MHT CET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) દ્વિપદી વિતરણ માટે,મધ્યક $\mu = np$ અને વિચરણ $\sigma^2 = npq$ છે,જ્યાં $q = 1-p$ છે.
આપેલ છે કે $n = 5$ અને $np + npq = 1 \cdot 8$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $5p + 5pq = 1 \cdot 8$.
$5p(1 + q) = 1 \cdot 8$.
કારણ કે $q = 1 - p$,તેથી $5p(1 + 1 - p) = 1 \cdot 8$.
$5p(2 - p) = 1 \cdot 8$.
$10p - 5p^2 = 1 \cdot 8$.
$5p^2 - 10p + 1 \cdot 8 = 0$.
સાદું રૂપ આપવા માટે $5$ વડે ગુણતા: $25p^2 - 50p + 9 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $p = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$p = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 4(25)(9)}}{50} = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 900}}{50} = \frac{50 \pm \sqrt{1600}}{50} = \frac{50 \pm 40}{50}$.
$p = \frac{90}{50} = 1 \cdot 8$ (શક્ય નથી કારણ કે $0 \le p \le 1$) અથવા $p = \frac{10}{50} = 0 \cdot 2$.
આમ,$p = 0 \cdot 2$.

(B) ધારો કે $X$ એ $n = 100$ પ્રયત્નોમાં સફળતાઓની સંખ્યા છે. આ દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ ને અનુસરે છે.
અહીં,પાસાને એકવાર ફેંકતા બેકી સંખ્યા મેળવવાની સંભાવના $p = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ છે.
નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ છે.
દ્વિપદી વિતરણનું વિચરણ $\text{Var}(X) = npq$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\text{Var}(X) = 100 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = 100 \times \frac{1}{4} = 25$ મળે છે.
તેથી,વિચરણ $25$ છે.

(A) $8$ માંથી $2$ બેટરી પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{8}C_{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ છે.
ધારો કે $X$ એ ખામીયુક્ત બેટરીઓની સંખ્યા છે. ખામીયુક્ત બેટરીઓની સંખ્યા $3$ છે અને સારી બેટરીઓની સંખ્યા $5$ છે.
આપણે $P(X \leq 1) = P(X=0) + P(X=1)$ શોધવાની જરૂર છે.
$P(X=0)$ એ $0$ ખામીયુક્ત અને $2$ સારી બેટરી પસંદ કરવાની સંભાવના છે: $P(X=0) = \frac{^{3}C_{0} \times ^{5}C_{2}}{^{8}C_{2}} = \frac{1 \times 10}{28} = \frac{10}{28}$.
$P(X=1)$ એ $1$ ખામીયુક્ત અને $1$ સારી બેટરી પસંદ કરવાની સંભાવના છે: $P(X=1) = \frac{^{3}C_{1} \times ^{5}C_{1}}{^{8}C_{2}} = \frac{3 \times 5}{28} = \frac{15}{28}$.
તેથી,$P(X \leq 1) = \frac{10}{28} + \frac{15}{28} = \frac{25}{28}$.

(A) કારણ કે $f(x)$ એ યાદચ્છિક ચલ $X$ નું p.d.f. છે,તેથી વક્ર હેઠળનું કુલ ક્ષેત્રફળ $1$ હોવું જોઈએ.
$\int_{0}^{1} f(x) dx = 1 \Rightarrow \int_{0}^{1} K(x-x^2) dx = 1$
$K \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} = 1 \Rightarrow K \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) = 1$
$K \left( \frac{1}{6} \right) = 1 \Rightarrow K = 6$
હવે,આપણે $P(X < \frac{1}{2}) = \int_{0}^{\frac{1}{2}} 6(x-x^2) dx$ ની ગણતરી કરીએ.
$= 6 \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{\frac{1}{2}} = \left[ 3x^2 - 2x^3 \right]_{0}^{\frac{1}{2}}$
$= 3 \left( \frac{1}{2} \right)^2 - 2 \left( \frac{1}{2} \right)^3 = 3 \left( \frac{1}{4} \right) - 2 \left( \frac{1}{8} \right)$
$= \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

(B) આપેલ સંભાવના દળ વિધેય $P(X=x) = \frac{{}^{5}C_{x}}{2^{5}}$ છે,જ્યાં $x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$.
આપણે $P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$P(X=0) = \frac{{}^{5}C_{0}}{2^{5}} = \frac{1}{32}$
$P(X=1) = \frac{{}^{5}C_{1}}{2^{5}} = \frac{5}{32}$
$P(X=2) = \frac{{}^{5}C_{2}}{2^{5}} = \frac{10}{32}$
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા: $P(X \leq 2) = \frac{1+5+10}{32} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$.
હવે,વિકલ્પો તપાસીએ:
$P(X \geq 3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = \frac{{}^{5}C_{3} + {}^{5}C_{4} + {}^{5}C_{5}}{2^{5}} = \frac{10+5+1}{32} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$.
આમ,$P(X \leq 2) = \frac{1}{2}$ અને $P(X \geq 3) = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$P(X \leq 2) = P(X \geq 3)$ થાય છે.

(A) સંભાવના ઘનતા વિધેય માટે,વક્ર હેઠળનું કુલ ક્ષેત્રફળ $1$ હોવું જોઈએ.
$\int_{0}^{4} f(x) dx = 1$
$\int_{0}^{4} \frac{k}{\sqrt{x}} dx = 1$
$k [2\sqrt{x}]_{0}^{4} = 1$
$k [2(2) - 0] = 1 \Rightarrow 4k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{4}$
હવે,આપણે $P(1 < X < 4)$ ની ગણતરી કરીએ:
$P(1 < X < 4) = \int_{1}^{4} \frac{1/4}{\sqrt{x}} dx$
$= \frac{1}{4} [2\sqrt{x}]_{1}^{4}$
$= \frac{1}{2} [\sqrt{4} - \sqrt{1}]$
$= \frac{1}{2} [2 - 1] = \frac{1}{2}$

(D) સંભાવના વિતરણ માટે,તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
તેથી,$k + 0 + 2k + 5k + k + 3k = 1$.
$12k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{12}$.
આપણે $P(X \geq 4)$ શોધવાનું છે,જે $P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)$ છે.
$P(X \geq 4) = 5k + k + 3k = 9k$.
$k$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $P(X \geq 4) = 9 \times \frac{1}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$ મળે છે.

