MHT CET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) दी गई रेखाएं $\ell_{1}: \bar{r} = (\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}) + t(-\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k})$ और $\ell_{2}: \bar{r} = (\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) + p(\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k})$ हैं।
यहाँ,$\bar{a}_{1} = \hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}$,$\bar{b}_{1} = -\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}$,$\bar{a}_{2} = \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$,और $\bar{b}_{2} = \hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}$ है।
सबसे पहले,$\bar{a}_{2}-\bar{a}_{1} = (\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) - (\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}) = \hat{j}-2\hat{k}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,सदिश गुणनफल $\bar{b}_{1} \times \bar{b}_{2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2+4) - \hat{j}(-2+2) + \hat{k}(-2-1) = 6\hat{i} - 3\hat{k}$ ज्ञात करें।
इसका परिमाण $|\bar{b}_{1} \times \bar{b}_{2}| = \sqrt{6^2 + (-3)^2} = \sqrt{36+9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ है।
न्यूनतम दूरी $d = \left| \frac{(\bar{b}_{1} \times \bar{b}_{2}) \cdot (\bar{a}_{2}-\bar{a}_{1})}{|\bar{b}_{1} \times \bar{b}_{2}|} \right| = \left| \frac{(6\hat{i}-3\hat{k}) \cdot (\hat{j}-2\hat{k})}{3\sqrt{5}} \right| = \left| \frac{6}{3\sqrt{5}} \right| = \frac{2}{\sqrt{5}}$ इकाई है।

(B) दी गई रेखा का समीकरण $3x + 4 = 4y - 1 = 1 - 4z$ है।
इसे मानक रूप $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ में लिखने के लिए $x, y, z$ के गुणांकों से विभाजित करने पर:
$\frac{x + 4/3}{1/3} = \frac{y - 1/4}{1/4} = \frac{z - 1/4}{-1/4}$ प्राप्त होता है।
हरों को $12$ से गुणा करने पर,दिशा अनुपात $(a, b, c) = (4, 3, -3)$ प्राप्त होते हैं।
बिंदु $(2, 4, 6)$ से गुजरने वाली और $(4, 3, -3)$ दिशा अनुपात वाली रेखा का समीकरण:
$\frac{x-2}{4} = \frac{y-4}{3} = \frac{z-6}{-3}$ है।

(C) सबसे पहले,रेखाओं के समीकरणों को मानक रूप $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ में लिखें।
पहली रेखा के लिए: $\frac{x-1}{5} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-3}{-\lambda}$। दिशा अनुपात $\vec{v_1} = (5, 3, -\lambda)$ हैं।
दूसरी रेखा के लिए: $\frac{x+1}{4} = \frac{y-1/3}{-5} = \frac{z+1}{1}$। दिशा अनुपात $\vec{v_2} = (4, -5, 1)$ हैं।
चूंकि रेखाएँ लंबवत हैं,इसलिए उनके दिशा अनुपातों का डॉट गुणनफल शून्य होना चाहिए: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$।
$5(4) + 3(-5) + (-\lambda)(1) = 0$।
$20 - 15 - \lambda = 0$।
$5 - \lambda = 0$।
अतः,$\lambda = 5$।

(A) दी गई रेखाएँ $L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4} = \lambda$ और $L_2: \frac{x-3}{1}=\frac{y-k}{2}=\frac{z}{1} = \mu$ हैं।
$L_1$ पर कोई भी बिंदु $P(2\lambda+1, 3\lambda-1, 4\lambda+1)$ है और $L_2$ पर कोई भी बिंदु $Q(\mu+3, 2\mu+k, \mu)$ है।
रेखाओं के प्रतिच्छेद करने के लिए,ऐसे $\lambda$ और $\mu$ होने चाहिए कि $P=Q$ हो।
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$2\lambda+1 = \mu+3 \implies 2\lambda - \mu = 2$ $(i)$
$3\lambda-1 = 2\mu+k \implies 3\lambda - 2\mu = k+1$ (ii)
$4\lambda+1 = \mu \implies 4\lambda - \mu = -1$ (iii)
(iii) में से $(i)$ घटाने पर: $(4\lambda - \mu) - (2\lambda - \mu) = -1 - 2 \implies 2\lambda = -3 \implies \lambda = -\frac{3}{2}$।
$\lambda = -\frac{3}{2}$ को $(i)$ में रखने पर: $2(-\frac{3}{2}) - \mu = 2 \implies -3 - \mu = 2 \implies \mu = -5$।
अब $\lambda = -\frac{3}{2}$ और $\mu = -5$ को (ii) में रखने पर: $3(-\frac{3}{2}) - 2(-5) = k+1 \implies -\frac{9}{2} + 10 = k+1 \implies k = 9 - \frac{9}{2} = \frac{9}{2}$।

(D) दोनों रेखाओं के दिशा सदिश $\vec{b_1} = \hat{i} + 2 \hat{j} + m \hat{k}$ और $\vec{b_2} = 2 \hat{i} + \hat{j} + 6 \hat{k}$ हैं।
चूंकि रेखाएं लंबवत हैं,इसलिए उनके दिशा सदिशों का अदिश गुणनफल (dot product) शून्य होना चाहिए,अर्थात $\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = 0$.
$(1)(2) + (2)(1) + (m)(6) = 0$.
$2 + 2 + 6m = 0$.
$4 + 6m = 0$.
$6m = -4$.
$m = \frac{-4}{6} = \frac{-2}{3}$.

