MHT CET 2020 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) વાયુના અણુઓના રૂટ મીન સ્ક્વેર $(RMS)$ વેગનું સૂત્ર $C = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $C \propto \sqrt{\frac{T}{M}}$.
ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $C = 200 \,m/s$ છે, જ્યાં તાપમાન $T$ અને અણુભાર $M$ છે.
નવી શરતો મુજબ: $T' = \frac{T}{2}$ અને $M' = 2M$.
નવો $RMS$ વેગ $C'$ ગુણોત્તર દ્વારા મેળવી શકાય છે:
$\frac{C'}{C} = \sqrt{\frac{T'}{T} \times \frac{M}{M'}} = \sqrt{\frac{T/2}{T} \times \frac{M}{2M}} = \sqrt{\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
તેથી, $C' = \frac{C}{2} = \frac{200}{2} = 100 \,m/s$.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 4 \text{ kg}$, સ્થિત ઘર્ષણાંક $\mu_s = 0.5$, ગતિક ઘર્ષણાંક $\mu_k = 0.4$, લગાડેલ બળ $F = 4 \text{ N}$, અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \text{ m/s}^2$.
સૌ પ્રથમ, મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ (સીમાંત ઘર્ષણ) $f_{s, \text{max}} = \mu_s N$ શોધો, જ્યાં $N = mg = 4 \times 10 = 40 \text{ N}$.
$f_{s, \text{max}} = 0.5 \times 40 = 20 \text{ N}$.
અહીં લગાડેલ બળ $F = 4 \text{ N}$ એ સીમાંત ઘર્ષણ $f_{s, \text{max}} = 20 \text{ N}$ કરતા ઓછું હોવાથી, બ્લોક સ્થિર રહેશે.
સ્થિત ઘર્ષણના નિયમ મુજબ, જો લગાડેલ બળ સીમાંત ઘર્ષણ કરતા ઓછું હોય, તો સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_s$ એ લગાડેલ બળ $F$ જેટલું જ હોય છે.
તેથી, $f_s = F = 4 \text{ N}$.

(A) સપાટી બ્લોક પર બે બળો લગાડે છે: લંબબળ $(N)$ જે શિરોલંબ ઉપરની તરફ લાગે છે અને ગતિક ઘર્ષણ બળ $(f_{k})$ જે ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં સમક્ષિતિજ લાગે છે.
$1$. લંબબળ $N = mg$ છે.
$2$. ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_{k} = \mu_{k} N = \mu_{k} mg$ છે.
$3$. સપાટી દ્વારા લાગતું પરિણામી બળ $(F_{net})$ એ લંબબળ અને ઘર્ષણ બળનો સદિશ સરવાળો છે:
$F_{net} = \sqrt{N^{2} + f_{k}^{2}}$
$F_{net} = \sqrt{(mg)^{2} + (\mu_{k} mg)^{2}}$
$F_{net} = \sqrt{(mg)^{2} (1 + \mu_{k}^{2})}$
$F_{net} = mg \sqrt{1 + \mu_{k}^{2}}$
$F_{net} = mg(1 + \mu_{k}^{2})^{1/2}$
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(C) બ્લોકનું પ્રારંભિક વેગમાન $P = Mu$ છે,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે. તેથી,$u = \frac{P}{M}$.
સપાટી ખરબચડી હોવાથી,બ્લોક પર ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu Mg$ લાગે છે.
મંદન (deceleration) $a = \frac{f}{M} = \frac{\mu Mg}{M} = \mu g$ મળે છે.
ગતિના સમીકરણ $v^{2} = u^{2} - 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v = 0$ (જ્યારે બ્લોક અટકે ત્યારે અંતિમ વેગ):
$0 = u^{2} - 2as$
$2as = u^{2}$
$s = \frac{u^{2}}{2a}$
$u = \frac{P}{M}$ અને $a = \mu g$ ની કિંમતો મૂકતા:
$s = \frac{(\frac{P}{M})^{2}}{2 \mu g} = \frac{P^{2}}{M^{2} \cdot 2 \mu g} = \frac{P^{2}}{2 \mu M^{2} g}$.

(D) નળાકાર દિવાલની અંદર સમક્ષિતિજ વર્તુળમાં ગતિ કરતા મોટરસાયકલ સવાર પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. નીચેની તરફ લાગતું વજનબળ $(mg)$.
$2$. કેન્દ્ર તરફ સમક્ષિતિજ દિશામાં લાગતું લંબબળ $(N)$,જે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $N = \frac{mv^2}{r}$.
$3$. ઉપરની તરફ લાગતું ઘર્ષણબળ $(f)$,જે વજનબળને સંતુલિત કરીને લપસતા અટકાવે છે: $f = mg$.
મોટરસાયકલ સવાર લપસે નહીં તે માટે,ઘર્ષણબળ એ સીમાંત ઘર્ષણબળ કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ: $f \le \mu N$.
કિંમતો મૂકતા: $mg \le \mu \left(\frac{mv^2}{r}\right)$.
$g \le \frac{\mu v^2}{r}$.
$v^2 \ge \frac{rg}{\mu}$.
તેથી,લઘુત્તમ ઝડપ $v_{min} = \sqrt{\frac{rg}{\mu}}$ છે.

(C) બાળક સ્થિર સ્થિતિમાંથી અચળ સ્પર્શક પ્રવેગ $a$ સાથે દોડવાનું શરૂ કરે છે. $t$ સમય પછી,સ્પર્શક વેગ $v = at$ થાય છે.
ત્રિજ્યાવર્તી (કેન્દ્રગામી) પ્રવેગ $a_r = \frac{v^2}{r} = \frac{(at)^2}{r} = \frac{a^2 t^2}{r}$ છે.
બાળક દ્વારા અનુભવાતો કુલ પ્રવેગ $a_{net}$ એ સ્પર્શક અને ત્રિજ્યાવર્તી પ્રવેગનો સદિશ સરવાળો છે: $a_{net} = \sqrt{a_t^2 + a_r^2} = \sqrt{a^2 + \left(\frac{a^2 t^2}{r}\right)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^4 t^4}{r^2}}$.
જ્યારે જરૂરી ઘર્ષણ બળ સીમાંત ઘર્ષણ બળ જેટલું થાય ત્યારે લપસવાનું શરૂ થાય છે,એટલે કે $F_{net} = m a_{net} = \mu m g$.
આમ,$\mu g = \sqrt{a^2 + \frac{a^4 t^4}{r^2}} = \sqrt{\frac{a^2 r^2 + a^4 t^4}{r^2}} = \frac{1}{r} \sqrt{a^2 r^2 + a^4 t^4}$.
તેથી,$\mu = \frac{[a^4 t^4 + a^2 r^2]^{1/2}}{r g}$.

(C) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 4 \,m/s$, અંતિમ વેગ $v = 0 \,m/s$, ગતિક ઘર્ષણાંક $\mu = 0.2$, અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \,m/s^2$.
પદાર્થ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu mg$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, પ્રતિપ્રવેગ $a = -f/m = -\mu g$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $a = -(0.2) \times 10 = -2 \,m/s^2$.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0^2 = (4)^2 + 2(-2)s$
$0 = 16 - 4s$
$4s = 16$
$s = 4 \,m$.
આમ, પદાર્થ સ્થિર થાય તે પહેલાં તેણે કાપેલું અંતર $4 \,m$ છે.

(C) ગેસ દ્વારા ફટાકડા પર લાગતું બળ એ ગેસના વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર જેટલું હોય છે.
આપેલ છે:
ગેસનો દળનો દર,$\frac{dm}{dt} = 25 \text{ g/s} = 25 \times 10^{-3} \text{ kg/s}$.
ગેસનો વેગ,$v = 400 \text{ m/s}$.
બળ $F$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$F = v \times \frac{dm}{dt}$
$F = 400 \text{ m/s} \times 25 \times 10^{-3} \text{ kg/s}$
$F = 400 \times 0.025 \text{ N}$
$F = 10 \text{ N}$.

(D) આપેલ છે કે પદાર્થ શરૂઆતમાં સ્થિર છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રવેગ $a = \frac{F}{m}$.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$t$ સમયે વેગ $v = u + at = 0 + \left(\frac{F}{m}\right)t = \frac{Ft}{m}$.
ગતિઊર્જા $K$ નું સૂત્ર $K = \frac{1}{2}mv^{2}$ છે.
$v$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $K = \frac{1}{2}m\left(\frac{Ft}{m}\right)^{2}$.
$K = \frac{1}{2}m \frac{F^{2}t^{2}}{m^{2}} = \frac{F^{2}t^{2}}{2m}$.

(B) શિરોલંબ વર્તુળાકાર ગતિમાં,કોઈપણ બિંદુએ દોરીમાં તણાવ $T$ એ $T = \frac{mv^2}{r} + mg cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ નીચેની શિરોલંબ રેખા સાથેનો ખૂણો છે.
સૌથી નીચેના બિંદુએ,$\theta = 0^{\circ}$ હોવાથી,$\cos 0^{\circ} = 1$ થાય. તેથી તણાવ $T_{low} = \frac{mv^2}{r} + mg$ મળે છે.
સૌથી ઉપરના બિંદુએ,$\theta = 180^{\circ}$ હોવાથી,$\cos 180^{\circ} = -1$ થાય. તેથી તણાવ $T_{high} = \frac{mv^2}{r} - mg$ મળે છે.
તણાવ સૌથી નીચેના બિંદુએ મહત્તમ હોવાથી,તાર તૂટવાની શક્યતા આ સ્થિતિમાં સૌથી વધુ હોય છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) સમક્ષિતિજ વર્તુળાકાર ગતિમાં,દોરીમાં રહેલું તણાવ $T$ એ દડાની વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$m$ દળનો દડો $r$ ત્રિજ્યાના સમક્ષિતિજ વર્તુળમાં $\omega$ કોણીય વેગ સાથે ગતિ કરે છે,ત્યારે કેન્દ્રગામી બળ $F_c = m r \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,દોરીની લંબાઈ $\ell$ એ વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા તરીકે કાર્ય કરે છે $(r = \ell)$.
તેથી,તણાવ $T$ એ કેન્દ્રગામી બળ જેટલું છે:
$T = m \ell \omega^2$
$\omega$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\omega^2 = \frac{T}{m \ell}$
$\omega = \sqrt{\frac{T}{m \ell}}$

(A) બેન્ક કરેલા ટ્રેક માટે,બેન્કિંગનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટ્રેકની ભૂમિતિ પરથી,$\sin \theta = \frac{h}{\ell}$ થાય છે.
બેન્કિંગનો ખૂણો $\theta$ નાનો હોવાથી,આપણે $\tan \theta \approx \sin \theta$ લઈ શકીએ છીએ.
તેથી,$\frac{v^2}{rg} = \frac{h}{\ell}$.
$v$ માટે ઉકેલતા,આપણને $v^2 = rg \left(\frac{h}{\ell}\right)$ મળે છે.
આમ,સુરક્ષિત ઝડપની મર્યાદા $v = \sqrt{rg \left(\frac{h}{\ell}\right)}$ છે.

(C) સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_t = \alpha r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રિજ્યાવર્તી (કેન્દ્રગામી) પ્રવેગ $a_r = \frac{V^2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્પર્શકીય પ્રવેગ અને ત્રિજ્યાવર્તી પ્રવેગનો ગુણોત્તર $\frac{a_t}{a_r} = \frac{\alpha r}{V^2 / r}$ છે.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{a_t}{a_r} = \frac{\alpha r^2}{V^2}$ મળે છે.

(C) ધારો કે સ્પ્રિંગનો બળ અચળાંક $k$ છે. જ્યારે $m$ દળને લટકાવવામાં આવે છે,ત્યારે સ્પ્રિંગમાં થતો વધારો $x_0 = L - \ell$ છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં,સ્પ્રિંગ બળ વજનને સંતુલિત કરે છે: $k(L - \ell) = mg$,જેનો અર્થ છે કે $k/m = g / (L - \ell)$.
સ્પ્રિંગ-દળ તંત્ર માટે ગતિનું સમીકરણ $\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0$ છે,જ્યાં $\omega^2 = k/m$.
આ સમીકરણની આપેલા સમીકરણ $\frac{d^2x}{dt^2} + P^2 x = 0$ સાથે સરખામણી કરતા,આપણને $P^2 = \omega^2 = k/m$ મળે છે.
$k/m$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $P^2 = \frac{g}{L - \ell}$ મળે છે.
તેથી,$P = \sqrt{\frac{g}{L - \ell}}$.

