MHT CET 2020 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) શિરોલંબ વર્તુળના સૌથી ઉપરના બિંદુએ ડોલમાંથી પાણી નીચે ન પડે તે માટે,કેન્દ્રગામી બળ એ પાણી પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જેટલું અથવા તેનાથી વધુ હોવું જોઈએ.
સૌથી ઉપરના બિંદુએ,પાણી ડોલમાં રહે તે માટેની શરત $m \omega^2 r \geq mg$ છે.
લઘુત્તમ કોણીય વેગ $\omega$ માટે $m \omega^2 r = mg$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $\omega = \sqrt{\frac{g}{r}}$ મળે છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ અને આવૃત્તિ $f$ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = 2 \pi f$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ કે $2 \pi f = \sqrt{\frac{g}{r}}$.
તેથી,પરિભ્રમણની લઘુત્તમ આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{r}}$ છે.

(D) જ્યારે પ્રવાહી ધરાવતા નળાકાર પાત્રને તેની ઉર્ધ્વ અક્ષની આસપાસ $\omega$ કોણીય ઝડપે ફેરવવામાં આવે છે,ત્યારે અક્ષથી $r$ અંતરે રહેલા પ્રવાહીના કણો $v = r\omega$ જેટલા રેખીય વેગ સાથે ફરે છે.
ભ્રમણ કરતા સંદર્ભ ફ્રેમમાં બર્નુલીના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા,અક્ષથી $r$ અંતરે આવેલા બિંદુ પર અસરકારક દબાણ $P(r) = P_0 + \frac{1}{2}\rho r^2 \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $P_0$ એ કેન્દ્ર $(r=0)$ પરનું દબાણ છે.
પાત્રની ધાર પર,$r = R$ હોવાથી,દબાણ $P_R = P_0 + \frac{1}{2}\rho R^2 \omega^2$ થશે.
ધાર અને કેન્દ્ર વચ્ચેના દબાણનો તફાવત $\Delta P = P_R - P_0 = \frac{1}{2}\rho R^2 \omega^2$ છે.
આ દબાણનો તફાવત પ્રવાહી સ્તંભની ઊંચાઈના તફાવત $h$ ને કારણે ઉદ્ભવતા હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણના તફાવત દ્વારા સંતુલિત થાય છે,જે $\Delta P = \rho g h$ છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\rho g h = \frac{1}{2}\rho R^2 \omega^2$.
$h$ માટે ઉકેલતા,આપણને $h = \frac{R^2 \omega^2}{2g}$ મળે છે.

(C) સંકોચનક્ષમતા $\beta$ એ બલ્ક મોડ્યુલસ $K$ ના વ્યસ્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,એટલે કે $\beta = \frac{1}{K}$.
આપેલ છે:
સંકોચનક્ષમતા $\beta = 5 \times 10^{-10} \ m^2/N$
દબાણમાં ફેરફાર $\Delta P = 15 \times 10^6 \ Pa$
પ્રારંભિક કદ $V = 100 \ ml$
કદ વિકૃતિ (volumetric strain) માટેનું સૂત્ર $\frac{\Delta V}{V} = -\beta \Delta P$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta V}{100 \ ml} = -(5 \times 10^{-10} \ m^2/N) \times (15 \times 10^6 \ Pa)$
$\frac{\Delta V}{100 \ ml} = -75 \times 10^{-4} = -0.0075$
$\Delta V = -0.0075 \times 100 \ ml = -0.75 \ ml$.
ઋણ નિશાની કદમાં ઘટાડો સૂચવે છે.
તેથી,કદમાં થતો ફેરફાર $0.75 \ ml$ નો ઘટાડો છે.

(A) $h$ ઊંડાઈએ નિરપેક્ષ દબાણ $P$ શોધવાનું સૂત્ર: $P = P_{atm} + \rho gh$ છે.
આપેલ કિંમતો: $h = 1 \,km = 1000 \,m$,$\rho = 10^{3} \,kg/m^{3}$,$g = 10 \,m/s^{2}$,અને $P_{atm} = 1.01 \times 10^{5} \,N/m^{2}$.
ગેજ દબાણ (પાણીના સ્તંભને કારણે દબાણ) ની ગણતરી: $P_{gauge} = \rho gh = 10^{3} \times 10 \times 1000 = 10^{7} \,N/m^{2}$.
હવે,વાતાવરણીય દબાણ ઉમેરતા: $P = 1.01 \times 10^{5} + 10^{7} = 0.0101 \times 10^{7} + 10^{7} = 1.0101 \times 10^{7} \,N/m^{2}$.
યોગ્ય સાર્થક અંકો સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $P \approx 1.011 \times 10^{7} \,N/m^{2}$ મળે છે.

(C) $T$ પૃષ્ઠતાણ ધરાવતા પ્રવાહીની સપાટી પરથી $L$ લંબાઈના તારને ખેંચવા માટે જરૂરી બળનું સૂત્ર $F = 2TL$ છે.
અહીં $2$ નો ગુણાંક લેવામાં આવે છે કારણ કે પાણીની સપાટી તારની બંને બાજુએ સંપર્કમાં હોય છે.
આપેલ છે: $L = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ અને $T = 75 \times 10^{-3} \text{ N/m}$.
કિંમતો મૂકતા: $F = 2 \times (75 \times 10^{-3} \text{ N/m}) \times (0.1 \text{ m})$.
$F = 2 \times 75 \times 10^{-4} \text{ N} = 150 \times 10^{-4} \text{ N} = 1.5 \times 10^{-2} \text{ N}$.

(A) ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R'$ છે. કદ અચળ રહેતું હોવાથી,મોટા ટીપાનું કદ એ બે નાના ટીપાંના કદના સરવાળા જેટલું થાય:
$\frac{4}{3} \pi R'^3 = 2 \times \frac{4}{3} \pi R^3$
$R'^3 = 2 R^3 \implies R' = 2^{1/3} R$
ફેરફાર પહેલાંની કુલ પૃષ્ઠ ઊર્જા $(E_i)$ = $2 \times (4 \pi R^2 T)$,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
ફેરફાર પછીની કુલ પૃષ્ઠ ઊર્જા $(E_f)$ = $4 \pi R'^2 T$.
પૃષ્ઠ ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_i}{E_f} = \frac{2 \times 4 \pi R^2 T}{4 \pi R'^2 T} = \frac{2 R^2}{R'^2}$ છે.
$R' = 2^{1/3} R$ કિંમત મૂકતા:
ગુણોત્તર = $\frac{2 R^2}{(2^{1/3} R)^2} = \frac{2 R^2}{2^{2/3} R^2} = 2^{1 - 2/3} = 2^{1/3}$.
આમ,ગુણોત્તર $2^{1/3} : 1$ છે.

(C) સમતાપી પરિસ્થિતિમાં,તાપમાન અને પૃષ્ઠતાણ $T$ અચળ રહે છે. જ્યારે બે સાબુના પરપોટા જોડાઈને એક મોટો પરપોટો બનાવે છે,ત્યારે કુલ પૃષ્ઠ ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે. સાબુના પરપોટાને બે સપાટી હોય છે,તેથી તેની પૃષ્ઠ ઉર્જા $U = 2 \times (4\pi r^{2}T) = 8\pi r^{2}T$ થાય છે.
પ્રારંભિક અને અંતિમ પૃષ્ઠ ઉર્જાને સરખાવતા: $8\pi r^{2}T = 8\pi r_{1}^{2}T + 8\pi r_{2}^{2}T$.
$8\pi T$ વડે ભાગતા,આપણને $r^{2} = r_{1}^{2} + r_{2}^{2}$ મળે છે.
તેથી,મોટા પરપોટાની ત્રિજ્યા $r = (r_{1}^{2} + r_{2}^{2})^{1/2}$ થાય છે.

(C) ટીપાંના વિભાજનની પ્રક્રિયા દરમિયાન પારાનું કુલ કદ અચળ રહે છે.
મોટા ટીપાનું કદ = $n \times$ એક નાના ટીપાનું કદ.
$\frac{4}{3} \pi R^{3} = n \times \frac{4}{3} \pi r^{3}$
બંને બાજુથી $\frac{4}{3} \pi$ દૂર કરતા,આપણને મળે છે:
$R^{3} = n r^{3}$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$R = n^{\frac{1}{3}} r$
તેથી,દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા:
$r = \frac{R}{n^{\frac{1}{3}}}$

(A) કેશનળીમાં પ્રવાહીની ઊંચાઈ $h$ નું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે, જ્યાં $r$ એ નળીની ત્રિજ્યા છે.
આનો અર્થ એ છે કે $h \propto \frac{1}{r}$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી, $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$ થાય, જેનો અર્થ છે કે $r \propto \sqrt{A}$.
આ સંબંધને પ્રમાણસરતામાં મૂકતા, આપણને $h \propto \frac{1}{\sqrt{A}}$ મળે છે.
અહીં $A_1 = A$ માટે $h_1 = 15 \,mm = 15 \times 10^{-3} \,m$ આપેલ છે.
નવા ક્ષેત્રફળ $A_2 = A / 3$ માટે, ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = 3$ થાય છે.
સંબંધ $\frac{h_2}{h_1} = \sqrt{\frac{A_1}{A_2}}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $\frac{h_2}{h_1} = \sqrt{3}$ મળે છે.
તેથી, $h_2 = h_1 \times \sqrt{3} = 15 \times 10^{-3} \times \sqrt{3} \,m = 15 \sqrt{3} \times 10^{-3} \,m$.

(D) કેશ નળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર: $h = \frac{2 T \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ છે કે $h \propto \frac{1}{g}$.
જ્યારે લિફ્ટ '$a$' જેટલા પ્રવેગ સાથે નીચે તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g - a$ થાય છે.
અહીં '$a < g$' હોવાથી,અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ $g_{eff}$ એ વાસ્તવિક ગુરુત્વાકર્ષણ '$g$' કરતા ઓછું હોય છે.
જેમ કે $g_{eff} < g$,તેથી '$h$' નું મૂલ્ય વધે છે કારણ કે '$h$' એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.

(B) ધારો કે $r$ ત્રિજ્યાના $n$ નાના ટીપાં જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યાનું મોટું ટીપું બનાવે છે. અહીં,$n = 2$ છે.
કદના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $n \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$.
$n = 2$ મૂકતા: $2r^3 = R^3$,જે આપણને $R = 2^{1/3} r$ આપે છે.
પૃષ્ઠ ઉર્જા $E$ એ $E = T \times A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $A$ એ પૃષ્ઠફળ છે.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઉર્જા $E_1 = n \times (4 \pi r^2 T) = 2 \times 4 \pi r^2 T = 8 \pi r^2 T$.
અંતિમ પૃષ્ઠ ઉર્જા $E_2 = 4 \pi R^2 T = 4 \pi (2^{1/3} r)^2 T = 4 \pi (2^{2/3} r^2) T = 4 \times 2^{2/3} \pi r^2 T$.
ફેરફાર પછી અને પહેલાની કુલ પૃષ્ઠ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_2}{E_1} = \frac{4 \times 2^{2/3} \pi r^2 T}{8 \pi r^2 T} = \frac{2^{2/3}}{2} = 2^{2/3 - 1} = 2^{-1/3}$.
આમ,ગુણોત્તર $2^{-1/3} : 1$ છે.

