KCET 2023 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) જ્યારે કોઈ ગ્રહ સૂર્યની આસપાસ ફરે છે,ત્યારે સૂર્ય દ્વારા ગ્રહ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ તેમને જોડતી રેખા પર લાગે છે.
ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = 0$ હોવાથી,સૂર્યની સાપેક્ષ ગ્રહનું કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ સંરક્ષિત રહે છે.
કેપ્લરના બીજા નિયમ મુજબ,ક્ષેત્રીય વેગ (એકમ સમયમાં કપાતું ક્ષેત્રફળ) એ કોણીય વેગમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(dA/dt = L/2m)$.
કોણીય વેગમાન $L$ અને ગ્રહનું દળ $m$ અચળ હોવાથી,ક્ષેત્રીય વેગ અચળ રહે છે.

(D) વાયુના ગતિવાદ મુજબ,આદર્શ વાયુનું દબાણ $P$ એ સંબંધ $P = \frac{2}{3} \frac{N}{V} \langle K \rangle$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\langle K \rangle$ એ અણુઓની સરેરાશ ગતિ ઉર્જા છે.
અહીં કદ $V$ અને અણુઓની સંખ્યા $N$ અચળ હોવાથી,દબાણ $P$ એ અણુઓની સરેરાશ ગતિ ઉર્જાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$P \propto \langle K \rangle$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આદર્શ વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,અને વાયુના અણુઓની rms ઝડપ $v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગુણોત્તર લેતા,આપણને $\frac{v}{v_{\text{rms}}} = \sqrt{\frac{\gamma}{3}}$ મળે છે.
હિલિયમ (એકપરમાણ્વીય વાયુ) માટે,$\gamma_{\text{He}} = \frac{5}{3}$. તેથી,$X = \sqrt{\frac{5/3}{3}} = \sqrt{\frac{5}{9}}$.
ઓક્સિજન (દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ) માટે,$\gamma_{\text{O}_2} = \frac{7}{5}$. તેથી,$X^{\prime} = \sqrt{\frac{7/5}{3}} = \sqrt{\frac{7}{15}}$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{X}{X^{\prime}} = \frac{\sqrt{5/9}}{\sqrt{7/15}} = \sqrt{\frac{5}{9} \times \frac{15}{7}} = \sqrt{\frac{5 \times 5}{3 \times 7}} = \sqrt{\frac{25}{21}} = \frac{5}{\sqrt{21}}$.

$(A)$ આપેલ છે: પદાર્થનું દળ,$m = 10 \,kg$. ગતિક ઘર્ષણાંક,$\mu_k = 0.5$. લગાડેલ સમક્ષિતિજ બળ,$F = 60 \,N$. ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 10 \,m/s^2$.
પદાર્થ પર લાગતું લંબબળ $N = mg = 10 \times 10 = 100 \,N$ છે。
ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k = \mu_k N = 0.5 \times 100 = 50 \,N$ થાય。
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F - f_k = 60 \,N - 50 \,N = 10 \,N$ છે。
તેથી,પદાર્થનો પ્રવેગ $a = F_{net} / m = 10 \,N / 10 \,kg = 1 \,m/s^2$ મળે।

(B) આપેલ છે,તારની સાચી લંબાઈ $l_0 = 3.678 \,cm$.
સાધન $A$ દ્વારા માપન $l_A = 3.5 \,cm$.
સાધન $B$ દ્વારા માપન $l_B = 3.38 \,cm$.
ચોકસાઈ (Accuracy) એ નક્કી કરે છે કે માપેલ મૂલ્ય સાચા મૂલ્યની કેટલું નજીક છે। $A$ માટે નિરપેક્ષ ત્રુટિ $|3.678 - 3.5| = 0.178 \,cm$ છે,અને $B$ માટે $|3.678 - 3.38| = 0.298 \,cm$ છે. $0.178 < 0.298$ હોવાથી,માપન $A$ વધુ સચોટ છે.
ચોકસાઈ (Precision) એ સાધનના રિઝોલ્યુશન અથવા દશાંશ ચિહ્ન પછીના અંકોની સંખ્યા દ્વારા નક્કી થાય છે. સાધન $A$ એક દશાંશ સ્થળ સુધી માપે છે,જ્યારે સાધન $B$ બે દશાંશ સ્થળ સુધી માપે છે. તેથી,સાધન $B$ વધુ ચોક્કસ છે.