(B) ધારો કે સદિશો $\overrightarrow{P}$ અને $\overrightarrow{Q}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
સદિશ સરવાળાના નિયમ મુજબ,પરિણામી સદિશ $R_{1}$ નું મૂલ્ય નીચે મુજબ છે:
$R_{1}^{2} = P^{2} + Q^{2} + 2PQ \cos \theta$ --- $(1)$
જ્યારે $\overrightarrow{Q}$ ની દિશા ઉલટાવવામાં આવે,ત્યારે નવો સદિશ $-\overrightarrow{Q}$ બને છે. $\overrightarrow{P}$ અને $-\overrightarrow{Q}$ વચ્ચેનો ખૂણો $(\pi - \theta)$ થાય છે.
નવા પરિણામી સદિશ $R_{2}$ નું મૂલ્ય નીચે મુજબ છે:
$R_{2}^{2} = P^{2} + Q^{2} + 2PQ \cos(\pi - \theta)$
કારણ કે $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$,તેથી:
$R_{2}^{2} = P^{2} + Q^{2} - 2PQ \cos \theta$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$R_{1}^{2} + R_{2}^{2} = (P^{2} + Q^{2} + 2PQ \cos \theta) + (P^{2} + Q^{2} - 2PQ \cos \theta)$
$R_{1}^{2} + R_{2}^{2} = 2(P^{2} + Q^{2})$

(C) આપેલ છે કે ત્રણેય સદિશોના મૂલ્યો સમાન છે,$A = B = C$.
પ્રથમ કિસ્સામાં,$\vec{A}$ અને $\vec{C}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha$ આપેલ છે. પ્રથમ કિસ્સા માટે કોઈ ચોક્કસ શરત ન હોવાથી,આપણે ધારીએ છીએ કે સદિશો એવી રીતે ગોઠવાયેલા છે કે જે સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે.
બીજા કિસ્સામાં,$\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} = 0$. આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે સદિશોને એકબીજાની પાછળ ગોઠવવામાં આવે ત્યારે તેઓ બંધ સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે.
સમબાજુ ત્રિકોણના આંતરિક ખૂણા $60^{\circ}$ હોય છે.
જો કે,બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{C}$ વચ્ચેનો ખૂણો તેમની પૂંછડીઓ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
જો $\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} = 0$ હોય,તો $\vec{A} + \vec{C} = -\vec{B}$.
બંને બાજુ વર્ગ લેતા: $|\vec{A} + \vec{C}|^2 = |-\vec{B}|^2$.
$A^2 + C^2 + 2AC \cos(\beta) = B^2$.
$A = B = C$ હોવાથી,$A^2 + A^2 + 2A^2 \cos(\beta) = A^2$.
$2A^2 + 2A^2 \cos(\beta) = A^2$.
$2A^2 \cos(\beta) = -A^2$.
$\cos(\beta) = -1/2$.
તેથી,$\beta = 120^{\circ}$.
પ્રારંભિક સ્થિતિ $\alpha$ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો દર્શાવે છે,જે સામાન્ય રીતે $60^{\circ}$ લેવામાં આવે છે.
આમ,$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{60^{\circ}}{120^{\circ}} = \frac{1}{2}$.

(D) આપેલ સદિશો $\vec{A}=3 \hat{\imath}-2 \hat{\jmath}+\hat{k}$,$\vec{B}=\hat{\imath}-3 \hat{\jmath}+5 \hat{k}$,અને $\vec{C}=2 \hat{\imath}+\hat{\jmath}-4 \hat{k}$ છે.
પ્રથમ,સદિશ સરવાળાનો સંબંધ ચકાસો:
$\vec{B}+\vec{C} = (\hat{\imath}-3 \hat{\jmath}+5 \hat{k}) + (2 \hat{\imath}+\hat{\jmath}-4 \hat{k}) = 3 \hat{\imath}-2 \hat{\jmath}+\hat{k} = \vec{A}$.
આમ,$\vec{A}=\vec{B}+\vec{C}$ સંતોષાય છે.
હવે,માનના વર્ગોની ગણતરી કરો:
$A^2 = |\vec{A}|^2 = 3^2 + (-2)^2 + 1^2 = 9 + 4 + 1 = 14$.
$B^2 = |\vec{B}|^2 = 1^2 + (-3)^2 + 5^2 = 1 + 9 + 25 = 35$.
$C^2 = |\vec{C}|^2 = 2^2 + 1^2 + (-4)^2 = 4 + 1 + 16 = 21$.
કિંમતો જોતા,$B^2 = 35$ અને $A^2 + C^2 = 14 + 21 = 35$.
તેથી,$B^2 = A^2 + C^2$ સંતોષાય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $\vec{A}=\vec{B}+\vec{C}$ અને $B^2=A^2+C^2$ છે.

(A) ધારો કે સદિશોના માન $A$ અને $B$ છે. આપેલ છે કે $A + B = 8$,તેથી $B = 8 - A$.
ધારો કે પરિણામી સદિશ $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ છે,જેનું માન $R = 4$ છે.
પરિણામી સદિશ $\vec{R}$ એ $\vec{A}$ ને લંબ હોવાથી,$\vec{A}$ અને $\vec{R}$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.
સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,$B^2 = A^2 + R^2$ સંબંધ મળે છે.
$B = 8 - A$ અને $R = 4$ મુકતા:
$(8 - A)^2 = A^2 + 4^2$
$64 - 16A + A^2 = A^2 + 16$
$64 - 16 = 16A$
$48 = 16A$
$A = 3$.
તેથી $B = 8 - 3 = 5$.
આમ,સદિશોના માન $3$ અને $5$ છે.

(B) સમાન મૂલ્ય $A$ ધરાવતા બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ હોય,તો તેમના પરિણામી સદિશ $R$ નું મૂલ્ય શોધવાનું સૂત્ર: $R = \sqrt{A^2 + A^2 + 2A^2 \cos \theta}$ છે.
અહીં $R = \frac{2A}{3}$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{2A}{3} = \sqrt{2A^2 + 2A^2 \cos \theta}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{4A^2}{9} = 2A^2(1 + \cos \theta)$.
બંને બાજુ $2A^2$ વડે ભાગતા:
$\frac{2}{9} = 1 + \cos \theta$.
$\cos \theta$ માટે ઉકેલતા:
$\cos \theta = \frac{2}{9} - 1 = \frac{2-9}{9} = -\frac{7}{9}$.
તેથી,ખૂણો $\theta = \cos^{-1}\left(-\frac{7}{9}\right)$ મળે છે.

(B) ધારો કે આપેલા સદિશો $\vec{B} = (\hat{\imath}-2 \hat{\jmath}+2 \hat{k})$ અને $\vec{C} = (-2 \hat{\imath}+\hat{\jmath}-\hat{k})$ છે.
આ સદિશોનો સરવાળો $\vec{B} + \vec{C} = (1-2)\hat{\imath} + (-2+1)\hat{\jmath} + (2-1)\hat{k} = -\hat{\imath} - \hat{\jmath} + \hat{k}$ થાય છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$\vec{A} + (\vec{B} + \vec{C}) = \hat{\jmath}$ ($y$-અક્ષની દિશામાં એકમ સદિશ).
સરવાળાની કિંમત મૂકતા: $\vec{A} + (-\hat{\imath} - \hat{\jmath} + \hat{k}) = \hat{\jmath}$.
$\vec{A}$ માટે ઉકેલતા: $\vec{A} = \hat{\jmath} - (-\hat{\imath} - \hat{\jmath} + \hat{k}) = \hat{\jmath} + \hat{\imath} + \hat{\jmath} - \hat{k} = \hat{\imath} + 2\hat{\jmath} - \hat{k}$.
$\vec{A}$ નું મૂલ્ય $|\vec{A}| = \sqrt{(1)^2 + (2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$ છે.

(A) ધારો કે બે બળો $\vec{F_1}$ અને $\vec{F_2}$ છે,જ્યાં $|\vec{F_1}| = |\vec{F_2}| = R$ છે. પરિણામી બળનું મૂલ્ય $|\vec{R_{res}}| = \sqrt{R^2 + R^2 + 2R^2 \cos \theta}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $|\vec{R_{res}}| = \frac{R}{2}$,તેથી બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\left(\frac{R}{2}\right)^2 = R^2 + R^2 + 2R^2 \cos \theta$.
$\frac{R^2}{4} = 2R^2 + 2R^2 \cos \theta$.
$R^2$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{4} = 2 + 2 \cos \theta$.
$\frac{1}{4} - 2 = 2 \cos \theta$.
$-\frac{7}{4} = 2 \cos \theta$.
$\cos \theta = -\frac{7}{8}$.
તેથી,$\theta = \cos ^{-1}\left(-\frac{7}{8}\right)$.

(D) આપેલ છે કે $\hat{a}_{1}$ અને $\hat{a}_{2}$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|\hat{a}_{1}| = 1$ અને $|\hat{a}_{2}| = 1$.
આપેલ છે કે $|\hat{a}_{1}-\hat{a}_{2}| = \sqrt{3}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $|\hat{a}_{1}-\hat{a}_{2}|^2 = 3$ મળે છે.
$(\hat{a}_{1}-\hat{a}_{2}) \cdot (\hat{a}_{1}-\hat{a}_{2}) = 3 \implies |\hat{a}_{1}|^2 + |\hat{a}_{2}|^2 - 2(\hat{a}_{1} \cdot \hat{a}_{2}) = 3$.
$1 + 1 - 2(\hat{a}_{1} \cdot \hat{a}_{2}) = 3 \implies 2 - 2(\hat{a}_{1} \cdot \hat{a}_{2}) = 3 \implies \hat{a}_{1} \cdot \hat{a}_{2} = -1/2$.
હવે,આપણે $(\hat{a}_{1}-\hat{a}_{2}) \cdot (2\hat{a}_{1}-\hat{a}_{2})$ નું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
$= 2(\hat{a}_{1} \cdot \hat{a}_{1}) - (\hat{a}_{1} \cdot \hat{a}_{2}) - 2(\hat{a}_{2} \cdot \hat{a}_{1}) + (\hat{a}_{2} \cdot \hat{a}_{2})$.
$= 2(1) - 3(\hat{a}_{1} \cdot \hat{a}_{2}) + 1$.
$= 3 - 3(-1/2) = 3 + 3/2 = 9/2 = 4.5$.

(D) આપેલ સદિશ $\vec{B} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 4 \hat{k}$ છે.
$y$-અક્ષની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{j} = 0 \hat{i} + 1 \hat{j} + 0 \hat{k}$ છે.
સદિશ $\vec{B}$ અને $y$-અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{\vec{B} \cdot \hat{j}}{|\vec{B}| |\hat{j}|}$ છે.
સૌ પ્રથમ,$\vec{B}$ નું માન શોધો: $|\vec{B}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 4 + 16} = \sqrt{29}$.
$\hat{j}$ નું માન $1$ છે.
ડોટ ગુણાકાર $\vec{B} \cdot \hat{j} = (3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 4 \hat{k}) \cdot (0 \hat{i} + 1 \hat{j} + 0 \hat{k}) = 2$ થાય છે.
તેથી,$\cos \theta = \frac{2}{\sqrt{29} \times 1} = \frac{2}{\sqrt{29}}$.
આમ,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{2}{\sqrt{29}}\right)$.