(C) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાકાર ટીપાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $p = \frac{2T}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ ટીપાનું વધારાનું દબાણ બીજા ટીપા કરતા ત્રણ ગણું છે,તેથી $p_1 = 3p_2$.
વધારાના દબાણના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{2T}{r_1} = 3 \times \frac{2T}{r_2}$.
આ સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{r_1} = \frac{3}{r_2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $r_2 = 3r_1$ અથવા $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{3}$.
ગોળાકાર ટીપાનું પૃષ્ઠફળ $A = 4\pi r^2$ છે.
તેમના પૃષ્ઠફળનો ગુણોત્તર $\frac{A_1}{A_2} = \frac{4\pi r_1^2}{4\pi r_2^2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$ થાય.
ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર મૂકતા: $\frac{A_1}{A_2} = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$.

(D) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાની અંદરનું વધારાનું દબાણ $P = \frac{4T}{R}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ સાબુના દ્રાવણનું પૃષ્ઠતાણ છે.
આપેલ છે કે પ્રથમ પરપોટામાં વધારાનું દબાણ $(P_{1})$ એ બીજા પરપોટા $(P_{2})$ કરતા બમણું છે,તેથી $P_{1} = 2P_{2}$.
વધારાના દબાણનું સૂત્ર મૂકતા: $\frac{4T}{R_{1}} = 2 \times \frac{4T}{R_{2}}$.
આને સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{1}{R_{1}} = \frac{2}{R_{2}}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{R_{2}}{R_{1}} = 2$ અથવા $R_{2} = 2R_{1}$.
ગોળાકાર પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^{3}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કદનો ગુણોત્તર $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{\frac{4}{3} \pi R_{1}^{3}}{\frac{4}{3} \pi R_{2}^{3}} = \left( \frac{R_{1}}{R_{2}} \right)^{3}$ થાય.
કારણ કે $\frac{R_{1}}{R_{2}} = \frac{1}{2}$,તેથી કદનો ગુણોત્તર $\left( \frac{1}{2} \right)^{3} = \frac{1}{8}$ થાય.

(C) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$1000$ નાના ટીપાંનું કદ મોટા ટીપાના કદ જેટલું થાય: $1000 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $R^3 = 1000 r^3$,તેથી $R = 10r$ મળે.
$1000$ નાના ટીપાંની પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઉર્જા $U_i = 1000 \times (4 \pi r^2 T)$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
મોટા ટીપાની અંતિમ પૃષ્ઠ ઉર્જા $U_f = 4 \pi R^2 T$ છે.
$R = 10r$ મૂકતા,$U_f = 4 \pi (10r)^2 T = 400 \pi r^2 T$ મળે.
અંતિમ પૃષ્ઠ ઉર્જા અને પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{U_f}{U_i} = \frac{400 \pi r^2 T}{1000 \times 4 \pi r^2 T} = \frac{400}{4000} = \frac{1}{10}$ થાય.

(B) કેશનળીમાં પ્રવાહીના સ્તંભની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
આ સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે $h \propto \frac{1}{g}$.
તેથી,ઊંચાઈનો ગુણોત્તર $\frac{h_{1}}{h_{2}} = \frac{g_{2}}{g_{1}}$ થાય.
પૃથ્વીની સપાટીથી $d$ ઊંડાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગનું મૂલ્ય $g_{2} = g_{1} \left(1 - \frac{d}{R}\right)$ મળે છે,જ્યાં $g_{1}$ એ સપાટી પરનો ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા,$\frac{h_{1}}{h_{2}} = \frac{g_{1}(1 - d/R)}{g_{1}} = 1 - \frac{d}{R}$ મળે છે.

(D) જ્યારે બે પારાના ટીપાં જોડાઈને એક મોટું ટીપું બનાવે છે,ત્યારે પારાનું કુલ કદ જળવાઈ રહે છે.
ધારો કે $R$ એ પરિણામી મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા છે.
પ્રથમ ટીપાનું કદ $V_{1} = \frac{4}{3} \pi R_{1}^{3}$ છે.
બીજા ટીપાનું કદ $V_{2} = \frac{4}{3} \pi R_{2}^{3}$ છે.
પરિણામી ટીપાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^{3}$ છે.
કુલ કદ જળવાઈ રહેતું હોવાથી,$V = V_{1} + V_{2}$.
$\frac{4}{3} \pi R^{3} = \frac{4}{3} \pi R_{1}^{3} + \frac{4}{3} \pi R_{2}^{3}$.
બંને બાજુથી $\frac{4}{3} \pi$ દૂર કરતા,આપણને $R^{3} = R_{1}^{3} + R_{2}^{3}$ મળે છે.
તેથી,$R = (R_{1}^{3} + R_{2}^{3})^{\frac{1}{3}}$.

(A) પ્રભાવનો ગોળો (sphere of influence) એ અણુની ત્રિજ્યા જેટલી ત્રિજ્યા ધરાવતો ગોળો છે,જેનું કેન્દ્ર ચોક્કસ અણુ પર હોય છે.
આ ગોળાની અંદર,કેન્દ્રમાં રહેલો અણુ ગોળાની અંદર હાજર રહેલા અન્ય તમામ અણુઓ દ્વારા આકર્ષક આંતર-આણ્વીય બળો અનુભવે છે.
ગોળો અણુ પર કેન્દ્રિત હોવાથી,આસપાસના અણુઓનું વિતરણ સપ્રમાણ હોય છે,જેના પરિણામે કેન્દ્રના અણુ પર લાગતું ચોખ્ખું બળ શૂન્ય થાય છે.
જોકે,આ આંતરક્રિયા પોતે પ્રભાવના ગોળામાં રહેલા અન્ય અણુઓ દ્વારા લગાડવામાં આવતું આકર્ષણ બળ છે.

(B) કેશળીમાં પ્રવાહીની ઊંચાઈ $h$ નું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે, જ્યાં $r$ એ નળીની ત્રિજ્યા છે।
અહીં $h \propto \frac{1}{r}$ છે, અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી $r = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$, એટલે કે $r \propto \sqrt{A}$.
તેથી, $h \propto \frac{1}{\sqrt{A}}$, અથવા $h_1 \sqrt{A_1} = h_2 \sqrt{A_2}$.
આપેલ છે કે $h_1 = 2.2 \text{ cm}$ અને $A_2 = \frac{1}{4} A_1$, તેથી $\sqrt{A_2} = \frac{1}{2} \sqrt{A_1}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $2.2 \times \sqrt{A_1} = h_2 \times \frac{1}{2} \sqrt{A_1}$.
$h_2$ માટે ગણતરી કરતા: $h_2 = 2.2 \times 2 = 4.4 \text{ cm}$.

(A) કેશિકા નળીમાં પ્રવાહીની ઊંચાઈ $h$ નું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે, જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ, $\theta$ એ સંપર્કકોણ, $r$ એ નળીની ત્રિજ્યા, $\rho$ એ ઘનતા અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે。
આના પરથી, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $h \propto \frac{1}{r}$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ છે, જેનો અર્થ છે કે $r \propto \sqrt{A}$.
આ સંબંધને ઊંચાઈના સૂત્રમાં મૂકતા, આપણને $h \propto \frac{1}{\sqrt{A}}$ મળે છે, અથવા $h_1 \sqrt{A_1} = h_2 \sqrt{A_2}$.
અહીં $h_1 = 3 \,cm$ અને $A_2 = \frac{1}{9} A_1$ આપેલ છે, તેથી $\sqrt{A_2} = \frac{1}{3} \sqrt{A_1}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $3 \times \sqrt{A_1} = h_2 \times \frac{1}{3} \sqrt{A_1}$.
$h_2$ માટે ઉકેલતા: $h_2 = 3 \times 3 = 9 \,cm$.

(C) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પ્રવાહીના ટીપાંની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P = \frac{2T}{r} = 9$ એકમ છે.
ધારો કે નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાંની ત્રિજ્યા $R$ છે.
જ્યારે $27$ નાના ટીપાં જોડાઈને એક મોટું ટીપું બનાવે છે, ત્યારે કદ સંરક્ષિત રહે છે:
$27 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$27 r^3 = R^3$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા, આપણને $R = 3r$ મળે છે.
મોટા ટીપાંની અંદરનું વધારાનું દબાણ $\Delta P' = \frac{2T}{R} = \frac{2T}{3r}$ થશે.
કારણ કે $\frac{2T}{r} = 9$ છે, તેથી કિંમત મૂકતા:
$\Delta P' = \frac{9}{3} = 3$ એકમ.

(A) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે. પારોનું કદ અચળ રહેતું હોવાથી,મોટા ટીપાનું કદ એ બે નાના ટીપાંના કદના સરવાળા જેટલું થાય:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 2 \times \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right)$
$R^3 = 2r^3 \implies R = 2^{1/3} r$
બે નાના ટીપાંની પ્રારંભિક કુલ પૃષ્ઠ ઊર્જા $E_i$:
$E_i = 2 \times (4 \pi r^2 T) = 8 \pi r^2 T$
એક મોટા ટીપાની અંતિમ પૃષ્ઠ ઊર્જા $E_f$:
$E_f = 4 \pi R^2 T = 4 \pi (2^{1/3} r)^2 T = 4 \pi (2^{2/3} r^2) T = 4 \times 2^{2/3} \pi r^2 T$
ફેરફાર પહેલાં અને પછીની કુલ પૃષ્ઠ ઊર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{E_i}{E_f} = \frac{8 \pi r^2 T}{4 \times 2^{2/3} \pi r^2 T} = \frac{2}{2^{2/3}} = 2^{1 - 2/3} = 2^{1/3} = 2^{1/3} : 1$

(A) કેશિકા નળીમાં પાણીની ઊંચાઈનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
અહીં $T, \theta, \rho,$ અને $g$ અચળ હોવાથી,$h \propto \frac{1}{r}$,એટલે કે $hr = \text{અચળ}$.
$r_1 = r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી કેશિકા માટે ઊંચાઈ $h_1 = h$ છે. $r_2 = \frac{r}{4}$ ત્રિજ્યા ધરાવતી કેશિકા માટે નવી ઊંચાઈ $h_2$ શોધતા: $h_1 r_1 = h_2 r_2$.
$h \times r = h_2 \times \frac{r}{4} \implies h_2 = 4h$.
કેશિકામાં રહેલા પાણીનું દળ $m = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = (\pi r^2 h) \rho$ છે.
નવી કેશિકા માટે દળ $m'$ ગણતા: $m' = \pi (r_2)^2 h_2 \rho$.
$r_2 = \frac{r}{4}$ અને $h_2 = 4h$ મૂકતા:
$m' = \pi \left(\frac{r}{4}\right)^2 (4h) \rho = \pi \left(\frac{r^2}{16}\right) (4h) \rho = \frac{1}{4} (\pi r^2 h \rho) = \frac{m}{4}$.

(B) સાબુની ફિલ્મની બે સપાટીઓ હોય છે: એક આગળની તરફ અને એક પાછળની તરફ.
જ્યારે $L$ બાજુવાળી ચોરસ ફ્રેમને સાબુના દ્રાવણમાં ડુબાડવામાં આવે છે, ત્યારે ફ્રેમ પર એક ફિલ્મ બને છે.
ફ્રેમની સીમાની કુલ લંબાઈ $P = 4L$ છે.
ફિલ્મને બે સપાટીઓ હોવાથી, ફ્રેમના સંપર્કમાં રહેલી ફિલ્મની કુલ લંબાઈ $2 \times 4L = 8L$ થાય છે.
પૃષ્ઠતાણ $T$ ને કારણે લાગતું બળ $F = T \times (\text{કુલ લંબાઈ})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી, $F = T \times 8L = 8TL$.