(A) दो बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए बिंदु $(3, 4, -7)$ और $(6, -1, 1)$ हैं।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x-3}{6-3} = \frac{y-4}{-1-4} = \frac{z-(-7)}{1-(-7)}$
$\frac{x-3}{3} = \frac{y-4}{-5} = \frac{z+7}{8}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) माना कि $Q$ बिंदु $P(0,2,3)$ से दी गई रेखा पर डाले गए लंब का पाद है।
दी गई रेखा $\frac{x+3}{5}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+4}{3}=\lambda$ पर किसी बिंदु के निर्देशांक $Q(5\lambda-3, 2\lambda+1, 3\lambda-4)$ हैं।
रेखा $PQ$ के दिक अनुपात $(5\lambda-3-0, 2\lambda+1-2, 3\lambda-4-3)$ अर्थात $(5\lambda-3, 2\lambda-1, 3\lambda-7)$ हैं।
दी गई रेखा के दिक अनुपात $(5, 2, 3)$ हैं।
चूंकि $PQ$ रेखा पर लंब है,इसलिए उनके दिक अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$5(5\lambda-3) + 2(2\lambda-1) + 3(3\lambda-7) = 0$
$25\lambda - 15 + 4\lambda - 2 + 9\lambda - 21 = 0$
$38\lambda - 38 = 0$
$\lambda = 1$
$\lambda = 1$ को $Q$ के निर्देशांकों में रखने पर:
$Q = (5(1)-3, 2(1)+1, 3(1)-4) = (2, 3, -1)$.
अतः,सही विकल्प $(B)$ है।

(C) सबसे पहले,हम रेखाओं के समीकरणों को सममित रूप $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ में लिखते हैं।
पहली रेखा $1+x = 2y = -12z$ के लिए,हमारे पास $\frac{x+1}{1} = \frac{y}{1/2} = \frac{z}{-1/12}$ है। यहाँ,बिंदु $P_1 = (-1, 0, 0)$ और दिशा सदिश $\vec{b_1} = (1, 1/2, -1/12)$ है।
दूसरी रेखा $x = y+2 = 6z-6$ के लिए,हमारे पास $\frac{x}{1} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-1}{1/6}$ है। यहाँ,बिंदु $P_2 = (0, -2, 1)$ और दिशा सदिश $\vec{b_2} = (1, 1, 1/6)$ है।
न्यूनतम दूरी $d$ का सूत्र $d = \frac{|(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{||\vec{b_1} \times \vec{b_2}||}$ है।
सदिश $\vec{P_2} - \vec{P_1} = (0 - (-1), -2 - 0, 1 - 0) = (1, -2, 1)$ है।
क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1/2 & -1/12 \\ 1 & 1 & 1/6 \end{vmatrix} = \hat{i}(\frac{1}{12} + \frac{1}{12}) - \hat{j}(\frac{1}{6} + \frac{1}{12}) + \hat{k}(1 - 1/2) = (1/6, -1/4, 1/2)$ है।
परिमाण $||\vec{b_1} \times \vec{b_2}|| = \sqrt{(1/6)^2 + (-1/4)^2 + (1/2)^2} = \sqrt{1/36 + 1/16 + 1/4} = \sqrt{\frac{4+9+36}{144}} = \sqrt{49/144} = 7/12$ है।
डॉट प्रोडक्ट $(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = (1)(1/6) + (-2)(-1/4) + (1)(1/2) = 1/6 + 1/2 + 1/2 = 7/6$ है।
अतः,$d = \frac{|7/6|}{7/12} = \frac{7}{6} \times \frac{12}{7} = 2$ इकाई।

(B) पहली रेखा के दिक अनुपात $\vec{b_1} = (4, 1, 8)$ हैं।
दूसरी रेखा के दिक अनुपात $\vec{b_2} = (2, 2, 1)$ हैं।
दो रेखाओं जिनके दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,उनके बीच का कोण $\theta$ का सूत्र $\cos \theta = \left| \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} \right|$ है।
मान रखने पर:
$\cos \theta = \left| \frac{4(2) + 1(2) + 8(1)}{\sqrt{4^2 + 1^2 + 8^2} \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2}} \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{8 + 2 + 8}{\sqrt{16 + 1 + 64} \sqrt{4 + 4 + 1}} \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{18}{\sqrt{81} \cdot \sqrt{9}} \right| = \frac{18}{9 \cdot 3} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$.

(A) माना कि दो रेखाओं के दिक-अनुपात $\vec{b_1} = (1, 2, 2)$ और $\vec{b_2} = (2, 2, -1)$ हैं।
दो रेखाओं के बीच के कोण $\theta$ का सूत्र है:
$\cos \theta = \left| \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} \right|$
मान रखने पर:
$\cos \theta = \left| \frac{1(2) + 2(2) + 2(-1)}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2}} \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{2 + 4 - 2}{\sqrt{1 + 4 + 4} \sqrt{4 + 4 + 1}} \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{4}{\sqrt{9} \sqrt{9}} \right| = \frac{4}{3 \times 3} = \frac{4}{9}$
अतः,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{4}{9}\right)$.

(A) दोनों रेखाओं के दिशा सदिश $\vec{b_1} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{b_2} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ हैं।
मान लीजिए कि रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ है।
दो रेखाओं के बीच के कोण का सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}|}{|\vec{b_1}| |\vec{b_2}|}$ है।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (1)(2) + (1)(1) + (2)(-1) = 2 + 1 - 2 = 1$.
परिमाण की गणना करने पर: $|\vec{b_1}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{6}$ और $|\vec{b_2}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\cos \theta = \frac{|1|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{1}{6}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{6}\right)$।

(D) माना $\vec{a}$ और $\vec{b}$ रेखाओं $\frac{x-1}{4}=\frac{y-3}{1}=\frac{z}{8}$ और $\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-4}{1}$ की दिशा के सदिश हैं।
$\vec{a} = 4\hat{i} + \hat{j} + 8\hat{k}$ और $\vec{b} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ है।
उनका अदिश गुणनफल $\vec{a} \cdot \vec{b} = (4 \times 2) + (1 \times 2) + (8 \times 1) = 8 + 2 + 8 = 18$ है।
उनके परिमाण $|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + 1^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 1 + 64} = \sqrt{81} = 9$ और $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$ हैं।
माना $\theta$ रेखाओं के बीच का कोण है। तब $\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{18}{9 \times 3} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$ है।
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$।

(B) दोनों रेखाओं के दिशा सदिश $\vec{b_1} = \hat{\imath} - 2\hat{\jmath} - 2\hat{k}$ और $\vec{b_2} = 3\hat{\imath} + 2\hat{\jmath} - 6\hat{k}$ हैं।
रेखाओं के बीच के कोण $\theta$ का कोसाइन $\cos \theta = \frac{|\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}|}{|\vec{b_1}| |\vec{b_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,डॉट प्रोडक्ट की गणना करें: $\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (1)(3) + (-2)(2) + (-2)(-6) = 3 - 4 + 12 = 11$.
इसके बाद,परिमाण (magnitudes) की गणना करें: $|\vec{b_1}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
$|\vec{b_2}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
अतः,$\cos \theta = \frac{|11|}{3 \times 7} = \frac{11}{21}$.

