MHT CET 2020 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ છે. ધારો કે અક્ષ શિરોબિંદુ $A$ માંથી પસાર થાય છે અને બાજુ $BC$ ને સમાંતર છે.
શિરોબિંદુ $A$ પરનું દળ અક્ષ પર જ આવેલું છે,તેથી અક્ષથી તેનું લંબ અંતર $0$ છે. જડત્વની ચાકમાત્રામાં તેનું યોગદાન $m(0)^2 = 0$ છે.
શિરોબિંદુ $B$ અને $C$ પરના દળો અક્ષથી $h$ જેટલા લંબ અંતરે છે,જ્યાં $h$ એ સમબાજુ ત્રિકોણની ઊંચાઈ છે.
ઊંચાઈ $h$ નું મૂલ્ય $h = \ell \sin 60^{\circ} = \ell \times \frac{\sqrt{3}}{2}$ છે.
તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ એ વ્યક્તિગત દળોની જડત્વની ચાકમાત્રાનો સરવાળો છે:
$I = m(0)^2 + m(h)^2 + m(h)^2 = 2mh^2$.
$h$ ની કિંમત મૂકતા:
$I = 2m \left( \ell \times \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = 2m \left( \frac{3}{4} \ell^2 \right) = \frac{3}{2} m \ell^2$.

(B) ધારો કે તારની એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $m$ છે.
લૂપ $A$ નું દળ $M_A = (2 \pi R)m$ છે.
લૂપ $B$ નું દળ $M_B = (2 \pi NR)m$ છે.
તેથી,દળનો ગુણોત્તર $\frac{M_B}{M_A} = \frac{2 \pi NRm}{2 \pi Rm} = N$ થાય.
વર્તુળાકાર લૂપની તેની કેન્દ્રીય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = MR^2$ છે.
તેથી,$I_A = M_A R^2$ અને $I_B = M_B (NR)^2 = M_B N^2 R^2$ થાય.
$M_B = N M_A$ મૂકતા,આપણને $I_B = (N M_A) N^2 R^2 = N^3 M_A R^2 = N^3 I_A$ મળે છે.
આપેલ છે કે $I_B = 3 I_A$,તેથી $N^3 = 3$ થાય.
તેથી,$N = (3)^{1/3}$ મળે.

(D) $m$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = mr^2$ છે.
બંને રીંગ એક જ તારમાંથી બનેલી હોવાથી,દળ $m$ એ પરિઘ $(2 \pi r)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,તેથી $m \propto r$.
તેથી,$m_A = k(2 \pi nR)$ અને $m_B = k(2 \pi R)$,જ્યાં $k$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
આમ,$\frac{m_A}{m_B} = \frac{nR}{R} = n$.
રીંગ $A$ ની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_A = m_A (nR)^2 = (n m_B) (n^2 R^2) = n^3 (m_B R^2)$ છે.
કારણ કે $I_B = m_B R^2$,તેથી $I_A = n^3 I_B$ મળે.
આપેલ છે કે $I_A = 64 I_B$,તેથી $n^3 = 64$.
તેથી,$n = \sqrt[3]{64} = 4$.

(C) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A, B$ અને $C$ છે. ધારો કે પરિભ્રમણની અક્ષ બાજુ $BC$ પર છે.
$B$ અને $C$ પરના દ્રવ્યમાન પરિભ્રમણની અક્ષ પર આવેલા છે,તેથી અક્ષથી તેમનું લંબ અંતર $0$ છે. આમ,તેમની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{B} = m(0)^{2} = 0$ અને $I_{C} = m(0)^{2} = 0$ થાય.
$A$ પરનું દ્રવ્યમાન બાજુ $BC$ થી $h$ જેટલા લંબ અંતરે છે. $\ell$ બાજુ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણમાં,ઊંચાઈ $h = \ell \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \ell$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અક્ષ $BC$ ને અનુલક્ષીને $A$ પરના દ્રવ્યમાનની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{A} = m h^{2} = m \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \ell \right)^{2} = m \left( \frac{3}{4} \ell^{2} \right) = \frac{3}{4} m \ell^{2}$ થાય.
તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{A} + I_{B} + I_{C} = \frac{3}{4} m \ell^{2} + 0 + 0 = \frac{3}{4} m \ell^{2}$ થાય.

(A) ડિસ્કની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M R^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને ડિસ્કનું દળ $M$ સમાન હોવાથી,$I_1 = \frac{1}{2} M R_1^2$ અને $I_2 = \frac{1}{2} M R_2^2$ મળે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{R_1^2}{R_2^2}$ થાય.
બંને ડિસ્ક સમાન દ્રવ્યની બનેલી હોવાથી,તેમની ઘનતા $\rho$ સમાન છે. દળ $M = \text{કદ} \times \rho = (\pi R^2 t) \rho$ દ્વારા મળે છે.
બંને માટે $M$ અને $\rho$ સમાન હોવાથી,$\pi R_1^2 t_1 \rho = \pi R_2^2 t_2 \rho$,જેનું સાદું રૂપ $R_1^2 t_1 = R_2^2 t_2$ થાય છે.
આના પરથી,$\frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{t_2}{t_1}$ મળે.
આ કિંમત જડત્વની ચાકમાત્રાના ગુણોત્તરમાં મૂકતા,$\frac{I_1}{I_2} = \frac{t_2}{t_1}$ મળે છે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $I_1 t_1 = I_2 t_2$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે,કેન્દ્ર $O$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{o} = \frac{Ma^{2}}{6}$ છે.
ખૂણામાંથી (ધારો કે $A$) પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા શોધવા માટે,આપણે સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $I_{A} = I_{o} + Mh^{2}$,જ્યાં $h$ એ કેન્દ્ર અને ખૂણા વચ્ચેનું અંતર છે.
ચોરસનો વિકર્ણ $d = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a\sqrt{2}$ છે.
કેન્દ્રથી ખૂણા સુધીનું અંતર $h$ એ વિકર્ણનું અડધું છે: $h = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.
પ્રમેયમાં કિંમતો મૂકતા:
$I_{A} = \frac{Ma^{2}}{6} + M\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^{2}$
$I_{A} = \frac{Ma^{2}}{6} + \frac{Ma^{2}}{2}$
$I_{A} = \frac{Ma^{2} + 3Ma^{2}}{6} = \frac{4Ma^{2}}{6} = \frac{2Ma^{2}}{3}$.

(B) ઘન ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} MR^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{1} = \frac{2}{5} MR^{2}$ છે.
ગ્રહ અડધા કદમાં સંકોચાયા પછી,નવી ત્રિજ્યા $R' = \frac{R}{2}$ અને નવું દળ $M' = \frac{M}{2}$ થાય છે.
નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{2}$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$I_{2} = \frac{2}{5} M' (R')^{2}$
$I_{2} = \frac{2}{5} \left(\frac{M}{2}\right) \left(\frac{R}{2}\right)^{2}$
$I_{2} = \frac{2}{5} \times \frac{M}{2} \times \frac{R^{2}}{4}$
$I_{2} = \frac{2}{40} MR^{2} = \frac{MR^{2}}{20}$.

(A) ઢળતા સમતલ પર ગબડતા નક્કર નળાકાર માટે,ટોચ પર કુલ ઉર્જા સ્થિતિ ઉર્જા $PE = Mgh$ છે.
તળિયે,કુલ ઉર્જા એ સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જા અને ચાકગતિ ઉર્જાનો સરવાળો છે: $KE = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} I\omega^2$.
નક્કર નળાકાર માટે,જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \frac{1}{2} MR^2$ છે અને ગબડવાની શરત $v = R\omega$ છે,તેથી $\omega = \frac{v}{R}$.
આ કિંમતોને ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા: $Mgh = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} MR^2) (\frac{v}{R})^2$.
$Mgh = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{4} Mv^2$.
$Mgh = \frac{3}{4} Mv^2$.
ઊંચાઈ $h$ માટે ઉકેલતા: $h = \frac{3 v^2}{4 g}$.

(A) ધારો કે પૈડાની ત્રિજ્યા $R = 2 \ cm$ છે.
શરૂઆતમાં,બિંદુ $P$ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે.
અડધા પરિભ્રમણ પછી,પૈડાનું કેન્દ્ર પરિઘના અડધા જેટલા અંતરે એટલે કે $\pi R$ જેટલું આગળ વધે છે.
કેન્દ્રનું નવું સ્થાન $(\pi R, R)$ છે.
અડધા પરિભ્રમણ પછી,બિંદુ $P$ પૈડાના નીચેના ભાગથી ઉપરના ભાગ પર જાય છે.
બિંદુ $P$ ના નવા યામ $(\pi R, 2R)$ થશે.
સ્થાનાંતર $d$ એ પ્રારંભિક સ્થાન $(0, 0)$ અને અંતિમ સ્થાન $(\pi R, 2R)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $d = \sqrt{(\pi R - 0)^2 + (2R - 0)^2} = \sqrt{\pi^2 R^2 + 4R^2} = R\sqrt{\pi^2 + 4}$.
$R = 2 \ cm$ મૂકતા: $d = 2\sqrt{\pi^2 + 4} \ cm$ અથવા $2(\pi^2 + 4)^{1/2} \ cm$.

(A) ઢળતા સમતલ પર ગબડતા નક્કર નળાકાર માટે,કુલ સ્થિતિ ઉર્જા $Mgh$ એ સ્થાનાંતરિત ગતિ ઉર્જા અને ચાકગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
કુલ ઉર્જા $E = Mgh = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} I\omega^2$.
નક્કર નળાકાર માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} MR^2$ અને ગબડવાની શરત $v = R\omega$ છે.
આ કિંમતોને ઉર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$Mgh = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} MR^2) (\frac{v}{R})^2$
$Mgh = \frac{1}{2} Mv^2 + \frac{1}{4} Mv^2 = \frac{3}{4} Mv^2$.
આમ,$Mv^2 = \frac{4}{3} Mgh$.
ચાકગતિ ઉર્જા $K_{rot} = \frac{1}{2} I\omega^2 = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} MR^2) (\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{4} Mv^2$.
$K_{rot}$ ના સમીકરણમાં $Mv^2 = \frac{4}{3} Mgh$ મૂકતા:
$K_{rot} = \frac{1}{4} (\frac{4}{3} Mgh) = \frac{Mgh}{3}$.

(A) આપેલ છે કે પૈડું શરૂઆતમાં સ્થિર છે,તેથી પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0$ છે.
અચળ ટોર્ક $\tau$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતો કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{\tau}{I}$ છે.
$t$ સમય પછી,કોણીય વેગ $\omega = \omega_0 + \alpha t = 0 + \left(\frac{\tau}{I}\right)t = \frac{\tau t}{I}$ થશે.
પરિભ્રમણીય ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા,$K = \frac{1}{2} I \left(\frac{\tau t}{I}\right)^2 = \frac{1}{2} I \cdot \frac{\tau^2 t^2}{I^2} = \frac{\tau^2 t^2}{2 I}$ મળે છે.

(A) ચાકગતિની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} I \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નક્કર ગોળા માટે તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_s = \frac{2}{5} MR^2$ છે.
ધારો કે ગોળાની કોણીય ઝડપ $\omega_s = \omega$ છે.
તેથી,ગોળાની ગતિઊર્જા $K_s = \frac{1}{2} (\frac{2}{5} MR^2) \omega^2 = \frac{1}{5} MR^2 \omega^2$ થાય.
તકતી માટે તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_d = \frac{1}{2} MR^2$ છે.
તકતીની કોણીય ઝડપ $\omega_d = 2\omega$ આપેલી છે.
તેથી,તકતીની ગતિઊર્જા $K_d = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} MR^2) (2\omega)^2 = \frac{1}{4} MR^2 (4\omega^2) = MR^2 \omega^2$ થાય.
તકતીની ગતિઊર્જા અને ગોળાની ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_d}{K_s} = \frac{MR^2 \omega^2}{\frac{1}{5} MR^2 \omega^2} = 5$ મળે.
આમ,ગુણોત્તર $5: 1$ છે.