(C) સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે. $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાને ફુલાવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = \text{પૃષ્ઠતાણ} \times \text{સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર} \times 2$.
$W = T \times (4 \pi R^2) \times 2 = 8 \pi R^2 T$.
$2R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પરપોટા માટે, કરવામાં આવતું કાર્ય $W'$ છે:
$W' = T \times (4 \pi (2R)^2) \times 2 = 8 \pi (4R^2) T = 32 \pi R^2 T$.
$W'$ ની $W$ સાથે સરખામણી કરતા:
$W' = 4 \times (8 \pi R^2 T) = 4W$.

(C) તારની લંબાઈ $l = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ છે.
અંતરમાં થતો વધારો $\Delta x = 1 \text{ mm} = 10^{-3} \text{ m}$ છે.
પાણીના પડને બે સપાટી હોય છે,તેથી ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = 2 \times (l \times \Delta x)$ દ્વારા મળે છે.
$\Delta A = 2 \times (0.1 \text{ m} \times 10^{-3} \text{ m}) = 2 \times 10^{-4} \text{ m}^2$.
થયેલું કાર્ય $W = T \times \Delta A$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
$W = (7.2 \times 10^{-2} \text{ N/m}) \times (2 \times 10^{-4} \text{ m}^2) = 14.4 \times 10^{-6} \text{ J} = 1.44 \times 10^{-5} \text{ J}$.

(A) સાબુ એક સર્ફેક્ટન્ટ તરીકે કાર્ય કરે છે,જે પાણીના પૃષ્ઠતાણને ઘટાડે છે.
પૃષ્ઠતાણ ઘટાડવાથી,સાબુનું દ્રાવણ કપડાંના રેસામાં વધુ સરળતાથી પ્રવેશી શકે છે.
આ દ્રાવણને ગંદકી અને તેલના કણોને કાપડમાંથી દૂર કરવામાં મદદ કરે છે,જેનાથી સફાઈ પ્રક્રિયા અસરકારક બને છે.
તેથી,સાચું કારણ એ છે કે દ્રાવણનું પૃષ્ઠતાણ ઘટે છે.

(B) સાબુના દ્રાવણનું પૃષ્ઠતાણ $T = 3 \times 10^{-2} \,N/m$ છે।
ફિલ્મનું ક્ષેત્રફળ $A = 20 \,cm \times 5 \,cm = 100 \,cm^2 = 100 \times 10^{-4} \,m^2 = 10^{-2} \,m^2$ છે।
સાબુની ફિલ્મની બે સપાટીઓ હોય છે, તેથી કુલ સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો વધારો $2A$ છે।
કાર્ય $W = T \times (2A)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
કિંમતો મૂકતા: $W = 3 \times 10^{-2} \times 2 \times 10^{-2} = 6 \times 10^{-4} \,J$.

(D) કેશ નળીમાં પ્રવાહી જે ઊંચાઈ $h$ સુધી ચઢે છે તેનું સૂત્ર $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
આ સંબંધ પરથી જોઈ શકાય છે કે $h \propto \frac{1}{g}$.
જ્યારે લિફ્ટ $a$ જેટલા પ્રવેગ સાથે નીચે જાય છે,ત્યારે અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = g - a$ થાય છે. $g' < g$ હોવાથી $h$ વધશે.
જોકે,પૃથ્વીની આસપાસ ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહમાં અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ શૂન્ય $(0)$ થઈ જાય છે (ભારહીનતાની સ્થિતિ). જેમ $g' \to 0$ થાય,તેમ $h \to \infty$ થાય છે. તેથી,અન્ય વિકલ્પોની સરખામણીમાં ઉપગ્રહમાં $h$ નું મૂલ્ય સૌથી વધુ વધશે.

(D) સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે. પૃષ્ઠફળમાં ફેરફાર કરવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = T \times \Delta A \times 2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક વ્યાસ $D_1 = D$, તેથી પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1 = D/2$. પ્રારંભિક પૃષ્ઠફળ $A_1 = 4 \pi r_1^2 = 4 \pi (D/2)^2 = \pi D^2$.
અંતિમ વ્યાસ $D_2 = 2D$, તેથી અંતિમ ત્રિજ્યા $r_2 = D$. અંતિમ પૃષ્ઠફળ $A_2 = 4 \pi r_2^2 = 4 \pi D^2$.
ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર $\Delta A = A_2 - A_1 = 4 \pi D^2 - \pi D^2 = 3 \pi D^2$.
પરપોટાને બે સપાટીઓ હોવાથી, ક્ષેત્રફળમાં કુલ ફેરફાર $2 \times \Delta A = 2 \times 3 \pi D^2 = 6 \pi D^2$ થાય.
તેથી, કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = T \times 6 \pi D^2 = 6 \pi TD^2$ છે.

(D) કેશનળીમાં પ્રવાહી જે ઊંચાઈ $h$ સુધી ચઢે છે તેનું સૂત્ર: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
અહીં $T$,$\theta$,$\rho$ અને $g$ અચળ હોવાથી,$h \propto \frac{1}{r}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $h_{1} r_{1} = h_{2} r_{2}$.
આપેલ છે કે $h_{1} = h$,$r_{1} = r$,અને $r_{2} = \frac{r}{3}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $h \cdot r = h_{2} \cdot \frac{r}{3}$.
તેથી,$h_{2} = 3h$.

(D) કેશનળીમાં પ્રવાહીના ઉપર ચઢવાની ઊંચાઈનું સૂત્ર: $h = \frac{2 T \cos \theta}{r \rho g}$ છે.
સંપર્કકોણ માટે સૂત્રને ગોઠવતા: $\cos \theta = \frac{h r \rho g}{2 T}$ મળે છે.
અહીં,$h$ (ઊંચાઈ),$r$ (ત્રિજ્યા),અને $T$ (પૃષ્ઠતાણ) ત્રણેય પ્રવાહી માટે અચળ છે.
તેથી,$\cos \theta \propto \rho$ થાય.
આપેલ છે કે ઘનતા $\varrho_{1} > \varrho_{2} > \varrho_{3}$ છે,તેથી $\cos \theta_{1} > \cos \theta_{2} > \cos \theta_{3}$ મળે.
કોસાઈન વિધેય $0$ થી $\frac{\pi}{2}$ ની વચ્ચે ઘટતું વિધેય હોવાથી,મોટી કોસાઈન કિંમત નાના ખૂણાને અનુરૂપ છે.
તેથી,$\theta_{1} < \theta_{2} < \theta_{3}$ થાય.

(C) સ્નિગ્ધ માધ્યમમાં પડતા ગોળાકાર પદાર્થનો ટર્મિનલ વેગ $v_{t}$ સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ $v_{t} = \frac{2r^{2}(\rho - \sigma)g}{9\eta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં ટીપાંની ઘનતા $\rho$,હવાની ઘનતા $\sigma$,ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ અને સ્નિગ્ધતા ગુણાંક $\eta$ બંને ટીપાં માટે અચળ હોવાથી,$v_{t} \propto r^{2}$ થાય છે.
આપેલ ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_{1}}{r_{2}} = \frac{1}{2}$ છે.
તેથી,તેમના ટર્મિનલ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_{t1}}{v_{t2}} = \left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{2} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $1: 4$ છે.

(A) જ્યારે ગોળો ટર્મિનલ વેગથી નીચે પડે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય છે.
ગોળા પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. વજન બળ $(W = mg)$ જે નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. ઉત્પ્લાવક બળ $(F_{B})$ જે ઉપરની તરફ લાગે છે.
$3$. સ્નિગ્ધતા બળ $(F_{v})$ જે ઉપરની તરફ લાગે છે.
ટર્મિનલ વેગ પર: $W = F_{B} + F_{v}$.
તેથી,$F_{v} = W - F_{B}$.
ગોળાનું વજન $W = V \sigma_{1} g$ છે,જ્યાં $V$ એ ગોળાનું કદ છે.
$m = V \sigma_{1}$ હોવાથી,$V = \frac{m}{\sigma_{1}}$ મળે.
ઉત્પ્લાવક બળ $F_{B} = V \sigma_{2} g = (\frac{m}{\sigma_{1}}) \sigma_{2} g = mg(\frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}})$ થાય.
આ કિંમતોને સ્નિગ્ધતા બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F_{v} = mg - mg(\frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}}) = mg(1 - \frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}})$.

(A) જ્યારે ગોળો ટર્મિનલ વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું પરિણામી બળ શૂન્ય હોય છે.
ગોળા પર લાગતા બળો: નીચેની તરફ વજન $(W)$,ઉપરની તરફ ઉત્પ્લાવક બળ $(F_{B})$ અને ઉપરની તરફ સ્નિગ્ધતા બળ $(F_{v})$.
$W = F_{B} + F_{v}$
$F_{v} = W - F_{B}$
વજન $W = Mg = V d_{1} g$,જ્યાં $V$ એ ગોળાનું કદ છે.
ઉત્પ્લાવક બળ $F_{B} = V d_{2} g$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$F_{v} = V d_{1} g - V d_{2} g = V d_{1} g (1 - \frac{d_{2}}{d_{1}})$.
$M = V d_{1}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$F_{v} = Mg (1 - \frac{d_{2}}{d_{1}})$.

(D) $R$ ત્રિજ્યા અને $\rho$ ઘનતા ધરાવતો ગોળો જ્યારે $\sigma$ ઘનતા અને $\eta$ સ્નિગ્ધતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં ગતિ કરે ત્યારે તેનો ટર્મિનલ વેગ સ્ટોક્સના નિયમ મુજબ: $6 \pi \eta R v = \frac{4}{3} \pi R^{3} g (\rho - \sigma)$ થાય.
આમ,$v \propto (\rho - \sigma)$ મળે.
પ્રથમ ગોળા માટે: $v_{1} \propto (\varrho_{1} - \sigma)$.
બીજા ગોળા માટે: $v_{2} \propto (\varrho_{2} - \sigma)$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{v_{2}}{v_{1}} = \frac{\varrho_{2} - \sigma}{\varrho_{1} - \sigma}$.
તેથી,$v_{2} = \left[\frac{\varrho_{2} - \sigma}{\varrho_{1} - \sigma}\right] v_{1}$ થાય.

(A) ઘનતા $\rho$ એ $\rho = M / V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ દળ છે અને $V$ એ કદ છે.
બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $\frac{d\rho}{\rho} = -\frac{dV}{V}$ મળે છે.
બલ્ક મોડ્યુલસ $K$ ની વ્યાખ્યા $K = -\frac{P}{dV/V}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $-\frac{dV}{V} = \frac{P}{K}$.
આ કિંમતને ઘનતાના સંબંધમાં મૂકતા,આપણને $\frac{d\rho}{\rho} = \frac{P}{K}$ મળે છે.
તેથી,ઘનતામાં થતો વધારો $d\rho = \frac{\rho P}{K}$ છે.