(D) पहली रेखा का दिशा सदिश $\vec{b_1} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ है।
दूसरी रेखा का दिशा सदिश $\vec{b_2} = \hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ है।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}|}{|\vec{b_1}| |\vec{b_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (1)(1) + (-1)(3) + (1)(2) = 1 - 3 + 2 = 0$.
चूंकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए $\cos \theta = 0$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{\pi}{2}$।

(A) माना अभीष्ट रेखा के दिक्-अनुपात $(a, b, c)$ हैं।
दी गई पहली रेखा के दिक्-अनुपात $(1, 2, 4)$ हैं और दूसरी रेखा के दिक्-अनुपात $(2, 2, 1)$ हैं।
चूंकि अभीष्ट रेखा दोनों रेखाओं के लंबवत है,इसलिए इसका दिक्-सदिश दी गई रेखाओं के दिक्-सदिशों का सदिश गुणनफल (cross product) होगा:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 4 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-8) - \hat{j}(1-8) + \hat{k}(2-4) = -6\hat{i} + 7\hat{j} - 2\hat{k}$.
अतः,दिक्-अनुपात $(-6, 7, -2)$ या $(6, -7, 2)$ के समानुपाती हैं।
रेखा $(1, 2, 3)$ से गुजरती है,इसलिए इसका समीकरण $\frac{x-1}{6} = \frac{y-2}{-7} = \frac{z-3}{2}$ होगा।
इसे $\frac{x-1}{6} = \frac{2-y}{7} = \frac{z-3}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) बिंदुओं $A(\vec{a})$ और $B(\vec{b})$ से गुजरने वाली रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda(\vec{b} - \vec{a})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\vec{a} = 3\hat{i} + 4\hat{j} - 7\hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + 6\hat{k}$ है।
दिशा सदिश $\vec{v} = \vec{b} - \vec{a} = (1-3)\hat{i} + (-1-4)\hat{j} + (6 - (-7))\hat{k} = -2\hat{i} - 5\hat{j} + 13\hat{k}$ है।
अतः,प्राचलिक समीकरण $x = x_1 + v_x \lambda$,$y = y_1 + v_y \lambda$,$z = z_1 + v_z \lambda$ हैं।
मान रखने पर: $x = 3 - 2\lambda$,$y = 4 - 5\lambda$,$z = -7 + 13\lambda$ प्राप्त होता है।

(D) दो रेखाएँ जिनके दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,वे परस्पर लंब होती हैं यदि $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$ हो।
दी गई पहली रेखा के दिक अनुपात $(-3, 2k, 2)$ हैं और दूसरी रेखा के दिक अनुपात $(3k, 1, -5)$ हैं।
लंब होने की शर्त लागू करने पर:
$(-3)(3k) + (2k)(1) + (2)(-5) = 0$
$-9k + 2k - 10 = 0$
$-7k - 10 = 0$
$-7k = 10$
$k = \frac{-10}{7}$

(A) समतल $2x + 3y - 4z = 17$ के समांतर समतल का समीकरण $2x + 3y - 4z = d$ के रूप में होता है।
चूंकि यह समतल बिंदु $(1, -1, 1)$ से होकर गुजरता है,इसलिए इन निर्देशांकों को समीकरण में रखने पर:
$2(1) + 3(-1) - 4(1) = d$
$2 - 3 - 4 = d$
$d = -5$।
अतः,कार्तीय समीकरण $2x + 3y - 4z = -5$ है।
सदिश रूप में,यह $\bar{r} \cdot (2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}) = -5$ है।

(D) किसी बिंदु जिसका स्थिति सदिश $\bar{a}$ है,से समतल $\bar{r} \cdot \bar{n} = p$ पर डाले गए लंब की लंबाई का सूत्र $d = \frac{|\bar{a} \cdot \bar{n} - p|}{|\bar{n}|}$ है।
यहाँ,बिंदु मूल बिंदु है,इसलिए $\bar{a} = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}$.
समतल का समीकरण $\bar{r} \cdot (\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) = 14$ है,इसलिए $\bar{n} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ और $p = 14$.
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $\bar{a} \cdot \bar{n} = 0(1) + 0(-2) + 0(3) = 0$.
अभिलंब सदिश का परिमाण ज्ञात करने पर: $|\bar{n}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $d = \frac{|0 - 14|}{\sqrt{14}} = \frac{14}{\sqrt{14}} = \sqrt{14}$ इकाई।

