MHT CET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) द्विपद वितरण के लिए,माध्य $\mu = np$ और प्रसरण $\sigma^2 = npq$ होता है,जहाँ $q = 1-p$ है।
दिया गया है कि $n = 5$ और $np + npq = 1 \cdot 8$ है।
मान रखने पर,हमें $5p + 5pq = 1 \cdot 8$ प्राप्त होता है।
$5p(1 + q) = 1 \cdot 8$.
चूँकि $q = 1 - p$,इसलिए $5p(1 + 1 - p) = 1 \cdot 8$.
$5p(2 - p) = 1 \cdot 8$.
$10p - 5p^2 = 1 \cdot 8$.
$5p^2 - 10p + 1 \cdot 8 = 0$.
सरल करने के लिए $5$ से गुणा करने पर: $25p^2 - 50p + 9 = 0$.
द्विघात सूत्र $p = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$p = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 4(25)(9)}}{50} = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 900}}{50} = \frac{50 \pm \sqrt{1600}}{50} = \frac{50 \pm 40}{50}$.
$p = \frac{90}{50} = 1 \cdot 8$ (संभव नहीं क्योंकि $0 \le p \le 1$) या $p = \frac{10}{50} = 0 \cdot 2$.
अतः,$p = 0 \cdot 2$.

(B) माना $X$ $n = 100$ परीक्षणों में सफलताओं की संख्या है। यह द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है।
यहाँ,पासे को एक बार फेंकने पर सम संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है।
असफलता की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
द्विपद वितरण का प्रसरण $\text{Var}(X) = npq$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $\text{Var}(X) = 100 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = 100 \times \frac{1}{4} = 25$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रसरण $25$ है।

(A) $8$ में से $2$ बैटरी चुनने के कुल तरीके $^{8}C_{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ हैं।
माना $X$ खराब बैटरी की संख्या है। खराब बैटरी की संख्या $3$ है और सही बैटरी की संख्या $5$ है।
हमें $P(X \leq 1) = P(X=0) + P(X=1)$ ज्ञात करना है।
$P(X=0)$ शून्य खराब और $2$ सही बैटरी चुनने की प्रायिकता है: $P(X=0) = \frac{^{3}C_{0} \times ^{5}C_{2}}{^{8}C_{2}} = \frac{1 \times 10}{28} = \frac{10}{28}$.
$P(X=1)$ एक खराब और एक सही बैटरी चुनने की प्रायिकता है: $P(X=1) = \frac{^{3}C_{1} \times ^{5}C_{1}}{^{8}C_{2}} = \frac{3 \times 5}{28} = \frac{15}{28}$.
अतः,$P(X \leq 1) = \frac{10}{28} + \frac{15}{28} = \frac{25}{28}$.

(A) चूंकि $f(x)$ एक यादृच्छिक चर $X$ का p.d.f. है,इसलिए वक्र के नीचे का कुल क्षेत्रफल $1$ होना चाहिए।
$\int_{0}^{1} f(x) dx = 1 \Rightarrow \int_{0}^{1} K(x-x^2) dx = 1$
$K \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = 1 \Rightarrow K \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = 1$
$K \left( \frac{1}{6} \right) = 1 \Rightarrow K = 6$
अब,हम $P(X < \frac{1}{2}) = \int_{0}^{\frac{1}{2}} 6(x-x^2) dx$ की गणना करते हैं।
$= 6 \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{\frac{1}{2}} = \left[ 3x^2 - 2x^3 \right]_{0}^{\frac{1}{2}}$
$= 3 \left( \frac{1}{2} \right)^2 - 2 \left( \frac{1}{2} \right)^3 = 3 \left( \frac{1}{4} \right) - 2 \left( \frac{1}{8} \right)$
$= \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

(B) दिया गया प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=x) = \frac{{}^{5}C_{x}}{2^{5}}$ है,जहाँ $x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ है।
हमें $P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ की गणना करनी है।
$P(X=0) = \frac{{}^{5}C_{0}}{2^{5}} = \frac{1}{32}$
$P(X=1) = \frac{{}^{5}C_{1}}{2^{5}} = \frac{5}{32}$
$P(X=2) = \frac{{}^{5}C_{2}}{2^{5}} = \frac{10}{32}$
इन मानों को जोड़ने पर: $P(X \leq 2) = \frac{1+5+10}{32} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$।
अब,विकल्पों की जाँच करते हैं:
$P(X \geq 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = \frac{{}^{5}C_{3} + {}^{5}C_{4} + {}^{5}C_{5}}{2^{5}} = \frac{10+5+1}{32} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$।
चूँकि $P(X \leq 2) = \frac{1}{2}$ और $P(X \geq 3) = \frac{1}{2}$ है,इसलिए $P(X \leq 2) = P(X \geq 3)$ है।

(A) प्रायिकता घनत्व फलन के लिए,वक्र के अंतर्गत कुल क्षेत्रफल $1$ होना चाहिए।
$\int_{0}^{4} f(x) dx = 1$
$\int_{0}^{4} \frac{k}{\sqrt{x}} dx = 1$
$k [2\sqrt{x}]_{0}^{4} = 1$
$k [2(2) - 0] = 1 \Rightarrow 4k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{4}$
अब,हम $P(1 < X < 4)$ की गणना करते हैं:
$P(1 < X < 4) = \int_{1}^{4} \frac{1/4}{\sqrt{x}} dx$
$= \frac{1}{4} [2\sqrt{x}]_{1}^{4}$
$= \frac{1}{2} [\sqrt{4} - \sqrt{1}]$
$= \frac{1}{2} [2 - 1] = \frac{1}{2}$