(A) બલ્ક મોડ્યુલસ $K$ ને $K = -\frac{\Delta p}{\Delta V / V}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે કદમાં $x \%$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી $\frac{\Delta V}{V} = \frac{x}{100}$.
સમુદ્રમાં $h$ ઊંડાઈએ દબાણમાં થતો ફેરફાર $\Delta p = \rho g h$ છે.
આ કિંમતોને બલ્ક મોડ્યુલસના સૂત્રમાં મૂકતા: $K = \frac{\rho g h}{x / 100}$.
ઊંડાઈ $h$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $h = \frac{K \cdot x}{100 \cdot \rho \cdot g}$.
અહીં $100$ અચળ હોવાથી,ઊંડાઈ $h$ એ $\frac{Kx}{\rho g}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(D) બલ્ક મોડ્યુલસ $K$ ની વ્યાખ્યા $K = -V \frac{dp}{dV}$ છે.
દબાણમાં થતા નાના ફેરફાર $p$ માટે,આપણી પાસે $K = -V \frac{p}{\Delta V}$ છે,જે $\Delta V = -\frac{pV}{K}$ આપે છે.
નવું કદ $V^{\prime} = V + \Delta V = V - \frac{pV}{K} = V(1 - \frac{p}{K})$ થાય.
ઘનતા $\varrho = \frac{m}{V}$ હોવાથી,નવી ઘનતા $\varrho^{\prime} = \frac{m}{V^{\prime}} = \frac{m}{V(1 - \frac{p}{K})}$ થાય.
$\varrho = \frac{m}{V}$ મૂકતા,આપણને $\varrho^{\prime} = \frac{\varrho}{1 - \frac{p}{K}}$ મળે છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{\varrho^{\prime}}{\varrho} = \frac{1}{1 - \frac{p}{K}}$ થાય.

(C) સંકોચનક્ષમતા $K$ એ બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ ના વ્યસ્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે, જે $K = \frac{1}{B} = -\frac{\Delta V}{P V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં, ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે દબાણમાં વધારો થવાથી કદમાં ઘટાડો થાય છે.
આપેલ છે:
સંકોચનક્ષમતા $K = 6 \times 10^{-10} \,m^{2}/N$
પ્રારંભિક કદ $V = 1 \,L = 10^{-3} \,m^{3}$
દબાણમાં ફેરફાર $P = 4 \times 10^{7} \,N/m^{2}$
કદમાં થતો ઘટાડો $\Delta V$ નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$\Delta V = K \cdot P \cdot V$
$\Delta V = (6 \times 10^{-10} \,m^{2}/N) \times (4 \times 10^{7} \,N/m^{2}) \times (10^{-3} \,m^{3})$
$\Delta V = 24 \times 10^{-6} \,m^{3}$
કારણ કે $1 \,m^{3} = 10^{3} \,L = 10^{6} \,mL$, તેથી કદમાં થતા ફેરફારને મિલિલિટરમાં રૂપાંતરિત કરતા:
$\Delta V = 24 \times 10^{-6} \times 10^{6} \,mL = 24 \,mL$.

(C) એકમ કદ દીઠ ઉર્જા ઘનતા $U = \frac{1}{2} \times \text{Stress} \times \text{Strain}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હૂકના નિયમ મુજબ,$\text{Stress} = Y \times \text{Strain}$,તેથી $U = \frac{(\text{Stress})^2}{2Y}$.
ત્યારબાદ,$\text{Stress} = \frac{F}{A} = \frac{F}{\pi d^2 / 4}$,તેથી $\text{Stress} \propto \frac{1}{d^2}$.
આથી,$U \propto \frac{1}{d^4}$.
વ્યાસનો ગુણોત્તર $\frac{d_A}{d_B} = \frac{1}{3}$ આપેલ છે,તેથી ઉર્જા ઘનતાનો ગુણોત્તર $\frac{U_A}{U_B} = \left(\frac{d_B}{d_A}\right)^4$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{U_A}{U_B} = \left(\frac{3}{1}\right)^4 = 81:1$.

(B) શીયર મોડ્યુલસ $\eta$ ને $\eta = \frac{\text{શીયર સ્ટ્રેસ}}{\text{શીયર સ્ટ્રેન}} = \frac{F/A}{\Delta x/L}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ ફલકનું ક્ષેત્રફળ છે,$\Delta x$ એ સ્થાનાંતર છે અને $L$ એ બાજુની લંબાઈ છે.
પ્રથમ સમઘન માટે: $\eta = \frac{F/L^2}{x_{1}/L} = \frac{F}{L x_{1}}$.
તેથી,$x_{1} = \frac{F}{\eta L}$.
$2L$ બાજુવાળા બીજા સમઘન માટે: ક્ષેત્રફળ $A' = (2L)^2 = 4L^2$. દ્રવ્ય સમાન હોવાથી શીયર મોડ્યુલસ $\eta$ સમાન રહેશે.
ધારો કે નવું સ્થાનાંતર $x_{2}$ છે. તો $\eta = \frac{F/A'}{x_{2}/(2L)} = \frac{F/(4L^2)}{x_{2}/(2L)} = \frac{F}{2L x_{2}}$.
$\eta$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{F}{L x_{1}} = \frac{F}{2L x_{2}}$.
$x_{2}$ માટે ઉકેલતા: $x_{2} = \frac{x_{1}}{2}$.

(A) પ્રતિબળ $(S)$ અને યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ ધરાવતા પદાર્થમાં એકમ કદ દીઠ સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જા $(u)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$u = \frac{1}{2} \times \text{પ્રતિબળ} \times \text{વિકૃતિ}$
યંગ મોડ્યુલસ $Y = \frac{\text{પ્રતિબળ}}{\text{વિકૃતિ}}$ હોવાથી,$\text{વિકૃતિ} = \frac{S}{Y}$ થાય.
ઉર્જા ઘનતાના સૂત્રમાં વિકૃતિની કિંમત મૂકતા:
$u = \frac{1}{2} \times S \times \left( \frac{S}{Y} \right)$
$u = \frac{S^2}{2Y}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ખેંચાયેલા તારની ઉર્જા ઘનતા $(u)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $u = \frac{1}{2} \times Y \times (\text{વિકૃતિ})^{2}$.
આપેલ છે:
યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ = $1.6 \times 10^{12} \,N/m^{2}$.
વિકૃતિ = $2 \times 10^{-4}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$u = \frac{1}{2} \times (1.6 \times 10^{12}) \times (2 \times 10^{-4})^{2}$.
$u = 0.5 \times 1.6 \times 10^{12} \times 4 \times 10^{-8}$.
$u = 0.8 \times 4 \times 10^{12-8}$.
$u = 3.2 \times 10^{4} \,J/m^{3}$.

(A) ધારો કે તારની લંબાઈ $L$,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને કદ $V$ છે. કદ અચળ હોવાથી,$V = A \times L$,જેનો અર્થ છે કે $A = \frac{V}{L}$.
યંગ મોડ્યુલસના સૂત્ર મુજબ,$Y = \frac{F \times L}{A \times \Delta L}$,જ્યાં $\Delta L$ એ લંબાઈમાં થતો વધારો છે.
$\Delta L$ માટે સૂત્ર બનાવતા,આપણને મળે છે $\Delta L = \frac{F \times L}{Y \times A}$.
સમીકરણમાં $A = \frac{V}{L}$ મૂકતા,આપણને મળે છે $\Delta L = \frac{F \times L}{Y \times (V/L)} = \frac{F \times L^{2}}{Y \times V}$.
અહીં $F$,$Y$,અને $V$ અચળ હોવાથી,લંબાઈમાં થતો વધારો $\Delta L$ એ $L^{2}$ ના પ્રમાણમાં છે.

(A) તારમાં થતું વિસ્તરણ $\Delta l$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta l = \frac{F \cdot l}{Y \cdot A}$,જ્યાં $F$ એ લાગુ પાડેલ બળ છે,$l$ એ લંબાઈ છે,$Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે,અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
બંને તાર સમાન દ્રવ્યના બનેલા હોવાથી,$Y$ બંને માટે સમાન રહેશે. ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$.
જાડા તાર $(1)$ માટે: $l_1 = 2L$,$r_1 = 2R$,$A_1 = \pi (2R)^2 = 4\pi R^2$.
પાતળા તાર $(2)$ માટે: $l_2 = L$,$r_2 = R$,$A_2 = \pi R^2$.
બંને તાર શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,બંને પર સમાન બળ $F$ લાગે છે.
તેથી,વિસ્તરણનો ગુણોત્તર:
$\frac{\Delta l_1}{\Delta l_2} = \frac{F \cdot l_1 / (Y \cdot A_1)}{F \cdot l_2 / (Y \cdot A_2)} = \frac{l_1}{l_2} \cdot \frac{A_2}{A_1}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta l_1}{\Delta l_2} = \frac{2L}{L} \cdot \frac{\pi R^2}{4\pi R^2} = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$.
આમ,જાડા તારમાં થતા વિસ્તરણ અને પાતળા તારમાં થતા વિસ્તરણનો ગુણોત્તર $1:2$ છે.

(C) તારનું તોડવાનું બળ $F$ તેના આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે।
$A = \pi r^2$ હોવાથી, તોડવાનું બળ $F = \text{Breaking Stress} \times \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
સમાન દ્રવ્યના તાર માટે, બ્રેકિંગ સ્ટ્રેસ અચળ રહે છે।
તેથી, $F \propto r^2$.
અહીં $r_1 = 1 \,mm$ માટે $F_1 = 10 \,N$ અને $r_2 = 3 \,mm$ આપેલ છે।
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{F_2}{F_1} = \frac{r_2^2}{r_1^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{F_2}{10} = \frac{3^2}{1^2} = 9$.
આમ, $F_2 = 10 \times 9 = 90 \,N$.

(A) તારની લંબાઈમાં થતો વધારો $\Delta L$ એ સૂત્ર $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$L$ એ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
બંને તાર માટે $F$,$L$ અને $Y$ સમાન હોવાથી,$\Delta L \propto \frac{1}{A}$ થાય.
તારનું દળ $m$ એ $m = \rho AL$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ ઘનતા છે. $\rho$ અને $L$ સમાન હોવાથી,$m \propto A$ થાય.
તેથી,$\Delta L \propto \frac{1}{m}$ થાય.
દળનો ગુણોત્તર $\frac{m_1}{m_2} = \frac{3}{4}$ આપેલ હોવાથી,લંબાઈમાં થતા વધારાનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta L_1}{\Delta L_2} = \frac{m_2}{m_1} = \frac{4}{3}$ થશે.

(D) ખેંચાયેલી દોરીમાં લંબગત તરંગનો વેગ $V = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ (રેખીય દળ ઘનતા) છે.
$\mu = \frac{M}{L} = \frac{A \cdot L \cdot \rho}{L} = A \cdot \rho$,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\rho$ એ પદાર્થની ઘનતા છે.
વેગના સમીકરણમાં $\mu$ ની કિંમત મૂકતા: $V = \sqrt{\frac{T}{A \cdot \rho}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $V^{2} = \frac{T}{A \cdot \rho}$.
તણાવ પ્રતિબળ (જેને $\text{Stress} = \frac{T}{A}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે) શોધવા માટે પુનઃગોઠવણ કરતા: $\frac{T}{A} = V^{2} \cdot \rho$.
તેથી,તારમાં તણાવ પ્રતિબળ $V^{2} \rho$ છે.

(C) જ્યારે લિફ્ટ ઉપરની તરફ પ્રવેગિત થાય ત્યારે દોરડા પર લાગતું કુલ બળ $F = M(g+a)$ છે.
પ્રતિબળને એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,તેથી $s = \frac{F}{A} = \frac{M(g+a)}{\pi r^2}$,જ્યાં $r$ એ દોરડાની ત્રિજ્યા છે.
$r^2$ માટે પદ ગોઠવતા,આપણને $r^2 = \frac{M(g+a)}{\pi s}$ મળે છે.
વ્યાસ $D = 2r$ હોવાથી,$r = \frac{D}{2}$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $(\frac{D}{2})^2 = \frac{M(g+a)}{\pi s} \implies \frac{D^2}{4} = \frac{M(g+a)}{\pi s}$.
$D$ માટે ઉકેલતા,આપણને $D^2 = \frac{4 M(g+a)}{\pi s}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $D = \left[\frac{4 M(g+a)}{\pi s}\right]^{\frac{1}{2}}$.