(C) $1, -3, 4$ अंतःखंडों वाले समतल $E_{1}$ का अंतःखंड रूप $\frac{x}{1} + \frac{y}{-3} + \frac{z}{4} = 1$ है।
$12$ से गुणा करने पर,हमें $12x - 4y + 3z = 12$ प्राप्त होता है,अर्थात $12x - 4y + 3z - 12 = 0$।
इस समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 12\hat{i} - 4\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
चूंकि अभीष्ट समतल $E_{1}$ के समानांतर है,इसलिए इसका समीकरण $12x - 4y + 3z + k = 0$ के रूप का होगा।
चूंकि यह $(2, 6, -8)$ से गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करते हैं: $12(2) - 4(6) + 3(-8) + k = 0$।
$24 - 24 - 24 + k = 0 \Rightarrow k = 24$।
अतः,समीकरण $12x - 4y + 3z + 24 = 0$ है।
$12$ से भाग देने पर,हमें $x - \frac{y}{3} + \frac{z}{4} + 2 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) बिंदु $(2,3,1)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x-2)+b(y-3)+c(z-1)=0$ है $\ldots(1)$.
चूंकि बिंदु $(4,-5,3)$ समतल पर स्थित है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करते हैं:
$a(4-2)+b(-5-3)+c(3-1)=0$
$2a-8b+2c=0$
$a-4b+c=0$ $\ldots(2)$.
चूंकि समतल $y$-अक्ष के समांतर है,इसका अभिलंब सदिश $y$-अक्ष के सदिश $(0,1,0)$ के लंबवत है। अतः,$a(0)+b(1)+c(0)=0$,जिसका अर्थ है $b=0$.
समीकरण $(2)$ में $b=0$ रखने पर,हमें $a+c=0$ प्राप्त होता है,अर्थात $a=-c$.
समीकरण $(1)$ में $a=-c$ और $b=0$ रखने पर:
$-c(x-2)+0(y-3)+c(z-1)=0$
$-c$ से विभाजित करने पर:
$(x-2)-(z-1)=0$
$x-z-1=0$
$x-z=1$.

(B) समतल $x+y+3z-4=0$ के अभिलंब के दिक अनुपात $(1, 1, 3)$ हैं।
चूंकि लंब रेखा मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से होकर गुजरती है,इसलिए इसका समीकरण $\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{3} = K$ है।
इस रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु $P(K, K, 3K)$ के रूप में होगा।
चूंकि यह बिंदु $P$ समतल पर स्थित है,इसलिए यह समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$K + K + 3(3K) - 4 = 0$
$2K + 9K = 4$
$11K = 4 \Rightarrow K = \frac{4}{11}$.
$K$ का मान $P$ के निर्देशांकों में रखने पर,हमें $P = \left(\frac{4}{11}, \frac{4}{11}, \frac{12}{11}\right)$ प्राप्त होता है।

(D) समतल रेखाखंड $AB$ को लंबवत समद्विभाजित करता है,जिसका अर्थ है कि यह $AB$ के मध्य बिंदु से गुजरता है और सदिश $\vec{AB}$ समतल का अभिलंब है।
मध्य बिंदु $M = \left(\frac{3+1}{2}, \frac{2+4}{2}, \frac{-1+3}{2}\right) = (2, 3, 1)$ है।
अभिलंब सदिश $\vec{n}$ रेखा $AB$ के दिक अनुपात हैं: $\vec{n} = (1-3, 4-2, 3-(-1)) = (-2, 2, 4)$।
हम अभिलंब सदिश को $-2$ से विभाजित करके सरल बना सकते हैं,जिससे $\vec{n}' = (1, -1, -2)$ प्राप्त होता है।
$(x_0, y_0, z_0)$ से गुजरने वाले और $(a, b, c)$ अभिलंब वाले समतल का समीकरण $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ है।
मान रखने पर: $1(x-2) - 1(y-3) - 2(z-1) = 0$।
$x - 2 - y + 3 - 2z + 2 = 0$।
$x - y - 2z + 3 = 0$।

(C) दिए गए दो समतलों $P_1: x+2y-3z+2=0$ और $P_2: 6x+y+z+1=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x+2y-3z+2) + \lambda(6x+y+z+1) = 0$
$(1+6\lambda)x + (2+\lambda)y + (-3+\lambda)z + (2+\lambda) = 0$
यह समतल रेखा $\frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-7}{-1}$ के समांतर है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1+6\lambda, 2+\lambda, -3+\lambda)$ है और रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = (1, 1, -1)$ है।
चूंकि समतल रेखा के समांतर है,इसलिए अभिलंब सदिश दिशा सदिश के लंबवत होगा,अतः $\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$।
$(1+6\lambda)(1) + (2+\lambda)(1) + (-3+\lambda)(-1) = 0$
$1 + 6\lambda + 2 + \lambda + 3 - \lambda = 0$
$6\lambda + 6 = 0 \Rightarrow \lambda = -1$।
समीकरण में $\lambda = -1$ रखने पर:
$(1-6)x + (2-1)y + (-3-1)z + (2-1) = 0$
$-5x + y - 4z + 1 = 0$
$5x - y + 4z = 1$।

(D) समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,दी गई दोनों रेखाओं के दिशा सदिशों $\vec{v}_1 = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}$ और $\vec{v}_2 = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ के लंबवत होता है।
अतः,$\vec{n} = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 6 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-3-6) - \hat{j}(-2-6) + \hat{k}(2-3) = -9\hat{i} + 8\hat{j} - \hat{k}$.
हम अभिलंब सदिश को $\vec{n} = 9\hat{i} - 8\hat{j} + \hat{k}$ के रूप में ले सकते हैं।
समतल दूसरी रेखा के बिंदु $(1, 3, 4)$ से होकर गुजरता है।
समतल का समीकरण $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\vec{a} = \hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$ है।
$(x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} - (\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k})) \cdot (9\hat{i} - 8\hat{j} + \hat{k}) = 0$.
$9(x-1) - 8(y-3) + 1(z-4) = 0$.
$9x - 9 - 8y + 24 + z - 4 = 0$.
$9x - 8y + z + 11 = 0$ समतल का समीकरण है।

(B) समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ से बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ की दूरी $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि बिंदु $A(1, 1, \lambda)$ और $B(-3, 0, 1)$ समतल $3x + 4y - 12z + 13 = 0$ से समान दूरी पर हैं।
$A$ से दूरी: $d_1 = \frac{|3(1) + 4(1) - 12(\lambda) + 13|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + (-12)^2}} = \frac{|20 - 12\lambda|}{13}$.
$B$ से दूरी: $d_2 = \frac{|3(-3) + 4(0) - 12(1) + 13|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + (-12)^2}} = \frac{|-8|}{13} = \frac{8}{13}$.
चूंकि $d_1 = d_2$,इसलिए $\frac{|20 - 12\lambda|}{13} = \frac{8}{13}$,जिसका अर्थ है $|20 - 12\lambda| = 8$.
स्थिति $1$: $20 - 12\lambda = 8 \Rightarrow 12\lambda = 12 \Rightarrow \lambda = 1$.
स्थिति $2$: $20 - 12\lambda = -8 \Rightarrow 12\lambda = 28 \Rightarrow \lambda = \frac{7}{3}$.
चूंकि $\lambda$ एक पूर्णांक है,इसलिए $\lambda = 1$ सही मान है।

