रेखाओं $1+x=2y=-12z$ और $x=y+2=6z-6$ के बीच की न्यूनतम दूरी है ($\text{इकाई}$ में)

यदि रेखाओं $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{\lambda}$ और $\frac{x-2}{1}=\frac{y-4}{4}=\frac{z-5}{5}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $\frac{1}{\sqrt{3}}$ है,तो $\lambda$ के सभी संभावित मानों का योग है

$2, 1, 2$ दिक-अनुपात वाली एक रेखा,रेखाओं $x = y + 2 = z$ और $x + 2 = 2y = 2z$ को क्रमशः $P$ और $Q$ बिंदुओं पर मिलती है। यदि बिंदु $(1, 2, 12)$ से रेखा $PQ$ पर डाले गए लंब की लंबाई $l$ है,तो $l^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि रेखा $L$,$(1,1,1)$ से होकर गुजरती है और रेखाओं $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4}$ और $\frac{x-3}{1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z}{1}$ को प्रतिच्छेद करती है। तो,निम्नलिखित में से कौन सा बिंदु रेखा $L$ पर स्थित है?

यदि $2x - y + z = 0 = y - x + 2z = mx - 2y + mz$ अंतरिक्ष में एक रेखा को दर्शाता है,तो $m$ का मान क्या है?

बिंदु $P$ और $Q$ को $\vec{OP} = \hat{i} - \hat{j} - \hat{k}$ और $\vec{OQ} = -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ द्वारा दिया गया है। सदिश $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j}$ के अनुदिश एक रेखा बिंदु $P$ से गुजरती है और सदिश $\vec{b} = \hat{j} - \hat{k}$ के अनुदिश दूसरी रेखा बिंदु $Q$ से गुजरती है। यदि सदिश $\vec{c} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ के अनुदिश एक रेखा,सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ वाली दोनों रेखाओं को क्रमशः $L$ और $M$ पर काटती है,तो $\vec{PM} =$