MHT CET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दिया गया है $y=\tan ^{-1}\left(\frac{\sin 2 x}{1+\cos 2 x}\right)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ और $1 + \cos 2x = 2 \cos^2 x$ का उपयोग करने पर:
$y = \tan^{-1}\left(\frac{2 \sin x \cos x}{2 \cos^2 x}\right)$
$y = \tan^{-1}(\tan x)$
$y = x$
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) = 1$.

(B) दिया गया समीकरण $3 \bar{a}-\bar{b}+2 \bar{c}-4 \bar{d}=\overline{0}$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $3 \bar{a}+2 \bar{c}=\bar{b}+4 \bar{d}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $5$ से विभाजित करने पर,$\frac{3 \bar{a}+2 \bar{c}}{5}=\frac{\bar{b}+4 \bar{d}}{5}$ प्राप्त होता है।
माना $\bar{r} = \frac{3 \bar{a}+2 \bar{c}}{3+2} = \frac{\bar{b}+4 \bar{d}}{1+4}$ है।
यह सदिश $\bar{r}$ उस बिंदु को दर्शाता है जो रेखाखंड $AC$ पर (इसे $2:3$ के अनुपात में विभाजित करता है) और रेखाखंड $BD$ पर (इसे $4:1$ के अनुपात में विभाजित करता है) स्थित है।
अतः,$\bar{r}$ रेखाखंडों $AC$ और $BD$ के प्रतिच्छेदन बिंदु का स्थिति सदिश है।

(B) माना $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है। $A$ से गुजरने वाली माध्यिका सदिश $\vec{AD}$ है।
चूंकि $D$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,$A$ के सापेक्ष $D$ का स्थिति सदिश $\vec{AD} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$ द्वारा दिया जाता है।
दिया है $\vec{AB} = 3 \hat{i} + 5 \hat{j} + 4 \hat{k}$ और $\vec{AC} = 5 \hat{i} - 5 \hat{j} + 2 \hat{k}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\vec{AD} = \frac{1}{2}((3 \hat{i} + 5 \hat{j} + 4 \hat{k}) + (5 \hat{i} - 5 \hat{j} + 2 \hat{k}))$
$\vec{AD} = \frac{1}{2}(8 \hat{i} + 0 \hat{j} + 6 \hat{k})$
$\vec{AD} = 4 \hat{i} + 3 \hat{k}$।
माध्यिका की लंबाई सदिश $\vec{AD}$ का परिमाण है:
$|\vec{AD}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ इकाई।

(B) मान लीजिए कि $H$ का स्थिति सदिश मूल बिंदु $\vec{0}$ है।
तब शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं।
दिया गया समीकरण $a \vec{AH} + b \vec{BH} + c \vec{CH} = \vec{0}$ है।
चूंकि $H$ मूल बिंदु है,इसलिए $\vec{AH} = \vec{0} - \vec{a} = -\vec{a}$,$\vec{BH} = -\vec{b}$,और $\vec{CH} = -\vec{c}$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर,हमें $a(-\vec{a}) + b(-\vec{b}) + c(-\vec{c}) = \vec{0}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a\vec{a} + b\vec{b} + c\vec{c} = \vec{0}$।
हालाँकि,अंतःकेंद्र $I$ के स्थिति सदिश $\vec{i}$ की मानक परिभाषा $\vec{i} = \frac{a\vec{A} + b\vec{B} + c\vec{C}}{a+b+c}$ है।
यदि $H$ अंतःकेंद्र है,तो $a(\vec{A}-\vec{H}) + b(\vec{B}-\vec{H}) + c(\vec{C}-\vec{H}) = \vec{0}$ होगा।
इसे सरल करने पर $(a+b+c)\vec{H} = a\vec{A} + b\vec{B} + c\vec{C}$ प्राप्त होता है,जो अंतःकेंद्र की परिभाषा है।
अतः,$H$,$\triangle ABC$ का अंतःकेंद्र है।

(B) चूंकि सदिश $\bar{a}$,$\bar{b}$ और $\bar{c}$ समतलीय हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए,अर्थात $\bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) = 0$।
यह उनके घटकों द्वारा निर्मित सारणिक के शून्य होने के बराबर है:
$\begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & -5 & p \\ 5 & -9 & 4 \end{vmatrix} = 0$।
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$1((-5)(4) - (-9)(p)) - (-2)((2)(4) - (5)(p)) + 1((2)(-9) - (5)(-5)) = 0$।
$1(-20 + 9p) + 2(8 - 5p) + 1(-18 + 25) = 0$।
$-20 + 9p + 16 - 10p + 7 = 0$।
$-p + 3 = 0$।
अतः,$p = 3$।

(A) माना $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + x\hat{k}$ और $\vec{b} = y\hat{i} + 6\hat{j} + 4\hat{k}$ दो संरेख सदिश हैं।
चूंकि वे संरेख हैं,एक अदिश $m$ का अस्तित्व है ताकि $\vec{a} = m\vec{b}$ हो।
घटकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\hat{i} + 2\hat{j} + x\hat{k} = m(y\hat{i} + 6\hat{j} + 4\hat{k})$।
दोनों पक्षों पर $\hat{i}, \hat{j},$ और $\hat{k}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$1 = my$
$2 = 6m \Rightarrow m = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$x = 4m$
$m = \frac{1}{3}$ का मान $x$ और $y$ के समीकरणों में रखने पर:
$x = 4 \times \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$
$1 = \frac{1}{3}y \Rightarrow y = 3$
अतः,$x = \frac{4}{3}$ और $y = 3$ प्राप्त होते हैं।

(B) चूंकि सदिश $\bar{a}$,$\bar{b}$ और $\bar{c}$ समतलीय हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए: $\bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) = 0$.
यह घटकों के सारणिक के शून्य होने के बराबर है:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ x & x-1 & -1 \end{vmatrix} = 0$.
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$1((-1)(-1) - (2)(x-1)) - 1((1)(-1) - (2)(x)) + 1((1)(x-1) - (-1)(x)) = 0$.
$1(1 - 2x + 2) - 1(-1 - 2x) + 1(x - 1 + x) = 0$.
$(3 - 2x) + (1 + 2x) + (2x - 1) = 0$.
$3 - 2x + 1 + 2x + 2x - 1 = 0$.
$2x + 3 = 0$.
$x = \frac{-3}{2}$.

