયાને $r$ ત્રિજ્યાની રીંગમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે રીંગનો પરિઘ સળિયાની લંબાઈ જેટલો થાય છે: $2\pi r = L$,જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{L}{2\pi}$.
રીંગની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{1} = \frac{Mr^2}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ની કિંમત મૂકતા: $I_{1} = \frac{M}{2} \left( \frac{L}{2\pi} \right)^2 = \frac{M}{2} \cdot \frac{L^2}{4\pi^2} = \frac{ML^2}{8\pi^2}$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{I}{I_{1}}$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{I}{I_{1}} = \frac{ML^2/3}{ML^2/8\pi^2} = \frac{ML^2}{3} \cdot \frac{8\pi^2}{ML^2} = \frac{8\pi^2}{3}$.

(C) નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5}MR^2$ છે.
જ્યારે ગોળાને $M$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યાની તકતીમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેની કિનારીમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ: $I_{edge} = I_{cm} + Mr^2 = \frac{1}{2}Mr^2 + Mr^2 = \frac{3}{2}Mr^2$ થાય છે.
જડત્વની ચાકમાત્રા સમાન રહેતી હોવાથી,આપણે બંને સમીકરણોને સરખાવીએ:
$\frac{3}{2}Mr^2 = \frac{2}{5}MR^2$.
બંને બાજુ $M$ વડે ભાગતા અને $r$ માટે ઉકેલતા:
$r^2 = \frac{2}{5} \times \frac{2}{3} R^2 = \frac{4}{15} R^2$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$r = \frac{2R}{\sqrt{15}}$.

(A) સળિયાને મધ્યબિંદુ $O$ આગળ બે ભાગમાં વાળવામાં આવે છે,જેમાંથી દરેકની લંબાઈ $l = \frac{L}{2}$ અને દળ $m = \frac{M}{2}$ છે.
દરેક ભાગ $l$ લંબાઈના સળિયા તરીકે વર્તે છે જે તેના એક છેડાને અનુલક્ષીને ફરે છે.
$m$ દળ અને $l$ લંબાઈ ધરાવતા સમાન સળિયાની તેના એક છેડામાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{ml^2}{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દરેક ભાગ માટે,$m = \frac{M}{2}$ અને $l = \frac{L}{2}$ છે.
તેથી,બિંદુ $O$ ને અનુલક્ષીને એક ભાગની જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_1 = \frac{(\frac{M}{2})(\frac{L}{2})^2}{3} = \frac{(\frac{M}{2})(\frac{L^2}{4})}{3} = \frac{ML^2}{24}$.
તંત્ર આવા બે ભાગોનું બનેલું હોવાથી,$O$ માંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I$:
$I = I_1 + I_1 = 2 \times \frac{ML^2}{24} = \frac{ML^2}{12}$.

(A) ધારો કે બે રીંગ $Ring_1$ અને $Ring_2$ છે.
$Ring_1$ માટે,તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષ એ તેની કેન્દ્રીય અક્ષ છે. તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = MR^2$ છે.
$Ring_2$ માટે,સામાન્ય કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને $Ring_1$ ને લંબ અક્ષ એ $Ring_2$ ના સમતલમાં આવેલી છે. આ અક્ષ $Ring_2$ નો વ્યાસ છે. તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{MR^2}{2}$ છે.
આ અક્ષને અનુલક્ષીને તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + I_2 = MR^2 + \frac{MR^2}{2} = \frac{3 MR^2}{2}$ થશે.

(A) સળિયો તેના છેડામાંથી પસાર થતી આડી ધરી પર દોલન કરે છે. ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સૌથી નીચલા બિંદુએ મહત્તમ ચાકગતિ ઉર્જા એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર દ્વારા સૌથી ઊંચા બિંદુએ મેળવેલી મહત્તમ ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
$1$. ચાકગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2} I \omega^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$2$. $M$ દળ અને $L$ લંબાઈના સળિયા માટે તેના છેડામાંથી પસાર થતી ધરીને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{ML^{2}}{3}$ છે.
$3$. દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર દ્વારા મેળવેલી સ્થિતિ ઉર્જા $U = Mgh$ છે,જ્યાં $h$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર દ્વારા પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંચાઈ છે.
$4$. ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાને સરખાવતા: $Mgh = \frac{1}{2} I \omega^{2}$.
$5$. $I$ ની કિંમત મૂકતા: $Mgh = \frac{1}{2} \left( \frac{ML^{2}}{3} \right) \omega^{2}$.
$6$. સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $Mgh = \frac{ML^{2} \omega^{2}}{6}$.
$7$. $h$ માટે ઉકેલતા: $h = \frac{L^{2} \omega^{2}}{6g}$.

(C) એક છેડાથી $\frac{L}{3}$ અંતરે આવેલા બિંદુમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા શોધવા માટે,આપણે સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $I = I_{cm} + Mh^2$.
અહીં,$I_{cm}$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે,જે $\frac{ML^2}{12}$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર (છેડાથી $\frac{L}{2}$ અંતરે) અને આપેલી અક્ષ (છેડાથી $\frac{L}{3}$ અંતરે) વચ્ચેનું અંતર $h = |\frac{L}{2} - \frac{L}{3}| = \frac{L}{6}$ છે.
આ કિંમતોને પ્રમેયમાં મૂકતા:
$I = \frac{ML^2}{12} + M(\frac{L}{6})^2$
$I = \frac{ML^2}{12} + \frac{ML^2}{36}$
$I = \frac{3ML^2 + ML^2}{36} = \frac{4ML^2}{36} = \frac{ML^2}{9}$.

(A) કોઈપણ પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = Mk^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા છે.
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગ માટે તેના સમતલને લંબ સ્પર્શક અક્ષને અનુલક્ષીને,સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ: $I_{\text{ring}} = I_{\text{cm}} + MR^2 = MR^2 + MR^2 = 2MR^2$.
તેથી,$Mk_{\text{ring}}^2 = 2MR^2 \implies k_{\text{ring}} = \sqrt{2}R$.
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ડિસ્ક માટે તેના સમતલને લંબ સ્પર્શક અક્ષને અનુલક્ષીને,સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ: $I_{\text{disc}} = I_{\text{cm}} + MR^2 = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$.
તેથી,$Mk_{\text{disc}}^2 = \frac{3}{2}MR^2 \implies k_{\text{disc}} = \sqrt{\frac{3}{2}}R$.
ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{k_{\text{ring}}}{k_{\text{disc}}} = \frac{\sqrt{2}R}{\sqrt{3/2}R} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}/\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ થાય.