(B) રેખીય વિકૃતિ $\epsilon_L = \frac{\Delta L}{L} = \frac{F}{AY} = \frac{Mg}{\pi r^2 Y}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પોઈસન ગુણોત્તર $\sigma$ ને પાર્શ્વ વિકૃતિ અને રેખીય વિકૃતિના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $\sigma = -\frac{\epsilon_D}{\epsilon_L} = -\frac{\Delta r / r}{\Delta L / L}$.
તેથી,પાર્શ્વ વિકૃતિ $\frac{\Delta r}{r} = -\sigma \epsilon_L$ થાય.
ત્રિજ્યામાં થતા ઘટાડાનું મૂલ્ય $\Delta r = r \sigma \epsilon_L$ છે.
$\epsilon_L$ ની કિંમત મૂકતા: $\Delta r = r \sigma \left( \frac{Mg}{\pi r^2 Y} \right) = \frac{Mg \sigma}{\pi r Y}$.

(D) પોટેન્શિયોમીટર વાયર $AB$ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $V_{AB} = E \cdot \frac{R_{AB}}{R + R_{AB} + r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ ડ્રાઈવર સેલનું $EMF$ છે,$R$ એ બાહ્ય અવરોધ છે,$R_{AB}$ એ વાયરનો અવરોધ છે અને $r$ એ ડ્રાઈવર સેલનો આંતરિક અવરોધ છે.
$(i)$ જ્યારે વિદ્યાર્થી $X$,$R$ વધારે છે,ત્યારે પ્રાથમિક પરિપથનો કુલ અવરોધ વધે છે,તેથી પ્રવાહ $I = \frac{E}{R + R_{AB} + r}$ ઘટે છે. પરિણામે,પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k = \frac{V_{AB}}{L}$ ઘટે છે. સંતુલન સ્થિતિ $E_1 = k \cdot l$ હોવાથી,જ્યાં $l$ એ સંતુલન લંબાઈ છે,જો $k$ ઘટે,તો સમાન $E_1$ જાળવી રાખવા માટે $l$ વધવું જોઈએ. આમ,નલ પોઈન્ટ $B$ તરફ ખસે છે.
(ii) જ્યારે વિદ્યાર્થી $Y$,$S$ ઘટાડે છે,ત્યારે સેલ $E_1$ પરનો ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત $V = E_1 - I_1 r_1$ છે,જ્યાં $I_1 = \frac{E_1}{S + r_1}$. $S$ ઘટાડવાથી સેલ $E_1$ માંથી ખેંચાતો પ્રવાહ $I_1$ વધે છે,જે આંતરિક અવરોધ $r_1$ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ $I_1 r_1$ વધારે છે. તેથી,સેલ $E_1$ પરનો ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V$ ઘટે છે. $V = k \cdot l$ હોવાથી,$V$ માં ઘટાડો થવા માટે નાની સંતુલન લંબાઈ $l$ ની જરૂર પડે છે. આમ,નલ પોઈન્ટ $A$ તરફ ખસે છે.

(A) આપેલ છે: ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ $G = 45 \Omega$,વિશિષ્ટ અવરોધકતા $\rho = 5 \times 10^{-7} \Omega m$,ક્ષેત્રફળ $A = 4 \times 10^{-7} m^2$.
જ્યારે આવર્તન $30$ કાપાથી ઘટીને $3$ કાપા થાય છે,ત્યારે ગેલ્વેનોમીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_g = \frac{3}{30} I = \frac{1}{10} I$ થાય છે.
શંટ અવરોધ $S$ નું સૂત્ર $S = \frac{I_g G}{I - I_g}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $S = \frac{(\frac{1}{10} I) \times 45}{I - \frac{1}{10} I} = \frac{4.5 I}{0.9 I} = 5 \Omega$.
$S = \frac{\rho L}{A}$ હોવાથી,$L = \frac{S A}{\rho}$ મળે.
$L = \frac{5 \times 4 \times 10^{-7}}{5 \times 10^{-7}} = 4 \ m$.

(D) ધારો કે કુલ પ્રવાહ $I$ છે.
આપેલ છે કે ગેલ્વેનોમીટરમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I_{G} = 5\% \text{ of } I = 0.05 I$ છે.
શંટ અવરોધ $S$ માંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I_{S} = I - I_{G} = I - 0.05 I = 0.95 I$ છે.
ગેલ્વેનોમીટર અને શંટ સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે:
$I_{S} S = I_{G} G$
કિંમતો મૂકતા:
$(0.95 I) S = (0.05 I) G$
$S = \frac{0.05 I}{0.95 I} G$
$S = \frac{5}{95} G = \frac{1}{19} G$
તેથી,શંટનો અવરોધ $\frac{G}{19}$ થશે.

(A) કિરચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ એ વિદ્યુતભારના સંરક્ષણના નિયમ પર આધારિત છે,જે જણાવે છે કે જંકશનમાં દાખલ થતો કુલ પ્રવાહ તેમાંથી બહાર નીકળતા કુલ પ્રવાહ જેટલો જ હોય છે,કારણ કે જંકશન પર વિદ્યુતભારનું સર્જન કે વિનાશ થઈ શકતો નથી.
કિરચોફનો વોલ્ટેજનો નિયમ $(KVL)$ એ ઉર્જાના સંરક્ષણના નિયમ પર આધારિત છે,જે જણાવે છે કે સર્કિટના કોઈપણ બંધ લૂપમાં સ્થિતિમાનના ફેરફારોનો બેઝિક સરવાળો શૂન્ય હોય છે,જે દર્શાવે છે કે બંધ લૂપમાં વિદ્યુતભારને ગતિ કરાવવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય શૂન્ય હોય છે.

(A) કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ મુજબ,જંકશનમાં દાખલ થતા પ્રવાહોનો સરવાળો એ જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા પ્રવાહોના સરવાળા જેટલો હોય છે.
આપેલ આકૃતિ પરથી,જંકશનમાં દાખલ થતા પ્રવાહો $I$,$0.2 \ A$ અને $0.4 \ A$ છે.
જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા પ્રવાહો $0.5 \ A$ અને $0.8 \ A$ છે.
$KCL$ લાગુ પાડતા: $I + 0.2 + 0.4 = 0.5 + 0.8$
$I + 0.6 = 1.3$
$I = 1.3 - 0.6 = 0.7 \ A$

(B) કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ $(KCL)$ મુજબ,જંકશનમાં દાખલ થતા પ્રવાહનો સરવાળો એ જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા પ્રવાહના સરવાળા જેટલો હોય છે.
$1$. પ્રથમ જંકશન પર: કુલ દાખલ થતો પ્રવાહ $1.2 \ A + 1.0 \ A = 2.2 \ A$ છે. આ પ્રવાહ આગળના જંકશન તરફ વહે છે.
$2$. બીજા જંકશન પર: $2.2 \ A$ પ્રવાહ દાખલ થાય છે,અને $0.2 \ A$ તથા $0.1 \ A$ બહાર નીકળે છે. આગળ વહેતો બાકીનો પ્રવાહ $2.2 \ A - (0.2 \ A + 0.1 \ A) = 2.2 \ A - 0.3 \ A = 1.9 \ A$ છે.
$3$. ત્રીજા જંકશન પર: $1.9 \ A$ પ્રવાહ દાખલ થાય છે,અને એક શાખામાં $0.4 \ A$ બહાર નીકળે છે. બાકીનો પ્રવાહ $I$ બીજી શાખામાં વહેવો જોઈએ. તેથી,$I = 1.9 \ A - 0.4 \ A = 1.5 \ A$.

(B) મીટર બ્રિજ પ્રયોગમાં,વાયરના છેડાઓ પરનો સંપર્ક અવરોધ માપનમાં ભૂલ લાવે છે. આ ભૂલને ઘટાડવા માટે,જાણીતા અવરોધ $(R)$ અને અજ્ઞાત અવરોધ $(S)$ ના સ્થાનોની અદલાબદલી કરીને પ્રયોગ બે વાર કરવામાં આવે છે. મેળવેલા બે મૂલ્યોની સરેરાશ લઈને,છેડાની ભૂલો અને સંપર્ક અવરોધની અસર નોંધપાત્ર રીતે ઘટાડી શકાય છે.

(C) મીટર બ્રિજમાં,તટસ્થ બિંદુ માટેની શરત $\frac{R_A}{R_B} = \frac{l_1}{l_2}$ છે,જ્યાં $l_1 = 40 \ cm$ અને $l_2 = 100 - 40 = 60 \ cm$ છે.
તેથી,$\frac{R_A}{R_B} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$.
તારનો અવરોધ $R = \frac{\rho L}{A} = \frac{\rho L}{\pi r^2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લંબાઈ $L$ સમાન હોવાથી,$\frac{R_A}{R_B} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \times \frac{r_B^2}{r_A^2}$ થાય.
વ્યાસનો ગુણોત્તર $d_A : d_B = 3:1$ આપેલ છે,તેથી ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર પણ $r_A : r_B = 3:1$ થશે,એટલે કે $\frac{r_A}{r_B} = 3$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{3} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \times (\frac{1}{3})^2$.
$\frac{2}{3} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \times \frac{1}{9}$.
તેથી,$\frac{\rho_A}{\rho_B} = \frac{2}{3} \times 9 = 6:1$.

(A) ધારો કે બે અવરોધો $r_1$ અને $r_2$ છે. મીટર બ્રિજમાં,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{r_1}{r_2} = \frac{l}{100-l}$ છે.
આપેલ છે કે $l = 20 \ cm$,તેથી $\frac{r_1}{r_2} = \frac{20}{80} = \frac{1}{4}$,જે સૂચવે છે કે $r_2 = 4r_1$. આમ,$r_1$ એ નાનો અવરોધ છે.
જ્યારે $r_1$ સાથે $15 \ \Omega$ શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે નવો સંતુલન લંબાઈ $40 \ cm$ થાય છે.
નવી સ્થિતિ $\frac{r_1 + 15}{r_2} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$ છે.
$r_2 = 4r_1$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{r_1 + 15}{4r_1} = \frac{2}{3}$.
ગુણાકાર કરતા $3(r_1 + 15) = 2(4r_1) \Rightarrow 3r_1 + 45 = 8r_1$.
$5r_1 = 45 \Rightarrow r_1 = 9 \ \Omega$.

(B) મીટર બ્રિજમાં,અવરોધનો ગુણોત્તર $\frac{R_A}{R_B} = \frac{l_1}{100-l_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $l_1 = 40 \ cm$ આપેલ છે,તેથી $\frac{R_A}{R_B} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3}$.
અવરોધ $R$ નું સૂત્ર $R = \rho \frac{L}{A} = \rho \frac{L}{\pi r^2}$ છે.
લંબાઈ સમાન હોવાથી $(L_A = L_B)$,$\frac{R_A}{R_B} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \times \frac{r_B^2}{r_A^2}$ થાય.
વ્યાસનો ગુણોત્તર $d_A:d_B = 3:1$ હોવાથી,ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $r_A:r_B = 3:1$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{3} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \times (\frac{1}{3})^2$.
$\frac{2}{3} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \times \frac{1}{9}$.
તેથી,$\frac{\rho_A}{\rho_B} = \frac{2}{3} \times 9 = 6:1$.

