જો $a+2b+3c=0$ અને $(a \times b)+(b \times c)+(c \times a)=\lambda(b \times c)$ હોય,તો $\lambda$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

$3$ એકમનું માન ધરાવતો સદિશ,જે સદિશો $\vec{a}=3 \hat{i}+\hat{j}-4 \hat{k}$ અને $\vec{b}=6 \hat{i}+5 \hat{j}-2 \hat{k}$ બંનેને લંબ હોય,તે નીચે મુજબ છે:

જો $a \times b = b \times c \ne 0,$ જ્યાં $a, b$ અને $c$ સમતલીય સદિશો હોય,તો કોઈ અદિશ $k$ માટે

$\text{જો } \vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}, \vec{b} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k} \text{ અને } \vec{c} = \hat{i} - \hat{j} \text{ અને જો } 6\hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k} = \lambda_1(\vec{a} \times \vec{b}) + \lambda_2(\vec{b} \times \vec{c}) + \lambda_3(\vec{c} \times \vec{a}) \text{ હોય, તો } (\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3) = $

$A (2,6,2), B (-4,0, \lambda), C (2,3,-1)$ અને $D (4,5,0)$,જ્યાં $|\lambda| \leq 5$,એ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના શિરોબિંદુઓ છે. જો તેનું ક્ષેત્રફળ $18$ ચોરસ એકમ હોય,તો $5-6 \lambda$ ની કિંમત $.........$ થાય.

સદિશ $\vec{a}=-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ ને કાટખૂણે ફેરવવામાં આવે છે,જે તેના માર્ગમાં $y$-અક્ષમાંથી પસાર થાય છે અને પરિણામી સદિશ $\vec{b}$ છે. તો $3 \vec{a}+\sqrt{2} \vec{b}$ નો $\vec{c}=5 \hat{i}+4 \hat{j}+3 \hat{k}$ પરનો પ્રક્ષેપ શોધો.