(D) $M$ દળ અને $L$ લંબાઈના સળિયાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{ML^2}{12}$ છે.
જ્યારે સળિયાને $4$ સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગનું દળ $M' = \frac{M}{4}$ અને લંબાઈ $L' = \frac{L}{4}$ થાય છે.
દરેક નાના ભાગની તેના પોતાના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = \frac{M'(L')^2}{12}$ છે.
$M'$ અને $L'$ ની કિંમતો મૂકતા: $I' = \frac{(\frac{M}{4}) \cdot (\frac{L}{4})^2}{12} = \frac{M \cdot \frac{L^2}{16}}{4 \cdot 12} = \frac{ML^2}{12 \cdot 64}$.
કારણ કે $I = \frac{ML^2}{12}$,તેથી $I' = \frac{I}{64}$ મળે છે.

(A) સાયક્લોટ્રોન માટે રેઝોનન્સની શરત એ છે કે ઓસિલેટરની આવૃત્તિ '$v$' એ સાયક્લોટ્રોન આવૃત્તિ જેટલી હોવી જોઈએ: $v = \frac{eB}{2 \pi m}$.
આના પરથી,આપણે મેગ્નેટિક ફિલ્ડને $B = \frac{2 \pi m v}{e}$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
સાયક્લોટ્રોનમાં પ્રોટોનના પથની ત્રિજ્યા $R = \frac{mv_{p}}{eB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં '$v_{p}$' એ પ્રોટોનનો વેગ છે.
વેગ માટે ગોઠવતા: $v_{p} = \frac{eBR}{m}$.
'$B$' માટેનું પદ મૂકતા: $v_{p} = \frac{e}{m} \times \left( \frac{2 \pi m v}{e} \right) \times R = 2 \pi v R$.
પ્રોટોનની ગતિઊર્જા $(K.E.)$ $K.E. = \frac{1}{2} m v_{p}^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
'$v_{p}$' ની કિંમત મૂકતા: $K.E. = \frac{1}{2} m (2 \pi v R)^{2} = \frac{1}{2} m (4 \pi^{2} v^{2} R^{2}) = 2 m \pi^{2} v^{2} R^{2}$.

(D) પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $H = B_e \cos \delta$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $B_e$ એ પૃથ્વીનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે અને $\delta$ એ ડીપ કોણ છે.
સ્થળ $A$ પર,ડીપ કોણ $\delta_A = 30^{\circ}$ છે. તેથી,સમક્ષિતિજ ઘટક $H_A = B_e \cos 30^{\circ}$ થાય.
સ્થળ $B$ પર,ડીપ કોણ $\delta_B = 45^{\circ}$ છે. તેથી,સમક્ષિતિજ ઘટક $H_B = B_e \cos 45^{\circ}$ થાય.
$A$ પરના સમક્ષિતિજ ઘટકનો $B$ પરના ઘટક સાથેનો ગુણોત્તર:
$\frac{H_A}{H_B} = \frac{B_e \cos 30^{\circ}}{B_e \cos 45^{\circ}} = \frac{\cos 30^{\circ}}{\cos 45^{\circ}}$
કિંમતો મૂકતા: $\frac{H_A}{H_B} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{2} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$.
આમ,ગુણોત્તર $\sqrt{3}: \sqrt{2}$ છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = MB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે,$\theta_1 = 90^{\circ}$ પર $\tau_1 = 1.732 \times 10^{-5} \text{ Nm}$ છે.
તેથી,$\tau_1 = MB \sin 90^{\circ} = MB(1) = MB$.
આમ,$MB = 1.732 \times 10^{-5} \text{ Nm}$.
હવે,$\theta_2 = 60^{\circ}$ માટે,ટોર્ક $\tau_2$ નીચે મુજબ છે:
$\tau_2 = MB \sin 60^{\circ} = (1.732 \times 10^{-5}) \times \frac{\sqrt{3}}{2}$.
કારણ કે $\sqrt{3} = 1.732$,તેથી:
$\tau_2 = 1.732 \times 10^{-5} \times \frac{1.732}{2} = 1.732 \times 10^{-5} \times 0.866 = 1.4999 \times 10^{-5} \approx 1.5 \times 10^{-5} \text{ Nm}$.

(B) ક્યુરી-વેઈસના નિયમ મુજબ,ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થ માટે ક્યુરી તાપમાન $T_C$ ની ઉપર ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી $\chi$ નીચે મુજબના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\chi = \frac{C}{T - T_C}$,જ્યાં $C$ એ ક્યુરી અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
$T > T_C$ માટે,સસેપ્ટિબિલિટી એ નિરપેક્ષ તાપમાન અને ક્યુરી તાપમાનના તફાવતના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે. ઘણા સરળ સંદર્ભોમાં,એવું કહેવામાં આવે છે કે સસેપ્ટિબિલિટી નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં બદલાય છે કારણ કે પદાર્થ પેરામેગ્નેટિક તરીકે વર્તે છે.

(B) ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી $(\chi)$ એ માપ છે કે કોઈ પદાર્થ લાગુ કરેલા ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં કેટલું ચુંબકીય બને છે.
ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થો માટે, ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી $(\chi)$ નાની અને ઋણ $(-1 \le \chi < 0)$ હોય છે.
પેરામેગ્નેટિક પદાર્થો માટે, ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી $(\chi)$ નાની અને ધન $(\chi > 0)$ હોય છે.
ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થો માટે, ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી $(\chi)$ મોટી અને ધન $(\chi \gg 0)$ હોય છે.
તેથી, ઋણ ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી ધરાવતા પદાર્થો ડાયામેગ્નેટિક છે.

(A) ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થ ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા નબળી રીતે અપાકર્ષાય છે.
જ્યારે ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થનો પાતળો સળિયો સમાન બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે એક ટોર્ક અનુભવે છે જે સળિયાને લઘુત્તમ સ્થિતિ ઊર્જાની સ્થિતિમાં ગોઠવવાનું વલણ ધરાવે છે.
ડાયામેગ્નેટિક સળિયા માટે,જ્યારે સળિયો બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશાને લંબ હોય ત્યારે સ્થિતિ ઊર્જા લઘુત્તમ હોય છે.
તેથી,સળિયો તેની ચુંબકીય સ્થિતિ ઊર્જાને ઘટાડવા માટે ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ રૂપે ગોઠવાઈ જશે.

