MHT CET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) આપેલ રેખાઓ $\ell_{1}: \bar{r} = (\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}) + t(-\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k})$ અને $\ell_{2}: \bar{r} = (\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) + p(\hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k})$ છે.
અહીં,$\bar{a}_{1} = \hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}$,$\bar{b}_{1} = -\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}$,$\bar{a}_{2} = \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$,અને $\bar{b}_{2} = \hat{i}+2\hat{j}+2\hat{k}$ છે.
પ્રથમ,$\bar{a}_{2}-\bar{a}_{1} = (\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) - (\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}) = \hat{j}-2\hat{k}$ શોધો.
ત્યારબાદ,સદિશ ગુણાકાર $\bar{b}_{1} \times \bar{b}_{2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & -2 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2+4) - \hat{j}(-2+2) + \hat{k}(-2-1) = 6\hat{i} - 3\hat{k}$ શોધો.
તેનું માન $|\bar{b}_{1} \times \bar{b}_{2}| = \sqrt{6^2 + (-3)^2} = \sqrt{36+9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$ છે.
લઘુત્તમ અંતર $d = \left| \frac{(\bar{b}_{1} \times \bar{b}_{2}) \cdot (\bar{a}_{2}-\bar{a}_{1})}{|\bar{b}_{1} \times \bar{b}_{2}|} \right| = \left| \frac{(6\hat{i}-3\hat{k}) \cdot (\hat{j}-2\hat{k})}{3\sqrt{5}} \right| = \left| \frac{6}{3\sqrt{5}} \right| = \frac{2}{\sqrt{5}}$ એકમ થાય.

(B) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $3x + 4 = 4y - 1 = 1 - 4z$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ માં લખવા માટે $x, y, z$ ના સહગુણકો વડે ભાગતા:
$\frac{x + 4/3}{1/3} = \frac{y - 1/4}{1/4} = \frac{z - 1/4}{-1/4}$ મળે છે.
છેદને $12$ વડે ગુણતા,દિશા ગુણોત્તર $(a, b, c) = (4, 3, -3)$ મળે છે.
બિંદુ $(2, 4, 6)$ માંથી પસાર થતી અને $(4, 3, -3)$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$\frac{x-2}{4} = \frac{y-4}{3} = \frac{z-6}{-3}$ થાય છે.

(C) સૌ પ્રથમ,રેખાઓના સમીકરણોને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ માં લખો.
પ્રથમ રેખા માટે: $\frac{x-1}{5} = \frac{y+1}{3} = \frac{z-3}{-\lambda}$. દિશા ગુણોત્તર $\vec{v_1} = (5, 3, -\lambda)$ છે.
બીજી રેખા માટે: $\frac{x+1}{4} = \frac{y-1/3}{-5} = \frac{z+1}{1}$. દિશા ગુણોત્તર $\vec{v_2} = (4, -5, 1)$ છે.
રેખાઓ લંબ હોવાથી,તેમના દિશા ગુણોત્તરનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = 0$.
$5(4) + 3(-5) + (-\lambda)(1) = 0$.
$20 - 15 - \lambda = 0$.
$5 - \lambda = 0$.
તેથી,$\lambda = 5$.

(A) આપેલ રેખાઓ $L_1: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4} = \lambda$ અને $L_2: \frac{x-3}{1}=\frac{y-k}{2}=\frac{z}{1} = \mu$ છે.
$L_1$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(2\lambda+1, 3\lambda-1, 4\lambda+1)$ છે અને $L_2$ પરનું કોઈપણ બિંદુ $Q(\mu+3, 2\mu+k, \mu)$ છે.
રેખાઓ છેદે તે માટે,એવા $\lambda$ અને $\mu$ હોવા જોઈએ કે જેથી $P=Q$ થાય.
યામોને સરખાવતા:
$2\lambda+1 = \mu+3 \implies 2\lambda - \mu = 2$ $(i)$
$3\lambda-1 = 2\mu+k \implies 3\lambda - 2\mu = k+1$ (ii)
$4\lambda+1 = \mu \implies 4\lambda - \mu = -1$ (iii)
(iii) માંથી $(i)$ બાદ કરતા: $(4\lambda - \mu) - (2\lambda - \mu) = -1 - 2 \implies 2\lambda = -3 \implies \lambda = -\frac{3}{2}$.
$\lambda = -\frac{3}{2}$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $2(-\frac{3}{2}) - \mu = 2 \implies -3 - \mu = 2 \implies \mu = -5$.
હવે $\lambda = -\frac{3}{2}$ અને $\mu = -5$ ને (ii) માં મૂકતા: $3(-\frac{3}{2}) - 2(-5) = k+1 \implies -\frac{9}{2} + 10 = k+1 \implies k = 9 - \frac{9}{2} = \frac{9}{2}$.

(D) બે રેખાઓના દિશા સદિશો $\vec{b_1} = \hat{i} + 2 \hat{j} + m \hat{k}$ અને $\vec{b_2} = 2 \hat{i} + \hat{j} + 6 \hat{k}$ છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના દિશા સદિશોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ,એટલે કે $\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = 0$.
$(1)(2) + (2)(1) + (m)(6) = 0$.
$2 + 2 + 6m = 0$.
$4 + 6m = 0$.
$6m = -4$.
$m = \frac{-4}{6} = \frac{-2}{3}$.

