MHT CET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપેલ છે કે $y=\tan ^{-1}\left(\frac{\sin 2 x}{1+\cos 2 x}\right)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ અને $1 + \cos 2x = 2 \cos^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y = \tan^{-1}\left(\frac{2 \sin x \cos x}{2 \cos^2 x}\right)$
$y = \tan^{-1}(\tan x)$
$y = x$
તેથી,$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x) = 1$.

(B) આપેલ સમીકરણ $3 \bar{a}-\bar{b}+2 \bar{c}-4 \bar{d}=\overline{0}$ છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $3 \bar{a}+2 \bar{c}=\bar{b}+4 \bar{d}$ મળે છે.
બંને બાજુ $5$ વડે ભાગતા,$\frac{3 \bar{a}+2 \bar{c}}{5}=\frac{\bar{b}+4 \bar{d}}{5}$ મળે.
ધારો કે $\bar{r} = \frac{3 \bar{a}+2 \bar{c}}{3+2} = \frac{\bar{b}+4 \bar{d}}{1+4}$.
આ સદિશ $\bar{r}$ એવા બિંદુને દર્શાવે છે જે રેખાખંડ $AC$ પર (જે તેને $2:3$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે) અને રેખાખંડ $BD$ પર (જે તેને $4:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે) આવેલું છે.
આમ,$\bar{r}$ એ $AC$ અને $BD$ ના છેદબિંદુનો સ્થાન સદિશ છે.

(B) ધારો કે $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. $A$ માંથી પસાર થતી મધ્યગા એ સદિશ $\vec{AD}$ છે.
કારણ કે $D$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $A$ ની સાપેક્ષે $D$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{AD} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{AC})$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $\vec{AB} = 3 \hat{i} + 5 \hat{j} + 4 \hat{k}$ અને $\vec{AC} = 5 \hat{i} - 5 \hat{j} + 2 \hat{k}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\vec{AD} = \frac{1}{2}((3 \hat{i} + 5 \hat{j} + 4 \hat{k}) + (5 \hat{i} - 5 \hat{j} + 2 \hat{k}))$
$\vec{AD} = \frac{1}{2}(8 \hat{i} + 0 \hat{j} + 6 \hat{k})$
$\vec{AD} = 4 \hat{i} + 3 \hat{k}$.
મધ્યગાની લંબાઈ એ સદિશ $\vec{AD}$ નું માન છે:
$|\vec{AD}| = \sqrt{4^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$ એકમ.

(B) ધારો કે $H$ નો સ્થાન સદિશ ઉગમબિંદુ $\vec{0}$ છે.
તો શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $a \vec{AH} + b \vec{BH} + c \vec{CH} = \vec{0}$ છે.
અહીં $H$ ઉગમબિંદુ હોવાથી,$\vec{AH} = \vec{0} - \vec{a} = -\vec{a}$,$\vec{BH} = -\vec{b}$,અને $\vec{CH} = -\vec{c}$ થાય.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $a(-\vec{a}) + b(-\vec{b}) + c(-\vec{c}) = \vec{0}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $a\vec{a} + b\vec{b} + c\vec{c} = \vec{0}$.
જોકે,અંતઃકેન્દ્ર $I$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{i}$ ની વ્યાખ્યા $\vec{i} = \frac{a\vec{A} + b\vec{B} + c\vec{C}}{a+b+c}$ છે.
જો $H$ એ અંતઃકેન્દ્ર હોય,તો $a(\vec{A}-\vec{H}) + b(\vec{B}-\vec{H}) + c(\vec{C}-\vec{H}) = \vec{0}$ થાય.
આનું સાદું રૂપ આપતા $(a+b+c)\vec{H} = a\vec{A} + b\vec{B} + c\vec{C}$ મળે,જે અંતઃકેન્દ્રની વ્યાખ્યા છે.
તેથી,$H$ એ $\triangle ABC$ નું અંતઃકેન્દ્ર છે.

(B) આપેલ સદિશો $\bar{a}$,$\bar{b}$ અને $\bar{c}$ સમતલીય હોવાથી,તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય,એટલે કે $\bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે તેમના ઘટકો દ્વારા બનતા નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & -5 & p \\ 5 & -9 & 4 \end{vmatrix} = 0$.
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1((-5)(4) - (-9)(p)) - (-2)((2)(4) - (5)(p)) + 1((2)(-9) - (5)(-5)) = 0$.
$1(-20 + 9p) + 2(8 - 5p) + 1(-18 + 25) = 0$.
$-20 + 9p + 16 - 10p + 7 = 0$.
$-p + 3 = 0$.
તેથી,$p = 3$.

(A) ધારો કે $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} + x\hat{k}$ અને $\vec{b} = y\hat{i} + 6\hat{j} + 4\hat{k}$ એ બે સમરેખ સદિશો છે.
તેઓ સમરેખ હોવાથી,એક અદિશ $m$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જેથી $\vec{a} = m\vec{b}$ થાય.
ઘટકોને સરખાવતા: $\hat{i} + 2\hat{j} + x\hat{k} = m(y\hat{i} + 6\hat{j} + 4\hat{k})$.
બંને બાજુ $\hat{i}, \hat{j},$ અને $\hat{k}$ ના સહગુણકોને સરખાવતા:
$1 = my$
$2 = 6m \Rightarrow m = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$x = 4m$
$m = \frac{1}{3}$ ની કિંમત $x$ અને $y$ ના સમીકરણોમાં મુકતા:
$x = 4 \times \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$
$1 = \frac{1}{3}y \Rightarrow y = 3$
આમ,$x = \frac{4}{3}$ અને $y = 3$ મળે છે.

(B) સદિશો $\bar{a}$,$\bar{b}$ અને $\bar{c}$ એક જ સમતલમાં હોવાથી,તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય: $\bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે ઘટકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ x & x-1 & -1 \end{vmatrix} = 0$.
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1((-1)(-1) - (2)(x-1)) - 1((1)(-1) - (2)(x)) + 1((1)(x-1) - (-1)(x)) = 0$.
$1(1 - 2x + 2) - 1(-1 - 2x) + 1(x - 1 + x) = 0$.
$(3 - 2x) + (1 + 2x) + (2x - 1) = 0$.
$3 - 2x + 1 + 2x + 2x - 1 = 0$.
$2x + 3 = 0$.
$x = \frac{-3}{2}$.