(B) મુક્ત સપાટી (બિંદુ $1$) અને છિદ્ર (બિંદુ $2$) વચ્ચે બર્નુલીના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા:
$p_o + \rho g h + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = p_a + \rho g(0) + \frac{1}{2} \rho v^2$
છિદ્ર ખૂબ નાનું હોવાથી $(r \ll \sqrt{A/\pi})$,મુક્ત સપાટીનો વેગ $v_1 \approx 0$ થાય.
તેથી,$p_o + \rho g h = p_a + \frac{1}{2} \rho v^2$
$v$ માટે ગોઠવતા:
$\frac{1}{2} \rho v^2 = (p_o - p_a) + \rho g h$
$v^2 = \frac{2(p_o - p_a)}{\rho} + 2gh$
$v = \sqrt{2gh + \frac{2(p_o - p_a)}{\rho}}$
પ્રવાહનો દર (કદ પ્રવાહ દર) $Q = \text{છિદ્રનું ક્ષેત્રફળ} \times v = \pi r^2 \sqrt{2gh + \frac{2(p_o - p_a)}{\rho}}$.

(A) આપેલ છે: યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2 \times 10^{11} \ Nm^{-2}$,પોઈસન ગુણોત્તર $\sigma = 0.25$,અને પાર્શ્વ વિકૃતિ $\varepsilon_l = 10^{-3}$.
પોઈસન ગુણોત્તર એ પાર્શ્વ વિકૃતિ અને રેખીય વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે:
$\sigma = \frac{\varepsilon_l}{\varepsilon_{long}}$
તેથી,રેખીય વિકૃતિ (longitudinal strain):
$\varepsilon_{long} = \frac{\varepsilon_l}{\sigma} = \frac{10^{-3}}{0.25} = 4 \times 10^{-3}$
સ્થિતિસ્થાપક ઉર્જા ઘનતા $(u)$ નું સૂત્ર:
$u = \frac{1}{2} \times Y \times (\varepsilon_{long})^2$
કિંમતો મૂકતા:
$u = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^{11}) \times (4 \times 10^{-3})^2$
$u = 10^{11} \times 16 \times 10^{-6}$
$u = 16 \times 10^5 \ Jm^{-3}$

(D) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $= v_0$,અંતિમ વેગ $= v$,પ્રવેગ $= a$,સમયગાળો $= t$.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 - v_0^2 = 2as$.
આના પરથી,કાપેલું કુલ અંતર $s$ નીચે મુજબ મળે: $s = \frac{v^2 - v_0^2}{2a}$.
સરેરાશ વેગ એટલે કુલ સ્થાનાંતર ભાગ્યા કુલ સમયગાળો.
$\bar{v} = \frac{s}{t} = \frac{\frac{v^2 - v_0^2}{2a}}{t}$.
તેથી,$\bar{v} = \frac{v^2 - v_0^2}{2at}$.

(C) એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણમાં, કાપેલું કુલ અંતર $2\pi r$ છે, જ્યાં $r$ એ વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા છે. અંતર શૂન્ય ન હોવાથી, સરેરાશ ઝડપ (કુલ અંતર / કુલ સમય) શૂન્ય નથી. તેથી, વિધાન $C$ ખોટું છે.
વર્તુળાકાર ગતિમાં, જો કણ એક પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરે, તો તે તેના પ્રારંભિક સ્થાને પાછો ફરે છે, તેથી સ્થાનાંતર શૂન્ય છે. આમ, વિધાન $B$ સાચું છે.
સરેરાશ વેગ એ કુલ સ્થાનાંતર અને કુલ સમયનો ગુણોત્તર છે. સ્થાનાંતર શૂન્ય હોવાથી, સરેરાશ વેગ પણ શૂન્ય છે. આમ, વિધાન $D$ સાચું છે.
સમાન વર્તુળાકાર ગતિ માટે, પ્રવેગ એ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ છે, જે કેન્દ્ર તરફ હોય છે અને દરેક બિંદુએ શૂન્યતર હોય છે. તેથી, એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ પર સરેરાશ પ્રવેગ પણ શૂન્ય થાય છે. આમ, વિધાન $A$ સાચું છે.

(A) અવમંદિત દોલક માટે ગતિનું સમીકરણ $m \frac{d^2 x}{d t^2} + b \frac{d x}{d t} + k x = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ વિકલ્પ $D$ સાથે મેળ ખાય છે.
અવમંદિત દોલનોની કોણીય આવૃત્તિ $\omega^{\prime} = \sqrt{\frac{k}{m} - \frac{b^2}{4m^2}}$ છે. આ વિકલ્પ $B$ સાથે મેળ ખાય છે.
અવમંદિત દોલકનું સ્થાનાંતર $x(t) = A e^{-\frac{b}{2m}t} \cos(\omega^{\prime}t + \phi)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આને વિકલ્પ $A$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે વિકલ્પ $A$ માં ઘાતાંક $-\frac{b}{m}$ છે,જ્યારે તે $-\frac{b}{2m}$ હોવો જોઈએ. તેથી,વિકલ્પ $A$ ખોટો છે.
અવમંદિત દોલકની ઉર્જા $E(t) = E_0 e^{-\frac{b}{m}t} = \frac{1}{2} k A^2 e^{-\frac{b}{m}t}$ મુજબ ઘટે છે. આ વિકલ્પ $C$ સાથે મેળ ખાય છે.