(A) લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને રીંગની પ્રારંભિક જડત્વની ચાકમાત્રા $I = M R^2$ છે. પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = I \omega = M R^2 \omega$ છે.
જ્યારે $m$ દળના બે પદાર્થોને વ્યાસના વિરુદ્ધ છેડાઓ પર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I' = M R^2 + m R^2 + m R^2 = (M + 2m) R^2$ થાય છે.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ટોર્ક લાગતું ન હોવાથી,કોણીય વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે,તેથી $L_i = L_f$.
$M R^2 \omega = (M + 2m) R^2 \omega'$
$\omega' = \frac{M R^2 \omega}{(M + 2m) R^2} = \frac{M \omega}{M + 2m}$.

(B) કલાકના કાંટાની કોણીય ઝડપ $\omega_{h} = \frac{2 \pi}{T_{h}} = \frac{2 \pi}{12 \times 3600} \text{ rad/s}$ છે.
સેકન્ડના કાંટાની કોણીય ઝડપ $\omega_{s} = \frac{2 \pi}{T_{s}} = \frac{2 \pi}{60} \text{ rad/s}$ છે.
સાપેક્ષ કોણીય ઝડપ $\omega_{rel} = |\omega_{s} - \omega_{h}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\omega_{rel} = \left| \frac{2 \pi}{60} - \frac{2 \pi}{43200} \right| = 2 \pi \left( \frac{720 - 1}{43200} \right)$.
$\omega_{rel} = 2 \pi \left( \frac{719}{43200} \right) = \frac{719 \pi}{21600} \text{ rad/s}$.

(A) $m$ દળ ધરાવતા અને $d$ અંતરે રહેલા બે પરમાણુઓ ધરાવતા દ્વિપરમાણ્વીય અણુની તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને પરમાણુઓને જોડતી રેખાને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ નીચે મુજબ છે:
$I = m(d/2)^2 + m(d/2)^2 = 2m(d^2/4) = \frac{md^2}{2}$.
રોટેશનલ ગતિ ઊર્જા $E = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
ઊર્જાના સમીકરણમાં $I$ ની કિંમત મૂકતા:
$E = \frac{1}{2} (\frac{md^2}{2}) \omega^2 = \frac{md^2}{4} \omega^2$.
$\omega$ માટે ઉકેલતા:
$\omega^2 = \frac{4E}{md^2}$.
$\omega = \sqrt{\frac{4E}{md^2}} = \frac{2}{d} \sqrt{\frac{E}{m}}$.

(B) અક્ષથી $r$ અંતરે $F$ બળ દ્વારા લાગતું ટોર્ક $\tau = F \times r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા, $\tau = 25 \,N \times 0.4 \,m = 10 \,Nm$.
નક્કર નળાકારની તેની પોતાની અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M R^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા, $I = \frac{1}{2} \times 1 \,kg \times (0.4 \,m)^2 = 0.5 \times 0.16 = 0.08 \,kg \cdot m^2$.
સંબંધ $\tau = I \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા, કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{\tau}{I}$ મળે.
$\alpha = \frac{10 \,Nm}{0.08 \,kg \cdot m^2} = 125 \,rad/s^2$.

(A) પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_i = 120 \ rpm = \frac{120 \times 2\pi}{60} = 4\pi \ rad/s$.
અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_f = 0 \ rad/s$.
લાગતો સમય $t = 10 \ s$.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha = \frac{\omega_f - \omega_i}{t} = \frac{0 - 4\pi}{10} = -0.4\pi \ rad/s^2$.
તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (0.1)^2 = 0.05 \ kg \ m^2$.
અવરોધક ટોર્ક $\tau = I|\alpha| = 0.05 \times 0.4\pi = 0.02\pi \ Nm$.
જેમ કે $\tau = F \times R$, તેથી બળ $F = \frac{\tau}{R} = \frac{0.02\pi}{0.1} = 0.2\pi \ N$.

(A) ટોર્ક $\tau$ અને કોણીય વેગમાનમાં થતા ફેરફાર $\Delta L$ વચ્ચેનો સંબંધ પરિભ્રમણ માટેના આઘાત-વેગમાન પ્રમેય દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta L = \int \tau \ dt$.
અહીં ટોર્ક $\tau = 50 \ Nm$ અચળ છે અને તે $8 \ s$ ના સમયગાળા માટે લાગે છે,તેથી કોણીય વેગમાનમાં થતો ફેરફાર:
$\Delta L = \tau \times \Delta t$
$\Delta L = 50 \ Nm \times 8 \ s$
$\Delta L = 400 \ kg \cdot m^2/s$.
આમ,કોણીય વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $400 \ kg \cdot m^2/s$ છે.

(A) ટોર્ક $\tau$ અને કોણીય વેગમાન $L$ ના ફેરફારના દર વચ્ચેનો સંબંધ પરિભ્રમણ માટે ન્યૂટનના બીજા નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\tau = \frac{dL}{dt}$.
અહીં પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_1 = 1 \, J \cdot s$ અને અંતિમ કોણીય વેગમાન $L_2 = 4 \, J \cdot s$ છે.
કોણીય વેગમાનમાં ફેરફાર $\Delta L = L_2 - L_1 = 4 - 1 = 3 \, J \cdot s$ છે.
સમયગાળો $\Delta t = 4 \, s$ છે.
તેથી, ટોર્ક $\tau = \frac{\Delta L}{\Delta t} = \frac{3}{4} = 0.75 \, N \cdot m$ થાય.

(A) બિંદુ $P$ એ $(1, -1)$ છે,તેથી તેનો સ્થાન સદિશ $\vec{r}_P = \hat{i} - \hat{j}$ છે.
બળ ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ પર લાગતું હોવાથી,બિંદુ $P$ ની સાપેક્ષે બળ લાગવાના બિંદુનો સ્થાન સદિશ $\vec{r} = \vec{r}_O - \vec{r}_P = 0 - (\hat{i} - \hat{j}) = -\hat{i} + \hat{j}$ થશે.
બિંદુ $P$ ની સાપેક્ષે ટોર્ક (બળની ચાકમાત્રા) $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\vec{\tau} = (-\hat{i} + \hat{j}) \times (-F\hat{k})$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટના વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\vec{\tau} = F[(\hat{i} \times \hat{k}) - (\hat{j} \times \hat{k})]$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટના સંબંધો $\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$ અને $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{\tau} = F[-\hat{j} - \hat{i}] = -F(\hat{i} + \hat{j})$.

(D) સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
ખ્યાલ:
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,પદાર્થની ઉત્સર્જક શક્તિ $(E)$ નું સૂત્ર $E = e \sigma T^4$ છે,જ્યાં $e$ એ ઉત્સર્જકતા છે,$\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આપેલ છે કે બંને ગોળાઓની ઉત્સર્જક શક્તિ સમાન છે,તેથી $E_1 = E_2$.
તેથી,$e_1 \sigma T_1^4 = e_2 \sigma T_2^4$.
આના પરથી $\frac{T_1^4}{T_2^4} = \frac{e_2}{e_1}$ મળે.
ઉત્સર્જકતાનો ગુણોત્તર $e_1 : e_2 = 1 : 4$ આપેલ છે,તેથી $\frac{e_2}{e_1} = \frac{4}{1} = 4$.
આમ,$\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^4 = 4$.
બંને બાજુ ચતુર્થ મૂળ લેતા,$\frac{T_1}{T_2} = (4)^{1/4} = (2^2)^{1/4} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$.
તેથી,$T_1 : T_2$ નો ગુણોત્તર $\sqrt{2} : 1$ થાય.

(B) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,$\lambda_{max} T = b$ (અચળાંક).
ધારો કે $\lambda_A$ અને $\lambda_B$ એ પદાર્થ $A$ અને $B$ માટે મહત્તમ ઉર્જાની તરંગલંબાઇ છે,અને $T_A$ અને $T_B$ તેમના નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આપેલ છે: $T_A = 3 T_B$ અને $\lambda_B - \lambda_A = 4 \mu m$ (કારણ કે $T_A > T_B$,તેથી $\lambda_A < \lambda_B$).
વીનના નિયમ પરથી: $\lambda_A T_A = \lambda_B T_B$.
$T_A = 3 T_B$ મૂકતા: $\lambda_A (3 T_B) = \lambda_B T_B$,જે આપે છે $\lambda_B = 3 \lambda_A$.
આ કિંમત તફાવતના સમીકરણમાં મૂકતા: $3 \lambda_A - \lambda_A = 4 \mu m$.
$2 \lambda_A = 4 \mu m \implies \lambda_A = 2 \mu m$.
તેથી,$\lambda_B = 3 \times 2 \mu m = 6 \mu m$.

(A) કૃષ્ણ પદાર્થ એક આદર્શ પદાર્થ છે જે તમામ આવૃત્તિઓના વિકિરણનું ઉત્સર્જન અને શોષણ કરે છે. પ્લાન્કના કૃષ્ણ પદાર્થ વિકિરણના નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત વિકિરણની તીવ્રતા તરંગલંબાઇ અને તાપમાન પર આધાર રાખે છે. તીવ્રતાનું વિતરણ બધી તરંગલંબાઇઓ માટે સમાન હોતું નથી; તે એક ચોક્કસ વક્ર (પ્લાન્કનો વક્ર) ને અનુસરે છે જ્યાં તીવ્રતા તરંગલંબાઇ સાથે બદલાય છે. તેથી,'બધી તરંગલંબાઇઓ માટે તીવ્રતા સમાન હોય છે' તે વિધાન ખોટું છે.

(B) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,$\lambda_m T = b$ (અચળ),તેથી $T \propto 1/\lambda_m$.
તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\lambda_P : \lambda_Q = 3:4$ આપેલ છે,તેથી તાપમાનનો ગુણોત્તર $T_P : T_Q = 4:3$ થશે.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma A T^4 = \sigma (4\pi r^2) T^4$ છે.
તેથી,ઉત્સર્જિત પાવરનો ગુણોત્તર $\frac{P_P}{P_Q} = \left( \frac{r_P}{r_Q} \right)^2 \left( \frac{T_P}{T_Q} \right)^4$ થશે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{P_P}{P_Q} = \left( \frac{3}{2} \right)^2 \times \left( \frac{4}{3} \right)^4$.
$\frac{P_P}{P_Q} = \frac{9}{4} \times \frac{256}{81} = \frac{1}{1} \times \frac{64}{9} = \frac{64}{9}$.

(D) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,મહત્તમ તીવ્રતા ધરાવતી તરંગલંબાઈ $\lambda_{m}$ અને નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ નો ગુણાકાર અચળ રહે છે.
$\lambda_{m} T = \text{અચળ}$
આપેલ છે:
$T_{1} = 2200 \ K$
$T_{2} = 3300 \ K$
ધારો કે નવી તરંગલંબાઈ $\lambda_{m}^{\prime}$ છે.
સંબંધ $\lambda_{m} T_{1} = \lambda_{m}^{\prime} T_{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lambda_{m}^{\prime} = \lambda_{m} \times \frac{T_{1}}{T_{2}}$
$\lambda_{m}^{\prime} = \lambda_{m} \times \frac{2200}{3300}$
$\lambda_{m}^{\prime} = \frac{2}{3} \lambda_{m}$

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ, વિકિરણનો દર $P$ (અથવા $E$) $P = e \sigma A T^{4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $A = 4 \pi r^{2}$ છે.
ગોળા $S_{1}$ માટે: $E = e \sigma (4 \pi R^{2}) T^{4}$.
ગોળા $S_{2}$ માટે: $E' = e \sigma (4 \pi (3R)^{2}) (T/3)^{4}$.
$E' = e \sigma (4 \pi \cdot 9R^{2}) (T^{4} / 81)$.
$E' = e \sigma (4 \pi R^{2}) T^{4} \cdot (9 / 81)$.
$E' = E \cdot (1 / 9) = E/9$.

