MHT CET 2020 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર: $Y = \frac{F \cdot l}{A \cdot \Delta l}$ છે.
કદ $V = A \cdot l$ હોવાથી,$l = \frac{V}{A}$ લખી શકાય.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $Y = \frac{F \cdot (V/A)}{A \cdot \Delta l} = \frac{F \cdot V}{A^2 \cdot \Delta l}$.
વિસ્તરણ $\Delta l$ માટે સૂત્ર: $\Delta l = \frac{F \cdot V}{Y \cdot A^2}$.
અહીં $F, V,$ અને $Y$ અચળ હોવાથી,$\Delta l \propto \frac{1}{A^2}$.
આડછેદ ગોળાકાર હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $A \propto d^2$,તેથી $\Delta l \propto \frac{1}{d^4}$.
આપેલ છે કે $d_1 = \frac{1}{2} d_2$,એટલે કે $d_2 = 2 d_1$.
વિસ્તરણનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta l_1}{\Delta l_2} = \left( \frac{d_2}{d_1} \right)^4 = \left( \frac{2 d_1}{d_1} \right)^4 = 2^4 = 16$.
આમ,ગુણોત્તર $16: 1$ છે.

(D) $1$. પ્રતિબળ એટલે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ લાગતું બળ $(Stress = F/A)$. બંને તારનો વ્યાસ $d$ સમાન હોવાથી,તેમનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi(d/2)^2$ પણ સમાન છે. જ્યારે સંયુક્ત તાર પર $F$ બળ લગાડવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક તાર પર સમાન બળ $F$ લાગે છે. તેથી,બંને તાર સમાન પ્રતિબળ અનુભવે છે.
$2$. વિકૃતિ એટલે લંબાઈમાં થતો ફેરફાર અને મૂળ લંબાઈનો ગુણોત્તર $(Strain = \Delta L / L)$. હૂકના નિયમ મુજબ,$Stress = Y \times Strain$,જ્યાં $Y$ એ દ્રવ્યનો યંગ મોડ્યુલસ છે.
$3$. તાર અલગ-અલગ દ્રવ્યના હોવાથી,તેમના યંગ મોડ્યુલસ અલગ-અલગ $(Y_1 \neq Y_2)$ હશે.
$4$. $Strain = Stress / Y$ હોવાથી,અને બંને માટે પ્રતિબળ સમાન હોવા છતાં યંગ મોડ્યુલસ અલગ હોવાથી,બંને તારમાં વિકૃતિ અલગ-અલગ હશે.
$5$. આમ,તારમાં સમાન પ્રતિબળ પરંતુ અલગ વિકૃતિ જોવા મળે છે.

(B) સ્ટ્રેસ (પ્રતિબળ) ને એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ લાગતા બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $\text{Stress} = \frac{F}{A} = \frac{F}{\pi r^2}$.
બંને તાર સમાન ભારથી ખેંચાયેલા હોવાથી,બળ $F$ અચળ છે.
તેથી,$\text{Stress} \propto \frac{1}{r^2}$.
આપેલ છે કે તાર $A$ ની ત્રિજ્યા તાર $B$ ની ત્રિજ્યા કરતા બમણી છે,તેથી $r_A = 2r_B$.
સ્ટ્રેસ $S_A$ અને $S_B$ ની સરખામણી કરતા:
$\frac{S_B}{S_A} = \frac{r_A^2}{r_B^2} = \left(\frac{2r_B}{r_B}\right)^2 = (2)^2 = 4$.
આમ,$S_B = 4 S_A$.
તાર $B$ પરનો સ્ટ્રેસ એ તાર $A$ પરના સ્ટ્રેસ કરતા ચાર ગણો છે.

(A) મુક્ત છેડાથી $x$ અંતરે સ્ટ્રેસ (પ્રતિબળ) $\sigma = \frac{(\rho A x) g}{A} = \rho g x$ છે.
નાના ખંડ $dx$ માં થતો લંબાઈનો વધારો $d\ell = \frac{\sigma dx}{Y} = \frac{\rho g x dx}{Y}$ દ્વારા મળે છે.
$x = 0$ થી $x = L$ સુધી સંકલન કરતા,કુલ લંબાઈમાં વધારો $\ell$ મળે છે:
$\ell = \int_0^L \frac{\rho g x}{Y} dx = \frac{\rho g}{Y} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^L = \frac{\rho g L^2}{2Y}$.
યંગ મોડ્યુલસ $Y$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$Y = \frac{\rho g L^2}{2 \ell}$.

(C) તાર અથવા સળિયાને ખેંચવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય એ પદાર્થમાં સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જાના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
થયેલું કાર્ય $(W)$ = $\frac{1}{2} \times \text{સ્ટ્રેસ} \times \text{સ્ટ્રેન} \times \text{કદ}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ = $\frac{\text{સ્ટ્રેસ}}{\text{સ્ટ્રેન}}$,તેથી $\text{સ્ટ્રેસ} = Y \times \text{સ્ટ્રેન}$.
આ કિંમતને કાર્યના સૂત્રમાં મૂકતા:
$W = \frac{1}{2} \times Y \times (\text{સ્ટ્રેન})^2 \times \text{કદ}$.
અહીં,$\text{સ્ટ્રેન} = \frac{\ell}{L}$ અને $\text{કદ} = A \times L$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$W = \frac{1}{2} \times Y \times \left(\frac{\ell}{L}\right)^2 \times (A \times L)$,
$W = \frac{1}{2} \times Y \times \frac{\ell^2}{L^2} \times A \times L$,
$W = \frac{1}{2} \times \frac{Y \times A}{L} \times \ell^2$.
આપેલ સળિયા માટે $Y$,$A$ અને $L$ અચળ હોવાથી,$W \propto \ell^2$ થાય છે.

(B) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર $Y = \frac{F l}{A \Delta l}$ છે,જ્યાં $A = \pi r^2$ છે.
લંબાઈમાં થતા ફેરફાર $\Delta l$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$\Delta l = \frac{F l}{\pi r^2 Y}$ મળે છે.
દ્રવ્ય સમાન હોવાથી $Y$ અચળ છે. આપેલ છે કે બળ $F$ પણ સમાન છે,તેથી $\Delta l \propto \frac{l}{r^2}$ થાય.
ધારો કે લંબાઈ $l_1 = l$ અને $l_2 = 2l$ છે,અને ત્રિજ્યા $r_1 = r$ અને $r_2 = \sqrt{2}r$ છે.
લંબાઈમાં થતા વધારાનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta l_1}{\Delta l_2} = \frac{l_1}{r_1^2} \times \frac{r_2^2}{l_2} = \frac{l}{r^2} \times \frac{(\sqrt{2}r)^2}{2l} = \frac{l}{r^2} \times \frac{2r^2}{2l} = 1$ મળે છે.
આમ,ગુણોત્તર $1:1$ છે.

(A) યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{F L}{A \Delta L}$ છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$L$ એ મૂળ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\Delta L$ એ લંબાઈમાં થતો ફેરફાર છે.
બળ માટે સૂત્રને ગોઠવતા,આપણને $F = \frac{Y A \Delta L}{L}$ મળે છે.
રીંગની મૂળ લંબાઈ $L = 2 \pi r$ છે.
જ્યારે રીંગને ડિસ્ક પર બેસાડવામાં આવે ત્યારે તેની અંતિમ લંબાઈ $2 \pi R$ થાય છે.
લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta L = 2 \pi R - 2 \pi r = 2 \pi (R - r)$ છે.
આ કિંમતોને બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F = \frac{Y A \times 2 \pi (R - r)}{2 \pi r} = \frac{Y A (R - r)}{r}$.

(A) જ્યારે વસ્તુઓને ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ $h$ ઊંચાઈ પરથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ મુક્ત પતન કરે છે.
ગતિના સમીકરણો મુજબ,જમીન સાથે અથડાતા પહેલાનો અંતિમ વેગ $v = \sqrt{2gh}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ અને ઊંચાઈ $h$ તમામ વસ્તુઓ માટે સમાન હોવાથી,તેમનો વેગ $v$ પણ સમાન રહેશે.
જોકે,વસ્તુનું વેગમાન $p = mv$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
પાંચેય વસ્તુઓના દળ $m$ અલગ-અલગ હોવાથી,જમીન સાથે અથડાતી વખતે તેમનું વેગમાન $p$ અલગ-અલગ હશે.
તેથી,જે ભૌતિક રાશિ દળ પર આધાર રાખે છે અને દરેક વસ્તુ માટે બદલાય છે તે વેગમાન છે.

(B) $m$ દળ ધરાવતી લિફ્ટ જ્યારે $a$ જેટલા પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે, ત્યારે તેના પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. કેબલમાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $T$ જે ઉપરની દિશામાં લાગે છે。
$2$. લિફ્ટનું વજનબળ $mg$ જે નીચેની દિશામાં લાગે છે。
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, પરિણામી બળ $F_{\text{net}}$ એ દળ અને પ્રવેગના ગુણાકાર જેટલું હોય છે $(F_{\text{net}} = ma)$.
લિફ્ટ ઉપરની તરફ ગતિ કરતી હોવાથી, તણાવબળ $T$ એ વજનબળ $mg$ કરતા વધારે હોવું જોઈએ。
તેથી, $T - mg = ma$.
આ સમીકરણને ગોઠવતા, આપણને $T = mg + ma = m(g+a)$ મળે છે.

(C) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રનું કુલ પ્રારંભિક વેગમાન તેના કુલ અંતિમ વેગમાન જેટલું હોવું જોઈએ,કારણ કે વિસ્ફોટ દરમિયાન પદાર્થ પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું નથી.
પ્રારંભિક વેગમાન $P_{i} = MV$
અંતિમ વેગમાન $P_{f} = \frac{M}{2}(0) + \frac{M}{2}(v_{0})$
પ્રારંભિક અને અંતિમ વેગમાનને સરખાવતા:
$MV = 0 + \frac{M}{2}v_{0}$
$MV = \frac{M}{2}v_{0}$
$v_{0} = 2V$

(A) આપેલ દળ $m = 5 \ kg$ અને સ્થાનાંતર $x = t^3 - 2t - 10$ છે.
વેગ $v$ એ સ્થાનાંતરનું સમયની સાપેક્ષમાં વિકલન છે:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 - 2t - 10) = 3t^2 - 2$.
પ્રવેગ $a$ એ વેગનું સમયની સાપેક્ષમાં વિકલન છે:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^2 - 2) = 6t$.
બળ $F$ ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ $F = ma$ છે:
$F = 5 \times (6t) = 30t$.
$t = 5 \ s$ સમયે:
$F = 30 \times 5 = 150 \ N$.

(B) ગતિના ત્રીજા સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા. વાહન સ્થિર થાય છે, તેથી $v = 0$, એટલે કે $0 = u^2 - 2as$, જે આપણને $s = \frac{u^2}{2a}$ આપે છે.
સમાન વાહન માટે પ્રતિપ્રવેગ $a$ અચળ હોવાથી, $s \propto u^2$ થાય.
અહીં $u_1 = 15 \,km/hr$ અને $s_1 = 5 \,m$ આપેલ છે.
અને $u_2 = 45 \,km/hr = 3 \times u_1$ છે.
તેથી, નવું અંતર $s_2 = s_1 \times (\frac{u_2}{u_1})^2$ દ્વારા મળે.
$s_2 = 5 \,m \times (3)^2 = 5 \,m \times 9 = 45 \,m$.