(A) બે બિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1)$ અને $(x_2, y_2, z_2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ બિંદુઓ $(3, 4, -7)$ અને $(6, -1, 1)$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{x-3}{6-3} = \frac{y-4}{-1-4} = \frac{z-(-7)}{1-(-7)}$
$\frac{x-3}{3} = \frac{y-4}{-5} = \frac{z+7}{8}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ધારો કે $Q$ એ બિંદુ $P(0,2,3)$ માંથી આપેલી રેખા પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે.
આપેલી રેખા $\frac{x+3}{5}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+4}{3}=\lambda$ પરના કોઈપણ બિંદુના યામ $Q(5\lambda-3, 2\lambda+1, 3\lambda-4)$ છે.
રેખા $PQ$ ના દિકગુણોત્તર $(5\lambda-3-0, 2\lambda+1-2, 3\lambda-4-3)$ એટલે કે $(5\lambda-3, 2\lambda-1, 3\lambda-7)$ છે.
આપેલી રેખાના દિકગુણોત્તર $(5, 2, 3)$ છે.
$PQ$ એ રેખાને લંબ હોવાથી,તેમના દિકગુણોત્તરનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$5(5\lambda-3) + 2(2\lambda-1) + 3(3\lambda-7) = 0$
$25\lambda - 15 + 4\lambda - 2 + 9\lambda - 21 = 0$
$38\lambda - 38 = 0$
$\lambda = 1$
$\lambda = 1$ ને $Q$ ના યામમાં મૂકતા:
$Q = (5(1)-3, 2(1)+1, 3(1)-4) = (2, 3, -1)$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(C) સૌ પ્રથમ,આપણે રેખાઓના સમીકરણોને સંમિત સ્વરૂપ $\frac{x-x_1}{a_1} = \frac{y-y_1}{b_1} = \frac{z-z_1}{c_1}$ માં લખીએ.
પ્રથમ રેખા $1+x = 2y = -12z$ માટે,આપણને $\frac{x+1}{1} = \frac{y}{1/2} = \frac{z}{-1/12}$ મળે છે. અહીં,બિંદુ $P_1 = (-1, 0, 0)$ અને દિશા સદિશ $\vec{b_1} = (1, 1/2, -1/12)$ છે.
બીજી રેખા $x = y+2 = 6z-6$ માટે,આપણને $\frac{x}{1} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-1}{1/6}$ મળે છે. અહીં,બિંદુ $P_2 = (0, -2, 1)$ અને દિશા સદિશ $\vec{b_2} = (1, 1, 1/6)$ છે.
લઘુત્તમ અંતર $d$ નું સૂત્ર $d = \frac{|(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2})|}{||\vec{b_1} \times \vec{b_2}||}$ છે.
સદિશ $\vec{P_2} - \vec{P_1} = (0 - (-1), -2 - 0, 1 - 0) = (1, -2, 1)$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1/2 & -1/12 \\ 1 & 1 & 1/6 \end{vmatrix} = \hat{i}(\frac{1}{12} + \frac{1}{12}) - \hat{j}(\frac{1}{6} + \frac{1}{12}) + \hat{k}(1 - 1/2) = (1/6, -1/4, 1/2)$.
માન $||\vec{b_1} \times \vec{b_2}|| = \sqrt{(1/6)^2 + (-1/4)^2 + (1/2)^2} = \sqrt{1/36 + 1/16 + 1/4} = \sqrt{\frac{4+9+36}{144}} = \sqrt{49/144} = 7/12$.
ડોટ પ્રોડક્ટ $(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{b_1} \times \vec{b_2}) = (1)(1/6) + (-2)(-1/4) + (1)(1/2) = 1/6 + 1/2 + 1/2 = 7/6$.
તેથી,$d = \frac{|7/6|}{7/12} = \frac{7}{6} \times \frac{12}{7} = 2$ એકમ.

(B) પ્રથમ રેખાના દિકગુણોત્તર $\vec{b_1} = (4, 1, 8)$ છે.
બીજી રેખાના દિકગુણોત્તર $\vec{b_2} = (2, 2, 1)$ છે.
બે રેખાઓ જેના દિકગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\cos \theta = \left| \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\cos \theta = \left| \frac{4(2) + 1(2) + 8(1)}{\sqrt{4^2 + 1^2 + 8^2} \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2}} \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{8 + 2 + 8}{\sqrt{16 + 1 + 64} \sqrt{4 + 4 + 1}} \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{18}{\sqrt{81} \cdot \sqrt{9}} \right| = \frac{18}{9 \cdot 3} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$.

(A) ધારો કે બે રેખાઓના દિક-ગુણોત્તર $\vec{b_1} = (1, 2, 2)$ અને $\vec{b_2} = (2, 2, -1)$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટેનું સૂત્ર:
$\cos \theta = \left| \frac{a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}} \right|$
કિંમતો મૂકતા:
$\cos \theta = \left| \frac{1(2) + 2(2) + 2(-1)}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2}} \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{2 + 4 - 2}{\sqrt{1 + 4 + 4} \sqrt{4 + 4 + 1}} \right|$
$\cos \theta = \left| \frac{4}{\sqrt{9} \sqrt{9}} \right| = \frac{4}{3 \times 3} = \frac{4}{9}$
તેથી,$\theta = \cos ^{-1}\left(\frac{4}{9}\right)$.

(A) બંને રેખાઓના દિશા સદિશો $\vec{b_1} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ અને $\vec{b_2} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ છે.
ધારો કે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણા માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}|}{|\vec{b_1}| |\vec{b_2}|}$ છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (1)(2) + (1)(1) + (2)(-1) = 2 + 1 - 2 = 1$.
માનની ગણતરી કરતા: $|\vec{b_1}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{6}$ અને $|\vec{b_2}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $\cos \theta = \frac{|1|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{1}{6}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{1}{6}\right)$.

(D) ધારો કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ એ રેખાઓ $\frac{x-1}{4}=\frac{y-3}{1}=\frac{z}{8}$ અને $\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z-4}{1}$ ની દિશાના સદિશો છે.
$\vec{a} = 4\hat{i} + \hat{j} + 8\hat{k}$ અને $\vec{b} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$.
તેમનો અદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \cdot \vec{b} = (4 \times 2) + (1 \times 2) + (8 \times 1) = 8 + 2 + 8 = 18$ થાય.
તેમના માન $|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + 1^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 1 + 64} = \sqrt{81} = 9$ અને $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$ થાય.
ધારો કે $\theta$ એ રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો છે. તો $\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{18}{9 \times 3} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$.