(B) સમઘનનું કદ $V = L^3 = (1 \mu m)^3 = (10^{-6} \ m)^3 = 10^{-18} \ m^3$ છે.
કુલ ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_{total}$ એ પરમાણુઓની સંખ્યા અને પ્રતિ પરમાણુ ડાયપોલ મોમેન્ટનો ગુણાકાર છે:
$M_{total} = (8 \times 10^{10}) \times (9 \times 10^{-24} \ A \cdot m^2) = 72 \times 10^{-14} \ A \cdot m^2 = 7.2 \times 10^{-13} \ A \cdot m^2$.
મેગ્નેટાઇઝેશન $I$ (અથવા $M$) એ એકમ કદ દીઠ ચુંબકીય મોમેન્ટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$I = \frac{M_{total}}{V} = \frac{7.2 \times 10^{-13} \ A \cdot m^2}{10^{-18} \ m^3} = 7.2 \times 10^5 \ A/m$.

(C) પદાર્થની મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $(\chi)$ એ માપ છે કે જ્યારે તેને બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે ત્યારે તે કેટલી સરળતાથી ચુંબકીય બની શકે છે.
પેરામેગ્નેટિક પદાર્થો માટે, અણુઓ અથવા પરમાણુઓ કાયમી ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ ધરાવે છે.
જ્યારે તેમને બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે આ ડાયપોલ્સ ક્ષેત્રની દિશામાં નબળી રીતે ગોઠવાય છે.
પરિણામે, પેરામેગ્નેટિક પદાર્થો નાની અને ધન મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી ($0 < \chi < \epsilon$, જ્યાં $\epsilon$ એક નાનું ધન મૂલ્ય છે) દર્શાવે છે.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) પદાર્થોના ચુંબકીય ગુણધર્મો પરમાણુઓમાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોન સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય મોમેન્ટને કારણે ઉદ્ભવે છે.
આ ચુંબકીય મોમેન્ટ મુખ્યત્વે ઇલેક્ટ્રોનની બે પ્રકારની ગતિને કારણે હોય છે:
$1$. ન્યુક્લિયસની આસપાસ ઇલેક્ટ્રોનની કક્ષીય ગતિ,જે કક્ષીય ચુંબકીય મોમેન્ટ બનાવે છે.
$2$. ઇલેક્ટ્રોનની પોતાની ધરી પરની આંતરિક સ્પિન ગતિ,જે સ્પિન ચુંબકીય મોમેન્ટ બનાવે છે.
તેથી,પરમાણુની કુલ ચુંબકીય મોમેન્ટ એ તેના તમામ ઇલેક્ટ્રોનની કક્ષીય અને સ્પિન ચુંબકીય મોમેન્ટનો સદિશ સરવાળો છે.

(A) ટંગસ્ટન એ પેરામેગ્નેટિક પદાર્થ છે. ક્યુરીના નિયમ મુજબ,પેરામેગ્નેટિક પદાર્થની મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $\chi$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $\chi \propto \frac{1}{T}$.
તેથી,$\chi_1 T_1 = \chi_2 T_2$.
આપેલ છે: $\chi_1 = 6.8 \times 10^{-5}$,$T_1 = 300 \ K$,$T_2 = 400 \ K$.
કિંમતો મૂકતા: $(6.8 \times 10^{-5}) \times 300 = \chi_2 \times 400$.
$\chi_2 = \frac{6.8 \times 10^{-5} \times 300}{400} = 6.8 \times 10^{-5} \times 0.75 = 5.1 \times 10^{-5}$.

(C) ગજિયા ચુંબકની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = m \times 2l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ ધ્રુવમાન છે અને $2l$ એ ચુંબકની લંબાઈ છે.
જ્યારે ચુંબકને તેની લંબાઈને લંબ બે સમાન ભાગોમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ભાગની લંબાઈ $l$ થાય છે અને ધ્રુવમાન $m$ સમાન રહે છે.
આમ,દરેક ભાગની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M' = m \times l = \frac{M}{2}$ થાય છે.
ધારો કે મૂળ ચુંબકના ધ્રુવો $A$ (ઉત્તર) અને $B$ (દક્ષિણ) છે. કાપ્યા પછી,પ્રથમ ભાગમાં $A$ અને $C_1$ ધ્રુવો છે,અને બીજા ભાગમાં $C_2$ અને $B$ ધ્રુવો છે.
જ્યારે બીજા ભાગને પ્રથમ ભાગ પર એવી રીતે મૂકવામાં આવે છે કે $C_2$ એ $C_1$ ની ઉપર હોય,ત્યારે $C_1$ અને $C_2$ ધ્રુવો વિરુદ્ધ ધ્રુવત્વ ધરાવશે. જો $C_1$ દક્ષિણ હોય,તો $C_2$ ઉત્તર હશે.
આ ગોઠવણીમાં,બંને ભાગોની ચુંબકીય મોમેન્ટ વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે.
તેથી,સંયોજનની કુલ ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_{net} = M' - M' = 0$ થાય છે.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્રરેખાઓ સતત બંધ ગાળાઓ રચે છે. ગજિયા ચુંબકની બહાર,ચુંબકીય ક્ષેત્રરેખાઓ $N$-ધ્રુવમાંથી બહાર નીકળે છે અને $S$-ધ્રુવમાં પ્રવેશે છે. ગજિયા ચુંબકની અંદર,બંધ ગાળો પૂર્ણ કરવા માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્રરેખાઓ $S$-ધ્રુવથી $N$-ધ્રુવ તરફ ગતિ કરે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) મેગ્નેટાઈઝેશન $(M)$ ને પદાર્થના એકમ કદ $(V)$ દીઠ ચોખ્ખી ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $(m_{net})$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,તેને આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે: $M = \frac{m_{net}}{V}$.
તે દર્શાવે છે કે જ્યારે કોઈ પદાર્થને ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે ત્યારે તે કેટલા અંશે ચુંબકીય બને છે.

(D) ચુંબકનું કદ $V = \text{લંબાઈ} \times \text{ક્ષેત્રફળ} = 5 \ cm \times 4 \ cm^{2} = 20 \ cm^{3}$.
$SI$ એકમમાં રૂપાંતર કરતા: $V = 20 \times 10^{-6} \ m^{3} = 2 \times 10^{-5} \ m^{3}$.
મેગ્નેટાઈઝેશન $M$ એ એકમ કદ દીઠ ચુંબકીય મોમેન્ટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $M = \frac{m}{V} = \frac{2 \ Am^{2}}{2 \times 10^{-5} \ m^{3}} = 10^{5} \ A/m$.
મેગ્નેટાઈઝેશન $M$,ચુંબકીય તીવ્રતા $H$ અને ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી $\chi$ વચ્ચેનો સંબંધ $M = \chi H$ છે.
તેથી,$H = \frac{M}{\chi} = \frac{10^{5}}{5 \times 10^{-6}} = 0.2 \times 10^{11} \ A/m = 2 \times 10^{10} \ A/m$.