(C) ગોળાકાર વરસાદના ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ $v_T$ સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ નીચે મુજબ છે:
$v_T = \frac{2(\sigma - \rho) r^2 g}{9 \eta}$
જ્યાં $\sigma$ એ ટીપાંની ઘનતા છે,$\rho$ એ હવાની ઘનતા છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે અને $\eta$ એ સ્નિગ્ધતાનો ગુણાંક છે.
બંને ટીપાં માટે $\sigma, \rho, g,$ અને $\eta$ અચળ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$v_T \propto r^2$ --- $(i)$
ગોળાકાર ટીપાંનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ છે:
$A = 4 \pi r^2$
આનો અર્થ એ છે કે:
$A \propto r^2$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ટર્મિનલ વેગના સીધા પ્રમાણમાં છે:
$A \propto v_T$
તેથી,તેમના સપાટીના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમના ટર્મિનલ વેગના ગુણોત્તર જેટલો જ થશે:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{v_{T1}}{v_{T2}} = \frac{16}{9}$
આમ,ગુણોત્તર $16: 9$ છે.

(A) વાહનનું પ્રારંભિક વેગમાન $P = Mv$ છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = \frac{P}{M}$ થાય.
અંતિમ વેગ $v = 0$ છે કારણ કે વાહન અટકી જાય છે.
વાહન પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu Mg$ છે,જ્યાં $N = Mg$ એ લંબબળ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રતિપ્રવેગ $a = -\frac{f}{M} = -\frac{\mu Mg}{M} = -\mu g$ મળે.
ગતિના સમીકરણ $v^{2} - u^{2} = 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $s$ એ સ્ટોપિંગ ડિસ્ટન્સ છે:
$0^{2} - (\frac{P}{M})^{2} = 2(-\mu g)s$
$-\frac{P^{2}}{M^{2}} = -2\mu gs$
$s = \frac{P^{2}}{2\mu g M^{2}}$.

(B) આપેલ છે કે અંતર $s$ એ સમય $t$ ના વર્ગના પ્રમાણમાં છે,તેથી $s \propto t^{2}$.
આને $s = k t^{2}$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં અંતરનું પ્રથમ વિકલન છે: $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(k t^{2}) = 2kt$.
પ્રવેગ $a$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન છે: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(2kt) = 2k$.
અહીં $k$ અચળ હોવાથી,$2k$ પણ અચળ છે અને તે શૂન્ય નથી.
તેથી,પદાર્થનો પ્રવેગ અચળ છે પણ શૂન્ય નથી.

(C) વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરતા કણ માટે,કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને રેખીય વેગમાન સદિશ $\vec{p}$ બંને વર્તુળાકાર ગતિના સમતલમાં આવેલા હોય છે.
જમણા હાથના નિયમ મુજબ,કોણીય વેગમાન સદિશ $\vec{L}$ ની દિશા ગતિના સમતલને લંબ હોય છે.
કણ એક નિશ્ચિત વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરવા માટે બંધાયેલ હોવાથી,ગતિનું સમતલ બદલાતું નથી.
તેથી,ઝડપમાં ફેરફાર થવા છતાં,સમગ્ર ગતિ દરમિયાન કોણીય વેગમાન સદિશની દિશા અચળ રહે છે.

(A) રીંગની તેની અક્ષને અનુલક્ષીને પ્રારંભિક જડત્વની ચાકમાત્રા $I_i = Mr^2$ છે.
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = I_i \omega = Mr^2 \omega$ છે.
જ્યારે $m$ દળના બે કણોને અક્ષથી $r$ અંતરે વ્યાસાંતે વિરુદ્ધ બિંદુઓ પર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I_f = Mr^2 + mr^2 + mr^2 = (M+2m)r^2$ થાય છે.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે,તેથી $L_i = L_f$.
$Mr^2 \omega = (M+2m)r^2 \omega'$.
નવી કોણીય ઝડપ $\omega'$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\omega' = \frac{Mr^2 \omega}{(M+2m)r^2} = \frac{\omega M}{M+2m}$ મળે છે.

(C) સમાન વર્તુળાકાર ગતિમાં,કણની ઝડપ અચળ હોય છે,તેથી કોણીય પ્રવેગ $\vec{\alpha} = 0$ થાય છે.
$\vec{\alpha} = 0$ હોવાથી,સદિશ $\vec{\alpha}$ એ શૂન્ય સદિશ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,કોણીય વેગ $\vec{\omega}$ એ ગતિના સમતલને લંબ હોય છે,અને રેખીય વેગ $\vec{v}$ ગતિના સમતલમાં હોય છે,તેથી $\vec{\omega} \perp \vec{v}$ સાચું છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $\vec{a}$ વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ હોય છે,જે ગતિના સમતલમાં હોય છે,તેથી $\vec{\omega} \perp \vec{a}$ સાચું છે.
રેખીય વેગ $\vec{v}$ વર્તુળને સ્પર્શક હોય છે,અને કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $\vec{a}$ ત્રિજ્યાવર્તી હોય છે,તેથી $\vec{v} \perp \vec{a}$ સાચું છે.
જોકે,$\vec{\alpha} = 0$ (શૂન્ય સદિશ) હોવાથી,તેની કોઈ ચોક્કસ દિશા હોતી નથી કે જેથી તે $\vec{\omega}$ ને લંબ હોય. તેથી,સમાન વર્તુળાકાર ગતિના સંદર્ભમાં $\vec{\omega} \perp \vec{\alpha}$ વિધાન ખોટું ગણાય છે.

(A) $r$ ત્રિજ્યાના સમક્ષિતિજ વર્તુળમાં $\omega$ કોણીય ઝડપથી ગતિ કરતા $m$ દળ માટે દોરીમાં તણાવ $T$ એ કેન્દ્રગામી બળ દ્વારા મળે છે: $T = m r \omega^2$.
અહીં $m$ અને $r$ અચળ હોવાથી,$T \propto \omega^2$ થાય.
પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ $\omega_1 = 10 \ cycle/min = \frac{10}{60} \ cycle/s = \frac{1}{6} \ cycle/s$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક તણાવ $T_1$ છે અને અંતિમ તણાવ $T_2 = 4T_1$ છે.
પ્રમાણસરતા $T \propto \omega^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{\omega_2}{\omega_1} \right)^2$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $4 = \left( \frac{\omega_2}{\omega_1} \right)^2$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\omega_2}{\omega_1} = 2$.
તેથી,$\omega_2 = 2 \omega_1 = 2 \times \frac{1}{6} \ cycle/s = \frac{1}{3} \ cycle/s$.

(D) પરિભ્રમણની આવૃત્તિ $f = \frac{x}{t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોણીય વેગ $\omega$ અને આવૃત્તિ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = 2 \pi f = \frac{2 \pi x}{t}$ છે.
સ્પર્શક વેગ $V$ અને કોણીય વેગ વચ્ચેનો સંબંધ $V = \omega r$ છે.
અહીં ત્રિજ્યા $r = \frac{\pi}{2} \ m$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $V = \left( \frac{2 \pi x}{t} \right) \cdot \left( \frac{\pi}{2} \right) = \frac{\pi^{2} x}{t}$.

(D) વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરતા કણનું કોણીય વેગમાન $L = mvr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે,$v$ એ કક્ષીય વેગ છે અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
સૂર્યની આસપાસ ફરતા ગ્રહ માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$\frac{GMm}{R^2} = \frac{mv^2}{R}$
$v$ માટે ઉકેલતા,આપણને $v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ મળે છે.
આ કિંમતને કોણીય વેગમાનના સૂત્રમાં મૂકતા:
$L = m \times \sqrt{\frac{GM}{R}} \times R$
$L = m \sqrt{GM} \times \sqrt{R}$
અહીં $m$,$G$,અને $M$ અચળાંકો હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $L \propto \sqrt{R}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ધારો કે સ્પ્રિંગની મૂળ લંબાઈ $\ell$ છે. ધારો કે સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક $k$ છે.
જ્યારે દળને કોણીય વેગ $\omega$ સાથે ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે કેન્દ્રગામી બળ સ્પ્રિંગના તણાવ $F = k \cdot e_1$ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે,જ્યાં $e_1 = 1 \ cm$ એ લંબાઈમાં વધારો છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r_1 = \ell + e_1$ છે.
તેથી,$m(\ell + e_1)\omega^2 = k e_1$ --- $(1)$
જ્યારે કોણીય વેગ બમણો $(2\omega)$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે લંબાઈમાં વધારો $e_2 = 6 \ cm$ થાય છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r_2 = \ell + e_2$ છે.
તેથી,$m(\ell + e_2)(2\omega)^2 = k e_2$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{m(\ell + e_1)\omega^2}{m(\ell + e_2)4\omega^2} = \frac{k e_1}{k e_2}$
$\frac{\ell + 1}{4(\ell + 6)} = \frac{1}{6}$
$6(\ell + 1) = 4(\ell + 6)$
$6\ell + 6 = 4\ell + 24$
$2\ell = 18$
$\ell = 9 \ cm$.

(B) ઘડિયાળનો મિનિટ કાંટો $60$ મિનિટમાં એક પૂર્ણ પરિભ્રમણ $(360^{\circ})$ પૂર્ણ કરે છે.
એક પરિભ્રમણ માટે લાગતો સમય $T = 60 \text{ મિનિટ} = 60 \times 60 \text{ સેકન્ડ} = 3600 \text{ સેકન્ડ}$.
કોણીય ઝડપ $\omega$ એ એકમ સમયમાં કપાતા ખૂણા તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $\omega = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}$.
કિંમતો મૂકતા: $\omega = \frac{360^{\circ}}{3600 \text{ s}} = \frac{1}{10} \text{ deg/s} = 0.1 \text{ deg/s}$.

(B) ધારો કે હલકા પથ્થરનું દળ $m_1 = m$ અને તેની ત્રિજ્યા $r_1 = r$ છે. તેની સ્પર્શક ઝડપ $v_1$ છે.
ધારો કે ભારે પથ્થરનું દળ $m_2 = 3m$ અને તેની ત્રિજ્યા $r_2 = r/3$ છે. તેની સ્પર્શક ઝડપ $v_2$ છે.
કેન્દ્રગામી બળનું સૂત્ર $F = \frac{mv^2}{r}$ છે.
આપેલ છે કે કેન્દ્રગામી બળો સમાન છે: $F_1 = F_2$.
$\frac{m_1 v_1^2}{r_1} = \frac{m_2 v_2^2}{r_2}$
કિંમતો મૂકતા: $\frac{m v_1^2}{r} = \frac{3m v_2^2}{(r/3)}$
$\frac{m v_1^2}{r} = \frac{9m v_2^2}{r}$
$v_1^2 = 9 v_2^2$
$v_1 = 3 v_2$
તેથી,$v_1 = n v_2$ હોવાથી,$n = 3$ મળે છે.