(C) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ઉર્જા $E = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\sigma$ એ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,$A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે અને $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
ધારો કે પ્રારંભિક સ્થિતિ $E_1 = \sigma A_1 T_1^4$ છે અને અંતિમ સ્થિતિ $E_2 = \sigma A_2 T_2^4$ છે.
આપેલ છે કે લંબાઈ અને પહોળાઈ તેમના પ્રારંભિક મૂલ્યોના $1/3$ ગણા કરવામાં આવે છે,તેથી નવું ક્ષેત્રફળ $A_2 = (L/3) \times (B/3) = A_1 / 9$ થાય.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 327 + 273 = 600 \ K$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{E_2}{E_1} = \frac{A_2}{A_1} \times \left(\frac{T_2}{T_1}\right)^4$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{E_2}{E_1} = \frac{1}{9} \times \left(\frac{600}{300}\right)^4 = \frac{1}{9} \times (2)^4 = \frac{16}{9}$.
તેથી,$E_2 = \frac{16}{9} E$.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,$r$ ત્રિજ્યા અને $T$ તાપમાન ધરાવતા ગોળાકાર કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma A T^{4}$ છે,જ્યાં $A = 4 \pi r^{2}$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે.
બંને પદાર્થો સમાન પાવરનું ઉત્સર્જન કરતા હોવાથી,$P_{1} = P_{2}$ થાય.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$4 \pi r_{1}^{2} \sigma T_{1}^{4} = 4 \pi r_{2}^{2} \sigma T_{2}^{4}$ મળે.
સામાન્ય પદો $4 \pi \sigma$ ને દૂર કરતા,$r_{1}^{2} T_{1}^{4} = r_{2}^{2} T_{2}^{4}$ મળે.
ગુણોત્તર $\frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}}$ શોધવા માટે પદોને ગોઠવતા,$\frac{r_{1}^{2}}{r_{2}^{2}} = \frac{T_{2}^{4}}{T_{1}^{4}}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{r_{1}}{r_{2}} = \frac{T_{2}^{2}}{T_{1}^{2}} = \left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)^{2}$ મળે.

(B) પ્રસરણનો ગુણાંક $(T)$ એ પદાર્થમાંથી પસાર થતી વિકિરણ ઉર્જા અને તેના પર આપાત થતી કુલ વિકિરણ ઉર્જાના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
અથર્મનસ પદાર્થ એવો પદાર્થ છે જે ઉષ્મીય વિકિરણને પોતાની આરપાર પસાર થવા દેતો નથી.
અથર્મનસ પદાર્થમાંથી કોઈ પણ વિકિરણ ઉર્જા પસાર થતી ન હોવાથી,પ્રસારિત ઉર્જા $0$ થાય છે.
તેથી,પ્રસરણનો ગુણાંક $T = 0$ થાય છે.

(D) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,$\lambda_{m} T = b$ (અચળાંક),તેથી $T \propto \frac{1}{\lambda_{m}}$.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,કાળા પદાર્થની કુલ ઉત્સર્જન શક્તિ $E$ એ $E = \sigma T^{4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$T \propto \frac{1}{\lambda_{m}}$ મૂકતા,આપણને $E \propto \left(\frac{1}{\lambda_{m}}\right)^{4} = \frac{1}{\lambda_{m}^{4}}$ મળે છે.
નોંધો કે ઉત્સર્જન શક્તિ $E$ એ કાળા પદાર્થના સપાટીના ક્ષેત્રફળ $A$ થી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,ઉત્સર્જન શક્તિનો ગુણોત્તર $Ex : Ey : Ez = \frac{1}{\lambda_{x}^{4}} : \frac{1}{\lambda_{y}^{4}} : \frac{1}{\lambda_{z}^{4}}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $Ex : Ey : Ez = \frac{1}{(200)^{4}} : \frac{1}{(300)^{4}} : \frac{1}{(400)^{4}}$.
કારણ કે $200 < 300 < 400$,તેથી $\frac{1}{200^{4}} > \frac{1}{300^{4}} > \frac{1}{400^{4}}$ થાય છે.
આમ,$Ex > Ey > Ez$.

(B) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ, $\lambda_{\max} T = \text{અચળ}$, તેથી $\lambda_{1} T_{1} = \lambda_{2} T_{2}$.
આપેલ છે કે $\lambda_{1} = \lambda$ અને $\lambda_{2} = \frac{2 \lambda}{3}$.
તેથી, $T_{2} = \frac{\lambda_{1} T_{1}}{\lambda_{2}} = \frac{\lambda T_{1}}{2 \lambda / 3} = \frac{3}{2} T_{1}$.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ, ઉત્સર્જન શક્તિ $E$ એ $T^{4}$ ના સમપ્રમાણમાં છે, એટલે કે $E = \sigma A T^{4}$.
તેથી, $\frac{E_{2}}{E_{1}} = \left( \frac{T_{2}}{T_{1}} \right)^{4}$.
$T_{2}$ ની કિંમત મૂકતા, આપણને મળે છે $\frac{E_{2}}{E} = \left( \frac{3/2 T_{1}}{T_{1}} \right)^{4} = \left( \frac{3}{2} \right)^{4} = \frac{81}{16}$.
આમ, $E_{2} = \frac{81 E}{16}$.

(C) ઠંડકને કારણે થતું ઉષ્મીય સંકોચન $\Delta L = L \alpha \Delta T$ છે。
આ સંકોચનને રોકવા માટે, દળ '$m$' દ્વારા લાગુ પડતું તણાવ બળ $F$ સમાન લંબાઈનો વધારો ઉત્પન્ન કરવું જોઈએ: $\Delta L = \frac{FL}{AY}$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $L \alpha \Delta T = \frac{FL}{AY}$.
આમ, જરૂરી બળ $F = AY \alpha \Delta T$ છે。
કારણ કે $F = Mg$, તેથી $Mg = AY \alpha \Delta T$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $M = \frac{AY \alpha \Delta T}{g}$.
$M = \frac{(3 \times 10^{-6} \,m^{2}) \times (10^{11} \,N/m^{2}) \times (10^{-5} /K) \times (100 - 0) \,K}{10 \,m/s^{2}}$.
$M = \frac{3 \times 10^{0} \times 100}{10} = \frac{300}{10} = 30 \,kg$.

(C) સળિયાનું ઉષ્મીય પ્રસરણ $\Delta L = L \alpha \Delta \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ પ્રસરણને અટકાવવા માટે,એક સંકોચન બળ $F$ એવી રીતે લગાડવું જોઈએ કે જેથી સંકોચન ઉષ્મીય પ્રસરણ જેટલું થાય.
યંગ મોડ્યુલસની વ્યાખ્યા મુજબ,$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L}$.
તેથી,પ્રતિબળ $\sigma = \frac{F}{A} = Y \frac{\Delta L}{L}$.
પ્રતિબળના સમીકરણમાં $\Delta L = L \alpha \Delta \theta$ મૂકતા:
$\sigma = Y \frac{L \alpha \Delta \theta}{L} = Y \alpha \Delta \theta$.

(C) સળિયાનું ઉષ્મીય પ્રસરણ $\Delta L = L \alpha T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ પ્રસરણને રોકવા માટે,આપણે એવું દબાણ બળ $F$ લગાડવું જોઈએ કે જેથી સંકોચન વિકૃતિ એ ઉષ્મીય વિકૃતિ જેટલી થાય.
ઉદ્ભવતું પ્રતિબળ $\sigma = Y \times \text{વિકૃતિ} = Y \times \frac{\Delta L}{L_{final}}$ છે.
ગરમ કર્યા પછી સળિયાની અંતિમ લંબાઈ $L_{final} = L(1 + \alpha T)$ છે.
આમ,બળ $F = \text{પ્રતિબળ} \times A = Y \times \frac{\Delta L}{L_{final}} \times A$.
કિંમતો મૂકતા,$F = Y \times \frac{L \alpha T}{L(1 + \alpha T)} \times A = \frac{YA \alpha T}{1 + \alpha T}$.

(B) તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = t$ ને કારણે તારમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મીય વિકૃતિ $\epsilon = \frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta T = \alpha t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
યંગ મોડ્યુલસની વ્યાખ્યા મુજબ,$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L}$.
વિકૃતિ માટેનું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $Y = \frac{F/A}{\alpha t}$ મળે છે.
તણાવ $F$ ને કર્તા બનાવતા,આપણને $F = YA \alpha t$ મળે છે.
આમ,જ્યારે તાપમાન $t^{\circ} C$ જેટલું ઘટે ત્યારે તણાવમાં થતો વધારો $YA \alpha t$ છે.

(C) આદર્શ વાયુ માટે,અચળ દબાણે આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q = n C_p \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T$ છે.
અચળ દબાણે થયેલું કાર્ય $\Delta W = P \Delta V = n R \Delta T$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\Delta W : \Delta U : \Delta Q = n R \Delta T : n C_v \Delta T : n C_p \Delta T = R : C_v : C_p$ થાય.
દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 5$ છે.
આમ,$C_v = \frac{f}{2} R = \frac{5}{2} R$.
મેયરના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,$C_p = C_v + R = \frac{5}{2} R + R = \frac{7}{2} R$.
આ કિંમતો ગુણોત્તરમાં મૂકતા: $R : \frac{5}{2} R : \frac{7}{2} R = 1 : \frac{5}{2} : \frac{7}{2}$.
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $2 : 5 : 7$ ગુણોત્તર મળે છે.

(B) અચળ દબાણની પ્રક્રિયા માટે,આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q = n C_p \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T$ છે.
થયેલું કાર્ય $\Delta W = P \Delta V = n R \Delta T$ છે.
આમ,ગુણોત્તર $\Delta Q : \Delta U : \Delta W = C_p : C_v : R$ થાય.
દ્રઢ દ્વિપરમાણ્વિક વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 5$ છે.
તેથી,$C_v = \frac{f}{2} R = \frac{5}{2} R$ અને $C_p = C_v + R = \frac{7}{2} R$ મળે.
આ કિંમતો મૂકતા,$\Delta Q : \Delta U : \Delta W = \frac{7}{2} R : \frac{5}{2} R : R$ મળે.
$\frac{2}{R}$ વડે ગુણતા,આપણને $7 : 5 : 2$ ગુણોત્તર મળે છે.

(D) આપેલ છે: $\gamma = \frac{5}{3}$.
પગલું $1$: કદ $V$ થી $2V$ સુધી સમતાપી વિસ્તરણ.
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,$P_1 V_1 = P_2 V_2$.
$P \times V = P_2 \times 2V$.
તેથી,$P_2 = \frac{P}{2}$.
પગલું $2$: કદ $2V$ થી $16V$ સુધી એડિબેટિક વિસ્તરણ.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,$P_2 V_2^{\gamma} = P_3 V_3^{\gamma}$.
$P_3 = P_2 \left( \frac{V_2}{V_3} \right)^{\gamma}$.
$P_3 = \frac{P}{2} \left( \frac{2V}{16V} \right)^{5/3} = \frac{P}{2} \left( \frac{1}{8} \right)^{5/3}$.
$P_3 = \frac{P}{2} \left( (2^{-3})^{5/3} \right) = \frac{P}{2} \times 2^{-5} = \frac{P}{2 \times 32} = \frac{P}{64}$.