(C) આપેલ સદિશો સમતલીય હોવાથી,તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય.
$\therefore \begin{vmatrix} a & a & c \\ 1 & 0 & 1 \\ c & c & b \end{vmatrix} = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$a(0 - c) - a(b - c) + c(c - 0) = 0$
$-ac - ab + ac + c^2 = 0$
$-ab + c^2 = 0$
$c^2 = ab$
આ દર્શાવે છે કે $a, c, b$ એ સમગુણોત્તર શ્રેણી ($G$.$P$.) માં છે.

(A) બિંદુઓ $A(3, 5, -1)$ અને $B(6, 3, -2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-x_1}{x_2-x_1} = \frac{y-y_1}{y_2-y_1} = \frac{z-z_1}{z_2-z_1}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
યામો મૂકતા,આપણને $\frac{x-3}{6-3} = \frac{y-5}{3-5} = \frac{z-(-1)}{-2-(-1)}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x-3}{3} = \frac{y-5}{-2} = \frac{z+1}{-1} = r$ થાય છે.
આ રેખા પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ ને $(3r+3, -2r+5, -r-1)$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
આપેલ છે કે બિંદુ $P$ નો $y$-યામ $2$ છે,તેથી $-2r+5 = 2$ લેતા.
$r$ માટે ઉકેલતા,આપણને $-2r = -3$ મળે છે,એટલે કે $r = \frac{3}{2}$.
હવે,$r = \frac{3}{2}$ ની કિંમત $z$-યામના પદમાં મૂકતા: $z = -r-1 = -\frac{3}{2} - 1 = -\frac{5}{2}$.

(C) આપેલ સદિશો $\overline{a}, \overline{b},$ અને $\overline{c}$ સમતલીય હોવાથી,તેમનો અદિશ ત્રિગુણક ગુણાકાર શૂન્ય થાય,એટલે કે $[\overline{a} \overline{b} \overline{c}] = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે તેમના ઘટકો દ્વારા બનતા નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & -3 \\ 3 & \lambda & 5 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હારને અનુલક્ષીને નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$2(2 \times 5 - (-3) \times \lambda) - (-1)(1 \times 5 - (-3) \times 3) + 1(1 \times \lambda - 2 \times 3) = 0$
$2(10 + 3\lambda) + 1(5 + 9) + 1(\lambda - 6) = 0$
$20 + 6\lambda + 14 + \lambda - 6 = 0$
$7\lambda + 28 = 0$
$7\lambda = -28 \Rightarrow \lambda = -4$
હવે,આપણે ચકાસીએ કે કયા સમીકરણમાં $x = -4$ મૂકતા તે સંતોષાય છે:
$(A)$ $(-4)^2 + 2(-4) = 16 - 8 = 8 \neq 6$
$(B)$ $(-4)^2 + 2(-4) = 16 - 8 = 8 \neq 4$
$(C)$ $(-4)^2 + 3(-4) = 16 - 12 = 4$. આ સાચું છે.
$(D)$ $(-4)^2 + 3(-4) = 16 - 12 = 4 \neq 6$
આમ,$\lambda = -4$ એ સમીકરણ $x^2 + 3x = 4$ નું બીજ છે.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A$,$B$,અને $C$ છે જેના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b} = 5\hat{i}+3\hat{j}-3\hat{k}$,અને $\vec{c} = 2\hat{i}+5\hat{j}+9\hat{k}$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ એ સદિશો $\vec{AB}$,$\vec{BC}$,અને $\vec{AC}$ ના માન છે.
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = 4\hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$.
$|\vec{AB}| = \sqrt{4^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$.
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b} = -3\hat{i} + 2\hat{j} + 12\hat{k}$.
$|\vec{BC}| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 4 + 144} = \sqrt{157}$.
$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = 1\hat{i} + 4\hat{j} + 8\hat{k}$.
$|\vec{AC}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + 8^2} = \sqrt{1 + 16 + 64} = \sqrt{81} = 9$.
ત્રિકોણની પરિમિતિ $= |\vec{AB}| + |\vec{BC}| + |\vec{AC}| = 6 + \sqrt{157} + 9 = 15 + \sqrt{157}$ એકમ.

(B) ધારો કે $A, B, C, D, M, N$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}, \vec{m}, \vec{n}$ છે.
$M$ અને $N$ એ અનુક્રમે $AB$ અને $CD$ ના મધ્યબિંદુઓ હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} \implies \vec{a} + \vec{b} = 2\vec{m}$
$\vec{n} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2} \implies \vec{c} + \vec{d} = 2\vec{n}$
આપણને સમીકરણ આપેલું છે: $\vec{AD} + \vec{BC} = t \vec{MN}$
સ્થાન સદિશોના સ્વરૂપમાં સદિશોને દર્શાવતા:
$(\vec{d} - \vec{a}) + (\vec{c} - \vec{b}) = t(\vec{n} - \vec{m})$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$(\vec{d} + \vec{c}) - (\vec{a} + \vec{b}) = t(\vec{n} - \vec{m})$
સ્થાન સદિશોના સરવાળા માટેના પદો મૂકતા:
$2\vec{n} - 2\vec{m} = t(\vec{n} - \vec{m})$
$2(\vec{n} - \vec{m}) = t(\vec{n} - \vec{m})$
બંને બાજુ સરખાવતા,આપણને $t = 2$ મળે છે.

(A) ધારો કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એ ઉગમબિંદુ $O$ ની સાપેક્ષમાં શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો છે.
તેથી,$\overline{OA} = \vec{a}, \overline{OB} = \vec{b}, \overline{OC} = \vec{c}$.
ત્રિકોણ $ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G$ નો સ્થાન સદિશ $\overline{OG} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = 3 \overline{OG}$.
હવે,આપણે પદાવલિ $\overline{OA} + \overline{OB} + \overline{OC} + \overline{OG}$ ની કિંમત શોધીએ:
$\overline{OA} + \overline{OB} + \overline{OC} + \overline{OG} = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) + \overline{OG}$.
$(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$ ની કિંમત મૂકતા:
$= 3 \overline{OG} + \overline{OG} = 4 \overline{OG}$.

