MHT CET 2020 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{G M m}{r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{F}{m} = \frac{G M}{r^2}$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{G}{g}$ ને આ રીતે દર્શાવી શકાય:
$\frac{G}{g} = \frac{G}{\frac{G M}{r^2}} = \frac{r^2}{M}$.
$r$ નો એકમ $m$ (મીટર) છે અને $M$ નો એકમ $kg$ (કિલોગ્રામ) છે.
આમ,$\frac{G}{g}$ નો $SI$ એકમ $\frac{m^2}{kg}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x = \pi R \left( \frac{P^2 - Q^2}{2} \right)$ છે.
અહીં,$P, Q$ અને $R$ લંબાઈ છે,તેથી તેમનું પરિમાણ $[L]$ છે.
પદ $(P^2 - Q^2)$ નું પરિમાણ $[L^2] - [L^2] = [L^2]$ થાય છે.
અચળાંક $\pi$ અને અવયવ $1/2$ પરિમાણરહિત છે.
તેથી,$x$ નું પરિમાણ $[L] \times [L^2] = [L^3]$ થાય છે.
$[L^3]$ પરિમાણ ધરાવતી ભૌતિક રાશિ કદ (volume) દર્શાવે છે.

(C) કળા તફાવત $\Delta \phi$ અને સમયગાળા $\Delta t$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\Delta \phi = \omega \Delta t = (2\pi f) \Delta t$
આપેલ આવૃત્તિ $f = 50 \,Hz$ અને સમયગાળો $\Delta t = 0.01 \,s$ છે।
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta \phi = 2 \times \pi \times 50 \times 0.01$
$\Delta \phi = 100 \pi \times 0.01$
$\Delta \phi = \pi \,rad$.

(C) આપેલ છે: દોરીનું દળ $m = 0.1 \, kg$, તણાવ $T = 1.6 \, N$, લંબાઈ $\ell = 1 \, m$.
એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu = \frac{m}{\ell} = \frac{0.1}{1} = 0.1 \, kg/m$.
દોરીમાં લંબગત તરંગનો વેગ $v$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$.
કિંમતો મૂકતા, $v = \sqrt{\frac{1.6}{0.1}} = \sqrt{16} = 4 \, m/s$.
બીજા છેડે પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{\ell}{v} = \frac{1}{4} = 0.25 \, s$.

(B) ખેંચાયેલી દોરી પર લંબગત તરંગની ઝડપ $V = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
હૂકના નિયમ મુજબ,$T = kx$,જ્યાં $k$ એ સ્પ્રિંગ અચળાંક છે અને $x$ એ વિસ્તરણ છે.
દોરીનું દળ અચળ રહેતું હોવાથી,$\mu = \frac{m}{L}$. જ્યારે દોરી ખેંચાય છે,ત્યારે તેની લંબાઈ $L$ વધે છે. જોકે,નાના વિસ્તરણ માટે,$\mu$ માં થતો ફેરફાર એ તણાવ $T$ માં થતા ફેરફારની સરખામણીમાં નગણ્ય છે.
તેથી,$V \propto \sqrt{T} \propto \sqrt{x}$.
પ્રારંભિક વિસ્તરણ $x_1 = x$ અને અંતિમ વિસ્તરણ $x_2 = x + 0.5x = 1.5x$ છે.
ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{V_2}{V_1} = \sqrt{\frac{x_2}{x_1}} = \sqrt{\frac{1.5x}{x}} = \sqrt{1.5}$ છે.
કિંમતની ગણતરી કરતા,$\sqrt{1.5} \approx 1.2247$.
તેથી,નવી ઝડપ $V_2 \approx 1.22 V$ થશે.

(B) આપેલ છે: તરંગની ઝડપ $v = 960 \,m/s$.
તરંગોની સંખ્યા $n = 900$.
સમય $t = 0.5 \,min = 30 \,s$.
આવૃત્તિ $f$ એ એકમ સમયમાં પસાર થતા તરંગોની સંખ્યા તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$f = \frac{n}{t} = \frac{900}{30} = 30 \,Hz$.
તરંગની ઝડપ, આવૃત્તિ અને તરંગલંબાઈ વચ્ચેનો સંબંધ $v = f \lambda$ છે.
તેથી, તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{960}{30} = 32 \,m$.

(B) ખેંચાયેલા તારમાં લંબગત તરંગની ઝડપ $V = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \frac{M}{L}$.
વળી,દળ $M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = (A \times L) \times \rho$,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
તેથી,$\mu = \frac{A \times L \times \rho}{L} = A\rho$.
આ કિંમતને તરંગની ઝડપના સૂત્રમાં મૂકતા: $V = \sqrt{\frac{T}{A\rho}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $V^{2} = \frac{T}{A\rho}$.
આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા: $A = \frac{T}{V^{2}\rho}$.

(C) ખેંચાયેલા તારમાં લંબગત તરંગની ઝડપ $V = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
હૂકના નિયમ મુજબ,તારમાં તણાવ $T$ એ વિસ્તરણ $x$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $T = kx$.
શરૂઆતમાં,$T_1 = kx$,તેથી $V_1 = \sqrt{\frac{kx}{\mu}} = V$.
જ્યારે વિસ્તરણ વધારીને $4x$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું તણાવ $T_2 = k(4x) = 4kx$ થાય છે.
ધ્વનિની નવી ઝડપ $V_2$ એ $V_2 = \sqrt{\frac{T_2}{\mu}} = \sqrt{\frac{4kx}{\mu}}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$V_2 = 2 \sqrt{\frac{kx}{\mu}} = 2V$.

(B) ખેંચાયેલી દોરી પર લંબગત તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \frac{M}{L}$.
દળ $M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = (A \times L) \times \rho$ હોવાથી,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
તેથી,$\mu = \frac{A \times L \times \rho}{L} = A \rho$.
આ કિંમતને તરંગની ઝડપના સૂત્રમાં મૂકતા: $v = \sqrt{\frac{T}{A \rho}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $v^{2} = \frac{T}{A \rho}$.
ક્ષેત્રફળ $A$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $A = \frac{T}{v^{2} \rho}$.

(B) તરંગનું સામાન્ય સમીકરણ $Y = A \sin(\omega t)$ છે.
પ્રથમ તરંગ માટે,$Y_1 = 0.25 \sin(316t)$,સામાન્ય સમીકરણ સાથે સરખાવતા,કોણીય આવૃત્તિ $\omega_1 = 316 \text{ rad/s}$ મળે છે.
$\omega = 2\pi f$ હોવાથી,આવૃત્તિ $f_1 = \frac{\omega_1}{2\pi} = \frac{316}{2\pi} \text{ Hz}$ થાય.
બીજા તરંગ માટે,$Y_2 = 0.25 \sin(310t)$,સામાન્ય સમીકરણ સાથે સરખાવતા,કોણીય આવૃત્તિ $\omega_2 = 310 \text{ rad/s}$ મળે છે.
આવૃત્તિ $f_2 = \frac{\omega_2}{2\pi} = \frac{310}{2\pi} \text{ Hz}$ થાય.
પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતા બીટ્સની સંખ્યા આવૃત્તિઓનો તફાવત છે: $f_{beat} = |f_1 - f_2|$.
$f_{beat} = \frac{316}{2\pi} - \frac{310}{2\pi} = \frac{6}{2\pi} = \frac{3}{\pi} \text{ Hz}$.

(B) ધ્રુજતા તારની આવૃત્તિ $n$ નું સૂત્ર $n = \frac{1}{2 \ell} \sqrt{\frac{T}{m}}$ છે.
તાર સમાન હોવાથી,$\ell$ અને $m$ અચળ છે,તેથી $n \propto \sqrt{T}$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક આવૃત્તિ $n_1$ અને પ્રારંભિક તણાવ $T_1$ છે. તણાવમાં $2 \%$ નો વધારો કરતા,નવો તણાવ $T_2 = T_1 + 0.02 T_1 = 1.02 T_1$ થાય.
નવી આવૃત્તિ $n_2$ માટે,$\frac{n_2}{n_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{1.02} = 1.01$ મળે.
આમ,$n_2 = 1.01 n_1$ થાય.
બીટ આવૃત્તિ $n_2 - n_1 = 5 \ Hz$ આપેલ છે.
$n_2$ ની કિંમત મૂકતા,$1.01 n_1 - n_1 = 5$ મળે.
$0.01 n_1 = 5$.
તેથી,$n_1 = \frac{5}{0.01} = 500 \ Hz$.

(B) ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્ક $C$ ની આવૃત્તિ $f_C$ છે।
આપેલ છે કે $A$ ની આવૃત્તિ $f_C$ કરતા $1.5 \%$ વધારે છે:
$f_A = f_C + 0.015 f_C = 1.015 f_C$.
આપેલ છે કે $B$ ની આવૃત્તિ $f_C$ કરતા $2.5 \%$ ઓછી છે:
$f_B = f_C - 0.025 f_C = 0.975 f_C$.
જ્યારે $A$ અને $B$ ને સાથે વગાડવામાં આવે છે, ત્યારે બીટ આવૃત્તિ $12 \text{ Hz}$ છે:
$|f_A - f_B| = 12$.
સમીકરણો મૂકતા:
$1.015 f_C - 0.975 f_C = 12$.
$0.040 f_C = 12$.
$f_C = \frac{12}{0.040} = 300 \text{ Hz}$.