(C) આપેલ સંભાવના ઘટત્વ વિધેય દ્વિપદી વિતરણ $B(n, p)$ નું છે,જ્યાં $n = 6$ અને $p = \frac{1}{3}$ છે.
અહીં $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ છે,તેથી વિતરણ $P(X=x) = \binom{6}{x} \left(\frac{1}{3}\right)^{x} \left(\frac{2}{3}\right)^{6-x}$ થાય.
મધ્યક $\mu = np = 6 \times \frac{1}{3} = 2$.
વિચરણ $\sigma^{2} = npq = 6 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$.
હવે,$2\mu + 12\sigma^{2} = 2(2) + 12\left(\frac{4}{3}\right) = 4 + 16 = 20$.

(D) સંભાવના દળ વિધેય માટે,બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
તેથી,$P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = 1$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $k + \frac{k}{3} + \frac{k}{4} + \frac{k}{2} + \frac{k}{2} = 1$.
છેદ $(3, 4, 2, 2)$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $12$ લેતા:
$\frac{12k + 4k + 3k + 6k + 6k}{12} = 1$.
અંશનો સરવાળો કરતા: $\frac{31k}{12} = 1$.
$k$ માટે ઉકેલતા: $k = \frac{12}{31}$.

(C) સંચયી વિતરણ વિધેય $F(x)$ ને $F(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$-1 < x < 2$ માટે,આપણી પાસે છે:
$F(x) = \int_{-1}^{x} \frac{t^3}{3} dt$
$F(x) = \frac{1}{3} \left[ \frac{t^4}{4} \right]_{-1}^{x}$
$F(x) = \frac{1}{3} \left( \frac{x^4}{4} - \frac{(-1)^4}{4} \right)$
$F(x) = \frac{1}{3} \left( \frac{x^4}{4} - \frac{1}{4} \right)$
$F(x) = \frac{1}{12} (x^4 - 1)$

(A) આપેલ p.d.f. $f(x) = \frac{1}{2}$ છે,જ્યાં $0 < x < 2$.
પ્રથમ,આપણે $a = P(X < \frac{1}{2})$ ની ગણતરી કરીએ:
$a = \int_{0}^{1/2} \frac{1}{2} dx = \frac{1}{2} [x]_{0}^{1/2} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2} - 0) = \frac{1}{4}$.
ત્યારબાદ,આપણે $b = P(X > \frac{3}{2})$ ની ગણતરી કરીએ:
$b = \int_{3/2}^{2} \frac{1}{2} dx = \frac{1}{2} [x]_{3/2}^{2} = \frac{1}{2} (2 - \frac{3}{2}) = \frac{1}{2} (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$.
$a$ અને $b$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $a = \frac{1}{4}$ અને $b = \frac{1}{4}$ મળે છે.
તેથી,$a - b = \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = 0$.

(C) સંચયી વિતરણ વિધેય (c.d.f.) $F(x) = P(X \leq x) = \frac{\sqrt{x}}{2}$ આપેલ છે.
આપણે સંભાવના $P[X > 1]$ શોધવાની છે.
સંચયી વિતરણ વિધેયના ગુણધર્મ મુજબ,$P(X > x) = 1 - P(X \leq x) = 1 - F(x)$ થાય.
તેથી,$P[X > 1] = 1 - F(1)$.
આપેલ વિધેયમાં $x = 1$ મૂકતા: $F(1) = \frac{\sqrt{1}}{2} = \frac{1}{2}$.
આમ,$P[X > 1] = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

(B) સંભાવના વિતરણ માટે,બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
તેથી,$P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) = 1$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $k + 2k + 4k + 2k + k = 1$.
$10k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{10}$.
આપણે $P(X \leq 2)$ શોધવાનું છે,જે $P(0) + P(1) + P(2)$ છે.
$P(X \leq 2) = k + 2k + 4k = 7k$.
$k$ ની કિંમત મૂકતા: $7 \times \frac{1}{10} = \frac{7}{10}$.

(D) કારણ કે $f(x)$ એ સંભાવના ઘનતા વિધેય છે,તેથી વક્ર હેઠળનો કુલ વિસ્તાર $1$ હોવો જોઈએ:
$\int_{-2}^{2} k(4 - x^2) dx = 1$
વિધેય યુગ્મ હોવાથી,આપણને મળે છે $2k \int_{0}^{2} (4 - x^2) dx = 1$.
$2k [4x - \frac{x^3}{3}]_0^2 = 1$
$2k (8 - \frac{8}{3}) = 1 \Rightarrow 2k(\frac{16}{3}) = 1 \Rightarrow k = \frac{3}{32}$.
હવે,આપણે $P[-1 < X < 1]$ ની ગણતરી કરીએ:
$P[-1 < X < 1] = \int_{-1}^{1} \frac{3}{32}(4 - x^2) dx = 2 \times \frac{3}{32} \int_{0}^{1} (4 - x^2) dx$
$= \frac{6}{32} [4x - \frac{x^3}{3}]_0^1 = \frac{3}{16} (4 - \frac{1}{3}) = \frac{3}{16} \times \frac{11}{3} = \frac{11}{16}$.

