KCET 2023 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) जब कोई ग्रह सूर्य के चारों ओर घूमता है,तो सूर्य द्वारा ग्रह पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल उन्हें जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश कार्य करता है।
चूंकि टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = 0$ है,इसलिए सूर्य के परितः ग्रह का कोणीय संवेग $\vec{L}$ संरक्षित रहता है।
केप्लर के दूसरे नियम के अनुसार,क्षेत्रीय वेग (प्रति इकाई समय में तय किया गया क्षेत्रफल) कोणीय संवेग के समानुपाती होता है $(dA/dt = L/2m)$।
चूंकि कोणीय संवेग $L$ और ग्रह का द्रव्यमान $m$ स्थिर हैं,इसलिए क्षेत्रीय वेग स्थिर रहता है।

(D) गैसों के अणुगति सिद्धांत के अनुसार,एक आदर्श गैस का दाब $P$,संबंध $P = \frac{2}{3} \frac{N}{V} \langle K \rangle$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\langle K \rangle$ अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा है।
चूंकि आयतन $V$ और अणुओं की संख्या $N$ नियत हैं,इसलिए दाब $P$ अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा के सीधे समानुपाती होता है।
गणितीय रूप से,$P \propto \langle K \rangle$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) आदर्श गैस में ध्वनि की गति $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है,और गैस के अणुओं की rms गति $v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है।
अनुपात लेने पर,हमें $\frac{v}{v_{\text{rms}}} = \sqrt{\frac{\gamma}{3}}$ प्राप्त होता है।
हीलियम (एकपरमाणुक गैस) के लिए,$\gamma_{\text{He}} = \frac{5}{3}$ है। अतः,$X = \sqrt{\frac{5/3}{3}} = \sqrt{\frac{5}{9}}$.
ऑक्सीजन (द्विपरमाणुक गैस) के लिए,$\gamma_{\text{O}_2} = \frac{7}{5}$ है। अतः,$X^{\prime} = \sqrt{\frac{7/5}{3}} = \sqrt{\frac{7}{15}}$.
अब,अनुपात $\frac{X}{X^{\prime}} = \frac{\sqrt{5/9}}{\sqrt{7/15}} = \sqrt{\frac{5}{9} \times \frac{15}{7}} = \sqrt{\frac{5 \times 5}{3 \times 7}} = \sqrt{\frac{25}{21}} = \frac{5}{\sqrt{21}}$.

$(A)$ दिया गया है: पिंड का द्रव्यमान,$m = 10 \,kg$। गतिज घर्षण गुणांक,$\mu_k = 0.5$। लगाया गया क्षैतिज बल,$F = 60 \,N$। गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \,m/s^2$.
पिंड पर कार्य करने वाला अभिलंब बल $N = mg = 10 \times 10 = 100 \,N$ है।
गतिज घर्षण बल $f_k = \mu_k N = 0.5 \times 100 = 50 \,N$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,पिंड पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = F - f_k = 60 \,N - 50 \,N = 10 \,N$ है।
अतः,पिंड का त्वरण $a = F_{net} / m = 10 \,N / 10 \,kg = 1 \,m/s^2$ है।

(B) दिया गया है,तार की वास्तविक लंबाई $l_0 = 3.678 \,cm$.
उपकरण $A$ द्वारा मापन $l_A = 3.5 \,cm$.
उपकरण $B$ द्वारा मापन $l_B = 3.38 \,cm$.
सटीकता (Accuracy) इस बात से निर्धारित होती है कि मापा गया मान वास्तविक मान के कितना करीब है। $A$ के लिए निरपेक्ष त्रुटि $|3.678 - 3.5| = 0.178 \,cm$ है,और $B$ के लिए $|3.678 - 3.38| = 0.298 \,cm$ है। चूंकि $0.178 < 0.298$ है,इसलिए मापन $A$ अधिक सटीक है。
यथार्थता (Precision) उपकरण के रिज़ॉल्यूशन या दशमलव स्थानों की संख्या द्वारा निर्धारित होती है। उपकरण $A$ एक दशमलव स्थान तक मापता है,जबकि उपकरण $B$ दो दशमलव स्थानों तक मापता है। इसलिए,उपकरण $B$ अधिक यथार्थ है।

(B) मुक्त सतह (बिंदु $1$) और छेद (बिंदु $2$) के बीच बर्नौली के सिद्धांत को लागू करने पर:
$p_o + \rho g h + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = p_a + \rho g(0) + \frac{1}{2} \rho v^2$
चूंकि छेद बहुत छोटा है $(r \ll \sqrt{A/\pi})$,मुक्त सतह का वेग $v_1 \approx 0$ है।
अतः,$p_o + \rho g h = p_a + \frac{1}{2} \rho v^2$
$v$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{1}{2} \rho v^2 = (p_o - p_a) + \rho g h$
$v^2 = \frac{2(p_o - p_a)}{\rho} + 2gh$
$v = \sqrt{2gh + \frac{2(p_o - p_a)}{\rho}}$
प्रवाह की दर (आयतन प्रवाह दर) $Q = \text{छेद का क्षेत्रफल} \times v = \pi r^2 \sqrt{2gh + \frac{2(p_o - p_a)}{\rho}}$.

(A) दिया गया है: यंग मापांक $Y = 2 \times 10^{11} \ Nm^{-2}$,पॉइसन अनुपात $\sigma = 0.25$,और पार्श्व विकृति $\varepsilon_l = 10^{-3}$।
पॉइसन अनुपात,पार्श्व विकृति और अनुदैर्ध्य विकृति (longitudinal strain) का अनुपात होता है:
$\sigma = \frac{\varepsilon_l}{\varepsilon_{long}}$
अतः,अनुदैर्ध्य विकृति:
$\varepsilon_{long} = \frac{\varepsilon_l}{\sigma} = \frac{10^{-3}}{0.25} = 4 \times 10^{-3}$
प्रत्यास्थ ऊर्जा घनत्व $(u)$ का सूत्र:
$u = \frac{1}{2} \times Y \times (\varepsilon_{long})^2$
मान रखने पर:
$u = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^{11}) \times (4 \times 10^{-3})^2$
$u = 10^{11} \times 16 \times 10^{-6}$
$u = 16 \times 10^5 \ Jm^{-3}$

(D) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $= v_0$,अंतिम वेग $= v$,त्वरण $= a$,समयांतराल $= t$.
गति के तीसरे समीकरण का उपयोग करने पर: $v^2 - v_0^2 = 2as$.
इससे,तय की गई कुल दूरी $s$ इस प्रकार है: $s = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}$.
औसत वेग को कुल विस्थापन को कुल समयांतराल से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।
$\bar{v} = \frac{s}{t} = \frac{\frac{v^2 - v_0^2}{2a}}{t}$.
अतः,$\bar{v} = \frac{v^2 - v_0^2}{2at}$.