(B) ચાર બિંદુઓ $A, B, C, D$ સમતલીય હોય તે માટે સદિશો $\vec{AB}, \vec{AC},$ અને $\vec{AD}$ નો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $[\vec{AB} \ \vec{AC} \ \vec{AD}] = 0$.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશો શોધીએ:
$\vec{AB} = (0-2)\hat{i} + (-1-1)\hat{j} + (0-(-1))\hat{k} = -2\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$
$\vec{AC} = (4-2)\hat{i} + (0-1)\hat{j} + (4-(-1))\hat{k} = 2\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}$
$\vec{AD} = (2-2)\hat{i} + (0-1)\hat{j} + (x-(-1))\hat{k} = 0\hat{i} - \hat{j} + (x+1)\hat{k}$
સમતલીયતા માટેની શરત નિશ્ચાયક દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\begin{vmatrix} -2 & -2 & 1 \\ 2 & -1 & 5 \\ 0 & -1 & x+1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હારના આધારે નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$-2[(-1)(x+1) - (5)(-1)] - (-2)[(2)(x+1) - (5)(0)] + 1[(2)(-1) - (-1)(0)] = 0$
$-2[-x-1+5] + 2[2x+2] + 1[-2] = 0$
$-2[4-x] + 4x + 4 - 2 = 0$
$-8 + 2x + 4x + 2 = 0$
$6x - 6 = 0$
$6x = 6$
$x = 1$

(D) આપેલ ત્રણ સદિશો સમતલીય હોવાથી,તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય.
આ સદિશોના ઘટકો દ્વારા બનતો નિશ્ચાયક:
$\begin{vmatrix} a & a & c \\ 1 & 0 & 1 \\ c & c & b \end{vmatrix} = 0$
સ્તંભ પ્રક્રિયા $C_1 \rightarrow C_1 - C_2$ લાગુ પાડતા:
$\begin{vmatrix} 0 & a & c \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & c & b \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ સ્તંભ $(C_1)$ ની સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$-1(ab - c^2) = 0$
$c^2 - ab = 0 \Rightarrow c^2 = ab$
આ દર્શાવે છે કે $c$ એ $a$ અને $b$ નો ગુણોત્તર મધ્યક ($G$.$M$.) છે.

(B) કારણ કે $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ અસમરેખ સદિશો છે,બે સદિશો $\bar{p} = m_1\bar{a} + n_1\bar{b}$ અને $\bar{q} = m_2\bar{a} + n_2\bar{b}$ સમરેખ હોય જો અને માત્ર જો તેમના ઘટકો પ્રમાણસર હોય,એટલે કે $\frac{m_1}{m_2} = \frac{n_1}{n_2} = k$.
આપેલ છે કે $\bar{p} = (2x + 1)\bar{a} - 1\bar{b}$ અને $\bar{q} = (x - 2)\bar{a} + 1\bar{b}$.
સમરેખતા માટે:
$\frac{2x + 1}{x - 2} = \frac{-1}{1}$
$2x + 1 = -(x - 2)$
$2x + 1 = -x + 2$
$3x = 1$
$x = \frac{1}{3}$

(A) $A(2, 4, 5)$ અને $B(1, 2, 3)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$\frac{x-2}{1-2} = \frac{y-4}{2-4} = \frac{z-5}{3-5} = k$
$\frac{x-2}{-1} = \frac{y-4}{-2} = \frac{z-5}{-2} = k$
આ રેખા પરના કોઈપણ બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y, z) = (-k+2, -2k+4, -2k+5)$ દ્વારા દર્શાવી શકાય છે.
આપેલ શરત મુજબ,બિંદુ $P$ નો $z$-યામ $3$ છે,તેથી:
$-2k + 5 = 3$
$-2k = -2$
$k = 1$
હવે $y$-યામ શોધવા માટે $k = 1$ ની કિંમત મૂકતા:
$y = -2(1) + 4 = 2$.
આમ,બિંદુ $P$ નો $y$-યામ $2$ છે.

(A) સદિશો સમતલીય છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\bar{a} \ \bar{b} \ \bar{c}]$ ની ગણતરી કરીએ છીએ.
જો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $0$ હોય,તો સદિશો સમતલીય છે. જો તે શૂન્ય ન હોય,તો તેઓ અસમતલીય છે.
આપેલ છે કે $\bar{a} = 3\hat{\imath} + \hat{\jmath} - \hat{k}$,$\bar{b} = 2\hat{\imath} - \hat{\jmath} + 7\hat{k}$,અને $\bar{c} = 7\hat{\imath} - \hat{\jmath} + 23\hat{k}$.
$[\bar{a} \ \bar{b} \ \bar{c}] = \begin{vmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 7 \\ 7 & -1 & 23 \end{vmatrix}$
$= 3((-1)(23) - (7)(-1)) - 1((2)(23) - (7)(7)) - 1((2)(-1) - (7)(-1))$
$= 3(-23 + 7) - 1(46 - 49) - 1(-2 + 7)$
$= 3(-16) - 1(-3) - 1(5)$
$= -48 + 3 - 5 = -50$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $-50 \neq 0$ હોવાથી,સદિશો $\bar{a}, \bar{b},$ અને $\bar{c}$ અસમતલીય છે. તેથી,વિધાન $A$ સત્ય છે.

(A) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓના સ્થાન સદિશો $\overline{a}$,$\overline{b}$,અને $\overline{c}$ હોય,તો તેના મધ્યકેન્દ્ર $G$ નો સ્થાન સદિશ $\overline{g} = \frac{\overline{a} + \overline{b} + \overline{c}}{3}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ સદિશોની કિંમતો મૂકતા:
$\overline{g} = \frac{(2 \hat{\imath} + 3 \hat{\jmath} + \hat{k}) + (4 \hat{\imath} + 5 \hat{\jmath} + 3 \hat{k}) + (6 \hat{\imath} + \hat{\jmath} + 5 \hat{k})}{3}$
ઘટકોનો સરવાળો કરતા:
$\overline{g} = \frac{(2+4+6) \hat{\imath} + (3+5+1) \hat{\jmath} + (1+3+5) \hat{k}}{3}$
$\overline{g} = \frac{12 \hat{\imath} + 9 \hat{\jmath} + 9 \hat{k}}{3}$
$\overline{g} = 4 \hat{\imath} + 3 \hat{\jmath} + 3 \hat{k}$.