(C) चूंकि दिए गए सदिश समतलीय हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए।
$\therefore \begin{vmatrix} a & a & c \\ 1 & 0 & 1 \\ c & c & b \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$a(0 - c) - a(b - c) + c(c - 0) = 0$
$-ac - ab + ac + c^2 = 0$
$-ab + c^2 = 0$
$c^2 = ab$
यह दर्शाता है कि $a, c, b$ गुणोत्तर श्रेणी ($G$.$P$.) में हैं।

(A) बिंदुओं $A(3, 5, -1)$ और $B(6, 3, -2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{x-3}{6-3} = \frac{y-5}{3-5} = \frac{z-(-1)}{-2-(-1)}$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{x-3}{3} = \frac{y-5}{-2} = \frac{z+1}{-1} = r$ हो जाता है।
इस रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु $P$ को $(3r+3, -2r+5, -r-1)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
दिया गया है कि बिंदु $P$ का $y$-निर्देशांक $2$ है,इसलिए $-2r+5 = 2$ रखने पर।
$r$ के लिए हल करने पर,हमें $-2r = -3$ प्राप्त होता है,अर्थात $r = \frac{3}{2}$।
अब,$r = \frac{3}{2}$ का मान $z$-निर्देशांक के व्यंजक में रखने पर: $z = -r-1 = -\frac{3}{2} - 1 = -\frac{5}{2}$।

(C) चूंकि दिए गए सदिश $\overline{a}, \overline{b},$ और $\overline{c}$ समतलीय हैं,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए,अर्थात $[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = 0$।
यह उनके घटकों द्वारा निर्मित सारणिक के शून्य होने के बराबर है:
$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 3 & \lambda & 5 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$2(2 \times 5 - (-3) \times \lambda) - (-1)(1 \times 5 - (-3) \times 3) + 1(1 \times \lambda - 2 \times 3) = 0$
$2(10 + 3\lambda) + 1(5 + 9) + 1(\lambda - 6) = 0$
$20 + 6\lambda + 14 + \lambda - 6 = 0$
$7\lambda + 28 = 0$
$7\lambda = -28 \Rightarrow \lambda = -4$
अब,हम जांचते हैं कि किस समीकरण में $x = -4$ रखने पर वह संतुष्ट होता है:
$(A)$ $(-4)^2 + 2(-4) = 16 - 8 = 8 \neq 6$
$(B)$ $(-4)^2 + 2(-4) = 16 - 8 = 8 \neq 4$
$(C)$ $(-4)^2 + 3(-4) = 16 - 12 = 4$। यह सही है।
$(D)$ $(-4)^2 + 3(-4) = 16 - 12 = 4 \neq 6$
अतः,$\lambda = -4$ समीकरण $x^2 + 3x = 4$ का मूल है।

(B) माना शीर्ष $A$,$B$,और $C$ हैं जिनके स्थिति सदिश $\vec{a} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b} = 5\hat{i}+3\hat{j}-3\hat{k}$,और $\vec{c} = 2\hat{i}+5\hat{j}+9\hat{k}$ हैं।
भुजाओं की लंबाई सदिशों $\vec{AB}$,$\vec{BC}$,और $\vec{AC}$ के परिमाण हैं।
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = 4\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$.
$|\vec{AB}| = \sqrt{4^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$.
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = -3\hat{i} + 2\hat{j} + 12\hat{k}$.
$|\vec{BC}| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 4 + 144} = \sqrt{157}$.
$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = 1\hat{i} + 4\hat{j} + 8\hat{k}$.
$|\vec{AC}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + 8^2} = \sqrt{1 + 16 + 64} = \sqrt{81} = 9$.
त्रिभुज का परिमाप $= |\vec{AB}| + |\vec{BC}| + |\vec{AC}| = 6 + \sqrt{157} + 9 = 15 + \sqrt{157}$ इकाई।

(B) माना $A, B, C, D, M, N$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{m}, \vec{n}$ हैं।
चूंकि $M$ और $N$ क्रमशः $AB$ और $CD$ के मध्य-बिंदु हैं,हमारे पास है:
$\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} \implies \vec{a} + \vec{b} = 2\vec{m}$
$\vec{n} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2} \implies \vec{c} + \vec{d} = 2\vec{n}$
हमें समीकरण दिया गया है: $\vec{AD} + \vec{BC} = t \vec{MN}$
सदिशों को स्थिति सदिशों के रूप में व्यक्त करने पर:
$(\vec{d} - \vec{a}) + (\vec{c} - \vec{b}) = t(\vec{n} - \vec{m})$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$(\vec{d} + \vec{c}) - (\vec{a} + \vec{b}) = t(\vec{n} - \vec{m})$
स्थिति सदिशों के योग के लिए मान प्रतिस्थापित करने पर:
$2\vec{n} - 2\vec{m} = t(\vec{n} - \vec{m})$
$2(\vec{n} - \vec{m}) = t(\vec{n} - \vec{m})$
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $t = 2$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ मूल बिंदु $O$ के सापेक्ष शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश हैं।
तब,$\overline{OA} = \vec{a}, \overline{OB} = \vec{b}, \overline{OC} = \vec{c}$.
त्रिभुज $ABC$ का केंद्रक $G$,स्थिति सदिश $\overline{OG} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$ द्वारा दिया जाता है।
इसका अर्थ है कि $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 3 \overline{OG}$.
अब,हम व्यंजक $\overline{OA} + \overline{OB} + \overline{OC} + \overline{OG}$ का मूल्यांकन करते हैं:
$\overline{OA} + \overline{OB} + \overline{OC} + \overline{OG} = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) + \overline{OG}$.
$(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$= 3 \overline{OG} + \overline{OG} = 4 \overline{OG}$.