(B) સંભાવના $P(|X| < 2)$ એ $P(-2 < X < 2)$ ને સમાન છે.
આપેલ p.d.f. $f(x) = \frac{x+2}{18}$ નો અંતરાલ $(-2, 2)$ પર સંકલન કરતા:
$P(-2 < X < 2) = \int_{-2}^{2} \frac{x+2}{18} dx$
$= \frac{1}{18} \left[ \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^{2}$
$= \frac{1}{18} \left[ (\frac{2^2}{2} + 2(2)) - (\frac{(-2)^2}{2} + 2(-2)) \right]$
$= \frac{1}{18} \left[ (2 + 4) - (2 - 4) \right]$
$= \frac{1}{18} [6 - (-2)]$
$= \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$

(C) સંભાવના દળ વિધેય (p.m.f.) માટે,તમામ સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ,એટલે કે $\sum P(X) = 1$.
આપેલ છે કે $P(X) = k \binom{4}{x}$ જ્યાં $x = 0, 1, 2, 3, 4$.
દરેક સંભાવનાની ગણતરી કરતા:
$P(X=0) = k \binom{4}{0} = k \times 1 = k$
$P(X=1) = k \binom{4}{1} = k \times 4 = 4k$
$P(X=2) = k \binom{4}{2} = k \times 6 = 6k$
$P(X=3) = k \binom{4}{3} = k \times 4 = 4k$
$P(X=4) = k \binom{4}{4} = k \times 1 = k$
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા:
$k + 4k + 6k + 4k + k = 1$
$16k = 1$
$k = \frac{1}{16}$

(D) મધ્યક $E(X)$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$E(X) = \sum x_i P_i = (-2)(0.2) + (-1)(0.3) + (0)(0.1) + (1)(0.15) + (2)(0.25)$
$E(X) = -0.4 - 0.3 + 0 + 0.15 + 0.5 = -0.05$
ત્યારબાદ,આપણે $E(X^2)$ ની ગણતરી કરીએ છીએ:
$E(X^2) = \sum x_i^2 P_i = (-2)^2(0.2) + (-1)^2(0.3) + (0)^2(0.1) + (1)^2(0.15) + (2)^2(0.25)$
$E(X^2) = (4)(0.2) + (1)(0.3) + 0 + (1)(0.15) + (4)(0.25)$
$E(X^2) = 0.8 + 0.3 + 0.15 + 1.0 = 2.25$
વિચરણ $Var(X)$ નીચે મુજબ મળે છે:
$Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
$Var(X) = 2.25 - (-0.05)^2$
$Var(X) = 2.25 - 0.0025 = 2.2475$

(C) આપેલ સંભાવના દળ વિધેય $P(X=x) = \frac{\binom{5}{x}}{2^5}$ છે,જ્યાં $x \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$.
સંભાવનાઓની ગણતરી કરતા:
$P(X=0) = \frac{\binom{5}{0}}{32} = \frac{1}{32}$,$P(X=1) = \frac{\binom{5}{1}}{32} = \frac{5}{32}$,$P(X=2) = \frac{\binom{5}{2}}{32} = \frac{10}{32}$,$P(X=3) = \frac{\binom{5}{3}}{32} = \frac{10}{32}$,$P(X=4) = \frac{\binom{5}{4}}{32} = \frac{5}{32}$,$P(X=5) = \frac{\binom{5}{5}}{32} = \frac{1}{32}$.
હવે વિકલ્પો તપાસીએ:
$A$. $P(X \leq 1) = P(0) + P(1) = \frac{1+5}{32} = \frac{6}{32}$ અને $P(X \geq 4) = P(4) + P(5) = \frac{5+1}{32} = \frac{6}{32}$. તેથી,$P(X \leq 1) = P(X \geq 4)$ સાચું છે.
$B$. $P(X \leq 2) = P(0) + P(1) + P(2) = \frac{1+5+10}{32} = \frac{16}{32} = 0.5$. $P(X \geq 4) = \frac{6}{32} = 0.1875$. $0.5 \geq 0.1875$ હોવાથી,આ સાચું છે.
$C$. $P(X \leq 3) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = \frac{1+5+10+10}{32} = \frac{26}{32} = 0.8125$. $P(X \geq 3) = P(3) + P(4) + P(5) = \frac{10+5+1}{32} = \frac{16}{32} = 0.5$. $0.8125 \leq 0.5$ એ ખોટું હોવાથી,વિકલ્પ $C$ સાચું નથી.
$D$. $P(X \leq 2) = \frac{16}{32} = 0.5$ અને $P(X \geq 3) = \frac{16}{32} = 0.5$. તેથી,$P(X \leq 2) = P(X \geq 3)$ સાચું છે.

(C) આપણને સંભાવના ઘનતા વિધેય $f(x) = \frac{x+2}{18}$ આપેલ છે,જ્યાં $-2 < x < 4$ છે.
આપણે $P[|x| < 1]$ શોધવાનું છે.
શરત $|x| < 1$ એ $-1 < x < 1$ ને સમાન છે.
તેથી,$P[|x| < 1] = \int_{-1}^{1} f(x) \, dx = \int_{-1}^{1} \frac{x+2}{18} \, dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$P = \frac{1}{18} \int_{-1}^{1} (x+2) \, dx = \frac{1}{18} \left[ \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^{1}$.
સીમાઓ મૂકતા:
$P = \frac{1}{18} \left[ (\frac{1}{2} + 2) - (\frac{(-1)^2}{2} + 2(-1)) \right]$.
$P = \frac{1}{18} \left[ (\frac{1}{2} + 2) - (\frac{1}{2} - 2) \right]$.
$P = \frac{1}{18} [ \frac{1}{2} + 2 - \frac{1}{2} + 2 ] = \frac{1}{18} [4] = \frac{4}{18} = \frac{2}{9}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) જ્યારે એક પાસાને ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે શક્ય પરિણામો $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
કોઈપણ સંખ્યા $x \in S$ મળવાની સંભાવના $P(x) = \frac{1}{6}$ છે.
અપેક્ષિત કિંમત $E(X)$ નું સૂત્ર $E(X) = \sum x \cdot P(x)$ છે.
$E(X) = (1 \times \frac{1}{6}) + (2 \times \frac{1}{6}) + (3 \times \frac{1}{6}) + (4 \times \frac{1}{6}) + (5 \times \frac{1}{6}) + (6 \times \frac{1}{6})$.
$E(X) = \frac{1}{6} \times (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)$.
$E(X) = \frac{1}{6} \times 21 = 3.5$.