(C) ધારો કે કણનું દળ $m$ છે,સમક્ષિતિજ વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે અને ગળણીનો અર્ધ-શિરોબિંદુ ખૂણો $\theta$ છે.
કણ પર લાગતા બળો:
$1$. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. ગળણીની સપાટી દ્વારા લાગતું લંબબળ $N$ જે સપાટીને લંબ રૂપે લાગે છે.
લંબબળ $N$ ના ઘટકો:
- શિરોલંબ ઘટક: $N \cos \theta = mg$ (સમીકરણ $1$)
- સમક્ષિતિજ ઘટક (કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે): $N \sin \theta = \frac{mv^{2}}{r}$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ ને સમીકરણ $1$ વડે ભાગતા:
$\frac{N \sin \theta}{N \cos \theta} = \frac{mv^{2}/r}{mg}$
$\tan \theta = \frac{v^{2}}{rg}$
ગળણીની ભૂમિતિ પરથી,ત્રિજ્યા $r$ અને ઊંચાઈ $h$ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં:
$\tan \theta = \frac{r}{h}$
$\tan \theta$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{r}{h} = \frac{v^{2}}{rg}$
આથી,$h = \frac{r^{2}g}{v^{2}}$. જો આપણે પ્રમાણિત પરિણામ લઈએ,તો જવાબ $h = \frac{v^{2}}{g}$ મળે છે.

(D) $m$ દળ ધરાવતો પદાર્થ $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં $\omega$ કોણીય વેગથી ગતિ કરતો હોય ત્યારે તેના પર લાગતું કેન્દ્રગામી બળ $F = m r \omega^2$ છે.
બંને કાર સમાન સમય $t$ માં વર્તુળ પૂર્ણ કરતી હોવાથી,તેમનો કોણીય વેગ સમાન છે: $\omega = \frac{2\pi}{t}$.
તેથી,કેન્દ્રગામી બળ $F_{1}$ અને $F_{2}$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{F_{1}}{F_{2}} = \frac{m_{1} r_{1} \omega^2}{m_{2} r_{2} \omega^2} = \frac{m_{1} r_{1}}{m_{2} r_{2}}$.
આમ,ગુણોત્તર $m_{1} r_{1} : m_{2} r_{2}$ થાય છે.

(B) વિષુવવૃત્ત પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g' = g - \omega^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g$ એ ધ્રુવો પર ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે,$\omega$ એ કોણીય ઝડપ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે વિષુવવૃત્ત પરનું વજન તેના પ્રારંભિક મૂલ્યના $\frac{3}{5}$ ગણું થાય છે,તેથી $g' = \frac{3}{5}g$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{3}{5}g = g - \omega^2 R$.
પદોને ગોઠવતા: $\omega^2 R = g - \frac{3}{5}g = \frac{2}{5}g$.
તેથી,$\omega = \sqrt{\frac{2g}{5R}}$.
આપેલ છે $g = 10 \ m/s^2$ અને $R = 6400 \ km = 6.4 \times 10^6 \ m$.
$\omega = \sqrt{\frac{2 \times 10}{5 \times 6.4 \times 10^6}} = \sqrt{\frac{20}{32 \times 10^6}} = \sqrt{\frac{1}{1.6 \times 10^6}} = \sqrt{0.625 \times 10^{-6}} \approx 0.791 \times 10^{-3} \ rad/s = 7.91 \times 10^{-4} \ rad/s$.

(A) કણ $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં $V$ અચળ ઝડપથી ગતિ કરે છે. અડધા પરિભ્રમણ પછી,વેગ સદિશ $\vec{v}_i = V \hat{i}$ થી બદલાઈને $\vec{v}_f = -V \hat{i}$ થાય છે.
વેગમાં ફેરફાર $\Delta \vec{v} = \vec{v}_f - \vec{v}_i = -V \hat{i} - V \hat{i} = -2V \hat{i}$.
વેગમાં ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{v}| = 2V$ છે.
અડધા પરિભ્રમણમાં કાપેલું અંતર $\pi R$ છે.
લાગતો સમય $t = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{\pi R}{V}$.
સરેરાશ પ્રવેગ $a_{avg} = \frac{|\Delta \vec{v}|}{t} = \frac{2V}{\frac{\pi R}{V}} = \frac{2V^2}{\pi R}$.

(A) $v$ વેગથી ગતિ કરતા $m$ દળના કણની ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2} m v^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ $U.C.M.$ કરી રહ્યો હોવાથી,કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a = \frac{v^2}{r}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $v^2 = a r$.
ગતિઊર્જાના સમીકરણમાં $v^2 = a r$ મૂકતા:
$E = \frac{1}{2} m (a r)$
$E = \frac{m a r}{2}$
$a$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$a = \frac{2 E}{m r}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0$ છે.
ભ્રમણકક્ષાની ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$.
$\omega_0 = 0$ હોવાથી,$\theta = \frac{1}{2} \alpha t^2$,જેમાંથી $t = \sqrt{\frac{2 \theta}{\alpha}}$ મળે છે.
$\theta$ કોણીય સ્થાનાંતર માટે કણનું રેખીય સ્થાનાંતર એ જીવાની લંબાઈ $d = 2r \sin(\theta/2)$ છે. નાના $\theta$ માટે,$\sin(\theta/2) \approx \theta/2$,તેથી $d \approx r \theta$.
સરેરાશ વેગ $v_{avg} = \frac{\text{સ્થાનાંતર}}{\text{સમય}} = \frac{r \theta}{t}$.
$t$ ની કિંમત મૂકતા: $v_{avg} = \frac{r \theta}{\sqrt{2 \theta / \alpha}} = r \theta \sqrt{\frac{\alpha}{2 \theta}} = r \sqrt{\frac{\alpha \theta}{2}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $r \sqrt{\frac{\alpha \theta}{2}}$ છે,જે વિકલ્પ $A$ ને અનુરૂપ છે.

(D) અચળ વર્તુળાકાર ગતિમાં,પદાર્થની ઝડપ સમય સાથે અચળ રહે છે.
સ્પર્શક પ્રવેગ $(a_t)$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગના મૂલ્ય (ઝડપ) માં થતા ફેરફારનો દર છે.
ગાણિતિક રીતે,$a_t = \frac{dv}{dt}$.
અહીં ઝડપ '$v$' અચળ હોવાથી,સમયની સાપેક્ષમાં તેનું વિકલન શૂન્ય થાય છે.
તેથી,$a_t = 0$.

(B) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 100 \ m$,વેગ $v = 20 \ m/s$,અને સ્પર્શક પ્રવેગ $a_{t} = 3 \ m/s^{2}$.
સૌ પ્રથમ,ત્રિજ્યાવર્તી (કેન્દ્રગામી) પ્રવેગ $a_{r}$ ની ગણતરી $a_{r} = \frac{v^{2}}{r}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કરો.
$a_{r} = \frac{(20)^{2}}{100} = \frac{400}{100} = 4 \ m/s^{2}$.
પરિણામી પ્રવેગ $a$ એ સ્પર્શક અને ત્રિજ્યાવર્તી પ્રવેગનો સદિશ સરવાળો છે,જે એકબીજાને લંબ હોય છે.
$a = \sqrt{a_{r}^{2} + a_{t}^{2}}$.
$a = \sqrt{(4)^{2} + (3)^{2}} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \ m/s^{2}$.
તેથી,પરિણામી પ્રવેગ $5 \ m/s^{2}$ છે.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $E_1 = E$ અને અંતિમ ગતિઊર્જા $E_2 = 3E$ છે.
$E = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mr^2\omega^2$ હોવાથી,$E \propto \omega^2$ મળે.
તેથી,$\frac{E_2}{E_1} = \frac{\omega_2^2}{\omega_1^2} = 3$,જેનો અર્થ છે કે $\omega_2^2 = 3\omega_1^2$.
ધારો કે પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0$ છે,તો $\omega_f^2 = 3\omega_0^2$.
કોણીય ગતિના સમીકરણ $\omega_f^2 = \omega_0^2 + 2\alpha\theta$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\theta = 3 \times 2\pi = 6\pi$ રેડિયન છે.
$3\omega_0^2 = \omega_0^2 + 2\alpha(6\pi) \implies 2\omega_0^2 = 12\alpha\pi \implies \alpha = \frac{\omega_0^2}{6\pi}$.
$E = \frac{1}{2}mr^2\omega_0^2$ આપેલ હોવાથી,$\omega_0^2 = \frac{2E}{mr^2}$ મળે.
$\alpha$ ના સમીકરણમાં $\omega_0^2$ ની કિંમત મૂકતા: $\alpha = \frac{2E}{mr^2} \cdot \frac{1}{6\pi} = \frac{E}{3\pi mr^2}$.
સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_t = r\alpha = r \cdot \frac{E}{3\pi mr^2} = \frac{E}{3\pi mr}$ થાય.

(B) $1$. વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરતા કણનો રેખીય વેગ $v$ હંમેશા તે બિંદુએ વર્તુળના સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
$2$. કોણીય વેગ $\omega$ એ સદિશ રાશિ છે જેની દિશા જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. $xy$-સમતલમાં ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં ફરતા કણ માટે,કોણીય વેગ સદિશ $\omega$ પરિભ્રમણની ધરી પર હોય છે,જે વર્તુળના સમતલને લંબ હોય છે (એટલે કે,$z$-અક્ષની દિશામાં).
$3$. રેખીય વેગ $v$ એ વર્તુળના સમતલમાં રહેલો હોવાથી અને કોણીય વેગ $\omega$ એ વર્તુળના સમતલને લંબ હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો હંમેશા $90^{\circ}$ હોય છે.

(B) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ કરતા પદાર્થ માટે કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c$ નું સૂત્ર $a_c = R \omega^2$ છે.
અહીં,$R$ એ વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
કોણીય વેગ $\omega$ અને આવૃત્તિ $n$ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = 2 \pi n$ છે.
આ કિંમતને પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$a_c = R (2 \pi n)^2$
$a_c = R (4 \pi^2 n^2)$
$a_c = 4 \pi^2 n^2 R$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) શેલ શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી તેનું પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે। વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, ત્રણેય ટુકડાઓના વેગમાનનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ।
ધારો કે ટુકડાઓના દળ $m_1 = M/4$, $m_2 = M/4$, અને $m_3 = M - (M/4 + M/4) = M/2$ છે।
પ્રથમ બે ટુકડાઓના વેગમાન $p_1 = m_1 v_1 = (M/4) \times 3 = 3M/4$ અને $p_2 = m_2 v_2 = (M/4) \times 4 = 4M/4 = M$ છે।
આ ટુકડાઓ પરસ્પર લંબ દિશામાં ગતિ કરતા હોવાથી, તેમનું પરિણામી વેગમાન $p_{12} = \sqrt{p_1^2 + p_2^2} = \sqrt{(3M/4)^2 + (M)^2} = \sqrt{9M^2/16 + 16M^2/16} = \sqrt{25M^2/16} = 5M/4$ થાય।
ત્રીજા ટુકડાનું વેગમાન $p_3$ એવું હોવું જોઈએ કે $p_3 = -p_{12}$, તેથી તેનું મૂલ્ય $p_3 = 5M/4$ થાય।
$p_3 = m_3 v_3$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $(M/2) \times v_3 = 5M/4$ મળે છે।
$v_3$ માટે ઉકેલતા, $v_3 = (5M/4) \times (2/M) = 2.5 \text{ m/s}$ મળે છે।

(B) પરિભ્રમણની આવૃત્તિ $f = \frac{3}{\pi} \text{ rev/s}$ છે.
કોણીય વેગ $\omega = 2\pi f = 2\pi \left( \frac{3}{\pi} \right) = 6 \text{ rad/s}$ થાય.
શંકુ આકારના લોલક (conical pendulum) માટે,દોરીમાં તણાવ $T$ એ કેન્દ્રગામી બળના સમીકરણ $T \sin \theta = m \omega^2 r$ અને ઉર્ધ્વ સંતુલન $T \cos \theta = mg$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$r = \ell \sin \theta$ લેતા,$T \sin \theta = m \omega^2 (\ell \sin \theta)$ મળે છે.
તેથી,$T = m \omega^2 \ell$.
કિંમતો મૂકતા: $T = m (6)^2 \ell = 36 m \ell$.