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ના સ્થાન સદિશો $\vec{a} = 4 \hat{\imath} + 7 \hat{\jmath} + 8 \hat{k}$,$\vec{b} = 2 \hat{\imath} + 3 \hat{\jmath} + 4 \hat{k}$,અને $\vec{c} = 2 \hat{\imath} + 5 \hat{\jmath} + 7 \hat{k}$ છે.
ખૂણા દ્વિભાજક પ્રમેય મુજબ,$\angle A$ નો દ્વિભાજક સામેની બાજુ $BC$ ને બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
ધારો કે $D$ એ બિંદુ છે જ્યાં $\angle A$ નો દ્વિભાજક $BC$ ને મળે છે. તો $D$ એ $BC$ ને $AB : AC$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
પ્રથમ,બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ની લંબાઈ શોધો:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = -2\hat{\imath} - 4\hat{\jmath} - 4\hat{k}$.
$AB = |\vec{AB}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{36} = 6$.
$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = -2\hat{\imath} - 2\hat{\jmath} - 1\hat{k}$.
$AC = |\vec{AC}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9} = 3$.
ગુણોત્તર $AB : AC = 6 : 3 = 2 : 1$.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$D$ નો સ્થાન સદિશ:
$\vec{d} = \frac{AC \cdot \vec{b} + AB \cdot \vec{c}}{AC + AB} = \frac{3(2\hat{\imath} + 3\hat{\jmath} + 4\hat{k}) + 6(2\hat{\imath} + 5\hat{\jmath} + 7\hat{k})}{3 + 6} = \frac{18\hat{\imath} + 39\hat{\jmath} + 54\hat{k}}{9} = 2\hat{\imath} + \frac{13}{3}\hat{\jmath} + 6\hat{k} = \frac{1}{3}(6\hat{\imath} + 13\hat{\jmath} + 18\hat{k})$.

(D) આપેલ સ્થાન સદિશો $\bar{a} = \hat{i} + 3\hat{j}$,$\bar{b} = 2\hat{i} + 5\hat{j}$,અને $\bar{c} = 4\hat{i} + 2\hat{j}$ છે.
સંબંધ $\bar{c} = t_{1}\bar{a} + t_{2}\bar{b}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$4\hat{i} + 2\hat{j} = t_{1}(\hat{i} + 3\hat{j}) + t_{2}(2\hat{i} + 5\hat{j})$
$4\hat{i} + 2\hat{j} = (t_{1} + 2t_{2})\hat{i} + (3t_{1} + 5t_{2})\hat{j}$
$\hat{i}$ અને $\hat{j}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને નીચે મુજબના સમીકરણો મળે છે:
$t_{1} + 2t_{2} = 4$ --- $(1)$
$3t_{1} + 5t_{2} = 2$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $3$ વડે ગુણતા: $3t_{1} + 6t_{2} = 12$ --- $(3)$
સમીકરણ $(3)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા: $(3t_{1} + 6t_{2}) - (3t_{1} + 5t_{2}) = 12 - 2$
$t_{2} = 10$
$t_{2} = 10$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા: $t_{1} + 2(10) = 4$
$t_{1} + 20 = 4 \implies t_{1} = -16$
તેથી,$t_{1}t_{2} = (-16)(10) = -160$.

(C) આપેલ સમીકરણ $l \bar{a} + m \bar{b} + n \bar{c} = \overline{0}$ છે.
સદિશોની કિંમતો મૂકતા: $l(\hat{\imath} + \hat{\jmath} + \hat{k}) + m(2\hat{\imath} - 2\hat{\jmath} + 2\hat{k}) + n(2\hat{\imath} + 3\hat{\jmath} + 2\hat{k}) = 0\hat{\imath} + 0\hat{\jmath} + 0\hat{k}$.
ઘટકોને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$l + 2m + 2n = 0$ $(i)$
$l - 2m + 3n = 0$ (ii)
$l + 2m + 2n = 0$ (iii)
સમીકરણ $(i)$ અને (iii) સમાન છે. સમીકરણ $(i)$ માંથી (ii) બાદ કરતા:
$(l + 2m + 2n) - (l - 2m + 3n) = 0$
$4m - n = 0 \implies n = 4m$.
$n = 4m$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$l + 2m + 2(4m) = 0 \implies l + 10m = 0 \implies l = -10m$.
જો $m = -1$ લઈએ,તો $l = 10$ અને $n = -4$ મળે.
આમ,કિંમતો $(10, -1, -4)$ છે.

(A) પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\bar{a} \times \bar{b}$ શોધો:
$\bar{a} \times \bar{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ -1 & 2 & -4 \end{vmatrix} = \hat{i}(-12 - (-2)) - \hat{j}(-8 - 1) + \hat{k}(4 - (-3)) = -10\hat{i} + 9\hat{j} + 7\hat{k}$
ત્યારબાદ,સદિશ ગુણાકાર $\bar{a} \times \bar{c}$ શોધો:
$\bar{a} \times \bar{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(3 - (-1)) - \hat{j}(2 - (-1)) + \hat{k}(2 - 3) = 4\hat{i} - 3\hat{j} - \hat{k}$
હવે,મળેલા બે સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર કરો:
$(\bar{a} \times \bar{b}) \cdot (\bar{a} \times \bar{c}) = (-10\hat{i} + 9\hat{j} + 7\hat{k}) \cdot (4\hat{i} - 3\hat{j} - \hat{k})$
$= (-10)(4) + (9)(-3) + (7)(-1)$
$= -40 - 27 - 7 = -74$

(A) સૌ પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\bar{b} \times \bar{d}$ શોધો:
$\bar{b} \times \bar{d} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 0 & 3 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - (-3)) - \hat{j}(0 - 3) + \hat{k}(-2 - 0) = 3\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$
ત્યારબાદ,સદિશ $\bar{c} - \bar{a}$ શોધો:
$\bar{c} - \bar{a} = (4\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) - (\hat{i} + 5\hat{k}) = 3\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}$
અંતે,અદિશ ગુણાકાર $(\bar{c} - \bar{a}) \cdot (\bar{b} \times \bar{d})$ શોધો:
$(\bar{c} - \bar{a}) \cdot (\bar{b} \times \bar{d}) = (3\hat{i} - \hat{j} - 3\hat{k}) \cdot (3\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k})$
$= (3)(3) + (-1)(3) + (-3)(-2) = 9 - 3 + 6 = 12$