(C) સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $\mu_r$ અને મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $\chi$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\mu_r = 1 + \chi$.
અહીં આપેલ છે કે સાપેક્ષ પરમીએબિલિટી $\mu_r = 5500$.
તેથી,મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $\chi = \mu_r - 1$.
કિંમત મૂકતા: $\chi = 5500 - 1 = 5499$.
આમ,લોખંડની મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $5499$ છે.

(D) નમૂનાનું કદ $V$ એ દળ અને ઘનતાના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે: $V = \frac{\text{દળ}}{\text{ઘનતા}} = \frac{2 \text{ g}}{4 \text{ g/cm}^3} = 0.5 \text{ cm}^3$.
કદને $SI$ એકમોમાં રૂપાંતરિત કરતા: $V = 0.5 \times 10^{-6} \text{ m}^3$.
મેગ્નેટાઇઝેશન $M$ એ એકમ કદ દીઠ ચુંબકીય મોમેન્ટ $m$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $M = \frac{m}{V}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $M = \frac{8 \times 10^{-7} \text{ A} \cdot \text{m}^2}{0.5 \times 10^{-6} \text{ m}^3} = 1.6 \text{ A/m}$.

(D) $r$ અંતરે અક્ષીય બિંદુ પર ટૂંકા ગજિયા ચુંબકનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{axial} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{2M}{r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તે જ અંતર '$r$' પર વિષુવવૃત્તીય બિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{equatorial} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{r^3}$ છે.
જેમ જેમ બિંદુ '$r$' ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર માર્ગ પર અક્ષીય સ્થિતિથી વિષુવવૃત્તીય સ્થિતિ તરફ જાય છે,તેમ ચુંબકીય મોમેન્ટ સદિશ સાથેનો ખૂણો $\theta$ $0^\circ$ થી $90^\circ$ સુધી બદલાય છે.
કોઈપણ બિંદુ $(r, \theta)$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર માટેનું સામાન્ય સૂત્ર $B = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{M}{r^3} \sqrt{1 + 3\cos^2\theta}$ છે.
જેમ $\theta$ $0^\circ$ થી $90^\circ$ સુધી વધે છે,તેમ $\cos^2\theta$ $1$ થી $0$ સુધી ઘટે છે,અને તેથી ચુંબકીય ક્ષેત્ર '$B$' નું મૂલ્ય ઘટતું જશે.

(B) $M$ ચુંબકીય મોમેન્ટ ધરાવતા ટૂંકા ગજિયા ચુંબક માટે,$r$ અંતરે અક્ષીય (longitudinal) સ્થિતિમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{axial} = \frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{2M}{r^{3}}$ છે.
તે જ અંતરે વિષુવવૃત્તીય (transverse) સ્થિતિમાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{equatorial} = \frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{M}{r^{3}}$ છે.
અક્ષીય સ્થિતિ અને વિષુવવૃત્તીય સ્થિતિમાં ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{B_{axial}}{B_{equatorial}} = \frac{\frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{2M}{r^{3}}}{\frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{M}{r^{3}}} = \frac{2}{1}$.
તેથી,ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(A) પદાર્થની અંદરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ એ બાહ્ય પ્રવાહને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B_{0} = \mu_{0}H)$ અને મેગ્નેટાઇઝેશનને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B_{m} = \mu_{0}M)$ ના સરવાળા જેટલું હોય છે.
તેથી,$B = \mu_{0}(H + M)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે મેગ્નેટાઇઝેશન $(M)$ અને ચુંબકીય તીવ્રતા $(H)$ વચ્ચેનો સંબંધ સસેપ્ટિબિલિટી $(\chi)$ દ્વારા $M = \chi H$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
આ કિંમત $B$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$B = \mu_{0}(H + \chi H) = \mu_{0}H(1 + \chi)$.
ગુણોત્તર $\frac{B}{H}$ મેળવવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{B}{H} = \mu_{0}(1 + \chi)$.

(C) ચુંબકીય પરમીએબિલિટી $\mu$ એ ચુંબકીય ઇન્ડક્શન $B$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $H$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $\mu = \frac{B}{H}$ છે.
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A$ હોવાથી,$B = \frac{\phi}{A}$ મળે.
આ કિંમતને પરમીએબિલિટીના સૂત્રમાં મૂકતા: $\mu = \frac{\phi}{A \cdot H}$.
આપેલ કિંમતો:
$\phi = 6 \times 10^{-4} \text{ Wb}$
$A = 3 \text{ cm}^2 = 3 \times 10^{-4} \text{ m}^2$
$H = 2000 \text{ A/m} = 2 \times 10^3 \text{ A/m}$
$\mu$ ની ગણતરી કરતા:
$\mu = \frac{6 \times 10^{-4}}{(3 \times 10^{-4}) \times (2 \times 10^3)} = \frac{6 \times 10^{-4}}{6 \times 10^{-1}} = 10^{-3} \text{ Wb/(A} \cdot \text{m)}$.

(C) ક્યુરીના નિયમ મુજબ,પેરામેગ્નેટિક પદાર્થની મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $\chi$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $\chi \propto \frac{1}{T}$.
તેથી,$\frac{\chi_1}{\chi_2} = \frac{T_2}{T_1}$.
આપેલ છે:
$T_1 = -73^{\circ} C = 273 - 73 = 200 \ K$
$T_2 = -173^{\circ} C = 273 - 173 = 100 \ K$
$\chi_1 = 0.0075$
કિંમતો મૂકતા:
$\chi_2 = \chi_1 \times \frac{T_1}{T_2} = 0.0075 \times \frac{200}{100} = 0.0075 \times 2 = 0.0150$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) સોનું એ ડાયામેગ્નેટિક (પ્રતિચુંબકીય) પદાર્થ છે.
ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થો ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા નિર્બળ રીતે અપાકર્ષાય છે.
તેથી,જ્યારે સોનાના ગોળાને શક્તિશાળી ચુંબક તરફ લાવવામાં આવે છે,ત્યારે તે નિર્બળ અપાકર્ષણ બળ અનુભવે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગજિયા ચુંબક પર લાગતું ટોર્ક (યુગ્મ) $T = MB \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે,$B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે અને $\theta$ એ ચુંબક અને ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
શરૂઆતમાં,ચુંબક ક્ષેત્રને લંબ છે,તેથી $\theta = \frac{\pi}{2} = 90^{\circ}$.
પ્રારંભિક ટોર્ક $T = MB \sin(90^{\circ}) = MB$ છે.
આપણે નવું ટોર્ક $T'$ પ્રારંભિક ટોર્ક કરતા અડધું કરવા માંગીએ છીએ,તેથી $T' = \frac{T}{2} = \frac{MB}{2}$.
ધારો કે નવો ખૂણો $\theta'$ છે. તો $T' = MB \sin \theta' = \frac{MB}{2}$.
બંને બાજુ $MB$ વડે ભાગતા,આપણને $\sin \theta' = \frac{1}{2} = 0.5$ મળે છે.
તેથી,ખૂણો $\theta' = \sin^{-1}(0.5) = 30^{\circ}$ છે.