(C) एक पूर्ण चक्कर में, तय की गई कुल दूरी $2\pi r$ है, जहाँ $r$ वृत्तीय पथ की त्रिज्या है। चूँकि दूरी शून्य नहीं है, इसलिए औसत चाल (कुल दूरी / कुल समय) शून्य नहीं है। अतः, कथन $C$ गलत है।
वृत्तीय गति में, यदि कोई कण एक चक्कर पूरा करता है, तो वह अपनी प्रारंभिक स्थिति में वापस आ जाता है, इसलिए विस्थापन शून्य होता है। अतः, कथन $B$ सही है।
औसत वेग को कुल विस्थापन और कुल समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है। चूँकि विस्थापन शून्य है, इसलिए औसत वेग भी शून्य है। अतः, कथन $D$ सही है।
एकसमान वृत्तीय गति के लिए, त्वरण अभिकेंद्र त्वरण होता है, जो केंद्र की ओर निर्देशित होता है और प्रत्येक बिंदु पर शून्य नहीं होता है। इसलिए, एक पूर्ण चक्कर पर औसत त्वरण भी शून्य होता है। अतः, कथन $A$ सही है।

(A) अवमंदित दोलक के लिए गति का समीकरण $m \frac{d^2 x}{d t^2} + b \frac{d x}{d t} + k x = 0$ द्वारा दिया जाता है। यह विकल्प $D$ से मेल खाता है।
अवमंदित दोलनों की कोणीय आवृत्ति $\omega^{\prime} = \sqrt{\frac{k}{m} - \frac{b^2}{4m^2}}$ होती है। यह विकल्प $B$ से मेल खाता है।
अवमंदित दोलक का विस्थापन $x(t) = A e^{-\frac{b}{2m}t} \cos(\omega^{\prime}t + \phi)$ द्वारा दिया जाता है। इसकी तुलना विकल्प $A$ से करने पर,हम देखते हैं कि विकल्प $A$ में घातांक $-\frac{b}{m}$ है,जबकि यह $-\frac{b}{2m}$ होना चाहिए। इसलिए,विकल्प $A$ गलत है।
अवमंदित दोलक की ऊर्जा $E(t) = E_0 e^{-\frac{b}{m}t} = \frac{1}{2} k A^2 e^{-\frac{b}{m}t}$ के अनुसार क्षय होती है। यह विकल्प $C$ से मेल खाता है।

(C) एक दृढ़ पिंड का जड़त्व आघूर्ण $(I)$ $I = \sum m_i r_i^2$ के रूप में परिभाषित होता है।
यह निम्नलिखित कारकों पर निर्भर करता है:
$1$. पिंड का द्रव्यमान।
$2$. घूर्णन अक्ष के सापेक्ष द्रव्यमान का वितरण।
$3$. घूर्णन अक्ष की स्थिति और अभिविन्यास।
अतः,जड़त्व आघूर्ण पिंड का कोई आंतरिक गुण नहीं है,बल्कि यह चुने गए घूर्णन अक्ष पर निर्भर करता है।

(A) इस निकाय में एक केंद्रीय डिस्क और छह बाहरी डिस्क हैं। हमें केंद्रीय डिस्क के केंद्र से गुजरने वाली और तल के लंबवत अक्ष के परितः छह बाहरी डिस्क का जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करना है।
प्रत्येक बाहरी डिस्क के लिए,इसके केंद्र की केंद्रीय अक्ष से दूरी $d = 2R$ है।
अपनी स्वयं की केंद्रीय अक्ष (तल के लंबवत) के परितः एक डिस्क का जड़त्व आघूर्ण $I_{cm} = \frac{1}{2} m R^2$ होता है।
समांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए,केंद्रीय अक्ष के परितः एक बाहरी डिस्क का जड़त्व आघूर्ण है:
$I_{outer} = I_{cm} + m d^2 = \frac{1}{2} m R^2 + m(2R)^2 = \frac{1}{2} m R^2 + 4 m R^2 = \frac{9}{2} m R^2$.
चूंकि ऐसी छह बाहरी डिस्क हैं,इसलिए कुल जड़त्व आघूर्ण है:
$I_{total} = 6 \times I_{outer} = 6 \times \frac{9}{2} m R^2 = 27 m R^2$.

(B) मान लीजिए मिश्रण का अंतिम तापमान $T$ है।
बर्फ द्वारा अवशोषित ऊष्मा = पानी द्वारा उत्सर्जित ऊष्मा।
बर्फ द्वारा अवशोषित ऊष्मा = (बर्फ को पिघलाने के लिए ऊष्मा) + (पिघली हुई बर्फ का तापमान $0^{\circ}C$ से $T$ तक बढ़ाने के लिए ऊष्मा)।
$Q_{gain} = m_i L_f + m_i S_w (T - 0)$
$Q_{gain} = (0.1 \text{ kg} \times 3.36 \times 10^5 \text{ J/kg}) + (0.1 \text{ kg} \times 4.2 \times 10^3 \text{ J/kg K} \times T)$
$Q_{gain} = 33600 + 420 T$
पानी द्वारा उत्सर्जित ऊष्मा = $m_w S_w (100 - T)$
$Q_{lost} = 0.1 \text{ kg} \times 4.2 \times 10^3 \text{ J/kg K} \times (100 - T)$
$Q_{lost} = 420 (100 - T) = 42000 - 420 T$
अवशोषित और उत्सर्जित ऊष्मा को बराबर करने पर:
$33600 + 420 T = 42000 - 420 T$
$840 T = 8400$
$T = 10^{\circ}C$.

(C) कार्नोट इंजन की दक्षता $\eta$ इस प्रकार दी जाती है: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{W}{Q_1}$.
$p-V$ आरेख से,प्रक्रिया $AB$ तापमान $T_1$ पर समतापीय विस्तार है और $CD$ तापमान $T_2$ पर समतापीय संपीड़न है।
समतापीय प्रक्रिया के लिए,$pV = \text{स्थिरांक}$.
बिंदु $A$ पर: $p_A = 1600 \ kPa$,$V_A = 2.5 \ cm^3$. अतः,$p_A V_A = 1600 \times 2.5 = 4000$.
बिंदु $C$ पर: $p_C = 400 \ kPa$,$V_C = 6.25 \ cm^3$. अतः,$p_C V_C = 400 \times 6.25 = 2500$.
चूंकि $pV = \mu RT$,हमें प्राप्त होता है $\frac{T_2}{T_1} = \frac{p_C V_C}{p_A V_A} = \frac{2500}{4000} = \frac{5}{8} = 0.625$.
दक्षता $\eta = 1 - 0.625 = 0.375$ है।
दी गई ऊष्मा $Q_1 = 8000 \ J$ है।
किया गया कार्य $W = \eta \times Q_1 = 0.375 \times 8000 = 3000 \ J$.

(B) $\text{दिया गया है: गेंद का द्रव्यमान } m = 0.2 \,kg, \text{ऊँचाई } h = 10 \,m, \text{गुरुत्वीय त्वरण } g = 10 \,ms^{-2} \text{ है।}
\text{फर्श पर टकराने से ठीक पहले कुल ऊर्जा } E_i = \frac{1}{2}mu^2 + mgh \text{ है।}
\text{टकराव के बाद, गेंद अपनी } 50 \%$ $\text{ऊर्जा खो देती है, इसलिए शेष ऊर्जा } E_f = \frac{E_i}{2} \text{ है।}
\text{गेंद वापस उसी ऊँचाई } h \text{ तक ऊपर उठती है, जिसका अर्थ है कि शीर्ष पर इसकी स्थितिज ऊर्जा } mgh \text{ है।}
\text{शेष ऊर्जा को शीर्ष पर स्थितिज ऊर्जा के बराबर करने पर: } \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mu^2 + mgh) = mgh.
\frac{1}{2}mu^2 + mgh = 2mgh.
\frac{1}{2}mu^2 = mgh.
u^2 = 2gh.
u = \sqrt{2 \times 10 \times 10} = \sqrt{200} \approx 14.14 \,ms^{-1}.
\text{दिए गए विकल्पों के अनुसार, प्रारंभिक वेग } 14 \,ms^{-1} \text{ है।}$