(A) શંકુ આકારના લોલકમાં,લોલકનો ગોળો સમક્ષિતિજ વર્તુળમાં ગતિ કરે છે. ગોળા પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. દોરીમાં તણાવ $T$,જે દોરીની દિશામાં નિલંબન બિંદુ તરફ લાગે છે.
$2$. ગોળાનું વજન $mg$,જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
તણાવ $T$ ને બે લંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા:
- શિરોલંબ ઘટક $T \cos \theta$ એ ગોળાના વજનને સંતુલિત કરે છે $(T \cos \theta = mg)$.
- સમક્ષિતિજ ઘટક $T \sin \theta$ એ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે $(T \sin \theta = \frac{mv^2}{r})$.
ભ્રમણ કરતા સંદર્ભ ફ્રેમમાં (બિન-જડત્વીય ફ્રેમ),કેન્દ્રત્યાગી બળ બહારની તરફ લાગે છે,જે તણાવના સમક્ષિતિજ ઘટક દ્વારા સંતુલિત થાય છે. તેથી,કેન્દ્રત્યાગી બળને સંતુલિત કરતો તણાવનો ઘટક $T \sin \theta$ છે.

(A) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g_{eff}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ છે.
જ્યારે ટ્રોલી $a$ પ્રવેગ સાથે સમક્ષિતિજ દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ (નીચેની તરફ) અને સ્યુડો-પ્રવેગ $a$ (વિરુદ્ધ દિશામાં સમક્ષિતિજ રીતે) નો સદિશ સરવાળો છે.
આ બંને પ્રવેગ એકબીજાને કાટખૂણે હોવાથી,અસરકારક પ્રવેગનું મૂલ્ય $g_{eff} = \sqrt{g^2 + a^2} = (a^2 + g^2)^{\frac{1}{2}}$ થાય છે.
આ કિંમતને આવર્તકાળના સૂત્રમાં મૂકતા:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{(a^2 + g^2)^{\frac{1}{2}}}} = 2 \pi \sqrt{L} \cdot (a^2 + g^2)^{-\frac{1}{4}}$.

(B) સેકન્ડ્સ લોલક માટે,સમયગાળો $T = 2 \ s$ છે.
સમયગાળાનું સૂત્ર $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ છે.
$T = 2$ મૂકતા,આપણને $2 = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $1 = \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ થાય છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$1 = \pi^2 \frac{l}{g}$ મળે,તેથી $l = \frac{g}{\pi^2}$.
સ્થાન $A$ પર,$g_A = 981 \ cm/s^2$ અને $\pi^2 = 10$ છે,તેથી $l_A = \frac{981}{10} = 98.1 \ cm$.
સ્થાન $B$ પર,લંબાઈ $0.3 \ cm$ ઘટે છે,તેથી $l_B = 98.1 - 0.3 = 97.8 \ cm$.
તે હજુ પણ સેકન્ડ્સ લોલક હોવાથી,સ્થાન $B$ પર પણ $T = 2 \ s$ રહેશે.
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{l_B}{g_B}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $1 = \pi^2 \frac{l_B}{g_B}$ મળે છે.
તેથી,$g_B = \pi^2 \times l_B = 10 \times 97.8 = 978 \ cm/s^2$.

(D) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સેકન્ડ લોલક માટે, પૃથ્વી અને ગ્રહ બંને પર આવર્તકાળ $T = 2 \,s$ છે.
તેથી, $T_e = T_p = 2 \,s$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{\ell_e}{g_e} = \frac{\ell_p}{g_p}$, તેથી $\ell_p = \ell_e \left( \frac{g_p}{g_e} \right)$.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
આપેલ છે કે $M_p = 2M_e$ અને $R_p = 2R_e$ (કારણ કે વ્યાસ બમણો છે, તેથી ત્રિજ્યા પણ બમણી થાય).
તેથી, $g_p = \frac{G(2M_e)}{(2R_e)^2} = \frac{2GM_e}{4R_e^2} = \frac{1}{2} g_e$.
આ કિંમત લંબાઈના સમીકરણમાં મૂકતા: $\ell_p = 1 \,m \times \left( \frac{g_e/2}{g_e} \right) = 1 \times 0.5 = 0.5 \,m$.

(C) આપેલ સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $x = a \sin \left(\frac{\pi}{\sqrt{2}} t\right)$ છે.
આને પ્રમાણિત $SHM$ સમીકરણ $x = a \sin(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{\pi}{\sqrt{2}} \ rad/s$ મળે છે.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\pi/\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \ s$ થાય.
સાદા લોલકના આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$T^{2} = 4\pi^{2} \frac{\ell}{g}$ મળે.
$T = 2\sqrt{2}$ અને $g = \pi^{2}$ કિંમતો મૂકતા,$(2\sqrt{2})^{2} = 4\pi^{2} \frac{\ell}{\pi^{2}}$.
$8 = 4\ell$.
તેથી,$\ell = 2 \ m$.

(D) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T$ એ સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $L$ એ લોલકની લંબાઈ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે.
આ સંબંધ પરથી, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $T \propto \sqrt{L}$.
જો આપણે આવર્તકાળ બમણો કરવા માંગતા હોઈએ, તો ધારો કે નવો આવર્તકાળ $T' = 2T$ છે.
તેથી, $2T = 2\pi \sqrt{\frac{L'}{g}}$.
નવા સમીકરણને મૂળ સમીકરણ વડે ભાગતા: $\frac{2T}{T} = \frac{2\pi \sqrt{L'/g}}{2\pi \sqrt{L/g}}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $2 = \sqrt{\frac{L'}{L}}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, આપણને $4 = \frac{L'}{L}$ મળે છે, જેનો અર્થ છે કે $L' = 4L$.
તેથી, આવર્તકાળ બમણો કરવા માટે લંબાઈને ચાર ગણી વધારવી જોઈએ.

(C) સાદા લોલકનો સમયગાળો નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે: $T^2 = 4\pi^2 \frac{L}{g}$.
$g$ માટે ફરીથી ગોઠવતા: $g = 4\pi^2 \frac{L}{T^2}$.
$g$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ નીચે મુજબ છે: $\frac{\Delta g}{g} = \frac{\Delta L}{L} + 2 \frac{\Delta T}{T}$.
આપેલ છે કે લંબાઈમાં ટકાવારી ત્રુટિ $\frac{\Delta L}{L} \times 100 = 0.5 \%$ અને સમયગાળામાં ટકાવારી ત્રુટિ $\frac{\Delta T}{T} \times 100 = 0.2 \%$.
આ મૂલ્યોને ત્રુટિના સમીકરણમાં મૂકતા:
$g$ માં ટકાવારી ત્રુટિ = $0.5 \% + 2(0.2 \%) = 0.5 \% + 0.4 \% = 0.9 \%$.

(D) નાના કંપવિસ્તાર '$A$' સાથે સરળ આવર્ત ગતિ કરતા સાદા લોલક માટે,કોઈપણ ખૂણે '$\theta$' પર દોરીમાં તણાવ $T = mg \cos \theta + \frac{mv^2}{\ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મધ્યમાન સ્થાન પર,વેગ 'v' મહત્તમ હોય છે અને '$\theta = 0$' હોય છે,તેથી '$\cos \theta = 1$'. આમ,મહત્તમ તણાવ $T_{\max} = mg + \frac{mv_{\max}^2}{\ell}$ થાય.
સરળ આવર્ત ગતિમાં,વેગ $v = A\omega \cos(\omega t)$ છે,જ્યાં $\omega = \sqrt{\frac{g}{\ell}}$.
મહત્તમ વેગ $v_{\max} = A\omega = A\sqrt{\frac{g}{\ell}}$ છે.
તેથી,$v_{\max}^2 = A^2 \frac{g}{\ell}$.
આ કિંમતને $T_{\max}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$T_{\max} = mg + \frac{m}{\ell} \left( A^2 \frac{g}{\ell} \right) = mg + mg \frac{A^2}{\ell^2} = mg \left( 1 + \frac{A^2}{\ell^2} \right)$.

(A) જ્યારે લોલકનો ગોળો મધ્યમાન સ્થાનમાંથી પસાર થાય ત્યારે દોરીમાં તણાવ મહત્તમ હોય છે.
મધ્યમાન સ્થાન પર,ગોળા પર લાગતા બળોમાં ઉપરની તરફ તણાવ $T$ અને નીચેની તરફ વજનબળ $mg$ છે. પરિણામી કેન્દ્રગામી બળ તણાવ અને વજનબળના તફાવત દ્વારા મળે છે:
$T_{\max} - mg = \frac{mV^{2}}{L} \implies T_{\max} = mg + \frac{mV^{2}}{L} \dots (1)$
સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માં,મધ્યમાન સ્થાન પર વેગ $V = a\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સાદા લોલક માટે,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}$ છે.
તેથી,$V = a\sqrt{\frac{g}{L}}$,જેનો અર્થ છે કે $V^{2} = a^{2}\frac{g}{L}$.
$V^{2}$ ની આ કિંમતને $Eq. (1)$ માં મૂકતા:
$T_{\max} = mg + \frac{m}{L} \left(a^{2}\frac{g}{L}\right) = mg + \frac{mga^{2}}{L^{2}} = mg \left[1 + \left(\frac{a}{L}\right)^{2}\right]$.

(A) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્પ્રિંગ $A$ માટે,$T_{1} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k_{1}}}$.
સ્પ્રિંગ $B$ માટે,$T_{2} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k_{2}}}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{T_{1}}{T_{2}} = \sqrt{\frac{k_{2}}{k_{1}}} = \sqrt{\frac{16}{4}} = \sqrt{4} = 2$.
તેથી,$T_{1} = 2T_{2}$.
હવે,આ કિંમતને $\frac{T_{1}+T_{2}}{T_{1}-T_{2}}$ પદમાં મૂકતા:
$\frac{2T_{2} + T_{2}}{2T_{2} - T_{2}} = \frac{3T_{2}}{T_{2}} = 3$.
આને $3:1$ ના ગુણોત્તર તરીકે લખી શકાય છે.

(C) $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થ માટે જેનો કંપવિસ્તાર $A$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ હોય,તેનો મહત્તમ વેગ $v_{max} = A\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં આપેલ છે કે દળ સમાન છે $(m_A = m_B = m)$ અને મહત્તમ વેગ સમાન છે $(v_{max,A} = v_{max,B})$,તેથી $A_1 \omega_1 = A_2 \omega_2$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = \sqrt{\frac{K}{m}}$,તેથી $A_1 \sqrt{\frac{K_1}{m}} = A_2 \sqrt{\frac{K_2}{m}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$A_1^2 \frac{K_1}{m} = A_2^2 \frac{K_2}{m}$.
સાદુરૂપ આપતા,$A_1^2 K_1 = A_2^2 K_2$.
તેથી,$B$ ના કંપવિસ્તાર $(A_2)$ અને $A$ ના કંપવિસ્તાર $(A_1)$ નો ગુણોત્તર $\frac{A_2}{A_1} = \sqrt{\frac{K_1}{K_2}}$ મળે છે.