(A) આપેલ શરત $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A} \times \vec{B}|$ પરથી.
ડોટ અને ક્રોસ ગુણાકારની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા,$AB \cos \theta = AB \sin \theta$ મળે.
બંને બાજુ $AB$ વડે ભાગતા,$\cos \theta = \sin \theta$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\tan \theta = 1$.
આમ,$\theta = 45^{\circ}$ અથવા $\frac{\pi}{4}$ રેડિયન થાય.
પરિણામી સદિશ $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$ નું મૂલ્ય $|\vec{R}| = \sqrt{A^{2} + B^{2} + 2AB \cos \theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\theta = 45^{\circ}$ મૂકતા,$|\vec{R}| = \sqrt{A^{2} + B^{2} + 2AB \cos 45^{\circ}}$ મળે.
કારણ કે $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $|\vec{R}| = \sqrt{A^{2} + B^{2} + 2AB \times \frac{1}{\sqrt{2}}}$.
સાદુરૂપ આપતા,$|\vec{R}| = \sqrt{A^{2} + B^{2} + \sqrt{2} AB}$ મળે.

(D) જો બે સદિશો એકબીજાને લંબ હોય,તો તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે.
આપેલ સદિશો $A = 2i + 2j + 3k$ અને $B = 3i + 6j + nk$ છે.
ડોટ ગુણાકાર $A \cdot B = (2)(3) + (2)(6) + (3)(n) = 0$.
પદોની ગણતરી કરતા: $6 + 12 + 3n = 0$.
$18 + 3n = 0$.
$3n = -18$.
$n = -6$.
તેથી,$n$ નું મૂલ્ય $-6$ છે.

(D) બે સદિશો $\overrightarrow{A}$ અને $\overrightarrow{B}$ લંબ હોય જો તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય હોય,એટલે કે $\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = 0$.
આપેલ છે $\overrightarrow{A} = a_{1} \hat{\imath} + a_{2} \hat{\jmath}$ અને $\overrightarrow{B} = b_{1} \hat{\imath} + b_{2} \hat{\jmath}$.
ડોટ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $(a_{1} \hat{\imath} + a_{2} \hat{\jmath}) \cdot (b_{1} \hat{\imath} + b_{2} \hat{\jmath}) = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} = 0$.
આ સૂચવે છે કે $a_{1}b_{1} = -a_{2}b_{2}$.
આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{a_{1}}{b_{2}} = -\frac{a_{2}}{b_{1}}$.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(A) ધારો કે દરેક સદિશનું મૂલ્ય $A$ છે. પરિણામી સદિશ $R$ પણ $A$ જેટલો છે.
બે સદિશોના પરિણામી સદિશનું સૂત્ર વાપરતા: $R = \sqrt{A^2 + A^2 + 2AA \cos \theta}$.
અહીં $R = A$ આપેલ છે,તેથી $A = \sqrt{2A^2 + 2A^2 \cos \theta}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $A^2 = 2A^2 + 2A^2 \cos \theta$.
$A^2$ વડે ભાગતા: $1 = 2 + 2 \cos \theta$.
$2 \cos \theta = 1 - 2 = -1$.
$\cos \theta = -1/2$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(-0.5) = 120^{\circ}$.

(C) પરિણામી બળ શોધવા માટે,આપણે સદિશ સરવાળાના સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$F_{\text{net}} = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2 F_1 F_2 \cos \theta}$
આપેલ છે: $F_1 = 1 \ N$,$F_2 = 1 \ N$,અને $\theta = 60^{\circ}$.
કિંમતો મૂકતા:
$F_{\text{net}} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2(1)(1) \cos 60^{\circ}}$
$F_{\text{net}} = \sqrt{1 + 1 + 2(0.5)} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} \ N$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$:
$a = \frac{F_{\text{net}}}{m} = \frac{\sqrt{3}}{2} \ m/s^2$.
કિંમતની ગણતરી કરતા:
$a = \frac{1.732}{2} = 0.866 \ m/s^2$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$\sqrt{0.75} \approx 0.866$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $\sqrt{0.75}$ છે.

(C) ધારો કે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ છે. પરિણામી સદિશ $\vec{C} = \vec{A} + \vec{B}$ છે.
$\vec{C}$ નો તેની સાથે ડોટ ગુણાકાર લેતા,આપણને $C^2 = A^2 + B^2 + 2\vec{A} \cdot \vec{B}$ મળે છે.
જ્યારે $\vec{B}$ નું મૂલ્ય બમણું કરવામાં આવે,ત્યારે નવો પરિણામી સદિશ $\vec{C}' = \vec{A} + 2\vec{B}$ થાય છે.
આપેલ છે કે $\vec{C}'$ એ $\vec{A}$ ને લંબ છે,તેથી $\vec{A} \cdot \vec{C}' = 0$.
$\vec{A} \cdot (\vec{A} + 2\vec{B}) = 0 \implies A^2 + 2\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $2\vec{A} \cdot \vec{B} = -A^2$.
આ કિંમતને $C^2$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$C^2 = A^2 + B^2 - A^2 = B^2$.
તેથી,$\vec{C}$ નું મૂલ્ય $B$ છે.

(B) આપેલ છે કે સદિશ $\vec{P}$ ના ઘટકો $P_x = 1$ અને $P_y = 3$ છે. તેથી,$\vec{P} = 1\hat{i} + 3\hat{j}$.
ધારો કે પરિણામી સદિશ $\vec{R} = \vec{P} + \vec{Q}$ છે. $\vec{R}$ ના ઘટકો $R_x = 5$ અને $R_y = 6$ આપેલ છે. તેથી,$\vec{R} = 5\hat{i} + 6\hat{j}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\vec{Q} = \vec{R} - \vec{P}$.
કિંમતો મૂકતા: $\vec{Q} = (5\hat{i} + 6\hat{j}) - (1\hat{i} + 3\hat{j}) = (5-1)\hat{i} + (6-3)\hat{j} = 4\hat{i} + 3\hat{j}$.
$\vec{Q}$ નું મૂલ્ય $|\vec{Q}| = \sqrt{Q_x^2 + Q_y^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) ધારો કે સદિશો $\vec{P}$ અને $\vec{Q}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
સદિશ સરવાળાના નિયમ મુજબ,પરિણામી સદિશ $\vec{R} = \vec{P} + \vec{Q}$ છે.
તેના માનનો વર્ગ $R^2 = P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \theta$ થાય ... $(1)$
જ્યારે $\vec{Q}$ ની દિશા ઉલટાવવામાં આવે,ત્યારે નવો સદિશ $-\vec{Q}$ બને છે. નવો પરિણામી સદિશ $\vec{S} = \vec{P} - \vec{Q}$ છે.
તેના માનનો વર્ગ $S^2 = P^2 + Q^2 - 2PQ \cos \theta$ થાય ... $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$R^2 + S^2 = (P^2 + Q^2 + 2PQ \cos \theta) + (P^2 + Q^2 - 2PQ \cos \theta)$
$R^2 + S^2 = 2(P^2 + Q^2)$
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(C) સદિશ $\vec{A} = 4 \hat{i} + 3 \hat{j} + 12 \hat{k}$ આપેલ છે.
સદિશ $\vec{A}$ નું માન $|\vec{A}| = \sqrt{4^2 + 3^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 9 + 144} = \sqrt{169} = 13$ થાય.
$x$-અક્ષની દિશામાં એકમ સદિશ $\hat{i} = 1 \hat{i} + 0 \hat{j} + 0 \hat{k}$ છે.
સદિશ $\vec{A}$ અને $x$-અક્ષ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવા માટે ડોટ પ્રોડક્ટના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\cos \theta = \frac{\vec{A} \cdot \hat{i}}{|\vec{A}| |\hat{i}|}$.
ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા: $\vec{A} \cdot \hat{i} = (4 \times 1) + (3 \times 0) + (12 \times 0) = 4$.
કિંમતો મૂકતા: $\cos \theta = \frac{4}{13 \times 1} = \frac{4}{13}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(\frac{4}{13})$.

(C) ધારો કે $\overrightarrow{A}$ અને $\overrightarrow{B}$ એ એક સમતલમાં રહેલા બે સદિશો છે. તેમનો સરવાળો $\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}$ એ એક સદિશ છે જે $\overrightarrow{A}$ અને $\overrightarrow{B}$ ધરાવતા સમતલમાં જ રહેલો છે.
સદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ,$\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}$ એ એક એવો સદિશ છે જે $\overrightarrow{A}$ અને $\overrightarrow{B}$ બંને ધરાવતા સમતલને લંબ હોય છે.
જેથી,$(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B})$ સદિશ સમતલમાં છે અને $(\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B})$ સદિશ સમતલને લંબ છે,તેથી તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ અથવા $\frac{\pi}{2} \text{ rad}$ થાય.
ગાણિતિક રીતે,આ બે સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર:
$(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}) \cdot (\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}) = \overrightarrow{A} \cdot (\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}) + \overrightarrow{B} \cdot (\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B})$
સ્કેલર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\overrightarrow{A} \cdot (\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}) = 0$ અને $\overrightarrow{B} \cdot (\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}) = 0$ થાય છે.
તેથી,$(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}) \cdot (\overrightarrow{A} \times \overrightarrow{B}) = 0$,જે સાબિત કરે છે કે સદિશો પરસ્પર લંબ છે અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.

(C) ધારો કે બે સદિશો $\vec{A}$ અને $\vec{B}$ છે,જેમના માન અનુક્રમે $A$ અને $B$ છે.
તેમના સરવાળાનું માન નીચે મુજબ મળે છે:
$|\vec{A}+\vec{B}| = \sqrt{A^{2}+B^{2}+2AB \cos \theta}$,જ્યાં $\theta$ એ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
તેમના તફાવતનું માન નીચે મુજબ મળે છે:
$|\vec{A}-\vec{B}| = \sqrt{A^{2}+B^{2}-2AB \cos \theta}$.
આપેલ છે કે $|\vec{A}+\vec{B}| = |\vec{A}-\vec{B}|$,બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$A^{2}+B^{2}+2AB \cos \theta = A^{2}+B^{2}-2AB \cos \theta$.
બંને બાજુથી $A^{2}+B^{2}$ બાદ કરતા:
$2AB \cos \theta = -2AB \cos \theta$.
$4AB \cos \theta = 0$.
અહીં $A$ અને $B$ એ સદિશોના માન હોવાથી,$A \neq 0$ અને $B \neq 0$,તેથી $\cos \theta = 0$.
આમ,$\theta = 90^{\circ}$ થાય.

(D) દળ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net}$ સદિશ સરવાળાના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $F_{net} = \sqrt{F_{1}^{2} + F_{2}^{2} + 2 F_{1} F_{2} \cos \theta}$.
અહીં $F_{1} = 1 \,N$, $F_{2} = 1 \,N$, અને $\theta = 60^{\circ}$ આપેલ છે।
$F_{net} = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 2(1)(1) \cos 60^{\circ}}$.
કારણ કે $\cos 60^{\circ} = 0.5$, તેથી $F_{net} = \sqrt{1 + 1 + 2(0.5)} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3} \,N$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, $F = ma$, તેથી પ્રવેગ $a = F_{net} / m$.
અહીં દળ $m = 2 \sqrt{3} \,kg$ આપેલ છે।
$a = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}} = 0.5 \,m / s^{2}$.

(C) ધારો કે $\vec{B} = B\hat{i}$ અને $\vec{A} = A_x\hat{i} + A_y\hat{j}$. આપેલ છે કે $|\vec{A}| = 6$,તેથી $A_x^2 + A_y^2 = 36$.
પરિણામી સદિશ $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B} = (A_x + B)\hat{i} + A_y\hat{j}$ એ $y$-અક્ષ પર હોવાથી,તેનો $x$-ઘટક શૂન્ય હોવો જોઈએ: $A_x + B = 0$,તેથી $A_x = -B$.
$A_x = -B$ ને મૂલ્યના સમીકરણમાં મૂકતા: $(-B)^2 + A_y^2 = 36$,જે $A_y^2 = 36 - B^2$ આપે છે.
પરિણામી સદિશ $\vec{R} = A_y\hat{j}$ છે,તેથી તેનું મૂલ્ય $|\vec{R}| = |A_y| = \sqrt{36 - B^2}$ થાય.
આપેલ છે કે $|\vec{R}| = 3B$,તેથી $\sqrt{36 - B^2} = 3B$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $36 - B^2 = 9B^2$,જેનું સાદું રૂપ $10B^2 = 36$ થાય છે.
આમ,$B^2 = 3.6$,તેથી $B = \sqrt{3.6}$ એકમ.