(D) મેગ્નેટાઇઝેશનની તીવ્રતા $(I)$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $(H)$ સાથે $I = \chi H$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલ છે,જ્યાં $\chi$ એ ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી છે.
ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થો માટે,$\chi$ નાનું અને ઋણ હોય છે,તેથી ધન $H$ માટે $I$ ઋણ હોય છે. આ રેખા $OX$ ને અનુરૂપ છે.
પેરામેગ્નેટિક પદાર્થો માટે,$\chi$ નાનું અને ધન હોય છે,તેથી આપેલ $H$ માટે $I$ ધન અને નાનું હોય છે. આ રેખા $OZ$ ને અનુરૂપ છે.
ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થો માટે,$\chi$ મોટું અને ધન હોય છે,તેથી આપેલ $H$ માટે $I$ ધન અને મોટું હોય છે. આ રેખા $OY$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,$X$ ડાયામેગ્નેટિક છે,$Y$ ફેરોમેગ્નેટિક છે,અને $Z$ પેરામેગ્નેટિક છે.

(B) પદાર્થની ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી $\chi$ તેના ચુંબકીય વર્તનને વ્યાખ્યાયિત કરે છે.
ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થો માટે, $\chi$ ઋણ અને નાની હોય છે $(-1 \le \chi < 0)$.
પેરામેગ્નેટિક પદાર્થો માટે, $\chi$ ધન અને નાની હોય છે $(\chi > 0)$.
ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થો માટે, $\chi$ ધન અને ખૂબ મોટી હોય છે $(\chi \gg 1)$.
આપેલ પદાર્થની સસેપ્ટિબિલિટી ધન અને નાની હોવાથી, તે પેરામેગ્નેટિક પદાર્થ છે.

(C) ભારિત વાહકની સપાટી પર લાગતું સ્થિત વિદ્યુત દબાણ (સ્ટ્રેસ) $P = \frac{\sigma^{2}}{2 \epsilon_{0}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma = \frac{q}{4 \pi r^{2}} = \frac{10^{-2}}{4 \pi (1)^{2}} = \frac{10^{-2}}{4 \pi} \ C/m^{2}$ છે.
દબાણના સૂત્રમાં $\sigma$ ની કિંમત મૂકતા: $P = \frac{1}{2 \epsilon_{0}} \left( \frac{10^{-2}}{4 \pi} \right)^{2} = \frac{10^{-4}}{32 \pi^{2} \epsilon_{0}}$.
કદ વિકૃતિ (volume strain) ને $\text{strain} = \frac{\text{stress}}{B}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $B$ એ બલ્ક મોડ્યુલસ છે.
આપેલ છે કે $B = \frac{10^{11}}{4 \pi^{2}}$.
તેથી,$\text{strain} = \frac{10^{-4}}{32 \pi^{2} \epsilon_{0}} \times \frac{4 \pi^{2}}{10^{11}} = \frac{10^{-4}}{8 \epsilon_{0} \times 10^{11}} = \frac{10^{-15}}{8 \epsilon_{0}}$.

(B) તારનો અવરોધ $R$ એ સૂત્ર $R = \rho \frac{L}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$L$ એ લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
તારનો આકાર બદલવામાં આવે છે,તેથી તેનું કદ $V = A \times L$ અચળ રહે છે.
આપણે ક્ષેત્રફળ $A$ ને વ્યાસ $D$ ના સંદર્ભમાં $A = \pi \left(\frac{D}{2}\right)^2 = \frac{\pi D^2}{4}$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
અવરોધના સૂત્રમાં $A$ ની કિંમત મૂકતા: $R = \rho \frac{L}{\pi D^2 / 4} = \frac{4 \rho L}{\pi D^2}$.
કદ $V = A \times L = \frac{\pi D^2 L}{4}$ અચળ હોવાથી,આપણને $L = \frac{4V}{\pi D^2}$ મળે છે.
આ કિંમતને અવરોધના સૂત્રમાં મૂકતા: $R = \frac{4 \rho}{\pi D^2} \times \left(\frac{4V}{\pi D^2}\right) = \frac{16 \rho V}{\pi^2 D^4}$.
$R$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે $D$ ને મહત્તમ કરવો પડશે. કદ અચળ હોવાથી,$D$ વધારવાથી $L$ ઘટશે. તેથી,આપણે $L$ ઘટાડવો જોઈએ અને $D$ વધારવો જોઈએ.

(C) રેડિયોએક્ટિવ નમૂનાની એક્ટિવિટી $A$ એ સૂત્ર $A = \lambda N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે અને $N$ એ અવિભંજિત પરમાણુઓની સંખ્યા છે.
ક્ષય અચળાંક $\lambda$ અને અર્ધ-આયુષ્ય $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$ છે.
બે રેડિયોએક્ટિવ તત્વો માટે,તેમની એક્ટિવિટી નીચે મુજબ છે:
$A_1 = \lambda_1 N_1 = \frac{\ln 2}{T_1} N_1$
$A_2 = \lambda_2 N_2 = \frac{\ln 2}{T_2} N_2$
તેમની એક્ટિવિટીનો ગુણોત્તર:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{(\frac{\ln 2}{T_1}) N_1}{(\frac{\ln 2}{T_2}) N_2}$
પદને સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{N_1}{T_1} \times \frac{T_2}{N_2} = \frac{N_1 T_2}{N_2 T_1}$