(C) નિરુદ્ધોષ્મ પ્રક્રિયા માટે, દબાણ $P$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^{\gamma} = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = RT$ પરથી, આપણને $V = \frac{RT}{P}$ મળે છે.
નિરુદ્ધોષ્મ સમીકરણમાં $V$ ની કિંમત મૂકતા:
$P \left( \frac{RT}{P} \right)^{\gamma} = \text{અચળ}$
$P \cdot \frac{T^{\gamma}}{P^{\gamma}} = \text{અચળ}'$
$P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{અચળ}'$
$P^{1-\gamma} = \frac{\text{અચળ}'}{T^{\gamma}}$
$P = \text{અચળ}'' \cdot T^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}$
આને $P \propto T^{x}$ સાથે સરખાવતા, આપણને $x = \frac{\gamma}{\gamma-1}$ મળે છે.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે, એડિબેટિક ઘાતાંક $\gamma = 1.4$ (અથવા $\frac{7}{5}$) છે.
$\gamma$ ની કિંમત મૂકતા:
$x = \frac{1.4}{1.4 - 1} = \frac{1.4}{0.4} = 3.5$.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) ભૌતિક રાશિના પરિમાણો $[L^{a} M^{b} T^{c}]$ તરીકે આપેલ છે.
ચાલો આપેલા વિકલ્પોના પરિમાણો તપાસીએ:
$1$. વેગ: $[M^{0} L^{1} T^{-1}]$. અહીં,$a=1, b=0, c=-1$. વિકલ્પ $A$ ખોટો છે.
$2$. બળ: $[M^{1} L^{1} T^{-2}]$. અહીં,$a=1, b=1, c=-2$. વિકલ્પ $B$ ખોટો છે.
$3$. દબાણ: દબાણ એટલે $\text{બળ} / \text{ક્ષેત્રફળ} = [M^{1} L^{1} T^{-2}] / [L^{2}] = [M^{1} L^{-1} T^{-2}]$. અહીં,$a=-1, b=1, c=-2$. આ વિકલ્પ $C$ સાથે મેળ ખાય છે.
$4$. પ્રવેગ: $[M^{0} L^{1} T^{-2}]$. અહીં,$a=1, b=0, c=-2$. વિકલ્પ $D$ ખોટો છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ અચળાંકોના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$G = [M^{-1} L^{3} T^{-2}]$
$h = [M L^{2} T^{-1}]$
$c = [L T^{-1}]$
ધારો કે અભિવ્યક્તિ $T = G^{a} h^{b} c^{d}$ છે.
પરિમાણો મૂકતા:
$[T^{1}] = [M^{-1} L^{3} T^{-2}]^{a} [M L^{2} T^{-1}]^{b} [L T^{-1}]^{d}$
$[M^{0} L^{0} T^{1}] = [M^{-a+b} L^{3a+2b+d} T^{-2a-b-d}]$
બંને બાજુના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $-a + b = 0 \implies a = b$
$L$ માટે: $3a + 2b + d = 0 \implies 3a + 2a + d = 0 \implies d = -5a$
$T$ માટે: $-2a - b - d = 1 \implies -2a - a - (-5a) = 1 \implies 2a = 1 \implies a = 1/2$
આમ,$a = 1/2, b = 1/2, d = -5/2$.
તેથી સાચું સૂત્ર $\left[\frac{G h}{c^{5}}\right]^{\frac{1}{2}}$ છે.

(C) સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
સંબંધ $E = h \nu$ પરથી,જ્યાં $E$ એ ઉર્જા છે,$h$ એ પ્લાન્ક અચળાંક છે,અને $\nu$ એ આવૃત્તિ છે.
$h = \frac{E}{\nu}$.
ઉર્જા $E$ નું પરિમાણ $[ML^2 T^{-2}]$ છે.
આવૃત્તિ $\nu$ નું પરિમાણ $[T^{-1}]$ છે.
તેથી,$h$ નું પરિમાણ $= \frac{[ML^2 T^{-2}]}{[T^{-1}]} = [ML^2 T^{-1}]$.
હવે,બળ,સ્થાનાંતર અને સમયના ગુણાકારનું પરિમાણ તપાસીએ:
બળ $F$ નું પરિમાણ $= [MLT^{-2}]$.
સ્થાનાંતર $d$ નું પરિમાણ $= [L]$.
સમય $t$ નું પરિમાણ $= [T]$.
ગુણાકારનું પરિમાણ $= [MLT^{-2}] \times [L] \times [T] = [ML^2 T^{-1}]$.
આ પ્લાન્ક અચળાંકના પરિમાણ સાથે મેળ ખાય છે.

(A) આપેલ ભૌતિક રાશિઓના પારિમાણિક સૂત્રો નીચે મુજબ છે:
$[E] = [M L^{2} T^{-2}]$
$[M] = [M]$
$[L] = [M L^{2} T^{-1}]$
$[G] = [M^{-1} L^{3} T^{-2}]$
હવે,આ કિંમતોને $\left(\frac{E L^{2}}{G^{2} M^{5}}\right)$ પદમાં મૂકતા:
પરિમાણ $= \frac{[M L^{2} T^{-2}] \cdot [M L^{2} T^{-1}]^{2}}{[M^{-1} L^{3} T^{-2}]^{2} \cdot [M]^{5}}$
$= \frac{[M L^{2} T^{-2}] \cdot [M^{2} L^{4} T^{-2}]}{[M^{-2} L^{6} T^{-4}] \cdot [M^{5}]}$
$= \frac{[M^{3} L^{6} T^{-4}]}{[M^{3} L^{6} T^{-4}]}$
$= [M^{0} L^{0} T^{0}]$
આમ,આ રાશિ પરિમાણરહિત છે,જે ખૂણાના પરિમાણ દર્શાવે છે (ખૂણો એ પરિમાણરહિત ભૌતિક રાશિ છે).

(B) વક્રીભવનાંક $\mu$ એ પરિમાણરહિત ભૌતિક રાશિ છે,તેથી તેનું પરિમાણ $[M^0 L^0 T^0]$ છે.
પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,સમીકરણના દરેક પદના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
તેથી,$\frac{B}{\lambda^2}$ ના પરિમાણો $\mu$ ના પરિમાણો (જે પરિમાણરહિત છે) જેટલા હોવા જોઈએ.
$\left[ \frac{B}{\lambda^2} \right] = [M^0 L^0 T^0]$
$[B] = [\lambda^2] \times [M^0 L^0 T^0]$
અહીં $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે,તેથી તેનું પરિમાણ $[L]$ છે.
$[B] = [L^2]$
પરિમાણ $[L^2]$ એ ક્ષેત્રફળના પરિમાણ સાથે સુસંગત છે.

(A) $LR$ સર્કિટનો ટાઈમ કોન્સ્ટન્ટ $\tau = \frac{L}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઇન્ડક્ટન્સ $L$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{1} L^{2} T^{-2} A^{-2}]$ છે.
અવરોધ $R$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^{1} L^{2} T^{-3} A^{-2}]$ છે.
તેથી,$\frac{L}{R}$ ના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$\frac{[M^{1} L^{2} T^{-2} A^{-2}]}{[M^{1} L^{2} T^{-3} A^{-2}]} = M^{1-1} L^{2-2} T^{-2-(-3)} A^{-2-(-2)} = M^{0} L^{0} T^{1} A^{0}$.
આમ,$\left(\frac{L}{R}\right)$ ના પરિમાણો $[L^{0} M^{0} T^{1}]$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $F = P \cos(Ax) + Q \sin(Bt)$ માં,ત્રિકોણમિતીય વિધેયોના ખૂણા પરિમાણરહિત હોવા જોઈએ.
તેથી,$(Ax)$ ના પરિમાણ $[M^0 L^0 T^0]$ હોવા જોઈએ.
અહીં $[x] = [L]$ હોવાથી,$[A][L] = [M^0 L^0 T^0]$,જેનો અર્થ છે કે $[A] = [L^{-1}]$.
તે જ રીતે,$(Bt)$ ના પરિમાણ $[M^0 L^0 T^0]$ હોવા જોઈએ.
અહીં $[t] = [T]$ હોવાથી,$[B][T] = [M^0 L^0 T^0]$,જેનો અર્થ છે કે $[B] = [T^{-1}]$.
હવે,ગુણોત્તર $\left[\frac{B}{A}\right]$ ના પરિમાણની ગણતરી કરતા:
$\left[\frac{B}{A}\right] = \frac{[T^{-1}]}{[L^{-1}]} = [L T^{-1}]$.
પરિમાણ $[L T^{-1}]$ એ વેગ (velocity) ની ભૌતિક રાશિ દર્શાવે છે.

(D) ત્રિકોણમિતીય વિધેયનો આર્ગ્યુમેન્ટ પરિમાણરહિત હોવો જોઈએ.
આપેલ છે $F = A \sin(Ct) + B \cos(Dx)$.
$\sin(Ct)$ પદ માટે,આર્ગ્યુમેન્ટ $Ct$ પરિમાણરહિત હોવું જોઈએ.
$[Ct] = [M^0 L^0 T^0] \implies [C][T] = [T^0] \implies [C] = [T^{-1}]$.
$\cos(Dx)$ પદ માટે,આર્ગ્યુમેન્ટ $Dx$ પરિમાણરહિત હોવું જોઈએ.
$[Dx] = [M^0 L^0 T^0] \implies [D][L] = [L^0] \implies [D] = [L^{-1}]$.
હવે,$\frac{C}{D}$ ના પરિમાણો:
$\left[ \frac{C}{D} \right] = \frac{[T^{-1}]}{[L^{-1}]} = [L T^{-1}]$.
આ વેગના પરિમાણો છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) સ્ટેફનના અચળાંક $\sigma$ નું પરિમાણ સૂત્ર $P = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P$ પાવર છે,$A$ ક્ષેત્રફળ છે અને $T$ તાપમાન છે.
$[\sigma] = \frac{[P]}{[A][T]^4} = \frac{[ML^2 T^{-3}]}{[L^2][K^4]} = [MT^{-3} K^{-4}]$.
વિનના અચળાંક $b$ નું પરિમાણ $\lambda_{max} T = b$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ તરંગલંબાઇ છે અને $T$ તાપમાન છે.
$[b] = [L][K]$.
તેથી,$\sigma b$ ના પરિમાણો:
$[\sigma b] = [MT^{-3} K^{-4}] \times [LK] = [L^1 M^1 T^{-3} K^{-3}]$.

(A) આપેલ સમીકરણ $P = \frac{c - t^{2}}{DS}$ છે.
પરિમાણીય સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,$c$ ના પરિમાણો $t^{2}$ ના પરિમાણો જેટલા હોવા જોઈએ.
તેથી,$[c] = [t^{2}] = [T^{2}]$.
હવે,દબાણ $P$ નું પરિમાણ $[P] = [M L^{-1} T^{-2}]$ છે.
અહીં $S$ અંતર છે,તેથી $[S] = [L]$.
સમીકરણ $P = \frac{c}{DS} - \frac{t^{2}}{DS}$ માં કિંમતો મૂકતા,આપણે પદ $\frac{c}{DS}$ ને ધ્યાનમાં લઈએ:
$[P] = \frac{[c]}{[D][S]} \Rightarrow [M L^{-1} T^{-2}] = \frac{[T^{2}]}{[D][L]}$.
$[D]$ માટે ઉકેલતા:
$[D] = \frac{[T^{2}]}{[M L^{-1} T^{-2}][L]} = \frac{[T^{2}]}{[M T^{-2}]} = [M^{-1} T^{4}]$.
આપણે $\left(\frac{D}{c}\right)$ ના પરિમાણો શોધવાના છે:
$\left[\frac{D}{c}\right] = \frac{[M^{-1} T^{4}]}{[T^{2}]} = [M^{-1} T^{2}] = [L^{0} M^{-1} T^{2}]$.

(A) પરિમાણીય સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,માત્ર સમાન પરિમાણ ધરાવતી ભૌતિક રાશિઓનો જ સરવાળો કે બાદબાકી થઈ શકે છે.
સમીકરણ $A = B + \frac{C}{D+E}$ માં,$B$ નો સરવાળો $\frac{C}{D+E}$ પદ સાથે થાય છે,તેથી $A$ ના પરિમાણ $B$ ના પરિમાણ જેટલા જ હોવા જોઈએ.
આપેલ છે કે $[B] = [L^{1} M^{0} T^{-1}]$,તેથી $[A] = [L^{1} M^{0} T^{-1}]$.
વળી,છેદ $(D+E)$ માં,$D$ અને $E$ ના પરિમાણ સમાન હોવા જોઈએ,તેથી $[D] = [E]$.
આખા પદ $\frac{C}{D+E}$ નું પરિમાણ $B$ ના પરિમાણ જેટલું હોવું જોઈએ.
$[B] = \frac{[C]}{[D+E]} \implies [D+E] = \frac{[C]}{[B]}$.
આપેલ પરિમાણો મૂકતા: $[D+E] = \frac{[L^{1} M^{0} T^{0}]}{[L^{1} M^{0} T^{-1}]} = [T^{1}]$.
તેથી $[D] = [T^{1}]$ અને $[E] = [T^{1}]$ મળે છે.