(D) ઘનતા $\rho$ નું સૂત્ર $\rho = \frac{m}{V} = \frac{m}{l^3}$ છે.
ત્રુટિઓના પ્રસરણના નિયમ મુજબ,ઘનતામાં સાપેક્ષ ત્રુટિ:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta m}{m} + 3 \frac{\Delta l}{l}$.
પ્રતિશત ત્રુટિ મેળવવા માટે,$100$ વડે ગુણતા:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = \left( \frac{\Delta m}{m} \times 100 \right) + 3 \times \left( \frac{\Delta l}{l} \times 100 \right)$.
અહીં $\frac{\Delta m}{m} \times 100 = 1.5 \%$ અને $\frac{\Delta l}{l} \times 100 = 2.5 \%$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\text{પ્રતિશત ત્રુટિ} = 1.5 \% + 3 \times (2.5 \%)$
$= 1.5 \% + 7.5 \% = 9 \%$.

(C) ઘનતા $(\rho)$ એ દળ $(M)$ અને કદ $(V)$ નો ગુણોત્તર છે. $L$ બાજુવાળા ઘન માટે,કદ $V = L^3$ થાય.
તેથી,$\rho = \frac{M}{L^3}$.
ઘનતામાં સાપેક્ષ ત્રુટિનું સૂત્ર: $\frac{\Delta \rho}{\rho} = \frac{\Delta M}{M} + 3 \frac{\Delta L}{L}$.
અહીં દળમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta M}{M} \times 100 = 4 \%$ અને લંબાઈમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta L}{L} \times 100 = 3 \%$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને ત્રુટિના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta \rho}{\rho} \times 100 = 4 \% + 3 \times (3 \%) = 4 \% + 9 \% = 13 \%$.
આમ,ઘનતાના માપનમાં મહત્તમ ત્રુટિ $13 \%$ થશે.

(C) પદાર્થની ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર: $KE = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
ગુણાકાર અને ઘાત માટે ત્રુટિના પ્રસરણના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા,$KE$ માં સાપેક્ષ ત્રુટિ નીચે મુજબ મળે:
$\frac{\Delta KE}{KE} = \frac{\Delta m}{m} + 2 \frac{\Delta v}{v}$.
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,આપણે $100$ વડે ગુણીએ છીએ:
$\frac{\Delta KE}{KE} \times 100 = \left( \frac{\Delta m}{m} \times 100 \right) + 2 \left( \frac{\Delta v}{v} \times 100 \right)$.
અહીં દળમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta m}{m} \times 100 = 2 \%$ અને ઝડપમાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta v}{v} \times 100 = 3 \%$ આપેલ છે,આ કિંમતો મૂકતા:
$KE$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $= 2 \% + 2(3 \%) = 2 \% + 6 \% = 8 \%$.

(D) એકમ સદિશનું માન $1$ હોય છે.
આપેલ છે કે $\overrightarrow{u} = 0.4 \hat{i} + 0.7 \hat{j} + c \hat{k}$.
સદિશનું માન $|\overrightarrow{u}| = \sqrt{(0.4)^2 + (0.7)^2 + c^2} = 1$ દ્વારા મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $0.16 + 0.49 + c^2 = 1$ મળે છે.
$0.65 + c^2 = 1$.
$c^2 = 1 - 0.65 = 0.35$.
તેથી,$c = \sqrt{0.35}$.

(C) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણના કેન્દ્ર $O$ થી દરેક બાજુનું લંબ અંતર $r$ છે.
બળ $F$ ને કારણે ઉદ્ભવતું ટોર્ક $\tau = F \cdot r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ પરિભ્રમણની ધરીથી બળની કાર્યરેખા સુધીનું લંબ અંતર છે.
આકૃતિમાં બળોની દિશાઓ જોતા,બળો $\overrightarrow{F}_{1}$ અને $\overrightarrow{F}_{2}$ બિંદુ $O$ ની આસપાસ સમાન પરિભ્રમણની દિશામાં (દા.ત. ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં) ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે,જ્યારે $\overrightarrow{F}_{3}$ વિરુદ્ધ દિશામાં (દા.ત. ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં) ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે.
બિંદુ $O$ પર કુલ ટોર્ક શૂન્ય થવા માટે,ટોર્કનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\tau_{1} + \tau_{2} - \tau_{3} = 0$
$rF_{1} + rF_{2} - rF_{3} = 0$
$r$ વડે ભાગતા (કારણ કે $r \neq 0$):
$F_{1} + F_{2} - F_{3} = 0$
$F_{3} = F_{1} + F_{2}$

(D) ધારો કે એકમ સદિશ $\hat{n} = a \hat{\imath} + b \hat{\jmath}$ છે અને આપેલ સદિશ $\vec{r} = \hat{\imath} + \hat{\jmath}$ છે.
જ્યારે $\hat{n}$ એ $\vec{r}$ ને લંબ હોય,ત્યારે તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $\hat{n} \cdot \vec{r} = 0$.
$(a \hat{\imath} + b \hat{\jmath}) \cdot (\hat{\imath} + \hat{\jmath}) = a + b = 0$,જેનો અર્થ છે કે $b = -a$.
$\hat{n}$ એ એકમ સદિશ હોવાથી,તેનું માન $1$ છે: $\sqrt{a^2 + b^2} = 1$.
$b = -a$ મૂકતા,આપણને $\sqrt{a^2 + (-a)^2} = 1$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\sqrt{2a^2} = 1$ અથવા $|a|\sqrt{2} = 1$ થાય છે.
આમ,$a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
જો $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોય,તો $b = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
જો $a = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ હોય,તો $b = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$b = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ એ વિકલ્પ $D$ માં આપેલ છે.

(B) આપેલ છે કે $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$,જેનો અર્થ છે કે સદિશ $\vec{A}$ એ સદિશ $\vec{B}$ ને લંબ છે.
આપેલ છે કે $\vec{A} \cdot \vec{C} = 0$,જેનો અર્થ છે કે સદિશ $\vec{A}$ એ સદિશ $\vec{C}$ ને લંબ છે.
સદિશ $\vec{A}$ એ $\vec{B}$ અને $\vec{C}$ બંનેને લંબ હોવાથી,તે $\vec{B}$ અને $\vec{C}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) ની દિશાને સમાંતર હોવો જોઈએ.
સદિશ ગુણાકાર $\vec{B} \times \vec{C}$ એવો સદિશ આપે છે જે $\vec{B}$ અને $\vec{C}$ બંને ધરાવતા સમતલને લંબ હોય છે.
તેથી,$\vec{A}$ એ $\vec{B} \times \vec{C}$ ને સમાંતર છે.

(D) સદિશ $\vec{A}$ નો અન્ય સદિશ $\vec{B}$ ની દિશામાં ઘટક એ $\vec{B}$ ની દિશામાં રહેલા એકમ સદિશ પર $\vec{A}$ ના પ્રક્ષેપ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $\hat{b}$ એ $\vec{B}$ ની દિશામાં એકમ સદિશ છે.
$\vec{B}$ ની દિશામાં $\vec{A}$ નો ઘટક $\vec{A} \cdot \hat{b}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
કારણ કે $\hat{b} = \frac{\vec{B}}{|B|}$,આને $\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|B|}$ તરીકે પણ લખી શકાય છે.

(B) આપેલ સદિશ $\vec{P} = P \sin \theta \hat{i} - P \cos \theta \hat{j}$ છે.
બે સદિશો પરસ્પર લંબ હોય જો તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય હોય,એટલે કે $\vec{P} \cdot \vec{Q} = 0$.
ચાલો વિકલ્પ $B$ ચકાસીએ: $\vec{Q} = Q \cos \theta \hat{i} + Q \sin \theta \hat{j}$.
$\vec{P} \cdot \vec{Q} = (P \sin \theta \hat{i} - P \cos \theta \hat{j}) \cdot (Q \cos \theta \hat{i} + Q \sin \theta \hat{j})$
$= (P \sin \theta)(Q \cos \theta) + (-P \cos \theta)(Q \sin \theta)$
$= PQ \sin \theta \cos \theta - PQ \sin \theta \cos \theta = 0$.
ડોટ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,સદિશો પરસ્પર લંબ છે.

(C) ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ,બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
'$h$' ઊંડાઈએ રહેલા છિદ્ર '$A$' માટે,વેગ $V_A = \sqrt{2gh}$ છે.
'$4h$' ઊંડાઈએ રહેલા છિદ્ર '$B$' માટે,વેગ $V_B = \sqrt{2g(4h)} = 2\sqrt{2gh} = 2V_A$ છે.
કદનો પ્રવાહ દર $(Q)$ $Q = A \cdot v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં '$A$' એ છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે કે બંને છિદ્રો માટે પ્રવાહ દર સમાન છે: $Q_A = Q_B$.
$A_A \cdot V_A = A_B \cdot V_B$.
છિદ્ર '$A$' એ '$L$' બાજુવાળો ચોરસ હોવાથી,$A_A = L^2$.
છિદ્ર '$B$' એ '$R$' ત્રિજ્યાવાળું વર્તુળ હોવાથી,$A_B = \pi R^2$.
કિંમતો મૂકતા: $L^2 \cdot V_A = (\pi R^2) \cdot (2V_A)$.
$L^2 = 2\pi R^2$.
$L = \sqrt{2\pi} \cdot R$.

(B) ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ,બહાર નીકળતા પાણીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
ધારો કે ચોરસ કાણાનું ક્ષેત્રફળ $A_1$ છે અને ગોળાકાર કાણાનું ક્ષેત્રફળ $A_2$ છે.
$A_1 = a^2$ અને $A_2 = \pi r^2$.
કદનો પ્રવાહ દર $Q = A \cdot v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને કાણાં માટે કદનો પ્રવાહ દર સમાન હોવાથી:
$A_1 \sqrt{2gy} = A_2 \sqrt{2g(16y)}$
$a^2 \sqrt{y} = (\pi r^2) \sqrt{16y}$
$a^2 \sqrt{y} = \pi r^2 (4 \sqrt{y})$
$a^2 = 4 \pi r^2$
$r^2 = \frac{a^2}{4 \pi}$
$r = \sqrt{\frac{a^2}{4 \pi}} = \frac{a}{2 \sqrt{\pi}}$

(C) સાતત્યના સમીકરણ (equation of continuity) મુજબ,અદબનીય પ્રવાહી માટે પાઇપના કોઈપણ બિંદુએ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને વેગનો ગુણાકાર અચળ રહે છે: $A_1 V_1 = A_2 V_2$.
અહીં,$A_1$ એ પાઇપનું ક્ષેત્રફળ છે,$V$ એ પાઇપમાં વેગ છે,$A_2$ એ નોઝલનું ક્ષેત્રફળ છે અને $V_1$ એ નોઝલ પાસેનો વેગ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi (d/2)^2$ હોવાથી,$A \propto d^2$ થાય.
આ કિંમત સાતત્યના સમીકરણમાં મૂકતા: $d^2 V = d_2^2 V_1$.
નોઝલના વ્યાસ $d_2$ માટે ઉકેલતા: $d_2^2 = d^2 \frac{V}{V_1}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $d_2 = d \sqrt{\frac{V}{V_1}}$.

(A) સાતત્યના સમીકરણ મુજબ,$A_{1}V_{1} = A_{2}V_{2}$.
પ્રવાહનો દર અચળ હોવાથી,જો આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ ઘટે,તો વેગ $V$ વધવો જોઈએ.
આડી પાઇપ માટે બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ,$P + \frac{1}{2}\rho V^{2} = \text{constant}$.
આનો અર્થ એ છે કે જેમ વેગ $V$ વધે છે,તેમ દબાણ $P$ ઘટવું જોઈએ.
તેથી,પાઇપના સૌથી સાંકડા ભાગમાં,વેગ મહત્તમ હોય છે અને દબાણ ન્યૂનતમ હોય છે.