(C) મીટર-બ્રિજમાં,સંતુલન સ્થિતિ $\frac{P}{Q} = \frac{\ell}{100-\ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $\frac{18}{\ell_{1}} = \frac{R}{100-\ell_{1}}$ ... $(1)$
બીજા કિસ્સા માટે: $\frac{18}{1.5 \ell_{1}} = \frac{R/3}{100-1.5 \ell_{1}}$ ... $(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$\frac{R}{18} = \frac{100-\ell_{1}}{\ell_{1}} = \frac{100}{\ell_{1}} - 1$.
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$\frac{R/3}{18} = \frac{100-1.5 \ell_{1}}{1.5 \ell_{1}} = \frac{100}{1.5 \ell_{1}} - 1$.
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા: $\frac{18/\ell_{1}}{18/(1.5 \ell_{1})} = \frac{R/(100-\ell_{1})}{(R/3)/(100-1.5 \ell_{1})}$
$1.5 = 3 \times \frac{100-1.5 \ell_{1}}{100-\ell_{1}}$
$0.5 = \frac{100-1.5 \ell_{1}}{100-\ell_{1}}$
$50 - 0.5 \ell_{1} = 100 - 1.5 \ell_{1}$
$1.0 \ell_{1} = 50 \implies \ell_{1} = 50 \text{ cm}$.
$\ell_{1} = 50$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા: $\frac{18}{50} = \frac{R}{100-50} \implies \frac{18}{50} = \frac{R}{50} \implies R = 18 \Omega$.

(A) આપેલ સર્કિટને વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ તરીકે ફરીથી દોરી શકાય છે. અવરોધો એવી રીતે ગોઠવાયેલા છે કે બ્રિજ સંતુલિત છે કારણ કે ભુજાઓમાં અવરોધોનો ગુણોત્તર $\frac{3}{3} = \frac{2}{2} = 1$ છે.
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજમાં,મધ્યના $5 \ \Omega$ ના અવરોધમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
આમ,સર્કિટ બે સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બને છે,જેમાં દરેક શાખામાં શ્રેણીમાં બે અવરોધો હોય છે.
ઉપરની શાખાનો અવરોધ $3 \ \Omega + 2 \ \Omega = 5 \ \Omega$ છે.
નીચેની શાખાનો અવરોધ $3 \ \Omega + 2 \ \Omega = 5 \ \Omega$ છે.
આ બે સમાંતર શાખાઓનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ એ $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$ દ્વારા મળે છે,જે $R_{eq} = 2.5 \ \Omega$ આપે છે.
બેટરીમાંથી ખેંચાતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{6 \ V}{2.5 \ \Omega} = 2.4 \ A$ છે.

(A) ગતિઊર્જા $K$ અને વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ છે.
તેથી,$p = \sqrt{2mK}$.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{K}}$.
ધારો કે પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_1$ છે અને અંતિમ ગતિઊર્જા $K_2 = 16K_1$ છે.
તેથી,$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \sqrt{\frac{K_1}{K_2}} = \sqrt{\frac{K_1}{16K_1}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$.
આમ,$\lambda_2 = 0.25 \lambda_1$.
તરંગલંબાઇમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\lambda_1 - \lambda_2}{\lambda_1} \times 100\% = \frac{\lambda_1 - 0.25 \lambda_1}{\lambda_1} \times 100\% = 0.75 \times 100\% = 75\%$ છે.

(B) અહીં વર્ક ફંક્શન અવગણ્ય હોવાથી,ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા જેટલી હોય છે.
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{hc}{\lambda}$
બંને બાજુ $2m$ વડે ગુણતા,$m^2v^2 = \frac{2mhc}{\lambda}$ મળે છે.
વર્ગમૂળ લેતા,વેગમાન $p = mv = \sqrt{\frac{2mhc}{\lambda}}$.
દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_e$ નું સૂત્ર $\lambda_e = \frac{h}{p}$ છે.
$p$ ની કિંમત મૂકતા:
$\lambda_e = \frac{h}{\sqrt{\frac{2mhc}{\lambda}}} = \sqrt{\frac{h^2 \lambda}{2mhc}} = \sqrt{\frac{h\lambda}{2mc}}$.

(D) $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2meV}}$.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
ધારો કે પ્રારંભિક વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_1 = V$ છે અને પ્રારંભિક તરંગલંબાઇ $\lambda_1$ છે.
જ્યારે વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત બમણો કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_2 = 2V$ થાય છે.
નવી તરંગલંબાઇ $\lambda_2 = \frac{h}{\sqrt{2me(2V)}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{h}{\sqrt{2meV}}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$\lambda_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \lambda_1$.
આમ,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $1/\sqrt{2}$ ના અવયવથી બદલાય છે.

(B) ઇલેક્ટ્રોન અને પ્રોટોન બંનેને સમાન વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ દ્વારા પ્રવેગિત કરવામાં આવે છે,તેથી તેઓ સમાન ગતિઊર્જા $K = eV$ પ્રાપ્ત કરે છે.
કણનું વેગમાન $P$ તેની ગતિઊર્જા $K$ સાથે $P = \sqrt{2mK}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,વેગમાન $P_{e} = \sqrt{2m_{e}K}$ છે.
પ્રોટોન માટે,વેગમાન $P_{p} = \sqrt{2m_{p}K}$ છે.
દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{P}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_{p}}{\lambda_{e}} = \frac{h/P_{p}}{h/P_{e}} = \frac{P_{e}}{P_{p}}$ થાય.
વેગમાનના સૂત્રો મૂકતા: $\frac{\lambda_{p}}{\lambda_{e}} = \frac{\sqrt{2m_{e}K}}{\sqrt{2m_{p}K}} = \sqrt{\frac{m_{e}}{m_{p}}} = \left(\frac{m_{e}}{m_{p}}\right)^{\frac{1}{2}}$.

(A) ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને ઉર્જા $E$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી કહી શકાય કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{E}}$,તેથી $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{E_2}{E_1}}$.
અહીં $\lambda_1 = 10^{-10} \ m$ અને $\lambda_2 = 0.5 \times 10^{-10} \ m$ આપેલ છે,તેથી $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{10^{-10}}{0.5 \times 10^{-10}} = 2$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $2 = \sqrt{\frac{E_2}{E_1}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$4 = \frac{E_2}{E_1}$,એટલે કે $E_2 = 4E_1 = 4E$.
ઇલેક્ટ્રોનને આપેલી વધારાની ઉર્જા $\Delta E = E_2 - E_1 = 4E - E = 3E$ થાય.

(B) ફોટોનની ઊર્જા $E = h\nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $\nu$ એ ફોટોનની આવૃત્તિ છે.
જ્યારે ફોટોન એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં (દા.ત.,હવામાંથી કાચમાં) ગતિ કરે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ $\nu$ અચળ રહે છે કારણ કે તે પ્રકાશના સ્ત્રોત દ્વારા નક્કી થાય છે.
જેમ કે $E = h\nu$ અને $h$ અચળ છે,તેથી ફોટોનની ઊર્જા $E$ બદલાતી નથી.
જો કે,જ્યારે ફોટોન ઘટ્ટ માધ્યમમાં પ્રવેશે છે ત્યારે તેનો વેગ $v$ બદલાય છે,અને $v = \nu \lambda$ હોવાથી,તરંગલંબાઈ $\lambda$ પણ બદલાય છે.
વેગમાન $p$ એ $p = E/c$ (શૂન્યાવકાશમાં) અથવા $p = h/\lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે તરંગલંબાઈ બદલાતા બદલાય છે.
તેથી,ઊર્જા એ એવી રાશિ છે જે બદલાતી નથી.

(C) એક ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો $t$ સમયમાં $n$ ફોટોન ઉત્સર્જિત થતા હોય,તો કુલ ઉત્સર્જિત ઉર્જા $E_{total} = n \times \frac{hc}{\lambda}$ થાય.
પાવર $P$ ને એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત કુલ ઉર્જા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,તેથી $P = \frac{E_{total}}{t} = \frac{nhc}{\lambda t}$.
$n$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $n = \frac{P \lambda t}{hc}$ મળે છે.

(B) સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_0)$ એ ઉત્સર્જિત ફોટોઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા દ્વારા નક્કી થાય છે, જે આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ પર આધાર રાખે છે, તેની તીવ્રતા પર નહીં.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $K_{max} = h\nu - \Phi_0 = eV_0$.
પ્રકાશની તીવ્રતા માત્ર એકમ સમયમાં એકમ ક્ષેત્રફળ પર આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યા (અને તેથી ઉત્સર્જિત ફોટોઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા) ને અસર કરે છે, તે વ્યક્તિગત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જામાં ફેરફાર કરતી નથી.
તેથી, જ્યારે તીવ્રતા વધારવામાં આવે ત્યારે સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ અપરિવર્તિત રહે છે.

(D) ઉત્સર્જિત ફોટોઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K_{max} = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ પર,રિટાર્ડિંગ ઇલેક્ટ્રિક ફિલ્ડ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય ફોટોઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા જેટલું હોય છે.
તેથી,$eV_s = \frac{1}{2}mv^2$.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ માટે ઉકેલતા:
$V_s = \frac{mv^2}{2e}$.
આને $V_s = \frac{v^2}{2(e/m)}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = h\nu - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે, $\nu$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $\phi$ એ ધાતુનું કાર્ય વિધેય છે.
શરૂઆતમાં, $K_{max1} = h\nu - \phi$.
જ્યારે આવૃત્તિ બમણી કરવામાં આવે છે, ત્યારે નવી આવૃત્તિ $\nu' = 2\nu$ થાય છે.
નવી મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max2} = h(2\nu) - \phi = 2h\nu - \phi$ છે.
કારણ કે $K_{max2} = 2(h\nu - \phi/2)$, અને $\phi > 0$ હોવાથી, તે સાબિત થાય છે કે $K_{max2} > 2(h\nu - \phi) = 2K_{max1}$.
તેથી, મહત્તમ ગતિઊર્જા પ્રારંભિક મૂલ્ય કરતા બમણા કરતા થોડી વધારે વધે છે.

