रेखा $\bar{r}=(2 \hat{i}+\hat{j}-4 \hat{k})+\lambda(\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k})$ और $XOY$-समतल के प्रतिच्छेदन बिंदु का स्थिति सदिश है:

समतलों $3x - 6y - 2z = 15$ और $2x + y - 2z = 5$ पर विचार करें।
$\text{कथन}-1$ : दिए गए समतलों के प्रतिच्छेदन रेखा के प्राचलिक समीकरण $x = 3 + 14t, y = 1 + 2t, z = 15t$ हैं क्योंकि
$\text{कथन}-2$ : सदिश $14\hat{i} + 2\hat{j} + 15\hat{k}$ दिए गए समतलों के प्रतिच्छेदन रेखा के समानांतर है।

प्रथम अष्टांश $(x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0)$ में स्थित एक पिरामिड $OPQRS$ पर विचार करें,जहाँ $O$ मूलबिंदु है,और $OP$ तथा $OR$ क्रमशः $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर हैं। पिरामिड का आधार $OPQR$ एक वर्ग है जिसमें $OP=3$ है। बिंदु $S$ विकर्ण $OQ$ के मध्य-बिंदु $T$ के ठीक ऊपर है,इस प्रकार कि $TS=3$ है। तब:

मान लीजिए कि त्रिभुज $ABC$ के दो शीर्ष $(2,4,6)$ और $(0,-2,-5)$ हैं,और इसका केंद्रक $(2,1,-1)$ है। यदि समतल $x+2y+4z=11$ में तीसरे शीर्ष का प्रतिबिंब $(\alpha, \beta, \gamma)$ है,तो $\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक रेखा $L$ बिंदुओं $(1, 2, -3)$ और $(3, 3, -1)$ से होकर गुजरती है और एक समतल $\pi$ बिंदुओं $(2, 1, -2), (-2, -3, 6)$ और $(0, 2, -1)$ से होकर गुजरता है। यदि $\theta$ रेखा $L$ और समतल $\pi$ के बीच का कोण है,तो $27 \cos^2 \theta = $

मान लीजिए $\bar{A}$ मूल बिंदु से गुजरने वाले समतलों $P_1$ और $P_2$ की प्रतिच्छेदन रेखा के समानांतर एक सदिश है। $P_1$,सदिशों $2 \hat{j}+3 \hat{k}$ और $4 \hat{j}-3 \hat{k}$ के समानांतर है और $P_2$,$\hat{j}-\hat{k}$ और $3 \hat{i}+3 \hat{j}$ के समानांतर है,तो $\bar{A}$ और $2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।