(B) ગતિશીલ પ્રવાહી માટે બર્નુલીના સિદ્ધાંત મુજબ,એકમ કદ દીઠ દબાણ ઉર્જા,ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો અચળ રહે છે.
પાઇપની અંદરના પ્રવાહી માટે,જ્યારે વેગ શૂન્ય હોય ત્યારે પ્રારંભિક દબાણ $P_{1}$ છે.
જ્યારે વાલ્વ ખોલવામાં આવે છે,ત્યારે દબાણ ઘટીને $P_{2}$ થાય છે અને પ્રવાહી $v$ જેટલો વેગ પ્રાપ્ત કરે છે.
પાઇપની અંદર અને બહાર નીકળવાના બિંદુ વચ્ચે બર્નુલીનું સમીકરણ લાગુ પાડતા:
$P_{1} + 0 = P_{2} + \frac{1}{2} \rho v^{2}$
$v$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$P_{1} - P_{2} = \frac{1}{2} \rho v^{2}$
$v^{2} = \frac{2(P_{1} - P_{2})}{\rho}$
$v = \sqrt{\frac{2(P_{1} - P_{2})}{\rho}}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ધારો કે $n$ કેપેસિટરો સમાંતરમાં જોડાયેલા છે,દરેકનું કેપેસિટન્સ $C = 2 \mu F$ છે. આ સમાંતર જૂથનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = nC = 2n \mu F$ છે.
ધારો કે આવા $m$ જૂથો શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે. કુલ કેપેસિટરોની સંખ્યા $N = n \times m = 7$ છે.
શ્રેણીમાં આવા $m$ જૂથોનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{m}{C_p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$C_{eq} = \frac{C_p}{m} = \frac{2n}{m}$.
આપેલ છે કે $C_{eq} = \frac{10}{11} \mu F$,તેથી $\frac{2n}{m} = \frac{10}{11}$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{n}{m} = \frac{5}{11}$ થાય છે.
આ દર્શાવે છે કે $11n = 5m$. કુલ કેપેસિટરોની સંખ્યા $7$ હોવાથી,આ વિકલ્પોની ચકાસણી કરતા,$5$ શ્રેણીમાં અને $2$ સમાંતરમાં જોડાણ સૌથી નજીકનું પરિણામ આપે છે.

(D) પરિપથ આકૃતિ પરથી,કેપેસિટર $C_{1}$,$C_{2}$ અને $C_{3}$ એકબીજા સાથે શ્રેણીમાં છે,અને આ સંયોજન કેપેસિટર $C_{4}$ સાથે સમાંતરમાં છે.
આપેલ છે: $C_{1} = C$,$C_{2} = 2C$,$C_{3} = 3C$,અને $C_{4} = 4C$.
$C_{1}$,$C_{2}$ અને $C_{3}$ ના શ્રેણી સંયોજનનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_{1}} + \frac{1}{C_{2}} + \frac{1}{C_{3}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{2C} + \frac{1}{3C} = \frac{6+3+2}{6C} = \frac{11}{6C}$
$\Rightarrow C_{eq} = \frac{6}{11}C$
શ્રેણી સંયોજન પરનો વિદ્યુતભાર (જે દરેક કેપેસિટર $C_{1}$,$C_{2}$ અને $C_{3}$ માટે સમાન છે) છે:
$Q_{series} = C_{eq} V = \frac{6}{11}CV$
કેમ કે $C_{2}$ આ શ્રેણી શાખામાં છે,તેથી $C_{2}$ પરનો વિદ્યુતભાર $Q_{2} = \frac{6}{11}CV$ થશે.
કેપેસિટર $C_{4}$ પરનો વિદ્યુતભાર (જે બેટરી સાથે સમાંતરમાં છે) છે:
$Q_{4} = C_{4} V = (4C)V = 4CV$
$C_{2}$ અને $C_{4}$ પરના વિદ્યુતભારોનો ગુણોત્તર:
$\frac{Q_{2}}{Q_{4}} = \frac{\frac{6}{11}CV}{4CV} = \frac{6}{11 \times 4} = \frac{6}{44} = \frac{3}{22}$

(B) $1$. પ્રથમ, $C$ અને $2C$ ના સમાંતર જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ શોધો। સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી, $C_p = C + 2C = 3C$.
$2$. હવે, આ સંયોજન $(C_p = 3C)$ એ $3C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા ત્રીજા કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં છે.
$3$. શ્રેણી જોડાણનું કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ એ $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{3C} + \frac{1}{3C} = \frac{2}{3C}$ દ્વારા મળે છે, તેથી $C_{eq} = \frac{3C}{2}$.
$4$. સ્ત્રોત દ્વારા આપવામાં આવેલ કુલ વિદ્યુતભાર $Q = C_{eq} \times V = \frac{3CV}{2}$ છે.
$5$. શ્રેણી પરિપથમાં, દરેક શાખા પરનો વિદ્યુતભાર સમાન હોય છે। તેથી, $3C$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $\frac{3CV}{2}$ છે અને સમાંતર જોડાણ $(C_p = 3C)$ પરનો વિદ્યુતભાર પણ $\frac{3CV}{2}$ છે.
$6$. સમાંતર જોડાણ માટે, બંને કેપેસિટર ($C$ અને $2C$) પરનો વોલ્ટેજ સમાન હોય છે। ધારો કે આ વોલ્ટેજ $V'$ છે। $V' = \frac{Q_{parallel}}{C_p} = \frac{3CV/2}{3C} = \frac{V}{2}$.
$7$. $C$ કેપેસિટન્સ ધરાવતા કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $q = C \times V' = C \times \frac{V}{2} = \frac{CV}{2}$ થાય.

(C) આપેલ છે,પરિણામી કેપેસિટન્સ,$C_{eq} = 2 \mu F$.
આકૃતિ પરથી,પાંચેય કેપેસિટરો શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
શ્રેણી જોડાણમાં કેપેસિટરોનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C}$
$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{5}{C}$
$C_{eq}$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{1}{2 \mu F} = \frac{5}{C}$
$C = 5 \times 2 \mu F = 10 \mu F$
તેથી,દરેક કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $10 \mu F$ છે.

(A) ધારો કે $C_1 = 2 \mu F$,$C_2 = 4 \mu F$,અને $C_3 = 6 \mu F$ છે.
$C_1$ અને $C_2$ સમાંતર જોડાણમાં છે,તેથી તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = C_1 + C_2 = 2 + 4 = 6 \mu F$ થાય.
હવે,$C_p$ અને $C_3$ શ્રેણીમાં છે. આખા પરિપથનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = \frac{C_p \times C_3}{C_p + C_3} = \frac{6 \times 6}{6 + 6} = 3 \mu F$ થાય.
બેટરી દ્વારા આપવામાં આવતો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = C_{eq} \times V = 3 \mu F \times 12 \text{ V} = 36 \mu C$ છે.
$C_p$ અને $C_3$ શ્રેણીમાં હોવાથી,સમાંતર જોડાણ $(C_p)$ પરનો વિદ્યુતભાર પણ $36 \mu C$ જ રહેશે.
આ વિદ્યુતભાર $Q$ એ $C_1$ અને $C_2$ વચ્ચે તેમના કેપેસિટન્સના પ્રમાણમાં વહેંચાશે:
$Q_1 = Q \times \left( \frac{C_1}{C_1 + C_2} \right) = 36 \mu C \times \left( \frac{2}{2 + 4} \right) = 36 \times \frac{2}{6} = 12 \mu C$.
આમ,$2 \mu F$ ના કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $12 \mu C$ છે.

(A) આ પરિપથમાં એક $3 \mu F$ નો કેપેસિટર,બે $1.5 \mu F$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં છે,જે ત્યારબાદ બીજા $3 \mu F$ ના કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે.
$1$. પ્રથમ,સમાંતરમાં રહેલા બે $1.5 \mu F$ કેપેસિટરોનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ ગણો: $C_p = 1.5 \mu F + 1.5 \mu F = 3 \mu F$.
$2$. હવે,પરિપથ ત્રણ $3 \mu F$ ના કેપેસિટરોનું શ્રેણી જોડાણ બની જાય છે.
$3$. શ્રેણી જોડાણ માટે સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq}$ નું સૂત્ર: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \frac{1}{C_3}$.
$4$. કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} = 1 \mu F^{-1}$.
$5$. તેથી,$C_{eq} = 1 \mu F$.

(C) રિપીટર એ રીસીવર અને ટ્રાન્સમીટરનું સંયોજન છે.
તે ટ્રાન્સમીટર પાસેથી સિગ્નલ મેળવે છે,તેને એમ્પ્લીફાય કરે છે અને ફરીથી ગંતવ્ય સ્થાન સુધી મોકલે છે.
આ પ્રક્રિયા લાંબા અંતર દરમિયાન થતા સિગ્નલના નુકસાન (એટેન્યુએશન) ને સરભર કરે છે,જેનાથી કોમ્યુનિકેશન સિસ્ટમની રેન્જ વધે છે.

(A) ડિજિટલ સિગ્નલો એવા સિગ્નલો છે જે કોઈપણ સમયે ડેટાને અલગ-અલગ (discrete) મૂલ્યોના ક્રમ તરીકે રજૂ કરે છે. એનાલોગ સિગ્નલોથી વિપરીત,જે સતત હોય છે,ડિજિટલ સિગ્નલો અલગ-અલગ સ્ટેપવાઈઝ મૂલ્યો ધરાવે છે,જે સામાન્ય રીતે બાઈનરી અંકો ($0$ અને $1$) દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. તેથી,તેઓ અલગ-અલગ સ્ટેપવાઈઝ મૂલ્યો દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે.

(B) એક પ્રમાણભૂત સુપરહેટરોડાઇન રીસીવર બ્લોક ડાયાગ્રામમાં,રીસીવિંગ એન્ટેનામાંથી આવતો સિગ્નલ સૌ પ્રથમ નબળા સિગ્નલને વધારવા માટે એમ્પ્લીફાયર (સામાન્ય રીતે $RF$ એમ્પ્લીફાયર) માંથી પસાર થાય છે.
ત્યારબાદ,તે ઇન્ટરમીડિયેટ ફ્રીક્વન્સી $(IF)$ સ્ટેજમાં જાય છે,જ્યાં ફ્રીક્વન્સીને નીચી,નિશ્ચિત ઇન્ટરમીડિયેટ ફ્રીક્વન્સીમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે.
$IF$ સ્ટેજ પછી,મૂળ સંદેશ સિગ્નલને બહાર કાઢવા માટે સિગ્નલ ડિટેક્ટર (ડીમોડ્યુલેટર) માંથી પસાર થાય છે.
અંતે,આઉટપુટ ઉપકરણ માટે તેની શક્તિ વધારવા માટે સિગ્નલને ઓડિયો એમ્પ્લીફાયરમાંથી પસાર કરવામાં આવે છે.
આપેલ ડાયાગ્રામ જોતા:
- પ્રથમ બોક્સ '$Y$' એમ્પ્લીફાયર ($RF$ એમ્પ્લીફાયર) દર્શાવે છે.
- બીજું બોક્સ '$X$' એ $IF$ સ્ટેજ દર્શાવે છે.
- ત્રીજું બોક્સ ડિટેક્ટર છે.
- ચોથું બોક્સ '$Y$' એમ્પ્લીફાયર (ઓડિયો એમ્પ્લીફાયર) દર્શાવે છે.
તેથી,'$X$' એ $IF$ સ્ટેજ દર્શાવે છે અને '$Y$' એ એમ્પ્લીફાયર દર્શાવે છે.

(B) રિપીટર એ એક એવું ઉપકરણ છે જે સિગ્નલ મેળવે છે,તેને એમ્પ્લીફાય કરે છે અને પછી કોમ્યુનિકેશનની રેન્જ વધારવા માટે તેને ફરીથી ટ્રાન્સમિટ કરે છે. તેથી,તે મૂળભૂત રીતે સિગ્નલ મેળવવા માટે રિસીવર અને તેને આગળ મોકલવા માટે ટ્રાન્સમીટર ધરાવે છે. આમ,તે રિસીવર અને ટ્રાન્સમીટરનું સંયોજન છે.