(B) દીવાલ (જે સ્થિર અવલોકનકાર તરીકે કાર્ય કરે છે) દ્વારા સંભળાતી અવાજની આવૃત્તિ $f' = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $v = 335 \,m/s$ અને $v_s = 5 \,m/s$ છે.
$f' = 165 \left( \frac{335}{335 - 5} \right) = 165 \left( \frac{335}{330} \right) = 165 \times \frac{335}{330} = \frac{335}{2} = 167.5 \,Hz$.
હવે, દીવાલ એક સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે જે આ અવાજને બસ તરફ પરાવર્તિત કરે છે (જે ગતિશીલ અવલોકનકાર તરીકે કાર્ય કરે છે). મુસાફરો દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ $f'' = f' \left( \frac{v + v_o}{v} \right)$ છે, જ્યાં $v_o = 5 \,m/s$ છે.
$f'' = 167.5 \left( \frac{335 + 5}{335} \right) = 167.5 \left( \frac{340}{335} \right) = 167.5 \times \frac{340}{335} = 167.5 \times 1.0149 \approx 170 \,Hz$.
પ્રતિ સેકન્ડ બીટ્સની સંખ્યા એ પરાવર્તિત આવૃત્તિ અને મૂળ આવૃત્તિ વચ્ચેનો તફાવત છે: $f_{beats} = f'' - f = 170 \,Hz - 165 \,Hz = 5 \,Hz$.

(A) ધારો કે ટ્યુનિંગ ફોર્ક $A$ ની આવૃત્તિ $f_A$ છે અને ટ્યુનિંગ ફોર્ક $B$ ની આવૃત્તિ $f_B = 480 \ Hz$ છે.
બીટ આવૃત્તિ $|f_A - f_B| = 5 \ Hz$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $f_A = 480 \pm 5$,તેથી $f_A$ કાં તો $485 \ Hz$ અથવા $475 \ Hz$ હોઈ શકે.
જ્યારે ટ્યુનિંગ ફોર્ક $A$ પર મીણ લગાવવામાં આવે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ $f_A$ ઘટે છે.
મીણ ઉમેર્યા પછી,નવી બીટ આવૃત્તિ $|f_A' - 480| = 2 \ Hz$ થાય છે,જ્યાં $f_A' < f_A$.
જો $f_A = 475 \ Hz$ હોય,તો મીણ ઉમેરવાથી આવૃત્તિ વધુ ઘટશે (દા.ત. $473 \ Hz$ સુધી),જેનાથી બીટ આવૃત્તિ $|473 - 480| = 7 \ Hz$ થશે,જે $2 \ Hz$ નથી.
જો $f_A = 485 \ Hz$ હોય,તો મીણ ઉમેરવાથી આવૃત્તિ $480 \ Hz$ ની નજીક ઘટશે,જેનાથી બીટ આવૃત્તિ $|482 - 480| = 2 \ Hz$ થશે.
આમ,ટ્યુનિંગ ફોર્ક $A$ ની પ્રારંભિક આવૃત્તિ $485 \ Hz$ હતી.

(D) જ્યારે અવલોકનકાર સ્થિર ઉદગમ તરફ ગતિ કરતો હોય ત્યારે ડોપ્લર અસરનું સૂત્ર $n^{\prime} = n \left( \frac{v + v_{o}}{v} \right)$ છે,જ્યાં $n^{\prime}$ એ અવલોકિત આવૃત્તિ છે,$n$ એ ઉદગમની આવૃત્તિ છે,$v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $v_{o}$ એ અવલોકનકારનો વેગ છે.
અહીં આપેલ છે કે અવલોકિત આવૃત્તિ એ ઉદગમની આવૃત્તિ કરતા બમણી છે,તેથી $n^{\prime} = 2n$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $2n = n \left( \frac{v + v_{o}}{v} \right)$.
બંને બાજુ $n$ વડે ભાગતા: $2 = \frac{v + v_{o}}{v}$.
$v$ વડે ગુણતા: $2v = v + v_{o}$.
$v_{o}$ માટે ઉકેલતા: $v_{o} = v$.
આમ,અવલોકનકારે ધ્વનિની ઝડપ જેટલા જ વેગથી ઉદગમ તરફ ગતિ કરવી જોઈએ.

(B) ધારો કે $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $V$ એ ટ્રેન/અવલોકનકારની ઝડપ છે. મૂળભૂત આવૃત્તિ $n$ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,ઉદગમ (ટ્રેન) સ્થિર અવલોકનકારથી દૂર જાય છે:
$n' = n \left( \frac{v}{v + V} \right)$
આપેલ છે કે $\frac{n}{n'} = 1.2$,તેથી $\frac{v + V}{v} = 1.2 \implies 1 + \frac{V}{v} = 1.2 \implies \frac{V}{v} = 0.2$.
બીજા કિસ્સામાં,ઉદગમ સ્થિર છે અને અવલોકનકાર તેનાથી દૂર જાય છે:
$n'' = n \left( \frac{v - V}{v} \right) = n \left( 1 - \frac{V}{v} \right)$
મૂળભૂત આવૃત્તિ અને આભાસી આવૃત્તિનો ગુણોત્તર $\frac{n}{n''} = \frac{1}{1 - \frac{V}{v}}$ છે.
$\frac{V}{v} = 0.2$ કિંમત મૂકતા:
$\frac{n}{n''} = \frac{1}{1 - 0.2} = \frac{1}{0.8} = 1.25$.
આમ,ગુણોત્તર $1.25: 1$ છે.

(D) ધારો કે ઉદગમની મૂળ આવૃત્તિ $F_{o}$ છે.
ડોપ્લર અસર મુજબ,જ્યારે અવલોકનકાર સ્થિર ઉદગમ તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $F_{1}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$F_{1} = F_{o} \left[ \frac{V + V_{1}}{V} \right]$ ...$(1)$
જ્યારે અવલોકનકાર સ્થિર ઉદગમથી દૂર ગતિ કરે છે,ત્યારે આભાસી આવૃત્તિ $F_{2}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$F_{2} = F_{o} \left[ \frac{V - V_{1}}{V} \right]$ ...$(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{F_{1}}{F_{2}} = \frac{V + V_{1}}{V - V_{1}}$
આપેલ છે કે $\frac{F_{1}}{F_{2}} = 2$,તેથી:
$2 = \frac{V + V_{1}}{V - V_{1}}$
$2(V - V_{1}) = V + V_{1}$
$2V - 2V_{1} = V + V_{1}$
$V = 3V_{1}$
તેથી,$\frac{V}{V_{1}} = 3$.

(A) જ્યારે કોઈ અવરોધ સ્થિર સ્ત્રોત તરફ $v$ વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે પરાવર્તિત ધ્વનિ તરંગની આવૃત્તિ $f_{r}$ એ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર મુજબ $f_{r} = f \left(\frac{c+v}{c-v}\right)$ મળે છે.
પરાવર્તન પછી માધ્યમ સમાન હોવાથી ધ્વનિની ઝડપ $c$ અચળ રહે છે,તેથી આપણે $c = f \lambda$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પરાવર્તિત તરંગ માટે,$c = f_{r} \lambda_{r}$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda_{r} = \frac{c}{f_{r}}$.
$f_{r}$ નું સૂત્ર મૂકતા:
$\lambda_{r} = \frac{c}{f \left(\frac{c+v}{c-v}\right)} = \frac{c}{f} \left(\frac{c-v}{c+v}\right)$.
અહીં $\frac{c}{f} = \lambda$ હોવાથી,આપણને $\lambda_{r} = \left(\frac{c-v}{c+v}\right) \lambda$ મળે છે.

(D) $\text{આપેલ છે: સ્ત્રોતનો વેગ } V_s = 30 \,m/s, \text{સ્ત્રોતની આવૃત્તિ } n_0 = 256 \,Hz, \text{અને ધ્વનિની ઝડપ } V = 330 \,m/s.
\text{જ્યારે સ્ત્રોત સ્થિર અવલોકનકારની નજીક આવે છે, ત્યારે અનુભવાતી આવૃત્તિ } n_1 = n_0 \left( \frac{V}{V - V_s} \right) \text{ દ્વારા મળે છે.}
\text{જ્યારે સ્ત્રોત અવલોકનકારને પસાર કર્યા પછી દૂર જાય છે, ત્યારે અનુભવાતી આવૃત્તિ } n_2 = n_0 \left( \frac{V}{V + V_s} \right) \text{ દ્વારા મળે છે.}
\text{આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર } \frac{n_1}{n_2} = \frac{n_0 \left( \frac{V}{V - V_s} \right)}{n_0 \left( \frac{V}{V + V_s} \right)} = \frac{V + V_s}{V - V_s} \text{ થાય છે.}
\text{કિંમતો મૂકતા: } \frac{n_1}{n_2} = \frac{330 + 30}{330 - 30} = \frac{360}{300} = \frac{6}{5}$.