(D) किसी बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ की समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ से दूरी $d$ का सूत्र इस प्रकार है:
$d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
यहाँ,बिंदु $(2, -1, 0)$ है और समतल $2x + y + 2z + 8 = 0$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$d = \frac{|2(2) + 1(-1) + 2(0) + 8|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}}$
$d = \frac{|4 - 1 + 0 + 8|}{\sqrt{4 + 1 + 4}}$
$d = \frac{|11|}{\sqrt{9}}$
$d = \frac{11}{3}$ इकाई।

(B) माना मूल बिंदु $O(0, 0, 0)$ से समतल पर लंब का पाद $P(3, 2, 1)$ है।
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,सदिश $\vec{OP} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ है।
बिंदु $P(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ वाले समतल का समीकरण $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ होता है।
मान $a=3, b=2, c=1$ और $(x_1, y_1, z_1) = (3, 2, 1)$ रखने पर:
$3(x - 3) + 2(y - 2) + 1(z - 1) = 0$
$3x - 9 + 2y - 4 + z - 1 = 0$
$3x + 2y + z - 14 = 0$
$3x + 2y + z = 14$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) समतल का दिया गया समीकरण $2x + 3y + 5z = 1$ है।
निर्देशांक अक्षों पर अंतःखंड ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण को अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ में लिखते हैं।
इससे $\frac{x}{(1/2)} + \frac{y}{(1/3)} + \frac{z}{(1/5)} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$X, Y, Z$ अक्षों पर अंतःखंड क्रमशः $a = 1/2$,$b = 1/3$,और $c = 1/5$ हैं।
बिंदुओं $A, B, C$ के निर्देशांक $A = (1/2, 0, 0)$,$B = (0, 1/3, 0)$,और $C = (0, 0, 1/5)$ हैं।
$\triangle ABC$ का केंद्रक ज्ञात करने का सूत्र $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ है।
निर्देशांकों का मान रखने पर,हमें $\left(\frac{1/2 + 0 + 0}{3}, \frac{0 + 1/3 + 0}{3}, \frac{0 + 0 + 1/5}{3}\right) = \left(\frac{1}{6}, \frac{1}{9}, \frac{1}{15}\right)$ प्राप्त होता है।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(D) बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ की समतल $Ax + By + Cz + D = 0$ से दूरी $d$ ज्ञात करने का सूत्र है:
$d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
यहाँ बिंदु $(1, 2, -1)$ और समतल $x - 2y + 4z + 10 = 0$ दिया गया है,जहाँ $A=1, B=-2, C=4, D=10$ और $x_1=1, y_1=2, z_1=-1$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$d = \frac{|1(1) - 2(2) + 4(-1) + 10|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 4^2}}$
$d = \frac{|1 - 4 - 4 + 10|}{\sqrt{1 + 4 + 16}}$
$d = \frac{|3|}{\sqrt{21}} = \frac{3}{\sqrt{21}} = \frac{3}{\sqrt{3 \times 7}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \sqrt{\frac{3}{7}}$ इकाई।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) दी गई दो रेखाओं के दिशा सदिश $\vec{b_1} = \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ और $\vec{b_2} = -3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 5 \hat{k}$ हैं।
चूंकि अभीष्ट रेखा दोनों के लंबवत है,इसलिए इसका दिशा सदिश $\vec{v}$,$\vec{b_1} \times \vec{b_2}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ -3 & 2 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(10 - 6) - \hat{j}(5 - (-9)) + \hat{k}(2 - (-6)) = 4 \hat{i} - 14 \hat{j} + 8 \hat{k}$.
यह रेखा $(1, 2, 3)$ से गुजरती है,इसलिए इसका सदिश समीकरण $\bar{r} = (\hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) + \lambda(4 \hat{i} - 14 \hat{j} + 8 \hat{k})$ है।

(A) समतल $x+2y+2z+8=0$ के समांतर किसी भी समतल का समीकरण $x+2y+2z+\lambda=0$ के रूप में होता है।
दिया गया है कि इस समतल की बिंदु $(1,1,2)$ से दूरी $2$ इकाई है।
बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से समतल $Ax+By+Cz+D=0$ की दूरी $d = \frac{|Ax_1+By_1+Cz_1+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर:
$2 = \frac{|1(1)+2(1)+2(2)+\lambda|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}$
$2 = \frac{|1+2+4+\lambda|}{\sqrt{1+4+4}}$
$2 = \frac{|7+\lambda|}{\sqrt{9}}$
$2 = \frac{|7+\lambda|}{3}$
$|7+\lambda| = 6$
इसका अर्थ है $7+\lambda = 6$ या $7+\lambda = -6$ है।
स्थिति $1$: $7+\lambda = 6 \Rightarrow \lambda = -1$.
स्थिति $2$: $7+\lambda = -6 \Rightarrow \lambda = -13$.
अतः,समतलों के समीकरण $x+2y+2z-1=0$ और $x+2y+2z-13=0$ हैं।