(B) બે રેખાઓના દિશા સદિશો $\vec{b_1} = \hat{\imath} - 2\hat{\jmath} - 2\hat{k}$ અને $\vec{b_2} = 3\hat{\imath} + 2\hat{\jmath} - 6\hat{k}$ છે.
રેખાઓ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન $\cos \theta = \frac{|\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}|}{|\vec{b_1}| |\vec{b_2}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ,ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરો: $\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (1)(3) + (-2)(2) + (-2)(-6) = 3 - 4 + 12 = 11$.
ત્યારબાદ,માન (magnitudes) ની ગણતરી કરો: $|\vec{b_1}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
$|\vec{b_2}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
તેથી,$\cos \theta = \frac{|11|}{3 \times 7} = \frac{11}{21}$.

(D) પ્રથમ રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{b_1} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ છે.
બીજી રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{b_2} = \hat{i} + 3\hat{j} + 2\hat{k}$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}|}{|\vec{b_1}| |\vec{b_2}|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (1)(1) + (-1)(3) + (1)(2) = 1 - 3 + 2 = 0$.
અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,$\cos \theta = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{2}$.

(A) ધારો કે માંગેલ રેખાના દિકગુણોત્તર $(a, b, c)$ છે.
આપેલી પ્રથમ રેખાના દિકગુણોત્તર $(1, 2, 4)$ છે અને બીજી રેખાના દિકગુણોત્તર $(2, 2, 1)$ છે.
માંગેલ રેખા બંને રેખાઓને લંબ હોવાથી,તેનો દિક સદિશ એ આપેલી રેખાઓના દિક સદિશોનો સદિશ ગુણાકાર (cross product) થશે:
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 4 \\ 2 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-8) - \hat{j}(1-8) + \hat{k}(2-4) = -6\hat{i} + 7\hat{j} - 2\hat{k}$.
આમ,દિકગુણોત્તર $(-6, 7, -2)$ અથવા $(6, -7, 2)$ ના પ્રમાણમાં છે.
રેખા $(1, 2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $\frac{x-1}{6} = \frac{y-2}{-7} = \frac{z-3}{2}$ થશે.
જેને $\frac{x-1}{6} = \frac{2-y}{7} = \frac{z-3}{2}$ તરીકે લખી શકાય છે.

(C) બિંદુઓ $A(\vec{a})$ અને $B(\vec{b})$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સદિશ સમીકરણ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda(\vec{b} - \vec{a})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\vec{a} = 3\hat{i} + 4\hat{j} - 7\hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + 6\hat{k}$ છે.
દિશા સદિશ $\vec{v} = \vec{b} - \vec{a} = (1-3)\hat{i} + (-1-4)\hat{j} + (6 - (-7))\hat{k} = -2\hat{i} - 5\hat{j} + 13\hat{k}$ મળે.
આમ,પ્રચલિત સમીકરણો $x = x_1 + v_x \lambda$,$y = y_1 + v_y \lambda$,$z = z_1 + v_z \lambda$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $x = 3 - 2\lambda$,$y = 4 - 5\lambda$,$z = -7 + 13\lambda$ મળે છે.

(D) બે રેખાઓ જેના દિકગુણોત્તર $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય,તે પરસ્પર લંબ હોય જો $a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$ થાય.
આપેલ પ્રથમ રેખાના દિકગુણોત્તર $(-3, 2k, 2)$ છે અને બીજી રેખાના દિકગુણોત્તર $(3k, 1, -5)$ છે.
લંબ હોવાની શરત લાગુ પાડતા:
$(-3)(3k) + (2k)(1) + (2)(-5) = 0$
$-9k + 2k - 10 = 0$
$-7k - 10 = 0$
$-7k = 10$
$k = \frac{-10}{7}$

(A) સમતલ $2x + 3y - 4z = 17$ ને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ $2x + 3y - 4z = d$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
આ સમતલ બિંદુ $(1, -1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી આ બિંદુના યામ સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(1) + 3(-1) - 4(1) = d$
$2 - 3 - 4 = d$
$d = -5$.
આમ,કાર્તેઝિયન સમીકરણ $2x + 3y - 4z = -5$ મળે છે.
સદિશ સ્વરૂપમાં,આ સમીકરણ $\bar{r} \cdot (2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}) = -5$ થાય છે.

(D) કોઈ બિંદુ જેનો સ્થાન સદિશ $\bar{a}$ હોય તેનાથી સમતલ $\bar{r} \cdot \bar{n} = p$ પરના લંબની લંબાઈ શોધવાનું સૂત્ર $d = \frac{|\bar{a} \cdot \bar{n} - p|}{|\bar{n}|}$ છે.
અહીં,બિંદુ ઉગમબિંદુ છે,તેથી $\bar{a} = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 0\hat{k}$.
સમતલનું સમીકરણ $\bar{r} \cdot (\hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}) = 14$ છે,તેથી $\bar{n} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ અને $p = 14$.
અદિશ ગુણાકાર ગણતા: $\bar{a} \cdot \bar{n} = 0(1) + 0(-2) + 0(3) = 0$.
અભિલંબ સદિશનું માન ગણતા: $|\bar{n}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $d = \frac{|0 - 14|}{\sqrt{14}} = \frac{14}{\sqrt{14}} = \sqrt{14}$ એકમ.

(C) $1, -3, 4$ અંતઃખંડો ધરાવતા સમતલ $E_{1}$ નું અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{1} + \frac{y}{-3} + \frac{z}{4} = 1$ છે.
$12$ વડે ગુણતા,આપણને $12x - 4y + 3z = 12$ મળે,એટલે કે $12x - 4y + 3z - 12 = 0$.
આ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 12\hat{i} - 4\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
માંગેલ સમતલ $E_{1}$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનું સમીકરણ $12x - 4y + 3z + k = 0$ સ્વરૂપનું હશે.
તે $(2, 6, -8)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,આપણે આ યામો મૂકીએ: $12(2) - 4(6) + 3(-8) + k = 0$.
$24 - 24 - 24 + k = 0 \Rightarrow k = 24$.
આમ,સમીકરણ $12x - 4y + 3z + 24 = 0$ છે.
$12$ વડે ભાગતા,આપણને $x - \frac{y}{3} + \frac{z}{4} + 2 = 0$ મળે છે.