(C) ડોપ્લર અસર એ સ્ત્રોત અને અવલોકનકારને જોડતી રેખા પર તેમના સાપેક્ષ વેગ પર આધાર રાખે છે।
આ કિસ્સામાં,એન્જિન વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે અને અવલોકનકાર કેન્દ્ર પર છે।
એન્જિનનો વેગ સદિશ હંમેશા વર્તુળાકાર માર્ગને સ્પર્શક હોય છે।
અવલોકનકાર (કેન્દ્ર પર) અને સ્ત્રોત (પરિઘ પર) ને જોડતી રેખા એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે।
વર્તુળનો સ્પર્શક હંમેશા સ્પર્શ બિંદુએ ત્રિજ્યાને લંબ હોવાથી,સ્ત્રોતનો વેગ હંમેશા સ્ત્રોત અને અવલોકનકારને જોડતી રેખાને લંબ હોય છે।
તેથી,દ્રષ્ટિરેખાની દિશામાં સ્ત્રોતના વેગનો ઘટક $v_s \cos(90^{\circ}) = 0$ થાય છે।
સ્ત્રોત અને અવલોકનકારને જોડતી રેખા પર કોઈ સાપેક્ષ વેગ ન હોવાથી,કોઈ ડોપ્લર શિફ્ટ થતી નથી।
આમ,અવલોકનકાર દ્વારા સાંભળવામાં આવતી આવૃત્તિ સ્ત્રોતની આવૃત્તિ જેટલી જ રહે છે,જે $250 \,Hz$ છે।

(B) ધારો કે દરેક તરંગનો કંપવિસ્તાર $A$ છે. તીવ્રતા $I$ એ કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે,તેથી $I \propto A^2$. ધારો કે દરેક તરંગની તીવ્રતા $I_0 = kA^2$ છે.
કિસ્સો $1$: જ્યારે તરંગો સમાન કળામાં આવે છે,ત્યારે કળા તફાવત $\phi = 0$ હોય છે. પરિણામી કંપવિસ્તાર $A_R = A + A = 2A$ થાય છે. પરિણામી તીવ્રતા $I_1 = k(2A)^2 = 4kA^2 = 4I_0$ થાય છે.
કિસ્સો $2$: જ્યારે તરંગો $90^{\circ}$ ($\pi/2$ રેડિયન) કળા તફાવતે આવે છે,ત્યારે પરિણામી કંપવિસ્તાર $A_R = \sqrt{A^2 + A^2 + 2AA \cos(90^{\circ})} = \sqrt{2A^2} = A\sqrt{2}$ થાય છે. પરિણામી તીવ્રતા $I_2 = k(A\sqrt{2})^2 = 2kA^2 = 2I_0$ થાય છે.
પરિણામી તીવ્રતાઓનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{4I_0}{2I_0} = \frac{2}{1}$ છે.

(C) આપેલ પ્રગામી તરંગો $Y_{1} = \sin 2\pi(\frac{t}{0.4} - \frac{x}{4})$ અને $Y_{2} = \sin 2\pi(\frac{t}{0.4} + \frac{x}{4})$ છે.
આ સમીકરણોને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $Y = A \sin 2\pi(\frac{t}{T} \pm \frac{x}{\lambda})$ સાથે સરખાવતા,આપણને તરંગલંબાઈ $\lambda = 4 \ m$ અને આવર્તકાળ $T = 0.4 \ s$ મળે છે.
જ્યારે સમાન કંપવિસ્તાર અને આવૃત્તિ ધરાવતા બે તરંગો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરીને સંપાત થાય છે,ત્યારે તેઓ $Y = Y_{1} + Y_{2} = 2A \cos(\frac{2\pi x}{\lambda}) \sin(\frac{2\pi t}{T})$ મુજબ સ્થિત તરંગ બનાવે છે.
અહીં,કોઈપણ સ્થાન $x$ પર સ્થિત તરંગનો કંપવિસ્તાર $A_{res} = |2A \cos(\frac{2\pi x}{\lambda})|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $A = 1$,$\lambda = 4 \ m$,અને $x = 0.5 \ m$ કિંમતો મૂકતા:
$A_{res} = 2 \times 1 \times |\cos(\frac{2\pi \times 0.5}{4})|$
$A_{res} = 2 \cos(\frac{\pi}{4})$
કારણ કે $\cos(45^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $A_{res} = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \ m$ મળે છે.

(A) ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપમાં $m^{\text{મા}}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_m = \frac{m v}{2 L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મૂળભૂત આવૃત્તિ $(m=1)$ માટે, $f_1 = \frac{v}{2 L}$.
બંધ ઓર્ગન પાઇપમાં $n^{\text{મા}}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n^{\prime} = \frac{n v}{4 L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $n$ એકી સંખ્યા છે.
બંધ ઓર્ગન પાઇપમાં $3^{\text{જા}}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_3^{\prime} = \frac{3 v}{4 L}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ, $f_3^{\prime} - f_1 = 50 \,Hz$.
સૂત્રો મૂકતા: $\frac{3 v}{4 L} - \frac{v}{2 L} = 50$.
$\frac{3 v - 2 v}{4 L} = 50 \Rightarrow \frac{v}{4 L} = 50 \Rightarrow \frac{v}{L} = 200$.
ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1 = \frac{v}{2 L} = \frac{200}{2} = 100 \,Hz$ છે.

(B) બંને છેડે ખુલ્લી પાઇપ માટે, અનુનાદિત આવૃત્તિઓનું સૂત્ર $f_n = \frac{n v}{2L}$ છે, જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ એ હાર્મોનિક નંબર છે, $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $L$ એ પાઇપની લંબાઈ છે。
આપેલ છે: $v = 340 \,m/s$ અને $L = 1 \,m$.
આ કિંમતો મૂકતા, આપણને મળે છે: $f_n = \frac{n \times 340}{2 \times 1} = n \times 170 \,Hz$.
આનો અર્થ એ છે કે પાઇપ $170 \,Hz$ ના પૂર્ણાંક ગુણાંક (જેમ કે $170 \,Hz, 340 \,Hz, 510 \,Hz, \dots$) પર અનુનાદિત થઈ શકે છે。
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા, $85 \,Hz$ એ $170 \,Hz$ નો ગુણાંક નથી, તેથી હવાનો સ્તંભ આ આવૃત્તિ પર અનુનાદિત થઈ શકતો નથી.

(A) $\ell$ લંબાઈ ધરાવતી બંધ ઓર્ગન પાઇપના પ્રથમ ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f = \frac{3V}{4\ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\ell^{\prime}$ લંબાઈ ધરાવતી ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપના પ્રથમ ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f^{\prime} = \frac{2V}{2\ell^{\prime}} = \frac{V}{\ell^{\prime}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે બંનેની આવૃત્તિ સમાન છે,તેથી $f = f^{\prime}$ લેતા:
$\frac{3V}{4\ell} = \frac{V}{\ell^{\prime}}$.
લંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{\ell}{\ell^{\prime}}$ શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{\ell}{\ell^{\prime}} = \frac{3}{4}$.
આમ,તેમની લંબાઈનો ગુણોત્તર $3: 4$ છે.

(B) ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{V}{2\ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે અને $\ell$ એ પાઇપની લંબાઈ છે.
પ્રથમ પાઇપ માટે: $\ell_{1} = \frac{V}{2n_{1}}$.
બીજી પાઇપ માટે: $\ell_{2} = \frac{V}{2n_{2}}$.
જ્યારે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે નવી પાઇપની કુલ લંબાઈ $\ell = \ell_{1} + \ell_{2}$ થાય છે.
નવી પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{V}{2\ell}$ છે.
$\ell$ ના સમીકરણમાં $\ell_{1}$ અને $\ell_{2}$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{V}{2n} = \frac{V}{2n_{1}} + \frac{V}{2n_{2}}$.
બંને બાજુ $\frac{V}{2}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $\frac{1}{n} = \frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{n_{2}}$.
$n$ માટે ઉકેલતા: $\frac{1}{n} = \frac{n_{1} + n_{2}}{n_{1}n_{2}}$,જે આપે છે $n = \frac{n_{1}n_{2}}{n_{1} + n_{2}}$.

(B) એક છેડે બંધ ઓર્ગન પાઇપમાં,સ્થિત તરંગની ભાતમાં હંમેશા બંધ છેડે નોડ અને ખુલ્લા છેડે એન્ટિનોડ હોય છે.
મૂળભૂત મોડ (fundamental mode) માટે,$1$ નોડ અને $1$ એન્ટિનોડ હોય છે.
પ્રથમ ઓવરટોન માટે,$2$ નોડ અને $2$ એન્ટિનોડ હોય છે.
પ્રશ્નમાં $2$ નોડ અને $2$ એન્ટિનોડ આપેલા હોવાથી,આ પ્રથમ ઓવરટોન છે.

(C) બંધ પાઇપના મૂળભૂત મોડમાં,પાઇપની લંબાઈ $L$ એ તરંગલંબાઇના ચોથા ભાગ જેટલી હોય છે,એટલે કે $L = \frac{\lambda}{4}$.
આપેલ છે કે ધ્વનિ તરંગને $L$ લંબાઈ કાપવા માટે લાગતો સમય $t$ છે,તેથી $t = \frac{L}{v}$,જ્યાં $v$ એ ધ્વનિની ઝડપ છે.
$L = \frac{\lambda}{4}$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $t = \frac{\lambda}{4v}$.
તરંગનો આવર્તકાળ $T$ એ $T = \frac{\lambda}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t$ ના સમીકરણમાં $\lambda = vT$ મૂકતા,આપણને મળે છે $t = \frac{vT}{4v} = \frac{T}{4}$.
તેથી,આવર્તકાળ $T = 4t$.
આવૃત્તિ $f$ એ આવર્તકાળનો વ્યસ્ત છે,તેથી $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{4t}$.