(A) ધારો કે $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ એ રેખાઓની દિશામાં સદિશો છે જેના દિશા ગુણોત્તર અનુક્રમે $2, 3, 1$ અને $1, 2, 1$ છે.
$\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$.
બંને $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ને લંબ સદિશ તેમના સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-2) - \hat{j}(2-1) + \hat{k}(4-3) = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
આમ,દિશા ગુણોત્તર $1, -1, 1$ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ધારો કે આપેલા સદિશો $\vec{a} = \hat{\imath} - \hat{\jmath} - 6\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{\imath} - 3\hat{\jmath} + 4\hat{k}$,અને $\vec{c} = 2\hat{\imath} - 5\hat{\jmath} + m\hat{k}$ છે.
સદિશો સમતલીય હોવાથી,તેમનો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય,એટલે કે $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે ઘટકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય છે:
$\begin{vmatrix} 1 & -1 & -6 \\ 1 & -3 & 4 \\ 2 & -5 & m \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરતા:
$1((-3)(m) - (4)(-5)) - (-1)((1)(m) - (4)(2)) + (-6)((1)(-5) - (-3)(2)) = 0$
$1(-3m + 20) + 1(m - 8) - 6(-5 + 6) = 0$
$-3m + 20 + m - 8 - 6(1) = 0$
$-2m + 12 - 6 = 0$
$-2m + 6 = 0$
$2m = 6$
$m = 3$

(A) સમાંતરફલકનું ઘનફળ જેની ધાર $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ હોય તે અદિશ ત્રિગુણિત $[\vec{u} \quad \vec{v} \quad \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $[\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}] = 4$.
આપણે $\bar{a}+2 \bar{b}$,$\bar{b}+2 \bar{c}$,અને $\bar{c}+2 \bar{a}$ ધારવાળા સમાંતરફલકનું ઘનફળ શોધવાનું છે.
ઘનફળ $= [(\bar{a}+2 \bar{b}) \quad (\bar{b}+2 \bar{c}) \quad (\bar{c}+2 \bar{a})]$.
$= (\bar{a}+2 \bar{b}) \cdot [(\bar{b}+2 \bar{c}) \times (\bar{c}+2 \bar{a})]$.
$= (\bar{a}+2 \bar{b}) \cdot [(\bar{b} \times \bar{c}) + 2(\bar{b} \times \bar{a}) + 2(\bar{c} \times \bar{c}) + 4(\bar{c} \times \bar{a})]$.
કારણ કે $\bar{c} \times \bar{c} = 0$,તેથી:
$= (\bar{a}+2 \bar{b}) \cdot [(\bar{b} \times \bar{c}) + 2(\bar{b} \times \bar{a}) + 4(\bar{c} \times \bar{a})]$.
$= \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + 2\bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{a}) + 4\bar{a} \cdot (\bar{c} \times \bar{a}) + 2\bar{b} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + 4\bar{b} \cdot (\bar{b} \times \bar{a}) + 8\bar{b} \cdot (\bar{c} \times \bar{a})$.
અદિશ ત્રિગુણિતના ગુણધર્મ મુજબ જો કોઈ પણ બે સદિશો સમાન હોય તો તેનું મૂલ્ય શૂન્ય થાય છે:
$= [\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}] + 0 + 0 + 0 + 0 + 8[\bar{b} \quad \bar{c} \quad \bar{a}]$.
કારણ કે $[\bar{b} \quad \bar{c} \quad \bar{a}] = [\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}] = 4$,
ઘનફળ $= 4 + 8(4) = 4 + 32 = 36 \text{ units}^3$.

(C) આપેલ સદિશો $\bar{a}$ અને $\bar{b}$ એકમ સદિશો છે કારણ કે $|\bar{a}| = \sqrt{\frac{9+1}{10}} = 1$ અને $|\bar{b}| = \sqrt{\frac{4+9+36}{49}} = 1$.
પ્રથમ,ડોટ ગુણાકાર $\bar{a} \cdot \bar{b} = \frac{1}{7\sqrt{10}}(3 \times 2 + 0 \times 3 + 1 \times (-6)) = \frac{6-6}{7\sqrt{10}} = 0$ ગણો.
હવે,પદાવલિ $(2 \bar{a}-\bar{b}) \cdot[(\bar{a} \times \bar{b}) \times(\bar{a}+2 \bar{b})]$ ને સરળ બનાવો.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના નિયમ $\bar{u} \times (\bar{v} \times \bar{w}) = (\bar{u} \cdot \bar{w}) \bar{v} - (\bar{u} \cdot \bar{v}) \bar{w}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\bar{a} \times \bar{b}) \times(\bar{a}+2 \bar{b}) = -[(\bar{a}+2 \bar{b}) \times (\bar{a} \times \bar{b})] = -[(\bar{a}+2 \bar{b}) \cdot \bar{b}] \bar{a} + [(\bar{a}+2 \bar{b}) \cdot \bar{a}] \bar{b}$.
કારણ કે $\bar{a} \cdot \bar{b} = 0$,$|\bar{a}|=1$,અને $|\bar{b}|=1$:
$(\bar{a}+2 \bar{b}) \cdot \bar{b} = \bar{a} \cdot \bar{b} + 2|\bar{b}|^2 = 0 + 2(1) = 2$.
$(\bar{a}+2 \bar{b}) \cdot \bar{a} = |\bar{a}|^2 + 2(\bar{b} \cdot \bar{a}) = 1 + 0 = 1$.
તેથી,પદાવલિ $-(2 \bar{a}-\bar{b}) \cdot [-2 \bar{a} + \bar{b}] = (2 \bar{a}-\bar{b}) \cdot (2 \bar{a}-\bar{b}) = |2 \bar{a}-\bar{b}|^2$ બને છે.
$|2 \bar{a}-\bar{b}|^2 = 4|\bar{a}|^2 + |\bar{b}|^2 - 4(\bar{a} \cdot \bar{b}) = 4(1) + 1 - 4(0) = 5$.

(C) સૌ પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\bar{u} \times \bar{v}$ શોધો:
$\bar{u} \times \bar{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(-2-0) - \hat{j}(1-3) + \hat{k}(0 - (-6)) = -2\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$.
હવે,ધાર માટેના સદિશો નક્કી કરો:
$\bar{a} = \bar{u} \times \bar{v} = -2\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$
$\bar{b} = \bar{u} + \bar{w} = (\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) + (\hat{j} - \hat{k}) = \hat{i} - \hat{j}$
$\bar{c} = \bar{v} + \bar{w} = (3\hat{i} + \hat{k}) + (\hat{j} - \hat{k}) = 3\hat{i} + \hat{j}$
સમાંતરફલકનું ઘનફળ એ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $|\bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c})|$ દ્વારા મળે છે,જે આ સદિશો દ્વારા બનતા નિશ્ચાયકના માનાંક જેટલું છે:
ઘનફળ $= \left| \begin{vmatrix} -2 & 2 & 6 \\ 1 & -1 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \end{vmatrix} \right|$
ત્રીજા સ્તંભને અનુલક્ષીને વિસ્તરણ કરતા:
ઘનફળ $= |6(1 - (-3))| = |6(4)| = 24$ ઘન એકમ.