(B) चार बिंदुओं $A, B, C, D$ के समतलीय होने के लिए,सदिशों $\vec{AB}, \vec{AC},$ और $\vec{AD}$ का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए,अर्थात $[\vec{AB} \ \vec{AC} \ \vec{AD}] = 0$।
सबसे पहले,हम सदिश ज्ञात करते हैं:
$\vec{AB} = (0-2)\hat{i} + (-1-1)\hat{j} + (0-(-1))\hat{k} = -2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$
$\vec{AC} = (4-2)\hat{i} + (0-1)\hat{j} + (4-(-1))\hat{k} = 2\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}$
$\vec{AD} = (2-2)\hat{i} + (0-1)\hat{j} + (x-(-1))\hat{k} = 0\hat{i} - \hat{j} + (x+1)\hat{k}$
समतलीयता की शर्त सारणिक द्वारा दी जाती है:
$\begin{vmatrix} -2 & -2 & 1 \\ 2 & -1 & 5 \\ 0 & -1 & x+1 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$-2[(-1)(x+1) - (5)(-1)] - (-2)[(2)(x+1) - (5)(0)] + 1[(2)(-1) - (-1)(0)] = 0$
$-2[-x-1+5] + 2[2x+2] + 1[-2] = 0$
$-2[4-x] + 4x + 4 - 2 = 0$
$-8 + 2x + 4x + 2 = 0$
$6x - 6 = 0$
$6x = 6$
$x = 1$

(D) चूंकि तीनों सदिश समतलीय हैं,इसलिए उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए।
इन सदिशों के घटकों द्वारा निर्मित सारणिक है:
$\begin{vmatrix} a & a & c \\ 1 & 0 & 1 \\ c & c & b \end{vmatrix} = 0$
स्तंभ संक्रिया $C_1 \rightarrow C_1 - C_2$ लागू करने पर:
$\begin{vmatrix} 0 & a & c \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & c & b \end{vmatrix} = 0$
प्रथम स्तंभ $(C_1)$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$-1(ab - c^2) = 0$
$c^2 - ab = 0 \Rightarrow c^2 = ab$
यह दर्शाता है कि $c$,$a$ और $b$ का गुणोत्तर माध्य ($G$.$M$.) है।

(B) चूंकि $\bar{a}$ और $\bar{b}$ असरेख सदिश हैं,दो सदिश $\bar{p} = m_1\bar{a} + n_1\bar{b}$ और $\bar{q} = m_2\bar{a} + n_2\bar{b}$ संरेख होते हैं यदि और केवल यदि उनके घटक समानुपाती हों,अर्थात $\frac{m_1}{m_2} = \frac{n_1}{n_2} = k$।
दिया गया है $\bar{p} = (2x + 1)\bar{a} - 1\bar{b}$ और $\bar{q} = (x - 2)\bar{a} + 1\bar{b}$।
संरेखता के लिए:
$\frac{2x + 1}{x - 2} = \frac{-1}{1}$
$2x + 1 = -(x - 2)$
$2x + 1 = -x + 2$
$3x = 1$
$x = \frac{1}{3}$

(A) $A(2, 4, 5)$ और $B(1, 2, 3)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण इस प्रकार है:
$\frac{x-2}{1-2} = \frac{y-4}{2-4} = \frac{z-5}{3-5} = k$
$\frac{x-2}{-1} = \frac{y-4}{-2} = \frac{z-5}{-2} = k$
इस रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y, z) = (-k+2, -2k+4, -2k+5)$ द्वारा दिए जाते हैं।
दी गई शर्त के अनुसार,बिंदु $P$ का $z$-निर्देशांक $3$ है,इसलिए:
$-2k + 5 = 3$
$-2k = -2$
$k = 1$
अब $y$-निर्देशांक ज्ञात करने के लिए $k = 1$ का मान रखने पर:
$y = -2(1) + 4 = 2$.
अतः,बिंदु $P$ का $y$-निर्देशांक $2$ है।

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि क्या सदिश समतलीय हैं,हम अदिश त्रिक गुणनफल $[\bar{a} \ \bar{b} \ \bar{c}]$ की गणना करते हैं।
यदि अदिश त्रिक गुणनफल $0$ है,तो सदिश समतलीय हैं। यदि यह शून्य नहीं है,तो वे असमतलीय हैं।
दिया गया है $\bar{a} = 3\hat{\imath} + \hat{\jmath} - \hat{k}$,$\bar{b} = 2\hat{\imath} - \hat{\jmath} + 7\hat{k}$,और $\bar{c} = 7\hat{\imath} - \hat{\jmath} + 23\hat{k}$।
$[\bar{a} \ \bar{b} \ \bar{c}] = \begin{vmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 7 \\ 7 & -1 & 23 \end{vmatrix}$
$= 3((-1)(23) - (7)(-1)) - 1((2)(23) - (7)(7)) - 1((2)(-1) - (7)(-1))$
$= 3(-23 + 7) - 1(46 - 49) - 1(-2 + 7)$
$= 3(-16) - 1(-3) - 1(5)$
$= -48 + 3 - 5 = -50$.
चूंकि अदिश त्रिक गुणनफल $-50 \neq 0$ है,इसलिए सदिश $\bar{a}, \bar{b},$ और $\bar{c}$ असमतलीय हैं। अतः,कथन $A$ सत्य है।

(A) त्रिभुज के शीर्षों के स्थिति सदिश $\overline{a}$,$\overline{b}$,और $\overline{c}$ होने पर,उसके केंद्रक $G$ का स्थिति सदिश $\overline{g} = \frac{\overline{a} + \overline{b} + \overline{c}}{3}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
दिए गए सदिशों के मान रखने पर:
$\overline{g} = \frac{(2 \hat{\imath} + 3 \hat{\jmath} + \hat{k}) + (4 \hat{\imath} + 5 \hat{\jmath} + 3 \hat{k}) + (6 \hat{\imath} + \hat{\jmath} + 5 \hat{k})}{3}$
घटकों का योग करने पर:
$\overline{g} = \frac{(2+4+6) \hat{\imath} + (3+5+1) \hat{\jmath} + (1+3+5) \hat{k}}{3}$
$\overline{g} = \frac{12 \hat{\imath} + 9 \hat{\jmath} + 9 \hat{k}}{3}$
$\overline{g} = 4 \hat{\imath} + 3 \hat{\jmath} + 3 \hat{k}$.