(C) બિંદુ $(2,3,1)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-2)+b(y-3)+c(z-1)=0$ છે $\ldots(1)$.
બિંદુ $(4,-5,3)$ સમતલ પર હોવાથી,આપણે આ યામોને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકીએ:
$a(4-2)+b(-5-3)+c(3-1)=0$
$2a-8b+2c=0$
$a-4b+c=0$ $\ldots(2)$.
સમતલ $y$-અક્ષને સમાંતર હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $y$-અક્ષના સદિશ $(0,1,0)$ ને લંબ છે. તેથી,$a(0)+b(1)+c(0)=0$,જેનો અર્થ છે કે $b=0$.
સમીકરણ $(2)$ માં $b=0$ મૂકતા,આપણને $a+c=0$ મળે છે,એટલે કે $a=-c$.
સમીકરણ $(1)$ માં $a=-c$ અને $b=0$ મૂકતા:
$-c(x-2)+0(y-3)+c(z-1)=0$
$-c$ વડે ભાગતા:
$(x-2)-(z-1)=0$
$x-z-1=0$
$x-z=1$.

(B) સમતલ $x+y+3z-4=0$ ના અભિલંબના દિકગુણોત્તર $(1, 1, 3)$ છે.
લંબરેખા ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,તેનું સમીકરણ $\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{3} = K$ છે.
આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P(K, K, 3K)$ સ્વરૂપનું હોય.
આ બિંદુ $P$ સમતલ પર આવેલું હોવાથી,તે સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$K + K + 3(3K) - 4 = 0$
$2K + 9K = 4$
$11K = 4 \Rightarrow K = \frac{4}{11}$.
$K$ ની કિંમત $P$ ના યામમાં મૂકતા,આપણને $P = \left(\frac{4}{11}, \frac{4}{11}, \frac{12}{11}\right)$ મળે છે.

(D) સમતલ રેખાખંડ $AB$ ને લંબદ્વિભાજિત કરે છે,જેનો અર્થ છે કે તે $AB$ ના મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને સદિશ $\vec{AB}$ એ સમતલનો અભિલંબ છે.
મધ્યબિંદુ $M = \left(\frac{3+1}{2}, \frac{2+4}{2}, \frac{-1+3}{2}\right) = (2, 3, 1)$.
અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ રેખા $AB$ ના દિકગુણોત્તર છે: $\vec{n} = (1-3, 4-2, 3-(-1)) = (-2, 2, 4)$.
આપણે અભિલંબ સદિશને $-2$ વડે ભાગીને સરળ બનાવી શકીએ છીએ,જે $\vec{n}' = (1, -1, -2)$ આપે છે.
$(x_0, y_0, z_0)$ માંથી પસાર થતા અને $(a, b, c)$ અભિલંબ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $1(x-2) - 1(y-3) - 2(z-1) = 0$.
$x - 2 - y + 3 - 2z + 2 = 0$.
$x - y - 2z + 3 = 0$.

(C) આપેલ બે સમતલો $P_1: x+2y-3z+2=0$ અને $P_2: 6x+y+z+1=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $P_1 + \lambda P_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x+2y-3z+2) + \lambda(6x+y+z+1) = 0$
$(1+6\lambda)x + (2+\lambda)y + (-3+\lambda)z + (2+\lambda) = 0$
આ સમતલ રેખા $\frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-7}{-1}$ ને સમાંતર છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1+6\lambda, 2+\lambda, -3+\lambda)$ છે અને રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v} = (1, 1, -1)$ છે.
સમતલ રેખાને સમાંતર હોવાથી,અભિલંબ સદિશ દિશા સદિશને લંબ હોય,તેથી $\vec{n} \cdot \vec{v} = 0$.
$(1+6\lambda)(1) + (2+\lambda)(1) + (-3+\lambda)(-1) = 0$
$1 + 6\lambda + 2 + \lambda + 3 - \lambda = 0$
$6\lambda + 6 = 0 \Rightarrow \lambda = -1$.
સમીકરણમાં $\lambda = -1$ મૂકતા:
$(1-6)x + (2-1)y + (-3-1)z + (2-1) = 0$
$-5x + y - 4z + 1 = 0$
$5x - y + 4z = 1$.

(D) સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ આપેલી બંને રેખાઓના દિશા સદિશો $\vec{v}_1 = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}$ અને $\vec{v}_2 = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ ને લંબ હોય છે.
તેથી,$\vec{n} = \vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 6 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-3-6) - \hat{j}(-2-6) + \hat{k}(2-3) = -9\hat{i} + 8\hat{j} - \hat{k}$.
આપણે અભિલંબ સદિશને $\vec{n} = 9\hat{i} - 8\hat{j} + \hat{k}$ તરીકે લઈ શકીએ છીએ.
સમતલ બીજી રેખાના બિંદુ $(1, 3, 4)$ માંથી પસાર થાય છે.
સમતલનું સમીકરણ $(\vec{r} - \vec{a}) \cdot \vec{n} = 0$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $\vec{a} = \hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}$.
$(x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k} - (\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k})) \cdot (9\hat{i} - 8\hat{j} + \hat{k}) = 0$.
$9(x-1) - 8(y-3) + 1(z-4) = 0$.
$9x - 9 - 8y + 24 + z - 4 = 0$.
$9x - 8y + z + 11 = 0$ એ સમતલનું સમીકરણ છે.