(C) આપેલ છે: ટ્યુબની લંબાઈ $L = 0.8 \ m$,આવૃત્તિ $f = 500 \ Hz$,અવાજની ઝડપ $v = 340 \ m/s$.
પ્રથમ,ધ્વનિ તરંગની તરંગલંબાઇ $\lambda$ શોધો:
$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{340}{500} = 0.68 \ m$.
એક છેડે બંધ ટ્યુબ માટે રેઝોનન્સની શરત $L_n = \frac{(2n-1)\lambda}{4}$ છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
આપણે $n$ ના એવા મૂલ્યો શોધવાના છે કે જેના માટે $L_n \le 0.8 \ m$ થાય.
$n=1$ માટે: $L_1 = \frac{\lambda}{4} = \frac{0.68}{4} = 0.17 \ m$.
$n=2$ માટે: $L_2 = \frac{3\lambda}{4} = 3 \times 0.17 = 0.51 \ m$.
$n=3$ માટે: $L_3 = \frac{5\lambda}{4} = 5 \times 0.17 = 0.85 \ m$.
કારણ કે $L_3 = 0.85 \ m > 0.8 \ m$,તેથી ત્રીજું રેઝોનન્સ ટ્યુબની લંબાઈમાં રચાશે નહીં.
તેથી,માત્ર $2$ રેઝોનન્સ સંભળાશે.

(C) $1$. એક છેડે બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_p = \frac{v}{4L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v = 320 \ m/s$ અને $L = 0.8 \ m$ છે.
$f_p = \frac{320}{4 \times 0.8} = \frac{320}{3.2} = 100 \ Hz$.
$2$. દોરી તેના બીજા હાર્મોનિકમાં કંપન કરી રહી છે. બંને છેડે જડેલી દોરી માટે $n$-માં હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_s = \frac{n}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $n=2$,$l = 0.5 \ m$,$T = 50 \ N$,અને $\mu = \frac{m}{l}$ છે.
$3$. દોરી પાઇપ સાથે અનુનાદ કરતી હોવાથી,$f_s = f_p = 100 \ Hz$.
$100 = \frac{2}{2 \times 0.5} \sqrt{\frac{50}{m/0.5}} = 2 \sqrt{\frac{25}{m}} = 2 \times 5 \sqrt{\frac{1}{m}} = \frac{10}{\sqrt{m}}$.
$4$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $100 = \frac{100}{m}$,જે દર્શાવે છે કે $m = 0.01 \ kg = 10 \ g$.

(A) $L_c$ લંબાઈ ધરાવતી બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,$n^{\text{th}}$ ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_c = \frac{(2n+1)v}{4L_c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ ઓવરટોન નંબર છે.
$3^{\text{rd}}$ ઓવરટોન $(n=3)$ માટે,$f_c = \frac{(2(3)+1)v}{4L_c} = \frac{7v}{4L_c}$.
$L_o$ લંબાઈ ધરાવતી ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,$n^{\text{th}}$ ઓવરટોનની આવૃત્તિ $f_o = \frac{(n+1)v}{2L_o}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$3^{\text{rd}}$ ઓવરટોન $(n=3)$ માટે,$f_o = \frac{(3+1)v}{2L_o} = \frac{4v}{2L_o} = \frac{2v}{L_o}$.
આવૃત્તિઓ સમાન હોવાથી,$f_c = f_o$:
$\frac{7v}{4L_c} = \frac{2v}{L_o}$.
ગુણોત્તર $\frac{L_c}{L_o}$ માટે ગોઠવતા:
$\frac{L_c}{L_o} = \frac{7}{4 \times 2} = \frac{7}{8}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ધારો કે પાઇપની લંબાઈ $\ell$ છે અને ધ્વનિની ઝડપ $v$ છે.
ખુલ્લી પાઇપ માટે, મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_0 = \frac{v}{2\ell}$ છે. ખુલ્લી પાઇપનો બીજો ઓવરટોન $3f_0 = \frac{3v}{2\ell}$ થાય.
બંધ પાઇપ માટે, મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_c = \frac{v}{4\ell}$ છે. બંધ પાઇપનો ત્રીજો ઓવરટોન $7f_c = \frac{7v}{4\ell}$ થાય.
પ્રશ્ન મુજબ, બંધ પાઇપનો ત્રીજો ઓવરટોન એ ખુલ્લી પાઇપના બીજા ઓવરટોન કરતા $150 \,Hz$ વધારે છે:
$\frac{7v}{4\ell} = \frac{3v}{2\ell} + 150$
$\frac{7v}{4\ell} - \frac{6v}{4\ell} = 150$
$\frac{v}{4\ell} = 150$
ખુલ્લી પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_0 = \frac{v}{2\ell}$ હોવાથી, આપણે લખી શકીએ:
$f_0 = 2 \times \left(\frac{v}{4\ell}\right) = 2 \times 150 = 300 \,Hz$.

(D) $\ell_c$ લંબાઈ ધરાવતી બંધ ઓર્ગન પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_c = \frac{V}{4\ell_c}$ છે. પ્રથમ ઓવરટોન એ ત્રીજો હાર્મોનિક છે,તેથી $f_{c,1} = 3f_c = \frac{3V}{4\ell_c}$ થાય.
$\ell_o$ લંબાઈ ધરાવતી ખુલ્લી ઓર્ગન પાઇપ માટે,મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_o = \frac{V}{2\ell_o}$ છે. પ્રથમ ઓવરટોન એ બીજો હાર્મોનિક છે,તેથી $f_{o,1} = 2f_o = \frac{2V}{2\ell_o} = \frac{V}{\ell_o}$ થાય.
આપેલ છે કે પ્રથમ ઓવરટોનની આવૃત્તિઓ સમાન છે,તેથી $\frac{3V}{4\ell_c} = \frac{V}{\ell_o}$ મળે.
$\frac{\ell_o}{\ell_c}$ નો ગુણોત્તર શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{\ell_o}{\ell_c} = \frac{4}{3}$ મળે છે.

(B) બંધ પાઇપમાં,કંપનનો મૂળભૂત મોડ ત્યારે થાય છે જ્યારે પાઇપની લંબાઈ $\ell$ એ ધ્વનિ તરંગની તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના ચોથા ભાગ જેટલી હોય.
સૂત્ર: $\ell = \frac{\lambda}{4}$
આપેલ છે: $\lambda = 62 \,cm$
ગણતરી: $\ell = \frac{62}{4} = 15.5 \,cm$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) ખેંચાયેલા તારની કંપન આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2\ell} \sqrt{\frac{T}{m}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે તણાવ $T$ એ તાર સાથે લટકાવેલા દળ $M$ દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવે છે,તેથી $T = Mg$ અને $n = \frac{1}{2\ell} \sqrt{\frac{Mg}{m}}$.
ધારો કે $\ell_1$ અને $g_1$ એ ધ્રુવો પરની લંબાઈ અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે,અને $\ell_2$ અને $g_2$ એ વિષુવવૃત્ત પરની લંબાઈ અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે.
સમાન ટ્યુનિંગ ફોર્ક માટે આવૃત્તિ $n$ સમાન રહેતી હોવાથી,$\frac{1}{2\ell_1} \sqrt{\frac{Mg_1}{m}} = \frac{1}{2\ell_2} \sqrt{\frac{Mg_2}{m}}$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{\sqrt{g_1}}{\ell_1} = \frac{\sqrt{g_2}}{\ell_2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\ell_2}{\ell_1} = \sqrt{\frac{g_2}{g_1}}$.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ ધ્રુવો પર વિષુવવૃત્ત કરતા વધારે હોવાથી $(g_1 > g_2)$,તેથી $\ell_1 > \ell_2$ સાબિત થાય છે.
આમ,વિષુવવૃત્ત પર અનુનાદ જાળવી રાખવા માટે તારની કંપન કરતી લંબાઈ ઘટાડવી જોઈએ.

(B) $L$ લંબાઈની બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_1 = \frac{v}{4L} = 400 \,Hz$ છે.
આના પરથી,આપણને $v = 1600L$ મળે છે.
જ્યારે પાઇપનો $1/3$ ભાગ પાણીથી ભરાય છે,ત્યારે હવાના સ્તંભની લંબાઈ $L' = L - \frac{L}{3} = \frac{2L}{3}$ થાય છે.
હવાના સ્તંભની નવી મૂળભૂત આવૃત્તિ $f'_1 = \frac{v}{4L'} = \frac{v}{4(2L/3)} = \frac{3v}{8L}$ છે.
$v = 1600L$ મૂકતા,આપણને $f'_1 = \frac{3(1600L)}{8L} = 3 \times 200 = 600 \,Hz$ મળે છે.
બંધ પાઇપમાં,હાર્મોનિક્સ એ મૂળભૂત આવૃત્તિના એકી ગુણાંક $(f_1, 3f_1, 5f_1, \dots)$ હોય છે. જોકે,પ્રશ્ન પાઇપની નવી સ્થિતિમાં $2^{\text{nd}}$ હાર્મોનિક વિશે પૂછે છે. બંધ પાઇપનો $2^{\text{nd}}$ હાર્મોનિક (પ્રથમ ઓવરટોન) $3f'_1$ છે.
તેથી,$2^{\text{nd}}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $3 \times 600 \,Hz = 1800 \,Hz$ થશે.