(C) નાના ખૂણા '$A$' ધરાવતા પાતળા પ્રિઝમ માટે,આપાતકોણ '$i$',વક્રીભવનકોણ '$r_1$' અને નિર્ગમનકોણ '$r_2$' વચ્ચેનો સંબંધ $A = r_1 + r_2$ છે.
કિરણ સામેની સપાટી પરથી લંબરૂપે બહાર નીકળતું હોવાથી,નિર્ગમનકોણ $0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $r_2 = 0$.
તેથી,$A = r_1 + 0$,એટલે કે $r_1 = A$.
સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\mu = \frac{\sin i}{\sin r_1}$. નાના ખૂણાઓ માટે,$\sin i \approx i$ અને $\sin r_1 \approx r_1$.
આમ,$\mu = \frac{i}{r_1}$.
$r_1 = A$ મૂકતા,આપણને $\mu = \frac{i}{A}$ મળે છે,જેનું સાદુરૂપ આપતા $i = \mu A$ મળે છે.

(D) સમબાજુ પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમનો ખૂણો $A = 60^{\circ}$ છે.
આપેલ છે કે આપાતકોણ $i$ એ નિર્ગમનકોણ $e$ જેટલો છે,અને $i = e = \frac{3}{4}A$.
$A$ ની કિંમત મૂકતા:
$i = e = \frac{3}{4} \times 60^{\circ} = 45^{\circ}$.
વિચલનકોણ $\delta$ માટેનું સૂત્ર $\delta = i + e - A$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\delta = 45^{\circ} + 45^{\circ} - 60^{\circ}$.
$\delta = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$.
તેથી,વિચલનકોણ $30^{\circ}$ છે.

(A) નાના ખૂણા '$A$' ધરાવતા પ્રિઝમ માટે,વિચલન કોણ '$\delta$' નું સૂત્ર $\delta = (\mu - 1)A$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રિઝમ માટેનો સંબંધ: $i + e = A + \delta$ છે.
અહીં આપેલ છે કે કિરણ બીજી સપાટી પરથી લંબરૂપે બહાર નીકળે છે,તેથી નિર્ગમન કોણ '$e$' નું મૂલ્ય $0$ થશે.
સંબંધમાં $e = 0$ અને $\delta = (\mu - 1)A$ મૂકતા:
$i + 0 = A + (\mu - 1)A$
$i = A + \mu A - A$
$i = \mu A$.
તેથી,આપાતકોણ $\mu A$ છે.

(D) પ્રકાશ પોતાનો માર્ગ પાછો ખેંચે તે માટે,તેણે ચાંદીવાળી સપાટી પર લંબરૂપે આપાત થવું જોઈએ.
કારણ કે બીજી સપાટી પર ચાંદીનો ઢોળ ચડાવેલ છે,તેથી બીજી સપાટી પર વક્રીભવન કોણ $r_2 = 0^{\circ}$ હોવો જોઈએ.
પ્રિઝમના સૂત્ર $A = r_1 + r_2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $A = 30^{\circ}$ એ પ્રિઝમ કોણ છે અને $r_2 = 0^{\circ}$ છે,તેથી $r_1 = 30^{\circ}$ મળે.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: $n = \frac{\sin i}{\sin r_1}$.
અહીં $n = \sqrt{2}$ અને $r_1 = 30^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $\sqrt{2} = \frac{\sin i}{\sin 30^{\circ}}$.
$\sin i = \sqrt{2} \times \sin 30^{\circ} = \sqrt{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$i = \sin^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$.

(A) પાતળા પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમનો ખૂણો '$A$' અને વક્રીભવનકોણ '$r_1$' તથા '$r_2$' વચ્ચેનો સંબંધ $A = r_1 + r_2$ છે.
કિરણ બીજી સપાટીમાંથી લંબરૂપે બહાર નીકળતું હોવાથી,નિર્ગમન કોણ '$e = 0$' થાય,જેનો અર્થ છે કે બીજો વક્રીભવનકોણ '$r_2 = 0$' છે.
તેથી,$A = r_1$.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલના નિયમ મુજબ,$n = \frac{\sin i}{\sin r_1}$.
પાતળા પ્રિઝમ માટે,ખૂણા '$i$' અને '$r_1$' ખૂબ નાના હોવાથી,આપણે $\sin i \approx i$ અને $\sin r_1 \approx r_1$ લઈ શકીએ.
આમ,$n = \frac{i}{r_1}$.
$r_1 = A$ મૂકતા,આપણને $n = \frac{i}{A}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $i = An$.

(A) જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ '$v$' બદલાતી નથી કારણ કે તે માત્ર પ્રકાશના સ્ત્રોત પર આધાર રાખે છે.
માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = \frac{c}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં '$c$' એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે અને '$n$' એ વક્રીભવનાંક છે.
માધ્યમમાં તરંગલંબાઈ $\lambda' = \frac{v}{f} = \frac{c/n}{f} = \frac{\lambda}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ વક્રીભવનાંક $n = \frac{3}{2}$ માટે,નવી તરંગલંબાઈ $\lambda' = \frac{\lambda}{3/2} = \left(\frac{2}{3}\right) \lambda$ થાય છે.
તેથી,આવૃત્તિ '$v$' રહે છે અને તરંગલંબાઈ $\left(\frac{2}{3}\right) \lambda$ થાય છે.

(C) જ્યારે પ્રકાશ શૂન્યાવકાશમાંથી કાચમાં પ્રવેશે છે,ત્યારે પ્રકાશની તરંગલંબાઈ ઘટે છે.
આનું કારણ એ છે કે કાચમાં પ્રકાશની ઝડપ શૂન્યાવકાશ કરતા ઓછી હોય છે.
માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu$ એ $\mu = \frac{c}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે અને $v$ એ માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
કાચનો વક્રીભવનાંક શૂન્યાવકાશ કરતા વધારે હોવાથી,પ્રકાશની ઝડપ $v$ ઘટે છે.
સંબંધ $v = f \lambda$ મુજબ,જ્યાં $f$ એ આવૃત્તિ છે (જે અચળ રહે છે) અને $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે,ઝડપ $v$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,જેમ પ્રકાશની ઝડપ ઘટે છે,તેમ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ પણ ઘટે છે.

(C) ધારો કે $n_{aw}$ એ હવાની સાપેક્ષે પાણીનો વક્રીભવનાંક છે,$n_{gw}$ એ પાણીની સાપેક્ષે કાચનો વક્રીભવનાંક છે,અને $n_{ag}$ એ કાચની સાપેક્ષે હવાનો વક્રીભવનાંક છે. આપેલ છે: $x = n_{aw}$,$y = n_{gw}$,અને $z = n_{ag}$.
ઉલટાવી શકાય તેવા સિદ્ધાંત અને સાપેક્ષ વક્રીભવનાંકની વ્યાખ્યા મુજબ,આપણી પાસે છે:
$x = \frac{n_w}{n_a}$
$y = \frac{n_g}{n_w}$
$z = \frac{n_a}{n_g}$
આ ત્રણેય પદોનો ગુણાકાર કરતા:
$x \cdot y \cdot z = \left(\frac{n_w}{n_a}\right) \cdot \left(\frac{n_g}{n_w}\right) \cdot \left(\frac{n_a}{n_g}\right) = 1$
તેથી,$xyz = 1$.

(A) માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $(c)$ અને તે માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $(v)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આમ,બે માધ્યમો માટે આપણી પાસે છે:
$\mu_{1} = \frac{c}{v_{1}}$ અને $\mu_{2} = \frac{c}{v_{2}}$
આ સમીકરણો પરથી,આપણે લખી શકીએ:
$c = \mu_{1} v_{1}$ અને $c = \mu_{2} v_{2}$
કારણ કે બંને અભિવ્યક્તિઓ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $(c)$ જેટલી છે,તેથી:
$\mu_{1} v_{1} = \mu_{2} v_{2}$

(B) જ્યારે કોઈ પદાર્થને માધ્યમમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તેની સીમાઓ પર પ્રકાશના પરાવર્તન અને વક્રીભવનને કારણે તે દ્રશ્યમાન થાય છે.
જો પદાર્થનો વક્રીભવનાંક તેની આસપાસના પ્રવાહીના વક્રીભવનાંક $(\mu_{object} = \mu_{fluid} = \mu)$ જેટલો જ હોય,તો પ્રકાશ જ્યારે પ્રવાહીમાંથી પદાર્થમાં પ્રવેશે ત્યારે તેની ઝડપ કે દિશામાં કોઈ ફેરફાર થશે નહીં.
પરિણામે,પદાર્થ અને પ્રવાહી વચ્ચેની સપાટી પર કોઈ વક્રીભવન કે પરાવર્તન થતું નથી.
આથી,પ્રકાશના કિરણો પદાર્થમાંથી એવી રીતે પસાર થાય છે જાણે તે ત્યાં હોય જ નહીં,જેના કારણે પદાર્થ પ્રવાહીની બહારના અવલોકનકાર માટે અદ્રશ્ય બની જાય છે.

(C) માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $(c)$ અને માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $(v)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $\mu = \frac{c}{v}$.
જ્યારે પ્રકાશ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં જાય ત્યારે તેની આવૃત્તિ $(f)$ અચળ રહે છે,તેથી આપણે ઝડપને $c = f \lambda_0$ અને $v = f \lambda$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ,જ્યાં $\lambda_0$ એ શૂન્યાવકાશમાં તરંગલંબાઈ છે અને $\lambda$ એ માધ્યમમાં તરંગલંબાઈ છે.
આ કિંમતોને વક્રીભવનાંકના સૂત્રમાં મૂકતા: $\mu = \frac{f \lambda_0}{f \lambda} = \frac{\lambda_0}{\lambda}$.
અહીં $\lambda_0$ (શૂન્યાવકાશમાં તરંગલંબાઈ) અચળ હોવાથી,$\mu \propto \frac{1}{\lambda}$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) સ્નેલના નિયમ મુજબ,$\mu_1 \sin i = \mu_2 \sin r$.
અહીં,$\mu_1 = \sqrt{2}$ (કાચનો વક્રીભવનાંક),$i = 45^{\circ}$ (આપાતકોણ),અને $\mu_2 = 1$ (હવાનો વક્રીભવનાંક).
કિંમતો મૂકતા: $\sqrt{2} \sin 45^{\circ} = 1 \cdot \sin r$.
કારણ કે $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી આપણને મળે: $\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \sin r$.
$1 = \sin r$.
કારણ કે $\sin 90^{\circ} = 1$,તેથી વક્રીભવનકોણ $r = 90^{\circ}$ થશે.

(D) જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ સમાંતર માધ્યમોની શ્રેણીમાંથી પસાર થઈને અંતે મૂળ માધ્યમમાં બહાર આવે છે,ત્યારે સાપેક્ષ વક્રીભવનાંકનો ગુણાકાર $1$ થાય છે.
આપેલ ક્રમ (હવા $\rightarrow$ પાણી $\rightarrow$ કાચ $\rightarrow$ હવા) માટે,પ્રતિવર્તીતાના સિદ્ધાંત અને સમાંતર સ્લેબના ગુણધર્મ મુજબ:
$_{a}n_{w} \times _{w}n_{g} \times _{g}n_{a} = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $_{g}n_{a} = \frac{1}{_{a}n_{g}}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$_{a}n_{w} \times _{w}n_{g} \times \frac{1}{_{a}n_{g}} = 1$.
$_{w}n_{g}$ માટે પદ ગોઠવતા:
$_{w}n_{g} = \frac{_{a}n_{g}}{_{a}n_{w}}$.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો સંબંધ છે.