(D) माना शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश $\vec{a} = 4 \hat{\imath} + 7 \hat{\jmath} + 8 \hat{k}$,$\vec{b} = 2 \hat{\imath} + 3 \hat{\jmath} + 4 \hat{k}$,और $\vec{c} = 2 \hat{\imath} + 5 \hat{\jmath} + 7 \hat{k}$ हैं।
कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,$\angle A$ का समद्विभाजक सम्मुख भुजा $BC$ को भुजाओं $AB$ और $AC$ के अनुपात में विभाजित करता है।
माना $D$ वह बिंदु है जहाँ $\angle A$ का समद्विभाजक $BC$ से मिलता है। तब $D$,$BC$ को $AB : AC$ के अनुपात में विभाजित करता है।
सबसे पहले,भुजाओं $AB$ और $AC$ की लंबाई ज्ञात करें:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = -2\hat{\imath} - 4\hat{\jmath} - 4\hat{k}$.
$AB = |\vec{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36} = 6$.
$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = -2\hat{\imath} - 2\hat{\jmath} - 1\hat{k}$.
$AC = |\vec{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9} = 3$.
अनुपात $AB : AC = 6 : 3 = 2 : 1$.
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$D$ का स्थिति सदिश:
$\vec{d} = \frac{AC \cdot \vec{b} + AB \cdot \vec{c}}{AC + AB} = \frac{3(2\hat{\imath} + 3\hat{\jmath} + 4\hat{k}) + 6(2\hat{\imath} + 5\hat{\jmath} + 7\hat{k})}{3 + 6} = \frac{18\hat{\imath} + 39\hat{\jmath} + 54\hat{k}}{9} = 2\hat{\imath} + \frac{13}{3}\hat{\jmath} + 6\hat{k} = \frac{1}{3}(6\hat{\imath} + 13\hat{\jmath} + 18\hat{k})$.

(D) दिए गए स्थिति सदिश $\bar{a} = \hat{i} + 3\hat{j}$,$\bar{b} = 2\hat{i} + 5\hat{j}$,और $\bar{c} = 4\hat{i} + 2\hat{j}$ हैं।
संबंध $\bar{c} = t_{1}\bar{a} + t_{2}\bar{b}$ का उपयोग करते हुए:
$4\hat{i} + 2\hat{j} = t_{1}(\hat{i} + 3\hat{j}) + t_{2}(2\hat{i} + 5\hat{j})$
$4\hat{i} + 2\hat{j} = (t_{1} + 2t_{2})\hat{i} + (3t_{1} + 5t_{2})\hat{j}$
$\hat{i}$ और $\hat{j}$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होते हैं:
$t_{1} + 2t_{2} = 4$ --- $(1)$
$3t_{1} + 5t_{2} = 2$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ को $3$ से गुणा करने पर: $3t_{1} + 6t_{2} = 12$ --- $(3)$
समीकरण $(3)$ में से $(2)$ को घटाने पर: $(3t_{1} + 6t_{2}) - (3t_{1} + 5t_{2}) = 12 - 2$
$t_{2} = 10$
$t_{2} = 10$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर: $t_{1} + 2(10) = 4$
$t_{1} + 20 = 4 \implies t_{1} = -16$
अतः,$t_{1}t_{2} = (-16)(10) = -160$.

(C) दिया गया समीकरण $l \bar{a} + m \bar{b} + n \bar{c} = \overline{0}$ है।
सदिशों का मान रखने पर: $l(\hat{\imath} + \hat{\jmath} + \hat{k}) + m(2\hat{\imath} - 2\hat{\jmath} + 2\hat{k}) + n(2\hat{\imath} + 3\hat{\jmath} + 2\hat{k}) = 0\hat{\imath} + 0\hat{\jmath} + 0\hat{k}$.
घटकों को शून्य के बराबर करने पर:
$l + 2m + 2n = 0$ $(i)$
$l - 2m + 3n = 0$ (ii)
$l + 2m + 2n = 0$ (iii)
समीकरण $(i)$ और (iii) समान हैं। समीकरण $(i)$ में से (ii) घटाने पर:
$(l + 2m + 2n) - (l - 2m + 3n) = 0$
$4m - n = 0 \implies n = 4m$.
$n = 4m$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$l + 2m + 2(4m) = 0 \implies l + 10m = 0 \implies l = -10m$.
यदि $m = -1$ लें,तो $l = 10$ और $n = -4$ प्राप्त होता है।
अतः,मान $(10, -1, -4)$ हैं।

(A) सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\bar{a} \times \bar{b}$ ज्ञात करें:
$\bar{a} \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & -4 \end{vmatrix} = \hat{i}(-12 - (-2)) - \hat{j}(-8 - 1) + \hat{k}(4 - (-3)) = -10\hat{i} + 9\hat{j} + 7\hat{k}$
इसके बाद,सदिश गुणनफल $\bar{a} \times \bar{c}$ ज्ञात करें:
$\bar{a} \times \bar{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(3 - (-1)) - \hat{j}(2 - (-1)) + \hat{k}(2 - 3) = 4\hat{i} - 3\hat{j} - \hat{k}$
अब,प्राप्त दो सदिशों का अदिश गुणनफल ज्ञात करें:
$(\bar{a} \times \bar{b}) \cdot (\bar{a} \times \bar{c}) = (-10\hat{i} + 9\hat{j} + 7\hat{k}) \cdot (4\hat{i} - 3\hat{j} - \hat{k})$
$= (-10)(4) + (9)(-3) + (7)(-1)$
$= -40 - 27 - 7 = -74$

(A) सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\bar{b} \times \bar{d}$ की गणना करें:
$\bar{b} \times \bar{d} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 0 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-3)) - \hat{j}(0 - 3) + \hat{k}(-2 - 0) = 3\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$
इसके बाद,सदिश $\bar{c} - \bar{a}$ की गणना करें:
$\bar{c} - \bar{a} = (4\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) - (\hat{i} + 5\hat{k}) = 3\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$
अंत में,अदिश गुणनफल $(\bar{c} - \bar{a}) \cdot (\bar{b} \times \bar{d})$ की गणना करें:
$(\bar{c} - \bar{a}) \cdot (\bar{b} \times \bar{d}) = (3\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}) \cdot (3\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k})$
$= (3)(3) + (-1)(3) + (-3)(-2) = 9 - 3 + 6 = 12$

(A) मान लीजिए $\vec{a}$ और $\vec{b}$ उन रेखाओं के अनुदिश सदिश हैं जिनके दिक-अनुपात क्रमशः $2, 3, 1$ और $1, 2, 1$ हैं।
$\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$।
$\vec{a}$ और $\vec{b}$ दोनों के लंबवत सदिश उनके सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-2) - \hat{j}(2-1) + \hat{k}(4-3) = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$।
अतः,दिक-अनुपात $1, -1, 1$ हैं।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही विकल्प $A$ है।