(C) $P(X \leq 2)$ શોધવા માટે,આપણે સંભાવના ઘનતા વિધેય $f(x)$ નું $0$ થી $2$ ની સીમાઓ વચ્ચે સંકલન કરીશું.
$P(X \leq 2) = \int_{0}^{2} f(x) \, dx$
$P(X \leq 2) = \int_{0}^{2} \frac{x}{8} \, dx$
$P(X \leq 2) = \frac{1}{8} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2}$
$P(X \leq 2) = \frac{1}{8} \left( \frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right)$
$P(X \leq 2) = \frac{1}{8} \left( \frac{4}{2} \right) = \frac{1}{8} \times 2 = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

(B) પ્રમાણિત વિચલન શોધવા માટે,આપણે પહેલા મધ્યક $\mu = E(X)$ અને વિચરણ $\sigma^2 = E(X^2) - [E(X)]^2$ ની ગણતરી કરીશું.
સંભાવના વિતરણ નીચે મુજબ છે:

$x_i$	$p_i$	$p_i x_i$	$p_i x_i^2$
$0$	$q^2$	$0$	$0$
$1$	$2pq$	$2pq$	$2pq$
$2$	$p^2$	$2p^2$	$4p^2$
કુલ	$1$	$2pq + 2p^2$	$2pq + 4p^2$

મધ્યક $\mu = E(X) = \sum p_i x_i = 2pq + 2p^2 = 2p(q+p)$.
કારણ કે $p+q=1$,તેથી $\mu = 2p(1) = 2p$.
વિચરણ $\sigma^2 = E(X^2) - \mu^2 = (2pq + 4p^2) - (2p)^2 = 2pq + 4p^2 - 4p^2 = 2pq$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{\text{વિચરણ}} = \sqrt{2pq}$.

(B) અસતત યાદચ્છિક ચલ $X$ માટે,સંભાવના દળ વિધેય $P[X=x]$ એ સંચયી વિતરણ વિધેય $F(x)$ સાથે નીચેના સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે:
$P[X=x] = F(x) - F(x^-)$
જ્યાં $F(x^-)$ એ $x$ ની તરત પહેલાની કિંમત માટે સંચયી વિતરણ વિધેયનું મૂલ્ય છે.
અહીં,આપણે $P[X=3]$ શોધવા માંગીએ છીએ.
કોષ્ટક જોતા,$3$ ની તરત પહેલાની $X$ ની કિંમત $1$ છે.
તેથી,$P[X=3] = F(3) - F(1)$.
કોષ્ટક પરથી:
$F(3) = 0.75$
$F(1) = 0.65$
આ કિંમતો મૂકતા:
$P[X=3] = 0.75 - 0.65 = 0.10$
આમ,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(B) સંચયી વિતરણ વિધેય $F(x)$ ને $F(x) = P(X \leq x)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપણે $F(1.5) - F(-0.5) = P(X \leq 1.5) - P(X \leq -0.5)$ ની ગણતરી કરવાની છે.
અસતત યાદચ્છિક ચલ માટે સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(X \leq x) = \sum_{x_i \leq x} P(X = x_i)$.
તેથી,$P(X \leq 1.5) = P(X = -1.5) + P(X = -0.5) + P(X = 0.5) + P(X = 1.5) = 0.05 + 0.2 + 0.15 + 0.25 = 0.65$.
અને $P(X \leq -0.5) = P(X = -1.5) + P(X = -0.5) = 0.05 + 0.2 = 0.25$.
આમ,$F(1.5) - F(-0.5) = 0.65 - 0.25 = 0.4$.
વૈકલ્પિક રીતે,$F(1.5) - F(-0.5) = P(-0.5 < X \leq 1.5) = P(X = 0.5) + P(X = 1.5) = 0.15 + 0.25 = 0.4$.
સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) સંચયી વિતરણ વિધેય $F(x)$ એ સંભાવના ઘનતા વિધેય $f(x)$ નું સંકલન છે.
$F(x) = \int_{0}^{x} f(t) dt = \int_{0}^{x} 3(1 - 2t^2) dt$.
સંકલન કરતા:
$F(x) = 3 \left[ t - \frac{2t^3}{3} \right]_{0}^{x} = 3 \left( x - \frac{2x^3}{3} \right)$.
આપેલ સ્વરૂપ $F(x) = k(x - \frac{2x^3}{k}) = kx - 2x^3$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 3$ મળે છે.

(A) સંભાવના વિતરણ માટે,બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
તેથી,$k + 3k + 3k + k = 1$,જેનો અર્થ છે કે $8k = 1$,તેથી $k = \frac{1}{8}$.
મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(x_i) = (0 \times \frac{1}{8}) + (1 \times \frac{3}{8}) + (2 \times \frac{3}{8}) + (3 \times \frac{1}{8}) = 0 + \frac{3}{8} + \frac{6}{8} + \frac{3}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$.
વર્ગની અપેક્ષિત કિંમત,$E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i) = (0^2 \times \frac{1}{8}) + (1^2 \times \frac{3}{8}) + (2^2 \times \frac{3}{8}) + (3^2 \times \frac{1}{8}) = 0 + \frac{3}{8} + \frac{12}{8} + \frac{9}{8} = \frac{24}{8} = 3$.
વિચરણ $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$.
$Var(X) = 3 - (\frac{3}{2})^2 = 3 - \frac{9}{4} = \frac{12 - 9}{4} = \frac{3}{4}$.