(D) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
इसलिए,$k + 0 + 2k + 5k + k + 3k = 1$।
$12k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{12}$।
हमें $P(X \geq 4)$ ज्ञात करना है,जो $P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)$ है।
$P(X \geq 4) = 5k + k + 3k = 9k$।
$k$ का मान रखने पर,हमें $P(X \geq 4) = 9 \times \frac{1}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया प्रायिकता द्रव्यमान फलन द्विपद बंटन $B(n, p)$ का है,जहाँ $n = 6$ और $p = \frac{1}{3}$ है।
चूँकि $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ है,इसलिए बंटन $P(X=x) = \binom{6}{x} \left(\frac{1}{3}\right)^{x} \left(\frac{2}{3}\right)^{6-x}$ है।
माध्य $\mu = np = 6 \times \frac{1}{3} = 2$.
प्रसरण $\sigma^{2} = npq = 6 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$.
अब,$2\mu + 12\sigma^{2} = 2(2) + 12\left(\frac{4}{3}\right) = 4 + 16 = 20$.

(D) प्रायिकता द्रव्यमान फलन के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,$P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = 1$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $k + \frac{k}{3} + \frac{k}{4} + \frac{k}{2} + \frac{k}{2} = 1$.
हरों $(3, 4, 2, 2)$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $12$ लेने पर:
$\frac{12k + 4k + 3k + 6k + 6k}{12} = 1$.
अंशों को जोड़ने पर: $\frac{31k}{12} = 1$.
$k$ के लिए हल करने पर: $k = \frac{12}{31}$.

(C) संचयी वितरण फलन $F(x)$ को $F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$-1 < x < 2$ के लिए,हमारे पास है:
$F(x) = \int_{-1}^{x} \frac{t^3}{3} dt$
$F(x) = \frac{1}{3} \left[ \frac{t^4}{4} \right]_{-1}^{x}$
$F(x) = \frac{1}{3} \left( \frac{x^4}{4} - \frac{(-1)^4}{4} \right)$
$F(x) = \frac{1}{3} \left( \frac{x^4}{4} - \frac{1}{4} \right)$
$F(x) = \frac{1}{12} (x^4 - 1)$

(A) दिया गया p.d.f. $f(x) = \frac{1}{2}$ है,जहाँ $0 < x < 2$ है।
सबसे पहले,हम $a = P(X < \frac{1}{2})$ की गणना करते हैं:
$a = \int_{0}^{1/2} \frac{1}{2} dx = \frac{1}{2} [x]_{0}^{1/2} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - 0) = \frac{1}{4}$.
इसके बाद,हम $b = P(X > \frac{3}{2})$ की गणना करते हैं:
$b = \int_{3/2}^{2} \frac{1}{2} dx = \frac{1}{2} [x]_{3/2}^{2} = \frac{1}{2} (2 - \frac{3}{2}) = \frac{1}{2} (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$.
$a$ और $b$ की तुलना करने पर,हमें $a = \frac{1}{4}$ और $b = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$a - b = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0$.

(C) संचयी वितरण फलन (c.d.f.) $F(x) = P(X \leq x) = \frac{\sqrt{x}}{2}$ दिया गया है।
हमें प्रायिकता $P[X > 1]$ ज्ञात करनी है।
संचयी वितरण फलन के गुणधर्म के अनुसार,$P(X > x) = 1 - P(X \leq x) = 1 - F(x)$ होता है।
इसलिए,$P[X > 1] = 1 - F(1)$.
दिए गए फलन में $x = 1$ रखने पर: $F(1) = \frac{\sqrt{1}}{2} = \frac{1}{2}$।
अतः,$P[X > 1] = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$।

(B) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,$P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) = 1$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $k + 2k + 4k + 2k + k = 1$.
$10k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{10}$.
हमें $P(X \leq 2)$ ज्ञात करना है,जो $P(0) + P(1) + P(2)$ है।
$P(X \leq 2) = k + 2k + 4k = 7k$.
$k$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $7 \times \frac{1}{10} = \frac{7}{10}$.

(D) चूंकि $f(x)$ एक प्रायिकता घनत्व फलन है,इसलिए वक्र के नीचे का कुल क्षेत्रफल $1$ होना चाहिए:
$\int_{-2}^{2} k(4 - x^2) dx = 1$
चूंकि फलन सम है,हमारे पास $2k \int_{0}^{2} (4 - x^2) dx = 1$ है।
$2k [4x - \frac{x^3}{3}]_0^2 = 1$
$2k (8 - \frac{8}{3}) = 1 \Rightarrow 2k(\frac{16}{3}) = 1 \Rightarrow k = \frac{3}{32}$.
अब,हम $P[-1 < X < 1]$ की गणना करते हैं:
$P[-1 < X < 1] = \int_{-1}^{1} \frac{3}{32}(4 - x^2) dx = 2 \times \frac{3}{32} \int_{0}^{1} (4 - x^2) dx$
$= \frac{6}{32} [4x - \frac{x^3}{3}]_0^1 = \frac{3}{16} (4 - \frac{1}{3}) = \frac{3}{16} \times \frac{11}{3} = \frac{11}{16}$.