(B) ખેંચાયેલા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે.
$L$ લંબાઈની બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{v}{4L}$ છે.
બંનેની પ્રારંભિક આવૃત્તિ સમાન હોવાથી, $\frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \frac{v}{4L}$.
જ્યારે તણાવમાં $16 \,N$ નો વધારો થાય છે, ત્યારે નવી આવૃત્તિ $n' = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T+16}{\mu}}$ થાય છે.
આ નવી આવૃત્તિ બંધ પાઇપના બીજા હાર્મોનિક સાથે અનુનાદ કરે છે. બંધ પાઇપના હાર્મોનિક્સ મૂળભૂત આવૃત્તિના એકી ગુણાંક $(n, 3n, 5n, \dots)$ હોય છે. અહીં બીજો હાર્મોનિક એટલે $3n$ થાય.
તેથી, $n' = 3n$.
$\frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T+16}{\mu}} = 3 \left( \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}} \right)$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{T+16}{T} = 9$.
$T+16 = 9T \implies 8T = 16 \implies T = 2 \,N$.

(B) આપેલ છે: ટ્યુબની લંબાઈ $L = 0.8 \,m$, આવૃત્તિ $f = 375 \,Hz$, ધ્વનિની ઝડપ $v = 330 \,m/s$.
રેઝોનન્સ ટ્યુબમાં (એક છેડે બંધ) મૂળભૂત આવૃત્તિ માટે, હવાના સ્તંભની લંબાઈ $\ell$ નીચે મુજબ મળે છે: $\ell = \frac{v}{4f}$.
કિંમતો મૂકતા: $\ell = \frac{330}{4 \times 375} = \frac{330}{1500} = 0.22 \,m$.
આ $\ell$ એ ઉપરથી હવાના સ્તંભની લંબાઈ દર્શાવે છે.
તળિયેથી પાણીનું સ્તર એ ટ્યુબની કુલ લંબાઈમાંથી હવાના સ્તંભની લંબાઈ બાદ કરવાથી મળે છે: $h = L - \ell$.
$h = 0.8 \,m - 0.22 \,m = 0.58 \,m$.

(D) ઓપન પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{v}{2 \ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંધ પાઇપ માટે, હાર્મોનિક્સ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ $n_0 = \frac{v}{4 \ell}$ ના એકી ગુણાંક છે.
બંધ પાઇપનો $2^{nd}$ હાર્મોનિક એ વાસ્તવમાં $1^{st}$ ઓવરટોન છે, જે $3^{rd}$ હાર્મોનિક છે, જે $3 n_0 = \frac{3v}{4 \ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ, બંધ પાઇપના $2^{nd}$ હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $n$ કરતા $200 \,Hz$ વધારે છે:
$\frac{3v}{4 \ell} - n = 200$
કારણ કે $n = \frac{v}{2 \ell}$, તેથી $\frac{v}{4 \ell} = \frac{n}{2}$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $3(\frac{n}{2}) - n = 200$.
$1.5n - n = 200 \implies 0.5n = 200$.
$n = 400 \,Hz$.

(C) સ્થિર તરંગનું આપેલ સમીકરણ $y = 10 \sin \left( \frac{\pi x}{4} \right) \cos (20 \pi t)$ છે.
સ્થિર તરંગના પ્રમાણિત સમીકરણ $y = 2A \sin (kx) \cos (\omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને પ્રસરણ અચળાંક $k = \frac{\pi}{4} \ cm^{-1}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રસરણ અચળાંક $k$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ છે.
$k$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{\lambda}$.
$\lambda$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\lambda = 8 \ cm$ મળે છે.
સ્થિર તરંગમાં બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર તરંગલંબાઈના અડધા જેટલું હોય છે,એટલે કે $\frac{\lambda}{2}$.
તેથી,અંતર $\frac{8 \ cm}{2} = 4 \ cm$ છે.

(C) સ્થિત તરંગ એ સમાન આવૃત્તિ અને કંપવિસ્તાર ધરાવતા અને વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા બે સમાન પ્રગામી તરંગોના સંપાતપણાથી રચાય છે.
સ્થિત તરંગમાં,બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ અથવા બે ક્રમિક પ્રસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{\lambda}{2}$ હોય છે.
સ્થિત તરંગની તરંગલંબાઈને સમાન કળામાં રહેલા બે ક્રમિક બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે ઘટક પ્રગામી તરંગોની તરંગલંબાઈ જેટલી જ હોય છે.
તેથી,સ્થિત તરંગની તરંગલંબાઈ $\lambda$ છે.

(D) મેલ્ડેના પ્રયોગમાં,દોરીની આવૃત્તિ $f = \frac{P}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P$ એ લૂપ્સની સંખ્યા છે,$T$ એ તણાવ છે,$L$ એ લંબાઈ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
આવૃત્તિ $f$ અને લંબાઈ $L$ અચળ હોવાથી,$P \propto \frac{1}{\sqrt{T}}$,જેનો અર્થ છે કે $T P^{2} = \text{અચળ}$.
ધારો કે પ્રારંભિક તણાવ $T_1$ છે અને અંતિમ તણાવ $T_2 = T_1 - 0.009 \ kg-wt$ છે.
અહીં $P_1 = 4$ અને $P_2 = 5$ આપેલ છે.
સંબંધ $T_1 P_1^{2} = T_2 P_2^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_1 (4)^{2} = (T_1 - 0.009) (5)^{2}$
$16 T_1 = 25 T_1 - 0.009 \times 25$
$25 T_1 - 16 T_1 = 0.225$
$9 T_1 = 0.225$
$T_1 = \frac{0.225}{9} = 0.025 \ kg-wt$.

(C) સ્થિત તરંગમાં, બે ક્રમિક નિસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $\lambda / 2$ હોય છે.
$4$ નિસ્પંદ બિંદુઓ માટે, તેમની વચ્ચે $\lambda / 2$ લંબાઈના $3$ વિભાગો હોય છે.
દોરીની કુલ લંબાઈ $L = 120 \,cm$ આપેલ છે.
તેથી, $3 \times (\lambda / 2) = 120 \,cm$.
$3 \lambda / 2 = 120 \,cm$.
$\lambda = (120 \times 2) / 3 \,cm$.
$\lambda = 240 / 3 \,cm$.
$\lambda = 80 \,cm$.

(A) સ્થિત તરંગમાં,માધ્યમના કણો અલગ-અલગ સ્થાનો પર અલગ-અલગ કંપવિસ્તાર સાથે દોલન કરે છે.
નિસ્પંદ બિંદુઓ (nodes) એવા બિંદુઓ છે જ્યાં કંપનનો કંપવિસ્તાર શૂન્ય હોય છે,જેનો અર્થ છે કે સ્થાનાંતર હંમેશા શૂન્ય હોય છે.
પ્રસ્પંદ બિંદુઓ (antinodes) એવા બિંદુઓ છે જ્યાં કંપનનો કંપવિસ્તાર મહત્તમ હોય છે.
તેથી,નિસ્પંદ બિંદુ પર સ્થાનાંતર શૂન્ય હોય છે અને પ્રસ્પંદ બિંદુ પર સ્થાનાંતર મહત્તમ હોય છે.

(B) આપેલ છે:
તરંગોનો વેગ,$v = 50 \,m/s$
તરંગોની આવૃત્તિ,$f = 200 \,Hz$
સૌ પ્રથમ,આપણે પ્રગામી તરંગોની તરંગલંબાઈ $\lambda$ ની ગણતરી કરીએ:
$v = f \lambda$
$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{50}{200} = 0.25 \,m$
જ્યારે બે સમાન પ્રગામી તરંગો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે તેઓ સ્થિત તરંગ (standing wave) બનાવે છે.
સ્થિત તરંગમાં,બે ક્રમિક પ્રતિપ્રસ્પંદ બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર તરંગલંબાઈના અડધા $(\frac{\lambda}{2})$ જેટલું હોય છે.
અંતર $= \frac{\lambda}{2} = \frac{0.25 \,m}{2} = 0.125 \,m$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) એક છેડે ખુલ્લી પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_p = \frac{v}{4L_p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $v = 320 \,m/s$ અને $L_p = 0.8 \,m$ છે।
$f_p = \frac{320}{4 \times 0.8} = \frac{320}{3.2} = 100 \,Hz$.
$L_s = 0.5 \,m$ લંબાઈની દોરી માટે જે તેના $1^{\text{st}}$ ઓવરટોનમાં કંપન કરે છે, તેની આવૃત્તિ $f_s = 2 \times \left( \frac{1}{2L_s} \sqrt{\frac{T}{\mu}} \right) = \frac{1}{L_s} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે, જ્યાં $\mu = \frac{M}{L_s}$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે।
દોરી પાઇપ સાથે અનુનાદિત થતી હોવાથી, $f_s = f_p = 100 \,Hz$.
$100 = \frac{1}{0.5} \sqrt{\frac{50}{M/0.5}} = 2 \sqrt{\frac{50 \times 0.5}{M}} = 2 \sqrt{\frac{25}{M}} = \frac{2 \times 5}{\sqrt{M}} = \frac{10}{\sqrt{M}}$.
$\sqrt{M} = \frac{10}{100} = 0.1$.
$M = (0.1)^2 = 0.01 \,kg = 10 \,g$.