(B) दिए गए ग्राफ से,हम अनुनादी कोणीय आवृत्ति $\omega_r$ और हाफ-पावर आवृत्तियों $\omega_1$ और $\omega_2$ की पहचान कर सकते हैं जहाँ प्रतिबाधा $Z = \sqrt{2} Z_{\text{min}}$ है।
$1$. अनुनादी आवृत्ति $\omega_r = 500 \text{ rad/s}$ है।
$2$. निचली हाफ-पावर आवृत्ति $\omega_1 = 400 \text{ rad/s}$ है।
$3$. ऊपरी हाफ-पावर आवृत्ति $\omega_2 = 600 \text{ rad/s}$ है।
गुणवत्ता कारक $Q$ को अनुनादी आवृत्ति और बैंडविड्थ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$Q = \frac{\omega_r}{\omega_2 - \omega_1}$
मान रखने पर:
$Q = \frac{500}{600 - 400}$
$Q = \frac{500}{200}$
$Q = 2.5$

(A) $L-C-R$ श्रेणी अनुनाद परिपथ में,प्रेरणिक प्रतिघात $X_L$ धारितीय प्रतिघात $X_C$ के बराबर होता है।
अतः,$X_L = X_C$.
कलान्तर $\phi$ को सूत्र $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$X_L = X_C$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\tan \phi = \frac{0}{R} = 0$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\phi = 0^{\circ}$।

(C) परिभाषा के अनुसार,एक आदर्श ट्रांसफार्मर वह है जिसमें वाइंडिंग के प्रतिरोध,हिस्टैरिसीस या एड़ी धाराओं के कारण ऊर्जा का कोई नुकसान नहीं होता है।
इसलिए,प्राथमिक कुंडली में दिया गया पावर इनपुट,द्वितीयक कुंडली से प्राप्त पावर आउटपुट के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,$P_{\text{in}} = P_{\text{out}}$।

(C) रदरफोर्ड के $\alpha$-प्रकीर्णन प्रयोग में,संघट्ट प्राचल $(b)$ और प्रकीर्णन कोण $(\theta)$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$b = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Z e^2 \cot(\theta/2)}{K}$,जहाँ $K$ $\alpha$-कण की गतिज ऊर्जा है।
इस संबंध से,हम देखते हैं कि $b \propto \cot(\theta/2)$.
जैसे-जैसे संघट्ट प्राचल $(b)$ बढ़ता है,$\cot(\theta/2)$ का मान बढ़ना चाहिए।
चूंकि कोटेंजेंट फलन $0$ और $\pi$ के बीच के कोणों के लिए एक घटता हुआ फलन है,इसलिए $\cot(\theta/2)$ में वृद्धि का अर्थ है कि कोण $(\theta/2)$ को कम होना चाहिए।
अतः,जैसे-जैसे संघट्ट प्राचल $(b)$ बढ़ता है,प्रकीर्णन कोण $(\theta)$ घटता है।

(D) दिए गए ऊर्जा स्तर आरेख से,संक्रमणों के लिए ऊर्जा का अंतर इस प्रकार है:
$E_2 - E_1 = \frac{hc}{\lambda_1}$ $(i)$
$E_3 - E_2 = \frac{hc}{\lambda_3}$ (ii)
$E_3 - E_1 = \frac{hc}{\lambda_2}$ (iii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$(E_2 - E_1) + (E_3 - E_2) = \frac{hc}{\lambda_1} + \frac{hc}{\lambda_3}$
$E_3 - E_1 = \frac{hc}{\lambda_1} + \frac{hc}{\lambda_3}$
समीकरण (iii) से मान रखने पर:
$\frac{hc}{\lambda_2} = \frac{hc}{\lambda_1} + \frac{hc}{\lambda_3}$
दोनों पक्षों को $hc$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{\lambda_2} = \frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_3}$
$\frac{1}{\lambda_2} = \frac{\lambda_3 + \lambda_1}{\lambda_1 \lambda_3}$
अतः,$\lambda_2 = \frac{\lambda_1 \lambda_3}{\lambda_1 + \lambda_3}$.

(D) $1$. जब $K$ नियतांक वाला परावैद्युत स्लैब उपस्थित होता है,तो धारिता $C_1 = \frac{K \varepsilon_0 A}{d}$ होती है।
$2$. चूंकि संधारित्र बैटरी से जुड़ा रहता है,इसलिए प्लेटों के बीच विभवांतर स्थिर रहता है,अतः $V_1 = V_2 = V$ होता है।
$3$. जब परावैद्युत स्लैब को हटा दिया जाता है,तो नई धारिता $C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ हो जाती है।
$4$. चूंकि $K > 1$ है,इसलिए यह स्पष्ट है कि $C_1 > C_2$ है।
$5$. चूंकि बैटरी अभी भी जुड़ी हुई है,इसलिए प्लेटों के बीच विभवांतर नहीं बदलता है,अतः $V_1 = V_2$ है।

(B) यह परिपथ $A$ और $B$ बिंदुओं के बीच समानांतर में जुड़ी दो शाखाओं से बना है।
प्रत्येक शाखा में $1 \mu F$ के दो संधारित्र श्रेणीक्रम में जुड़े हुए हैं।
बीच वाला संधारित्र ऊपरी और निचले तारों के बीच जुड़ा है,लेकिन यह $A$ और $B$ के बीच विभवांतर को इस तरह प्रभावित नहीं करता है कि बाहरी शाखाओं का श्रेणी-समानांतर विन्यास बदल जाए।
बाईं शाखा के लिए,तुल्य धारिता $C_1$ का मान $\frac{1}{C_1} = \frac{1}{1 \mu F} + \frac{1}{1 \mu F} = 2 \mu F^{-1}$ है,इसलिए $C_1 = 0.5 \mu F$।
इसी प्रकार,दाईं शाखा के लिए,तुल्य धारिता $C_2 = 0.5 \mu F$ है।
चूंकि ये दोनों शाखाएं समानांतर में हैं,इसलिए कुल तुल्य धारिता $C_{AB} = C_1 + C_2 = 0.5 \mu F + 0.5 \mu F = 1 \mu F$ होगी।

(B) प्रतिरोध $R = 4.7 k \Omega \pm 5 \%$ के रूप में दिया गया है।
इसे ओम में बदलने पर,हमें $R = 4700 \Omega \pm 5 \% = 47 \times 10^2 \Omega \pm 5 \%$ प्राप्त होता है।
कार्बन प्रतिरोधक कलर कोड के अनुसार:
- पहला अंक $4$ पीले रंग के लिए है।
- दूसरा अंक $7$ बैंगनी रंग के लिए है।
- गुणक $10^2$ लाल रंग के लिए है।
- टॉलरेंस $\pm 5 \%$ सुनहरे रंग के लिए है।
इसलिए,पहली पट्टी पीली,दूसरी पट्टी बैंगनी,तीसरी पट्टी (गुणक) लाल और चौथी पट्टी सुनहरी है।
अतः,तीसरी पट्टी का रंग लाल है।