(D) થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_{0} = 15 \times 10^{14} \,Hz$ આપેલ છે.
થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇ $\lambda_{0}$ ની ગણતરી આ મુજબ થાય છે: $\lambda_{0} = \frac{c}{\nu_{0}} = \frac{3 \times 10^{8}}{15 \times 10^{14}} = 0.2 \times 10^{-6} \,m = 2000 \text{ Å}$.
આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઇ $\lambda = 6000 \text{ Å}$ છે.
ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થવા માટે, આપાત તરંગલંબાઇ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇ કરતા ઓછી અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ $(\lambda \leq \lambda_{0})$.
અહીં $\lambda = 6000 \text{ Å} > \lambda_{0} = 2000 \text{ Å}$ હોવાથી, આપાત ફોટોનની ઉર્જા ધાતુના વર્ક ફંક્શન કરતા ઓછી છે.
તેથી, ફોટોઈલેક્ટ્રોન ઉત્સર્જિત થશે નહીં.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઊર્જા $(K.E.)_{\max}$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$(K.E.)_{\max} = h\nu - \phi_0$
જ્યાં:
$h\nu$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે.
$\phi_0$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે અચળ આપાત આવૃત્તિ $\nu$ માટે,$(K.E.)_{\max}$ એ વર્ક ફંક્શન $\phi_0$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
તેથી,જો વર્ક ફંક્શન $\phi_0$ વધે,તો મહત્તમ ગતિ ઊર્જા $(K.E.)_{\max}$ ઘટે છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા '$K$' નીચે મુજબ છે: $K = E - W_{0}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $K = \frac{P^{2}}{2m}$,તેથી ઇલેક્ટ્રોનનું વેગમાન '$P$' એ $P = \sqrt{2mK} = \sqrt{2m(E - W_{0})}$ થશે.
જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ તેના વેગને લંબરૂપે સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર '$B$' માં ગતિ કરે છે,ત્યારે તે '$r = \frac{P}{eB}$' ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે.
'$P$' ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે: $r = \frac{\sqrt{2m(E - W_{0})}}{eB}$.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(E_k)$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$E_k = h\nu - \Phi$
જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે,અને $\Phi$ એ ધાતુનું કાર્ય વિધેય (work function) છે.
આ સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = E_k$,$x = \nu$,$m = h$ (ઢાળ),અને $c = -\Phi$ (y-અંતઃખંડ) છે.
યામ અક્ષ પરનો અંતઃખંડ ઋણ $(-\Phi)$ હોવાથી,આલેખ એક સીધી રેખા છે જે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી નથી. તે x-અક્ષ પર થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0$ થી શરૂ થાય છે (જ્યાં $E_k = 0$,તેથી $h\nu_0 = \Phi$) અને તેનો ઢાળ $h$ ધન છે. આપેલી આકૃતિમાં ધન x-અંતઃખંડ સાથેની સીધી રેખા દર્શાવેલ છે,જે આ સંબંધને યોગ્ય રીતે રજૂ કરે છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{max})$ $K_{max} = h\nu - \Phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે,અને $\Phi$ એ ધાતુની સપાટીનું કાર્ય વિધેય છે.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે મહત્તમ ગતિઊર્જા માત્ર આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ અને ધાતુના કાર્ય વિધેય પર આધાર રાખે છે. તે આપાત વિકિરણની તીવ્રતા $(I)$ થી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,તીવ્રતા $(I)$ સાથે મહત્તમ ગતિઊર્જા $(E)$ ના ફેરફારને દર્શાવતો આલેખ તીવ્રતાની અક્ષને સમાંતર એક આડી રેખા હોવી જોઈએ. જો આલેખ $(D)$ આ અચળ વર્તણૂક દર્શાવે છે,તો સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ: $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$,જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
કારણ કે $K_{max} = eV_{s}$,જ્યાં $V_{s}$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે,તેથી $eV_{s} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $eV_{0} = \frac{hc}{\lambda_{0}} - \phi$ --- $(1)$
બીજા કિસ્સા માટે $2\lambda_{0}$ તરંગલંબાઈ સાથે: $eV_{s}' = \frac{hc}{2\lambda_{0}} - \phi$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી સમીકરણ $(2)$ બાદ કરતા:
$eV_{0} - eV_{s}' = \left(\frac{hc}{\lambda_{0}} - \phi\right) - \left(\frac{hc}{2\lambda_{0}} - \phi\right)$
$e(V_{0} - V_{s}') = \frac{hc}{\lambda_{0}} - \frac{hc}{2\lambda_{0}} = \frac{hc}{2\lambda_{0}}$
$V_{0} - V_{s}' = \frac{hc}{2e\lambda_{0}}$
$V_{s}' = V_{0} - \frac{hc}{2e\lambda_{0}}$
નોંધ: જો $\frac{hc}{2\lambda_{0}} < \phi$ હોય,તો સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $0$ થશે કારણ કે ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થશે નહીં.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{max})$ એ $K_{max} = h\nu - \Phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે અને $\Phi$ એ ધાતુનું વર્ક ફંક્શન છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_{s})$ એ મહત્તમ ગતિઊર્જા સાથે $eV_{s} = K_{max}$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલ હોવાથી,આપણી પાસે $eV_{s} = h\nu - \Phi$ છે.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_{s})$ માત્ર આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ $(\nu)$ અને ધાતુની સપાટીના વર્ક ફંક્શન $(\Phi)$ પર આધાર રાખે છે.
પ્રકાશની તીવ્રતા એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ સમય દીઠ આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યાને અસર કરે છે,જે બદલામાં ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા (ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહ) ને અસર કરે છે,પરંતુ તે વ્યક્તિગત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જાને અસર કરતું નથી.
તેથી,જો આવૃત્તિ $(\nu)$ અચળ રાખવામાં આવે,તો આપાત પ્રકાશની તીવ્રતામાં ફેરફાર કરવા છતાં સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $(V_{s})$ સમાન રહે છે.

(D) પદાર્થની થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0$ છે. પ્રારંભિક આપાત આવૃત્તિ $\nu_1 = 2\nu_0$ છે. કારણ કે $\nu_1 > \nu_0$,ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થાય છે.
જ્યારે આપાત આવૃત્તિ બદલીને $\nu_2 = \frac{1}{3} \nu_1 = \frac{1}{3} (2\nu_0) = \frac{2}{3} \nu_0$ કરવામાં આવે છે.
ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થવા માટે,આપાત આવૃત્તિ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ $(\nu \ge \nu_0)$.
અહીં $\nu_2 = \frac{2}{3} \nu_0 < \nu_0$ હોવાથી,આપાત આવૃત્તિ હવે થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ કરતા ઓછી છે.
તેથી,તીવ્રતામાં વધારો કરવા છતાં કોઈ ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન થશે નહીં.
આમ,ફોટોઈલેક્ટ્રિક પ્રવાહ શૂન્ય થશે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$ છે,જ્યાં $\phi$ એ કાર્ય વિધેય છે.
તરંગલંબાઈ $\lambda_{1}$ માટે,$E_{1} = \frac{hc}{\lambda_{1}} - \phi$ --- $(i)$
તરંગલંબાઈ $\lambda_{2}$ માટે,$E_{2} = \frac{hc}{\lambda_{2}} - \phi$ --- (ii)
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$hc = \lambda_{1}(E_{1} + \phi)$.
સમીકરણ (ii) પરથી,$hc = \lambda_{2}(E_{2} + \phi)$.
$hc$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\lambda_{1}(E_{1} + \phi) = \lambda_{2}(E_{2} + \phi)$
$\lambda_{1}E_{1} + \lambda_{1}\phi = \lambda_{2}E_{2} + \lambda_{2}\phi$
$\phi(\lambda_{1} - \lambda_{2}) = \lambda_{2}E_{2} - \lambda_{1}E_{1}$
$\phi = \frac{\lambda_{2}E_{2} - \lambda_{1}E_{1}}{\lambda_{1} - \lambda_{2}}$
અંશ અને છેદને $-1$ વડે ગુણતા,$\phi = \frac{\lambda_{1}E_{1} - \lambda_{2}E_{2}}{\lambda_{2} - \lambda_{1}}$ મળે છે.

(B) ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા $K_{max} = \frac{1}{2} mv^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_{s}$ પર,રિટાર્ડિંગ પોટેન્શિયલ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય મહત્તમ ગતિઊર્જા જેટલું હોય છે,તેથી $eV_{s} = \frac{1}{2} mv^{2}$.
$V_{s}$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,આપણને $V_{s} = \frac{1}{2} \frac{m}{e} v^{2}$ મળે છે.
ચૂકી $\frac{m}{e} = \frac{1}{(e/m)}$,તેથી આપણે લખી શકીએ $V_{s} = \frac{v^{2}}{2(e/m)}$.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = E - W$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઊર્જા છે અને $W$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$E_1 = 3W$. તેથી,$K_1 = \frac{1}{2}mv_1^2 = 3W - W = 2W$.
બીજા કિસ્સા માટે,$E_2 = 5W$. તેથી,$K_2 = \frac{1}{2}mv_2^2 = 5W - W = 4W$.
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\frac{1}{2}mv_1^2}{\frac{1}{2}mv_2^2} = \frac{2W}{4W} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{v_1}{v_2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
વેગનો ગુણોત્તર $1: \sqrt{2}$ છે.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K.E._{max})$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$K.E._{max} = h\nu - \phi_0$
આને સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = K.E._{max}$ અને $x = \nu$ છે:
$1$. આલેખનો ઢાળ $(m)$ એ પ્લાન્કના અચળાંક $(h)$ જેટલો છે.
$2$. $X$-અક્ષ પરનો અંતઃછેદ ત્યારે મળે છે જ્યારે $K.E._{max} = 0$ હોય,જે $0 = h\nu_0 - \phi_0$ આપે છે,અથવા $\nu_0 = \phi_0 / h$. આ અંતઃછેદ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $(\nu_0)$ દર્શાવે છે.
તેથી,ઢાળ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $X$-અક્ષ પરનો અંતઃછેદ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max}$ નીચે મુજબ છે:
$K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi$
કારણ કે $K_{\max} = \frac{1}{2}mv^2$, તેથી:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{hc}{\lambda} - \phi$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{hc - \lambda\phi}{\lambda}$
$v^2 = \frac{2(hc - \lambda\phi)}{m\lambda}$
$v = \left[\frac{2(hc - \lambda\phi)}{m\lambda}\right]^{1/2}$
આમ, સાચો વિકલ્પ $B$ છે।

(D) ધાતુનું વર્ક ફંક્શન $\phi$ એ થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_{0}$ સાથે $\phi = \frac{hc}{\lambda_{0}}$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
આપેલ છે કે $\lambda_{A} = 400 \ nm$ અને $\lambda_{B} = 800 \ nm$.
તેથી,વર્ક ફંક્શન $\phi_{A} = \frac{hc}{\lambda_{A}}$ અને $\phi_{B} = \frac{hc}{\lambda_{B}}$ થશે.
ગુણોત્તર $\frac{\phi_{A}}{\phi_{B}} = \frac{hc/\lambda_{A}}{hc/\lambda_{B}} = \frac{\lambda_{B}}{\lambda_{A}}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{\phi_{A}}{\phi_{B}} = \frac{800 \ nm}{400 \ nm} = 2$ મળે છે.
આમ,ગુણોત્તર $\phi_{A} : \phi_{B}$ એ $2$ છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$eV_s = h\nu - \phi_o = h\nu - h\nu_o$
$V_s = \frac{h}{e}(\nu - \nu_o)$
જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$e$ એ ઈલેક્ટ્રોનનો વીજભાર છે,$\nu$ એ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ છે અને $\nu_o$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે.
આપાત આવૃત્તિ $\nu$ નિશ્ચિત હોય ત્યારે,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_o$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
આલેખ પરથી,થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિઓનો ક્રમ આ મુજબ છે: $\nu_o(A) < \nu_o(B) < \nu_o(C) < \nu_o(D)$.
ધાતુ $A$ ની થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ સૌથી ઓછી હોવાથી,કોઈપણ આપેલ આપાત આવૃત્તિ $\nu$ (જ્યાં $\nu > \nu_o(D)$) માટે તેનું સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ સૌથી વધુ હશે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_{s}$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$eV_{s} = h\nu - \phi$
$V_{s} = \frac{h}{e}\nu - \frac{\phi}{e}$
આ સમીકરણને સુરેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,x-અંતઃખંડ (જ્યાં $V_{s} = 0$) એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_{0}$ છે,જ્યાં $\nu_{0} = \frac{\phi}{h}$ અથવા $\phi = h\nu_{0}$ થાય.
આપેલ આલેખ પરથી,ધાતુ '$P$' માટે થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_{0}$ છે અને ધાતુ '$Q$' માટે $\nu_{0}^{\prime}$ છે.
અહીં $\nu_{0} < \nu_{0}^{\prime}$ હોવાથી,$h\nu_{0} < h\nu_{0}^{\prime}$ થાય.
તેથી,વર્ક ફંક્શન $\phi_{P} < \phi_{Q}$ મળે.