(B) સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ થી બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ નું અંતર $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે બિંદુઓ $A(1, 1, \lambda)$ અને $B(-3, 0, 1)$ સમતલ $3x + 4y - 12z + 13 = 0$ થી સમાન અંતરે છે.
$A$ થી અંતર: $d_1 = \frac{|3(1) + 4(1) - 12(\lambda) + 13|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + (-12)^2}} = \frac{|20 - 12\lambda|}{13}$.
$B$ થી અંતર: $d_2 = \frac{|3(-3) + 4(0) - 12(1) + 13|}{\sqrt{3^2 + 4^2 + (-12)^2}} = \frac{|-8|}{13} = \frac{8}{13}$.
$d_1 = d_2$ હોવાથી,$\frac{|20 - 12\lambda|}{13} = \frac{8}{13}$,એટલે કે $|20 - 12\lambda| = 8$.
કિસ્સો $1$: $20 - 12\lambda = 8 \Rightarrow 12\lambda = 12 \Rightarrow \lambda = 1$.
કિસ્સો $2$: $20 - 12\lambda = -8 \Rightarrow 12\lambda = 28 \Rightarrow \lambda = \frac{7}{3}$.
$\lambda$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$\lambda = 1$ મળે છે.

(D) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ નું સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ થી અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
અહીં,બિંદુ $(2, -1, 0)$ છે અને સમતલ $2x + y + 2z + 8 = 0$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$d = \frac{|2(2) + 1(-1) + 2(0) + 8|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2}}$
$d = \frac{|4 - 1 + 0 + 8|}{\sqrt{4 + 1 + 4}}$
$d = \frac{|11|}{\sqrt{9}}$
$d = \frac{11}{3}$ એકમ.

(B) ધારો કે ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ થી સમતલ પરના લંબનો લંબપાદ $P(3, 2, 1)$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ સદિશ $\vec{OP} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ છે.
બિંદુ $P(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - x_1) + b(y - y_1) + c(z - z_1) = 0$ છે.
કિંમતો $a=3, b=2, c=1$ અને $(x_1, y_1, z_1) = (3, 2, 1)$ મૂકતા:
$3(x - 3) + 2(y - 2) + 1(z - 1) = 0$
$3x - 9 + 2y - 4 + z - 1 = 0$
$3x + 2y + z - 14 = 0$
$3x + 2y + z = 14$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ સમતલનું સમીકરણ $2x + 3y + 5z = 1$ છે.
યામ અક્ષો પરના અંતઃખંડો શોધવા માટે,આપણે સમીકરણને અંતઃખંડ સ્વરૂપ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ માં લખીએ.
આથી $\frac{x}{(1/2)} + \frac{y}{(1/3)} + \frac{z}{(1/5)} = 1$ મળે છે.
આમ,$X, Y, Z$ અક્ષો પરના અંતઃખંડો અનુક્રમે $a = 1/2$,$b = 1/3$,અને $c = 1/5$ છે.
બિંદુઓ $A, B, C$ ના યામ $A = (1/2, 0, 0)$,$B = (0, 1/3, 0)$,અને $C = (0, 0, 1/5)$ છે.
$\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર શોધવાનું સૂત્ર $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ છે.
યામોની કિંમતો મૂકતા,આપણને $\left(\frac{1/2 + 0 + 0}{3}, \frac{0 + 1/3 + 0}{3}, \frac{0 + 0 + 1/5}{3}\right) = \left(\frac{1}{6}, \frac{1}{9}, \frac{1}{15}\right)$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ નું સમતલ $Ax + By + Cz + D = 0$ થી અંતર $d$ શોધવાનું સૂત્ર:
$d = \frac{|Ax_1 + By_1 + Cz_1 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
અહીં બિંદુ $(1, 2, -1)$ અને સમતલ $x - 2y + 4z + 10 = 0$ આપેલ છે,તેથી $A=1, B=-2, C=4, D=10$ અને $x_1=1, y_1=2, z_1=-1$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$d = \frac{|1(1) - 2(2) + 4(-1) + 10|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 4^2}}$
$d = \frac{|1 - 4 - 4 + 10|}{\sqrt{1 + 4 + 16}}$
$d = \frac{|3|}{\sqrt{21}} = \frac{3}{\sqrt{21}} = \frac{3}{\sqrt{3 \times 7}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \sqrt{\frac{3}{7}}$ એકમ.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલી બે રેખાઓના દિશા સદિશો $\vec{b_1} = \hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}$ અને $\vec{b_2} = -3 \hat{i} + 2 \hat{j} + 5 \hat{k}$ છે.
જરૂરી રેખા બંનેને લંબ હોવાથી,તેનો દિશા સદિશ $\vec{v}$ એ $\vec{b_1} \times \vec{b_2}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ -3 & 2 & 5 \end{vmatrix} = \hat{i}(10 - 6) - \hat{j}(5 - (-9)) + \hat{k}(2 - (-6)) = 4 \hat{i} - 14 \hat{j} + 8 \hat{k}$.
આ રેખા $(1, 2, 3)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સદિશ સમીકરણ $\bar{r} = (\hat{i} + 2 \hat{j} + 3 \hat{k}) + \lambda(4 \hat{i} - 14 \hat{j} + 8 \hat{k})$ છે.

(A) સમતલ $x+2y+2z+8=0$ ને સમાંતર કોઈપણ સમતલનું સમીકરણ $x+2y+2z+\lambda=0$ સ્વરૂપમાં હોય છે.
આપેલ છે કે આ સમતલનું બિંદુ $(1,1,2)$ થી અંતર $2$ એકમ છે.
બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ થી સમતલ $Ax+By+Cz+D=0$ નું અંતર $d = \frac{|Ax_1+By_1+Cz_1+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$2 = \frac{|1(1)+2(1)+2(2)+\lambda|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}$
$2 = \frac{|1+2+4+\lambda|}{\sqrt{1+4+4}}$
$2 = \frac{|7+\lambda|}{\sqrt{9}}$
$2 = \frac{|7+\lambda|}{3}$
$|7+\lambda| = 6$
આથી $7+\lambda = 6$ અથવા $7+\lambda = -6$ મળે.
કિસ્સો $1$: $7+\lambda = 6 \Rightarrow \lambda = -1$.
કિસ્સો $2$: $7+\lambda = -6 \Rightarrow \lambda = -13$.
આમ,સમતલોના સમીકરણો $x+2y+2z-1=0$ અને $x+2y+2z-13=0$ છે.