(B) આપેલ છે:
મોડ્યુલેટિંગ સિગ્નલની આવૃત્તિ,$f_m = 3 \text{ kHz} = 0.003 \text{ MHz}$.
કેરિયર વેવની આવૃત્તિ,$f_c = 2.5 \text{ MHz} = 2500 \text{ kHz}$.
અપર સાઇડબેન્ડ આવૃત્તિ $(f_{USB})$ નું સૂત્ર $f_c + f_m = 2500 \text{ kHz} + 3 \text{ kHz} = 2503 \text{ kHz}$ છે.
લોઅર સાઇડબેન્ડ આવૃત્તિ $(f_{LSB})$ નું સૂત્ર $f_c - f_m = 2500 \text{ kHz} - 3 \text{ kHz} = 2497 \text{ kHz}$ છે.
આમ,સાઇડબેન્ડ આવૃત્તિઓ $2503 \text{ kHz}$ અને $2497 \text{ kHz}$ છે.

(D) લાઇન-ઓફ-સાઇટ પ્રસરણ માટેની રેન્જ $d$ નું સૂત્ર $d = \sqrt{2Rh}$ છે,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ એન્ટેનાની ઊંચાઈ છે.
આ સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે $d \propto \sqrt{h}$.
ધારો કે પ્રારંભિક રેન્જ $d_1 = \sqrt{2Rh}$ છે અને પ્રારંભિક ઊંચાઈ $h_1 = h$ છે.
ધારો કે નવી ઊંચાઈ $h_2 = 2h$ છે.
નવી રેન્જ $d_2 = \sqrt{2Rh_2} = \sqrt{2R(2h)}$ થશે.
$d_2 = \sqrt{2} \times \sqrt{2Rh} = \sqrt{2} d_1$.
તેથી,જો ઊંચાઈ બમણી કરવામાં આવે,તો નવી રેન્જ $\sqrt{2} d$ થાય છે.

(D) એમ્પ્લિટ્યુડ મોડ્યુલેશનમાં,કેરિયર વેવનું એમ્પ્લિટ્યુડ એ મોડ્યુલેટિંગ સિગ્નલ (માહિતી સિગ્નલ) ના તત્કાલ મૂલ્ય અનુસાર બદલાય છે,જ્યારે કેરિયર વેવની ફ્રીક્વન્સી અને ફેઝ અચળ રહે છે.

(D) મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $(m_a)$ એ મોડ્યુલેટિંગ સિગ્નલના પીક વોલ્ટેજ $(V_m)$ અને કેરિયર તરંગના પીક વોલ્ટેજ $(V_c)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
સૂત્ર: $m_a = \frac{V_m}{V_c}$
આપેલ છે:
કેરિયર તરંગનો પીક વોલ્ટેજ $(V_c)$ = $16 \text{ V}$
મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $(m_a)$ = $75 \% = 0.75$
ગણતરી:
$V_m = m_a \times V_c$
$V_m = 0.75 \times 16 \text{ V}$
$V_m = 12 \text{ V}$
તેથી, મોડ્યુલેટિંગ સિગ્નલનો પીક વોલ્ટેજ $12 \text{ V}$ છે.

(C) ઓછી આવૃત્તિવાળા ઓડિયો સિગ્નલોને લાંબા અંતર સુધી સીધી રીતે પ્રસારિત કરી શકાતા નથી કારણ કે તેમને ખૂબ મોટા કદના એન્ટેનાની જરૂર પડે છે અને તેમાં સિગ્નલનું ક્ષય (attenuation) વધુ થાય છે. આ મુશ્કેલીને દૂર કરવા માટે,ઓછી આવૃત્તિવાળા ઓડિયો સિગ્નલને (બેઝબેન્ડ સિગ્નલ) ઊંચી આવૃત્તિવાળા તરંગ પર સુપરપોઝ કરવામાં આવે છે,જેને કેરિયર તરંગ કહેવામાં આવે છે. આ પ્રક્રિયાને મોડ્યુલેશન કહે છે.

(A) એમ્પ્લીટ્યુડ મોડ્યુલેશનમાં,મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $\mu$ એ મોડ્યુલેટિંગ સિગ્નલના કંપવિસ્તાર અને કેરિયર વેવના કંપવિસ્તારના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે. જો $\mu > 1$ હોય,તો તે ઓવર-મોડ્યુલેશન તરફ દોરી જાય છે,જેના કારણે સિગ્નલમાં ગંભીર ડિસ્ટોર્શન (વિકૃતિ) આવે છે. તેથી,ડિસ્ટોર્શન ટાળવા માટે,મોડ્યુલેશન ઇન્ડેક્સ $\mu$ ને હંમેશા $1$ કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો રાખવામાં આવે છે (એટલે કે,$\mu \le 1$). આમ,$\mu$ ને એક કરતા વધારે રાખવામાં આવે છે તે વિધાન ખોટું છે.

(A) $l$ લંબાઈના રેખીય એન્ટેના માટે (જ્યાં $l \ll \lambda$),ઉત્સર્જિત પાવર $P$ એ સંબંધ $P \propto \frac{1}{\lambda^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે ઉત્સર્જિત પાવર એ તરંગલંબાઈના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,જેમ તરંગલંબાઈ $\lambda$ વધે છે,તેમ ઉત્સર્જિત પાવર ઘટે છે.
આમ,સાચું પ્રમાણ $\lambda^{-2}$ છે.

(A) મોડેમ એટલે મોડ્યુલેટર-ડિમોડ્યુલેટર.
અવકાશ સંચારની પ્રક્રિયામાં,ટ્રાન્સમિટિંગ (પ્રસારણ) છેડે,મોડેમ ડિજિટલ સિગ્નલોને એનાલોગ સિગ્નલોમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે મોડ્યુલેટર તરીકે કાર્ય કરે છે.
રિસીવિંગ (પ્રાપ્તિ) છેડે,મોડેમ પ્રાપ્ત થયેલા એનાલોગ સિગ્નલોને ફરીથી ડિજિટલ સિગ્નલોમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે ડિમોડ્યુલેટર તરીકે કાર્ય કરે છે.
તેથી,મોડેમ ટ્રાન્સમિશન દરમિયાન મોડ્યુલેટર તરીકે અને રિસેપ્શન દરમિયાન ડિમોડ્યુલેટર તરીકે કાર્ય કરે છે.

(B) આપેલ પરિપથમાં,બે કોષો શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે પરંતુ વિરુદ્ધ ધ્રુવીયતા સાથે.
પરિપથ માટે કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે $200 \ V$ ના કોષથી શરૂઆત કરીએ છીએ અને પ્રવાહની દિશામાં આગળ વધીએ છીએ:
$200 - I(38) - 10 = 0$
$190 - 38I = 0$
$38I = 190$
$I = \frac{190}{38} = 5 \ A$
તેથી,પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $5 \ A$ છે.

(B) $3 \mu F$ અને $6 \mu F$ ના કેપેસિટરો સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_p = 3 \mu F + 6 \mu F = 9 \mu F$ થાય.
આ $C_p$ એ $4.5 \mu F$ ના કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં છે. પરિપથનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{eq} = \frac{4.5 \times 9}{4.5 + 9} = \frac{40.5}{13.5} = 3 \mu F$ થાય.
$12 \text{ V}$ ની બેટરી દ્વારા આપવામાં આવતો કુલ વિદ્યુતભાર $Q = C_{eq} V = 3 \mu F \times 12 \text{ V} = 36 \mu C$ છે.
$4.5 \mu F$ નું કેપેસિટર આ સંયોજન સાથે શ્રેણીમાં હોવાથી,તેના પરનો વિદ્યુતભાર કુલ વિદ્યુતભાર $Q = 36 \mu C$ જેટલો જ હોય.
તેથી,$4.5 \mu F$ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{4.5} = \frac{Q}{C} = \frac{36 \mu C}{4.5 \mu F} = 8 \text{ V}$ થાય.

(D) પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R_{wire} + R_{series} = 20 \ \Omega + 10 \ \Omega = 30 \ \Omega$ છે.
પરિપથમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{E}{R_{total}} = \frac{3 \ V}{30 \ \Omega} = 0.1 \ A$ છે.
તારના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{wire} = I \times R_{wire} = 0.1 \ A \times 20 \ \Omega = 2 \ V$ છે.
તાર પરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ એ એકમ લંબાઈ દીઠ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો ઘટાડો છે: $\text{Potential gradient} = \frac{V_{wire}}{L} = \frac{2 \ V}{10 \ m} = 0.2 \ V/m$.

(D) જંકશન પર કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ નો ઉપયોગ કરતા:
જમણા જંકશન પર: $I_{1} + I_{2} = I_{4}$
આપેલ છે કે $I_{1} = -0.4 \text{ A}$ અને $I_{4} = 1 \text{ A}$,તેથી:
$-0.4 + I_{2} = 1 \implies I_{2} = 1.4 \text{ A}$
ડાબા-નીચેના જંકશન પર: $I_{5} = I_{3} + I_{4}$
આપેલ છે કે $I_{5} = 0.4 \text{ A}$ અને $I_{4} = 1 \text{ A}$,તેથી:
$0.4 = I_{3} + 1 \implies I_{3} = -0.6 \text{ A}$
ઉપરના જંકશન પર $KCL$ મુજબ: $I_{6} = I_{1} + I_{2} + I_{3}$
કિંમતો મૂકતા: $I_{6} = -0.4 + 1.4 + (-0.6) = 0.4 \text{ A}$
આમ,$I_{2} = 1.4 \text{ A}$,$I_{3} = -0.6 \text{ A}$,અને $I_{6} = 0.4 \text{ A}$.

(C) પ્રવાહ $I$ ને વિદ્યુતભારના વહનનો દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે $I = \frac{q}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $q$ એ વિદ્યુતભાર છે અને $T$ એ પરિભ્રમણનો આવર્તકાળ છે.
$r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં $v$ કક્ષીય વેગ સાથે ગતિ કરતા ઇલેક્ટ્રોન માટે,એક પરિભ્રમણમાં કાપેલું અંતર પરિઘ $2 \pi r$ જેટલું હોય છે.
આમ,આવર્તકાળ $T$ એ $T = \frac{2 \pi r}{v}$ દ્વારા મળે છે.
આ કિંમતને પ્રવાહના સમીકરણમાં મૂકતા:
$I = \frac{e}{T} = \frac{e}{(2 \pi r / v)} = \frac{ev}{2 \pi r}$.
અહીં $2 \pi$ અચળ હોવાથી,આપણને $I \propto e^{1} v^{1} r^{-1}$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ $G$ અને પૂર્ણ-સ્કેલ ડિફ્લેક્શન વોલ્ટેજ $V_g$ છે. પૂર્ણ-સ્કેલ પ્રવાહ $I_g$ એ $I_g = \frac{V_g}{G}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગેલ્વેનોમીટરને $V$ રેન્જના વોલ્ટમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,ગેલ્વેનોમીટર સાથે શ્રેણીમાં અવરોધ $R$ જોડવો આવશ્યક છે.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R + G$ થાય છે.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ,નવી રેન્જ $V$ માટે,પ્રવાહ $I_g$ સમાન રહે છે:
$V = I_g(R + G)$
સમીકરણમાં $I_g = \frac{V_g}{G}$ મૂકતા:
$V = \left(\frac{V_g}{G}\right)(R + G)$
$\frac{V}{V_g} = \frac{R+G}{G}$
$\frac{V}{V_g} = \frac{R}{G} + 1$
$\frac{R}{G} = \frac{V}{V_g} - 1$
$R = G\left(\frac{V}{V_g} - 1\right)$

(D) ધારો કે ગેલ્વેનોમીટરમાંથી વહેતો પ્રારંભિક પ્રવાહ $I$ છે. આવર્તન પ્રવાહના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,ગેલ્વેનોમીટરમાંથી વહેતો નવો પ્રવાહ $I' = I/2$ થશે.
સમાંતર પરિપથમાં પ્રવાહ વિભાજનના સિદ્ધાંત મુજબ,કુલ પ્રવાહ $I_{total}$ એ ગેલ્વેનોમીટર $G$ અને શંટ $X$ વચ્ચે વહેંચાય છે.
ગેલ્વેનોમીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_G = I/2$ હોવાથી,બાકીનો પ્રવાહ શંટમાંથી વહેશે: $I_X = I_{total} - I_G = I - I/2 = I/2$.
ગેલ્વેનોમીટર અને શંટ સમાંતરમાં હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે: $I_G \cdot G = I_X \cdot X$.
કિંમતો મૂકતા: $(I/2) \cdot G = (I/2) \cdot X$.
તેથી,$G = X$ અથવા $X = G$.