(C) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ મુજબ,ક્ષય દર નીચે મુજબના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$-\frac{dN}{dt} = \lambda N$
જ્યાં $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે અને $N$ એ સમય $t$ પર હાજર સક્રિય ન્યુક્લિયસની સંખ્યા છે.
આને નીચે મુજબ ફરીથી લખી શકાય:
$\frac{dN}{dt} = -\lambda N$
આ સમીકરણ ક્ષય દર $(R = -\frac{dN}{dt})$ અને સક્રિય ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $(N)$ વચ્ચેનો રેખીય સંબંધ દર્શાવે છે,જ્યાં ઢાળ ઋણ $(-\lambda)$ છે.
આને ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = \frac{dN}{dt}$ અને $x = N$,ઢાળ $m = -\lambda$ મળે છે.
તેથી,$\frac{dN}{dt}$ વિરુદ્ધ $N$ નો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા છે.
આપેલા વિકલ્પો જોતા,આલેખ $A$ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી અને ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) કોઈપણ સમયે રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થની એક્ટિવિટી $A = A_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ ક્ષય અચળાંક છે.
ક્ષય અચળાંક $\lambda$ અને અર્ધ-આયુષ્ય $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$ છે.
એક્ટિવિટીમાં થતા ફેરફારનો દર $\frac{dA}{dt} = \frac{d}{dt}(A_0 e^{-\lambda t}) = -\lambda A_0 e^{-\lambda t} = -\lambda A$ છે.
એક્ટિવિટીમાં થતા ફેરફારના દરનું મૂલ્ય $|\frac{dA}{dt}| = \lambda A$ છે.
વધુમાં,$A = \lambda N$ હોવાથી,$\frac{dA}{dt} = -\lambda (\lambda N) = -\lambda^2 N$ થાય.
અહીં $\lambda = \frac{\ln 2}{T}$ હોવાથી,$\frac{dA}{dt} \propto \lambda^2 \propto (\frac{1}{T})^2 = T^{-2}$ મળે.
તેથી,એક્ટિવિટીમાં થતો ફેરફારનો દર $T^{-2}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક ન્યુક્લિયસ $^A_Z X$ છે.
એક $\alpha$ કણ $(^4_2 He)$ ના ઉત્સર્જનથી દળ ક્રમાંક $4$ જેટલો ઘટે છે અને પરમાણુ ક્રમાંક $2$ જેટલો ઘટે છે.
$4 \alpha$ કણોના ઉત્સર્જન પછી: $A' = A - (4 \times 4) = A - 16$ અને $Z' = Z - (4 \times 2) = Z - 8$.
એક $\beta$ કણ $(^0_{-1} e)$ ના ઉત્સર્જનથી પરમાણુ ક્રમાંક $1$ જેટલો વધે છે અને દળ ક્રમાંક અપરિવર્તિત રહે છે.
$7 \beta$ કણોના ઉત્સર્જન પછી: $A_{final} = A - 16$ અને $Z_{final} = Z - 8 + 7 = Z - 1$.
અંતિમ ન્યુક્લિયસમાં પ્રોટોનની સંખ્યા $P = Z_{final} = Z - 1$ છે.
ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $N = A_{final} - Z_{final} = (A - 16) - (Z - 1) = A - Z - 15$ છે.
ન્યુટ્રોન અને પ્રોટોનનો ગુણોત્તર $\frac{N}{P} = \frac{A - Z - 15}{Z - 1}$ થાય.

(D) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ ગતિઊર્જા છે.
માર્ગ $(r)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ બંને કણો માટે સમાન હોવાથી,$\frac{\sqrt{2m_{\alpha}K_{\alpha}}}{q_{\alpha}B} = \frac{\sqrt{2m_{p}K_{p}}}{q_{p}B}$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા અને સાદુંરૂપ આપતા,$\frac{2m_{\alpha}K_{\alpha}}{q_{\alpha}^2} = \frac{2m_{p}K_{p}}{q_{p}^2}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $K_{p} = K_{\alpha} \cdot \left(\frac{m_{\alpha}}{m_{p}}\right) \cdot \left(\frac{q_{p}}{q_{\alpha}}\right)^2$.
આપેલ છે કે $m_{\alpha} = 4m_{p}$ અને $q_{\alpha} = 2q_{p}$,આ કિંમતો મૂકતા:
$K_{p} = 10 \ eV \cdot \left(\frac{4m_{p}}{m_{p}}\right) \cdot \left(\frac{q_{p}}{2q_{p}}\right)^2 = 10 \ eV \cdot 4 \cdot \frac{1}{4} = 10 \ eV$.

(A) બાયકોન્વેક્સ લેન્સ માટે,લેન્સ મેકરનું સૂત્ર: $\frac{1}{f} = (n-1) \left( \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{2}} \right)$ છે.
અહીં $n = 1.5$,$R_{1} = 20 \ cm$,અને $R_{2} = -20 \ cm$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{f} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{20} - \frac{1}{-20} \right) = 0.5 \left( \frac{1}{20} + \frac{1}{20} \right) = 0.5 \left( \frac{2}{20} \right) = 0.5 \times 0.1 = 0.05$.
તેથી,$f = \frac{1}{0.05} = 20 \ cm$.
અંતર્ગોળ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ જેટલી છે,તેથી $f_{mirror} = 20 \ cm$.
અંતર્ગોળ અરીસા માટે,કેન્દ્રલંબાઈ ઋણ હોય છે,તેથી $f = -20 \ cm$.
વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ નું સૂત્ર $R = 2f$ છે,તેથી $R = 2(-20 \ cm) = -40 \ cm$.

(A) લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ,લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ એ $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,$R_1 = R$ અને $R_2 = -R$ છે,તેથી $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{R} \right) = \frac{2(\mu - 1)}{R}$.
જ્યારે લેન્સને $AB$ અક્ષ પર (મુખ્ય અક્ષને લંબ) કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક અડધા ભાગ માટે વક્રતા ત્રિજ્યા સમાન રહે છે.
દરેક અડધા ભાગ માટે,લેન્સ સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ બની જાય છે જ્યાં એક સપાટીની ત્રિજ્યા $R$ છે અને બીજી સપાટી સમતલ છે (અનંત ત્રિજ્યા,$R' = \infty$).
એક અડધા ભાગ માટે સૂત્ર લાગુ પાડતા: $\frac{1}{f'} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right) = \frac{\mu - 1}{R}$.
આને મૂળ કેન્દ્રલંબાઈ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $\frac{1}{f'} = \frac{1}{2} \times \frac{2(\mu - 1)}{R} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{f}$.
તેથી,$f' = 2f$.

(A) જ્યારે પ્રકાશ $n_1$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાંથી $n_2$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં જાય ત્યારે પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન $(TIR)$ માટેનો ક્રાંતિકોણ $c$ નીચે મુજબ મળે છે: $\sin c = \frac{n_2}{n_1}$,જ્યાં $n_1 > n_2$.
ગુણોત્તર $\frac{n_2}{n_1}$ જેટલો નાનો,તેટલો $\sin c$ નાનો અને તેથી ક્રાંતિકોણ $c$ પણ નાનો મળે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$TIR$ માટે માત્ર એ જ પરિસ્થિતિઓ શક્ય છે જેમાં પ્રથમ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક બીજા કરતા વધારે હોય.
કાચમાંથી હવામાં $(n_{\text{glass}} \approx 1.5, n_{\text{air}} \approx 1.0)$: $\sin c = \frac{1.0}{1.5} = \frac{2}{3} \approx 0.667$,જે $c \approx 41.8^{\circ}$ આપે છે.
કાચમાંથી પાણીમાં $(n_{\text{glass}} \approx 1.5, n_{\text{water}} \approx 1.33)$: $\sin c = \frac{1.33}{1.5} \approx 0.887$,જે $c \approx 62.5^{\circ}$ આપે છે.
સ્પષ્ટ છે કે,કાચમાંથી હવામાં જતી વખતે ક્રાંતિકોણ નાનો હોય છે.
તેથી,જ્યારે પ્રકાશ કાચમાંથી હવામાં જાય ત્યારે ક્રાંતિકોણ ન્યૂનતમ હોય છે.