(C) કંપન કરતા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
રેખીય દળ ઘનતા $\mu = \text{ક્ષેત્રફળ} \times \text{ઘનતા} = (\pi R^2) \rho$.
આવૃત્તિના સૂત્રમાં $\mu$ ની કિંમત મૂકતા: $f = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\pi R^2 \rho}} = \frac{1}{2LR} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
આપેલ છે કે દ્રવ્ય સમાન છે,તેથી $\rho$ અચળ છે. તણાવ $T$ પણ સમાન હોવાથી,$f \propto \frac{1}{LR}$ મળે છે.
પ્રથમ તાર માટે: $L_1 = L$,$R_1 = 2r$. તેથી,$f_1 \propto \frac{1}{L \cdot 2r} = \frac{1}{2Lr}$.
બીજા તાર માટે: $L_2 = 2L$,$R_2 = r$. તેથી,$f_2 \propto \frac{1}{2L \cdot r} = \frac{1}{2Lr}$.
તેમની આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $\frac{f_1}{f_2} = \frac{1/2Lr}{1/2Lr} = 1:1$ થાય છે.

(A) સોનોમીટરના તારની આવૃત્તિનું સૂત્ર $n = \frac{p}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે,જ્યાં $p$ એ લૂપ્સની સંખ્યા (એન્ટિનોડ્સ),$L$ એ લંબાઈ,$T$ એ તણાવ $(T = Mg)$ અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
આવૃત્તિ $n$,લંબાઈ $L$ અને $\mu$ અચળ હોવાથી,$p \propto \sqrt{T} \propto \sqrt{M}$ મળે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $p_1 = 5$ અને $M_1 = 9 \ kg$.
બીજા કિસ્સા માટે: $p_2 = 3$ અને $M_2 = m$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{M_1}{M_2}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{5}{3} = \sqrt{\frac{9}{m}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{25}{9} = \frac{9}{m}$.
આથી,$m = 25 \ kg$.

(A) બંને છેડે જડેલા તાર માટે $p$-મો ઓવરટોન $f = (p+1) \frac{1}{2 \ell} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu = \pi r^2 \rho$.
દ્રવ્ય સમાન હોવાથી ઘનતા $\rho$ અચળ છે. તણાવ $T$ પણ અચળ છે.
પ્રથમ તાર માટે,પ્રથમ ઓવરટોન $(p=1)$ $f_1 = 2 \cdot \frac{1}{2 \ell_1} \sqrt{\frac{T}{\pi r_1^2 \rho}} = \frac{1}{\ell_1 r_1} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$ છે.
બીજા તાર માટે,બીજો ઓવરટોન $(p=2)$ $f_2 = 3 \cdot \frac{1}{2 \ell_2} \sqrt{\frac{T}{\pi r_2^2 \rho}} = \frac{3}{2 \ell_2 r_2} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$ છે.
આપેલ છે કે $f_1 = f_2$,તેથી $\frac{1}{\ell_1 r_1} = \frac{3}{2 \ell_2 r_2}$.
આપેલ છે કે $r_1 = 2 r_2$,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{1}{\ell_1 (2 r_2)} = \frac{3}{2 \ell_2 r_2}$.
સાદુરૂપ આપતા,$\frac{1}{2 \ell_1} = \frac{3}{2 \ell_2}$,જે દર્શાવે છે કે $\frac{\ell_1}{\ell_2} = \frac{1}{3}$.

(C) $5^{\text{th}}$ હાર્મોનિક માટે, બંને છેડે જડેલી $L$ લંબાઈની દોરી $5$ લૂપ્સમાં કંપન કરે છે.
લંબાઈ $L$ અને તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $L = \frac{5\lambda}{2}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $Y = 3 \sin(0.4x) \cos(200\pi t)$ ને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $Y = A \sin(kx) \cos(\omega t)$ સાથે સરખાવતા, આપણને તરંગ સંખ્યા $k = 0.4 \text{ rad/cm}$ મળે છે.
કારણ કે $k = \frac{2\pi}{\lambda}$, તેથી $\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{0.4} = 5\pi \text{ cm}$.
$\lambda$ ની કિંમત લંબાઈના સમીકરણમાં મૂકતા: $L = \frac{5 \times 5\pi}{2} = \frac{25\pi}{2} = 12.5\pi \text{ cm}$.

(B) આપેલ છે: સ્લિટની પહોળાઈ $a = 0.3 \text{ mm} = 0.3 \times 10^{-3} \text{ m}$.
પડદાનું અંતર $D = 3 \text{ m}$.
મધ્યસ્થ અધિકતમથી પ્રથમ ન્યૂનતમનું અંતર $x = 5.5 \text{ mm} = 5.5 \times 10^{-3} \text{ m}$.
એક સ્લિટના વિવર્તન માટે, પ્રથમ ન્યૂનતમની શરત $a \sin \theta = \lambda$ છે.
નાના ખૂણાઓ માટે, $\sin \theta \approx \tan \theta = \frac{x}{D}$.
તેથી, $a \left( \frac{x}{D} \right) = \lambda$.
કિંમતો મૂકતા: $\lambda = \frac{ax}{D} = \frac{(0.3 \times 10^{-3} \text{ m}) \times (5.5 \times 10^{-3} \text{ m})}{3 \text{ m}}$.
$\lambda = 0.1 \times 10^{-3} \times 5.5 \times 10^{-3} \text{ m} = 0.55 \times 10^{-6} \text{ m} = 5.5 \times 10^{-7} \text{ m}$.
એંગસ્ટ્રોમમાં ફેરવતા: $\lambda = 5500 \times 10^{-10} \text{ m} = 5500 \text{ Å}$.

(D) એક સ્લિટના વિવર્તન માટે,$n$-માં ન્યૂનતમ માટેની શરત $a \sin \theta = n \lambda$ છે.
અહીં,$a = 10^{-3} \ mm = 10^{-6} \ m$,$\lambda = 5 \times 10^{-7} \ m$,અને પ્રથમ ન્યૂનતમ માટે,$n = 1$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\sin \theta = \frac{n \lambda}{a} = \frac{1 \times 5 \times 10^{-7} \ m}{10^{-6} \ m}$
$\sin \theta = \frac{5 \times 10^{-7}}{10 \times 10^{-7}} = 0.5 = \frac{1}{2}$
તેથી,વિવર્તનનો ખૂણો $\theta = \sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ છે.

(C) વ્યતિકરણના પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $Z$ નું સૂત્ર $Z = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્ત્રોત અને પડદા (અથવા આઈપીસ) વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે આભાસી ઉદગમો વચ્ચેનું અંતર છે.
અહીં $\lambda$ અને $D$ અચળ હોવાથી,ફ્રિન્જની પહોળાઈ એ ઉદગમો વચ્ચેના અંતરના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $Z \propto \frac{1}{d}$.
તેથી,આપણે ગુણોત્તરને $\frac{Z_{A}}{Z_{B}} = \frac{d_{B}}{d_{A}}$ તરીકે લખી શકીએ.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) એક-સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં મુખ્ય અધિકતમની રેખીય પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{2 \lambda D}{d}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,મુખ્ય અધિકતમની રેખીય પહોળાઈ સ્લિટની પહોળાઈ જેટલી છે,તેથી $\beta = d$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $d = \frac{2 \lambda D}{d}$ મળે છે.
$D$ ને કર્તા બનાવતા,$D = \frac{d^{2}}{2 \lambda}$ મળે છે.

(C) એક સ્લિટ વિવર્તનના પ્રયોગમાં મધ્યસ્થ અધિકતમની કોણીય પહોળાઈનું સૂત્ર $\theta = \frac{2 \lambda}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે અને $d$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
કોણીય પહોળાઈ માત્ર તરંગલંબાઇ $\lambda$ અને સ્લિટની પહોળાઈ $d$ પર આધાર રાખે છે,તેથી તે સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેના અંતર $D$ થી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,જ્યારે અંતર $D$ બમણું કરવામાં આવે છે,ત્યારે ફ્રિન્જ વચ્ચેનું કોણીય અંતર સમાન રહે છે.

(A) તરંગની તીવ્રતા $I$ તેના કંપવિસ્તાર $a$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $I \propto a^{2}$.
આનો અર્થ એ છે કે કંપવિસ્તાર $a$ એ તીવ્રતાના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $a \propto \sqrt{I}$.
ધારો કે બે સુસંબદ્ધ ઉદગમોના કંપવિસ્તાર $a_{1}$ અને $a_{2}$ છે,જ્યાં $a_{1} \propto \sqrt{I_{1}}$ અને $a_{2} \propto \sqrt{I_{2}}$.
વ્યતિકરણ ભાતમાં,મહત્તમ તીવ્રતા $(I_{\max})$ સહાયક વ્યતિકરણના બિંદુઓ પર જોવા મળે છે,જ્યાં કળા તફાવત $\pi$ નો બેકી ગુણક $(2n\pi)$ હોય છે.
આ બિંદુઓ પર,પરિણામી કંપવિસ્તાર એ વ્યક્તિગત કંપવિસ્તારોનો સરવાળો છે: $A_{\max} = a_{1} + a_{2}$.
કારણ કે $I_{\max} \propto A_{\max}^{2}$,તેથી $I_{\max} \propto (a_{1} + a_{2})^{2}$.
$a_{1}$ અને $a_{2}$ ના પદોને મૂકતા,આપણને $I_{\max} = (\sqrt{I_{1}} + \sqrt{I_{2}})^{2}$ મળે છે.