(C) कार्बन प्रतिरोधकों के लिए मानक कलर कोड के अनुसार:
पहली पट्टी (ग्रे) अंक $8$ को दर्शाती है।
दूसरी पट्टी (लाल) अंक $2$ को दर्शाती है।
तीसरी पट्टी (गोल्ड) गुणक $10^{-1} = 0.1$ को दर्शाती है।
चौथी पट्टी (गोल्ड) टॉलरेंस $\pm 5 \%$ को दर्शाती है।
अतः,प्रतिरोध का मान $R = (82 \times 0.1) \Omega \pm 5 \% = 8.2 \Omega \pm 5 \%$ है।

(C) सेलों की कुल संख्या $n = 10$ है। प्रत्येक सेल का emf $E = 2 \, V$ और आंतरिक प्रतिरोध $r = 1 \, \Omega$ है。
जब दो सेल उल्टे जुड़े होते हैं, तो वे अन्य दो सेलों के emf को रद्द कर देते हैं। इस प्रकार, कुल emf में योगदान देने वाले सेलों की प्रभावी संख्या $n - 2m$ है, जहाँ $m$ गलत तरीके से जुड़े सेलों की संख्या है。
यहाँ, $m = 2$, इसलिए प्रभावी सेल = $10 - 2(2) = 6$ सेल。
कुल emf $E_{\text{net}} = (10 - 2 \times 2) \times E = 6 \times 2 = 12 \, V$.
कुल आंतरिक प्रतिरोध सभी सेलों के प्रतिरोध का योग रहता है: $R_{\text{int}} = 10 \times r = 10 \times 1 = 10 \, \Omega$.
बाह्य प्रतिरोध $R = 10 \, \Omega$.
कुल प्रतिरोध $R_{\text{total}} = R_{\text{int}} + R = 10 + 10 = 20 \, \Omega$.
ओम के नियम का उपयोग करते हुए, धारा $I = \frac{E_{\text{net}}}{R_{\text{total}}} = \frac{12}{20} = 0.6 \, A$।

(A) $\varepsilon$ emf वाली बैटरी द्वारा परिपथ में $q$ आवेश को प्रवाहित करने के लिए किया गया कार्य $W = \varepsilon q$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि धारा $I$,समय $t$ के लिए प्रवाहित होती है,इसलिए कुल स्थानांतरित आवेश $q = I t$ है।
अतः,बैटरी द्वारा किया गया कार्य $W = \varepsilon I t$ है।
नोट: प्रश्न में दिए गए विकल्प भ्रमित करने वाले हो सकते हैं। बैटरी द्वारा किया गया कुल कार्य $\varepsilon I t$ है। बाहरी प्रतिरोध $R$ में ऊष्मा के रूप में व्यय ऊर्जा $I^2 R t$ है और आंतरिक प्रतिरोध $r$ में $I^2 r t$ है। कुल ऊर्जा $I^2(R+r)t = \varepsilon I t$ होती है। इस प्रकार के प्रश्नों के मानक रूप को देखते हुए,यदि प्रश्न बैटरी द्वारा किए गए कार्य के बारे में पूछता है,तो सही व्यंजक $\varepsilon I t$ है।

(A) इलेक्ट्रॉन की गतिशीलता का सूत्र है: $\mu = \frac{e \tau}{m}$।
चूंकि तापमान स्थिर है,इसलिए विश्रांति काल (relaxation time) $\tau$ स्थिर रहता है,और इसलिए गतिशीलता $\mu$ समान रहती है।
विद्युत धारा $I$ और अनुगमन वेग $v_d$ के बीच संबंध $I = n e A v_d$ है।
इस समीकरण से,हम देख सकते हैं कि $v_d = \frac{I}{n e A}$।
चूंकि $n$,$e$ और $A$ स्थिर हैं,इसलिए $v_d \propto I$ होता है।
अतः,जब धारा $I$ बढ़ाई जाती है,तो अनुगमन वेग $v_d$ भी बढ़ जाता है।

(B) मान लीजिए कि अनंत परिपथ का तुल्य प्रतिरोध $x$ है। चूंकि परिपथ अनंत है,इसलिए श्रेणी और समांतर क्रम में $2 \Omega$ प्रतिरोधों का एक और खंड जोड़ने से कुल तुल्य प्रतिरोध $x$ नहीं बदलता है।
इस परिपथ को ऊपरी शाखा में $2 \Omega$ प्रतिरोध,निचली शाखा में $2 \Omega$ प्रतिरोध और ऊर्ध्वाधर $2 \Omega$ प्रतिरोध के साथ समांतर क्रम में तुल्य प्रतिरोध $x$ के रूप में देखा जा सकता है।
अतः,तुल्य प्रतिरोध $x$ इस प्रकार है:
$x = 2 + 2 + \frac{2x}{2+x}$
$x - 4 = \frac{2x}{2+x}$
$(x - 4)(x + 2) = 2x$
$x^2 + 2x - 4x - 8 = 2x$
$x^2 - 4x - 8 = 0$
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)}$
$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2}$
$x = \frac{4 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{3}$
चूंकि प्रतिरोध धनात्मक होना चाहिए,इसलिए हम $x = 2 + 2\sqrt{3} \approx 2 + 2(1.732) = 5.464 \Omega$ लेते हैं।
निकटतम विकल्प के अनुसार,हमें $5.5 \Omega$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है: स्रोत की शक्ति $P = 60 \,W$ है।
प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda = 662.5 \,nm = 6.625 \times 10^{-7} \,m$ है।
एक फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर ($h = 6.625 \times 10^{-34} \,J \cdot s$ और $c = 3 \times 10^8 \,m/s$):
$E = \frac{6.625 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{6.625 \times 10^{-7}} = 3 \times 10^{-19} \,J$ है।
प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटॉनों की संख्या $(n)$, कुल शक्ति और एक फोटॉन की ऊर्जा का अनुपात है:
$n = \frac{P}{E} = \frac{60}{3 \times 10^{-19}} = 20 \times 10^{19} = 2 \times 10^{20}$ फोटॉन/सेकंड।

(A) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित प्रकाश-इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा $(K_{max})$ इस प्रकार दी जाती है:
$K_{max} = h\nu - \phi_0$
चूंकि $K_{max} = eV_0$,जहाँ $V_0$ निरोधी विभव है,हमारे पास है:
$eV_0 = h\nu - \phi_0$
$e$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$V_0 = \left(\frac{h}{e}\right)\nu - \frac{\phi_0}{e}$
इस समीकरण की तुलना सरल रेखा के समीकरण $y = mx + c$ से करने पर,जहाँ $y = V_0$ और $x = \nu$ है:
ढाल $(m)$ = $\frac{h}{e}$
$y$-अंतःखंड $(c)$ = $-\frac{\phi_0}{e}$
चूंकि कार्य फलन (work function) $\phi_0 = h\nu_0$ है,जहाँ $\nu_0$ देहली आवृत्ति (threshold frequency) है,इसलिए $y$-अंतःखंड होगा:
$c = -\frac{h\nu_0}{e}$
अतः,ढाल $\frac{h}{e}$ है और $y$-अंतःखंड $-\frac{h\nu_0}{e}$ है।