(C) દ્રઢ પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ ને $I = \sum m_i r_i^2$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તે નીચેના પરિબળો પર આધાર રાખે છે:
$1$. પદાર્થનું દળ.
$2$. ભ્રમણાક્ષની સાપેક્ષમાં દળનું વિતરણ.
$3$. ભ્રમણાક્ષનું સ્થાન અને દિશા.
તેથી,જડત્વની ચાકમાત્રા એ પદાર્થનો આંતરિક ગુણધર્મ નથી,પરંતુ તે પસંદ કરેલી ભ્રમણાક્ષ પર આધાર રાખે છે.

(A) આ સિસ્ટમમાં એક મધ્યસ્થ તકતી અને છ બાહ્ય તકતીઓ છે. આપણે મધ્યસ્થ તકતીના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને છ બાહ્ય તકતીઓની જડત્વની ચાકમાત્રા શોધવાની છે.
દરેક બાહ્ય તકતી માટે,તેના કેન્દ્રનું મધ્યસ્થ અક્ષથી અંતર $d = 2R$ છે.
પોતાની કેન્દ્રીય અક્ષ (સમતલને લંબ) ને અનુલક્ષીને એક તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{1}{2} m R^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,એક બાહ્ય તકતીની મધ્યસ્થ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_{outer} = I_{cm} + m d^2 = \frac{1}{2} m R^2 + m(2R)^2 = \frac{1}{2} m R^2 + 4 m R^2 = \frac{9}{2} m R^2$.
આવી છ બાહ્ય તકતીઓ હોવાથી,કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_{total} = 6 \times I_{outer} = 6 \times \frac{9}{2} m R^2 = 27 m R^2$.

(B) ધારો કે મિશ્રણનું અંતિમ તાપમાન $T$ છે.
બરફ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા = પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા.
બરફ દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા = (બરફને ઓગળવા માટેની ઉષ્મા) + (ઓગળેલા બરફનું તાપમાન $0^{\circ}C$ થી $T$ સુધી વધારવા માટેની ઉષ્મા).
$Q_{gain} = m_i L_f + m_i S_w (T - 0)$
$Q_{gain} = (0.1 \text{ kg} \times 3.36 \times 10^5 \text{ J/kg}) + (0.1 \text{ kg} \times 4.2 \times 10^3 \text{ J/kg K} \times T)$
$Q_{gain} = 33600 + 420 T$
પાણી દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = $m_w S_w (100 - T)$
$Q_{lost} = 0.1 \text{ kg} \times 4.2 \times 10^3 \text{ J/kg K} \times (100 - T)$
$Q_{lost} = 420 (100 - T) = 42000 - 420 T$
મેળવેલી અને ગુમાવેલી ઉષ્માને સરખાવતા:
$33600 + 420 T = 42000 - 420 T$
$840 T = 8400$
$T = 10^{\circ}C$.

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1} = \frac{W}{Q_1}$.
$p-V$ આલેખ પરથી,પ્રક્રિયા $AB$ એ $T_1$ તાપમાને સમતાપી વિસ્તરણ છે અને $CD$ એ $T_2$ તાપમાને સમતાપી સંકોચન છે.
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,$pV = \text{અચળ}$.
બિંદુ $A$ પર: $p_A = 1600 \ kPa$,$V_A = 2.5 \ cm^3$. તેથી,$p_A V_A = 1600 \times 2.5 = 4000$.
બિંદુ $C$ પર: $p_C = 400 \ kPa$,$V_C = 6.25 \ cm^3$. તેથી,$p_C V_C = 400 \times 6.25 = 2500$.
$pV = \mu RT$ હોવાથી,આપણને મળે છે $\frac{T_2}{T_1} = \frac{p_C V_C}{p_A V_A} = \frac{2500}{4000} = \frac{5}{8} = 0.625$.
કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - 0.625 = 0.375$ છે.
આપેલી ઉષ્મા $Q_1 = 8000 \ J$ છે.
થયેલું કાર્ય $W = \eta \times Q_1 = 0.375 \times 8000 = 3000 \ J$.