(D) વ્યતિકરણમાં પરિણામી તરંગની તીવ્રતા $I = 4I_0 \cos^2(\phi/2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે અને $I_0$ એ દરેક વ્યક્તિગત ઉદગમની તીવ્રતા છે.
કળા તફાવત $\phi$ એ પથ તફાવત $\Delta x$ સાથે $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ દ્વારા સંબંધિત છે.
પથ તફાવત $\Delta x = 0$ માટે,કળા તફાવત $\phi = 0$ થાય. તેથી,$I_1 = 4I_0 \cos^2(0) = 4I_0$.
પથ તફાવત $\Delta x = \lambda/2$ માટે,કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{2} = \pi$ થાય. તેથી,$I_2 = 4I_0 \cos^2(\pi/2) = 4I_0 \cdot 0 = 0$.
તીવ્રતાઓનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{4I_0}{0} = \infty$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\infty:1$ છે.

(C) વ્યતિકરણ ભાતમાં, તીવ્રતા $I$ એ $I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
વિનાશક વ્યતિકરણ માટે, કળા તફાવત $\phi = (2n+1)\pi$ હોય છે, તેથી $\cos \phi = -1$.
ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{min} = (\sqrt{I_1} - \sqrt{I_2})^2$ મળે છે।
જો કંપવિસ્તાર અલગ-અલગ હોય, તો $I_1 \neq I_2$, જેનો અર્થ છે કે $\sqrt{I_1} \neq \sqrt{I_2}$.
તેથી, $I_{min} \neq 0$.
આનો અર્થ એ છે કે વિનાશક વ્યતિકરણના વિસ્તારમાં, સંપૂર્ણ અંધકારને બદલે પ્રકાશની થોડી તીવ્રતા બાકી રહે છે।

(A) આપેલ છે: સ્લિટનું અંતર $d = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$,તરંગલંબાઇ $\lambda = 5000 \text{ Å} = 5 \times 10^{-7} \,m$,ફ્રિન્જની પહોળાઈમાં ફેરફાર $\Delta \beta = \beta_{2} - \beta_{1} = 12.5 \times 10^{-5} \,m$.
ફ્રિન્જની પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
ફ્રિન્જની પહોળાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta \beta = \frac{\lambda}{d} \Delta D$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta D = D_{2} - D_{1}$ એ પડદાના સ્થાનમાં થયેલું સ્થાનાંતર છે.
$\Delta D$ માટે સૂત્ર: $\Delta D = \frac{d \cdot \Delta \beta}{\lambda}$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta D = \frac{10^{-3} \times 12.5 \times 10^{-5}}{5 \times 10^{-7}}$.
$\Delta D = \frac{12.5 \times 10^{-8}}{5 \times 10^{-7}} = 2.5 \times 10^{-1} \,m = 0.25 \,m = 25 \,cm$.
તેથી,પડદાને સ્લિટથી દૂર અથવા નજીક $25 \,cm$ ખસેડવો જોઈએ.

(D) વિનાશક વ્યતિકરણ થવા માટે,બે પ્રકાશના તરંગો એક બિંદુએ એવા કળા તફાવત સાથે પહોંચવા જોઈએ કે જેથી તેમના કંપવિસ્તાર એકબીજાને નાબૂદ કરે.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે તરંગો વિરુદ્ધ કળામાં હોય,એટલે કે એક તરંગ શૃંગ પર હોય ત્યારે બીજું તરંગ ગર્ત પર હોય.
વિનાશક વ્યતિકરણ માટે કળા તફાવતની શરત $\Delta \phi = (2n + 1)\pi$ છે,જ્યાં $n = 0, 1, 2, \ldots$.
$n$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $\Delta \phi = \pi, 3\pi, 5\pi, \ldots$ મળે છે.

(D) બ્રુસ્ટરના નિયમ મુજબ,વક્રીભવનાંક $\mu = \tan i_p$ થાય,જ્યાં $i_p$ એ ધ્રુવીભવન કોણ છે.
અહીં $\mu = 1.73$ અને $\tan 60^{\circ} = 1.73$ આપેલ છે,તેથી $\tan i_p = \tan 60^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $i_p = 60^{\circ}$.
જ્યારે પ્રકાશ ધ્રુવીભવન કોણે આપાત થાય છે,ત્યારે પરાવર્તિત કિરણ અને વક્રીભૂત કિરણ એકબીજાને લંબ હોય છે,એટલે કે $i_p + r = 90^{\circ}$.
$i_p$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $60^{\circ} + r = 90^{\circ}$ મળે છે.
તેથી,વક્રીભવન કોણ $r = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ થાય.

(C) જ્યારે અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ પ્રથમ પોલરોઇડમાંથી પસાર થાય છે, ત્યારે તે $I_0 = I_{in} / 2$ તીવ્રતા સાથે રેખીય રીતે ધ્રુવીભૂત બને છે.
જ્યારે આ ધ્રુવીભૂત પ્રકાશ બીજા પોલરોઇડ પર પડે છે, ત્યારે માલસના નિયમ મુજબ પ્રસારિત તીવ્રતા $I = I_0 \cos^2 \theta$ મળે છે.
પોલરોઇડ્સ ક્રોસ્ડ હોવાથી, તેમની ટ્રાન્સમિશન અક્ષો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ છે.
આ કિંમત મૂકતા, આપણને $I = I_0 \cos^2(90^{\circ}) = I_0 \times 0 = 0$ મળે છે.
તેથી, પ્રકાશ બીજા પોલરોઇડ દ્વારા સંપૂર્ણપણે અવરોધાય છે.

(C) બ્રુસ્ટરના નિયમ મુજબ,પારદર્શક માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu = \tan \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ પોલરાઇઝિંગ એંગલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વક્રીભવનાંક $\mu$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $(c)$ અને માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $(V)$ નો ગુણોત્તર છે:
$\mu = \frac{c}{V}$
$\mu$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\tan \theta = \frac{c}{V}$
બંને બાજુ વ્યસ્ત લેતા:
$\cot \theta = \frac{V}{c}$
તેથી,$\theta$ અને $V$ વચ્ચેનો સંબંધ:
$\theta = \cot^{-1}\left(\frac{V}{c}\right)$ છે.

(A) બ્રુસ્ટરનો નિયમ જણાવે છે કે પોલરાઇઝિંગ એંગલ (બ્રુસ્ટરનો ખૂણો, $i_p$) નો ટેન્જન્ટ એ માધ્યમના વક્રીભવનાંક $(\mu)$ જેટલો હોય છે, જેનું સૂત્ર છે: $\tan(i_p) = \mu$
કારણ કે પારદર્શક માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $(\mu)$ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $(\lambda)$ પર આધાર રાખે છે (વિક્ષેપને કારણે), તેથી વક્રીભવનાંક પ્રકાશના વિવિધ રંગો માટે અલગ-અલગ હોય છે.
પરિણામે, બ્રુસ્ટરનો ખૂણો $(i_p = \arctan(\mu))$ પણ પ્રકાશના વિવિધ રંગો માટે અલગ-અલગ હશે.
તેથી, સાચું વિધાન એ છે કે બ્રુસ્ટરનો ખૂણો વિવિધ રંગોના પ્રકાશ માટે અલગ હોય છે.

(C) ધારો કે આપાત તરંગ અગ્રની પહોળાઈ $w_i$ છે અને વક્રીભૂત તરંગ અગ્રની પહોળાઈ $w_r$ છે.
તરંગ અગ્રની ભૂમિતિ પરથી,તરંગ અગ્રની પહોળાઈ $w = L \cos \theta$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $L$ એ સપાટી પરના તરંગ અગ્રનો ભાગ છે.
આપાત તરંગ અગ્ર માટે,$w_i = L \cos i$,જ્યાં $i = 60^{\circ}$.
વક્રીભૂત તરંગ અગ્ર માટે,$w_r = L \cos r$,જ્યાં $r = 45^{\circ}$.
આપાત તરંગ અગ્ર અને વક્રીભૂત તરંગ અગ્રની પહોળાઈનો ગુણોત્તર $\frac{w_i}{w_r} = \frac{\cos i}{\cos r}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{w_i}{w_r} = \frac{\cos 60^{\circ}}{\cos 45^{\circ}} = \frac{1/2}{1/\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(C) જાડાઈ અને $\mu$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં તરંગોની સંખ્યા $N = \frac{d}{\lambda_m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda_m = \frac{\lambda_0}{\mu}$ એ માધ્યમમાં તરંગલંબાઇ છે.
આમ,$N = \frac{d \cdot \mu}{\lambda_0}$.
બંને માધ્યમો માટે તરંગોની સંખ્યા સમાન હોવાથી:
$\frac{d_g \cdot \mu_g}{\lambda_0} = \frac{d_w \cdot \mu_w}{\lambda_0}$
$d_g \cdot \mu_g = d_w \cdot \mu_w$
અહીં $d_g = 4 \,cm$,$\mu_g = \frac{5}{3}$,અને $\mu_w = \frac{4}{3}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $4 \times \frac{5}{3} = x \times \frac{4}{3}$
$\frac{20}{3} = \frac{4x}{3}$
$4x = 20$
$x = 5 \,cm$.