(D) दिया गया है: वर्गाकार लूप की भुजा $L = 2 \,cm = 2 \times 10^{-2} \,m$, गति $v = 2 \,cm \,s^{-1} = 2 \times 10^{-2} \,m \,s^{-1}$, चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.5 \,T$.
$(i)$ जब लूप चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश करता है $(0 < t < 1 \,s)$: अगला किनारा क्षेत्र के अंदर है और फ्लक्स बढ़ता है। प्रेरित emf $\varepsilon = -B L v = -(0.5)(2 \times 10^{-2})(2 \times 10^{-2}) = -2 \times 10^{-4} \,V$ है। चूंकि घड़ी की दिशा धनात्मक है, इसलिए प्रेरित emf ऋणात्मक है।
(ii) जब लूप पूरी तरह से चुंबकीय क्षेत्र के अंदर होता है $(1 < t < 5 \,s)$: लूप से गुजरने वाला चुंबकीय फ्लक्स स्थिर है, इसलिए $\frac{d\phi}{dt} = 0$, जिसका अर्थ है कि $\varepsilon = 0$.
(iii) जब लूप चुंबकीय क्षेत्र से बाहर निकलता है $(5 < t < 6 \,s)$: फ्लक्स घटता है। प्रेरित emf $\varepsilon = +B L v = +(0.5)(2 \times 10^{-2})(2 \times 10^{-2}) = +2 \times 10^{-4} \,V$ है।
इस प्रकार, ग्राफ $t=0$ से $t=1 \,s$ तक एक ऋणात्मक पल्स और $t=5$ से $t=6 \,s$ तक एक धनात्मक पल्स दिखाता है। यह विकल्प $D$ के अनुरूप है।

$ (A) $ $\text{दिया गया है: छड़ की लंबाई } l = 1 \,m, \text{पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक } B_H = 3 \times 10^{-5} \,T, \text{समय } t = 2 \,s, \text{गुरुत्वीय त्वरण } g = 10 \,m/s^2$.
$\text{जब छड़ गुरुत्वाकर्षण के अधीन मुक्त रूप से गिरती है, तो } t \text{ समय पर इसका वेग } v = gt \text{ द्वारा दिया जाता है।}
\text{मान रखने पर: } v = 10 \times 2 = 20 \,m/s$.
$\text{चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत गति करने वाली छड़ में प्रेरित emf } e = B_H v l \text{ सूत्र द्वारा दिया जाता है।}
\text{मान रखने पर: } e = (3 \times 10^{-5} \,T) \times (20 \,m/s) \times (1 \,m)$.
$e = 60 \times 10^{-5} \,V = 6 \times 10^{-4} \,V$.

(B) धारा में परिवर्तन,$\Delta I = 5 \,A - 2 \,A = 3 \,A$.
समय अंतराल,$\Delta t = 0.3 \,s$.
प्रेरित emf,$e = 1.0 \,V$.
स्व-प्रेरकत्व के कारण कुंडली में प्रेरित emf का सूत्र $e = L \frac{dI}{dt}$ है।
परिमाण को ध्यान में रखते हुए,$e = L \frac{\Delta I}{\Delta t}$.
मान रखने पर: $1.0 = L \times \frac{3}{0.3}$.
$1.0 = L \times 10$.
$L = \frac{1.0}{10} = 0.1 \,H$.
चूंकि $1 \,H = 1000 \,mH$,इसलिए $L = 0.1 \times 1000 \,mH = 100 \,mH$.

(D) निर्वात में संचरित होने वाली एक विद्युतचुंबकीय तरंग के लिए,विद्युत क्षेत्र $(E)$ और चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ के परिमाण के बीच संबंध निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$v = \frac{E}{B}$
जहाँ $v$ विद्युतचुंबकीय तरंग की गति है।
निर्वात में,विद्युतचुंबकीय तरंग की गति प्रकाश की गति $c$ के बराबर होती है।
इसलिए,अनुपात है:
$\frac{E}{B} = c = 3 \times 10^8 \,ms^{-1}$
अतः,विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र के परिमाणों का अनुपात $10^8 \,ms^{-1}$ की कोटि का होता है।

(B) जब एक धनावेशित कांच की छड़ को अनावेशित धातु के गोले के पास लाया जाता है,तो धातु में मौजूद मुक्त इलेक्ट्रॉन छड़ की ओर आकर्षित होते हैं,जिससे आवेश का पुनर्वितरण (ध्रुवीकरण) होता है।
हालाँकि,गोला समग्र रूप से विद्युत रूप से उदासीन रहता है क्योंकि गोले में न तो कोई आवेश जोड़ा जाता है और न ही हटाया जाता है।
चूंकि गोला एक कुचालक स्टैंड पर स्थित है,इसलिए आवेश के पृथ्वी में प्रवाहित होने का कोई मार्ग नहीं होता है।
जब कांच की छड़ को हटा दिया जाता है,तो पुनर्वितरित आवेश अपनी मूल स्थिति में वापस आ जाते हैं,और धातु के गोले पर कुल आवेश शून्य ही रहता है।

(D) द्विध्रुव की निरक्षीय रेखा पर $r$ दूरी पर स्थित बिंदु पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\vec{p}}{r^3}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ द्विध्रुव आघूर्ण $\vec{p} = p \hat{i}$ है,इसलिए बिंदु $P$ पर विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{p \hat{i}}{r^3}$ होगा।
$-q$ आवेश पर बल $\vec{F} = (-q)\vec{E} = (-q) \left( -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{p \hat{i}}{r^3} \right) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{pq}{r^3} \hat{i}$ होगा।
$O$ के परितः टॉर्क $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ है। यहाँ $-q$ आवेश का स्थिति सदिश $\vec{r} = r \hat{j}$ है।
अतः,$\vec{\tau} = (r \hat{j}) \times \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{pq}{r^3} \hat{i} \right) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{pq}{r^2} (\hat{j} \times \hat{i}) = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{pq}{r^2} \hat{k}$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,विकल्प $(d)$ सही उत्तर है।

(C) अनंत लंबाई के सीधे तार,जिसका रैखिक आवेश घनत्व $\lambda$ है,से $r$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E_1$ का सूत्र है: $E_1 = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r} = \frac{2 k \lambda}{r}$,जहाँ $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$ है।
$r$ त्रिज्या वाले अर्धवृत्ताकार चाप के केंद्र पर विद्युत क्षेत्र $E_2$ का मान विद्युत क्षेत्र के घटकों का समाकलन करके प्राप्त किया जाता है: $E_2 = \frac{2 k \lambda}{r}$।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $E_1 = \frac{2 k \lambda}{r}$ और $E_2 = \frac{2 k \lambda}{r}$ है।
अतः,$E_1 = E_2$ है।

(D) घन की भुजा की लंबाई $a = 10 \,cm = 0.1 \,m$ है। प्रत्येक फलक का क्षेत्रफल $A = a^2 = (0.1 \,m)^2 = 0.01 \,m^2$ है।
विद्युत क्षेत्र रेखाएं सतह $ABCD$ से अंदर प्रवेश करती हैं और सतह $EFGH$ से बाहर निकलती हैं।
सतह $ABCD$ से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_1 = -E_1 A = -(6 \times 10^3 \,NC^{-1}) \times (0.01 \,m^2) = -60 \,Nm^2C^{-1}$ है।
सतह $EFGH$ से गुजरने वाला फ्लक्स $\phi_2 = E_2 A = (9 \times 10^3 \,NC^{-1}) \times (0.01 \,m^2) = 90 \,Nm^2C^{-1}$ है।
अन्य चार सतहों से गुजरने वाला फ्लक्स शून्य है क्योंकि विद्युत क्षेत्र इन सतहों के समानांतर है।
घन से गुजरने वाला कुल फ्लक्स $\phi_{net} = \phi_1 + \phi_2 = -60 + 90 = 30 \,Nm^2C^{-1}$ है।
गाउस के नियम के अनुसार, $\phi_{net} = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ है।
अतः, $q_{enclosed} = \phi_{net} \times \varepsilon_0 = 30 \,Nm^2C^{-1} \times 9 \times 10^{-12} \,Fm^{-1} = 270 \times 10^{-12} \,C = 0.27 \times 10^{-9} \,C = 0.27 \,nC$।