(C) माना दिए गए सदिश $\vec{a} = \hat{\imath} - \hat{\jmath} - 6\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{\imath} - 3\hat{\jmath} + 4\hat{k}$,और $\vec{c} = 2\hat{\imath} - 5\hat{\jmath} + m\hat{k}$ हैं।
चूंकि सदिश समतलीय हैं,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए,अर्थात $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$।
इसका अर्थ है कि घटकों का सारणिक शून्य है:
$\begin{vmatrix} 1 & -1 & -6 \\ 1 & -3 & 4 \\ 2 & -5 & m \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1((-3)(m) - (4)(-5)) - (-1)((1)(m) - (4)(2)) + (-6)((1)(-5) - (-3)(2)) = 0$
$1(-3m + 20) + 1(m - 8) - 6(-5 + 6) = 0$
$-3m + 20 + m - 8 - 6(1) = 0$
$-2m + 12 - 6 = 0$
$-2m + 6 = 0$
$2m = 6$
$m = 3$

(A) समांतर षट्फलक का आयतन जिसके किनारे $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ हैं,अदिश त्रिक गुणन $[\vec{u} \quad \vec{v} \quad \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $[\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}] = 4$.
हमें $\bar{a}+2 \bar{b}$,$\bar{b}+2 \bar{c}$,और $\bar{c}+2 \bar{a}$ किनारों वाले समांतर षट्फलक का आयतन ज्ञात करना है।
आयतन $= [(\bar{a}+2 \bar{b}) \quad (\bar{b}+2 \bar{c}) \quad (\bar{c}+2 \bar{a})]$.
$= (\bar{a}+2 \bar{b}) \cdot [(\bar{b}+2 \bar{c}) \times (\bar{c}+2 \bar{a})]$.
$= (\bar{a}+2 \bar{b}) \cdot [(\bar{b} \times \bar{c}) + 2(\bar{b} \times \bar{a}) + 2(\bar{c} \times \bar{c}) + 4(\bar{c} \times \bar{a})]$.
चूँकि $\bar{c} \times \bar{c} = 0$,इसलिए:
$= (\bar{a}+2 \bar{b}) \cdot [(\bar{b} \times \bar{c}) + 2(\bar{b} \times \bar{a}) + 4(\bar{c} \times \bar{a})]$.
$= \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + 2\bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{a}) + 4\bar{a} \cdot (\bar{c} \times \bar{a}) + 2\bar{b} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + 4\bar{b} \cdot (\bar{b} \times \bar{a}) + 8\bar{b} \cdot (\bar{c} \times \bar{a})$.
अदिश त्रिक गुणन के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,यदि कोई भी दो सदिश समान हैं तो मान शून्य होता है:
$= [\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}] + 0 + 0 + 0 + 0 + 8[\bar{b} \quad \bar{c} \quad \bar{a}]$.
चूँकि $[\bar{b} \quad \bar{c} \quad \bar{a}] = [\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}] = 4$,
आयतन $= 4 + 8(4) = 4 + 32 = 36 \text{ units}^3$.

(C) दिए गए सदिश $\bar{a}$ और $\bar{b}$ इकाई सदिश हैं क्योंकि $|\bar{a}| = \sqrt{\frac{9+1}{10}} = 1$ और $|\bar{b}| = \sqrt{\frac{4+9+36}{49}} = 1$ है।
सबसे पहले,अदिश गुणनफल $\bar{a} \cdot \bar{b} = \frac{1}{7\sqrt{10}}(3 \times 2 + 0 \times 3 + 1 \times (-6)) = \frac{6-6}{7\sqrt{10}} = 0$ की गणना करें।
अब,व्यंजक $(2 \bar{a}-\bar{b}) \cdot[(\bar{a} \times \bar{b}) \times(\bar{a}+2 \bar{b})]$ को सरल करें।
सदिश त्रिक गुणनफल के नियम $\bar{u} \times (\bar{v} \times \bar{w}) = (\bar{u} \cdot \bar{w}) \bar{v} - (\bar{u} \cdot \bar{v}) \bar{w}$ का उपयोग करते हुए:
$(\bar{a} \times \bar{b}) \times(\bar{a}+2 \bar{b}) = -[(\bar{a}+2 \bar{b}) \times (\bar{a} \times \bar{b})] = -[(\bar{a}+2 \bar{b}) \cdot \bar{b}] \bar{a} + [(\bar{a}+2 \bar{b}) \cdot \bar{a}] \bar{b}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\bar{a} \cdot \bar{b} = 0$,$|\bar{a}|=1$,और $|\bar{b}|=1$ है:
$(\bar{a}+2 \bar{b}) \cdot \bar{b} = \bar{a} \cdot \bar{b} + 2|\bar{b}|^2 = 0 + 2(1) = 2$ है।
$(\bar{a}+2 \bar{b}) \cdot \bar{a} = |\bar{a}|^2 + 2(\bar{b} \cdot \bar{a}) = 1 + 0 = 1$ है।
अतः,व्यंजक $-(2 \bar{a}-\bar{b}) \cdot [-2 \bar{a} + \bar{b}] = (2 \bar{a}-\bar{b}) \cdot (2 \bar{a}-\bar{b}) = |2 \bar{a}-\bar{b}|^2$ हो जाता है।
$|2 \bar{a}-\bar{b}|^2 = 4|\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 - 4(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 4(1) + 1 - 4(0) = 5$।

(C) सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\bar{u} \times \bar{v}$ की गणना करें:
$\bar{u} \times \bar{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2-0) - \hat{j}(1-3) + \hat{k}(0 - (-6)) = -2\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$.
अब,किनारों के लिए सदिशों को परिभाषित करें:
$\bar{a} = \bar{u} \times \bar{v} = -2\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$
$\bar{b} = \bar{u} + \bar{w} = (\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) + (\hat{j} - \hat{k}) = \hat{i} - \hat{j}$
$\bar{c} = \bar{v} + \bar{w} = (3\hat{i} + \hat{k}) + (\hat{j} - \hat{k}) = 3\hat{i} + \hat{j}$
समानांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $|\bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c})|$ द्वारा दिया जाता है,जो इन सदिशों द्वारा गठित सारणिक के निरपेक्ष मान के बराबर है:
आयतन $= \left| \begin{vmatrix} -2 & 2 & 6 \\ 1 & -1 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \end{vmatrix} \right|$
तीसरे स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
आयतन $= |6(1 - (-3))| = |6(4)| = 24$ घन इकाई।