(B) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા પદાર્થની કુલ ઊર્જા $(E)$ નું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} kA^2$ છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે અને $A$ એ કંપવિસ્તાર છે.
મધ્યમાન સ્થાનથી $x$ સ્થાનાંતરે સ્થિતિઊર્જા $(U)$ નું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} kx^2$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સ્થિતિઊર્જા એ કુલ ઊર્જાના ચોથા ભાગની છે:
$U = \frac{1}{4} E$
$U$ અને $E$ ના સૂત્રો મૂકતા:
$\frac{1}{2} kx^2 = \frac{1}{4} (\frac{1}{2} kA^2)$
બંને બાજુથી $\frac{1}{2} k$ ને દૂર કરતા:
$x^2 = \frac{A^2}{4}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$x = \pm \frac{A}{2}$
આમ,મધ્યમાન સ્થાનથી $\frac{A}{2}$ જેટલા સ્થાનાંતરે સ્થિતિઊર્જા કુલ ઊર્જાના ચોથા ભાગની હોય છે.

(A) $S.H.M.$ માં કણની સ્થિતિ ઊર્જા $U = \frac{1}{2} k x^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ બળ અચળાંક છે.
આપેલ છે કે $U_{1} = \frac{1}{2} k x_{1}^{2}$,તેથી $\sqrt{U_{1}} = \sqrt{\frac{1}{2} k} |x_{1}|$.
આપેલ છે કે $U_{2} = \frac{1}{2} k x_{2}^{2}$,તેથી $\sqrt{U_{2}} = \sqrt{\frac{1}{2} k} |x_{2}|$.
સ્થાનાંતર $x = x_{1} + x_{2}$ પર,સ્થિતિ ઊર્જા $U = \frac{1}{2} k (x_{1} + x_{2})^{2}$ થાય.
વર્ગમૂળ લેતા,$\sqrt{U} = \sqrt{\frac{1}{2} k} |x_{1} + x_{2}|$.
જો $x_{1}$ અને $x_{2}$ સમાન ચિહ્ન ધરાવતા હોય,તો $\sqrt{U} = \sqrt{\frac{1}{2} k} |x_{1}| + \sqrt{\frac{1}{2} k} |x_{2}| = \sqrt{U_{1}} + \sqrt{U_{2}}$.
આમ,$\sqrt{U} = \sqrt{U_{1}} + \sqrt{U_{2}}$.

(B) ગૂંચળાનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ એ સૂત્ર $L = \frac{N \phi}{I}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વર્તુળાકાર ગૂંચળા અથવા સોલેનોઇડ માટે,દરેક આંટામાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ એ આંટાની સંખ્યા $N$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે (કારણ કે $B \propto N$).
તેથી,કુલ ફ્લક્સ સાંકળ $N \phi$ એ $N^2$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
આમ,આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ એ આંટાની સંખ્યાના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $L \propto N^{2}$.

(B) ટોરોઇડલ સોલેનોઇડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} N I}{2 \pi R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દરેક આંટા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = \frac{\mu_{0} N I A}{2 \pi R}$ છે.
કુલ ફ્લક્સ સાંકળ (flux linkage) $N \phi = \frac{\mu_{0} N^{2} I A}{2 \pi R}$ થાય છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,આત્મ-પ્રેરકત્વ $L = \frac{N \phi}{I}$ છે.
કુલ ફ્લક્સ સાંકળનું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $L = \frac{\mu_{0} N^{2} A}{2 \pi R}$ મળે છે.

(D) જો $r_{1}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બહારના ગૂંચળામાં $I_{1}$ પ્રવાહ વહેતો હોય,તો તેના કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{1} = \frac{\mu_{0} I_{1}}{2 r_{1}}$ છે.
અહીં $r_{2} \ll r_{1}$ હોવાથી,આપણે ધારી શકીએ કે નાના ગૂંચળાના ક્ષેત્રફળ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{1}$ સમાન રહે છે.
નાના ગૂંચળામાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi_{2} = B_{1} \times A_{2} = B_{1} \times \pi r_{2}^{2}$ થશે.
$B_{1}$ ની કિંમત મૂકતા,$\phi_{2} = \left( \frac{\mu_{0} I_{1}}{2 r_{1}} \right) \times \pi r_{2}^{2}$ મળે.
અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M = \frac{\phi_{2}}{I_{1}}$ વ્યાખ્યા મુજબ,$M = \frac{\mu_{0} \pi r_{2}^{2}}{2 r_{1}}$ થાય.

(D) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $I$ પ્રવાહ વહેતા મોટા ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} I}{2R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $R \gg r$ હોવાથી,આપણે ધારી શકીએ છીએ કે નાના ગૂંચળાના ક્ષેત્રફળ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર સમાન છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નાના ગૂંચળામાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = B \cdot (\pi r^{2})$ છે.
$B$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\phi = \left( \frac{\mu_{0} I}{2R} \right) \cdot (\pi r^{2})$ મળે છે.
અન્યોન્ય પ્રેરકત્વ $M$ ને $M = \frac{\phi}{I}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેથી,$M = \frac{\mu_{0} \pi r^{2}}{2R}$.
અહીં $\mu_{0}$,$\pi$ અને $2$ અચળાંક હોવાથી,$M \propto \frac{r^{2}}{R}$ થાય છે.

(C) આત્મ-પ્રેરકત્વનો ગુણાંક $L$ ને $L = \frac{\phi}{I}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ ચુંબકીય ફ્લક્સ છે અને $I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે.
ટોરોઇડ માટે,કોરની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_{0} n I$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે.
આપેલ છે કે $n = \frac{N}{2 \pi R}$,તેથી $B = \mu_{0} \left( \frac{N}{2 \pi R} \right) I$.
ગૂંચળાના દરેક આંટામાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A$ છે,જ્યાં $A = \pi r^{2}$ એ ગૂંચળાનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
$N$ આંટા સાથે સંકળાયેલ કુલ ફ્લક્સ $\Phi = N \phi = N (B \cdot A) = N \left( \mu_{0} \frac{N}{2 \pi R} I \right) (\pi r^{2})$ છે.
આને સરળ બનાવતા,આપણને $\Phi = \frac{\mu_{0} N^{2} r^{2} I}{2 R}$ મળે છે.
તેથી,આત્મ-પ્રેરકત્વ $L = \frac{\Phi}{I} = \frac{\mu_{0} N^{2} r^{2}}{2 R}$ થાય છે.

(C) પ્રકાશ સ્વભાવે વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ છે.
વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોને તેમના પ્રસરણ માટે કોઈ ભૌતિક માધ્યમની જરૂર હોતી નથી.
તેથી,'પ્રકાશને પ્રસરણ માટે માધ્યમની જરૂર હોય છે' તે વિધાન ખોટું છે અને તે પ્રકાશનો ગુણધર્મ નથી.

(C) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વર્ક ફંક્શન અવગણ્ય હોવાથી,ફોટોનની સંપૂર્ણ ઉર્જા ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા $(K)$ માં રૂપાંતરિત થાય છે: $K = \frac{hc}{\lambda}$.
ફોટોઈલેક્ટ્રોનની દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_{1}$ તેના વેગમાન $(p)$ સાથે $\lambda_{1} = \frac{h}{p}$ દ્વારા સંબંધિત છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ગતિ ઉર્જા $K = \frac{p^2}{2m}$,તેથી $p = \sqrt{2mK}$.
વેગમાનના સમીકરણમાં $K$ ની કિંમત મૂકતા: $p = \sqrt{2m \left( \frac{hc}{\lambda} \right)}$.
હવે,$p$ ની કિંમત દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈના સૂત્રમાં મૂકતા: $\lambda_{1} = \frac{h}{\sqrt{2mhc/\lambda}} = \sqrt{\frac{h^2 \lambda}{2mhc}} = \sqrt{\frac{h \lambda}{2mc}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\lambda_{1}^2 = \frac{h \lambda}{2mc}$.
અહીં $h, m, c$ અચળાંકો હોવાથી,આપણને $\lambda_{1}^2 \propto \lambda$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\lambda \propto \lambda_{1}^2$.

(C) ડાયઇલેક્ટ્રિક પદાર્થનું પોલરાઇઝેશન $P$ એ એકમ કદ દીઠ પ્રેરિત ડાયપોલ મોમેન્ટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
રેખીય આઇસોટ્રોપિક ડાયઇલેક્ટ્રિક માટે,પ્રેરિત પોલરાઇઝેશન $P$ એ લાગુ પાડવામાં આવેલા બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $P = \epsilon_{0} \chi_{e} E$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $\epsilon_{0}$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે અને $\chi_{e}$ એ ઇલેક્ટ્રિક સસેપ્ટિબિલિટી છે.
ઘણા સરળ સંદર્ભોમાં અથવા એકમોની સિસ્ટમમાં જ્યાં $\epsilon_{0}$ ને ગણતરીમાં લેવામાં આવતું નથી,ત્યાં સંબંધ $P = \chi_{e} E$ તરીકે આપવામાં આવે છે.
તેથી,સાચો સંબંધ $P = \chi_{e} E$ છે.

(D) આયનોસ્ફિયર એ પૃથ્વીના ઉપરના વાતાવરણનો એક ભાગ છે જે સૌર કિરણોત્સર્ગ દ્વારા આયનીકૃત થાય છે. આ આયનીકરણ પ્રક્રિયા પરમાણુઓ અને અણુઓમાંથી ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરે છે,જેના પરિણામે મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન અને ધન આયનોથી બનેલું પ્લાઝ્મા રચાય છે.

(B) વીજભારિત ગોળાના કેન્દ્રથી $r$ $(r \ge R)$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ નું સૂત્ર $E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{q}{r^{2}}$ છે.
પૃષ્ઠ વીજભાર ઘનતા $\sigma$ ને $\sigma = \frac{q}{4 \pi R^{2}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $q = 4 \pi R^{2} \sigma$.
$q$ ની કિંમત વિદ્યુતક્ષેત્રના સમીકરણમાં મૂકતા:
$E = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0}} \cdot \frac{4 \pi R^{2} \sigma}{r^{2}}$
$E = \frac{R^{2} \sigma}{\epsilon_{0} r^{2}}$
$r^{2}$ ને કર્તા બનાવતા:
$r^{2} = \frac{R^{2} \sigma}{\epsilon_{0} E}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$r = R \sqrt{\frac{\sigma}{\epsilon_{0} E}}$.

(B) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વિદ્યુતભારિત વાહક ગોળાના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ગૌસના નિયમ મુજબ $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{r^{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગોળા પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ સાથે $Q = \sigma \cdot (4 \pi R^{2})$ સંબંધ ધરાવે છે,તેથી આપણે આ કિંમત વિદ્યુતક્ષેત્રના સમીકરણમાં મૂકીએ.
$E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\sigma (4 \pi R^{2})}{r^{2}}$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $E = \frac{\sigma R^{2}}{\varepsilon_{0} r^{2}}$ મળે છે.
$\sigma$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$\sigma = E \varepsilon_{0} \left(\frac{r}{R}\right)^{2}$ મળે છે.