(C) મૂવિંગ કોઈલ ગેલ્વેનોમીટરમાં,કાયમી ચુંબકના અંતર્ગોળ આકારના ધ્રુવ ટુકડાઓનો ઉપયોગ કરીને એક પ્રબળ ત્રિજ્યાવર્તી ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરવામાં આવે છે. આ આંતરિક ચુંબકીય ક્ષેત્ર કોઈપણ બાહ્ય સ્ટ્રે ચુંબકીય ક્ષેત્ર કરતા નોંધપાત્ર રીતે વધુ પ્રબળ હોય છે. આ ઉચ્ચ તીવ્રતાને કારણે,બાહ્ય સ્ટ્રે ચુંબકીય ક્ષેત્રોની અસર નગણ્ય બની જાય છે,જે સુનિશ્ચિત કરે છે કે કોઈલનું વિચલન ફક્ત તેમાંથી વહેતા વિદ્યુતપ્રવાહ પર જ આધાર રાખે છે.

(D) પોટેન્શિયોમીટરની સંવેદનશીલતા એટલે તેના દ્વારા માપી શકાતો લઘુત્તમ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત.
સંવેદનશીલતા એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $(k = V/L)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
નાનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ એટલે ઉચ્ચ સંવેદનશીલતા.
તેથી, સંવેદનશીલતા ઘટાડવા માટે, આપણે તાર પરના પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટમાં વધારો કરવો જોઈએ.
પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k = I \cdot R/L$ હોવાથી, તારમાંથી વહેતા પ્રવાહ $(I)$ માં વધારો કરવાથી પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ વધે છે, જેનાથી સંવેદનશીલતા ઘટે છે.

(B) આપેલ છે: ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ $G = 100 \Omega$, શંટ અવરોધ $S = 1 \Omega$, પૂર્ણ સ્કેલ વિચલન પ્રવાહ $I_g = 10 \mu A = 10 \times 10^{-6} A$.
ગેલ્વેનોમીટરને એમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે, શંટ અવરોધ $S$ ને સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે.
પૂર્ણ સ્કેલ વિચલન માટે જરૂરી કુલ પ્રવાહ $I$ નું સૂત્ર: $I = I_g \left( \frac{G+S}{S} \right)$.
કિંમતો મૂકતા: $I = 10 \mu A \left( \frac{100 + 1}{1} \right)$.
$I = 10 \mu A \times 101 = 1010 \mu A$.
મિલીએમ્પિયરમાં રૂપાંતર કરતા: $I = 1.01 \text{ mA}$.

(D) ધારો કે તાર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ છે. પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k = \frac{V}{L_{total}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,સંતુલન લંબાઈ $l_1 = \frac{L}{5}$ છે. e.m.f. $E = k_1 l_1 = \frac{V}{L} \cdot \frac{L}{5} = \frac{V}{5}$ થાય.
જ્યારે તારની લંબાઈમાં $\frac{L}{2}$ નો વધારો કરવામાં આવે,ત્યારે નવી કુલ લંબાઈ $L' = L + \frac{L}{2} = \frac{3L}{2}$ થાય છે.
નવો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k_2 = \frac{V}{L'} = \frac{V}{3L/2} = \frac{2V}{3L}$ થાય.
ધારો કે નવી સંતુલન લંબાઈ $l_2$ છે. તેથી $E = k_2 l_2$.
$E$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{V}{5} = \frac{2V}{3L} \cdot l_2$.
$l_2$ માટે ઉકેલતા: $l_2 = \frac{V}{5} \cdot \frac{3L}{2V} = \frac{3L}{10}$.

(D) પોટેન્શિયોમીટરમાં,સંતુલન લંબાઈ $\ell$ એ કોષના ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ઓપન સર્કિટ માટે,સંતુલન લંબાઈ $\ell_{1}$ એ કોષના e.m.f. $E$ ને અનુરૂપ છે: $E \propto \ell_{1}$.
જ્યારે કોષને બાહ્ય અવરોધ $R$ સાથે શંટ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V = E - Ir$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I = \frac{E}{R+r}$.
તેથી,$V = E - \left(\frac{E}{R+r}\right)r = E\left(1 - \frac{r}{R+r}\right) = E\left(\frac{R}{R+r}\right)$.
નવી સંતુલન લંબાઈ $\ell_{2}$ એ ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V$ ને અનુરૂપ છે: $V \propto \ell_{2}$.
આપેલ છે કે $\ell_{2} = \frac{\ell_{1}}{2}$,તેથી $\frac{V}{E} = \frac{\ell_{2}}{\ell_{1}} = \frac{1}{2}$.
$V/E$ માટેના સમીકરણને મૂકતા: $\frac{R}{R+r} = \frac{1}{2}$.
$r$ માટે ઉકેલતા: $2R = R + r$,જે આપણને $r = R$ આપે છે.

(C) ધારો કે $I$ એ કુલ પ્રવાહ છે અને $I_g$ એ ગેલ્વેનોમીટર (એમીટર કોઈલ) માંથી પસાર થતો પ્રવાહ છે.
આપેલ છે કે $I_g = 2 \% \text{ of } I = \frac{2}{100} I = \frac{1}{50} I$.
શંટ સર્કિટમાં પ્રવાહ વિભાજનનું સૂત્ર $\frac{I_g}{I} = \frac{S}{S+R}$ છે,જ્યાં $S$ એ શંટ અવરોધ છે અને $R$ એ કોઈલનો અવરોધ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{50} = \frac{S}{S+R}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $S + R = 50S$.
પદોને ગોઠવતા: $R = 50S - S = 49S$.
તેથી,શંટ અવરોધ $S = \frac{R}{49}$ થાય.

(D) કોષનો આંતરિક અવરોધ $(r)$ શોધવા માટેના પોટેન્શિયોમીટરના પ્રયોગમાં,કોષ $E_1$ ને અવરોધ પેટી $R$ સાથે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે.
જ્યારે પરિપથ ખુલ્લો હોય,ત્યારે સંતુલન લંબાઈ $l_1$ એ $EMF$ $(E_1)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $E_1 = k l_1$.
જ્યારે પરિપથ બંધ હોય (અવરોધ $R$ જોડાયેલ હોય),ત્યારે સંતુલન લંબાઈ $l_2$ એ ટર્મિનલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $(V)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $V = k l_2$.
આંતરિક અવરોધનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $r = R \left( \frac{E_1}{V} - 1 \right)$.
અહીં,$E_1$ એ કોષનું $EMF$ છે,$V$ એ ટર્મિનલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે,અને $R$ એ બાહ્ય અવરોધ છે.

(D) તારનો અવરોધ $R$ એ સૂત્ર $R = \rho \frac{L}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ અવરોધકતા છે,$L$ એ તારની લંબાઈ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
ગેલ્વેનોમીટરની કોઈલ ચોક્કસ લંબાઈના તારમાંથી બનેલી હોવાથી,કુલ લંબાઈ $L$ એ આંટાઓની સંખ્યા $N$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(L \propto N)$.
જો આંટાઓની સંખ્યા $N$ ઘટાડવામાં આવે,તો કોઈલમાં વપરાયેલ તારની કુલ લંબાઈ $L$ ઘટે છે.
$R \propto L$ હોવાથી,લંબાઈ $L$ માં ઘટાડો થવાથી ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ $R$ ઘટે છે.

(D) ધારો કે $k$ એ પોટેન્શિયોમીટર વાયરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
જ્યારે કોષો સમાન ધ્રુવીયતા સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે કુલ e.m.f. $(E_{1} + E_{2})$ થાય છે. સંતુલન સ્થિતિ $(E_{1} + E_{2}) = k \ell_{1}$ છે,જ્યાં $\ell_{1} = 64 \ cm$.
જ્યારે $E_{2}$ ની ધ્રુવીયતા ઉલટાવવામાં આવે,ત્યારે કુલ e.m.f. $(E_{1} - E_{2})$ થાય છે. સંતુલન સ્થિતિ $(E_{1} - E_{2}) = k \ell_{2}$ છે,જ્યાં $\ell_{2} = 32 \ cm$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{E_{1} + E_{2}}{E_{1} - E_{2}} = \frac{64}{32} = 2$.
$E_{1} + E_{2} = 2(E_{1} - E_{2})$.
$E_{1} + E_{2} = 2E_{1} - 2E_{2}$.
$3E_{2} = E_{1}$.
તેથી,$\frac{E_{1}}{E_{2}} = 3: 1$.

(A) ધારો કે $I_g$ એ ગેલ્વેનોમીટરનો ફૂલ-સ્કેલ ડિફ્લેક્શન કરંટ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,કુલ અવરોધ $(200 + G)$ છે,તેથી વોલ્ટેજ રેન્જ $V = I_g(200 + G)$ છે.
બીજા કિસ્સા માટે,રેન્જ ત્રણ ગણી થાય છે,તેથી $V' = 3V = I_g(2000 + G)$ છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{3V}{V} = \frac{I_g(2000 + G)}{I_g(200 + G)}$.
$3 = \frac{2000 + G}{200 + G}$.
$3(200 + G) = 2000 + G$.
$600 + 3G = 2000 + G$.
$2G = 1400$.
$G = 700 \Omega$.

(B) આપેલ છે:
પ્રવાહ સંવેદિતા,$S_I = \frac{d\theta}{dI} = 10 \text{ div./mA} = 10 \times 10^3 \text{ div./A}$.
વોલ્ટેજ સંવેદિતા,$S_V = \frac{d\theta}{dV} = 4 \text{ div./mV} = 4 \times 10^3 \text{ div./V}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $V = IR$,તેથી $dV = dI \times R$,જેનો અર્થ છે કે $R = \frac{dV}{dI}$.
વળી,$S_V = \frac{d\theta}{dV} = \frac{d\theta}{dI \cdot R} = \frac{S_I}{R}$.
તેથી,$R = \frac{S_I}{S_V} = \frac{10 \text{ div./mA}}{4 \text{ div./mV}} = \frac{10 \times 10^{-3} \text{ A}^{-1}}{4 \times 10^{-3} \text{ V}^{-1}} = \frac{10}{4} \Omega = 2.5 \Omega$.

(B) કુલ અવરોધ $R_{total} = 495 \, \Omega + 5 \, \Omega = 500 \, \Omega$ છે।
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{4 \, V}{500 \, \Omega} = 8 \times 10^{-3} \, A$ મળે।
પોટેન્શિયોમીટર વાયર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{wire} = I \times R_{wire} = 8 \times 10^{-3} \, A \times 5 \, \Omega = 40 \times 10^{-3} \, V$ થાય।
પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો ઘટાડો છે: $k = \frac{V_{wire}}{L} = \frac{40 \times 10^{-3} \, V}{4 \, m} = 10 \times 10^{-3} \, V/m = 0.01 \, V/m$.

(D) મુવિંગ કોઈલ ગેલ્વેનોમીટરની કોઈલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = nABi \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. નાના ખૂણાઓ માટે,$\sin \theta \approx \theta$. પુનઃસ્થાપક ટોર્ક $\tau_r = C \theta$ છે,જ્યાં $C$ એ સસ્પેન્શન વાયરનો ટોર્શનલ અચળાંક છે.
બંને ટોર્કને સરખાવતા: $C \theta = nABi$.
પ્રવાહ સંવેદનશીલતા $S_i$ ને એકમ પ્રવાહ દીઠ વિચલન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $S_i = \frac{\theta}{i} = \frac{nAB}{C}$.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે સંવેદનશીલતા $S_i$ એ સસ્પેન્શન વાયરના ટોર્શનલ અચળાંક $C$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.