(C) બહિર્ગોળ લેન્સ અનંત અંતરેથી આવતા પ્રકાશના સમાંતર કિરણપુંજને તેના મુખ્ય કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત કરે છે,જે લેન્સથી $f_{2}$ અંતરે આવેલું છે.
પ્રકાશના કિરણો અંતર્ગોળ અરીસા પરથી પરાવર્તન પામ્યા બાદ પોતાનો માર્ગ પુનઃપ્રાપ્ત કરે તે માટે,કિરણો અરીસા પર લંબરૂપે આપાત થવા જોઈએ.
આ ત્યારે જ શક્ય છે જો કિરણો અંતર્ગોળ અરીસાના વક્રતા કેન્દ્ર તરફ જતા હોય.
અંતર્ગોળ અરીસાનું વક્રતા કેન્દ્ર તેના ધ્રુવથી $2f_{1}$ અંતરે આવેલું હોય છે.
તેથી,લેન્સ અને અરીસા વચ્ચેનું અંતર '$d$' એ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ અને અરીસાની વક્રતા ત્રિજ્યાનો સરવાળો હોવો જોઈએ.
આમ,$d = f_{2} + 2f_{1}$.

(A) બ્રુસ્ટરના નિયમ મુજબ,માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $n = \tan(i_B)$ છે,જ્યાં $i_B$ એ બ્રુસ્ટરનો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે $i_B = 54.74^{\circ}$,તેથી $n = \tan(54.74^{\circ}) = \sqrt{2}$.
સ્નેલના નિયમ મુજબ,$n = \frac{\sin i}{\sin r}$,જ્યાં $i$ એ આપાતકોણ છે અને $r$ એ વક્રીભવનકોણ છે.
આપેલ છે કે $i = 45^{\circ}$ અને $n = \sqrt{2}$,આ કિંમતો મૂકતા:
$\sqrt{2} = \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin r}$
$\sqrt{2} = \frac{1/\sqrt{2}}{\sin r}$
$\sin r = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2} = 0.5$
તેથી,વક્રીભવનકોણ $r = \sin^{-1}(0.5)$ થાય.

(B) પ્રથમ માધ્યમની સાપેક્ષે બીજા માધ્યમનો વક્રીભવનાંક એ પ્રથમ માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ અને બીજા માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
ગાણિતિક રીતે,તે આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે: $n_{21} = \frac{\mu_{2}}{\mu_{1}} = \frac{C_{1}}{C_{2}} = \frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}}$.
જોકે,પ્રશ્નમાં પ્રથમ માધ્યમની સાપેક્ષે બીજા માધ્યમનો વક્રીભવનાંક પૂછવામાં આવ્યો છે,જે વક્રીભવનાંકના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે,એટલે કે $\frac{\mu_{2}}{\mu_{1}}$.

(A) માધ્યમમાં પ્રકાશનો વેગ $v = \frac{C}{\mu_{w}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $C$ એ હવામાં પ્રકાશની ઝડપ છે અને $\mu_{w}$ એ પાણીનો વક્રીભવનાંક છે.
$h$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $(t)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $t = \frac{\text{અંતર}}{\text{વેગ}}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $t = \frac{h}{v}$.
કારણ કે $v = \frac{C}{\mu_{w}}$,આપણે આને સમયના સમીકરણમાં મૂકીએ છીએ:
$t = \frac{h}{(C / \mu_{w})} = \frac{h \mu_{w}}{C}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) તારની લંબાઈ $L$ છે. જ્યારે તેને $n$ આંટાવાળી વર્તુળાકાર કોઈલમાં વાળવામાં આવે છે,ત્યારે એક આંટાનો પરિઘ $2\pi r = L/n$ થાય,જ્યાં $r$ એ કોઈલની ત્રિજ્યા છે.
તેથી,ત્રિજ્યા $r = \frac{L}{2\pi n}$ મળે.
એક આંટાનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \left(\frac{L}{2\pi n}\right)^2 = \frac{\pi L^2}{4\pi^2 n^2} = \frac{L^2}{4\pi n^2}$ થાય.
$n$ આંટાવાળી કોઈલની કુલ ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = nIA = nI \left(\frac{L^2}{4\pi n^2}\right) = \frac{IL^2}{4\pi n}$ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં કોઈલ પર લાગતું મહત્તમ ટોર્ક $\tau_{max} = MB$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$M$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\tau_{max} = \left(\frac{IL^2}{4\pi n}\right)B = \frac{BIL^2}{4\pi n}$ મળે છે.

(B) અનબાયસ્ડ $p-n$ જંકશનમાં,$n$-વિસ્તારમાંથી $p$-વિસ્તારમાં ઇલેક્ટ્રોનનું અને $p$-વિસ્તારમાંથી $n$-વિસ્તારમાં હોલ્સનું પ્રસરણ જંકશનની નજીક થાય છે.
જ્યારે આ વિદ્યુતભાર વાહકો જંકશન ઓળંગે છે,ત્યારે તેઓ પુનઃસંયોજન પામે છે અને એકબીજાને તટસ્થ કરે છે.
પરિણામે,જંકશનની નજીકનો વિસ્તાર મોબાઈલ વિદ્યુતભાર વાહકો (મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન અને હોલ્સ) થી ખાલી થઈ જાય છે.
આ વિસ્તારને ડેપ્લેશન લેયર અથવા ડેપ્લેશન રિજન કહેવામાં આવે છે.
તેથી,આ લેયરમાં મોબાઈલ વિદ્યુતભાર વાહકો,એટલે કે ઇલેક્ટ્રોન અને હોલ્સનો અભાવ હોય છે.

(D) આપેલ સર્કિટમાં,બે ડાયોડ $D_{1}$ અને $D_{2}$ ને $DC$ વોલ્ટેજ સ્ત્રોત સાથે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવ્યા છે.
સર્કિટમાં પ્રવાહ વહેવા માટે,બંને ડાયોડ ફોરવર્ડ-બાયસ્ડ હોવા જોઈએ.
જો કે,ડાયોડની ગોઠવણી જોતા,$D_{1}$ ફોરવર્ડ-બાયસ્ડ છે જ્યારે $D_{2}$ રિવર્સ-બાયસ્ડ છે.
શ્રેણી સર્કિટમાં,પ્રવાહ $I$ તમામ ઘટકોમાંથી સમાન હોય છે.
કારણ કે $D_{2}$ રિવર્સ-બાયસ્ડ છે,તે ખૂબ જ ઊંચો અવરોધ આપે છે,જે અસરકારક રીતે ખુલ્લી સ્વીચ તરીકે કાર્ય કરે છે.
પરિણામે,બેટરીનો સંપૂર્ણ પોટેન્શિયલ તફાવત રિવર્સ-બાયસ્ડ ડાયોડ $D_{2}$ પર જોવા મળે છે,જ્યારે ફોરવર્ડ-બાયસ્ડ ડાયોડ $D_{1}$ પરનો પોટેન્શિયલ તફાવત નહિવત (સિલિકોન માટે આશરે $0.7 \ V$) હોય છે.
જો $D_{1}$ અને $D_{2}$ પરના પોટેન્શિયલ તફાવત સમાન હોવાનું કહેવામાં આવે,તો તેનો અર્થ એ છે કે સર્કિટની ગોઠવણી અથવા સમાન લાક્ષણિકતાઓની ધારણાનું પુનઃમૂલ્યાંકન કરવું આવશ્યક છે,અથવા ડાયોડ ચોક્કસ બ્રેકડાઉન વિસ્તારમાં કાર્ય કરી રહ્યા છે. પ્રમાણભૂત અર્થઘટન મુજબ,રિવર્સ-બાયસ્ડ ડાયોડ પરનો પોટેન્શિયલ તફાવત ફોરવર્ડ-બાયસ્ડ ડાયોડ કરતા ઘણો વધારે હોય છે.

(D) $PN$ જંકશન ડાયોડમાં,જો એનોડ (p-સાઇડ) પરનું પોટેન્શિયલ કેથોડ (n-સાઇડ) પરના પોટેન્શિયલ કરતા વધારે હોય તો ડાયોડ ફોરવર્ડ બાયસ્ડ હોય છે. જો એનોડ પરનું પોટેન્શિયલ કેથોડ કરતા ઓછું હોય તો તે રિવર્સ બાયસ્ડ હોય છે.
આકૃતિ $(A)$ માં,એનોડ $-4 \ V$ પર છે અને કેથોડ $-3 \ V$ પર છે. કારણ કે $-4 \ V < -3 \ V$,એનોડ કેથોડ કરતા ઓછા પોટેન્શિયલ પર છે,તેથી આકૃતિ $(A)$ રિવર્સ બાયસ્ડ છે.
આકૃતિ $(B)$ માં,પ્રમાણભૂત ગોઠવણી ધારીએ તો જ્યાં એનોડ $-2 \ V$ પર છે અને કેથોડ $-4 \ V$ પર છે,એનોડ કેથોડ કરતા ઉચ્ચ પોટેન્શિયલ પર છે,તેથી આકૃતિ $(B)$ ફોરવર્ડ બાયસ્ડ છે.
તેથી,આકૃતિ $(A)$ રિવર્સ બાયસ્ડ છે અને આકૃતિ $(B)$ ફોરવર્ડ બાયસ્ડ છે.

(B) આપેલ સર્કિટમાં,ડાયોડનો $p$-છેડો $+2 V$ સાથે અને $n$-છેડો $400 \Omega$ ના અવરોધ દ્વારા $-2 V$ સાથે જોડાયેલ છે.
કારણ કે $p$-છેડાનું સ્થિતિમાન $n$-છેડાના સ્થિતિમાન કરતા વધારે છે,તેથી ડાયોડ ફોરવર્ડ બાયસમાં છે.
આદર્શ ડાયોડ માટે,ફોરવર્ડ અવરોધ $0 \Omega$ હોય છે.
તેથી,સર્કિટમાં કુલ અવરોધ $R = 400 \Omega$ છે.
સર્કિટમાં સ્થિતિમાનનો તફાવત $V = 2 V - (-2 V) = 4 V$ છે.
ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પ્રવાહ $I = V / R$ દ્વારા મળે છે.
$I = 4 V / 400 \Omega = 1 / 100 A = 0.01 A$.
મિલીએમ્પિયરમાં રૂપાંતર કરતા,$I = 0.01 \times 1000 mA = 10 mA$.

(D) $(i)$ જ્યારે $p-n$ જંકશન ફોરવર્ડ બાયસ્ડ હોય છે,ત્યારે બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર ડેપ્લેશન વિસ્તારના આંતરિક વિદ્યુતક્ષેત્રનો વિરોધ કરે છે. આ પોટેન્શિયલ બેરિયરને ઘટાડે છે અને પરિણામે ડેપ્લેશન લેયરની પહોળાઈ ઘટે છે.
$(ii)$ જ્યારે $p-n$ જંકશન રિવર્સ બાયસ્ડ હોય છે,ત્યારે બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર ડેપ્લેશન વિસ્તારના આંતરિક વિદ્યુતક્ષેત્રને મદદ કરે છે. આ પોટેન્શિયલ બેરિયરને વધારે છે અને પરિણામે ડેપ્લેશન લેયરની પહોળાઈ વધે છે.

(D) જ્યારે $p-n$ જંકશન ડાયોડ રિવર્સ બાયસમાં હોય છે,ત્યારે બેટરીનો ધન છેડો $n$-વિસ્તાર સાથે અને ઋણ છેડો $p$-વિસ્તાર સાથે જોડાય છે.
આ ગોઠવણી મેજોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સને જંકશનથી દૂર ખેંચે છે.
પરિણામે,ડેપ્લેશન લેયરની પહોળાઈ વધે છે.
આથી,પોટેન્શિયલ બેરિયર પણ વધે છે,જે પ્રવાહના વહનને અવરોધે છે,જેના કારણે વિદ્યુત વહન નહિવત થઈ જાય છે.