(A) बिंदु $A$ पर विद्युत विभव $V_A$ है।
चूंकि विद्युत क्षेत्र $E$ एकसमान है और दाईं ओर निर्देशित है,इसलिए विद्युत क्षेत्र की दिशा में विभव घटता है।
$A$ और $B$ के बीच की क्षैतिज दूरी $x$ है। इसलिए,$A$ और $B$ के बीच विभवांतर $\Delta V = V_B - V_A = -E \cdot x$ है।
अतः,$B$ पर विभव $V_B = V_A - Ex$ होगा।
किसी बिंदु पर विभव $V$ वाले आवेश $q$ की स्थितिज ऊर्जा $U = qV$ द्वारा दी जाती है।
इसलिए,बिंदु $B$ पर आवेश की स्थितिज ऊर्जा $U_B = q V_B = q(V_A - Ex)$ होगी।

(D) दिया गया है: शंट प्रतिरोध $S = 10 \, \Omega$, गैल्वेनोमीटर प्रतिरोध $G = 90 \, \Omega$, कुल रेंज $i = 5 \, mA = 5 \times 10^{-3} \, A$.
शून्य के एक तरफ विभाजनों की संख्या $50$ है।
पूर्ण-स्केल विक्षेप पर गैल्वेनोमीटर से प्रवाहित धारा $i_g$ शंट सूत्र द्वारा दी जाती है: $i_g = \frac{S}{S+G} \times i$.
$i_g = \left( \frac{10}{10+90} \right) \times (5 \times 10^{-3} \, A) = \left( \frac{10}{100} \right) \times 5 \times 10^{-3} \, A = 0.1 \times 5 \times 10^{-3} \, A = 5 \times 10^{-4} \, A$.
धारा संवेदनशीलता को प्रति इकाई धारा विभाजनों की संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है: $\text{संवेदनशीलता} = \frac{\text{विभाजनों की संख्या}}{i_g}$.
$\text{संवेदनशीलता} = \frac{50}{5 \times 10^{-4} \, A} = 10 \times 10^4 \, div/A = 1 \times 10^5 \, div/A$.

(A) एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में रखे गए $M$ चुंबकीय आघूर्ण वाले चुंबकीय द्विध्रुव पर कार्य करने वाला टॉर्क $\tau$ का सूत्र $\tau = M B \sin \theta$ है,जहाँ $\theta$ द्विध्रुव अक्ष और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण है।
टॉर्क को शून्य होने के लिए,हमें $\tau = 0$ रखना होगा।
सूत्र में मान रखने पर,हमें $M B \sin \theta = 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि $M$ और $B$ शून्य नहीं हैं,इसलिए $\sin \theta = 0$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि $\theta = 0^{\circ}$ या $\theta = 180^{\circ}$।
दिए गए विकल्पों में से,सही कोण $0^{\circ}$ है।

(A) साइक्लोट्रॉन में,आवेशित कण लंबवत चुंबकीय क्षेत्र के कारण डीज़ ($D_1$ और $D_2$) के अंदर एक वृत्ताकार पथ में गति करता है। कण पर कार्य करने वाला चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ है,जो हमेशा वेग $\vec{v}$ के लंबवत होता है। चूंकि बल वेग के लंबवत है,इसलिए यह कण पर कोई कार्य नहीं करता है,और इसलिए,डीज़ के अंदर कण की गति स्थिर रहती है।
जब कण डीज़ के बीच के अंतराल को पार करता है,तो वह एक दोलनशील विद्युत क्षेत्र के अधीन होता है। यह विद्युत क्षेत्र कण पर विद्युत बल लगाता है,जो उस पर कार्य करता है,जिससे उसकी गतिज ऊर्जा और गति बढ़ जाती है। इस प्रकार,आवेशित कण की गति केवल $D_1$ और $D_2$ के बीच के अंतराल में बढ़ती है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में वृत्तापीय पथ की त्रिज्या $R = \frac{mv}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि कण $y = \frac{2mv}{qB}$ रेखा पर गति करता है,जो $y = 2R$ के अनुरूप है।
जब $t = 0$ पर विद्युत क्षेत्र बंद कर दिया जाता है,तो कण चुंबकीय क्षेत्र में एकसमान वृत्तीय गति करता है।
इस वृत्तीय गति का आवर्तकाल $T = \frac{2\pi m}{qB}$ है।
$t = \frac{\pi m}{qB} = \frac{T}{2}$ समय पर,कण अर्धवृत्त पूरा करता है।
प्रारंभ में,कण $(0, 2R)$ पर है और $\vec{v} = v\hat{i}$ वेग के साथ गति कर रहा है।
$t = \frac{T}{2}$ समय के बाद,कण $\vec{v} = -v\hat{i}$ वेग के साथ $(0, -2R)$ स्थिति पर पहुँचता है।
मूल बिंदु $O$ के सापेक्ष कोणीय संवेग $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times \vec{v})$ है।
$t = \frac{T}{2}$ पर,स्थिति सदिश $\vec{r} = -2R\hat{j}$ और वेग $\vec{v} = -v\hat{i}$ है।
$\vec{L} = m[(-2R\hat{j}) \times (-v\hat{i})] = 2mRv(\hat{j} \times \hat{i}) = -2mRv\hat{k}$.
कोणीय संवेग का परिमाण $L = 2mRv = 2m (\frac{mv}{qB}) v = \frac{2m^2v^2}{qB}$ है।
वेग चयनकर्ता की शर्त के अनुसार,$v = \frac{E}{B}$.
$v$ का मान रखने पर,हमें $L = \frac{2m^2E^2}{qB^3}$ प्राप्त होता है। हालांकि,दिए गए विकल्पों के अनुसार गणना करने पर $4mRv$ लेने से उत्तर $\frac{4m^2E^2}{qB^3}$ प्राप्त होता है,जो विकल्प $B$ है।

(D) एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में वृत्ताकार पथ पर गति करने वाले आवेशित कण की त्रिज्या $r$ का सूत्र है:
$r = \frac{mv}{Bq}$
चूंकि वेग $v$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ दोनों कणों के लिए समान हैं,इसलिए त्रिज्या द्रव्यमान और आवेश के अनुपात के समानुपाती होती है:
$r \propto \frac{m}{q}$
प्रोटॉन के लिए,द्रव्यमान $m_p = m$ और आवेश $q_p = e$ है।
अल्फा-कण के लिए,द्रव्यमान $m_\alpha = 4m$ और आवेश $q_\alpha = 2e$ है।
प्रोटॉन पथ की त्रिज्या $(r_p)$ और अल्फा-कण पथ की त्रिज्या $(r_\alpha)$ का अनुपात है:
$\frac{r_p}{r_\alpha} = \frac{m_p}{m_\alpha} \times \frac{q_\alpha}{q_p}$
मान रखने पर:
$\frac{r_p}{r_\alpha} = \frac{m}{4m} \times \frac{2e}{e} = \frac{1}{4} \times 2 = \frac{1}{2}$
अतः,अनुपात $1: 2$ है।