(A) સંચયી વિતરણ વિધેય $F(x)$ ને $F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$0 < x < 4$ માટે,$F(x) = \int_{0}^{x} \frac{t}{8} dt$.
$F(x) = \frac{1}{8} \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{x} = \frac{1}{16} (x^2 - 0) = \frac{x^2}{16}$.
હવે,$F(x)$ ના સૂત્રમાં $x = 0.5$ મૂકતા:
$F(0.5) = \frac{(0.5)^2}{16} = \frac{0.25}{16} = \frac{1/4}{16} = \frac{1}{64}$.

(A) આપેલ છે કે $X \sim B\left(8, \frac{1}{2}\right)$,તેથી $n=8, p=\frac{1}{2}, q=\frac{1}{2}$ છે.
આપણે $P(|X-4| \leq 2)$ શોધવાનું છે.
આ અસમતા $|X-4| \leq 2$ નો અર્થ છે કે $-2 \leq X-4 \leq 2$,જેનું સાદું રૂપ $2 \leq X \leq 6$ થાય છે.
તેથી,આપણે $P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6)$ ની ગણતરી કરવાની છે.
સંભાવના વિધેય $P(X=k) = {}^{8}C_{k} \left(\frac{1}{2}\right)^{k} \left(\frac{1}{2}\right)^{8-k} = {}^{8}C_{k} \left(\frac{1}{2}\right)^{8}$ છે.
આ સંભાવનાઓનો સરવાળો કરતા:
$P(2 \leq X \leq 6) = \left(\frac{1}{2}\right)^{8} \left[ {}^{8}C_{2} + {}^{8}C_{3} + {}^{8}C_{4} + {}^{8}C_{5} + {}^{8}C_{6} \right]$.
સંચયની ગણતરી કરતા:
${}^{8}C_{2} = 28, {}^{8}C_{3} = 56, {}^{8}C_{4} = 70, {}^{8}C_{5} = 56, {}^{8}C_{6} = 28$.
સરવાળો $= 28 + 56 + 70 + 56 + 28 = 238$.
તેથી,$P(2 \leq X \leq 6) = \frac{238}{256} = \frac{119}{128}$.

(A) યાદચ્છિક ચલ $X$ નું વિચરણ શોધવા માટે,આપણે સૂત્ર $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.

$x_{i}$	$p(x_{i})$	$p_{i} x_{i}$	$p_{i} x_{i}^{2}$
$0$	$\frac{1}{5}$	$0$	$0$
$1$	$\frac{2}{5}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{2}{5}$
$2$	$\frac{2}{5}$	$\frac{4}{5}$	$\frac{8}{5}$

પ્રથમ,મધ્યક $E(X) = \sum p_{i} x_{i} = 0 + \frac{2}{5} + \frac{4}{5} = \frac{6}{5}$ શોધો.
ત્યારબાદ,$E(X^2) = \sum p_{i} x_{i}^{2} = 0 + \frac{2}{5} + \frac{8}{5} = \frac{10}{5} = 2$ શોધો.
હવે,વિચરણની ગણતરી કરો: $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 2 - (\frac{6}{5})^2 = 2 - \frac{36}{25} = \frac{50 - 36}{25} = \frac{14}{25}$.

(C) યાદચ્છિક ચલ $X$ ની કિંમતો $x_i \in \{0, 1, 2\}$ છે.
આપેલ મધ્યક $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 1.2$.
કિંમતો મૂકતા: $(0 \times P(X=0)) + (1 \times P(X=1)) + (2 \times P(X=2)) = 1.2$.
$P(X=0) = 0.3$ હોવાથી: $0 + P(X=1) + 2P(X=2) = 1.2 \implies P(X=1) + 2P(X=2) = 1.2$ (સમીકરણ $1$).
વળી,સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય છે: $P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1$.
$0.3 + P(X=1) + P(X=2) = 1 \implies P(X=1) + P(X=2) = 0.7$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા: $(P(X=1) + 2P(X=2)) - (P(X=1) + P(X=2)) = 1.2 - 0.7$.
$P(X=2) = 0.5$.
$P(X=2) = 0.5$ ને સમીકરણ $2$ માં મૂકતા: $P(X=1) + 0.5 = 0.7 \implies P(X=1) = 0.2$.

(B) ધારો કે $X$ એ $100$ પ્રયત્નોમાં સફળતાની સંખ્યા (બેકી સંખ્યા મેળવવી) દર્શાવે છે.
તેથી $X$ એ $n = 100$,$p = \frac{1}{2}$ અને $q = \frac{1}{2}$ સાથે દ્વિપદી વિતરણને અનુસરે છે.
$X$ નું વિચરણ = $npq = 100 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = 25$.
પ્રમાણિત વિચલન = $\sqrt{\text{વિચરણ}} = \sqrt{25} = 5$.