(B) $\text{આપેલ છે: દડાનું દળ } m = 0.2 \,kg, \text{ઊંચાઈ } h = 10 \,m, \text{ગુરુત્વપ્રવેગ } g = 10 \,ms^{-2} \text{ છે.}
\text{જમીન સાથે અથડાતા પહેલાની કુલ ઉર્જા } E_i = \frac{1}{2}mu^2 + mgh \text{ છે.}
\text{અથડામણ પછી, દડો તેની } 50 \%$ $\text{ઉર્જા ગુમાવે છે, તેથી બાકી રહેલી ઉર્જા } E_f = \frac{E_i}{2} \text{ છે.}
\text{દડો ફરીથી તે જ ઊંચાઈ } h \text{ સુધી ઉપર જાય છે, જેનો અર્થ છે કે તેની મહત્તમ ઊંચાઈએ સ્થિતિ ઉર્જા } mgh \text{ છે.}
\text{બાકી રહેલી ઉર્જાને મહત્તમ ઊંચાઈએ સ્થિતિ ઉર્જા સાથે સરખાવતા: } \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mu^2 + mgh) = mgh.
\frac{1}{2}mu^2 + mgh = 2mgh.
\frac{1}{2}mu^2 = mgh.
u^2 = 2gh.
u = \sqrt{2 \times 10 \times 10} = \sqrt{200} \approx 14.14 \,ms^{-1}.
\text{આપેલા વિકલ્પો મુજબ, પ્રારંભિક વેગ } 14 \,ms^{-1} \text{ છે.}$

(B) આપેલ આલેખ પરથી,આપણે અનુનાદિત કોણીય આવૃત્તિ $\omega_r$ અને હાફ-પાવર આવૃત્તિઓ $\omega_1$ અને $\omega_2$ ઓળખી શકીએ છીએ જ્યાં ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{2} Z_{\text{min}}$ છે.
$1$. અનુનાદિત આવૃત્તિ $\omega_r = 500 \text{ rad/s}$ છે.
$2$. નીચલી હાફ-પાવર આવૃત્તિ $\omega_1 = 400 \text{ rad/s}$ છે.
$3$. ઉપલી હાફ-પાવર આવૃત્તિ $\omega_2 = 600 \text{ rad/s}$ છે.
ક્વોલિટી ફેક્ટર $Q$ ને અનુનાદિત આવૃત્તિ અને બેન્ડવિડ્થના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$Q = \frac{\omega_r}{\omega_2 - \omega_1}$
કિંમતો મૂકતા:
$Q = \frac{500}{600 - 400}$
$Q = \frac{500}{200}$
$Q = 2.5$

(A) $L-C-R$ શ્રેણી અનુનાદ સર્કિટમાં,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_C$ જેટલું હોય છે.
આમ,$X_L = X_C$.
કળા તફાવત $\phi$ એ સૂત્ર $\tan \phi = \frac{X_L - X_C}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$X_L = X_C$ મૂકતા,આપણને $\tan \phi = \frac{0}{R} = 0$ મળે છે.
તેથી,$\phi = 0^{\circ}$.

(C) વ્યાખ્યા મુજબ,આદર્શ ટ્રાન્સફોર્મર એવું છે જેમાં વાઇન્ડિંગના અવરોધ,હિસ્ટરેસિસ અથવા એડી કરંટને કારણે કોઈ ઉર્જાનો વ્યય થતો નથી.
તેથી,પ્રાઈમરી કોઈલમાં આપવામાં આવતો પાવર એ સેકન્ડરી કોઈલમાંથી મળતા પાવર આઉટપુટ જેટલો જ હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$P_{\text{in}} = P_{\text{out}}$.

(C) રધરફોર્ડના $\alpha$-સ્કેટરિંગ પ્રયોગમાં,ઈમ્પેક્ટ પેરામીટર $(b)$ અને સ્કેટરિંગ ખૂણો $(\theta)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$b = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Z e^2 \cot(\theta/2)}{K}$,જ્યાં $K$ એ $\alpha$-કણની ગતિઊર્જા છે.
આ સંબંધ પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $b \propto \cot(\theta/2)$.
જેમ ઈમ્પેક્ટ પેરામીટર $(b)$ વધે છે,તેમ $\cot(\theta/2)$ ની કિંમત વધવી જોઈએ.
કોટેન્જન્ટ વિધેય $0$ અને $\pi$ ની વચ્ચેના ખૂણાઓ માટે ઘટતું વિધેય હોવાથી,$\cot(\theta/2)$ માં વધારો થવાનો અર્થ એ છે કે ખૂણો $(\theta/2)$ ઘટવો જોઈએ.
તેથી,જેમ ઈમ્પેક્ટ પેરામીટર $(b)$ વધે છે,તેમ સ્કેટરિંગ ખૂણો $(\theta)$ ઘટે છે.