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં પ્રકાશની તીવ્રતા $I = 4I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_0$ એ દરેક તરંગની તીવ્રતા છે અને $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
કળા તફાવત $\phi$ એ પથ તફાવત $\Delta x$ સાથે $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ દ્વારા સંબંધિત છે.
પથ તફાવત $\Delta x = \lambda$ માટે,કળા તફાવત $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \lambda = 2\pi$ થાય છે.
આપેલ તીવ્રતા $K = 4I_0 \cos^2(\frac{2\pi}{2}) = 4I_0 \cos^2(\pi) = 4I_0(1)^2 = 4I_0$.
પથ તફાવત $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$ માટે,કળા તફાવત $\phi' = \frac{2\pi}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ થાય છે.
નવી તીવ્રતા $I'$ એ $I' = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi/2}{2}) = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi}{4})$ છે.
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $I' = 4I_0 \cdot (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 4I_0 \cdot \frac{1}{2} = 2I_0$.
કારણ કે $K = 4I_0$,તેથી $2I_0 = \frac{K}{2}$ થાય.
તેથી,તીવ્રતા $\frac{K}{2}$ હશે.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં $n^{\text{th}}$ મહત્તમનું સ્થાન $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ મહત્તમનો ક્રમ છે,$\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે અને $d$ એ સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
$\lambda_1$ તરંગલંબાઇ માટે $6^{\text{th}}$ મહત્તમનું અંતર $d_1 = \frac{6 \lambda_1 D}{d}$ છે.
$\lambda_2$ તરંગલંબાઇ માટે $4^{\text{th}}$ મહત્તમનું અંતર $d_2 = \frac{4 \lambda_2 D}{d}$ છે.
$d_1$ અને $d_2$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{d_1}{d_2} = \frac{6 \lambda_1 D / d}{4 \lambda_2 D / d} = \frac{6 \lambda_1}{4 \lambda_2} = \frac{3}{2} \frac{\lambda_1}{\lambda_2}$.

(B) $\text{1.33}$ વક્રીભવનાંક ધરાવતા માધ્યમમાં શલાકાની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda_w D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
અહીં, પાણીમાં તરંગલંબાઈ $\lambda_w = \frac{\lambda_{air}}{\mu} = \frac{6300 \times 10^{-10} \,m}{1.33}$ છે।
આપેલ છે: $D = 1.33 \,m$, $d = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$, અને $\mu = 1.33$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\beta = \frac{(6300 \times 10^{-10} / 1.33) \times 1.33}{10^{-3}} \,m$.
$\beta = \frac{6300 \times 10^{-10}}{10^{-3}} \,m$.
$\beta = 6300 \times 10^{-7} \,m = 6.3 \times 10^{-4} \,m$.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં પરિણામી તીવ્રતા $I_R = 4I_0 \cos^2(\frac{\phi}{2})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_0$ એ દરેક સ્લિટની તીવ્રતા છે અને $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ છે.
કિસ્સો $1$: જ્યારે $\Delta x = \lambda$,ત્યારે $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \lambda = 2\pi$. તીવ્રતા $I = 4I_0 \cos^2(\frac{2\pi}{2}) = 4I_0 \cos^2(\pi) = 4I_0(-1)^2 = 4I_0$.
કિસ્સો $2$: જ્યારે $\Delta x = \frac{\lambda}{4}$,ત્યારે $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$.
નવી તીવ્રતા $I' = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi/2}{2}) = 4I_0 \cos^2(\frac{\pi}{4}) = 4I_0 (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 4I_0 \times \frac{1}{2} = 2I_0$.
કારણ કે $I = 4I_0$,તેથી $I_0 = \frac{I}{4}$.
$I'$ ના સમીકરણમાં $I_0$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $I' = 2(\frac{I}{4}) = \frac{I}{2}$ મળે છે.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
શલાકાઓને એકબીજાની વધુ નજીક લાવવા માટે,શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ ઘટાડવી જરૂરી છે.
સૂત્ર પરથી,$\beta \propto \lambda$ અને $\beta \propto \frac{1}{d}$ છે.
વાદળી પ્રકાશની તરંગલંબાઇ લીલા પ્રકાશ કરતા ઓછી હોવાથી $(\lambda_{blue} < \lambda_{green})$,વાદળી પ્રકાશનો ઉપયોગ કરવાથી શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ ઘટશે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
જ્યારે આ પ્રયોગ પાણીમાં કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રકાશની તરંગલંબાઇ બદલાઈને $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ થાય છે,જ્યાં $\mu$ એ પાણીનો વક્રીભવનાંક છે $(\mu > 1)$.
$\mu > 1$ હોવાથી,નવી તરંગલંબાઇ $\lambda'$ એ હવામાં રહેલી મૂળ તરંગલંબાઇ $\lambda$ કરતા નાની હોય છે.
પરિણામે,નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta' = \frac{\lambda' D}{d} = \frac{\lambda D}{\mu d} = \frac{\beta}{\mu}$ થાય છે.
$\mu > 1$ હોવાથી,ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta'$ ઘટે છે.

(C) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,ફ્રિન્જ-વિડ્થ $(z)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$z = \frac{\lambda D}{d}$
જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ સ્લિટ અને સ્ક્રીન (અથવા આઈ-પીસ) વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર છે.
અહીં $\lambda$ અને $d$ અચળ રાખવામાં આવ્યા હોવાથી,$z \propto D$ થાય છે.
આ સંબંધ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
આપેલા વિકલ્પો જોતા,આલેખ $(C)$ સીધો રેખીય સંબંધ $(z \propto D)$ દર્શાવે છે.
તેથી,સાચો આલેખ $(C)$ છે.

(D) આપેલ છે: સ્લિટનું અંતર $d = 3 \,mm = 3 \times 10^{-3} \,m$,સ્ક્રીનનું અંતર $D = 2 \,m$,તરંગલંબાઇ $\lambda_1 = 480 \,nm = 480 \times 10^{-9} \,m$ અને $\lambda_2 = 600 \,nm = 600 \times 10^{-9} \,m$.
$n^{th}$ ક્રમની પ્રકાશિત શલાકાનું સ્થાન $y_n = n \frac{\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ તરંગલંબાઇ માટે $5^{th}$ ક્રમની પ્રકાશિત શલાકા: $y_5^{(1)} = 5 \frac{\lambda_1 D}{d}$.
બીજી તરંગલંબાઇ માટે $5^{th}$ ક્રમની પ્રકાશિત શલાકા: $y_5^{(2)} = 5 \frac{\lambda_2 D}{d}$.
આ શલાકાઓ વચ્ચેનું અંતર $\Delta y = y_5^{(2)} - y_5^{(1)} = \frac{5D}{d} (\lambda_2 - \lambda_1)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta y = \frac{5 \times 2}{3 \times 10^{-3}} \times (600 - 480) \times 10^{-9} \,m$.
$\Delta y = \frac{10}{3 \times 10^{-3}} \times 120 \times 10^{-9} \,m = \frac{1200}{3} \times 10^{-6} \,m = 400 \times 10^{-6} \,m = 4 \times 10^{-4} \,m$.

(C) આપેલ છે કે બે તરંગોની તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{9}{4}$ છે.
તીવ્રતા $I \propto a^2$ હોવાથી,કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર $\frac{a_1}{a_2} = \sqrt{\frac{I_1}{I_2}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$ થાય.
મહત્તમ તીવ્રતા $I_{max} = (a_1 + a_2)^2$ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{min} = (a_1 - a_2)^2$ છે.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{max}}{I_{min}} = \frac{(a_1 + a_2)^2}{(a_1 - a_2)^2} = \left( \frac{a_1 + a_2}{a_1 - a_2} \right)^2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{I_{max}}{I_{min}} = \left( \frac{3 + 2}{3 - 2} \right)^2 = \left( \frac{5}{1} \right)^2 = \frac{25}{1}$ મળે.
આમ,ગુણોત્તર $25: 1$ છે.

(A) સ્ક્રીન પરના કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = 4I_0 \cos^2 \left( \frac{\phi}{2} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
કળા તફાવત $\phi$ એ પથ તફાવત $\Delta x$ સાથે $\phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x$ દ્વારા સંબંધિત છે.
પથ તફાવત $\Delta x_1 = 0$ માટે,કળા તફાવત $\phi_1 = 0$ થાય. તેથી,$I_1 = 4I_0 \cos^2(0) = 4I_0$.
પથ તફાવત $\Delta x_2 = \frac{\lambda}{4}$ માટે,કળા તફાવત $\phi_2 = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{4} = \frac{\pi}{2}$ થાય.
તીવ્રતા $I_2 = 4I_0 \cos^2 \left( \frac{\pi/2}{2} \right) = 4I_0 \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} \right) = 4I_0 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^2 = 4I_0 \times \frac{1}{2} = 2I_0$.
તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{4I_0}{2I_0} = \frac{2}{1}$ એટલે કે $2:1$ થાય.