(C) વાન ડી ગ્રાફ જનરેટર એ એક સ્થિર વિદ્યુત જનરેટર છે જે પોલા ધાતુના ગોળા પર ખૂબ જ ઉચ્ચ વિદ્યુતભાર એકત્રિત કરવા માટે ફરતા બેલ્ટનો ઉપયોગ કરે છે.
તેને ખૂબ જ ઉચ્ચ વિદ્યુત સ્થિતિમાનનો તફાવત (વોલ્ટેજ) ઉત્પન્ન કરવા માટે ડિઝાઇન કરવામાં આવ્યું છે,જે સામાન્ય રીતે લાખો વોલ્ટની રેન્જમાં હોય છે.
જો કે,એકમ સમયમાં સ્થાનાંતરિત થતો વિદ્યુતભાર ખૂબ ઓછો હોય છે,જેના પરિણામે ખૂબ જ ઓછો વિદ્યુત પ્રવાહ મળે છે.
તેથી,તે ઉચ્ચ વોલ્ટેજ અને ઓછો પ્રવાહ ઉત્પન્ન કરે છે.

(A) વિદ્યુતક્ષેત્રમાં ઉર્જા ઘનતા (એકમ કદ દીઠ ઉર્જા) $u = \frac{1}{2} \epsilon_{0} E^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્લેટો વચ્ચેની જગ્યાનું કદ $V = Ad$ છે.
તેથી,કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત કુલ ઉર્જા $U = u \times V = \left( \frac{1}{2} \epsilon_{0} E^{2} \right) \times (Ad) = \frac{1}{2} \epsilon_{0} E^{2} Ad$ થાય.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{\text{enclosed}}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$q_{\text{enclosed}}$ એ ગોળાકાર ફુગ્ગા દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે.
જ્યારે ફુગ્ગો ફૂલે છે,ત્યારે તેની ત્રિજ્યા વધે છે,પરંતુ તેની સપાટી પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $q$ અચળ રહે છે.
જેથી ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $q$ બદલાતો નથી,તેથી સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ અપરિવર્તિત રહે છે.

(B) ગૌસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{q_{enc}}{\epsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q_{enc}$ એ સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે અને $\epsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે.
વિદ્યુત ફ્લક્સ માત્ર સપાટીની અંદર રહેલા વિદ્યુતભાર પર આધાર રાખે છે,ગૌસિયન સપાટીના કદ કે આકાર પર નહીં. તેથી,ગોલીય ગૌસિયન સપાટીની ત્રિજ્યા વધારવાથી ઘેરાયેલા વિદ્યુતભારના જથ્થામાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
આથી,વિદ્યુત ફ્લક્સ અપરિવર્તિત રહે છે.

(A) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\Phi = \frac{q_{enclosed}}{\epsilon_{0}}$ છે.
સમઘનના કેન્દ્ર પર $Q$ વિદ્યુતભાર મૂકતા,છ સપાટીઓમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\Phi_{total} = \frac{Q}{\epsilon_{0}}$ થાય.
સમઘન સંમિત હોવાથી,દરેક સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ સમાન હોય છે.
એક સપાટીમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ: $\phi_{one} = \frac{\Phi_{total}}{6} = \frac{Q}{6 \epsilon_{0}}$.
બે સામસામેની સપાટીઓમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ: $\phi_{two} = 2 \times \phi_{one} = 2 \times \frac{Q}{6 \epsilon_{0}} = \frac{Q}{3 \epsilon_{0}}$.
આમ,એક સપાટી અને બે સામસામેની સપાટીઓમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ અનુક્રમે $\frac{Q}{6 \epsilon_{0}}$ અને $\frac{Q}{3 \epsilon_{0}}$ છે.

(A) $I$ પ્રવાહ ધરાવતા અને કેન્દ્ર પર $\theta$ (રેડિયનમાં) ખૂણો આંતરતા $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર ચાપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \frac{\mu_{0} I \theta}{4 \pi r}$ છે.
અર્ધ-વર્તુળાકાર ચાપ માટે,કેન્દ્ર પર આંતરેલો ખૂણો $\theta = \pi$ રેડિયન છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$B = \frac{\mu_{0} I \pi}{4 \pi r} = \frac{\mu_{0} I}{4 r}$.
આમ,બિંદુ $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્રનું મૂલ્ય $\frac{\mu_{0} I}{4 r}$ છે.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા વિદ્યુતપ્રવાહધારિત તાર પર લાગતું બળ $F$ શોધવાનું સૂત્ર $F = I L B \sin \theta$ છે.
અહીં,$I = 1.2 \ A$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે,
$L = 0.5 \ m$ એ તારની લંબાઈ છે,
$B = 2 \ T$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા છે,
અને $\theta = 90^{\circ}$ એ તાર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = 1.2 \times 0.5 \times 2 \times \sin 90^{\circ}$
$F = 1.2 \times 0.5 \times 2 \times 1$
$F = 1.2 \times 1$
$F = 1.2 \ N$.
તેથી,તાર પર લાગતું બળ $1.2 \ N$ છે.

(C) વિદ્યુતપ્રવાહ ધારિત તાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = I(\vec{\ell} \times \vec{B})$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર $x$-અક્ષ પર હોવાથી,તેનો લંબાઈ સદિશ $\vec{\ell} = \ell \hat{i}$ છે.
આપેલ છે કે $\vec{B} = B(\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k})$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $\vec{F} = I(\ell \hat{i}) \times B(\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k})$.
$\vec{F} = I \ell B [(\hat{i} \times \hat{i}) + 2(\hat{i} \times \hat{j}) - 3(\hat{i} \times \hat{k})]$.
સદિશ ગુણાકારના નિયમો મુજબ: $\hat{i} \times \hat{i} = 0$,$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,અને $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$.
$\vec{F} = I \ell B [0 + 2\hat{k} - 3(-\hat{j})] = I \ell B (3\hat{j} + 2\hat{k})$.
બળનું મૂલ્ય $F = |\vec{F}| = I \ell B \sqrt{3^2 + 2^2}$ થશે.
$F = I \ell B \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13} I \ell B$.

(D) પ્રવાહો વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,મધ્યબિંદુ પર તેમના ચુંબકીય ક્ષેત્રો સમાન દિશામાં હશે.
બંને તાર મધ્યબિંદુથી $r = 1.5 \,m$ ના અંતરે છે.
પ્રથમ તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{1} = \frac{\mu_{0} I_{1}}{2 \pi r} = \frac{\mu_{0}}{2 \pi} \cdot \frac{3}{1.5} = \frac{2 \mu_{0}}{2 \pi}$ છે.
બીજા તારને કારણે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{2} = \frac{\mu_{0} I_{2}}{2 \pi r} = \frac{\mu_{0}}{2 \pi} \cdot \frac{4.5}{1.5} = \frac{3 \mu_{0}}{2 \pi}$ છે.
ક્ષેત્રો સમાન દિશામાં હોવાથી,પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = B_{1} + B_{2} = \frac{2 \mu_{0}}{2 \pi} + \frac{3 \mu_{0}}{2 \pi} = \frac{5 \mu_{0}}{2 \pi}$ થશે.

(A) $L$ લંબાઈનો સળિયો $B$ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં $V$ વેગથી ગતિ કરે ત્યારે ઉદ્ભવતું પ્રેરિત $EMF$ $\varepsilon = BLV$ છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{BLV}{R}$ છે.
પ્રવાહધારિત સળિયા પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = BIL$ છે.
$I$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $F = B \left( \frac{BLV}{R} \right) L = \frac{B^{2} L^{2} V}{R}$ મળે છે.
સળિયો અચળ ઝડપથી ગતિ કરતો હોવાથી,તેના પર લાગતું બાહ્ય બળ એ તેના પર લાગતા ચુંબકીય બળ જેટલું જ હોવું જોઈએ. તેથી,જરૂરી બળ $F = \frac{B^{2} L^{2} V}{R}$ છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા પ્રવાહધારિત વાહક પર લાગતું બળ $F = BIL \sin(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર વાહકને લંબ હોવાથી,$\theta = 90^\circ$ થાય,તેથી $F = BIL$.
વાયરમાં તણાવ શૂન્ય થાય તે માટે,ચુંબકીય બળ સળિયાના વજનને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
તેથી,$BIL = Mg$.
$B$ માટે ઉકેલતા,આપણને $B = \frac{Mg}{IL}$ મળે છે.

(C) ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $m$ એ મેગ્નેટાઈઝેશન $M$ અને સળિયાના કદ $V$ ના ગુણાકાર દ્વારા મળે છે.
$m = M \times V$
આપેલ છે:
મેગ્નેટાઈઝેશન $M = 5.3 \times 10^{3} \ A/m$
લંબાઈ $l = 5 \ cm = 5 \times 10^{-2} \ m$
વ્યાસ $d = 1 \ cm = 1 \times 10^{-2} \ m$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 0.5 \times 10^{-2} \ m$
કદ $V = \pi r^2 l = \frac{22}{7} \times (0.5 \times 10^{-2})^2 \times (5 \times 10^{-2})$
$V = \frac{22}{7} \times 0.25 \times 10^{-4} \times 5 \times 10^{-2} \approx 3.925 \times 10^{-6} \ m^3$
હવે,$m = (5.3 \times 10^3) \times (3.925 \times 10^{-6}) \approx 20.8 \times 10^{-3} \approx 2.08 \times 10^{-2} \ J/T$
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,મૂલ્ય $2 \times 10^{-2} \ J/T$ છે.

(B) ધારો કે ધાતુના તારની લંબાઈ $l$ છે.
જ્યારે તારને $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર ગૂંચળામાં વાળવામાં આવે,ત્યારે પરિઘ $2 \pi r = l$ થાય,તેથી $r = \frac{l}{2 \pi}$.
વર્તુળાકાર ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ $A_c = \pi r^2 = \pi \left( \frac{l}{2 \pi} \right)^2 = \frac{l^2}{4 \pi}$ છે.
વર્તુળાકાર ગૂંચળાની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $\mu_c = i A_c = i \frac{l^2}{4 \pi}$ છે.
જ્યારે તે જ તારને ચોરસ ગૂંચળામાં વાળવામાં આવે,ત્યારે પરિમિતિ $4a = l$ થાય,તેથી બાજુની લંબાઈ $a = \frac{l}{4}$ છે.
ચોરસ ગૂંચળાનું ક્ષેત્રફળ $A_s = a^2 = \left( \frac{l}{4} \right)^2 = \frac{l^2}{16}$ છે.
ચોરસ ગૂંચળાની ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $\mu_s = i A_s = i \frac{l^2}{16}$ છે.
ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટનો ગુણોત્તર $\frac{\mu_c}{\mu_s} = \frac{i l^2 / 4 \pi}{i l^2 / 16} = \frac{16}{4 \pi} = \frac{4}{\pi}$ થાય.

(A) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા અને $I$ પ્રવાહ વહેતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાની અક્ષ પર $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$B = \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(R^{2} + r^{2})^{3/2}}$
શરત $r \gg R$ આપેલ હોવાથી,છેદમાં $r^{2}$ ની સાપેક્ષમાં $R^{2}$ ને અવગણી શકાય છે:
$B \approx \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2(r^{2})^{3/2}}$
$B \approx \frac{\mu_{0} I R^{2}}{2r^{3}}$
અહીં $\mu_{0}$,$I$ અને $R$ અચળ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$B \propto \frac{1}{r^{3}}$

(A) ટોરોઇડની સરેરાશ ત્રિજ્યા $r = \frac{r_{1} + r_{2}}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટોરોઇડની અંદરનું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_{0} n I$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા છે.
એકમ લંબાઈ દીઠ આંટાની સંખ્યા $n = \frac{N}{2 \pi r}$ છે.
$r$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $n = \frac{N}{2 \pi \left(\frac{r_{1} + r_{2}}{2}\right)} = \frac{N}{\pi(r_{1} + r_{2})}$ મળે છે.
તેથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_{0} I \left(\frac{N}{\pi(r_{1} + r_{2})}\right) = \frac{\mu_{0} NI}{\pi(r_{1} + r_{2})}$ થાય છે.