(B) प्रायिकता $P(|X| < 2)$ का मान $P(-2 < X < 2)$ के बराबर है।
दिए गए p.d.f. $f(x) = \frac{x+2}{18}$ का अंतराल $(-2, 2)$ पर समाकलन करने पर:
$P(-2 < X < 2) = \int_{-2}^{2} \frac{x+2}{18} dx$
$= \frac{1}{18} \left[ \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^{2}$
$= \frac{1}{18} \left[ (\frac{2^2}{2} + 2(2)) - (\frac{(-2)^2}{2} + 2(-2)) \right]$
$= \frac{1}{18} \left[ (2 + 4) - (2 - 4) \right]$
$= \frac{1}{18} [6 - (-2)]$
$= \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$

(C) प्रायिकता द्रव्यमान फलन (p.m.f.) के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए,अर्थात $\sum P(X) = 1$.
दिया गया है $P(X) = k \binom{4}{x}$ जहाँ $x = 0, 1, 2, 3, 4$.
प्रत्येक प्रायिकता की गणना करने पर:
$P(X=0) = k \binom{4}{0} = k \times 1 = k$
$P(X=1) = k \binom{4}{1} = k \times 4 = 4k$
$P(X=2) = k \binom{4}{2} = k \times 6 = 6k$
$P(X=3) = k \binom{4}{3} = k \times 4 = 4k$
$P(X=4) = k \binom{4}{4} = k \times 1 = k$
इन प्रायिकताओं का योग करने पर:
$k + 4k + 6k + 4k + k = 1$
$16k = 1$
$k = \frac{1}{16}$

(D) माध्य $E(X)$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$E(X) = \sum x_i P_i = (-2)(0.2) + (-1)(0.3) + (0)(0.1) + (1)(0.15) + (2)(0.25)$
$E(X) = -0.4 - 0.3 + 0 + 0.15 + 0.5 = -0.05$
इसके बाद,हम $E(X^2)$ की गणना करते हैं:
$E(X^2) = \sum x_i^2 P_i = (-2)^2(0.2) + (-1)^2(0.3) + (0)^2(0.1) + (1)^2(0.15) + (2)^2(0.25)$
$E(X^2) = (4)(0.2) + (1)(0.3) + 0 + (1)(0.15) + (4)(0.25)$
$E(X^2) = 0.8 + 0.3 + 0.15 + 1.0 = 2.25$
प्रसरण $Var(X)$ इस प्रकार प्राप्त होता है:
$Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
$Var(X) = 2.25 - (-0.05)^2$
$Var(X) = 2.25 - 0.0025 = 2.2475$

(C) दिया गया प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=x) = \frac{\binom{5}{x}}{2^5}$ है,जहाँ $x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ है।
प्रायिकताओं की गणना करने पर:
$P(X=0) = \frac{\binom{5}{0}}{32} = \frac{1}{32}$,$P(X=1) = \frac{\binom{5}{1}}{32} = \frac{5}{32}$,$P(X=2) = \frac{\binom{5}{2}}{32} = \frac{10}{32}$,$P(X=3) = \frac{\binom{5}{3}}{32} = \frac{10}{32}$,$P(X=4) = \frac{\binom{5}{4}}{32} = \frac{5}{32}$,$P(X=5) = \frac{\binom{5}{5}}{32} = \frac{1}{32}$.
अब विकल्पों की जाँच करते हैं:
$A$. $P(X \leq 1) = P(0) + P(1) = \frac{1+5}{32} = \frac{6}{32}$ और $P(X \geq 4) = P(4) + P(5) = \frac{5+1}{32} = \frac{6}{32}$. अतः,$P(X \leq 1) = P(X \geq 4)$ सत्य है।
$B$. $P(X \leq 2) = P(0) + P(1) + P(2) = \frac{1+5+10}{32} = \frac{16}{32} = 0.5$. $P(X \geq 4) = \frac{6}{32} = 0.1875$. चूँकि $0.5 \geq 0.1875$,यह सत्य है।
$C$. $P(X \leq 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = \frac{1+5+10+10}{32} = \frac{26}{32} = 0.8125$. $P(X \geq 3) = P(3) + P(4) + P(5) = \frac{10+5+1}{32} = \frac{16}{32} = 0.5$. चूँकि $0.8125 \leq 0.5$ असत्य है,इसलिए विकल्प $C$ सत्य नहीं है।
$D$. $P(X \leq 2) = \frac{16}{32} = 0.5$ और $P(X \geq 3) = \frac{16}{32} = 0.5$. अतः,$P(X \leq 2) = P(X \geq 3)$ सत्य है।

(C) हमें प्रायिकता घनत्व फलन $f(x) = \frac{x+2}{18}$ दिया गया है,जहाँ $-2 < x < 4$ है।
हमें $P[|x| < 1]$ ज्ञात करना है।
शर्त $|x| < 1$ का अर्थ $-1 < x < 1$ है।
अतः,$P[|x| < 1] = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx = \int_{-1}^{1} \frac{x+2}{18} \, dx$.
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$P = \frac{1}{18} \int_{-1}^{1} (x+2) \, dx = \frac{1}{18} \left[ \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^{1}$.
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$P = \frac{1}{18} \left[ (\frac{1}{2} + 2) - (\frac{(-1)^2}{2} + 2(-1)) \right]$.
$P = \frac{1}{18} \left[ (\frac{1}{2} + 2) - (\frac{1}{2} - 2) \right]$.
$P = \frac{1}{18} [ \frac{1}{2} + 2 - \frac{1}{2} + 2 ] = \frac{1}{18} [4] = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) जब एक पासे को फेंका जाता है,तो संभावित परिणाम $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ होते हैं।
किसी भी संख्या $x \in S$ को प्राप्त करने की प्रायिकता $P(x) = \frac{1}{6}$ है।
प्रत्याशा $E(X)$ का सूत्र $E(X) = \sum x \cdot P(x)$ है।
$E(X) = (1 \times \frac{1}{6}) + (2 \times \frac{1}{6}) + (3 \times \frac{1}{6}) + (4 \times \frac{1}{6}) + (5 \times \frac{1}{6}) + (6 \times \frac{1}{6})$.
$E(X) = \frac{1}{6} \times (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)$.
$E(X) = \frac{1}{6} \times 21 = 3.5$.