(D) કાચનો વક્રીભવનાંક $\mu_g = \frac{3}{2}$ અને પાણીનો વક્રીભવનાંક $\mu_w = \frac{4}{3}$ છે.
જ્યારે પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમ (કાચ) માંથી પાતળા માધ્યમ (પાણી) માં જાય છે,ત્યારે ક્રાંતિકોણ $C$ માટેનું સૂત્ર $\sin C = \frac{\mu_w}{\mu_g}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\sin C = \frac{4/3}{3/2} = \frac{4}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{8}{9}$.
તેથી,ક્રાંતિકોણ $C = \sin^{-1}\left(\frac{8}{9}\right)$ થાય.

(A) માધ્યમનો વક્રીભવનાંક તે માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,જે $\mu = \frac{c}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ ઝડપ $v_{A} = 1.8 \times 10^{8} \ m/s$ અને $v_{B} = 2.7 \times 10^{8} \ m/s$ છે.
માધ્યમ $B$ ની સાપેક્ષે માધ્યમ $A$ નો વક્રીભવનાંક ${}_{B}\mu_{A} = \frac{\mu_{A}}{\mu_{B}} = \frac{v_{B}}{v_{A}}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: ${}_{B}\mu_{A} = \frac{2.7 \times 10^{8}}{1.8 \times 10^{8}} = \frac{27}{18} = \frac{3}{2}$.
ક્રાંતિકોણ $C$ માટેનું સૂત્ર $\sin C = \frac{1}{{}_{B}\mu_{A}}$ છે.
તેથી,$\sin C = \frac{1}{3/2} = \frac{2}{3}$.
આમ,ક્રાંતિકોણ $C = \sin^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$ મળે છે.

(A) પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક છે અને તેથી ઉલટું છે.
તેથી,મોટવણી $m = \frac{v}{u} = -n$,જેનો અર્થ છે કે $u = -\frac{v}{n}$.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
$u$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{1}{v} - (-\frac{n}{v}) = \frac{1}{f}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1+n}{v} = \frac{1}{f}$ મળે છે.
તેથી,પ્રતિબિંબ અંતર $v = f(n+1)$ થાય.

(D) ગોલીય અરીસા માટે,સંજ્ઞા પ્રણાલી મુજબ આપાત પ્રકાશની દિશાને ધન લેવામાં આવે છે.
જ્યારે પ્રતિબિંબ વસ્તુની બાજુએ જ રચાય છે,ત્યારે પ્રતિબિંબ અંતર $v$ ઋણ હોય છે,જે વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ દર્શાવે છે.
જ્યારે પ્રતિબિંબ વસ્તુની વિરુદ્ધ બાજુએ (અરીસાની પાછળ) રચાય છે,ત્યારે પ્રતિબિંબ અંતર $v$ ધન હોય છે,જે આભાસી પ્રતિબિંબ દર્શાવે છે.
તેથી,વસ્તુની બાજુએ રચાતા પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક હોય છે અને વિરુદ્ધ બાજુએ રચાતા પ્રતિબિંબ આભાસી હોય છે.

(C) સામાન્ય ગોઠવણમાં ખગોળીય ટેલિસ્કોપની મોટવણી $(m)$ નું સૂત્ર: $m = \frac{f_o}{f_e}$ છે,જ્યાં $f_o$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે અને $f_e$ એ આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ છે.
જો આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ બમણી કરવામાં આવે,તો નવી કેન્દ્રલંબાઈ $f_e' = 2f_e$ થશે.
નવી મોટવણી $(m')$ આ મુજબ થશે: $m' = \frac{f_o}{f_e'} = \frac{f_o}{2f_e} = \frac{1}{2} \left( \frac{f_o}{f_e} \right) = \frac{m}{2}$.
તેથી,મોટવણી મૂળ કિંમત કરતા અડધી થઈ જશે.

(C) જ્યારે પ્રતિબિંબ સ્પષ્ટ દ્રષ્ટિના લઘુત્તમ અંતરે $(D = 25 \ cm)$ રચાય ત્યારે સાદા માઈક્રોસ્કોપની મોટવણી $(M)$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$M = 1 + \frac{D}{f}$
અહીં,કેન્દ્રલંબાઈ $f = 5 \ cm$ અને $D = 25 \ cm$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$M = 1 + \frac{25}{5}$
$M = 1 + 5 = 6$
આમ,મોટવણી $6$ છે.

(B) સાદા માઇક્રોસ્કોપની મોટવણી શક્તિ $(M)$ નું સૂત્ર $M = 1 + \frac{D}{f}$ છે, જ્યાં $D$ એ સ્પષ્ટ દ્રષ્ટિનું લઘુત્તમ અંતર છે અને $f$ એ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે。
કોશીના સૂત્ર મુજબ, દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક $(\mu)$ એ તરંગલંબાઈ $(\lambda)$ પર આધાર રાખે છે, જ્યાં $\mu \propto \frac{1}{\lambda^2}$. લાલ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda_r)$ એ વાદળી પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $(\lambda_b)$ કરતા વધારે હોવાથી, લાલ પ્રકાશ માટે વક્રીભવનાંક વાદળી પ્રકાશ કરતા ઓછો હોય છે $(\mu_r < \mu_b)$.
લેન્સ મેકરના સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$ પરથી, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $f \propto \frac{1}{\mu - 1}$. કારણ કે $\mu_r < \mu_b$, તેથી $f_r > f_b$ થાય છે。
મોટવણી શક્તિ $M = 1 + \frac{D}{f}$ હોવાથી, કેન્દ્રલંબાઈ $(f)$ માં વધારો થવાથી મોટવણી શક્તિમાં ઘટાડો થાય છે। તેથી, વાદળી પ્રકાશમાંથી લાલ પ્રકાશમાં બદલાવ થતા મોટવણી શક્તિ ઘટે છે.

(C) માઇક્રોસ્કોપના ઓબ્જેક્ટિવનું ન્યુમેરિકલ એપર્ચર $(NA)$ એ $NA = \mu \sin \alpha$ સૂત્ર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu$ એ વસ્તુ અને ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ વચ્ચેના માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે,અને $\alpha$ એ વસ્તુમાંથી ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સમાં પ્રવેશતા પ્રકાશના શંકુનો અર્ધ-ઊર્ધ્વ કોણ (semi-vertical angle) છે. તેથી,સાચી રજૂઆત $\mu \sin \alpha$ છે.