(A) શિરોબિંદુઓ $A, B, C, D$ ધરાવતા ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |[\vec{AB} \vec{AC} \vec{AD}]|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશો શોધીએ:
$\vec{AB} = (3 - (-1))\hat{i} + (-2 - 2)\hat{j} + (1 - 3)\hat{k} = 4\hat{i} - 4\hat{j} - 2\hat{k}$
$\vec{AC} = (2 - (-1))\hat{i} + (1 - 2)\hat{j} + (3 - 3)\hat{k} = 3\hat{i} - 1\hat{j} + 0\hat{k}$
$\vec{AD} = (-1 - (-1))\hat{i} + (-2 - 2)\hat{j} + (4 - 3)\hat{k} = 0\hat{i} - 4\hat{j} + 1\hat{k}$
હવે,નિશ્ચાયકનો ઉપયોગ કરીને અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{AB} \vec{AC} \vec{AD}]$ ની ગણતરી કરીએ:
$|\vec{AB} \vec{AC} \vec{AD}| = \begin{vmatrix} 4 & -4 & -2 \\ 3 & -1 & 0 \\ 0 & -4 & 1 \end{vmatrix}$
$= 4((-1)(1) - (0)(-4)) - (-4)((3)(1) - (0)(0)) + (-2)((3)(-4) - (-1)(0))$
$= 4(-1) + 4(3) - 2(-12) = -4 + 12 + 24 = 32$
તેથી,ઘનફળ $V = \frac{1}{6} \times 32 = \frac{32}{6} = \frac{16}{3}$ ઘન એકમ.

(C) અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારને $[\bar{a} \quad \bar{b} \quad \bar{c}] = \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c})$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપણે પદાવલિ $[\bar{a}+2\bar{b} \quad \bar{b}+2\bar{c} \quad \bar{c}+2\bar{a}]$ ની કિંમત શોધવાની છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને,આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ:
$[\bar{a}+2\bar{b} \quad \bar{b}+2\bar{c} \quad \bar{c}+2\bar{a}] = (\bar{a}+2\bar{b}) \cdot [(\bar{b}+2\bar{c}) \times (\bar{c}+2\bar{a})]$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા:
$(\bar{b}+2\bar{c}) \times (\bar{c}+2\bar{a}) = (\bar{b} \times \bar{c}) + 2(\bar{b} \times \bar{a}) + 2(\bar{c} \times \bar{c}) + 4(\bar{c} \times \bar{a})$.
કારણ કે $\bar{c} \times \bar{c} = 0$,આ પદ $(\bar{b} \times \bar{c}) + 2(\bar{b} \times \bar{a}) + 4(\bar{c} \times \bar{a})$ માં સરળ બને છે.
હવે,$(\bar{a}+2\bar{b})$ સાથે ડોટ પ્રોડક્ટ લેતા:
$(\bar{a}+2\bar{b}) \cdot [(\bar{b} \times \bar{c}) + 2(\bar{b} \times \bar{a}) + 4(\bar{c} \times \bar{a})]$
$= \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + 2\bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{a}) + 4\bar{a} \cdot (\bar{c} \times \bar{a}) + 2\bar{b} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + 4\bar{b} \cdot (\bar{b} \times \bar{a}) + 8\bar{b} \cdot (\bar{c} \times \bar{a})$.
જો કોઈ બે સદિશો સમાન હોય તો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે તે ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$= [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + 0 + 0 + 0 + 0 + 8[\bar{b} \bar{c} \bar{a}]$
$= [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + 8[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 9[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$.
તેથી,$\frac{[\bar{a}+2\bar{b} \quad \bar{b}+2\bar{c} \quad \bar{c}+2\bar{a}]}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]} = \frac{9[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]} = 9$.

(C) સમાંતરબાજુ ષટ્ફલકનું ઘનફળ જેની ધાર $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ હોય તે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}] = \vec{u} \cdot (\vec{v} \times \vec{w})$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $\vec{u} = 2\bar{a}+\bar{b}$,$\vec{v} = 2\bar{b}+\bar{c}$,અને $\vec{w} = 2\bar{c}+\bar{a}$ છે.
ઘનફળ $= (2\bar{a}+\bar{b}) \cdot [(2\bar{b}+\bar{c}) \times (2\bar{c}+\bar{a})]$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા: $(2\bar{b}+\bar{c}) \times (2\bar{c}+\bar{a}) = 4(\bar{b} \times \bar{c}) + 2(\bar{b} \times \bar{a}) + 2(\bar{c} \times \bar{c}) + (\bar{c} \times \bar{a}) = 4(\bar{b} \times \bar{c}) + 2(\bar{b} \times \bar{a}) + (\bar{c} \times \bar{a})$.
હવે,$(2\bar{a}+\bar{b})$ સાથે ડોટ પ્રોડક્ટ લેતા:
ઘનફળ $= (2\bar{a}+\bar{b}) \cdot [4(\bar{b} \times \bar{c}) + 2(\bar{b} \times \bar{a}) + (\bar{c} \times \bar{a})]$.
$= 8[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + 4[\bar{a} \bar{b} \bar{a}] + 2[\bar{a} \bar{c} \bar{a}] + 4[\bar{b} \bar{b} \bar{c}] + 2[\bar{b} \bar{b} \bar{a}] + [\bar{b} \bar{c} \bar{a}]$.
જ્યારે બે સદિશો સમાન હોય ત્યારે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે,તેથી $[\bar{a} \bar{b} \bar{a}] = 0, [\bar{a} \bar{c} \bar{a}] = 0, [\bar{b} \bar{b} \bar{c}] = 0, [\bar{b} \bar{b} \bar{a}] = 0$.
ઘનફળ $= 8[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + [\bar{b} \bar{c} \bar{a}] = 8[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 9[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$.
આપેલ છે કે $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 3$,તેથી ઘનફળ $= 9 \times 3 = 27$ ઘન એકમ.