(A) बिंदु $(1, -1, 2)$ से गुजरने वाले समतल का समीकरण $a(x - 1) + b(y + 1) + c(z - 2) = 0$ है।
चूंकि समतल $2x + 3y - 2z = 5$ और $x + 2y - 3z = 8$ के लंबवत है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$ दिए गए समतलों के अभिलंब सदिशों $\vec{n_1} = (2, 3, -2)$ और $\vec{n_2} = (1, 2, -3)$ के लंबवत होगा।
अतः,$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -2 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-9 + 4) - \hat{j}(-6 + 2) + \hat{k}(4 - 3) = -5\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}$.
इस प्रकार,$a = -5, b = 4, c = 1$.
इन मानों को समतल के समीकरण में रखने पर: $-5(x - 1) + 4(y + 1) + 1(z - 2) = 0$.
$-5x + 5 + 4y + 4 + z - 2 = 0 \Rightarrow -5x + 4y + z + 7 = 0 \Rightarrow 5x - 4y - z = 7$.
सदिश रूप में,यह $\bar{r} \cdot (5\hat{i} - 4\hat{j} - \hat{k}) = 7$ है।

(C) दिया गया समतल $2x + 3y - 4z = 17$ है। इस समतल का अभिलंब सदिश $\overline{n} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}$ है।
चूंकि अभीष्ट समतल दिए गए समतल के समांतर है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश भी $\overline{n} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}$ होगा।
बिंदु $\overline{a} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ से गुजरने वाले और अभिलंब $\overline{n}$ वाले समतल का समीकरण $\overline{r} \cdot \overline{n} = \overline{a} \cdot \overline{n}$ होता है।
यहाँ $\overline{a} \cdot \overline{n} = (1)(2) + (-1)(3) + (1)(-4) = 2 - 3 - 4 = -5$ प्राप्त होता है।
अतः,समतल का समीकरण $\overline{r} \cdot (2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}) = -5$ है।

(B) समतल का समीकरण $4x - 3y + 12z = 15$ दिया गया है।
इसे सामान्य रूप $ax + by + cz = d$ से तुलना करने पर,हमें अभिलंब सदिश $\vec{n} = 4\hat{i} - 3\hat{j} + 12\hat{k}$ प्राप्त होता है।
अभिलंब सदिश का परिमाण $|\vec{n}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 9 + 144} = \sqrt{169} = 13$ है।
समतल के लंबवत इकाई सदिश $\hat{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{4\hat{i} - 3\hat{j} + 12\hat{k}}{13}$ द्वारा दिया जाता है।

(D) दी गई रेखाओं के दिक अनुपात $\vec{b_1} = (1, 4, 7)$ और $\vec{b_2} = (3, 5, 7)$ हैं।
चूंकि समतल पहली रेखा को समाहित करता है और दूसरी रेखा के समांतर है,इसलिए समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,$\vec{b_1}$ और $\vec{b_2}$ दोनों के लंबवत होगा।
$\vec{n} = \vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 4 & 7 \\ 3 & 5 & 7 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(28-35) - \hat{j}(7-21) + \hat{k}(5-12) = -7\hat{i} + 14\hat{j} - 7\hat{k} = -7(\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})$.
अतः,समतल का समीकरण $x - 2y + z = d$ के रूप में है।
समतल बिंदु $(2, 4, 6)$ से होकर गुजरता है।
समीकरण में बिंदु रखने पर: $2 - 2(4) + 6 = 2 - 8 + 6 = 0$.
इसलिए,समतल का समीकरण $x - 2y + z = 0$ है।

(A) चूंकि बिंदु $O(0, 0, 0)$,$A(1, 2, 3)$,$B(2, 3, 4)$ और $P(x, y, z)$ समतलीय हैं,इसलिए सदिशों $\vec{OA}$,$\vec{OB}$ और $\vec{OP}$ का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए।
समतलीयता के लिए शर्त सारणिक द्वारा दी जाती है:
$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ x & y & z \end{vmatrix} = 0$
तीसरी पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$x(2 \times 4 - 3 \times 3) - y(1 \times 4 - 3 \times 2) + z(1 \times 3 - 2 \times 2) = 0$
$x(8-9) - y(4-6) + z(3-4) = 0$
$-x - y(-2) + z(-1) = 0$
$-x + 2y - z = 0$
$-1$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x - 2y + z = 0$

(D) माना कि दी गई रेखाएँ $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4}=\lambda$ और $\frac{x-3}{1}=\frac{y-k}{2}=\frac{z}{1}=\mu$ हैं।
पहली रेखा पर कोई भी बिंदु $(2\lambda+1, 3\lambda-1, 4\lambda+1)$ है और दूसरी रेखा पर कोई भी बिंदु $(\mu+3, 2\mu+k, \mu)$ है।
चूँकि रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं,इसलिए कुछ $\lambda$ और $\mu$ का अस्तित्व होना चाहिए ताकि निर्देशांक समान हों:
$2\lambda+1 = \mu+3 \implies 2\lambda - \mu = 2$ .... $(1)$
$3\lambda-1 = 2\mu+k \implies 3\lambda - 2\mu = k+1$ .... $(2)$
$4\lambda+1 = \mu \implies 4\lambda - \mu = -1$ .... $(3)$
समीकरण $(3)$ से $(1)$ को घटाने पर,$(4\lambda - \mu) - (2\lambda - \mu) = -1 - 2$,जिससे $2\lambda = -3$ प्राप्त होता है,अतः $\lambda = \frac{-3}{2}$.
$\lambda = \frac{-3}{2}$ को $(3)$ में रखने पर,$\mu = 4(\frac{-3}{2}) + 1 = -6 + 1 = -5$ प्राप्त होता है।
अब,$\lambda = \frac{-3}{2}$ और $\mu = -5$ को $(2)$ में रखने पर:
$3(\frac{-3}{2}) - 2(-5) = k+1$
$\frac{-9}{2} + 10 = k+1$
$\frac{-9+20}{2} = k+1$
$\frac{11}{2} = k+1$
$k = \frac{11}{2} - 1 = \frac{9}{2}$.