(D) આપેલ ઉર્જા સ્તર આકૃતિ પરથી,સંક્રમણ માટે ઉર્જાનો તફાવત નીચે મુજબ છે:
$E_2 - E_1 = \frac{hc}{\lambda_1}$ $(i)$
$E_3 - E_2 = \frac{hc}{\lambda_3}$ (ii)
$E_3 - E_1 = \frac{hc}{\lambda_2}$ (iii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$(E_2 - E_1) + (E_3 - E_2) = \frac{hc}{\lambda_1} + \frac{hc}{\lambda_3}$
$E_3 - E_1 = \frac{hc}{\lambda_1} + \frac{hc}{\lambda_3}$
સમીકરણ (iii) પરથી કિંમત મૂકતા:
$\frac{hc}{\lambda_2} = \frac{hc}{\lambda_1} + \frac{hc}{\lambda_3}$
બંને બાજુ $hc$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{\lambda_2} = \frac{1}{\lambda_1} + \frac{1}{\lambda_3}$
$\frac{1}{\lambda_2} = \frac{\lambda_3 + \lambda_1}{\lambda_1 \lambda_3}$
તેથી,$\lambda_2 = \frac{\lambda_1 \lambda_3}{\lambda_1 + \lambda_3}$.

(D) $1$. જ્યારે $K$ અચળાંક ધરાવતો ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ હાજર હોય,ત્યારે કેપેસિટન્સ $C_1 = \frac{K \varepsilon_0 A}{d}$ થાય છે.
$2$. કેપેસિટર બેટરી સાથે જોડાયેલું રહેતું હોવાથી,પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત અચળ રહે છે,તેથી $V_1 = V_2 = V$ થાય છે.
$3$. જ્યારે ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ થાય છે.
$4$. $K > 1$ હોવાથી,તે સ્પષ્ટ છે કે $C_1 > C_2$ થાય છે.
$5$. બેટરી હજુ પણ જોડાયેલી હોવાથી,પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત બદલાતો નથી,તેથી $V_1 = V_2$ થાય છે.

(B) આ પરિપથમાં $A$ અને $B$ બિંદુઓ વચ્ચે સમાંતરમાં જોડાયેલી બે શાખાઓ છે.
દરેક શાખામાં $1 \mu F$ ના બે કેપેસિટર શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
વચ્ચેનું કેપેસિટર ઉપરના અને નીચેના વાયર વચ્ચે જોડાયેલું છે,પરંતુ તે $A$ અને $B$ વચ્ચેના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવતને એવી રીતે અસર કરતું નથી કે જેથી બાહ્ય શાખાઓનું શ્રેણી-સમાંતર જોડાણ બદલાય.
ડાબી શાખા માટે,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_1$ એ $\frac{1}{C_1} = \frac{1}{1 \mu F} + \frac{1}{1 \mu F} = 2 \mu F^{-1}$ દ્વારા મળે છે,તેથી $C_1 = 0.5 \mu F$.
તે જ રીતે,જમણી શાખા માટે,સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_2 = 0.5 \mu F$ છે.
આ બંને શાખાઓ સમાંતરમાં હોવાથી,કુલ સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{AB} = C_1 + C_2 = 0.5 \mu F + 0.5 \mu F = 1 \mu F$ થાય.

(B) અવરોધ $R = 4.7 k \Omega \pm 5 \%$ તરીકે આપવામાં આવ્યો છે.
તેને ઓહ્મમાં ફેરવતા,આપણને $R = 4700 \Omega \pm 5 \% = 47 \times 10^2 \Omega \pm 5 \%$ મળે છે.
કાર્બન અવરોધકના કલર કોડ મુજબ:
- પ્રથમ અંક $4$ એ પીળા રંગ માટે છે.
- બીજો અંક $7$ એ જાંબલી રંગ માટે છે.
- ગુણક $10^2$ એ લાલ રંગ માટે છે.
- ટોલરન્સ $\pm 5 \%$ એ સોનેરી રંગ માટે છે.
તેથી,પ્રથમ પટ્ટો પીળો,બીજો પટ્ટો જાંબલી,ત્રીજો પટ્ટો (ગુણક) લાલ અને ચોથો પટ્ટો સોનેરી છે.
આમ,ત્રીજા પટ્ટાનો રંગ લાલ છે.

(C) કાર્બન રઝિસ્ટર માટેના પ્રમાણિત કલર કોડ મુજબ:
પ્રથમ બેન્ડ (ગ્રે) અંક $8$ દર્શાવે છે.
બીજો બેન્ડ (લાલ) અંક $2$ દર્શાવે છે.
ત્રીજો બેન્ડ (ગોલ્ડ) ગુણક $10^{-1} = 0.1$ દર્શાવે છે.
ચોથો બેન્ડ (ગોલ્ડ) ટોલરન્સ $\pm 5 \%$ દર્શાવે છે.
તેથી,અવરોધનું મૂલ્ય $R = (82 \times 0.1) \Omega \pm 5 \% = 8.2 \Omega \pm 5 \%$ થાય.