(A) शीर्षों $A, B, C, D$ वाले चतुष्फलक का आयतन $V = \frac{1}{6} |[\vec{AB} \vec{AC} \vec{AD}]|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,हम सदिश ज्ञात करते हैं:
$\vec{AB} = (3 - (-1))\hat{i} + (-2 - 2)\hat{j} + (1 - 3)\hat{k} = 4\hat{i} - 4\hat{j} - 2\hat{k}$
$\vec{AC} = (2 - (-1))\hat{i} + (1 - 2)\hat{j} + (3 - 3)\hat{k} = 3\hat{i} - 1\hat{j} + 0\hat{k}$
$\vec{AD} = (-1 - (-1))\hat{i} + (-2 - 2)\hat{j} + (4 - 3)\hat{k} = 0\hat{i} - 4\hat{j} + 1\hat{k}$
अब,सारणिक का उपयोग करके अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{AB} \vec{AC} \vec{AD}]$ की गणना करें:
$|\vec{AB} \vec{AC} \vec{AD}| = \begin{vmatrix} 4 & -4 & -2 \\ 3 & -1 & 0 \\ 0 & -4 & 1 \end{vmatrix}$
$= 4((-1)(1) - (0)(-4)) - (-4)((3)(1) - (0)(0)) + (-2)((3)(-4) - (-1)(0))$
$= 4(-1) + 4(3) - 2(-12) = -4 + 12 + 24 = 32$
अतः,आयतन $V = \frac{1}{6} \times 32 = \frac{32}{6} = \frac{16}{3}$ घन इकाई।

(C) अदिश त्रिक गुणनफल को $[\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}] = \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c})$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
हमें व्यंजक $[\bar{a}+2\bar{b} \quad \bar{b}+2\bar{c} \quad \bar{c}+2\bar{a}]$ का मान ज्ञात करना है।
अदिश त्रिक गुणनफल के गुणों का उपयोग करके,हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$[\bar{a}+2\bar{b} \quad \bar{b}+2\bar{c} \quad \bar{c}+2\bar{a}] = (\bar{a}+2\bar{b}) \cdot [(\bar{b}+2\bar{c}) \times (\bar{c}+2\bar{a})]$.
क्रॉस गुणनफल का विस्तार करने पर:
$(\bar{b}+2\bar{c}) \times (\bar{c}+2\bar{a}) = (\bar{b} \times \bar{c}) + 2(\bar{b} \times \bar{a}) + 2(\bar{c} \times \bar{c}) + 4(\bar{c} \times \bar{a})$.
चूंकि $\bar{c} \times \bar{c} = 0$,यह $(\bar{b} \times \bar{c}) + 2(\bar{b} \times \bar{a}) + 4(\bar{c} \times \bar{a})$ में सरल हो जाता है।
अब,$(\bar{a}+2\bar{b})$ के साथ अदिश गुणनफल लेने पर:
$(\bar{a}+2\bar{b}) \cdot [(\bar{b} \times \bar{c}) + 2(\bar{b} \times \bar{a}) + 4(\bar{c} \times \bar{a})]$
$= \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + 2\bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{a}) + 4\bar{a} \cdot (\bar{c} \times \bar{a}) + 2\bar{b} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + 4\bar{b} \cdot (\bar{b} \times \bar{a}) + 8\bar{b} \cdot (\bar{c} \times \bar{a})$.
इस गुण का उपयोग करते हुए कि यदि कोई दो सदिश समान हों तो अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होता है:
$= [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + 0 + 0 + 0 + 0 + 8[\bar{b} \bar{c} \bar{a}]$
$= [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + 8[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 9[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$.
अतः,$\frac{[\bar{a}+2\bar{b} \quad \bar{b}+2\bar{c} \quad \bar{c}+2\bar{a}]}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]} = \frac{9[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]} = 9$.

(C) समांतर षट्फलक का आयतन जिसके किनारे $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ हैं,अदिश त्रिक गुणनफल $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $\vec{u} = 2\bar{a}+\bar{b}$,$\vec{v} = 2\bar{b}+\bar{c}$,और $\vec{w} = 2\bar{c}+\bar{a}$ है।
आयतन $= (2\bar{a}+\bar{b}) \cdot [(2\bar{b}+\bar{c}) \times (2\bar{c}+\bar{a})]$.
क्रॉस गुणनफल का विस्तार करने पर: $(2\bar{b}+\bar{c}) \times (2\bar{c}+\bar{a}) = 4(\bar{b} \times \bar{c}) + 2(\bar{b} \times \bar{a}) + 2(\bar{c} \times \bar{c}) + (\bar{c} \times \bar{a}) = 4(\bar{b} \times \bar{c}) + 2(\bar{b} \times \bar{a}) + (\bar{c} \times \bar{a})$.
अब,$(2\bar{a}+\bar{b})$ के साथ डॉट गुणनफल लेने पर:
आयतन $= (2\bar{a}+\bar{b}) \cdot [4(\bar{b} \times \bar{c}) + 2(\bar{b} \times \bar{a}) + (\bar{c} \times \bar{a})]$.
$= 8[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + 4[\bar{a} \bar{b} \bar{a}] + 2[\bar{a} \bar{c} \bar{a}] + 4[\bar{b} \bar{b} \bar{c}] + 2[\bar{b} \bar{b} \bar{a}] + [\bar{b} \bar{c} \bar{a}]$.
चूंकि अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होता है यदि कोई भी दो सदिश समान हों,इसलिए $[\bar{a} \bar{b} \bar{a}] = 0, [\bar{a} \bar{c} \bar{a}] = 0, [\bar{b} \bar{b} \bar{c}] = 0, [\bar{b} \bar{b} \bar{a}] = 0$.
आयतन $= 8[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + [\bar{b} \bar{c} \bar{a}] = 8[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 9[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$.
दिया गया है कि $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 3$,इसलिए आयतन $= 9 \times 3 = 27$ घन इकाई।