(A) एक रेखा जिसके दिक अनुपात $(a, b, c)$ हैं और एक समतल जिसका अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a_1, b_1, c_1)$ है,के बीच का कोण $\theta$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\sin \theta = \frac{|a a_1 + b b_1 + c c_1|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}}$
यहाँ,रेखा के दिक अनुपात $(a, b, c) = (2, 1, 2)$ हैं और समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (6, -2, -3)$ है।
रेखा के दिशा सदिश का परिमाण $\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$ है।
समतल के अभिलंब सदिश का परिमाण $\sqrt{6^2 + (-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\sin \theta = \frac{|(2)(6) + (1)(-2) + (2)(-3)|}{3 \times 7} = \frac{|12 - 2 - 6|}{21} = \frac{4}{21}$.
अतः,$\theta = \sin ^{-1}\left(\frac{4}{21}\right)$।

(D) रेखा $OP$ के दिक अनुपात $(1, \sqrt{2}, 1)$ हैं।
माना रेखा $OP$ के दिक कोसाइन $(l, m, n)$ हैं।
सदिश $\vec{OP}$ का परिमाण $\sqrt{1^2 + (\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 2 + 1} = \sqrt{4} = 2$ है।
अतः,दिक कोसाइन $l = \frac{1}{2}$,$m = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,और $n = \frac{1}{2}$ हैं।
$XOY$ समतल ($z=0$,अभिलंब $(0,0,1)$) के साथ कोण: $\sin \theta_1 = |0(1/2) + 0(1/\sqrt{2}) + 1(1/2)| = 1/2 \implies \theta_1 = 30^{\circ}$।
$YOZ$ समतल ($x=0$,अभिलंब $(1,0,0)$) के साथ कोण: $\sin \theta_2 = |1(1/2) + 0 + 0| = 1/2 \implies \theta_2 = 30^{\circ}$।
$ZOX$ समतल ($y=0$,अभिलंब $(0,1,0)$) के साथ कोण: $\sin \theta_3 = |0 + 1(1/\sqrt{2}) + 0| = 1/\sqrt{2} \implies \theta_3 = 45^{\circ}$।
अतः,सही उत्तर $30^{\circ}, 30^{\circ}, 45^{\circ}$ है।

(A) एक रेखा जिसके दिशा सदिश $\bar{b}$ है और एक समतल जिसके अभिलंब सदिश $\bar{n}$ है,के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र $\sin \theta = \frac{|\bar{b} \cdot \bar{n}|}{|\bar{b}| |\bar{n}|}$ है।
दी गई रेखा $\bar{r}=(\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k})+\lambda(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ के लिए,दिशा सदिश $\bar{b} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ है।
दिए गए समतल $\bar{r} \cdot(2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})=5$ के लिए,अभिलंब सदिश $\bar{n} = 2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ है।
परिमाण ज्ञात कीजिए: $|\bar{b}| = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}$ और $|\bar{n}| = \sqrt{2^2+(-1)^2+1^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$.
अदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए: $\bar{b} \cdot \bar{n} = (1)(2) + (1)(-1) + (1)(1) = 2 - 1 + 1 = 2$.
सूत्र में मान रखने पर: $\sin \theta = \frac{|2|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{18}} = \frac{2}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$.
अतः,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)$.

(A) माना रेखा $\frac{x-3}{1} = \frac{y-4}{2} = \frac{z-5}{2} = \lambda$ है।
रेखा पर कोई भी बिंदु $(x, y, z) = (\lambda+3, 2\lambda+4, 2\lambda+5)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि यह बिंदु समतल $x+y+z=2$ पर स्थित है,इसलिए हम निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(\lambda+3) + (2\lambda+4) + (2\lambda+5) = 2$.
$5\lambda + 12 = 2$.
$5\lambda = -10$,जिससे $\lambda = -2$ प्राप्त होता है।
$\lambda = -2$ को बिंदु के निर्देशांकों में वापस रखने पर,हमें प्रतिच्छेदन बिंदु प्राप्त होता है:
$x = -2+3 = 1$,$y = 2(-2)+4 = 0$,$z = 2(-2)+5 = 1$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 0, 1)$ है।
बिंदु $(3, 4, 5)$ और $(1, 0, 1)$ के बीच की दूरी दूरी सूत्र का उपयोग करके ज्ञात की जाती है:
$d = \sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$ इकाई।

(C) एक रेखा $\bar{r} = \bar{a} + \lambda \bar{b}$ समतल $\bar{r} \cdot \bar{n} = d$ के समांतर होती है यदि और केवल यदि रेखा का दिशा सदिश $\bar{b}$,समतल के अभिलंब सदिश $\bar{n}$ के लंबवत हो।
इसका अर्थ है कि सदिशों $\bar{b}$ और $\bar{n}$ का अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए,अर्थात $\bar{b} \cdot \bar{n} = 0$.
यहाँ $\bar{b} = 2 \hat{i} + \hat{j} + 2 \hat{k}$ और $\bar{n} = 3 \hat{i} - 2 \hat{j} - m \hat{k}$ है।
अदिश गुणनफल की गणना करने पर: $(2 \hat{i} + \hat{j} + 2 \hat{k}) \cdot (3 \hat{i} - 2 \hat{j} - m \hat{k}) = 0$.
$(2)(3) + (1)(-2) + (2)(-m) = 0$.
$6 - 2 - 2m = 0$.
$4 - 2m = 0$.
$2m = 4$.
$m = 2$.