(C) કુલ કોષોની સંખ્યા $n = 10$ છે. દરેક કોષનું emf $E = 2 \, V$ અને આંતરિક અવરોધ $r = 1 \, \Omega$ છે.
જ્યારે બે કોષો ઉલટા જોડાયેલા હોય, ત્યારે તેઓ અન્ય બે કોષોના emf ને રદ કરે છે. આમ, ચોખ્ખા emf માં ફાળો આપતા કોષોની અસરકારક સંખ્યા $n - 2m$ છે, જ્યાં $m$ એ ખોટી રીતે જોડાયેલા કોષોની સંખ્યા છે.
અહીં, $m = 2$, તેથી અસરકારક કોષો = $10 - 2(2) = 6$ કોષો.
ચોખ્ખું emf $E_{\text{net}} = (10 - 2 \times 2) \times E = 6 \times 2 = 12 \, V$.
કુલ આંતરિક અવરોધ એ બધા કોષોના અવરોધનો સરવાળો છે: $R_{\text{int}} = 10 \times r = 10 \times 1 = 10 \, \Omega$.
બાહ્ય અવરોધ $R = 10 \, \Omega$.
કુલ અવરોધ $R_{\text{total}} = R_{\text{int}} + R = 10 + 10 = 20 \, \Omega$.
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરતા, વિદ્યુતપ્રવાહ $I = \frac{E_{\text{net}}}{R_{\text{total}}} = \frac{12}{20} = 0.6 \, A$.

(A) બેટરી દ્વારા $q$ જેટલો વિદ્યુતભાર પરિપથમાં વહન કરવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = \varepsilon q$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $I$ જેટલો પ્રવાહ $t$ સમય માટે વહે છે,તેથી કુલ વહન પામેલો વિદ્યુતભાર $q = I t$ થાય.
તેથી,બેટરી દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = \varepsilon I t$ થાય.
નોંધ: પ્રશ્નમાં આપેલા વિકલ્પો મૂંઝવણભર્યા હોઈ શકે છે. બેટરી દ્વારા કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય $\varepsilon I t$ છે. બાહ્ય અવરોધ $R$ માં ઉષ્મા સ્વરૂપે વ્યય થતી ઉર્જા $I^2 R t$ છે અને આંતરિક અવરોધ $r$ માં $I^2 r t$ છે. કુલ ઉર્જા $I^2(R+r)t = \varepsilon I t$ થાય છે. આ પ્રકારના પ્રશ્નોના પ્રમાણિત સ્વરૂપને જોતા,જો પ્રશ્ન બેટરી દ્વારા કરવામાં આવેલા કાર્ય વિશે પૂછે,તો સાચું સૂત્ર $\varepsilon I t$ છે.

(A) ઇલેક્ટ્રોનની મોબિલિટીનું સૂત્ર: $\mu = \frac{e \tau}{m}$ છે.
તાપમાન અચળ હોવાથી,રિલેક્સેશન સમય $\tau$ અચળ રહે છે,તેથી મોબિલિટી $\mu$ સમાન રહે છે.
વિદ્યુત પ્રવાહ $I$ અને ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ વચ્ચેનો સંબંધ $I = n e A v_d$ છે.
આ સમીકરણ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $v_d = \frac{I}{n e A}$.
અહીં $n$,$e$ અને $A$ અચળ હોવાથી,$v_d \propto I$ થાય છે.
તેથી,જ્યારે પ્રવાહ $I$ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ પણ વધે છે.

(B) ધારો કે અનંત સર્કિટનો સમતુલ્ય અવરોધ $x$ છે. સર્કિટ અનંત હોવાથી,શ્રેણી અને સમાંતરમાં $2 \Omega$ ના અવરોધોનો વધુ એક વિભાગ ઉમેરવાથી કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $x$ બદલાતો નથી.
આ સર્કિટને ઉપરની શાખામાં $2 \Omega$ અવરોધ,નીચેની શાખામાં $2 \Omega$ અવરોધ અને ઊભી $2 \Omega$ અવરોધ સાથે સમાંતરમાં સમતુલ્ય અવરોધ $x$ તરીકે જોઈ શકાય છે.
આમ,સમતુલ્ય અવરોધ $x$ નીચે મુજબ મળે છે:
$x = 2 + 2 + \frac{2x}{2+x}$
$x - 4 = \frac{2x}{2+x}$
$(x - 4)(x + 2) = 2x$
$x^2 + 2x - 4x - 8 = 2x$
$x^2 - 4x - 8 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)}$
$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2}$
$x = \frac{4 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{3}$
અવરોધ ધન હોવો જોઈએ,તેથી આપણે $x = 2 + 2\sqrt{3} \approx 2 + 2(1.732) = 5.464 \Omega$ લઈએ છીએ.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,આપણને $5.5 \Omega$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: સ્ત્રોતનો પાવર $P = 60 \,W$.
પ્રકાશની તરંગલંબાઈ $\lambda = 662.5 \,nm = 6.625 \times 10^{-7} \,m$.
એક ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા ($h = 6.625 \times 10^{-34} \,J \cdot s$ અને $c = 3 \times 10^8 \,m/s$):
$E = \frac{6.625 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{6.625 \times 10^{-7}} = 3 \times 10^{-19} \,J$.
પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા $(n)$ એ કુલ પાવર અને એક ફોટોનની ઉર્જાનો ગુણોત્તર છે:
$n = \frac{P}{E} = \frac{60}{3 \times 10^{-19}} = 20 \times 10^{19} = 2 \times 10^{20}$ ફોટોન/સેકન્ડ.