(C) ચોથા ચરણમાં કાર્યરત ઉપકરણની $I-V$ લાક્ષણિકતાઓ (જ્યાં વોલ્ટેજ ધન અને પ્રવાહ ઋણ હોય છે,અથવા તેનાથી ઉલટું) એવા ઉપકરણને દર્શાવે છે જે પાવર વાપરવાને બદલે ઉત્પન્ન કરે છે.
ફોટોસેલમાં,$I-V$ લાક્ષણિકતાઓ સામાન્ય રીતે ચોથા ચરણમાં દર્શાવવામાં આવે છે કારણ કે જ્યારે તેના પર પ્રકાશ પડે છે ત્યારે તે વિદ્યુત ઉર્જાના સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) જ્યારે $p-n$ જંકશન ડાયોડમાં રિવર્સ બાયસ લાગુ કરવામાં આવે છે,ત્યારે બેટરીનો ધન છેડો $n$-વિસ્તાર સાથે અને ઋણ છેડો $p$-વિસ્તાર સાથે જોડાય છે.
આના કારણે મેજોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સ ($n$-વિસ્તારમાં ઇલેક્ટ્રોન અને $p$-વિસ્તારમાં હોલ્સ) જંકશનથી દૂર જાય છે.
પરિણામે,ડેપ્લેશન લેયરની પહોળાઈ વધે છે અને બેરિયર પોટેન્શિયલ વધે છે.
ડેપ્લેશન લેયરની વધેલી પહોળાઈને કારણે,મેજોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સનો પ્રવાહ અટકી જાય છે,જેનો અર્થ છે કે ડાયોડ વિદ્યુત પ્રવાહને વધુ અવરોધ આપે છે.

(A) વાહકોમાં,વેલેન્સ બેન્ડ અને કન્ડક્શન બેન્ડ એકબીજા પર ઓવરલેપ થાય છે. આ ઓવરલેપને કારણે ઇલેક્ટ્રોન ઓછા તાપમાને પણ વેલેન્સ બેન્ડમાંથી કન્ડક્શન બેન્ડમાં મુક્તપણે ગતિ કરી શકે છે,તેથી જ વાહકોની વિદ્યુત વાહકતા ખૂબ વધારે હોય છે.

(A) અવાહકોમાં,વેલેન્સ બેન્ડ ઇલેક્ટ્રોનથી સંપૂર્ણ ભરેલો હોય છે અને કન્ડક્શન બેન્ડ સંપૂર્ણપણે ખાલી હોય છે. વેલેન્સ બેન્ડ અને કન્ડક્શન બેન્ડ વચ્ચેનો એનર્જી ગેપ (ફોર્બિડન એનર્જી ગેપ) ખૂબ મોટો હોય છે (સામાન્ય રીતે $> 3 \ eV$). તેથી,ઓરડાના તાપમાને પણ ઇલેક્ટ્રોન વેલેન્સ બેન્ડમાંથી કન્ડક્શન બેન્ડમાં કૂદી શકતા નથી,જે તેમને વીજળીના નબળા વાહક બનાવે છે. આમ,બેન્ડ ગેપ ખૂબ વધારે હોય છે અને કન્ડક્શન બેન્ડ ખાલી હોય છે.

(C) ઓસિલેટર સર્કિટમાં સ્થાયી દોલનો માટે,બાર્કહાઉસેન ક્રાઇટેરિયન (Barkhausen criterion) સંતોષાવું આવશ્યક છે.
આ સિદ્ધાંત મુજબ ફીડબેક સિસ્ટમનો લૂપ ગેઇન એકમ (unity) હોવો જોઈએ,જે $|A\beta| = 1$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
અહીં,$A$ એ એમ્પ્લીફાયરનો ઓપન-લૂપ ગેઇન છે અને $\beta$ એ ફીડબેક ફેક્ટર છે.
તેથી,સ્થાયી દોલનો માટેની શરત $A\beta = 1$ છે.

(D) કોમન-એમિટર ટ્રાન્ઝિસ્ટર એમ્પ્લીફાયર ગોઠવણીમાં,કરંટ ગેઈન (જેને $\beta$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે) એ કલેક્ટર-એમિટર વોલ્ટેજ $(V_{CE})$ ને અચળ રાખીને કલેક્ટર પ્રવાહમાં થતા ફેરફાર $(\Delta I_{C})$ અને બેઝ પ્રવાહમાં થતા ફેરફાર $(\Delta I_{B})$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$\beta = \frac{\Delta I_{C}}{\Delta I_{B}}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) આપેલ છે: $\beta = 20$, $I_{E} = 7 \,mA$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોમન એમિટર મોડમાં કરંટ ગેઈન $\beta = \frac{I_{C}}{I_{B}}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
વળી, એમિટર કરંટ, કલેક્ટર કરંટ અને બેઝ કરંટ વચ્ચેનો સંબંધ $I_{E} = I_{C} + I_{B}$ છે, જેનો અર્થ છે કે $I_{B} = I_{E} - I_{C}$.
ગેઈન સૂત્રમાં $I_{B}$ ની કિંમત મૂકતા: $\beta = \frac{I_{C}}{I_{E} - I_{C}}$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $20 = \frac{I_{C}}{7 - I_{C}}$.
$20(7 - I_{C}) = I_{C}$.
$140 - 20I_{C} = I_{C}$.
$140 = 21I_{C}$.
$I_{C} = \frac{140}{21} = \frac{20}{3} \,mA$.

(B) આપેલ છે: ઇનપુટ અવરોધ $R_{i} = 1000 \Omega$,ઇનપુટ સિગ્નલ વોલ્ટેજ $v_{i} = 5 mV = 5 \times 10^{-3} V$,અને કરંટ ગેઇન $\beta = 60$.
સૌ પ્રથમ,ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરીને ઇનપુટ પ્રવાહ $I_{b}$ શોધો: $I_{b} = \frac{v_{i}}{R_{i}} = \frac{5 \times 10^{-3} V}{1000 \Omega} = 5 \times 10^{-6} A$.
કોમન એમિટર એમ્પ્લીફાયરમાં આઉટપુટ પ્રવાહ એ કલેક્ટર પ્રવાહ $I_{c}$ છે.
સંબંધ $I_{c} = \beta \times I_{b}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે: $I_{c} = 60 \times 5 \times 10^{-6} A = 300 \times 10^{-6} A$.
તેથી,આઉટપુટ પ્રવાહનું પીક મૂલ્ય $3 \times 10^{-4} A$ છે.

(B) ફીડબેક સાથેના એમ્પ્લીફાયરનો વોલ્ટેજ ગેઇન $A_f = \frac{A}{1 - A\beta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ ઓપન-લૂપ વોલ્ટેજ ગેઇન છે અને $\beta$ એ ફીડબેક ફેક્ટર છે.
ઓસિલેટર સતત દોલનો ઉત્પન્ન કરી શકે તે માટે,બારકહૌસેન (Barkhausen) શરત સંતોષાવી જોઈએ.
બારકહૌસેન શરત મુજબ લૂપ ગેઇન એકમ (unity) હોવો જોઈએ,જે $A\beta = 1$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(C) આપેલ છે: $\alpha = 0.8$ અને $\Delta I_B = 6 \text{ mA}$.
સૌ પ્રથમ, આપણે કોમન-એમિટર કોન્ફિગ્યુરેશન માટે કરંટ ગેઇન $\beta$ ની ગણતરી $\beta = \frac{\alpha}{1 - \alpha}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને કરીશું.
$\alpha$ ની કિંમત મૂકતા: $\beta = \frac{0.8}{1 - 0.8} = \frac{0.8}{0.2} = 4$.
કલેક્ટર કરંટમાં થતો ફેરફાર $\Delta I_C$ અને બેઝ કરંટમાં થતો ફેરફાર $\Delta I_B$ વચ્ચેનો સંબંધ $\Delta I_C = \beta \times \Delta I_B$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta I_C = 4 \times 6 \text{ mA} = 24 \text{ mA}$.
તેથી, કલેક્ટર કરંટમાં થતો ફેરફાર $24 \text{ mA}$ છે.

(D) ટ્રાન્ઝિસ્ટરમાં,એમિટર પ્રવાહ એ બેઝ પ્રવાહ અને કલેક્ટર પ્રવાહનો સરવાળો છે: $I_{e} = I_{b} + I_{c}$.
જેમ કે $I_{b}$ અને $I_{c}$ બંને ધન પ્રવાહો છે,તેથી $I_{c} < I_{e}$ અને $I_{b} < I_{e}$ થાય છે.
કોમન એમિટર કન્ફિગ્યુરેશનમાં કરંટ ગેઈન $\beta = \frac{I_{c}}{I_{b}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
ટ્રાન્ઝિસ્ટર માટે,$I_{c}$ સામાન્ય રીતે $I_{b}$ કરતા ઘણો મોટો હોય છે (કારણ કે બેઝ વિસ્તાર ખૂબ જ પાતળો અને ઓછો ડોપ્ડ હોય છે),જે $\beta > 1$ બનાવે છે.
તેથી,$I_{c} > I_{b}$ એ મૂળભૂત કારણ છે કે શા માટે કરંટ ગેઈન $\beta$ એ $1$ કરતા વધારે છે.

(D) આપેલ છે: કલેક્ટર પ્રવાહ $(i_c)$ અને એમિટર પ્રવાહ $(i_e)$ નો ગુણોત્તર $\alpha = \frac{i_c}{i_e} = 0.98$ છે.
કલેક્ટર પ્રવાહ $i_c = 3 \text{ mA}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે એમિટર પ્રવાહ એ કલેક્ટર પ્રવાહ અને બેઝ પ્રવાહનો સરવાળો છે: $i_e = i_c + i_b$.
આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા: $\frac{i_c}{i_c + i_b} = 0.98$.
સમીકરણને ગોઠવતા: $\frac{i_c + i_b}{i_c} = \frac{1}{0.98} = \frac{100}{98}$.
$1 + \frac{i_b}{i_c} = \frac{100}{98} \implies \frac{i_b}{i_c} = \frac{100}{98} - 1 = \frac{2}{98} = \frac{1}{49}$.
તેથી,$i_b = \frac{i_c}{49} = \frac{3 \text{ mA}}{49} = \frac{3000 \mu\text{A}}{49} \approx 61.22 \mu\text{A}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,બેઝ પ્રવાહ આશરે $60 \mu\text{A}$ થશે.

(D) આપેલ સર્કિટમાં બે $NOT$ ગેટ ($G_1$ અને $G_2$) અને એક $NOR$ ગેટ $(G_3)$ છે.
$1$. ઇનપુટ $A$ એ $NOT$ ગેટ $G_1$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $C$ પરનું આઉટપુટ $C = \overline{A}$ મળે છે.
$2$. ઇનપુટ $B$ એ $NOT$ ગેટ $G_2$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $D$ પરનું આઉટપુટ $D = \overline{B}$ મળે છે.
$3$. આ આઉટપુટ $C$ અને $D$ ને $NOR$ ગેટ $G_3$ માં ઇનપુટ તરીકે આપવામાં આવે છે. $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y$ એ તેના ઇનપુટ્સના $OR$ ના પૂરક (complement) જેટલું હોય છે.
$4$. તેથી,$Y = \overline{C + D}$.
$5$. $C$ અને $D$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $Y = \overline{\overline{A} + \overline{B}}$ મળે છે.
$6$. ડી મોર્ગનના પ્રમેય મુજબ,$\overline{\overline{A} + \overline{B}} = \overline{\overline{A}} \cdot \overline{\overline{B}} = A \cdot B$.
$7$. બુલિયન સમીકરણ $Y = A \cdot B$ એ $AND$ ગેટ દર્શાવે છે.
આમ,પરિણામી ગેટ એ $AND$ ગેટ છે જેનું સમીકરણ $A \cdot B$ છે.