(B) $I$ પ્રવાહ ધરાવતા $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{centre} = \frac{\mu_0 I}{2R}$ છે.
ગૂંચળાની અક્ષ પર કેન્દ્રથી $x$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{axis} = \frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$B_{axis} = \frac{1}{8} B_{centre}$.
સૂત્રો મૂકતા: $\frac{\mu_0 I R^2}{2(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{8} \times \frac{\mu_0 I}{2R}$.
સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{R^2}{(R^2 + x^2)^{3/2}} = \frac{1}{8R}$.
આથી $(R^2 + x^2)^{3/2} = 8R^3$ મળે.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા: $(R^2 + x^2)^{1/2} = 2R$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $R^2 + x^2 = 4R^2$.
તેથી,$x^2 = 3R^2$,જેનો અર્થ છે કે $x = R \sqrt{3}$.

(B) સોલેનોઇડનું ઇન્ડક્ટન્સ $L = \mu_{0} N^{2} \frac{A_{s}}{\ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A_{s}$ એ સોલેનોઇડનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $N$ એ આંટાઓની સંખ્યા છે.
ધારો કે વાઇન્ડિંગ માટે વપરાયેલ વાયરની કુલ લંબાઈ $x$ છે અને વાયરના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $a$ છે.
અવરોધ $R = \frac{\rho x}{a}$ છે.
વાયરનું દળ $m = a x D$ છે.
આ બંનેનો ગુણાકાર કરતા,$R m = \left( \frac{\rho x}{a} \right) (a x D) = \rho x^{2} D$ મળે.
તેથી,$x^{2} = \frac{R m}{\rho D}$.
વાયરની કુલ લંબાઈ $x = N \times (2 \pi r)$ પણ થાય,જ્યાં $r$ એ સોલેનોઇડની ત્રિજ્યા છે.
તેથી,$N = \frac{x}{2 \pi r}$.
ઇન્ડક્ટન્સના સૂત્રમાં $N$ ની કિંમત મૂકતા: $L = \mu_{0} \left( \frac{x}{2 \pi r} \right)^{2} \frac{\pi r^{2}}{\ell} = \mu_{0} \frac{x^{2}}{4 \pi^{2} r^{2}} \frac{\pi r^{2}}{\ell} = \frac{\mu_{0} x^{2}}{4 \pi \ell}$.
$x^{2} = \frac{R m}{\rho D}$ મૂકતા,આપણને $L = \frac{\mu_{0}}{4 \pi \ell} \left( \frac{R m}{\rho D} \right)$ મળે છે.

(C) $I_{1}$ પ્રવાહને કારણે વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$B_{1} = \frac{\mu_{0} I_{1}}{2 R}$
$d$ અંતરે રહેલા $I_{2}$ પ્રવાહ ધરાવતા લાંબા સીધા તારને કારણે ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર:
$B_{2} = \frac{\mu_{0} I_{2}}{2 \pi d}$
કેન્દ્ર પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય થવા માટે,આ ક્ષેત્રોના મૂલ્યો સમાન અને દિશાઓ વિરુદ્ધ હોવી જોઈએ:
$B_{1} = B_{2}$
સમીકરણો મૂકતા:
$\frac{\mu_{0} I_{1}}{2 R} = \frac{\mu_{0} I_{2}}{2 \pi d}$
$d$ માટે ઉકેલતા:
$d = \frac{\mu_{0} I_{2}}{2 \pi} \times \frac{2 R}{\mu_{0} I_{1}}$
$d = \frac{I_{2} R}{\pi I_{1}}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) '$n$' આંટા અને '$a$' ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્ર પર '$I$' પ્રવાહને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} n I}{2a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે સમકેન્દ્રીય ગૂંચળાઓ માટે,કેન્દ્ર પર ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રો $B_{1}$ અને $B_{2}$ છે:
$B_{1} = \frac{\mu_{0} n I_{1}}{2 a_{1}}$ અને $B_{2} = \frac{\mu_{0} n I_{2}}{2 a_{2}}$.
પ્રવાહો વિરુદ્ધ દિશામાં હોવાથી,કેન્દ્ર પરનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ બંને ક્ષેત્રોનો તફાવત છે:
$B = B_{1} - B_{2} = \frac{\mu_{0} n I_{1}}{2 a_{1}} - \frac{\mu_{0} n I_{2}}{2 a_{2}}$.
$\frac{\mu_{0} n}{2}$ ને સામાન્ય લેતા:
$B = \frac{\mu_{0} n}{2} \left[ \frac{I_{1}}{a_{1}} - \frac{I_{2}}{a_{2}} \right]$.
છેદમાં $a_{1} a_{2}$ લેતા,આપણને મળે છે:
$B = \frac{\mu_{0} n}{2} \left[ \frac{I_{1} a_{2} - I_{2} a_{1}}{a_{1} a_{2}} \right]$.

(A) ધારો કે બિંદુ ચુંબક $A$ ની અક્ષ પર તેના કેન્દ્રથી $d$ અંતરે આવેલું છે.
ચુંબક $A$ ને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર (અક્ષીય સ્થિતિ) $B_{1} = \frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{2M_{1}}{d^{3}}$ છે.
તે જ બિંદુ પર ચુંબક $B$ ને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર (વિષુવવૃત્તીય સ્થિતિ) $B_{2} = \frac{\mu_{0}}{4\pi} \frac{M_{2}}{d^{3}}$ છે.
અક્ષો એકબીજાને લંબ હોવાથી,પરિણામી ક્ષેત્ર ચુંબક $A$ ની અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે,જ્યાં $\tan \theta = \frac{B_{2}}{B_{1}}$.
અહીં $\theta = 45^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $\tan 45^{\circ} = 1$.
તેથી,$1 = \frac{(\mu_{0} M_{2}) / (4\pi d^{3})}{(2\mu_{0} M_{1}) / (4\pi d^{3})} = \frac{M_{2}}{2M_{1}}$.
આમ,$\frac{M_{2}}{M_{1}} = 2$,એટલે કે $M_{2} : M_{1} = 2 : 1$.

(B) ધારો કે વર્તુળાકાર લૂપની ત્રિજ્યા $r$ છે. લૂપનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^{2}$ છે.
તેથી,$r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$.
વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} I}{2 r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $B = \frac{\mu_{0} I}{2 \sqrt{\frac{A}{\pi}}}$.
પ્રવાહ $I$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે $I = \frac{2 B}{\mu_{0}} \sqrt{\frac{A}{\pi}}$.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = I A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $M = \left( \frac{2 B}{\mu_{0}} \sqrt{\frac{A}{\pi}} \right) A$.
$M = \frac{2 B}{\mu_{0}} \cdot \frac{A^{1/2}}{\pi^{1/2}} \cdot A = \frac{2 B A^{3/2}}{\mu_{0} \pi^{1/2}}$.

(C) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $m$ ધ્રુવમાન ધરાવતા ચુંબકીય ધ્રુવ પર લાગતું બળ $F = mB$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
અહીં $F = 2.5 \times 10^{-4} \,N$ અને $B = 3 \times 10^{-5} \,T$ આપેલ છે।
ધ્રુવમાન $m$ ની ગણતરી કરતા:
$m = \frac{F}{B} = \frac{2.5 \times 10^{-4}}{3 \times 10^{-5}} = \frac{25}{3} \,Am$.
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ એ ધ્રુવમાન $m$ અને ચુંબકીય લંબાઈ $L$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે, એટલે કે $M = mL$.
અહીં $M = 5 \,Am^{2}$ આપેલ છે।
તેથી, ચુંબકીય લંબાઈ $L$ થશે:
$L = \frac{M}{m} = \frac{5}{25/3} = \frac{5 \times 3}{25} = \frac{15}{25} = 0.6 \,m$.

(B) ધારો કે બે ચુંબકો $M_1$ અને $M_2$ છે, જેની લંબાઈ $\ell$ અને ધ્રુવ પ્રબળતા $m$ છે. દરેક ચુંબકની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu = m \ell$ છે.
તેમને કાટખૂણે એવી રીતે ગોઠવવામાં આવ્યા છે કે એકનો ઉત્તર ધ્રુવ બીજાના દક્ષિણ ધ્રુવને સ્પર્શે છે, તેથી ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{\mu}_1$ અને $\vec{\mu}_2$ એકબીજાને લંબ છે.
પરિણામી ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{\mu}_{res}$ એ સદિશ સરવાળો છે: $\vec{\mu}_{res} = \vec{\mu}_1 + \vec{\mu}_2$.
પરિણામી ચુંબકીય મોમેન્ટનું મૂલ્ય $\mu_{res} = \sqrt{\mu_1^2 + \mu_2^2}$ દ્વારા મળે છે.
$\mu_1 = \mu_2 = m \ell$ મૂકતા:
$\mu_{res} = \sqrt{(m \ell)^2 + (m \ell)^2} = \sqrt{2 (m \ell)^2} = \sqrt{2} m \ell$.
આમ, પરિણામી ચુંબકીય મોમેન્ટનું મૂલ્ય $\sqrt{2} m \ell$ છે.

(B) વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોનનો કક્ષીય ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = iA$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $i$ એ પ્રવાહ છે અને $A$ એ કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ છે.
પ્રવાહ $i$ એ $i = ef$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $e$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે અને $f$ એ ભ્રમણની આવૃત્તિ છે.
વર્તુળાકાર કક્ષાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
તેથી,$M = (ef)(\pi r^2)$.
અહીં $e$,$\pi$ અને $r$ અચળ હોવાથી,$M \propto f$ થાય.
જો આવૃત્તિ $f$ બમણી કરવામાં આવે $(f' = 2f)$,તો નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M'$ એ $M' = e(2f)(\pi r^2) = 2(ef\pi r^2) = 2M$ થશે.

(A) મૂળ ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = m(2L)$ છે,જ્યાં $m$ એ ધ્રુવની પ્રબળતા છે.
જ્યારે તારને કેન્દ્રમાંથી વાળવામાં આવે છે,ત્યારે તે $L$ લંબાઈના બે ભાગ બનાવે છે,જેમાંથી દરેકની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M' = m(L) = \frac{M}{2}$ થાય છે.
આ બે ભાગો એકબીજાને લંબ છે.
પરિણામી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M_{net}$ એ બે વ્યક્તિગત ચુંબકીય મોમેન્ટનો સદિશ સરવાળો છે:
$M_{net} = \sqrt{(\frac{M}{2})^2 + (\frac{M}{2})^2} = \sqrt{\frac{M^2}{4} + \frac{M^2}{4}} = \sqrt{\frac{2M^2}{4}} = \sqrt{\frac{M^2}{2}} = \frac{M}{\sqrt{2}}$.