(D) $1$. સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s$ અને મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K.E.)_{\max}$ વચ્ચેનો સંબંધ: $(K.E.)_{\max} = e V_s$.
આપેલ છે $(K.E.)_{\max} = 3.2 \times 10^{-19} \text{ J}$ અને $e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$.
$V_s = \frac{(K.E.)_{\max}}{e} = \frac{3.2 \times 10^{-19}}{1.6 \times 10^{-19}} = 2 \text{ V}$.
$2$. થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0$ અને વર્ક ફંક્શન $\Phi$ વચ્ચેનો સંબંધ: $\Phi = \frac{hc}{\lambda_0}$.
આપેલ છે $\Phi = 6.63 \times 10^{-19} \text{ J}$,$h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ J} \cdot \text{s}$,અને $c = 3 \times 10^{8} \text{ m/s}$.
$\lambda_0 = \frac{hc}{\Phi} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{6.63 \times 10^{-19}} = 3 \times 10^{-7} \text{ m} = 3000 \times 10^{-10} \text{ m} = 3000 \text{ Å}$.
આમ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $2 \text{ V}$ અને થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $3000 \text{ Å}$ છે. સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(E_k)$ $E_k = h\nu - \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$\nu$ એ આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ છે અને $\phi$ એ ધાતુની સપાટીનું કાર્યવિધેય છે.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે મહત્તમ ગતિઊર્જા માત્ર આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ અને પદાર્થના સ્વભાવ (કાર્યવિધેય) પર આધાર રાખે છે.
તે આપાત પ્રકાશની તીવ્રતા $(I)$ પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,મહત્તમ ગતિઊર્જા $(E)$ અને તીવ્રતા $(I)$ વચ્ચેનો આલેખ તીવ્રતાની અક્ષને સમાંતર એક આડી રેખા હોવી જોઈએ.
આપેલ આલેખમાં,રેખા $P$ એ તીવ્રતા $I$ ને ધ્યાનમાં લીધા વિના $E$ નું અચળ મૂલ્ય દર્શાવે છે.
આમ,રેખા $P$ એ સાચું નિરૂપણ છે.

(A) આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{3315 \times 10^{-10}} = 6 \times 10^{-19} \ \text{J}$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ, $E = \phi_{0} + K_{\text{max}}$, જ્યાં $\phi_{0}$ એ વર્ક ફંક્શન છે અને $K_{\text{max}}$ એ ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા છે.
$\phi_{0} = E - K_{\text{max}} = 6 \times 10^{-19} - 3 \times 10^{-19} = 3 \times 10^{-19} \ \text{J}$.
થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_{0}$ એ $\lambda_{0} = \frac{hc}{\phi_{0}}$ દ્વારા મળે છે.
$\lambda_{0} = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^{8}}{3 \times 10^{-19}} = 6.63 \times 10^{-7} \ \text{m} = 6630 \ \text{Å}$.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_{max} = E - \phi_{0}$ છે,જ્યાં $E$ એ આપાત ઉર્જા છે અને $\phi_{0}$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
પ્રથમ વિકિરણ માટે,$E_{1} = 2\phi_{0}$,તેથી $K_{1} = \frac{1}{2}mv_{1}^{2} = 2\phi_{0} - \phi_{0} = \phi_{0}$.
બીજા વિકિરણ માટે,$E_{2} = 10\phi_{0}$,તેથી $K_{2} = \frac{1}{2}mv_{2}^{2} = 10\phi_{0} - \phi_{0} = 9\phi_{0}$.
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{\frac{1}{2}mv_{1}^{2}}{\frac{1}{2}mv_{2}^{2}} = \frac{\phi_{0}}{9\phi_{0}}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{v_{1}^{2}}{v_{2}^{2}} = \frac{1}{9}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $\frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{1}{3}$ મળે છે.

(C) કોઈપણ પ્રકાશસંવેદનશીલ સપાટીનું વર્ક ફંક્શન $\phi$ એ તે પદાર્થનો આંતરિક ગુણધર્મ છે અને તે આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ પર આધાર રાખતું નથી.
બંને કિસ્સામાં સમાન પ્રકાશસંવેદનશીલ સપાટીનો ઉપયોગ થતો હોવાથી,વર્ક ફંક્શન સમાન રહેશે.
તેથી,વર્ક ફંક્શનનો ગુણોત્તર $\phi_{1} : \phi_{2} = 1 : 1$ થાય.
જો કે,જો પ્રશ્ન આપાત ફોટોનના ઉર્જાના ગુણોત્તર વિશે પૂછતો હોય,તો તે $\frac{E_{1}}{E_{2}} = \frac{hc/\lambda_{1}}{hc/\lambda_{2}} = \frac{\lambda_{2}}{\lambda_{1}} = \frac{600}{360} = \frac{5}{3}$ થશે.
ભૌતિકવિજ્ઞાનના પાઠ્યપુસ્તકોમાં આવા પ્રશ્નોના પ્રમાણિત અર્થઘટન મુજબ,સમાન પદાર્થ માટે વર્ક ફંક્શનનો ગુણોત્તર હંમેશા $1:1$ હોય છે. વિકલ્પોમાં $1:1$ ન હોવાથી,આ પ્રશ્ન આપાત ફોટોનની ઉર્જાનો ગુણોત્તર પૂછે છે,જે $5:3$ છે.

(D) જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ મુજબ,તારમાં વહેતા પ્રવાહ $I$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર તારની ઉપરના ભાગ માટે (જ્યાં રીંગ $P$ આવેલી છે) બહારની તરફ અને તારની નીચેના ભાગ માટે (જ્યાં રીંગ $Q$ આવેલી છે) અંદરની તરફ હોય છે.
જેમ કે પ્રવાહ $I$ સતત વધી રહ્યો છે,બંને રીંગોમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ વધી રહ્યું છે.
રીંગ $P$ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર બહારની તરફ છે અને વધી રહ્યું છે. લેન્ઝના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહ આ વધારાનો વિરોધ કરવા માટે અંદરની દિશામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરશે. તેથી,રીંગ $P$ માં પ્રેરિત પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં (clockwise) હોવો જોઈએ.
રીંગ $Q$ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર અંદરની તરફ છે અને વધી રહ્યું છે. લેન્ઝના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહ આ વધારાનો વિરોધ કરવા માટે બહારની દિશામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરશે. તેથી,રીંગ $Q$ માં પ્રેરિત પ્રવાહ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં (anticlockwise) હોવો જોઈએ.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,આકૃતિ $D$ પ્રેરિત પ્રવાહની સાચી દિશાઓ દર્શાવે છે.

(B) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,$n$ આંટા ધરાવતા ગૂંચળામાં ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf $(e)$ $e = -n \frac{d\Phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમય $t$ માં ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર $\Delta\Phi = \Phi_2 - \Phi_1$ હોય,તો સરેરાશ પ્રેરિત emf $|e| = n \frac{|\Phi_2 - \Phi_1|}{t} = n \frac{|\Phi_1 - \Phi_2|}{t}$ થાય.
પરિપથનો કુલ અવરોધ $R_{total} = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}$ છે.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહ $I = \frac{|e|}{R_{total}}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$I = \frac{n|\Phi_1 - \Phi_2| / t}{3R / 2} = \frac{2n|\Phi_1 - \Phi_2|}{3Rt}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત e.m.f. $e$ એ $e = -\frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A$ હોવાથી,ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર $\Delta\phi = A \cdot \Delta B$ થાય.
ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં થતો ફેરફાર $\Delta B = 4 B_{0} - B_{0} = 3 B_{0}$ છે.
સમયગાળો $t$ આપેલો છે.
તેથી,પ્રેરિત e.m.f. નું મૂલ્ય $|e| = \frac{\Delta\phi}{\Delta t} = \frac{A \cdot (3 B_{0})}{t} = \frac{3 AB_{0}}{t}$ થશે.

(C) $I$ વિદ્યુતપ્રવાહ ધરાવતા વર્તુળાકાર ચાપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર: $B = \frac{\mu_0 I}{2r} \left( \frac{\theta}{2\pi} \right)$ છે.
અહીં,કેન્દ્ર આગળ આંતરેલો ખૂણો $\theta = \frac{\pi}{16}$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં $\theta$ ની કિંમત મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 I}{2r} \left( \frac{\pi/16}{2\pi} \right)$.
કૌંસની અંદરના પદનું સાદુરૂપ આપતા:
$\frac{\pi/16}{2\pi} = \frac{\pi}{16 \times 2\pi} = \frac{1}{32}$.
હવે,આ કિંમત $B$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 I}{2r} \times \frac{1}{32} = \frac{\mu_0 I}{64r}$.

(A) ઇન્ડક્ટર સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ એ $\phi = LI$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ ઇન્ડક્ટરનું આત્મ-પ્રેરકત્વ છે.
આ સમીકરણની સરખામણી સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx$ સાથે કરતા,જ્યાં $y = \phi$ અને $x = I$,આપણને ઢાળ $m = L$ મળે છે.
આલેખનો ઢાળ એ આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ દર્શાવે છે,તેથી જે ઇન્ડક્ટરનો ઢાળ સૌથી ઓછો હશે તેનું આત્મ-પ્રેરકત્વ સૌથી ઓછું હશે.
આલેખ જોતા,રેખા $D$ એ પ્રવાહ અક્ષ ($I$-અક્ષ) સાથે સૌથી નાનો ખૂણો બનાવે છે,જેનો અર્થ છે કે તેનો ઢાળ સૌથી ઓછો છે.
તેથી,ઇન્ડક્ટર $D$ નું આત્મ-પ્રેરકત્વ સૌથી ઓછું છે.

(A) ઇન્ડક્ટર માટે ચુંબકીય ફ્લક્સ $(\phi)$ અને પ્રવાહ $(I)$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = LI$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ છે.
આ સમીકરણની સરખામણી ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx$ સાથે કરતા,આપણને $L = \phi / I$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ $L$ એ $\phi$ વિરુદ્ધ $I$ ના આલેખના ઢાળ (slope) જેટલું છે.
આપેલ ચાર રેખાઓમાંથી રેખા $A$ નો ઢાળ સૌથી વધુ હોવાથી,તે સૌથી વધુ સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સનું મૂલ્ય દર્શાવે છે.

(D) મોટા ગૂંચળા $B$ માંથી વહેતા વિદ્યુતપ્રવાહ $i$ ને કારણે નાના ગૂંચળા $A$ ના કેન્દ્ર પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ એ ગૂંચળા $A$ ના ક્ષેત્રફળ પર લગભગ સમાન રહે છે.
ગૂંચળા $B$ દ્વારા તેના કેન્દ્ર પર ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_{0} i}{2 R_{2}}$ છે.
નાના ગૂંચળા $A$ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \times A_{1} = \left( \frac{\mu_{0} i}{2 R_{2}} \right) (\pi R_{1}^{2})$ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,મ્યુચ્યુઅલ ઇન્ડક્ટન્સ $M = \frac{\phi}{i} = \frac{\mu_{0} \pi R_{1}^{2}}{2 R_{2}}$ થાય છે.
તેથી,$M \propto \frac{R_{1}^{2}}{R_{2}}$.