(C) $P(X \leq 2)$ ज्ञात करने के लिए,हम प्रायिकता घनत्व फलन $f(x)$ का $0$ से $2$ की सीमाओं के बीच समाकलन करेंगे।
$P(X \leq 2) = \int_{0}^{2} f(x) \, dx$
$P(X \leq 2) = \int_{0}^{2} \frac{x}{8} \, dx$
$P(X \leq 2) = \frac{1}{8} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2}$
$P(X \leq 2) = \frac{1}{8} \left( \frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right)$
$P(X \leq 2) = \frac{1}{8} \left( \frac{4}{2} \right) = \frac{1}{8} \times 2 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

(B) मानक विचलन ज्ञात करने के लिए,हम पहले माध्य $\mu = E(X)$ और प्रसरण $\sigma^2 = E(X^2) - [E(X)]^2$ की गणना करेंगे।
प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:

$x_i$	$p_i$	$p_i x_i$	$p_i x_i^2$
$0$	$q^2$	$0$	$0$
$1$	$2pq$	$2pq$	$2pq$
$2$	$p^2$	$2p^2$	$4p^2$
कुल	$1$	$2pq + 2p^2$	$2pq + 4p^2$

माध्य $\mu = E(X) = \sum p_i x_i = 2pq + 2p^2 = 2p(q+p)$.
चूंकि $p+q=1$,इसलिए $\mu = 2p(1) = 2p$.
प्रसरण $\sigma^2 = E(X^2) - \mu^2 = (2pq + 4p^2) - (2p)^2 = 2pq + 4p^2 - 4p^2 = 2pq$.
मानक विचलन $\sigma = \sqrt{\text{प्रसरण}} = \sqrt{2pq}$.

(B) एक असतत यादृच्छिक चर $X$ के लिए,प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P[X=x]$ संचयी वितरण फलन $F(x)$ से निम्नलिखित सूत्र द्वारा संबंधित है:
$P[X=x] = F(x) - F(x^-)$
जहाँ $F(x^-)$ मान $x$ से ठीक पहले के मान पर संचयी वितरण फलन का मान है।
इस मामले में,हम $P[X=3]$ ज्ञात करना चाहते हैं।
तालिका को देखने पर,$3$ से ठीक पहले $X$ का मान $1$ है।
इसलिए,$P[X=3] = F(3) - F(1)$.
तालिका से:
$F(3) = 0.75$
$F(1) = 0.65$
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$P[X=3] = 0.75 - 0.65 = 0.10$
अतः,सही विकल्प $(B)$ है।

(B) संचयी वितरण फलन $F(x)$ को $F(x) = P(X \leq x)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
हमें $F(1.5) - F(-0.5) = P(X \leq 1.5) - P(X \leq -0.5)$ की गणना करनी है।
एक असतत यादृच्छिक चर के लिए प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(X \leq x) = \sum_{x_i \leq x} P(X = x_i)$ होता है।
इसलिए,$P(X \leq 1.5) = P(X = -1.5) + P(X = -0.5) + P(X = 0.5) + P(X = 1.5) = 0.05 + 0.2 + 0.15 + 0.25 = 0.65$ है।
और $P(X \leq -0.5) = P(X = -1.5) + P(X = -0.5) = 0.05 + 0.2 = 0.25$ है।
अतः,$F(1.5) - F(-0.5) = 0.65 - 0.25 = 0.4$ है।
वैकल्पिक रूप से,$F(1.5) - F(-0.5) = P(-0.5 < X \leq 1.5) = P(X = 0.5) + P(X = 1.5) = 0.15 + 0.25 = 0.4$ है।
सही विकल्प $B$ है।

(A) संचयी वितरण फलन $F(x)$ प्रायिकता घनत्व फलन $f(x)$ का समाकल है।
$F(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt = \int_{0}^{x} 3(1 - 2t^2) dt$.
समाकलन करने पर:
$F(x) = 3 \left[ t - \frac{2t^3}{3} \right]_{0}^{x} = 3 \left( x - \frac{2x^3}{3} \right)$.
दिए गए रूप $F(x) = k(x - \frac{2x^3}{k}) = kx - 2x^3$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = 3$ प्राप्त होता है।

(A) प्रायिकता वितरण के लिए,सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए।
अतः,$k + 3k + 3k + k = 1$,जिसका अर्थ है $8k = 1$,इसलिए $k = \frac{1}{8}$।
माध्य $E(X) = \sum x_i P(x_i) = (0 \times \frac{1}{8}) + (1 \times \frac{3}{8}) + (2 \times \frac{3}{8}) + (3 \times \frac{1}{8}) = 0 + \frac{3}{8} + \frac{6}{8} + \frac{3}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$।
वर्ग का अपेक्षित मान,$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = (0^2 \times \frac{1}{8}) + (1^2 \times \frac{3}{8}) + (2^2 \times \frac{3}{8}) + (3^2 \times \frac{1}{8}) = 0 + \frac{3}{8} + \frac{12}{8} + \frac{9}{8} = \frac{24}{8} = 3$।
प्रसरण $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$।
$Var(X) = 3 - (\frac{3}{2})^2 = 3 - \frac{9}{4} = \frac{12 - 9}{4} = \frac{3}{4}$।

(A) संचयी वितरण फलन $F(x)$ को $F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$0 < x < 4$ के लिए,$F(x) = \int_{0}^{x} \frac{t}{8} dt$.
$F(x) = \frac{1}{8} \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{x} = \frac{1}{16} (x^2 - 0) = \frac{x^2}{16}$.
अब,$F(x)$ के व्यंजक में $x = 0.5$ रखने पर:
$F(0.5) = \frac{(0.5)^2}{16} = \frac{0.25}{16} = \frac{1/4}{16} = \frac{1}{64}$.