(A) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $(K_{max})$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$K_{max} = h\nu - \phi_0$
જ્યાં $K_{max} = eV_0$,અને $V_0$ એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ છે,તેથી:
$eV_0 = h\nu - \phi_0$
$e$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$V_0 = \left(\frac{h}{e}\right)\nu - \frac{\phi_0}{e}$
આ સમીકરણની સરખામણી સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે કરતા,જ્યાં $y = V_0$ અને $x = \nu$ છે:
ઢાળ $(m)$ = $\frac{h}{e}$
$y$-અંતઃખંડ $(c)$ = $-\frac{\phi_0}{e}$
કાર્યવિધેય (work function) $\phi_0 = h\nu_0$ હોવાથી,જ્યાં $\nu_0$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ છે,તેથી $y$-અંતઃખંડ થશે:
$c = -\frac{h\nu_0}{e}$
આમ,ઢાળ $\frac{h}{e}$ છે અને $y$-અંતઃખંડ $-\frac{h\nu_0}{e}$ છે.

(D) આપેલ છે: ચોરસ લૂપની બાજુ $L = 2 \,cm = 2 \times 10^{-2} \,m$, ઝડપ $v = 2 \,cm \,s^{-1} = 2 \times 10^{-2} \,m \,s^{-1}$, ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.5 \,T$.
$(i)$ જ્યારે લૂપ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવેશે છે $(0 < t < 1 \,s)$: આગળની ધાર ક્ષેત્રની અંદર છે અને ફ્લક્સ વધે છે. પ્રેરિત emf $\varepsilon = -B L v = -(0.5)(2 \times 10^{-2})(2 \times 10^{-2}) = -2 \times 10^{-4} \,V$ છે. ઘડિયાળના કાંટાની દિશા ધન હોવાથી, પ્રેરિત emf ઋણ છે.
(ii) જ્યારે લૂપ સંપૂર્ણપણે ચુંબકીય ક્ષેત્રની અંદર હોય $(1 < t < 5 \,s)$: લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ અચળ છે, તેથી $\frac{d\phi}{dt} = 0$, જેનો અર્થ છે કે $\varepsilon = 0$.
(iii) જ્યારે લૂપ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળે છે $(5 < t < 6 \,s)$: ફ્લક્સ ઘટે છે. પ્રેરિત emf $\varepsilon = +B L v = +(0.5)(2 \times 10^{-2})(2 \times 10^{-2}) = +2 \times 10^{-4} \,V$ છે.
આમ, આલેખ $t=0$ થી $t=1 \,s$ સુધી ઋણ પલ્સ અને $t=5$ થી $t=6 \,s$ સુધી ધન પલ્સ દર્શાવે છે. આ વિકલ્પ $D$ ને અનુરૂપ છે.

$ (A) $ $\text{આપેલ છે: સળિયાની લંબાઈ } l = 1 \,m, \text{પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક } B_H = 3 \times 10^{-5} \,T, \text{સમય } t = 2 \,s, \text{ગુરુત્વપ્રવેગ } g = 10 \,m/s^2$.
$\text{જ્યારે સળિયો ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ મુક્ત પતન કરે છે, ત્યારે } t \text{ સમયે તેનો વેગ } v = gt \text{ દ્વારા મળે છે।}
\text{કિંમતો મૂકતા: } v = 10 \times 2 = 20 \,m/s$.
$\text{ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ ગતિ કરતા સળિયામાં ઉદ્ભવતું emf } e = B_H v l \text{ સૂત્ર દ્વારા મળે છે।}
\text{કિંમતો મૂકતા: } e = (3 \times 10^{-5} \,T) \times (20 \,m/s) \times (1 \,m)$.
$e = 60 \times 10^{-5} \,V = 6 \times 10^{-4} \,V$.