(A) બિંદુ $(1, -1, 2)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ $a(x - 1) + b(y + 1) + c(z - 2) = 0$ છે.
આ સમતલ $2x + 3y - 2z = 5$ અને $x + 2y - 3z = 8$ ને લંબ હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (a, b, c)$ એ આપેલા સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n_1} = (2, 3, -2)$ અને $\vec{n_2} = (1, 2, -3)$ ને લંબ હશે.
તેથી,$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -2 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = \hat{i}(-9 + 4) - \hat{j}(-6 + 2) + \hat{k}(4 - 3) = -5\hat{i} + 4\hat{j} + \hat{k}$.
આમ,$a = -5, b = 4, c = 1$.
આ કિંમતો સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા: $-5(x - 1) + 4(y + 1) + 1(z - 2) = 0$.
$-5x + 5 + 4y + 4 + z - 2 = 0 \Rightarrow -5x + 4y + z + 7 = 0 \Rightarrow 5x - 4y - z = 7$.
સદિશ સ્વરૂપમાં,આ $\bar{r} \cdot (5\hat{i} - 4\hat{j} - \hat{k}) = 7$ થાય છે.

(C) આપેલ સમતલ $2x + 3y - 4z = 17$ છે. આ સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\overline{n} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}$ છે.
જરૂરી સમતલ આપેલ સમતલને સમાંતર હોવાથી,તેનો અભિલંબ સદિશ પણ $\overline{n} = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}$ જ રહેશે.
બિંદુ $\overline{a} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ $\overline{n}$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $\overline{r} \cdot \overline{n} = \overline{a} \cdot \overline{n}$ છે.
અહીં $\overline{a} \cdot \overline{n} = (1)(2) + (-1)(3) + (1)(-4) = 2 - 3 - 4 = -5$ મળે છે.
તેથી,સમતલનું સમીકરણ $\overline{r} \cdot (2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}) = -5$ થાય.

(B) સમતલનું સમીકરણ $4x - 3y + 12z = 15$ આપેલ છે.
આને સામાન્ય સ્વરૂપ $ax + by + cz = d$ સાથે સરખાવતા,આપણને અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 4\hat{i} - 3\hat{j} + 12\hat{k}$ મળે છે.
અભિલંબ સદિશનું માન $|\vec{n}| = \sqrt{4^2 + (-3)^2 + 12^2} = \sqrt{16 + 9 + 144} = \sqrt{169} = 13$ છે.
સમતલને લંબ એકમ સદિશ $\hat{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{4\hat{i} - 3\hat{j} + 12\hat{k}}{13}$ દ્વારા મળે છે.

(D) આપેલી રેખાઓના દિશા ગુણોત્તર $\vec{b_1} = (1, 4, 7)$ અને $\vec{b_2} = (3, 5, 7)$ છે.
સમતલ પ્રથમ રેખાને સમાવે છે અને બીજી રેખાને સમાંતર છે,તેથી સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $\vec{b_1}$ અને $\vec{b_2}$ બંનેને લંબ હશે.
$\vec{n} = \vec{b_1} \times \vec{b_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 4 & 7 \\ 3 & 5 & 7 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(28-35) - \hat{j}(7-21) + \hat{k}(5-12) = -7\hat{i} + 14\hat{j} - 7\hat{k} = -7(\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})$.
આમ,સમતલનું સમીકરણ $x - 2y + z = d$ સ્વરૂપમાં છે.
સમતલ બિંદુ $(2, 4, 6)$ માંથી પસાર થાય છે.
સમીકરણમાં બિંદુ મૂકતા: $2 - 2(4) + 6 = 2 - 8 + 6 = 0$.
તેથી,સમતલનું સમીકરણ $x - 2y + z = 0$ છે.

(A) બિંદુઓ $O(0, 0, 0)$,$A(1, 2, 3)$,$B(2, 3, 4)$ અને $P(x, y, z)$ સમતલીય હોવાથી,સદિશો $\vec{OA}$,$\vec{OB}$ અને $\vec{OP}$ નો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય.
સમતલીયતા માટેની શરત નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ x & y & z \end{vmatrix} = 0$
ત્રીજી હારને સાપેક્ષ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$x(2 \times 4 - 3 \times 3) - y(1 \times 4 - 3 \times 2) + z(1 \times 3 - 2 \times 2) = 0$
$x(8-9) - y(4-6) + z(3-4) = 0$
$-x - y(-2) + z(-1) = 0$
$-x + 2y - z = 0$
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$x - 2y + z = 0$

(D) ધારો કે આપેલી રેખાઓ $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4}=\lambda$ અને $\frac{x-3}{1}=\frac{y-k}{2}=\frac{z}{1}=\mu$ છે.
પ્રથમ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(2\lambda+1, 3\lambda-1, 4\lambda+1)$ છે અને બીજી રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(\mu+3, 2\mu+k, \mu)$ છે.
રેખાઓ છેદતી હોવાથી,એવા $\lambda$ અને $\mu$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી યામ સમાન થાય:
$2\lambda+1 = \mu+3 \implies 2\lambda - \mu = 2$ .... $(1)$
$3\lambda-1 = 2\mu+k \implies 3\lambda - 2\mu = k+1$ .... $(2)$
$4\lambda+1 = \mu \implies 4\lambda - \mu = -1$ .... $(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતાં,$(4\lambda - \mu) - (2\lambda - \mu) = -1 - 2$,જે આપણને $2\lambda = -3$ આપે છે,તેથી $\lambda = \frac{-3}{2}$.
$\lambda = \frac{-3}{2}$ ને $(3)$ માં મૂકતા,$\mu = 4(\frac{-3}{2}) + 1 = -6 + 1 = -5$ મળે.
હવે,$\lambda = \frac{-3}{2}$ અને $\mu = -5$ ને $(2)$ માં મૂકતા:
$3(\frac{-3}{2}) - 2(-5) = k+1$
$\frac{-9}{2} + 10 = k+1$
$\frac{-9+20}{2} = k+1$
$\frac{11}{2} = k+1$
$k = \frac{11}{2} - 1 = \frac{9}{2}$.