(A) दिया गया है $X \sim B\left(8, \frac{1}{2}\right)$,अतः $n=8, p=\frac{1}{2}, q=\frac{1}{2}$ है।
हमें $P(|X-4| \leq 2)$ ज्ञात करना है।
यह असमिका $|X-4| \leq 2$ का अर्थ है $-2 \leq X-4 \leq 2$,जो सरल होकर $2 \leq X \leq 6$ हो जाता है।
अतः,हमें $P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6)$ की गणना करनी है।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X=k) = {}^{8}C_{k} \left(\frac{1}{2}\right)^{k} \left(\frac{1}{2}\right)^{8-k} = {}^{8}C_{k} \left(\frac{1}{2}\right)^{8}$ है।
इन प्रायिकताओं का योग करने पर:
$P(2 \leq X \leq 6) = \left(\frac{1}{2}\right)^{8} \left[ {}^{8}C_{2} + {}^{8}C_{3} + {}^{8}C_{4} + {}^{8}C_{5} + {}^{8}C_{6} \right]$.
संचय की गणना करने पर:
${}^{8}C_{2} = 28, {}^{8}C_{3} = 56, {}^{8}C_{4} = 70, {}^{8}C_{5} = 56, {}^{8}C_{6} = 28$.
योग $= 28 + 56 + 70 + 56 + 28 = 238$.
अतः,$P(2 \leq X \leq 6) = \frac{238}{256} = \frac{119}{128}$.

(A) यादृच्छिक चर $X$ का प्रसरण ज्ञात करने के लिए,हम सूत्र $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ का उपयोग करते हैं।

$x_{i}$	$p(x_{i})$	$p_{i} x_{i}$	$p_{i} x_{i}^{2}$
$0$	$\frac{1}{5}$	$0$	$0$
$1$	$\frac{2}{5}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{2}{5}$
$2$	$\frac{2}{5}$	$\frac{4}{5}$	$\frac{8}{5}$

सबसे पहले,माध्य $E(X) = \sum p_{i} x_{i} = 0 + \frac{2}{5} + \frac{4}{5} = \frac{6}{5}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$E(X^2) = \sum p_{i} x_{i}^{2} = 0 + \frac{2}{5} + \frac{8}{5} = \frac{10}{5} = 2$ ज्ञात करें।
अब,प्रसरण की गणना करें: $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 2 - (\frac{6}{5})^2 = 2 - \frac{36}{25} = \frac{50 - 36}{25} = \frac{14}{25}$।

(C) यादृच्छिक चर $X$ के मान $x_i \in \{0, 1, 2\}$ हैं।
दिया गया माध्य $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 1.2$ है।
मान रखने पर: $(0 \times P(X=0)) + (1 \times P(X=1)) + (2 \times P(X=2)) = 1.2$।
चूंकि $P(X=0) = 0.3$ है,इसलिए: $0 + P(X=1) + 2P(X=2) = 1.2 \implies P(X=1) + 2P(X=2) = 1.2$ (समीकरण $1$)।
साथ ही,प्रायिकताओं का योग $1$ होता है: $P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1$।
$0.3 + P(X=1) + P(X=2) = 1 \implies P(X=1) + P(X=2) = 0.7$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ से समीकरण $2$ घटाने पर: $(P(X=1) + 2P(X=2)) - (P(X=1) + P(X=2)) = 1.2 - 0.7$।
$P(X=2) = 0.5$।
$P(X=2) = 0.5$ को समीकरण $2$ में रखने पर: $P(X=1) + 0.5 = 0.7 \implies P(X=1) = 0.2$।

(B) माना $X$ $100$ परीक्षणों में सफलताओं (सम संख्या प्राप्त करना) की संख्या को दर्शाता है।
तब $X$ $n = 100$,$p = \frac{1}{2}$ और $q = \frac{1}{2}$ के साथ द्विपद वितरण का पालन करता है।
$X$ का प्रसरण = $npq = 100 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = 25$।
मानक विचलन = $\sqrt{\text{प्रसरण}} = \sqrt{25} = 5$।

(C) मान लीजिए कि रेखा की दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) $l, m, n$ हैं। चूँकि रेखा प्रत्येक निर्देशांक अक्ष के साथ समान कोण $\alpha$ बनाती है,इसलिए $l = \cos \alpha$,$m = \cos \alpha$,और $n = \cos \alpha$ होगा।
हम जानते हैं कि किसी भी रेखा के लिए $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ होता है।
मान रखने पर,$\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ प्राप्त होता है।
$3 \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow \cos^2 \alpha = \frac{1}{3}$।
चूँकि रेखा प्रथम अष्टांश $OXYZ$ में है,इसलिए दिक्-कोज्याएँ धनात्मक होनी चाहिए,अतः $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
अतः,$l = m = n = \frac{1}{\sqrt{3}}$।

(C) माना रेखा के दिक्-कोण $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
चूंकि रेखा निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती है,इसलिए $\alpha = \beta = \gamma$ है।
दिक्-कोसाइन $l = \cos \alpha, m = \cos \beta, n = \cos \gamma$ द्वारा दिए जाते हैं।
हम जानते हैं कि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$,जिसका अर्थ है $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$।
$\alpha = \beta = \gamma$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $3 \cos^2 \alpha = 1$ प्राप्त होता है।
इससे $\cos^2 \alpha = \frac{1}{3}$,अतः $\cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$।
चूंकि कोण न्यून कोण हैं,इसलिए $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ धनात्मक होने चाहिए।
अतः,दिक्-कोसाइन $\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}$ हैं।