(B) શિરોબિંદુઓ $A, B, C, D$ ધરાવતા ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $V = \frac{1}{6} |(\vec{AB}) \cdot (\vec{AC} \times \vec{AD})|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૌ પ્રથમ,આપણે સદિશો શોધીએ:
$\vec{AB} = (3 - (-1))\hat{i} + (-2 - 2)\hat{j} + (1 - 3)\hat{k} = 4\hat{i} - 4\hat{j} - 2\hat{k}$
$\vec{AC} = (2 - (-1))\hat{i} + (1 - 2)\hat{j} + (3 - 3)\hat{k} = 3\hat{i} - 1\hat{j} + 0\hat{k}$
$\vec{AD} = (-1 - (-1))\hat{i} + (-2 - 2)\hat{j} + (4 - 3)\hat{k} = 0\hat{i} - 4\hat{j} + 1\hat{k}$
હવે,અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારની ગણતરી કરીએ:
$V = \frac{1}{6} \left| \begin{vmatrix} 4 & -4 & -2 \\ 3 & -1 & 0 \\ 0 & -4 & 1 \end{vmatrix} \right|$
$V = \frac{1}{6} |4(-1 - 0) - (-4)(3 - 0) + (-2)(-12 - 0)|$
$V = \frac{1}{6} |4(-1) + 4(3) - 2(-12)|$
$V = \frac{1}{6} |-4 + 12 + 24| = \frac{1}{6} |32| = \frac{32}{6} = \frac{16}{3} \text{ ઘન એકમ}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\bar{a}+\bar{b} \quad \bar{b}+\bar{c} \quad \bar{c}+\bar{a}]$ ને નીચે મુજબ વિસ્તૃત કરી શકાય છે:
$[\bar{a}+\bar{b} \quad \bar{b}+\bar{c} \quad \bar{c}+\bar{a}] = (\bar{a}+\bar{b}) \cdot [(\bar{b}+\bar{c}) \times (\bar{c}+\bar{a})]$
$= (\bar{a}+\bar{b}) \cdot [(\bar{b} \times \bar{c}) + (\bar{b} \times \bar{a}) + (\bar{c} \times \bar{c}) + (\bar{c} \times \bar{a})]$
કારણ કે $\bar{c} \times \bar{c} = 0$,તેથી:
$= (\bar{a}+\bar{b}) \cdot [(\bar{b} \times \bar{c}) + (\bar{b} \times \bar{a}) + (\bar{c} \times \bar{a})]$
$= \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{a}) + \bar{a} \cdot (\bar{c} \times \bar{a}) + \bar{b} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + \bar{b} \cdot (\bar{b} \times \bar{a}) + \bar{b} \cdot (\bar{c} \times \bar{a})$
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા કે જો કોઈ પણ બે સદિશો સમાન હોય તો તેનું મૂલ્ય શૂન્ય થાય છે:
$= [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + 0 + 0 + 0 + 0 + [\bar{b} \bar{c} \bar{a}]$
કારણ કે $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = [\bar{b} \bar{c} \bar{a}]$,તેથી:
$= [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 2[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$
તેથી,આપેલ પદાવલિ $\frac{2[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]} = 2$ થાય.

(C) ત્રણ સદિશો સમતલીય હોય તે માટે તેમનો અદિશ ત્રિગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
ધારો કે સદિશો $\vec{a} = \hat{\imath}+\hat{\jmath}+\hat{k}$,$\vec{b} = \hat{\imath}-\hat{\jmath}+\hat{k}$,અને $\vec{c} = 2\hat{\imath}+3\hat{\jmath}+m\hat{k}$ છે.
સમતલીયતા માટેની શરત $\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0$ છે,જે ઘટકોના નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય હોવાને સમાન છે:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & m \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હારના આધારે નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1((-1)(m) - (1)(3)) - 1((1)(m) - (1)(2)) + 1((1)(3) - (-1)(2)) = 0$
$1(-m - 3) - 1(m - 2) + 1(3 + 2) = 0$
$-m - 3 - m + 2 + 5 = 0$
$-2m + 4 = 0$
$2m = 4$
$m = 2$

(A) આપેલ છે કે સદિશો $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ દ્વારા બનતા સમાંતરબાજુ ફલકનું ઘનફળ $12$ છે. તેથી,અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 12$ થાય.
ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ જેની ધાર $\bar{u}, \bar{v}, \bar{w}$ હોય તેનું સૂત્ર $\frac{1}{6} |[\bar{u} \bar{v} \bar{w}]|$ છે.
અહીં,ધાર $\bar{a}+\bar{b}, \bar{b}+\bar{c}, \bar{c}+\bar{a}$ છે.
આપણે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારની ગણતરી કરીએ:
$[\bar{a}+\bar{b} \quad \bar{b}+\bar{c} \quad \bar{c}+\bar{a}] = (\bar{a}+\bar{b}) \cdot ((\bar{b}+\bar{c}) \times (\bar{c}+\bar{a}))$
$= (\bar{a}+\bar{b}) \cdot (\bar{b} \times \bar{c} + \bar{b} \times \bar{a} + \bar{c} \times \bar{c} + \bar{c} \times \bar{a})$
$\bar{c} \times \bar{c} = 0$ હોવાથી,આ પદ સાદું રૂપ લેતા:
$= (\bar{a}+\bar{b}) \cdot (\bar{b} \times \bar{c} + \bar{b} \times \bar{a} + \bar{c} \times \bar{a})$
$= \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{a}) + \bar{a} \cdot (\bar{c} \times \bar{a}) + \bar{b} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + \bar{b} \cdot (\bar{b} \times \bar{a}) + \bar{b} \cdot (\bar{c} \times \bar{a})$
$= [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + 0 + 0 + 0 + 0 + [\bar{b} \bar{c} \bar{a}]$
$= [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 2[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 2(12) = 24$.
તેથી,ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $\frac{1}{6} \times 24 = 4 \text{ (એકમ)}^3$ થાય.