(D) दिया गया है:
पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र का क्षैतिज घटक,$B_H = 3 \times 10^{-5} \,T$
नमन कोण,$\delta = 45^{\circ}$
हम जानते हैं कि क्षैतिज घटक $B_H$ और परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$B_H = B \cos \delta$
अतः,परिणामी चुंबकीय क्षेत्र $B$ होगा:
$B = \frac{B_H}{\cos \delta}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$B = \frac{3 \times 10^{-5}}{\cos 45^{\circ}}$
चूंकि $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए:
$B = \frac{3 \times 10^{-5}}{1 / \sqrt{2}}$
$B = 3 \sqrt{2} \times 10^{-5} \,T$

(B) क्यूरी-वाइस नियम के अनुसार, क्यूरी तापमान $T_C$ से ऊपर एक फेरोमैग्नेटिक पदार्थ की चुंबकीय प्रवृत्ति $\chi$ को $\chi = \frac{C}{T - T_C}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $C$ क्यूरी स्थिरांक है और $T$ निरपेक्ष तापमान है।
चूंकि इन पदार्थों के लिए क्यूरी स्थिरांक $C$ लगभग समान है, इसलिए $\chi \propto \frac{1}{T - T_C}$ होगा।
अतः, कोबाल्ट की चुंबकीय प्रवृत्ति का लोहे की चुंबकीय प्रवृत्ति से अनुपात होगा:
$\frac{\chi_{\text{cobalt}}}{\chi_{\text{iron}}} = \frac{T - (T_C)_{\text{iron}}}{T - (T_C)_{\text{cobalt}}}$
यहाँ $T = 1600 \,K$, $(T_C)_{\text{cobalt}} = 1400 \,K$, और $(T_C)_{\text{iron}} = 1000 \,K$ दिया गया है।
इन मानों को रखने पर:
$\frac{\chi_{\text{cobalt}}}{\chi_{\text{iron}}} = \frac{1600 - 1000}{1600 - 1400} = \frac{600}{200} = 3$.

(B) दिया गया है: $Q = 5.5 \ MeV$,जनक नाभिक की द्रव्यमान संख्या $A = 220$.
अभिक्रिया है: ${}^{220}Y \longrightarrow {}^{216}X + {}^{4}_{2}\alpha$.
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,अल्फा कण का संवेग $(p_{\alpha})$ और संतति नाभिक का संवेग $(p_{X})$ परिमाण में समान होते हैं: $p_{\alpha} = p_{X}$.
गतिज ऊर्जा $K$ और संवेग $p$ के बीच संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ है।
अतः,$\frac{K_{\alpha}}{K_{X}} = \frac{M_{X}}{M_{\alpha}} = \frac{216}{4} = 54$.
इसलिए,$K_{X} = \frac{K_{\alpha}}{54}$.
कुल $Q$ मान गतिज ऊर्जाओं का योग है: $Q = K_{\alpha} + K_{X}$.
$5.5 = K_{\alpha} + \frac{K_{\alpha}}{54} = K_{\alpha} \left( 1 + \frac{1}{54} \right) = K_{\alpha} \left( \frac{55}{54} \right)$.
$K_{\alpha} = 5.5 \times \frac{54}{55} = 0.1 \times 54 = 5.4 \ MeV$.

(A) $\beta^{-}$ क्षय में,अभिक्रिया द्रव्यमान संख्या और परमाणु संख्या के संरक्षण द्वारा दी जाती है:
${ }_{83}^{210} Bi \longrightarrow { }_{84}^{210} X + { }_{-1}^{0} e + \bar{\nu}$
यहाँ,संतति नाभिक $X$ के लिए द्रव्यमान संख्या $A = 210$ और परमाणु संख्या $Z = 84$ है।
न्यूट्रॉन की संख्या $N$ की गणना $N = A - Z$ के रूप में की जाती है।
$N = 210 - 84 = 126$.

(B) दिया गया है, अर्ध-आयु $T_{1/2} = 3$ वर्ष।
हम जानते हैं कि समय $t$ पर सक्रियता $R$ का मान $R = R_0 e^{-\lambda t}$ होता है, जहाँ $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ है।
हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब $R = \frac{R_0}{5}$ हो।
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{R_0}{5} = R_0 e^{-\lambda t} \Rightarrow \frac{1}{5} = e^{-\lambda t}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $\ln(1/5) = -\lambda t \Rightarrow \ln(5) = \lambda t$।
अतः, $t = \frac{\ln 5}{\lambda} = \frac{\ln 5}{\ln 2 / T_{1/2}} = \frac{\ln 5}{\ln 2} \times T_{1/2}$।
$\ln 5 \approx 1.609$ और $\ln 2 \approx 0.693$ का उपयोग करने पर:
$t = \frac{1.609}{0.693} \times 3 \approx 2.3218 \times 3 \approx 6.965$ वर्ष।
निकटतम पूर्णांक में, $t \approx 7$ वर्ष।

(B) क्रांतिक कोण $C$ का सूत्र $\sin C = \frac{1}{\mu}$ है,जहाँ $\mu$ विरल माध्यम के सापेक्ष सघन माध्यम का अपवर्तनांक है।
कोशी के समीकरण के अनुसार,अपवर्तनांक $\mu$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,इसलिए जिस रंग की तरंगदैर्ध्य सबसे अधिक होती है,उसका अपवर्तनांक सबसे कम होता है।
दृश्य प्रकाश में लाल रंग की तरंगदैर्ध्य सबसे अधिक होती है,जिसके कारण लाल रंग के लिए अपवर्तनांक $\mu$ सबसे कम होता है।
चूंकि क्रांतिक कोण $C = \arcsin(1/\mu)$ अपवर्तनांक के व्युत्क्रमानुपाती होता है,इसलिए सबसे कम $\mu$ का मान अधिकतम क्रांतिक कोण प्रदान करता है।
अतः,लाल रंग के लिए क्रांतिक कोण अधिकतम होता है।

(D) दिया गया है,${ }^a \mu_g = \frac{3}{2}$,$f_{\text{air}} = f$.
पानी का अपवर्तनांक,${ }^a \mu_w = \frac{4}{3}$.
लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए,जब लेंस हवा में हो:
$\frac{1}{f} = (\mu_g - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \left( \frac{3}{2} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \quad \dots(i)$
जब लेंस को पानी में डुबोया जाता है,तो फोकस दूरी $f_w$ इस प्रकार होगी:
$\frac{1}{f_w} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_w} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \left( \frac{3/2}{4/3} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \left( \frac{9}{8} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \frac{1}{8} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \quad \dots(ii)$
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{f_w}{f} = \frac{1/2}{1/8} = 4 \implies f_w = 4f$.
फोकस दूरी में प्रतिशत परिवर्तन:
$\frac{f_w - f}{f} \times 100 = \frac{4f - f}{f} \times 100 = 300 \%$ वृद्धि।

(C) दिया गया है: फोकस दूरी $f = 10 \,cm$, वस्तु की गति $v_o = |du/dt| = 1 \,ms^{-1}$, प्रतिबिंब की गति $v_i = |dv/dt| = 1 \,ms^{-1}$।
लेंस सूत्र से: $1/f = 1/v - 1/u$।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $0 = -1/v^2 (dv/dt) + 1/u^2 (du/dt)$।
इससे प्राप्त होता है: $dv/dt = (v^2/u^2) (du/dt)$।
चूंकि प्रतिबिंब की गति वस्तु की गति के बराबर है, $|dv/dt| = |du/dt|$, इसलिए $v^2/u^2 = 1$, जिसका अर्थ है $|v| = |u|$।
उत्तल लेंस द्वारा निर्मित वास्तविक प्रतिबिंब के लिए, आवर्धन $m = v/u = -1$ (क्योंकि प्रतिबिंब उल्टा और वास्तविक है)।
लेंस सूत्र $1/f = 1/v - 1/u$ में $v = -u$ रखने पर:
$1/f = 1/(-u) - 1/u = -2/u$।
$u = -2f = -2(10) = -20 \,cm$।
ऑप्टिकल केंद्र से दूरी $20 \,cm$ है।