(D) दो समतल $a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$ समांतर होते हैं यदि उनके अभिलंब सदिश आनुपातिक हों,अर्थात $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.
दिए गए समतल $2x - 5y + z - 8 = 0$ और $2\lambda x - 15y + \lambda z + 6 = 0$ हैं।
गुणांकों की तुलना करने पर:
$\frac{2}{2\lambda} = \frac{-5}{-15} = \frac{1}{\lambda}$.
अनुपातों को सरल करने पर:
$\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{3} = \frac{1}{\lambda}$.
अतः,$\lambda = 3$ प्राप्त होता है।

(B) दिक्कोसाइन उन कोणों के कोसाइन होते हैं जो एक रेखा धनात्मक अक्षों के साथ बनाती है। इन्हें $\langle l, m, n \rangle$ द्वारा दर्शाया जाता है जहाँ $l, m, n$ क्रमशः $x$-अक्ष,$y$-अक्ष और $z$-अक्ष के संगत होते हैं। दिक्कोसाइन के वर्गों का योग इकाई होता है,अर्थात $l^{2} + m^{2} + n^{2} = 1$.
चूंकि रेखा $ZOX$ समतल में स्थित है,यह $y$-अक्ष के लंबवत है। इसलिए,$y$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण $90^{\circ}$ है,अतः $m = \cos(90^{\circ}) = 0$.
रेखा $Z$-अक्ष के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाती है,इसलिए $n = \cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
गुणधर्म $l^{2} + m^{2} + n^{2} = 1$ का उपयोग करते हुए,$m = 0$ और $n = \frac{\sqrt{3}}{2}$ रखने पर:
$l^{2} + 0^{2} + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} = 1$
$l^{2} + \frac{3}{4} = 1$
$l^{2} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
$l = \pm \frac{1}{2}$.
अतः,दिक्कोसाइन $\langle \pm \frac{1}{2}, 0, \frac{\sqrt{3}}{2} \rangle$ हैं।

(A) दो सदिश $\vec{a} = a_1 \hat{\imath} + a_2 \hat{\jmath} + a_3 \hat{k}$ और $\vec{b} = b_1 \hat{\imath} + b_2 \hat{\jmath} + b_3 \hat{k}$ संरेख होते हैं यदि उनके संगत घटक समानुपाती हों,अर्थात $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3}$।
दिए गए सदिश $(2, -q, 3)$ और $(4, -5, 6)$ हैं।
अनुपातों को बराबर रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{2}{4} = \frac{-q}{-5} = \frac{3}{6}$
भिन्नों को सरल करने पर:
$\frac{1}{2} = \frac{q}{5} = \frac{1}{2}$
$\frac{1}{2} = \frac{q}{5}$ से,हमें प्राप्त होता है:
$q = \frac{5}{2}$

(C) दो रेखाओं,जिनके दिक्-अनुपात $a_1, b_1, c_1$ और $a_2, b_2, c_2$ हैं,के बीच के कोण $\theta$ का सूत्र $\cos \theta = \left| \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} \right|$ होता है।
यहाँ $\theta = \frac{\pi}{3}$,$a_1=4, b_1=-3, c_1=5$ और $a_2=3, b_2=4, c_2=k$ दिया गया है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\cos \frac{\pi}{3} = \left| \frac{4(3) + (-3)(4) + 5k}{\sqrt{4^2 + (-3)^2 + 5^2} \sqrt{3^2 + 4^2 + k^2}} \right|$.
$\frac{1}{2} = \left| \frac{12 - 12 + 5k}{\sqrt{16 + 9 + 25} \sqrt{9 + 16 + k^2}} \right|$.
$\frac{1}{2} = \left| \frac{5k}{\sqrt{50} \sqrt{25 + k^2}} \right| = \left| \frac{5k}{5\sqrt{2} \sqrt{25 + k^2}} \right| = \left| \frac{k}{\sqrt{2} \sqrt{25 + k^2}} \right|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1}{4} = \frac{k^2}{2(25 + k^2)}$.
$2(25 + k^2) = 4k^2$.
$50 + 2k^2 = 4k^2$.
$2k^2 = 50 \Rightarrow k^2 = 25$.
अतः,$k = \pm 5$.

(C) एक रेखा के दिक्-कोसाइन को $\ell, m, n$ द्वारा दर्शाया जाता है।
दिया गया है कि $\ell = \frac{1}{c}$,$m = \frac{1}{c}$,और $n = \frac{1}{c}$ है।
हम जानते हैं कि दिक्-कोसाइन का मूल गुण $\ell^{2} + m^{2} + n^{2} = 1$ होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(\frac{1}{c})^{2} + (\frac{1}{c})^{2} + (\frac{1}{c})^{2} = 1$।
इसे सरल करने पर $\frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{c^{2}} = 1$ प्राप्त होता है,जो $\frac{3}{c^{2}} = 1$ है।
अतः,$c^{2} = 3$,जिससे $c = \pm \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

(B) हम जानते हैं कि यदि कोई रेखा निर्देशांक अक्षों के साथ $\alpha, \beta, \gamma$ कोण बनाती है,तो उसकी दिक्-कोज्याएँ (direction cosines) $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ होती हैं।
दिक्-कोज्याओं के वर्गों का योग $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ होता है।
अब,हमें $\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma$ का मान ज्ञात करना है।
सर्वसमिका $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ का उपयोग करने पर:
$\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma = (2\cos^2 \alpha - 1) + (2\cos^2 \beta - 1) + (2\cos^2 \gamma - 1)$
$= 2(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma) - 3$
वर्गों के योग का मान $1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= 2(1) - 3 = 2 - 3 = -1$.