(A) એસ્ટ્રોનોમિકલ ટેલિસ્કોપની મોટવણી $(M)$ નું સૂત્ર $M = \frac{f_o}{f_e}$ છે,જ્યાં $f_o$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે અને $f_e$ એ આઈપીસ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે.
વધારે મોટવણી મેળવવા માટે,અંશ $(f_o)$ મોટો હોવો જોઈએ અને છેદ $(f_e)$ નાનો હોવો જોઈએ.
તેથી,ઓબ્જેક્ટિવની કેન્દ્રલંબાઈ મોટી અને આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ નાની હોવી જોઈએ.

(C) ટેલિસ્કોપ માટે,લંબાઈ $L = f_{o} + f_{e} = 10 \ cm$ છે.
મોટવણી (magnifying power) $M = \frac{f_{o}}{f_{e}} = 4$ છે.
બીજા સમીકરણ પરથી,$f_{o} = 4f_{e}$.
આ કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $4f_{e} + f_{e} = 10 \ cm$,જે $5f_{e} = 10 \ cm$ આપે છે,તેથી $f_{e} = 2 \ cm$.
ત્યારબાદ,$f_{o} = 4 \times 2 \ cm = 8 \ cm$.
આમ,ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $8 \ cm$ $(L_{4})$ અને આઈ-લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $2 \ cm$ $(L_{1})$ છે.
તેથી,ઓબ્જેક્ટિવ અને આઈ-લેન્સ અનુક્રમે $L_{4}$ અને $L_{1}$ છે.

(D) ઓપ્ટિકલ સાધનની વિભેદન શક્તિ $(RP)$ એ વપરાતા પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે, એટલે કે $RP \propto \frac{1}{\lambda}$.
આપેલ છે: $\lambda_A = 4500 \, \text{Å}$ અને $\lambda_B = 6000 \, \text{Å}$.
$A$ અને $B$ ની વિભેદન શક્તિનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ છે:
$\frac{RP_A}{RP_B} = \frac{\lambda_B}{\lambda_A} = \frac{6000 \, \text{Å}}{4500 \, \text{Å}} = \frac{60}{45} = \frac{4}{3}$.
તેથી, ગુણોત્તર $4:3$ છે.

(D) સામાન્ય ગોઠવણ (normal adjustment) માં એસ્ટ્રોનોમિકલ ટેલિસ્કોપ માટે,ટ્યુબની લંબાઈ $L$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $(f_o)$ અને આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ $(f_e)$ ના સરવાળા જેટલી હોય છે:
$L = f_o + f_e$.
અહીં $L = 50 \ cm$ આપેલ છે,તેથી $f_o + f_e = 50 \ cm$.
એસ્ટ્રોનોમિકલ ટેલિસ્કોપમાં,ઓબ્જેક્ટિવ અને આઈપીસ બંને બહિર્ગોળ લેન્સ હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તેમની કેન્દ્રલંબાઈ ધન હોય છે.
વધુમાં,વધુ મોટવણી મેળવવા માટે,ઓબ્જેક્ટિવની કેન્દ્રલંબાઈ $f_o$ એ આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ $f_e$ કરતા ઘણી મોટી હોય છે.
આપેલા વિકલ્પો તપાસતા,$f_o = 45 \ cm$ અને $f_e = 5 \ cm$ એ $f_o + f_e = 50 \ cm$ ની શરતનું પાલન કરે છે અને બંને ધન છે.

(A) એસ્ટ્રોનોમિકલ ટેલિસ્કોપનો રિઝોલ્વિંગ પાવર $(RP)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $RP = \frac{a}{1.22 \lambda}$,જ્યાં $a$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સનું એપર્ચર (વ્યાસ) છે અને $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે.
$1$. પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ એ સ્ત્રોત પર આધાર રાખે છે અને તે ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સના એપર્ચરથી સ્વતંત્ર છે. તેથી,તેના પર કોઈ અસર થતી નથી.
$2$. ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઇ $(f)$ એ તેની વક્રતા અને વક્રીભવનાંક દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે,જે માત્ર એપર્ચર (વ્યાસ) વધારવાથી બદલાતી નથી. તેથી,તેના પર કોઈ અસર થતી નથી.
$3$. સૂત્ર $RP \propto a$ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે રિઝોલ્વિંગ પાવર એ એપર્ચર $a$ ના સમપ્રમાણમાં છે. તેથી,એપર્ચર વધારવાથી રિઝોલ્વિંગ પાવર વધે છે.
આમ,સાચો ક્રમ છે: અસર થતી નથી,અસર થતી નથી,વધે છે.

(A) સાદું માઇક્રોસ્કોપ ટૂંકી કેન્દ્રલંબાઈ $(f)$ ધરાવતા બહિર્ગોળ લેન્સનું બનેલું હોય છે.
મોટું,આભાસી અને ચત્તું પ્રતિબિંબ મેળવવા માટે,વસ્તુને બહિર્ગોળ લેન્સના ઓપ્ટિકલ સેન્ટર $(O)$ અને મુખ્ય કેન્દ્ર $(F)$ ની વચ્ચે મૂકવી આવશ્યક છે.
જ્યારે પ્રતિબિંબ સ્પષ્ટ દ્રષ્ટિના અંતર $(D)$ પર રચાય છે,ત્યારે મોટવણી $m = 1 + D/f$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,વસ્તુ માટેનું સાચું સ્થાન મુખ્ય કેન્દ્ર અને ઓપ્ટિકલ સેન્ટરની વચ્ચે છે.

(D) પાતળા પ્રિઝમ માટે,વિચલન કોણ $\delta = A(n - 1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિચલન વગરના વિભાજન માટે,કુલ વિચલન શૂન્ય હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે પ્રથમ પ્રિઝમ દ્વારા ઉત્પન્ન થયેલ વિચલન બીજા પ્રિઝમ દ્વારા વિરુદ્ધ દિશામાં ઉત્પન્ન થયેલા વિચલન જેટલું હોવું જોઈએ.
તેથી,$\delta_{1} = \delta_{2}$.
સૂત્ર મૂકતા,આપણને મળે છે $A_{1}(n_{1} - 1) = A_{2}(n_{2} - 1)$.
અહીં $A_{1} = 4^{\circ}$,$n_{1} = 1.54$,અને $n_{2} = 1.72$ આપેલ છે.
$4(1.54 - 1) = A_{2}(1.72 - 1)$.
$4 \times 0.54 = A_{2} \times 0.72$.
$A_{2} = \frac{4 \times 0.54}{0.72} = \frac{2.16}{0.72} = 3^{\circ}$.