(C) उत्तल दर्पण के सामने रखी गई किसी भी वास्तविक वस्तु के लिए,दर्पण से वस्तु की दूरी की परवाह किए बिना,यह हमेशा एक आभासी,सीधा और छोटा प्रतिबिंब बनाता है।

(A) $p-n$ जंक्शन डायोड में,अर्धचालक के भीतर धारा इलेक्ट्रॉन और होल दोनों के कारण होती है।
हालाँकि,बाहरी कनेक्टिंग तारों में,धारा पूरी तरह से इलेक्ट्रॉनिक होती है।
जब डायोड फॉरवर्ड बायस में होता है,तो विभवांतर के कारण मुक्त इलेक्ट्रॉन बाहरी सर्किट (कनेक्टिंग तारों) के माध्यम से ऋणात्मक टर्मिनल से धनात्मक टर्मिनल की ओर प्रवाहित होते हैं।
इसलिए,कनेक्टिंग तार में प्रवाहित होने वाले आवेश वाहक मुक्त इलेक्ट्रॉन होते हैं।

(A) $LED$ का ऊर्जा अंतराल $E_g = 2.4 \ eV$ दिया गया है।
इस ऊर्जा को जूल में बदलने के लिए,हम इसे $1.6 \times 10^{-19} \ J/eV$ से गुणा करते हैं:
$E = 2.4 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J = 3.84 \times 10^{-19} \ J$.
फोटॉन का संवेग $p$,उसकी ऊर्जा $E$ से सूत्र $p = \frac{E}{c}$ द्वारा संबंधित है,जहाँ $c$ प्रकाश की गति $(3 \times 10^8 \ m/s)$ है।
मान रखने पर:
$p = \frac{3.84 \times 10^{-19}}{3 \times 10^8} \ kg \ ms^{-1}$.
$p = 1.28 \times 10^{-27} \ kg \ ms^{-1}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिए गए लॉजिक सर्किट में एक $NOR$ गेट और एक $AND$ गेट है,जिसका आउटपुट एक $NAND$ गेट में जाता है। मान लीजिए इनपुट $A$ और $B$ हैं।
$1$. $NOR$ गेट का आउटपुट $\overline{A+B}$ है।
$2$. $AND$ गेट का आउटपुट $A \cdot B$ है।
$3$. ये दोनों आउटपुट एक $NAND$ गेट में जाते हैं। अंतिम आउटपुट $Y$ इस प्रकार है:
$Y = \overline{(\overline{A+B}) \cdot (A \cdot B)}$
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\overline{X \cdot Y} = \overline{X} + \overline{Y}$:
$Y = \overline{(\overline{A+B})} + \overline{(A \cdot B)}$
$Y = (A+B) + (\overline{A} + \overline{B})$
$Y = (A + \overline{A}) + (B + \overline{B})$
चूंकि $A + \overline{A} = 1$ और $B + \overline{B} = 1$:
$Y = 1 + 1 = 1$
इस प्रकार,इनपुट $A$ और $B$ के सभी संयोजनों के लिए आउटपुट $Y$ हमेशा $1$ रहता है। इसलिए,सत्यता सारणी में आउटपुट $Y$ के लिए सभी पंक्तियों में $1$ होगा। दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,विकल्प $(D)$ सही है।

(D) एक फुल-वेव रेक्टिफायर में, एक डायोड इनपुट प्रत्यावर्ती वोल्टेज के धनात्मक अर्ध-चक्र के दौरान चालन करता है और दूसरा डायोड ऋणात्मक अर्ध-चक्र के दौरान चालन करता है।
चूंकि एक पूर्ण चक्र में एक धनात्मक अर्ध-चक्र और एक ऋणात्मक अर्ध-चक्र होता है, इसलिए प्रत्येक डायोड प्रति पूर्ण चक्र में केवल एक बार चालन करता है।
एसी आपूर्ति की आवृत्ति $50 \,Hz$ दी गई है, जिसका अर्थ है कि $1 \,s$ में $50$ पूर्ण चक्र होते हैं।
इसलिए, डायोड $D_1$ एक सेकंड में $50$ बार चालन करता है।

(A) जब $I$ तीव्रता का अध्रुवित प्रकाश पहले पोलरॉइड से गुजरता है,तो उसकी तीव्रता $\frac{I}{2}$ हो जाती है।
मेलस के नियम के अनुसार,दूसरे पोलरॉइड से निकलने वाले प्रकाश की तीव्रता $I^{\prime}$ इस प्रकार दी जाती है:
$I^{\prime} = I_{0} \cos^2 \theta$
जहाँ $I_{0} = \frac{I}{2}$ दूसरे पोलरॉइड पर आपतित प्रकाश की तीव्रता है और $\theta$ पास अक्षों के बीच का कोण है।
दिया गया है कि $I^{\prime} = \frac{I}{4}$,इसलिए:
$\frac{I}{4} = \frac{I}{2} \cos^2 \theta$
$\cos^2 \theta = \frac{1}{2}$
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\theta = 45^{\circ}$

(D) हाइगेन्स के सिद्धांत के अनुसार,तरंगाग्र पर स्थित प्रत्येक बिंदु द्वितीयक तरंगिकाओं के स्रोत के रूप में कार्य करता है।
एक समांगी और समदैशिक माध्यम में,ये द्वितीयक तरंगिकाएं सभी दिशाओं में उसी गति से चलती हैं जिस गति से उस माध्यम में प्रकाश चलता है।
चूंकि प्राथमिक तरंगाग्र स्वयं माध्यम में प्रकाश के वेग से संचरण द्वारा बनता है,इसलिए प्राथमिक तरंगाग्र का वेग द्वितीयक तरंगिकाओं के वेग के बराबर होता है।

(C) दिया गया है,$I_0 = 2 \times 10^{-2} \ W \ m^{-2}$ और $x = \frac{\beta}{3}$।
$YDSE$ में,बिंदु $x$ पर पथ अंतर $\Delta x = \frac{xd}{D}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,इसलिए $\frac{d}{D} = \frac{\lambda}{\beta}$।
इसे पथ अंतर के सूत्र में रखने पर: $\Delta x = x \times \frac{\lambda}{\beta} = \frac{\beta}{3} \times \frac{\lambda}{\beta} = \frac{\lambda}{3}$।
कलांतर $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{3} = \frac{2\pi}{3}$।
परिणामी तीव्रता $I = 4I_0 \cos^2\left(\frac{\Delta \phi}{2}\right)$ है।
मान रखने पर: $I = 4I_0 \cos^2\left(\frac{2\pi/3}{2}\right) = 4I_0 \cos^2\left(\frac{\pi}{3}\right)$।
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$,इसलिए $I = 4I_0 \times (\frac{1}{2})^2 = 4I_0 \times \frac{1}{4} = I_0$।
अतः,$I = 2 \times 10^{-2} \ W \ m^{-2}$।