(B) माना $\vec{a} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$ और $\vec{b} = 1\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$ है।
चूँकि रेखा दोनों रेखाओं पर लंब है,इसलिए इसका दिशा सदिश क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -2 & 4 \\ 1 & 3 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - 12) - \hat{j}(-6 - 4) + \hat{k}(9 + 2) = -8\hat{i} + 10\hat{j} + 11\hat{k}$ है।
सदिश का परिमाण $|\vec{n}| = \sqrt{(-8)^2 + 10^2 + 11^2} = \sqrt{64 + 100 + 121} = \sqrt{285}$ है।
दिक्-कोसाइन इकाई सदिश के घटक हैं,जो $\frac{-8}{\sqrt{285}}, \frac{10}{\sqrt{285}}, \frac{11}{\sqrt{285}}$ हैं।

(D) पहली रेखा $\frac{x - 1}{2 \lambda} = \frac{y - 1}{-5} = \frac{z - 1}{2}$ के दिक अनुपात $(2 \lambda, -5, 2)$ हैं।
दूसरी रेखा $\frac{x + 2}{\lambda} = \frac{y + 3}{\lambda} = \frac{z + 5}{1}$ के दिक अनुपात $(\lambda, \lambda, 1)$ हैं।
चूंकि दोनों रेखाएं समांतर हैं,इसलिए उनके दिक अनुपात समानुपाती होने चाहिए:
$\frac{2 \lambda}{\lambda} = \frac{-5}{\lambda} = \frac{2}{1}$.
अनुपात $\frac{-5}{\lambda} = \frac{2}{1}$ से,हमें $2 \lambda = -5$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\lambda = \frac{-5}{2}$.
पहले अनुपात की जांच करने पर: $\frac{2 \lambda}{\lambda} = 2$,जो तीसरे अनुपात $\frac{2}{1} = 2$ के साथ सुसंगत है (जब $\lambda \neq 0$)।

(C) धनात्मक $Y$ और $Z$ अक्षों के अनुदिश इकाई सदिश क्रमशः $\hat{j} = (0, 1, 0)$ और $\hat{k} = (0, 0, 1)$ हैं।
इन दो अक्षों के बीच के कोण के समद्विभाजक पर स्थित सदिश इन इकाई सदिशों के योग द्वारा प्राप्त होता है: $\vec{v} = \hat{j} + \hat{k} = (0, 1, 1)$।
इस सदिश का परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ है।
दिक्-कोज्याएँ प्राप्त करने के लिए सदिश के घटकों को उसके परिमाण से विभाजित करते हैं:
$l = 0/\sqrt{2} = 0$,
$m = 1/\sqrt{2}$,
$n = 1/\sqrt{2}$।
अतः,दिक्-कोज्याएँ $(0, 1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$ हैं।

(B) हम जानते हैं कि एक रेखा के दिक्-कोसाइन (direction cosines) के वर्गों का योग $1$ होता है,अर्थात $\cos^{2} \alpha + \cos^{2} \beta + \cos^{2} \gamma = 1$.
दिया गया है कि $\alpha + \beta = 90^{\circ}$,इसलिए $\alpha = 90^{\circ} - \beta$.
$\cos \alpha$ के लिए यह मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\cos \alpha = \cos(90^{\circ} - \beta) = \sin \beta$.
अतः,$\cos^{2} \alpha = \sin^{2} \beta$.
सर्वसमिका $\sin^{2} \beta = 1 - \cos^{2} \beta$ का उपयोग करने पर,$\cos^{2} \alpha = 1 - \cos^{2} \beta$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\cos^{2} \alpha + \cos^{2} \beta = 1$.
इस मान को मूल समीकरण में रखने पर: $(1) + \cos^{2} \gamma = 1$.
इससे $\cos^{2} \gamma = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\cos \gamma = 0$.
अतः,$\gamma = 90^{\circ}$.

(B) मान लीजिए कि रेखा के दिशा कोण $\alpha = \frac{\pi}{6}$,$\beta = \frac{\pi}{3}$ हैं और $Z$ अक्ष के साथ कोण $\gamma$ है।
दिक् कोसाइन (direction cosines) के वर्गों का योग हमेशा $1$ होता है,अर्थात $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\cos^2(\frac{\pi}{6}) + \cos^2(\frac{\pi}{3}) + \cos^2 \gamma = 1$।
हम जानते हैं कि $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$।
अतः,$(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + \cos^2 \gamma = 1$।
$\frac{3}{4} + \frac{1}{4} + \cos^2 \gamma = 1$।
$1 + \cos^2 \gamma = 1$।
$\cos^2 \gamma = 0$,जिसका अर्थ है कि $\cos \gamma = 0$।
इसलिए,$\gamma = \frac{\pi}{2}$।

(A) माना रेखा द्वारा $x$,$y$ और $z$-अक्षों के साथ बनाए गए कोण क्रमशः $\alpha$,$\beta$ और $\gamma$ हैं।
दिया गया है कि $\alpha = 45^{\circ}$ और $\beta = \gamma = \theta$।
दिक्-कोज्याएँ $l = \cos \alpha$,$m = \cos \beta$,और $n = \cos \gamma$ हैं।
हम जानते हैं कि $l^2 + m^2 + n^2 = 1$।
मान रखने पर,$\cos^2 45^{\circ} + \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$।
$(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + 2 \cos^2 \theta = 1$।
$\frac{1}{2} + 2 \cos^2 \theta = 1$।
$2 \cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$।
$\cos^2 \theta = \frac{1}{4} \Rightarrow \cos \theta = \pm \frac{1}{2}$।
अतः,दिक्-कोज्याएँ $(\cos 45^{\circ}, \cos \theta, \cos \theta)$ हैं,जो $(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ या $(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ प्राप्त होती हैं।