(A) જે લોજિક ગેટ માટે આઉટપુટ ત્યારે જ હાઈ $(1)$ મળે છે જ્યારે બધા જ ઈનપુટ હાઈ $(1)$ હોય,તેને $AND$ ગેટ કહેવામાં આવે છે.
$A$ અને $B$ ઈનપુટ ધરાવતા $AND$ ગેટ માટે,આઉટપુટ $Y$ એ $Y = A \cdot B$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
જો $A = 1$ અને $B = 1$ હોય,તો $Y = 1 \cdot 1 = 1$ મળે છે.
ઈનપુટના અન્ય કોઈપણ સંયોજન માટે,આઉટપુટ લો $(0)$ મળે છે.

(C) જ્યારે શુદ્ધ અર્ધવાહકમાં ($Si$ અથવા $Ge$ જેવા) પેન્ટાવેલેન્ટ અશુદ્ધિ (ડોનર અશુદ્ધિ) ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક ડોનર પરમાણુ કન્ડક્શન બેન્ડમાં એક વધારાનો ઇલેક્ટ્રોન આપે છે.
મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યામાં નોંધપાત્ર વધારો થતો હોવાથી,અર્ધવાહક $n$-ટાઈપ સેમિકન્ડક્ટર બને છે.
$n$-ટાઈપ સેમિકન્ડક્ટરમાં,ઇલેક્ટ્રોન મેજોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સ હોય છે અને હોલ્સ માઇનોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સ હોય છે.

(A) અર્ધવાહકની વાહકતા $\sigma = n_{e} e \mu_{e} + n_{h} e \mu_{h}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$n_{e}$ અને $n_{h}$ એ એકમ કદ દીઠ ઇલેક્ટ્રોન અને હોલની સંખ્યા છે,અને $\mu_{e}$ અને $\mu_{h}$ એ અનુક્રમે ઇલેક્ટ્રોન અને હોલની મોબિલિટી છે.
જ્યારે અર્ધવાહકમાં અશુદ્ધિના પરમાણુઓ ઉમેરવામાં આવે છે (જેને ડોપિંગ કહેવાય છે),ત્યારે વિદ્યુતભાર વાહકોની સાંદ્રતા ($n_{e}$ અથવા $n_{h}$) નોંધપાત્ર રીતે વધે છે.
વાહકતા $\sigma$ એ વાહકની સાંદ્રતાના સીધા પ્રમાણમાં હોવાથી,વાહકતા વધે છે.
અવરોધકતા $\rho$ એ વાહકતાનો વ્યસ્ત હોવાથી $(\rho = 1/\sigma)$,વાહકતામાં વધારો થવાથી અવરોધકતામાં ઘટાડો થાય છે.

(C)
પરમ શૂન્ય તાપમાને $(T = 0 \ K)$,સિલિકોન જેવા શુદ્ધ અર્ધવાહકમાં વેલેન્સ બેન્ડમાંથી કન્ડક્શન બેન્ડમાં ઇલેક્ટ્રોનને ઉત્તેજિત કરવા માટે કોઈ ઉષ્મીય ઉર્જા ઉપલબ્ધ હોતી નથી.
પરિણામે,વેલેન્સ બેન્ડ સંપૂર્ણપણે ભરાયેલું હોય છે અને કન્ડક્શન બેન્ડ સંપૂર્ણપણે ખાલી હોય છે.
મુક્ત વિદ્યુતભાર વાહકોની ગેરહાજરીને કારણે,પદાર્થ વિદ્યુતનું વહન કરી શકતું નથી.
તેથી,પરમ શૂન્ય તાપમાને શુદ્ધ સિલિકોન અવાહક તરીકે વર્તે છે.

(B) ઇન્ટ્રિન્સિક (શુદ્ધ) સેમિકન્ડક્ટરમાં,વિદ્યુતભાર વાહકો માત્ર વેલેન્સ બેન્ડમાંથી કન્ડક્શન બેન્ડમાં ઇલેક્ટ્રોનના થર્મલ ઉત્તેજનને કારણે ઉત્પન્ન થાય છે.
જ્યારે એક ઇલેક્ટ્રોન કન્ડક્શન બેન્ડમાં ઉત્તેજિત થાય છે,ત્યારે તે વેલેન્સ બેન્ડમાં એક ખાલી જગ્યા છોડી જાય છે,જેને હોલ કહેવામાં આવે છે.
દરેક ઇલેક્ટ્રોન-હોલ જોડી એકસાથે ઉત્પન્ન થતી હોવાથી,કન્ડક્શન બેન્ડમાં ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $(n_{e})$ એ વેલેન્સ બેન્ડમાં હોલની સંખ્યા $(n_{h})$ જેટલી જ હોવી જોઈએ.
તેથી,સાચો સંબંધ $n_{e} = n_{h}$ છે.

(D) ફોટોડાયોડ એ $p-n$ જંકશન ડાયોડનો એક વિશિષ્ટ પ્રકાર છે જે રિવર્સ બાયસ સ્થિતિમાં કાર્ય કરવા માટે બનાવવામાં આવે છે. તે પ્રકાશ પ્રત્યે સંવેદનશીલ હોય છે. ફોટોડાયોડની સંજ્ઞામાં સામાન્ય $p-n$ જંકશન ડાયોડની સંજ્ઞાની સાથે બે તીર ડાયોડ તરફ નિર્દેશ કરતા હોય છે,જે દર્શાવે છે કે તેના પર પ્રકાશ આપાત થાય છે. આપેલી આકૃતિ ઝેનર ડાયોડની સંજ્ઞા દર્શાવે છે (જેમાં કેથોડ પર '$Z$' આકારના છેડા હોય છે),તેથી તે ફોટોડાયોડ નથી. જોકે,પ્રમાણિત પાઠ્યપુસ્તકો મુજબ,ફોટોડાયોડને આવતા પ્રકાશના કિરણો દ્વારા ઓળખવામાં આવે છે.

(D) ફોટોડાયોડ એ $p-n$ જંકશન ડાયોડનો એક વિશિષ્ટ પ્રકાર છે,જે પારદર્શક વિન્ડો સાથે બનાવવામાં આવે છે જેથી પ્રકાશ ડાયોડ પર પડી શકે.
તે રિવર્સ બાયસ સ્થિતિમાં કાર્યરત હોય છે.
જ્યારે સેમિકન્ડક્ટરના એનર્જી ગેપ $E_g$ કરતા વધારે ઉર્જા $h
u$ વાળો પ્રકાશ ડાયોડ પર આપાત થાય છે,ત્યારે ઇલેક્ટ્રોન-હોલ જોડીઓ ઉત્પન્ન થાય છે.
જંકશન પરના વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે,આ ચાર્જ કેરિયર્સ પુનઃસંયોજિત થાય તે પહેલાં અલગ થઈ જાય છે,જેના પરિણામે બાહ્ય સર્કિટમાં પ્રવાહ વહે છે.
આ ફોટો-કરંટનું મૂલ્ય આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા પર આધાર રાખે છે.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે તે હંમેશા રિવર્સ બાયસમાં કાર્યરત હોય છે.

(C) લાઈટ એમિટિંગ ડાયોડ $(LED)$ એ હેવીલી ડોપ્ડ $p-n$ જંકશન ડાયોડ છે.
જ્યારે ડાયોડને ફોરવર્ડ બાયસ આપવામાં આવે છે,ત્યારે $n$-વિસ્તારમાંથી ઇલેક્ટ્રોન અને $p$-વિસ્તારમાંથી હોલ્સ જંકશન વિસ્તારમાં દાખલ થાય છે.
જંકશન વિસ્તારમાં,આ વિદ્યુતભારોનું પુનઃસંયોજન (recombination) થાય છે.
પુનઃસંયોજનની પ્રક્રિયા દરમિયાન,મુક્ત થતી ઉર્જા ફોટોનના સ્વરૂપમાં હોય છે.
જો સેમિકન્ડક્ટર મટીરીયલ યોગ્ય બેન્ડ ગેપ ધરાવતું હોય,તો ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા દ્રશ્ય પ્રકાશના વર્ણપટને અનુરૂપ હોય છે.
તેથી,પ્રકાશનું ઉત્સર્જન હોલ્સ અને ઇલેક્ટ્રોનના પુનઃસંયોજનને કારણે થાય છે.

(C) ચુંબકીય તીવ્રતા $(H)$ ને એકમ લંબાઈ દીઠ ચુંબકીય બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ચુંબકીય તીવ્રતાનું સૂત્ર $H = \frac{nI}{L}$ છે,જ્યાં $n$ એ આંટાની સંખ્યા છે,$I$ એ વિદ્યુતપ્રવાહ છે અને $L$ એ લંબાઈ છે.
આંટાની સંખ્યા $(n)$ એ પરિમાણરહિત રાશિ હોવાથી,$H$ ના પરિમાણો $\frac{I}{L}$ ના પરિમાણો દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિદ્યુતપ્રવાહ $(I)$ નું પરિમાણ $[I^1]$ છે અને લંબાઈ $(L)$ નું પરિમાણ $[L^1]$ છે.
તેથી,ચુંબકીય તીવ્રતાના પરિમાણો $[L^{-1} M^0 T^0 I^1]$ થાય છે.

(C) ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M$ ને $\tau = M \times B$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $\tau$ ટોર્ક છે અને $B$ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
આના પરથી,$M = \tau / B$.
ટોર્ક $\tau$ નો એકમ $N m$ (ન્યૂટન-મીટર) છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નો એકમ $T$ (ટેસ્લા) છે.
તેથી,$M$ નો એકમ $N m / T$ છે.
કારણ કે $1 \ T = 1 \ Wb / m^2$,આપણે લખી શકીએ કે $M = (N m) / (Wb / m^2) = N m^3 / Wb$.
વળી,$M = I A$,જ્યાં $I$ પ્રવાહ $(A)$ છે અને $A$ ક્ષેત્રફળ $(m^2)$ છે,તેથી એકમ $A m^2$ થાય છે.
કારણ કે $1 \ J = 1 \ N m$,એકમ $N m / T$ એ $J / T$ ને સમાન છે.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$J-T$ (વિકલ્પ $C$) પરિમાણની દ્રષ્ટિએ ખોટો છે કારણ કે તે ઉર્જા અને ચુંબકીય ક્ષેત્રનો ગુણાકાર દર્શાવે છે,ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ નહીં.

(B) એક-સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં મધ્યસ્થ અધિક્તમની કોણીય પહોળાઈનું સૂત્ર $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે અને $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે કોણીય પહોળાઈ $\theta$ એ સ્લિટની પહોળાઈ $a$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $\theta \propto \frac{1}{a}$.
તેથી,જેમ સ્લિટની પહોળાઈ $a$ વધે છે,તેમ મધ્યસ્થ અધિક્તમની કોણીય પહોળાઈ ઘટે છે.

(B) એક સ્લિટ વડે થતા વિવર્તનના પ્રયોગમાં મધ્યસ્થ અધિક્તમની કોણીય પહોળાઈનું સૂત્ર $\theta = \frac{2 \lambda}{a}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ વપરાયેલ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે અને $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે કોણીય પહોળાઈ તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને સ્લિટની પહોળાઈ $a$ પર આધાર રાખે છે.
તે સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેના અંતર $D$ પર આધાર રાખતી નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) બાયપ્રિઝમ પ્રયોગમાં (અથવા યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં) ફ્રિન્જની પહોળાઈ $(z)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$z = \frac{\lambda D}{d}$
જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે,$D$ એ સ્લિટ અને આઈપીસ (પડદા) વચ્ચેનું અંતર છે,અને $d$ એ બે સુસંબદ્ધ ઉદગમો વચ્ચેનું અંતર છે.
આપેલ છે કે તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને સુસંબદ્ધ ઉદગમો વચ્ચેનું અંતર $d$ અચળ રાખવામાં આવે છે,તેથી આપણે લખી શકીએ:
$z \propto D$
આનો અર્થ એ છે કે ગુણોત્તર $\frac{z}{D}$ અચળ છે.
તેથી,$\frac{z_{1}}{D_{1}} = \frac{z_{2}}{D_{2}} = \frac{z_{3}}{D_{3}} = \frac{z_{4}}{D_{4}}$.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.