(A) રેખા અને સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\sin \theta = \frac{|a a_1 + b b_1 + c c_1|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2}}$
અહીં,રેખાના દિશા ગુણોત્તરો $(a, b, c) = (2, 1, 2)$ છે અને સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (6, -2, -3)$ છે.
રેખાના દિશા સદિશનું માન $\sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$ છે.
સમતલના અભિલંબ સદિશનું માન $\sqrt{6^2 + (-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\sin \theta = \frac{|(2)(6) + (1)(-2) + (2)(-3)|}{3 \times 7} = \frac{|12 - 2 - 6|}{21} = \frac{4}{21}$.
તેથી,$\theta = \sin ^{-1}\left(\frac{4}{21}\right)$.

(D) રેખા $OP$ ના દિકગુણોત્તરો $(1, \sqrt{2}, 1)$ છે.
રેખા $OP$ ના દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ ધારો.
સદિશ $\vec{OP}$ નું માન $\sqrt{1^2 + (\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 2 + 1} = \sqrt{4} = 2$ છે.
તેથી,દિકકોસાઇન $l = \frac{1}{2}$,$m = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,અને $n = \frac{1}{2}$ છે.
$XOY$ સમતલ ($z=0$,અભિલંબ $(0,0,1)$) સાથેનો ખૂણો: $\sin \theta_1 = |0(1/2) + 0(1/\sqrt{2}) + 1(1/2)| = 1/2 \implies \theta_1 = 30^{\circ}$.
$YOZ$ સમતલ ($x=0$,અભિલંબ $(1,0,0)$) સાથેનો ખૂણો: $\sin \theta_2 = |1(1/2) + 0 + 0| = 1/2 \implies \theta_2 = 30^{\circ}$.
$ZOX$ સમતલ ($y=0$,અભિલંબ $(0,1,0)$) સાથેનો ખૂણો: $\sin \theta_3 = |0 + 1(1/\sqrt{2}) + 0| = 1/\sqrt{2} \implies \theta_3 = 45^{\circ}$.
આમ,સાચો જવાબ $30^{\circ}, 30^{\circ}, 45^{\circ}$ છે.

(A) રેખા જેનો દિશા સદિશ $\bar{b}$ છે અને સમતલ જેનો અભિલંબ સદિશ $\bar{n}$ છે,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\sin \theta = \frac{|\bar{b} \cdot \bar{n}|}{|\bar{b}| |\bar{n}|}$ છે.
આપેલ રેખા $\bar{r}=(\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k})+\lambda(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ માટે,દિશા સદિશ $\bar{b} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ છે.
આપેલ સમતલ $\bar{r} \cdot(2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})=5$ માટે,અભિલંબ સદિશ $\bar{n} = 2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ છે.
માન શોધો: $|\bar{b}| = \sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}$ અને $|\bar{n}| = \sqrt{2^2+(-1)^2+1^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$.
અદિશ ગુણાકાર શોધો: $\bar{b} \cdot \bar{n} = (1)(2) + (1)(-1) + (1)(1) = 2 - 1 + 1 = 2$.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $\sin \theta = \frac{|2|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{18}} = \frac{2}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{3}$.
તેથી,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)$.

(A) ધારો કે રેખા $\frac{x-3}{1} = \frac{y-4}{2} = \frac{z-5}{2} = \lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $(x, y, z) = (\lambda+3, 2\lambda+4, 2\lambda+5)$ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.
આ બિંદુ સમતલ $x+y+z=2$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે યામોને સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$(\lambda+3) + (2\lambda+4) + (2\lambda+5) = 2$.
$5\lambda + 12 = 2$.
$5\lambda = -10$,જે આપણને $\lambda = -2$ આપે છે.
$\lambda = -2$ ને બિંદુના યામોમાં મૂકતા,આપણને છેદબિંદુ મળે છે:
$x = -2+3 = 1$,$y = 2(-2)+4 = 0$,$z = 2(-2)+5 = 1$.
છેદબિંદુ $(1, 0, 1)$ છે.
બિંદુ $(3, 4, 5)$ અને $(1, 0, 1)$ વચ્ચેનું અંતર અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણવામાં આવે છે:
$d = \sqrt{(3-1)^2 + (4-0)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$ એકમ.

(C) રેખા $\bar{r} = \bar{a} + \lambda \bar{b}$ એ સમતલ $\bar{r} \cdot \bar{n} = d$ ને સમાંતર હોય જો અને માત્ર જો રેખાનો દિશા સદિશ $\bar{b}$ એ સમતલના અભિલંબ સદિશ $\bar{n}$ ને લંબ હોય.
આનો અર્થ એ છે કે સદિશો $\bar{b}$ અને $\bar{n}$ નો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ,એટલે કે $\bar{b} \cdot \bar{n} = 0$.
અહીં $\bar{b} = 2 \hat{i} + \hat{j} + 2 \hat{k}$ અને $\bar{n} = 3 \hat{i} - 2 \hat{j} - m \hat{k}$ છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $(2 \hat{i} + \hat{j} + 2 \hat{k}) \cdot (3 \hat{i} - 2 \hat{j} - m \hat{k}) = 0$.
$(2)(3) + (1)(-2) + (2)(-m) = 0$.
$6 - 2 - 2m = 0$.
$4 - 2m = 0$.
$2m = 4$.
$m = 2$.

(D) ધારો કે $P = (7, 5, 2)$.
આપેલ રેખા $\frac{x-1}{3} = \frac{y-2}{6} = \frac{z+1}{2}$ ને સમાંતર અને $P$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-7}{3} = \frac{y-5}{6} = \frac{z-2}{2} = r$ છે.
આ રેખા પરના કોઈપણ બિંદુ $Q$ ના યામ $(3r+7, 6r+5, 2r+2)$ થાય.
બિંદુ $Q$ એ સમતલ $3x+4y+z-8=0$ પર આવેલું હોવાથી,$Q$ ના યામ સમતલના સમીકરણમાં મૂકતા:
$3(3r+7) + 4(6r+5) + (2r+2) - 8 = 0$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$9r + 21 + 24r + 20 + 2r + 2 - 8 = 0$.
સમાન પદોનો સરવાળો કરતા:
$35r + 35 = 0 \Rightarrow 35r = -35 \Rightarrow r = -1$.
$r = -1$ ને $Q$ ના યામમાં મૂકતા:
$Q = (3(-1)+7, 6(-1)+5, 2(-1)+2) = (4, -1, 0)$.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $PQ$ નું અંતર:
$PQ = \sqrt{(7-4)^2 + (5-(-1))^2 + (2-0)^2} = \sqrt{3^2 + 6^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$ એકમ.