(D) પોટેન્શિયોમીટરના તારનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k$ એ $k = V/L$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ તાર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે અને $L$ એ તારની કુલ લંબાઈ છે.
જ્યારે તારની લંબાઈ બમણી કરવામાં આવે $(L' = 2L)$,ત્યારે પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k' = V/(2L) = k/2$ થાય છે.
અજ્ઞાત e.m.f. $E$ માટે સંતુલન શરત $E = k \cdot l$ છે,જ્યાં $l$ એ સંતુલન લંબાઈ છે.
કારણ કે $E$ અચળ રહે છે,તેથી $k \cdot l = k' \cdot l'$.
$k' = k/2$ મૂકતા,આપણને $k \cdot l = (k/2) \cdot l'$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $l' = 2l$ થાય છે.
પ્રારંભિક સંતુલન લંબાઈ $l = 1.5 \,m$ આપેલ હોવાથી,નવી સંતુલન લંબાઈ $l' = 2 \times 1.5 \,m = 3 \,m$ થશે.

(C) અને $B$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AB} = E_{1}$ છે. નલ પોઈન્ટની લંબાઈ $L_{AB} = 0.9 \ m$ છે.
$V \propto L$ હોવાથી,$E_{1} = k \times 0.9$,જ્યાં $k$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
$A$ અને $C$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{AC} = E_{1} - E_{2}$ છે. નલ પોઈન્ટની લંબાઈ $L_{AC} = 0.3 \ m$ છે.
તેથી,$E_{1} - E_{2} = k \times 0.3$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{E_{1}}{E_{1} - E_{2}} = \frac{0.9}{0.3} = 3$.
$E_{1} = 3(E_{1} - E_{2})$
$E_{1} = 3E_{1} - 3E_{2}$
$3E_{2} = 2E_{1}$
$\frac{E_{2}}{E_{1}} = \frac{2}{3}$.

(B) ગેલ્વેનોમીટરની સંવેદનશીલતા એકમ પ્રવાહ દીઠ ઉત્પન્ન થતા કોણાવર્તન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,એટલે કે $S = \frac{\theta}{I}$.
આપેલ છે કે બંને ગેલ્વેનોમીટર સમાન કોણાવર્તન $\theta$ ઉત્પન્ન કરે છે,તેથી સંવેદનશીલતા જરૂરી પ્રવાહના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $S \propto \frac{1}{I}$.
$G_{1}$ માટે,$I_{1} = 2 \ mA$,તેથી $S_{1} = \frac{\theta}{2 \ mA}$.
$G_{2}$ માટે,$I_{2} = 3 \ mA$,તેથી $S_{2} = \frac{\theta}{3 \ mA}$.
બંનેની સરખામણી કરતા,$I_{1} < I_{2}$ હોવાથી,$S_{1} > S_{2}$ મળે છે.
તેથી,$G_{1}$ એ $G_{2}$ કરતા વધુ સંવેદનશીલ છે.

(A) એમીટરનો અવરોધ $G = 20 \Omega$ છે અને પૂર્ણ-સ્કેલ વિચલન પ્રવાહ $i_g = 1 \text{ mA} = 10^{-3} \text{ A}$ છે.
$16 \Omega$ ના ચાર અવરોધો સમાંતરમાં જોડાયેલા છે. સમતુલ્ય શંટ અવરોધ $S$ નીચે મુજબ મળે: $\frac{1}{S} = \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} \Omega^{-1}$.
તેથી,$S = 4 \Omega$.
એમીટર માટે,શંટ અવરોધ $S$ ને ગેલ્વેનોમીટર $G$ સાથે સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે. માપવાનો કુલ પ્રવાહ $i$ એ ગેલ્વેનોમીટરમાંથી પસાર થતા $i_g$ અને શંટમાંથી પસાર થતા $i_s$ માં વહેંચાય છે.
સમાંતર જોડાણ પરનો વોલ્ટેજ $i_s S = i_g G$ થાય.
$(i - i_g) S = i_g G$.
$(i - 10^{-3}) \times 4 = 10^{-3} \times 20$.
$i - 10^{-3} = \frac{20 \times 10^{-3}}{4} = 5 \times 10^{-3}$.
$i = 5 \times 10^{-3} + 1 \times 10^{-3} = 6 \times 10^{-3} \text{ A} = 6 \text{ mA}$.

(C) પોટેન્શિયોમીટર તારનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k$ એ કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ અને તારની કુલ લંબાઈ $L$ ના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે।
$k = \frac{V}{L} = \frac{3 \,V}{4 \,m} = 0.75 \,V/m$.
આપણને આપેલ છે કે કોષ $l = 100 \,cm = 1 \,m$ લંબાઈ પર સંતુલિત થાય છે।
કોષનું e.m.f. $E$ એ સંતુલન લંબાઈ $l$ પરના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના ઘટાડા જેટલું હોય છે, જે $E = k \times l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
કિંમતો મૂકતા, આપણને મળે છે $E = 0.75 \,V/m \times 1 \,m = 0.75 \,V$.

(C) મુવિંગ કોઈલ ગેલ્વેનોમીટરને એમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,ગેલ્વેનોમીટર $(G)$ સાથે સમાંતરમાં એક નાનો અવરોધ જેને શંટ $(S)$ કહેવાય છે,તે જોડવામાં આવે છે.
એમીટરનો સમતુલ્ય અવરોધ $(R)$ એ $G$ અને $S$ નું સમાંતર જોડાણ છે.
સમાંતર અવરોધ માટેનું સૂત્ર:
$\frac{1}{R} = \frac{1}{G} + \frac{1}{S}$
સામાન્ય છેદ લેતા:
$\frac{1}{R} = \frac{S + G}{GS}$
તેથી,એમીટરનો અવરોધ:
$R = \frac{GS}{G + S}$
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચું સૂત્ર $\frac{SG}{S+G}$ છે,જે વિકલ્પ $(C)$ ને અનુરૂપ છે.

(D) સીધું વાંચન આપતું સાધન (direct reading instrument) માપવામાં આવતી રાશિનું મૂલ્ય કોઈપણ ગણતરી કે સંતુલન પ્રક્રિયા વગર સીધું જ સ્કેલ અથવા ડિસ્પ્લે પર દર્શાવે છે.
$A$,$B$,અને $C$ એ સીધું વાંચન આપતા સાધનો છે કારણ કે તે પરિણામ તરત જ દર્શાવે છે.
પોટેન્શિયોમીટર એ નલ-ટાઈપ (null-type) સાધન છે. તેમાં વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત અથવા $EMF$ માપવા માટે સંતુલન પ્રક્રિયા (નલ પોઈન્ટ શોધવો) જરૂરી છે,અને અંતિમ મૂલ્ય સંતુલન લંબાઈના આધારે ગણવામાં આવે છે.
તેથી,પોટેન્શિયોમીટર એ સીધું વાંચન આપતું સાધન નથી.
સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R_{wire} + R_{series} + r_{internal} = 3 \ \Omega + 8 \ \Omega + 1 \ \Omega = 12 \ \Omega$ છે.
પોટેન્શિયોમીટરના તારમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{4 \ V}{12 \ \Omega} = \frac{1}{3} \ A$ છે.
પોટેન્શિયોમીટરના તાર પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{wire} = I \times R_{wire} = \frac{1}{3} \ A \times 3 \ \Omega = 1 \ V$ છે.
તારનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $K = \frac{V_{wire}}{L} = \frac{1 \ V}{100 \ cm} = 0.01 \ V/cm$ છે.
$50 \ cm$ લંબાઈ પર સંતુલિત થતા કોષનું e.m.f. $E = K \times \ell = 0.01 \ V/cm \times 50 \ cm = 0.50 \ V$ થાય.

(D) પ્રવાહ સંવેદિતા $I_{s} = \frac{NBA}{k}$.
વોલ્ટેજ સંવેદિતા $V_{s} = \frac{I_{s}}{R} = \frac{NBA}{kR}$.
અહીં $k_{1} = k_{2} = k$ આપેલ છે.
પ્રવાહ સંવેદિતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{s2}}{I_{s1}} = \frac{N_{2}B_{2}A_{2}}{N_{1}B_{1}A_{1}} = \frac{42 \times 0.50 \times 1.8 \times 10^{-2}}{30 \times 0.25 \times 3.6 \times 10^{-3}} = \frac{37.8 \times 10^{-2}}{27 \times 10^{-3}} = 1.4$.
વોલ્ટેજ સંવેદિતાનો ગુણોત્તર $\frac{V_{s2}}{V_{s1}} = \frac{I_{s2}}{I_{s1}} \times \frac{R_{1}}{R_{2}} = 1.4 \times \frac{10}{14} = 1.4 \times \frac{1}{1.4} = 1$.
આમ,ગુણોત્તર $1.4: 1$ અને $1: 1$ મળે છે.

(D) પોટેન્શિયોમીટર સર્કિટમાં,જ્યારે બે કોષો એકબીજાને મદદરૂપ થાય તે રીતે જોડાયેલા હોય,ત્યારે સંતુલન લંબાઈ $\ell_{1}$ એ $(E_{1} + E_{2})$ ના પ્રમાણમાં હોય છે. તેથી,$E_{1} + E_{2} = k \ell_{1}$,જ્યાં $k$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
જ્યારે તેઓ એકબીજાની વિરુદ્ધમાં જોડાયેલા હોય,ત્યારે સંતુલન લંબાઈ $\ell_{2}$ એ $(E_{1} - E_{2})$ ના પ્રમાણમાં હોય છે. તેથી,$E_{1} - E_{2} = k \ell_{2}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{E_{1} + E_{2}}{E_{1} - E_{2}} = \frac{\ell_{1}}{\ell_{2}}$.
આપેલ કિંમતો $\ell_{1} = 490 \ cm$ અને $\ell_{2} = 90 \ cm$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{E_{1} + E_{2}}{E_{1} - E_{2}} = \frac{490}{90} = \frac{49}{9}$.
યોગ-વિયોગની રીત (componendo and dividendo) વાપરતા:
$\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{49 + 9}{49 - 9} = \frac{58}{40} = 1.45$.

(A) ગેલ્વેનોમીટરની સંવેદનશીલતા $S$ ને એકમ પ્રવાહ દીઠ આવર્તન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે $S = \frac{\theta}{I}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં બંને ગેલ્વેનોમીટર સમાન આવર્તન $\theta = 20$ કાપા ઉત્પન્ન કરે છે.
ગેલ્વેનોમીટર $A$ માટે,$S_{A} = \frac{\theta}{I_{A}} = \frac{20}{4 \ mA} = 5 \ \text{div/mA}$.
ગેલ્વેનોમીટર $B$ માટે,$S_{B} = \frac{\theta}{I_{B}} = \frac{20}{7 \ mA} \approx 2.86 \ \text{div/mA}$.
બંનેની સરખામણી કરતા,$S_{A} > S_{B}$ મળે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,અચળ આવર્તન માટે $S \propto \frac{1}{I}$ હોવાથી,$\frac{S_{A}}{S_{B}} = \frac{I_{B}}{I_{A}} = \frac{7}{4} = 1.75$.
આમ,$S_{A} = 1.75 S_{B}$,જે સૂચવે છે કે $S_{A} > S_{B}$.

(A) મિલિએમીટરને વોલ્ટમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,તેની સાથે શ્રેણીમાં એક મોટો અવરોધ $R$ જોડવો પડે છે.
આપેલ છે:
મિલિએમીટરનો અવરોધ,$G = 40 \Omega$
ફુલ-સ્કેલ ડિફ્લેક્શન પ્રવાહ,$I_g = 30 \text{ mA} = 30 \times 10^{-3} \text{ A} = 0.03 \text{ A}$
જરૂરી વોલ્ટેજ રેન્જ,$V = 15 \text{ V}$
શ્રેણી અવરોધ $R$ માટેનું સૂત્ર:
$R = \frac{V}{I_g} - G$
કિંમતો મૂકતા:
$R = \frac{15}{30 \times 10^{-3}} - 40$
$R = \frac{15}{0.03} - 40$
$R = 500 - 40$
$R = 460 \Omega$
તેથી,શ્રેણીમાં $460 \Omega$ નો અવરોધ જોડવો જોઈએ.