(D) माना $P = (7, 5, 2)$ है।
बिंदु $P$ से गुजरने वाली और दी गई रेखा $\frac{x-1}{3} = \frac{y-2}{6} = \frac{z+1}{2}$ के समांतर रेखा का समीकरण $\frac{x-7}{3} = \frac{y-5}{6} = \frac{z-2}{2} = r$ है।
इस रेखा पर स्थित किसी बिंदु $Q$ के निर्देशांक $(3r+7, 6r+5, 2r+2)$ होंगे।
चूंकि $Q$ समतल $3x+4y+z-8=0$ पर स्थित है,इसलिए $Q$ के निर्देशांकों को समतल के समीकरण में रखने पर:
$3(3r+7) + 4(6r+5) + (2r+2) - 8 = 0$.
पदों का विस्तार करने पर:
$9r + 21 + 24r + 20 + 2r + 2 - 8 = 0$.
समान पदों को जोड़ने पर:
$35r + 35 = 0 \Rightarrow 35r = -35 \Rightarrow r = -1$.
$r = -1$ को $Q$ के निर्देशांकों में रखने पर:
$Q = (3(-1)+7, 6(-1)+5, 2(-1)+2) = (4, -1, 0)$.
दूरी सूत्र का उपयोग करके $PQ$ की दूरी:
$PQ = \sqrt{(7-4)^2 + (5-(-1))^2 + (2-0)^2} = \sqrt{3^2 + 6^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$ इकाई।

(C) दिश सदिश $\vec{b}$ वाली रेखा और अभिलंब सदिश $\vec{n}$ वाले समतल के बीच का कोण $\theta$ निकालने का सूत्र $\sin \theta = \left|\frac{\vec{b} \cdot \vec{n}}{|\vec{b}| |\vec{n}|}\right|$ है।
यहाँ,रेखा का दिश सदिश $\vec{b} = 3\hat{i} + \hat{j}$ है और समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
उनका अदिश गुणनफल $\vec{b} \cdot \vec{n} = (3)(1) + (1)(2) + (0)(3) = 3 + 2 + 0 = 5$ है।
उनके परिमाण $|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$ और $|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14}$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\sin \theta = \frac{5}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{14}} = \frac{5}{\sqrt{140}} = \frac{5}{2\sqrt{35}} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{7}}$.
अतः,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{7}}\right)$.

(C) रेखा का समीकरण $\bar{r} = \bar{a} + \lambda \bar{b}$ है,जहाँ $\bar{b} = 2 \hat{\imath} + \hat{\jmath} + 2 \hat{k}$ है।
समतल का समीकरण $\bar{r} \cdot \bar{n} = d$ है,जहाँ $\bar{n} = 3 \hat{\imath} - 2 \hat{\jmath} + m \hat{k}$ है।
चूँकि रेखा समतल के समांतर है,इसलिए रेखा का दिशा सदिश $\bar{b}$,समतल के अभिलंब सदिश $\bar{n}$ पर लंब होगा।
अतः,$\bar{b} \cdot \bar{n} = 0$.
$(2 \hat{\imath} + \hat{\jmath} + 2 \hat{k}) \cdot (3 \hat{\imath} - 2 \hat{\jmath} + m \hat{k}) = 0$.
$(2)(3) + (1)(-2) + (2)(m) = 0$.
$6 - 2 + 2m = 0$.
$4 + 2m = 0$.
$2m = -4$.
$m = -2$.

(A) माना कि दी गई रेखा $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z+3}{4}=\lambda$ है।
रेखा पर स्थित कोई बिंदु $P = (2\lambda+1, -3\lambda+2, 4\lambda-3)$ के रूप में होगा।
चूँकि यह बिंदु $P$ समतल $2x+4y-z=1$ पर स्थित है,इसलिए हम $P$ के निर्देशांकों को समतल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2(2\lambda+1) + 4(-3\lambda+2) - (4\lambda-3) = 1$.
पदों का विस्तार करने पर:
$4\lambda + 2 - 12\lambda + 8 - 4\lambda + 3 = 1$.
$\lambda$ वाले पदों और अचर पदों को जोड़ने पर:
$-12\lambda + 13 = 1$.
$-12\lambda = -12$,जिससे $\lambda = 1$ प्राप्त होता है।
अब $\lambda = 1$ को $P$ के निर्देशांकों में रखने पर:
$x = 2(1)+1 = 3$,
$y = -3(1)+2 = -1$,
$z = 4(1)-3 = 1$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(3, -1, 1)$ है।

(C) रेखा $\bar{r}=\bar{a}+\lambda\bar{b}$ और समतल $\bar{r} \cdot \bar{n}=p$ के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार दिया जाता है: $\sin \theta = \frac{|\bar{b} \cdot \bar{n}|}{|\bar{b}| |\bar{n}|}$.
यहाँ,$\bar{b} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ और $\bar{n} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ है।
डॉट प्रोडक्ट की गणना करने पर: $\bar{b} \cdot \bar{n} = (1)(2) + (-1)(-1) + (1)(1) = 2 + 1 + 1 = 4$.
परिमाण की गणना करने पर: $|\bar{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ और $|\bar{n}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$ है।
सूत्र में मान रखने पर: $\sin \theta = \frac{4}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}} = \frac{4}{\sqrt{18}} = \frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
अतः,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$।

(D) रेखा का समीकरण $\bar{r}=(2 \hat{i}+\hat{j}-4 \hat{k})+\lambda(\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k})$ है।
इस रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक $(x, y, z) = (2+\lambda, 1-2\lambda, -4+2\lambda)$ के रूप में लिखे जा सकते हैं।
$XOY$-समतल का समीकरण $z=0$ होता है।
चूंकि प्रतिच्छेदन बिंदु $XOY$-समतल पर स्थित है,इसलिए हम $z$-निर्देशांक को शून्य के बराबर रखते हैं:
$-4+2\lambda = 0 \Rightarrow 2\lambda = 4 \Rightarrow \lambda = 2$.
$\lambda = 2$ का मान निर्देशांकों में रखने पर:
$x = 2+2 = 4$
$y = 1-2(2) = 1-4 = -3$
$z = -4+2(2) = 0$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(4, -3, 0)$ है और इसका स्थिति सदिश $4 \hat{i}-3 \hat{j}$ है।

(B) माना $\cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)=\theta$,तो $\cos \theta=\frac{1}{3}$ है।
चूँकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए $\sin \theta = \sqrt{1-\left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,दिया गया समीकरण $\sin (x+y)+\cos (x+y)=\frac{2\sqrt{2}}{3}$ है।
चूँकि $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ एक अचर है,इसलिए $(x+y)$ भी अचर होगा।
माना $x+y = C$,जहाँ $C$ एक अचर है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(x+y) = \frac{d}{dx}(C)$
$1 + \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -1$.