दो समतलों x+2y-3z+2=0 और 6x+y+z+1=0 के प्रतिच | vedclass

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Question

(C) दिए गए दो समतलों $P_1: x+2y-3z+2=0$ और $P_2: 6x+y+z+1=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।

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$5x-y+4z=1$

Vedclass · Answer

(C) दिए गए दो समतलों $P_1: x+2y-3z+2=0$ और $P_2: 6x+y+z+1=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले समतल का समीकरण $P_1 + \lambda P_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है। $(x+2y-3z+2) + \lambda(6x+y+z+1) = 0$ $(1+6\lambda)x + (2+\lambda)y + (-3+\lambda)z + (2+\lambda) = 0$ यह समतल रेखा $\frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-7}{-1}$ के समांतर है। समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = (1+6\lambda, 2+\lambda, -3+\lambda)$ है और रेखा का दिशा सदिश $\vec{v} = (1, 1, -1)$ है। चूंकि समतल रेखा के समांतर है,इसलिए अभिलंब सदिश दिशा सदिश के लंबवत होगा,अतः $\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$। $(1+6\lambda)(1) + (2+\lambda)(1) + (-3+\lambda)(-1) = 0$ $1 + 6\lambda + 2 + \lambda + 3 - \lambda = 0$ $6\lambda + 6 = 0 \Rightarrow \lambda = -1$। समीकरण में $\lambda = -1$ रखने पर: $(1-6)x + (2-1)y + (-3-1)z + (2-1) = 0$ $-5x + y - 4z + 1 = 0$ $5x - y + 4z = 1$।

दो समतलों $x+2y-3z+2=0$ और $6x+y+z+1=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले और रेखा $x-1=y+2=7-z$ के समांतर समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

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रेखा $x + 2y + 3z - 5 = 0 = 3x + 2y + z - 5$ को समाहित करने वाले और रेखा $x - 1 = 2 - y = z - 3$ के समांतर समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए।

$m$ का मान ज्ञात कीजिए,ताकि रेखा $\frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{2z-m}{3}$,समतल $2x-5y+2z=7$ में स्थित हो।

रेखा $\frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{-5}=\frac{z+2}{2}$ समतल $x+3y-\alpha z+\beta=0$ में स्थित है,तो $\alpha \beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

वह बिंदु जहाँ रेखा $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z+3}{4}$ समतल $2x+4y-z=1$ से मिलती है,है:

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