(B) शीर्ष $A, B, C, D$ वाले चतुष्फलक का आयतन $V = \frac{1}{6} |(\vec{AB}) \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})|$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,हम सदिश ज्ञात करते हैं:
$\vec{AB} = (3 - (-1))\hat{i} + (-2 - 2)\hat{j} + (1 - 3)\hat{k} = 4\hat{i} - 4\hat{j} - 2\hat{k}$
$\vec{AC} = (2 - (-1))\hat{i} + (1 - 2)\hat{j} + (3 - 3)\hat{k} = 3\hat{i} - 1\hat{j} + 0\hat{k}$
$\vec{AD} = (-1 - (-1))\hat{i} + (-2 - 2)\hat{j} + (4 - 3)\hat{k} = 0\hat{i} - 4\hat{j} + 1\hat{k}$
अब,अदिश त्रिक गुणनफल की गणना करते हैं:
$V = \frac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} 4 & -4 & -2 \\ 3 & -1 & 0 \\ 0 & -4 & 1 \end{vmatrix} \right|$
$V = \frac{1}{6} |4(-1 - 0) - (-4)(3 - 0) + (-2)(-12 - 0)|$
$V = \frac{1}{6} |4(-1) + 4(3) - 2(-12)|$
$V = \frac{1}{6} |-4 + 12 + 24| = \frac{1}{6} |32| = \frac{32}{6} = \frac{16}{3} \text{ घन इकाई}$.

(C) हम जानते हैं कि अदिश त्रिक गुणन $[\bar{a}+\bar{b} \quad \bar{b}+\bar{c} \quad \bar{c}+\bar{a}]$ को इस प्रकार विस्तारित किया जा सकता है:
$[\bar{a}+\bar{b} \quad \bar{b}+\bar{c} \quad \bar{c}+\bar{a}] = (\bar{a}+\bar{b}) \cdot [(\bar{b}+\bar{c}) \times (\bar{c}+\bar{a})]$
$= (\bar{a}+\bar{b}) \cdot [(\bar{b} \times \bar{c}) + (\bar{b} \times \bar{a}) + (\bar{c} \times \bar{c}) + (\bar{c} \times \bar{a})]$
चूंकि $\bar{c} \times \bar{c} = 0$,इसलिए:
$= (\bar{a}+\bar{b}) \cdot [(\bar{b} \times \bar{c}) + (\bar{b} \times \bar{a}) + (\bar{c} \times \bar{a})]$
$= \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{a}) + \bar{a} \cdot (\bar{c} \times \bar{a}) + \bar{b} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + \bar{b} \cdot (\bar{b} \times \bar{a}) + \bar{b} \cdot (\bar{c} \times \bar{a})$
अदिश त्रिक गुणन के गुण का उपयोग करते हुए कि यदि कोई भी दो सदिश समान हों तो उसका मान शून्य होता है:
$= [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + 0 + 0 + 0 + 0 + [\bar{b} \bar{c} \bar{a}]$
चूंकि $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = [\bar{b} \bar{c} \bar{a}]$,इसलिए:
$= [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 2[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$
अतः,दिया गया व्यंजक $\frac{2[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]} = 2$ है।

(C) तीन सदिशों के समतलीय होने के लिए,उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होना चाहिए।
मान लीजिए सदिश $\vec{a} = \hat{\imath}+\hat{\jmath}+\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{\imath}-\hat{\jmath}+\hat{k}$,और $\vec{c} = 2\hat{\imath}+3\hat{\jmath}+m\hat{k}$ हैं।
समतलीयता की शर्त $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$ है,जो घटकों के सारणिक (determinant) के शून्य होने के बराबर है:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & m \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$1((-1)(m) - (1)(3)) - 1((1)(m) - (1)(2)) + 1((1)(3) - (-1)(2)) = 0$
$1(-m - 3) - 1(m - 2) + 1(3 + 2) = 0$
$-m - 3 - m + 2 + 5 = 0$
$-2m + 4 = 0$
$2m = 4$
$m = 2$

(A) दिया गया है कि सदिशों $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक का आयतन $12$ है। अतः,अदिश त्रिक गुणनफल $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 12$ है।
चतुष्फलक का आयतन जिसके किनारे $\bar{u}, \bar{v}, \bar{w}$ हैं,का सूत्र $\frac{1}{6} |[\bar{u} \bar{v} \bar{w}]|$ होता है।
यहाँ,किनारे $\bar{a}+\bar{b}, \bar{b}+\bar{c}, \bar{c}+\bar{a}$ हैं।
हम अदिश त्रिक गुणनफल की गणना करते हैं:
$[\bar{a}+\bar{b} \quad \bar{b}+\bar{c} \quad \bar{c}+\bar{a}] = (\bar{a}+\bar{b}) \cdot ((\bar{b}+\bar{c}) \times (\bar{c}+\bar{a}))$
$= (\bar{a}+\bar{b}) \cdot (\bar{b} \times \bar{c} + \bar{b} \times \bar{a} + \bar{c} \times \bar{c} + \bar{c} \times \bar{a})$
चूँकि $\bar{c} \times \bar{c} = 0$,यह सरल होकर प्राप्त होता है:
$= (\bar{a}+\bar{b}) \cdot (\bar{b} \times \bar{c} + \bar{b} \times \bar{a} + \bar{c} \times \bar{a})$
$= \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{a}) + \bar{a} \cdot (\bar{c} \times \bar{a}) + \bar{b} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + \bar{b} \cdot (\bar{b} \times \bar{a}) + \bar{b} \cdot (\bar{c} \times \bar{a})$
$= [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + 0 + 0 + 0 + 0 + [\bar{b} \bar{c} \bar{a}]$
$= [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 2[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 2(12) = 24$.
अतः,चतुष्फलक का आयतन $\frac{1}{6} \times 24 = 4 \text{ (इकाई)}^3$ है।