(C) દિશા સદિશ $\vec{b}$ વાળી રેખા અને અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ વાળા સમતલ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\sin \theta = \left|\frac{\vec{b} \cdot \vec{n}}{|\vec{b}| |\vec{n}|}\right|$ છે.
અહીં,રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{b} = 3\hat{i} + \hat{j}$ છે અને સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ છે.
તેમનો અદિશ ગુણાકાર $\vec{b} \cdot \vec{n} = (3)(1) + (1)(2) + (0)(3) = 3 + 2 + 0 = 5$ થાય.
તેમના માન $|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$ અને $|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14}$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $\sin \theta = \frac{5}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{14}} = \frac{5}{\sqrt{140}} = \frac{5}{2\sqrt{35}} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{7}}$.
તેથી,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{7}}\right)$.

(C) રેખાનું સમીકરણ $\bar{r} = \bar{a} + \lambda \bar{b}$ છે,જ્યાં $\bar{b} = 2 \hat{\imath} + \hat{\jmath} + 2 \hat{k}$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $\bar{r} \cdot \bar{n} = d$ છે,જ્યાં $\bar{n} = 3 \hat{\imath} - 2 \hat{\jmath} + m \hat{k}$ છે.
જ્યારે રેખા સમતલને સમાંતર હોય,ત્યારે રેખાનો દિશા સદિશ $\bar{b}$ એ સમતલના અભિલંબ સદિશ $\bar{n}$ ને લંબ હોય છે.
તેથી,$\bar{b} \cdot \bar{n} = 0$.
$(2 \hat{\imath} + \hat{\jmath} + 2 \hat{k}) \cdot (3 \hat{\imath} - 2 \hat{\jmath} + m \hat{k}) = 0$.
$(2)(3) + (1)(-2) + (2)(m) = 0$.
$6 - 2 + 2m = 0$.
$4 + 2m = 0$.
$2m = -4$.
$m = -2$.

(A) ધારો કે આપેલી રેખા $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z+3}{4}=\lambda$ છે.
રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $P = (2\lambda+1, -3\lambda+2, 4\lambda-3)$ સ્વરૂપમાં મળે.
આ બિંદુ $P$ સમતલ $2x+4y-z=1$ પર આવેલું હોવાથી,આપણે $P$ ના યામ સમતલના સમીકરણમાં મૂકીએ:
$2(2\lambda+1) + 4(-3\lambda+2) - (4\lambda-3) = 1$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$4\lambda + 2 - 12\lambda + 8 - 4\lambda + 3 = 1$.
$\lambda$ વાળા પદો અને અચળ પદોનો સરવાળો કરતા:
$-12\lambda + 13 = 1$.
$-12\lambda = -12$,તેથી $\lambda = 1$ મળે.
હવે $\lambda = 1$ ને $P$ ના યામમાં મૂકતા:
$x = 2(1)+1 = 3$,
$y = -3(1)+2 = -1$,
$z = 4(1)-3 = 1$.
આમ,છેદબિંદુ $(3, -1, 1)$ છે.

(C) રેખા $\bar{r}=\bar{a}+\lambda\bar{b}$ અને સમતલ $\bar{r} \cdot \bar{n}=p$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ નીચે મુજબ મળે છે: $\sin \theta = \frac{|\bar{b} \cdot \bar{n}|}{|\bar{b}| |\bar{n}|}$.
અહીં,$\bar{b} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ અને $\bar{n} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ છે.
ડોટ પ્રોડક્ટની ગણતરી કરતા: $\bar{b} \cdot \bar{n} = (1)(2) + (-1)(-1) + (1)(1) = 2 + 1 + 1 = 4$.
માનની ગણતરી કરતા: $|\bar{b}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ અને $|\bar{n}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $\sin \theta = \frac{4}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{6}} = \frac{4}{\sqrt{18}} = \frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
તેથી,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$.

(D) રેખાનું સમીકરણ $\bar{r}=(2 \hat{i}+\hat{j}-4 \hat{k})+\lambda(\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k})$ છે.
આ રેખા પરના કોઈપણ બિંદુના યામ $(x, y, z) = (2+\lambda, 1-2\lambda, -4+2\lambda)$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
$XOY$-સમતલનું સમીકરણ $z=0$ છે.
છેદબિંદુ $XOY$-સમતલ પર હોવાથી,આપણે $z$-યામને શૂન્ય લઈએ છીએ:
$-4+2\lambda = 0 \Rightarrow 2\lambda = 4 \Rightarrow \lambda = 2$.
$\lambda = 2$ કિંમત યામમાં મૂકતા:
$x = 2+2 = 4$
$y = 1-2(2) = 1-4 = -3$
$z = -4+2(2) = 0$.
આમ,છેદબિંદુ $(4, -3, 0)$ છે અને તેનો સ્થાન સદિશ $4 \hat{i}-3 \hat{j}$ છે.

(B) ધારો કે $\cos ^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)=\theta$,તો $\cos \theta=\frac{1}{3}$.
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ હોવાથી,$\sin \theta = \sqrt{1-\left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ મળે.
આમ,આપેલ સમીકરણ $\sin (x+y)+\cos (x+y)=\frac{2\sqrt{2}}{3}$ છે.
અહીં $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ એ અચળ હોવાથી,$(x+y)$ પણ અચળ થશે.
ધારો કે $x+y = C$,જ્યાં $C$ અચળ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx}(x+y) = \frac{d}{dx}(C)$
$1 + \frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx} = -1$.