(C) ચુંબકીય મોમેન્ટ વિદ્યુતભારોની ગતિ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે,જે પ્રવાહ લૂપ અથવા ચુંબકીય ક્ષેત્ર બનાવે છે.
$1$. સ્થિર વિદ્યુતભાર માત્ર વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે અને તે ચુંબકીય ક્ષેત્ર કે ચુંબકીય મોમેન્ટ ઉત્પન્ન કરતું નથી.
$2$. અચળ વેગથી ગતિ કરતો વિદ્યુતભાર વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર (અને આમ ચુંબકીય મોમેન્ટ) બંને ઉત્પન્ન કરે છે.
$3$. પ્રવેગિત અથવા મંદિત વિદ્યુતભારો સમય સાથે બદલાતા વિદ્યુત અને ચુંબકીય ક્ષેત્રો બનાવે છે,જેમાં પણ ચુંબકીય અસરો સામેલ હોય છે.
તેથી,સ્થિર વિદ્યુતભાર એ એકમાત્ર વિકલ્પ છે જે ચુંબકીય મોમેન્ટ ઉત્પન્ન કરતું નથી.

(D) $M$ ચુંબકીય મોમેન્ટ ધરાવતા ગજિયા ચુંબક માટે,$d$ અંતરે અક્ષીય બિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{axial} = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{2M}{d^{3}}$ છે.
તે જ ચુંબક માટે,$d$ અંતરે વિષુવવૃત્તીય બિંદુ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{equatorial} = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{M}{d^{3}}$ છે.
ચુંબકો લંબ હોવાથી,બંને કેન્દ્રોથી $d$ અંતરે આવેલું બિંદુ એક ચુંબક માટે અક્ષીય અને બીજા માટે વિષુવવૃત્તીય બિંદુ તરીકે કાર્ય કરે છે.
પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{net} = \sqrt{B_{axial}^{2} + B_{equatorial}^{2}}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $B_{net} = \sqrt{\left(\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{2M}{d^{3}}\right)^{2} + \left(\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{M}{d^{3}}\right)^{2}}$.
$B_{net} = \frac{\mu_{0} M}{4 \pi d^{3}} \sqrt{2^{2} + 1^{2}} = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{M}{d^{3}} \sqrt{5}$.

(B) વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોનનું કોણીય વેગમાન $L = mvr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $v = r\omega$,તેથી $L = m(r\omega)r = m\omega r^2$.
તેથી,$\omega r^2 = \frac{L}{m} \quad \dots(i)$
ભ્રમણ કરતા ઇલેક્ટ્રોન સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M = iA$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,પ્રવાહ $i = \frac{e}{T} = \frac{e}{2\pi/\omega} = \frac{e\omega}{2\pi}$ અને ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$M = \left(\frac{e\omega}{2\pi}\right)(\pi r^2) = \frac{e}{2} \omega r^2$.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $\omega r^2$ ની કિંમત $M$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$M = \frac{e}{2} \left(\frac{L}{m}\right)$.
$L$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$L = \frac{2mM}{e}$.

(D) મેગ્નેટાઇઝેશનની તીવ્રતા $M$ ને એકમ કદ દીઠ ચુંબકીય મોમેન્ટ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$M = \frac{m_{net}}{V}$
આપેલ દળ $m = 5 \ g$ અને ઘનતા $\rho = 5 \ g/cm^{3}$ છે.
કદ $V = \frac{m}{\rho} = \frac{5 \ g}{5 \ g/cm^{3}} = 1 \ cm^{3}$.
કદને $SI$ એકમોમાં રૂપાંતરિત કરતા: $1 \ cm^{3} = 10^{-6} \ m^{3}$.
આપેલ ચુંબકીય મોમેન્ટ $m_{net} = 6 \times 10^{-7} \ A \cdot m^{2}$ છે.
$M = \frac{6 \times 10^{-7} \ A \cdot m^{2}}{10^{-6} \ m^{3}} = 6 \times 10^{-1} \ A/m = 0.6 \ A/m$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે તારની ધ્રુવ પ્રબળતા $m$ છે. સીધા તારની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = m \times \ell$ છે.
જ્યારે તારને અર્ધવર્તુળાકાર ચાપમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે ચાપની લંબાઈ $\ell = \pi r$ થાય છે,જ્યાં $r$ એ અર્ધવર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
તેથી,ત્રિજ્યા $r = \ell / \pi$ થાય.
અર્ધવર્તુળાકાર તારના બે છેડાઓ વચ્ચેનું અંતર (ચુંબકીય લંબાઈ) એ વ્યાસ છે,$d = 2r = 2\ell / \pi$.
નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M'$ એ ધ્રુવ પ્રબળતા અને ચુંબકીય લંબાઈનો ગુણાકાર છે:
$M' = m \times (2r) = m \times (2\ell / \pi) = (2 / \pi) \times (m \times \ell)$.
કારણ કે $M = m \times \ell$,તેથી $M' = (2 / \pi) M$.

(B) ગતિમાન વિદ્યુતભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\overrightarrow{F} = q_0(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય બળ $\overrightarrow{F}$ હંમેશા વેગ સદિશ $\overrightarrow{v}$ ને લંબ હોવાથી,ચુંબકીય બળ દ્વારા વિદ્યુતભાર પર થતું કાર્ય શૂન્ય છે $(W = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{d} = 0)$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર એ કરેલા કાર્ય જેટલો હોય છે,જે સૂચવે છે કે ગતિઊર્જા અચળ રહે છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,અચળ ગતિઊર્જાનો અર્થ એ છે કે વિદ્યુતભારની ઝડપ $v$ સમય સાથે અચળ રહે છે.
તેથી,એક સેકન્ડ પછી $q_0$ ની ઝડપ $v$ જ રહેશે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ માટે પૂર્ણ વર્તુળાકાર કક્ષાનો આવર્તકાળ $T = \frac{2 \pi m}{q B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આયન ડી (dee) માં અર્ધવર્તુળાકાર માર્ગ કાપે છે,તેથી લાગતો સમય $t = \frac{T}{2} = \frac{\pi m}{q B}$ થાય છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે લાગતો સમય આયનની ઝડપ $(v)$ અને વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $(r)$ થી સ્વતંત્ર છે.

(C) જ્યારે $q$ વિદ્યુતભાર અને $M$ દળ ધરાવતો કણ $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત થાય છે,ત્યારે તેની ગતિઊર્જા $\frac{1}{2} M v^{2} = qV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,વેગ $v = \sqrt{\frac{2qV}{M}}$ થાય.
જ્યારે આ કણ તેના વેગને લંબ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં પ્રવેશે છે,ત્યારે તે $R = \frac{Mv}{qB}$ ત્રિજ્યાનો વર્તુળાકાર પથ બનાવે છે.
$v$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $R = \frac{M}{qB} \sqrt{\frac{2qV}{M}} = \frac{1}{B} \sqrt{\frac{2MV}{q}}$ મળે છે.
અહીં $q$,$V$ અને $B$ બંને કણો માટે સમાન હોવાથી,$R \propto \sqrt{M}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $R^{2} \propto M$.
તેથી,$\frac{M_{A}}{M_{B}} = \left(\frac{R_{A}}{R_{B}}\right)^{2}$.

(A) સાયક્લોટ્રોન આવૃત્તિ $n = \frac{q B}{2 \pi m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માટે સૂત્ર બનાવતા,આપણને $B = \frac{2 \pi n m}{q}$ મળે છે.
ડીઝની અંદર $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથમાં ગતિ કરતા પ્રોટોન માટે,ચુંબકીય બળ કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $\frac{m v^2}{r} = q v B$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $m v^2 = q v B r$ મળે છે.
ગતિઊર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર $K.E. = \frac{1}{2} m v^2$ છે.
ગતિઊર્જાના સૂત્રમાં $m v^2 = q v B r$ મૂકતા,આપણને $K.E. = \frac{q v B r}{2}$ મળે છે.

(C) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભાર $q$ એ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ બંનેની હાજરીમાં ગતિ કરતો હોય,ત્યારે તેના પર લાગતા કુલ બળને લોરેન્ઝ બળ કહેવામાં આવે છે.
વિદ્યુત બળનું સૂત્ર $\vec{F}_e = q\vec{E}$ છે.
ચુંબકીય બળનું સૂત્ર $\vec{F}_m = q(\vec{V} \times \vec{B})$ છે.
તેથી,કુલ લોરેન્ઝ બળ એ આ બંને બળોનો સદિશ સરવાળો છે:
$\vec{F} = \vec{F}_e + \vec{F}_m = q\vec{E} + q(\vec{V} \times \vec{B})$.

(D) ચુંબકીય બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $Bqv = \frac{mv^2}{R}$,જેનું સાદું રૂપ $R = \frac{mv}{qB} = \frac{p}{qB}$ થાય છે,જ્યાં $p$ એ વેગમાન છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,$p = \sqrt{2mK}$ મળે.
આ કિંમત ત્રિજ્યાના સૂત્રમાં મૂકતા: $R = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$.
આ દર્શાવે છે કે $R \propto \sqrt{K}$.
આપેલ છે કે નવી ગતિઊર્જા $K_2 = 3K_1$ છે,તેથી નવી ત્રિજ્યા $R_2$ અને મૂળ ત્રિજ્યા $R_1$ વચ્ચેનો સંબંધ:
$\frac{R_2}{R_1} = \sqrt{\frac{K_2}{K_1}} = \sqrt{3}$.
તેથી,$R_2 = \sqrt{3} R$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $v$ વેગથી ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F$ લોરેન્ટ્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F = q(v \times B) = qvB \sin \theta$,જ્યાં $\theta$ એ વેગ સદિશ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
કણ ચુંબકીય ક્ષેત્રને સમાંતર ગતિ કરતો હોવાથી,ખૂણો $\theta = 0^{\circ}$ થાય.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $F = qvB \sin(0^{\circ}) = qvB(0) = 0$.
તેથી,કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ શૂન્ય છે.

(C) ગતિ કરતા વિદ્યુતભાર $e$ દ્વારા $v$ વેગથી $r$ અંતરે વર્તુળાકાર લૂપના કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ બિંદુવત વિદ્યુતભાર માટે બાયો-સાવર્ટના નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$B = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{e(v \times r)}{r^3}$
વર્તુળાકાર કક્ષામાં વેગ સદિશ $v$ અને ત્રિજ્યા સદિશ $r$ એકબીજાને લંબ હોવાથી,ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,મૂલ્ય નીચે મુજબ મળે:
$B = \frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{ev \sin(90^{\circ})}{r^2} = \frac{\mu_{0} ev}{4 \pi r^2}$
ત્રિજ્યા $r$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$r^2 = \frac{\mu_{0} ev}{4 \pi B}$
$r = \left(\frac{\mu_{0} ev}{4 \pi B}\right)^{1 / 2}$

(D) $V$ પોટેન્શિયલ દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K = eV = \frac{1}{2}mv^2$ છે. તેથી,વેગ $v$ એ $\sqrt{V}$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $F = qvB \sin \theta$ છે. ખૂણો $\theta$ અચળ રહેતા,$F \propto v$ થાય.
$v \propto \sqrt{V}$ હોવાથી,$F \propto \sqrt{V}$ મળે.
આપેલ છે કે $F_{1} \propto \sqrt{V_{1}}$ અને $F_{2} = 2F_{1} \propto \sqrt{V_{2}}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{F_{2}}{F_{1}} = \frac{\sqrt{V_{2}}}{\sqrt{V_{1}}} = 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{V_{2}}{V_{1}} = 4$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{1}{4}$.