(B) अदिश त्रिक गुणन को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है: $[\bar{b}, \bar{a} \times \bar{b}, \bar{a}] = \bar{b} \cdot ((\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{a})$.
सदिश त्रिक गुणन के गुण का उपयोग करते हुए,$(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{a} = -\bar{a} \times (\bar{a} \times \bar{b})$.
सदिश त्रिक गुणन सूत्र $\bar{u} \times (\bar{v} \times \bar{w}) = (\bar{u} \cdot \bar{w})\bar{v} - (\bar{u} \cdot \bar{v})\bar{w}$ के अनुसार,$\bar{a} \times (\bar{a} \times \bar{b}) = (\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{a} - (\bar{a} \cdot \bar{a})\bar{b}$ प्राप्त होता है।
अतः,$[\bar{b}, \bar{a} \times \bar{b}, \bar{a}] = \bar{b} \cdot ((\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{a} - (\bar{a} \cdot \bar{a})\bar{b}) = (\bar{a} \cdot \bar{b})(\bar{b} \cdot \bar{a}) - (\bar{a} \cdot \bar{a})(\bar{b} \cdot \bar{b}) = (\bar{a} \cdot \bar{b})^2 - |\bar{a}|^2 |\bar{b}|^2$.
लैग्रेंज की सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,$|\bar{a} \times \bar{b}|^2 = |\bar{a}|^2 |\bar{b}|^2 - (\bar{a} \cdot \bar{b})^2$.
इसलिए,$[\bar{b}, \bar{a} \times \bar{b}, \bar{a}] = -|\bar{a} \times \bar{b}|^2$.

(C) सह-अंतस्थ किनारों $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ वाले समांतर षट्फलक का आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = |\bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c})| = 7$ द्वारा दिया जाता है।
हमें $\bar{a}+\bar{b}, \bar{b}+\bar{c}, \bar{c}+\bar{a}$ किनारों वाले समांतर षट्फलक का आयतन ज्ञात करना है।
यह आयतन अदिश त्रिक गुणनफल $[\bar{a}+\bar{b} \quad \bar{b}+\bar{c} \quad \bar{c}+\bar{a}]$ द्वारा दिया जाता है।
अदिश त्रिक गुणनफल के गुणधर्म का उपयोग करते हुए:
$[\bar{a}+\bar{b} \quad \bar{b}+\bar{c} \quad \bar{c}+\bar{a}] = (\bar{a}+\bar{b}) \cdot ((\bar{b}+\bar{c}) \times (\bar{c}+\bar{a}))$.
क्रॉस गुणनफल का विस्तार करने पर:
$(\bar{b}+\bar{c}) \times (\bar{c}+\bar{a}) = \bar{b} \times \bar{c} + \bar{b} \times \bar{a} + \bar{c} \times \bar{c} + \bar{c} \times \bar{a} = \bar{b} \times \bar{c} + \bar{b} \times \bar{a} + \bar{c} \times \bar{a}$ (क्योंकि $\bar{c} \times \bar{c} = 0$)।
अब,$(\bar{a}+\bar{b})$ के साथ अदिश गुणनफल लेने पर:
$(\bar{a}+\bar{b}) \cdot (\bar{b} \times \bar{c} + \bar{b} \times \bar{a} + \bar{c} \times \bar{a}) = \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{a}) + \bar{a} \cdot (\bar{c} \times \bar{a}) + \bar{b} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + \bar{b} \cdot (\bar{b} \times \bar{a}) + \bar{b} \cdot (\bar{c} \times \bar{a})$.
चूंकि यदि कोई भी दो सदिश समान हों तो अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होता है,इसलिए:
$= [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + 0 + 0 + 0 + 0 + [\bar{b} \bar{c} \bar{a}] = [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 2[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$.
दिया गया है कि $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 7$,अतः आयतन $2 \times 7 = 14$ घन इकाई है।

(C) दिया गया है कि $\bar{p}=\frac{\bar{b} \times \bar{c}}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]}, \bar{q}=\frac{\bar{c} \times \bar{a}}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]}, \bar{r}=\frac{\bar{a} \times \bar{b}}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]}$ है।
हम जानते हैं कि अदिश त्रिक गुणनफल $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c})$ होता है।
अब,प्रत्येक पद की गणना करें:
$\bar{a} \cdot \bar{p} = \bar{a} \cdot \left( \frac{\bar{b} \times \bar{c}}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]} \right) = \frac{\bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c})}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]} = \frac{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]} = 1$.
इसी प्रकार,$\bar{b} \cdot \bar{q} = \bar{b} \cdot \left( \frac{\bar{c} \times \bar{a}}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]} \right) = \frac{\bar{b} \cdot (\bar{c} \times \bar{a})}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]} = \frac{[\bar{b} \bar{c} \bar{a}]}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]} = \frac{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]} = 1$.
और $\bar{c} \cdot \bar{r} = \bar{c} \cdot \left( \frac{\bar{a} \times \bar{b}}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]} \right) = \frac{\bar{c} \cdot (\bar{a} \times \bar{b})}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]} = \frac{[\bar{c} \bar{a} \bar{b}]}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]} = \frac{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]} = 1$.
अतः,$\bar{a} \cdot \bar{p} + \bar{b} \cdot \bar{q} + \bar{c} \cdot \bar{r} = 1 + 1 + 1 = 3$.

(D) हम डॉट गुणन का विस्तार करते हैं: $(\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}) \cdot (\bar{a} \times \bar{b} + \bar{b} \times \bar{c} + \bar{c} \times \bar{a})$.
डॉट गुणन के वितरण नियम का उपयोग करने पर:
$= \bar{a} \cdot (\bar{a} \times \bar{b}) + \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + \bar{a} \cdot (\bar{c} \times \bar{a}) + \bar{b} \cdot (\bar{a} \times \bar{b}) + \bar{b} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + \bar{b} \cdot (\bar{c} \times \bar{a}) + \bar{c} \cdot (\bar{a} \times \bar{b}) + \bar{c} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + \bar{c} \cdot (\bar{c} \times \bar{a})$.
चूंकि अदिश त्रिक गुणन $[\bar{x} \bar{y} \bar{z}] = 0$ होता है यदि कोई भी दो सदिश समान हों,इसलिए $\bar{a} \cdot (\bar{a} \times \bar{b}) = 0$,$\bar{b} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) = 0$,और $\bar{c} \cdot (\bar{c} \times \bar{a}) = 0$ होगा।
इससे हमें प्राप्त होता है:
$= [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + [\bar{b} \bar{c} \bar{a}] + [\bar{c} \bar{a} \bar{b}]$.
अदिश त्रिक गुणन चक्रीय क्रम में समान रहता है,इसलिए $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = [\bar{b} \bar{c} \bar{a}] = [\bar{c} \bar{a} \bar{b}]$.
अतः,यह व्यंजक $3[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$ के बराबर है।
इसे $k[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = 3$ प्राप्त होता है।