(B) અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર આ રીતે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $[\bar{b}, \bar{a} \times \bar{b}, \bar{a}] = \bar{b} \cdot ((\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{a})$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{a} = -\bar{a} \times (\bar{a} \times \bar{b})$.
સદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના સૂત્ર $\bar{u} \times (\bar{v} \times \bar{w}) = (\bar{u} \cdot \bar{w})\bar{v} - (\bar{u} \cdot \bar{v})\bar{w}$ મુજબ,$\bar{a} \times (\bar{a} \times \bar{b}) = (\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{a} - (\bar{a} \cdot \bar{a})\bar{b}$ મળે.
આમ,$[\bar{b}, \bar{a} \times \bar{b}, \bar{a}] = \bar{b} \cdot ((\bar{a} \cdot \bar{b})\bar{a} - (\bar{a} \cdot \bar{a})\bar{b}) = (\bar{a} \cdot \bar{b})(\bar{b} \cdot \bar{a}) - (\bar{a} \cdot \bar{a})(\bar{b} \cdot \bar{b}) = (\bar{a} \cdot \bar{b})^2 - |\bar{a}|^2 |\bar{b}|^2$.
લેગ્રાન્જના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$|\bar{a} \times \bar{b}|^2 = |\bar{a}|^2 |\bar{b}|^2 - (\bar{a} \cdot \bar{b})^2$.
તેથી,$[\bar{b}, \bar{a} \times \bar{b}, \bar{a}] = -|\bar{a} \times \bar{b}|^2$.

(C) સહ-અંતિમ ધારાઓ $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ ધરાવતા સમાંતરફલકનું ઘનફળ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = |\bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c})| = 7$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે $\bar{a}+\bar{b}, \bar{b}+\bar{c}, \bar{c}+\bar{a}$ ધારાઓ ધરાવતા સમાંતરફલકનું ઘનફળ શોધવાનું છે.
આ ઘનફળ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\bar{a}+\bar{b} \quad \bar{b}+\bar{c} \quad \bar{c}+\bar{a}]$ દ્વારા મળે છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$[\bar{a}+\bar{b} \quad \bar{b}+\bar{c} \quad \bar{c}+\bar{a}] = (\bar{a}+\bar{b}) \cdot ((\bar{b}+\bar{c}) \times (\bar{c}+\bar{a}))$.
ક્રોસ પ્રોડક્ટનું વિસ્તરણ કરતા:
$(\bar{b}+\bar{c}) \times (\bar{c}+\bar{a}) = \bar{b} \times \bar{c} + \bar{b} \times \bar{a} + \bar{c} \times \bar{c} + \bar{c} \times \bar{a} = \bar{b} \times \bar{c} + \bar{b} \times \bar{a} + \bar{c} \times \bar{a}$ (કારણ કે $\bar{c} \times \bar{c} = 0$).
હવે,$(\bar{a}+\bar{b})$ સાથે ડોટ પ્રોડક્ટ લેતા:
$(\bar{a}+\bar{b}) \cdot (\bar{b} \times \bar{c} + \bar{b} \times \bar{a} + \bar{c} \times \bar{a}) = \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{a}) + \bar{a} \cdot (\bar{c} \times \bar{a}) + \bar{b} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + \bar{b} \cdot (\bar{b} \times \bar{a}) + \bar{b} \cdot (\bar{c} \times \bar{a})$.
જો કોઈ પણ બે સદિશો સમાન હોય તો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શૂન્ય થાય છે,તેથી:
$= [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + 0 + 0 + 0 + 0 + [\bar{b} \bar{c} \bar{a}] = [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 2[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$.
આપેલ છે કે $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = 7$,તેથી ઘનફળ $2 \times 7 = 14$ ઘન એકમ થાય.

(C) આપેલ છે કે $\bar{p}=\frac{\bar{b} \times \bar{c}}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]}, \bar{q}=\frac{\bar{c} \times \bar{a}}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]}, \bar{r}=\frac{\bar{a} \times \bar{b}}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c})$ થાય.
હવે,દરેક પદની ગણતરી કરીએ:
$\bar{a} \cdot \bar{p} = \bar{a} \cdot \left( \frac{\bar{b} \times \bar{c}}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]} \right) = \frac{\bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c})}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]} = \frac{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]} = 1$.
તે જ રીતે,$\bar{b} \cdot \bar{q} = \bar{b} \cdot \left( \frac{\bar{c} \times \bar{a}}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]} \right) = \frac{\bar{b} \cdot (\bar{c} \times \bar{a})}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]} = \frac{[\bar{b} \bar{c} \bar{a}]}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]} = \frac{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]} = 1$.
અને $\bar{c} \cdot \bar{r} = \bar{c} \cdot \left( \frac{\bar{a} \times \bar{b}}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]} \right) = \frac{\bar{c} \cdot (\bar{a} \times \bar{b})}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]} = \frac{[\bar{c} \bar{a} \bar{b}]}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]} = \frac{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]}{[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]} = 1$.
તેથી,$\bar{a} \cdot \bar{p} + \bar{b} \cdot \bar{q} + \bar{c} \cdot \bar{r} = 1 + 1 + 1 = 3$.

(D) આપણે ડોટ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરીએ: $(\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}) \cdot (\bar{a} \times \bar{b} + \bar{b} \times \bar{c} + \bar{c} \times \bar{a})$.
ડોટ ગુણાકારના વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$= \bar{a} \cdot (\bar{a} \times \bar{b}) + \bar{a} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + \bar{a} \cdot (\bar{c} \times \bar{a}) + \bar{b} \cdot (\bar{a} \times \bar{b}) + \bar{b} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + \bar{b} \cdot (\bar{c} \times \bar{a}) + \bar{c} \cdot (\bar{a} \times \bar{b}) + \bar{c} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) + \bar{c} \cdot (\bar{c} \times \bar{a})$.
જો કોઈ પણ બે સદિશો સમાન હોય તો અદિશ ત્રિગુણક $[\bar{x} \bar{y} \bar{z}] = 0$ થાય,તેથી $\bar{a} \cdot (\bar{a} \times \bar{b}) = 0$,$\bar{b} \cdot (\bar{b} \times \bar{c}) = 0$,અને $\bar{c} \cdot (\bar{c} \times \bar{a}) = 0$ થશે.
આથી આપણને મળે:
$= [\bar{a} \bar{b} \bar{c}] + [\bar{b} \bar{c} \bar{a}] + [\bar{c} \bar{a} \bar{b}]$.
અદિશ ત્રિગુણક ચક્રીય ક્રમમાં સમાન રહે છે,તેથી $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] = [\bar{b} \bar{c} \bar{a}] = [\bar{c} \bar{a} \bar{b}]$.
તેથી,આ પદાવલિ $3[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$ બરાબર થાય છે.
તેને $k[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 3$ મળે છે.