(C) ધારો કે રેખાના દિકકોસાઈન $l, m, n$ છે. રેખા દરેક યામ અક્ષ સાથે સમાન ખૂણો $\alpha$ બનાવતી હોવાથી,$l = \cos \alpha$,$m = \cos \alpha$,અને $n = \cos \alpha$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ રેખા માટે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$ થાય છે.
કિંમતો મૂકતા,$\cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ મળે.
$3 \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow \cos^2 \alpha = \frac{1}{3}$.
રેખા પ્રથમ અષ્ટમાંશ $OXYZ$ માં હોવાથી,દિકકોસાઈન ધન હોવા જોઈએ,તેથી $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
આમ,$l = m = n = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(C) ધારો કે રેખાના દિક્કોણ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
રેખા યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણા બનાવે છે,તેથી $\alpha = \beta = \gamma$.
દિક્કોસાઇન $l = \cos \alpha, m = \cos \beta, n = \cos \gamma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$.
$\alpha = \beta = \gamma$ મૂકતા,આપણને $3 \cos^2 \alpha = 1$ મળે છે.
આથી $\cos^2 \alpha = \frac{1}{3}$,તેથી $\cos \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
ખૂણાઓ લઘુકોણ હોવાથી,$\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ ધન હોવા જોઈએ.
તેથી,દિક્કોસાઇન $\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}$ છે.

(D) બે સમતલો $a_1x + b_1y + c_1z + d_1 = 0$ અને $a_2x + b_2y + c_2z + d_2 = 0$ સમાંતર હોય જો તેમના અભિલંબ સદિશો પ્રમાણસર હોય,એટલે કે $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} = \frac{c_1}{c_2}$.
આપેલ સમતલો $2x - 5y + z - 8 = 0$ અને $2\lambda x - 15y + \lambda z + 6 = 0$ છે.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\frac{2}{2\lambda} = \frac{-5}{-15} = \frac{1}{\lambda}$.
ગુણોત્તરનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{3} = \frac{1}{\lambda}$.
આથી,$\lambda = 3$ મળે છે.

(B) દિક્કોસાઇન એ રેખા દ્વારા ધન અક્ષો સાથે બનાવવામાં આવતા ખૂણાઓના કોસાઇન છે. તેને $\langle l, m, n \rangle$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $l, m, n$ અનુક્રમે $x$-અક્ષ,$y$-અક્ષ અને $z$-અક્ષ સાથે સંબંધિત છે. દિક્કોસાઇનના વર્ગોનો સરવાળો એક થાય છે,એટલે કે $l^{2} + m^{2} + n^{2} = 1$.
રેખા $ZOX$ સમતલમાં હોવાથી,તે $y$-અક્ષને લંબ છે. તેથી,$y$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો $90^{\circ}$ છે,તેથી $m = \cos(90^{\circ}) = 0$.
રેખા $Z$-અક્ષ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી $n = \cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
ગુણધર્મ $l^{2} + m^{2} + n^{2} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$m = 0$ અને $n = \frac{\sqrt{3}}{2}$ મૂકતા:
$l^{2} + 0^{2} + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} = 1$
$l^{2} + \frac{3}{4} = 1$
$l^{2} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$
$l = \pm \frac{1}{2}$.
આમ,દિક્કોસાઇન $\langle \pm \frac{1}{2}, 0, \frac{\sqrt{3}}{2} \rangle$ છે.

(A) બે સદિશો $\vec{a} = a_1 \hat{\imath} + a_2 \hat{\jmath} + a_3 \hat{k}$ અને $\vec{b} = b_1 \hat{\imath} + b_2 \hat{\jmath} + b_3 \hat{k}$ સમરેખ હોય જો તેમના અનુરૂપ ઘટકો પ્રમાણમાં હોય,એટલે કે $\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3}$.
આપેલ સદિશો $(2, -q, 3)$ અને $(4, -5, 6)$ છે.
ગુણોત્તરને સમાન લેતા,આપણને મળે છે:
$\frac{2}{4} = \frac{-q}{-5} = \frac{3}{6}$
અપૂર્ણાંકોનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{1}{2} = \frac{q}{5} = \frac{1}{2}$
$\frac{1}{2} = \frac{q}{5}$ પરથી,આપણને મળે છે:
$q = \frac{5}{2}$

(C) બે રેખાઓ જેના દિશા ગુણોત્તર $a_1, b_1, c_1$ અને $a_2, b_2, c_2$ હોય તેમની વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \left| \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} \right|$ છે.
અહીં $\theta = \frac{\pi}{3}$,$a_1=4, b_1=-3, c_1=5$ અને $a_2=3, b_2=4, c_2=k$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$\cos \frac{\pi}{3} = \left| \frac{4(3) + (-3)(4) + 5k}{\sqrt{4^2 + (-3)^2 + 5^2} \sqrt{3^2 + 4^2 + k^2}} \right|$.
$\frac{1}{2} = \left| \frac{12 - 12 + 5k}{\sqrt{16 + 9 + 25} \sqrt{9 + 16 + k^2}} \right|$.
$\frac{1}{2} = \left| \frac{5k}{\sqrt{50} \sqrt{25 + k^2}} \right| = \left| \frac{5k}{5\sqrt{2} \sqrt{25 + k^2}} \right| = \left| \frac{k}{\sqrt{2} \sqrt{25 + k^2}} \right|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{1}{4} = \frac{k^2}{2(25 + k^2)}$.
$2(25 + k^2) = 4k^2$.
$50 + 2k^2 = 4k^2$.
$2k^2 = 50 \Rightarrow k^2 = 25$.
તેથી,$k = \pm 5$.