(A) रेखा बिंदुओं $A(3, 4, -7)$ और $B(1, -1, 6)$ से होकर गुजरती है।
सबसे पहले,दिशा सदिश $\vec{v} = B - A = (1 - 3, -1 - 4, 6 - (-7)) = (-2, -5, 13)$ ज्ञात करें।
$(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाली और $(a, b, c)$ दिशा सदिश वाली रेखा के प्राचलिक समीकरण $x = x_1 + a\lambda, y = y_1 + b\lambda, z = z_1 + c\lambda$ होते हैं।
बिंदु $A(3, 4, -7)$ और दिशा सदिश $(-2, -5, 13)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = 3 - 2\lambda$
$y = 4 - 5\lambda$
$z = -7 + 13\lambda$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया कार्तीय समीकरण $x-1 = 2y+3 = 3-z$ है।
इस समीकरण को मानक रूप $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ में लिखने पर:
$\frac{x-1}{1} = \frac{y - (-3/2)}{1/2} = \frac{z-3}{-1}$ प्राप्त होता है।
अतः,रेखा पर स्थित बिंदु $A(1, -3/2, 3)$ है और दिक अनुपात $(1, 1/2, -1)$ हैं।
दिक अनुपातों को $2$ से गुणा करने पर,हमें $(2, 1, -2)$ प्राप्त होता है।
बिंदु $\vec{a}$ से गुजरने वाली और सदिश $\vec{b}$ के समांतर रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ होता है।
मान रखने पर,हमें $\vec{r} = (\hat{i} - \frac{3}{2}\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})$ प्राप्त होता है।

(B) रेखा का दिया गया समीकरण $\frac{x+3}{2}=\frac{2y-3}{5}; z=-1$ है।
सबसे पहले,समीकरण को मानक रूप $\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$ में लिखें।
$\frac{x+3}{2}=\frac{2(y-3/2)}{5}; z=-1$
$\frac{x-(-3)}{2}=\frac{y-3/2}{5/2}; z=-1$।
यह रेखा बिंदु $(-3, 3/2, -1)$ से गुजरती है और इसके दिक अनुपात $(2, 5/2, 0)$ के समानुपाती हैं।
दिक अनुपात को $2$ से गुणा करने पर,हमें $(4, 5, 0)$ प्राप्त होता है।
बिंदु $\vec{a}$ से गुजरने वाली और सदिश $\vec{b}$ के समानांतर रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r}=\vec{a}+\lambda\vec{b}$ होता है।
यहाँ,$\vec{a}=-3\hat{i}+\frac{3}{2}\hat{j}-\hat{k}$ और $\vec{b}=4\hat{i}+5\hat{j}$ है।
अतः,सदिश समीकरण $\vec{r}=\left(-3\hat{i}+\frac{3}{2}\hat{j}-\hat{k}\right)+\lambda(4\hat{i}+5\hat{j})$ है।

(C) दी गई रेखाएँ $\frac{1-x}{2}=\frac{y-8}{\lambda}=\frac{z-5}{2}$ और $\frac{x-11}{5}=\frac{y-3}{3}=\frac{z-1}{1}$ हैं।
पहली रेखा को मानक रूप $\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$ में लिखने पर:
$\frac{x-1}{-2}=\frac{y-8}{\lambda}=\frac{z-5}{2}$.
पहली रेखा के दिक अनुपात $\vec{v_1} = (-2, \lambda, 2)$ हैं।
दूसरी रेखा के दिक अनुपात $\vec{v_2} = (5, 3, 1)$ हैं।
चूँकि रेखाएँ परस्पर लंब हैं,इसलिए उनके दिक अनुपातों का अदिश गुणनफल (dot product) शून्य होगा:
$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$
$(-2)(5) + (\lambda)(3) + (2)(1) = 0$
$-10 + 3\lambda + 2 = 0$
$3\lambda - 8 = 0$
$3\lambda = 8$
$\lambda = \frac{8}{3}$.

(D) $XOZ$ समतल वह समतल है जहाँ $y = 0$ होता है। $XOZ$ समतल का अभिलंब सदिश $y$-अक्ष के समानांतर होता है,जिसे सदिश $\vec{n} = (0, 1, 0)$ द्वारा दर्शाया जाता है।
चूंकि अभीष्ट रेखा $XOZ$ समतल के लंबवत है,इसलिए यह अभिलंब सदिश $\vec{n} = (0, 1, 0)$ के समानांतर होनी चाहिए।
रेखा बिंदु $(2, 3, -4)$ से गुजरती है।
रेखा के सममित रूप का उपयोग करते हुए,$\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c} = \lambda$,जहाँ $(x_1, y_1, z_1) = (2, 3, -4)$ और दिशा अनुपात $(a, b, c) = (0, 1, 0)$ हैं।
अतः,समीकरण $\frac{x - 2}{0} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z + 4}{0} = \lambda$ होगा।
इसका अर्थ है कि $x - 2 = 0 \implies x = 2$,$z + 4 = 0 \implies z = -4$,और $y - 3 = \lambda \implies y = 3 + \lambda$ है।
इसलिए,रेखा का समीकरण $x = 2, \quad y = 3 + \lambda, \quad z = -4$ है।