(C) રેખાના દિકકોસાઇનને $\ell, m, n$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\ell = \frac{1}{c}$,$m = \frac{1}{c}$,અને $n = \frac{1}{c}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે દિકકોસાઇનનો મૂળભૂત ગુણધર્મ $\ell^{2} + m^{2} + n^{2} = 1$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(\frac{1}{c})^{2} + (\frac{1}{c})^{2} + (\frac{1}{c})^{2} = 1$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{c^{2}} + \frac{1}{c^{2}} = 1$ મળે,એટલે કે $\frac{3}{c^{2}} = 1$.
તેથી,$c^{2} = 3$,જેનો અર્થ છે કે $c = \pm \sqrt{3}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે જ્યારે કોઈ રેખા યામ અક્ષો સાથે $\alpha, \beta, \gamma$ ખૂણા બનાવે,ત્યારે તેના દિક્કોસાઈન $\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma$ થાય છે.
દિક્કોસાઈનના વર્ગોનો સરવાળો $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$ થાય છે.
હવે,આપણે $\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma$ ની કિંમત મેળવવાની છે.
નિત્યસમ $\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma = (2\cos^2 \alpha - 1) + (2\cos^2 \beta - 1) + (2\cos^2 \gamma - 1)$
$= 2(\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma) - 3$
વર્ગોના સરવાળાની કિંમત $1$ મૂકતા:
$= 2(1) - 3 = 2 - 3 = -1$.

(B) ધારો કે $\vec{a} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$ અને $\vec{b} = 1\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$ છે.
રેખા બંને રેખાઓને લંબ હોવાથી,તેનો દિશા સદિશ ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{n} = \vec{a} \times \vec{b}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -2 & 4 \\ 1 & 3 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - 12) - \hat{j}(-6 - 4) + \hat{k}(9 + 2) = -8\hat{i} + 10\hat{j} + 11\hat{k}$.
સદિશનું માન $|\vec{n}| = \sqrt{(-8)^2 + 10^2 + 11^2} = \sqrt{64 + 100 + 121} = \sqrt{285}$ છે.
દિકકોસાઇન એ એકમ સદિશના ઘટકો છે,જે $\frac{-8}{\sqrt{285}}, \frac{10}{\sqrt{285}}, \frac{11}{\sqrt{285}}$ છે.

(D) પ્રથમ રેખા $\frac{x - 1}{2 \lambda} = \frac{y - 1}{-5} = \frac{z - 1}{2}$ ના દિકગુણોત્તર $(2 \lambda, -5, 2)$ છે.
બીજી રેખા $\frac{x + 2}{\lambda} = \frac{y + 3}{\lambda} = \frac{z + 5}{1}$ ના દિકગુણોત્તર $(\lambda, \lambda, 1)$ છે.
બે રેખાઓ સમાંતર હોવાથી,તેમના દિકગુણોત્તરો પ્રમાણમાં હોવા જોઈએ:
$\frac{2 \lambda}{\lambda} = \frac{-5}{\lambda} = \frac{2}{1}$.
ગુણોત્તર $\frac{-5}{\lambda} = \frac{2}{1}$ પરથી,આપણને $2 \lambda = -5$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = \frac{-5}{2}$.
પ્રથમ ગુણોત્તર તપાસતા: $\frac{2 \lambda}{\lambda} = 2$,જે ત્રીજા ગુણોત્તર $\frac{2}{1} = 2$ સાથે સુસંગત છે (જ્યારે $\lambda \neq 0$).

(C) ધન $Y$ અને $Z$ અક્ષની દિશામાં એકમ સદિશો અનુક્રમે $\hat{j} = (0, 1, 0)$ અને $\hat{k} = (0, 0, 1)$ છે.
આ બે અક્ષો વચ્ચેના ખૂણાના દુભાજક પરનો સદિશ આ એકમ સદિશોના સરવાળા દ્વારા મળે છે: $\vec{v} = \hat{j} + \hat{k} = (0, 1, 1)$.
આ સદિશનું માન (magnitude) $|\vec{v}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ છે.
દિકકોસાઇન મેળવવા માટે સદિશના ઘટકોને તેના માન વડે ભાગતા:
$l = 0/\sqrt{2} = 0$,
$m = 1/\sqrt{2}$,
$n = 1/\sqrt{2}$.
આમ,દિકકોસાઇન $(0, 1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2})$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે રેખાના દિકકોસાઇનના વર્ગોનો સરવાળો $1$ થાય છે,એટલે કે $\cos^{2} \alpha + \cos^{2} \beta + \cos^{2} \gamma = 1$.
આપેલ છે કે $\alpha + \beta = 90^{\circ}$,તેથી $\alpha = 90^{\circ} - \beta$.
$\cos \alpha$ માટે આ કિંમત મૂકતા,આપણને મળે $\cos \alpha = \cos(90^{\circ} - \beta) = \sin \beta$.
તેથી,$\cos^{2} \alpha = \sin^{2} \beta$.
નિત્યસમ $\sin^{2} \beta = 1 - \cos^{2} \beta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos^{2} \alpha = 1 - \cos^{2} \beta$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\cos^{2} \alpha + \cos^{2} \beta = 1$.
આ કિંમત મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા: $(1) + \cos^{2} \gamma = 1$.
આથી $\cos^{2} \gamma = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\cos \gamma = 0$.
આમ,$\gamma = 90^{\circ}$.

(B) ધારો કે રેખાના દિશા ખૂણા $\alpha = \frac{\pi}{6}$,$\beta = \frac{\pi}{3}$ છે અને $Z$ અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\gamma$ છે.
દિશા કોસાઈન (direction cosines) ના વર્ગોનો સરવાળો હંમેશા $1$ થાય છે,એટલે કે $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\cos^2(\frac{\pi}{6}) + \cos^2(\frac{\pi}{3}) + \cos^2 \gamma = 1$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
તેથી,$(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + \cos^2 \gamma = 1$.
$\frac{3}{4} + \frac{1}{4} + \cos^2 \gamma = 1$.
$1 + \cos^2 \gamma = 1$.
$\cos^2 \gamma = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\cos \gamma = 0$.
તેથી,$\gamma = \frac{\pi}{2}$.

(A) ધારો કે રેખા $x$,$y$ અને $z$-અક્ષ સાથે અનુક્રમે $\alpha$,$\beta$ અને $\gamma$ ખૂણા બનાવે છે.
આપેલ છે કે $\alpha = 45^{\circ}$ અને $\beta = \gamma = \theta$.
દિકકોસાઈન $l = \cos \alpha$,$m = \cos \beta$,અને $n = \cos \gamma$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $l^2 + m^2 + n^2 = 1$.
કિંમતો મૂકતા,$\cos^2 45^{\circ} + \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$.
$(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 + 2 \cos^2 \theta = 1$.
$\frac{1}{2} + 2 \cos^2 \theta = 1$.
$2 \cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
$\cos^2 \theta = \frac{1}{4} \Rightarrow \cos \theta = \pm \frac{1}{2}$.
આમ,દિકકોસાઈન $(\cos 45^{\circ}, \cos \theta, \cos \theta)$ છે,જે $(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ અથવા $(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ મળે છે.

(A) રેખા બિંદુઓ $A(3, 4, -7)$ અને $B(1, -1, 6)$ માંથી પસાર થાય છે.
સૌ પ્રથમ,દિશા સદિશ $\vec{v} = B - A = (1 - 3, -1 - 4, 6 - (-7)) = (-2, -5, 13)$ શોધો.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતી અને દિશા સદિશ $(a, b, c)$ ધરાવતી રેખાના પ્રચલિત સમીકરણો $x = x_1 + a\lambda, y = y_1 + b\lambda, z = z_1 + c\lambda$ છે.
બિંદુ $A(3, 4, -7)$ અને દિશા સદિશ $(-2, -5, 13)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$x = 3 - 2\lambda$
$y = 4 - 5\lambda$
$z = -7 + 13\lambda$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ કાર્તેઝિયન સમીકરણ $x-1 = 2y+3 = 3-z$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ માં લખતા:
$\frac{x-1}{1} = \frac{y - (-3/2)}{1/2} = \frac{z-3}{-1}$.
આમ,રેખા પરનું બિંદુ $A(1, -3/2, 3)$ છે અને દિશાના ગુણોત્તર $(1, 1/2, -1)$ છે.
દિશાના ગુણોત્તરને $2$ વડે ગુણતા,આપણને $(2, 1, -2)$ મળે છે.
બિંદુ $\vec{a}$ માંથી પસાર થતી અને સદિશ $\vec{b}$ ને સમાંતર રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\vec{r} = (\hat{i} - \frac{3}{2}\hat{j} + 3\hat{k}) + \lambda(2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k})$ મળે છે.

(B) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x+3}{2}=\frac{2y-3}{5}; z=-1$ છે.
સૌ પ્રથમ,સમીકરણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$ માં લખો.
$\frac{x+3}{2}=\frac{2(y-3/2)}{5}; z=-1$
$\frac{x-(-3)}{2}=\frac{y-3/2}{5/2}; z=-1$.
આ રેખા બિંદુ $(-3, 3/2, -1)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેના દિશા ગુણોત્તર $(2, 5/2, 0)$ ના પ્રમાણમાં છે.
દિશા ગુણોત્તરને $2$ વડે ગુણતા,આપણને $(4, 5, 0)$ મળે છે.
બિંદુ $\vec{a}$ માંથી પસાર થતી અને સદિશ $\vec{b}$ ને સમાંતર રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r}=\vec{a}+\lambda\vec{b}$ છે.
અહીં,$\vec{a}=-3\hat{i}+\frac{3}{2}\hat{j}-\hat{k}$ અને $\vec{b}=4\hat{i}+5\hat{j}$ છે.
તેથી,સદિશ સમીકરણ $\vec{r}=\left(-3\hat{i}+\frac{3}{2}\hat{j}-\hat{k}\right)+\lambda(4\hat{i}+5\hat{j})$ છે.

(C) આપેલ રેખાઓ $\frac{1-x}{2}=\frac{y-8}{\lambda}=\frac{z-5}{2}$ અને $\frac{x-11}{5}=\frac{y-3}{3}=\frac{z-1}{1}$ છે.
પ્રથમ રેખાને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$ માં લખતા:
$\frac{x-1}{-2}=\frac{y-8}{\lambda}=\frac{z-5}{2}$.
પ્રથમ રેખાના દિકગુણોત્તર $\vec{v_1} = (-2, \lambda, 2)$ છે.
બીજી રેખાના દિકગુણોત્તર $\vec{v_2} = (5, 3, 1)$ છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના દિકગુણોત્તરનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$
$(-2)(5) + (\lambda)(3) + (2)(1) = 0$
$-10 + 3\lambda + 2 = 0$
$3\lambda - 8 = 0$
$3\lambda = 8$
$\lambda = \frac{8}{3}$.

(D) $XOZ$ સમતલ એ એવું સમતલ છે જ્યાં $y = 0$ હોય છે. $XOZ$ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $y$-અક્ષને સમાંતર હોય છે,જે સદિશ $\vec{n} = (0, 1, 0)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલી રેખા $XOZ$ સમતલને લંબ હોવાથી,તે અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (0, 1, 0)$ ને સમાંતર હશે.
રેખા બિંદુ $(2, 3, -4)$ માંથી પસાર થાય છે.
રેખાના સમીકરણના સંમિત સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c} = \lambda$,જ્યાં $(x_1, y_1, z_1) = (2, 3, -4)$ અને દિશા ગુણોત્તર $(a, b, c) = (0, 1, 0)$ છે.
આમ,સમીકરણ $\frac{x - 2}{0} = \frac{y - 3}{1} = \frac{z + 4}{0} = \lambda$ થશે.
આનો અર્થ એ છે કે $x - 2 = 0 \implies x = 2$,$z + 4 = 0 \implies z = -4$,અને $y - 3 = \lambda \implies y = 3 + \lambda$.
તેથી,રેખાનું સમીકરણ $x = 2, \quad y = 3 + \lambda, \quad z = -4$ છે.