(B) પ્રવાહમાં ફેરફાર,$\Delta I = 5 \,A - 2 \,A = 3 \,A$.
સમયગાળો,$\Delta t = 0.3 \,s$.
પ્રેરિત emf,$e = 1.0 \,V$.
આત્મ-પ્રેરકત્વને કારણે કોઈલમાં ઉદ્ભવતા emf નું સૂત્ર $e = L \frac{dI}{dt}$ છે.
મૂલ્ય ધ્યાનમાં લેતા,$e = L \frac{\Delta I}{\Delta t}$.
કિંમતો મૂકતા: $1.0 = L \times \frac{3}{0.3}$.
$1.0 = L \times 10$.
$L = \frac{1.0}{10} = 0.1 \,H$.
કારણ કે $1 \,H = 1000 \,mH$,તેથી $L = 0.1 \times 1000 \,mH = 100 \,mH$.

(D) શૂન્યાવકાશમાં પ્રસરતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે,વિદ્યુતક્ષેત્ર $(E)$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $(B)$ ના મૂલ્યો વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$v = \frac{E}{B}$
જ્યાં $v$ એ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની ઝડપ છે.
શૂન્યાવકાશમાં,વિદ્યુતચુંબકીય તરંગની ઝડપ પ્રકાશની ઝડપ $c$ જેટલી હોય છે.
તેથી,ગુણોત્તર:
$\frac{E}{B} = c = 3 \times 10^8 \,ms^{-1}$
આમ,વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્રના મૂલ્યોનો ગુણોત્તર $10^8 \,ms^{-1}$ ના ક્રમનો હોય છે.

(B) જ્યારે ધન વીજભારિત કાચનો સળિયો અવિજભારિત ધાતુના ગોળાની નજીક લાવવામાં આવે છે,ત્યારે ધાતુમાં રહેલા મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન સળિયા તરફ આકર્ષાય છે,જેનાથી વીજભારનું પુનઃવિતરણ (ધ્રુવીભવન) થાય છે.
જો કે,સમગ્ર ગોળો વિદ્યુતની દ્રષ્ટિએ તટસ્થ રહે છે કારણ કે ગોળામાં કોઈ નવો વીજભાર ઉમેરવામાં આવતો નથી કે દૂર કરવામાં આવતો નથી.
ગોળો અવાહક સ્ટેન્ડ પર હોવાથી,વીજભારને જમીન સાથે વહેવા માટે કોઈ માર્ગ મળતો નથી.
જ્યારે કાચનો સળિયો દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પુનઃવિતરિત થયેલા વીજભારો તેમની મૂળ સ્થિતિમાં પાછા ફરે છે,અને ધાતુના ગોળા પરનો કુલ વીજભાર શૂન્ય રહે છે.

(D) ડાયપોલની વિષુવવૃત્તીય રેખા પર $r$ અંતરે આવેલા બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{\vec{p}}{r^3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p} = p \hat{i}$ છે,તેથી બિંદુ $P$ પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{p \hat{i}}{r^3}$ થશે.
$-q$ વિદ્યુતભાર પર લાગતું બળ $\vec{F} = (-q)\vec{E} = (-q) \left( -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{p \hat{i}}{r^3} \right) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{pq}{r^3} \hat{i}$ થશે.
$O$ ની સાપેક્ષે ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ છે. અહીં $-q$ વિદ્યુતભારનો સ્થાન સદિશ $\vec{r} = r \hat{j}$ છે.
તેથી,$\vec{\tau} = (r \hat{j}) \times \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{pq}{r^3} \hat{i} \right) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{pq}{r^2} (\hat{j} \times \hat{i}) = -\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{pq}{r^2} \hat{k}$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,વિકલ્પ $(d)$ સાચો જવાબ છે.

(C) અનંત લંબાઈના સીધા તાર કે જેની રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા $\lambda$ છે,તેનાથી $r$ અંતરે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1$ નું સૂત્ર: $E_1 = \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r} = \frac{2 k \lambda}{r}$ છે,જ્યાં $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$ છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી અર્ધવર્તુળાકાર રીંગના કેન્દ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_2$ નું મૂલ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રના ઘટકોનું સંકલન કરીને મેળવવામાં આવે છે: $E_2 = \frac{2 k \lambda}{r}$.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $E_1 = \frac{2 k \lambda}{r}$ અને $E_2 = \frac{2 k \lambda}{r}$ છે.
તેથી,$E_1 = E_2$ થાય છે.

(D) ઘનની બાજુની લંબાઈ $a = 10 \,cm = 0.1 \,m$ છે. દરેક સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = a^2 = (0.1 \,m)^2 = 0.01 \,m^2$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓ સપાટી $ABCD$ માંથી અંદર પ્રવેશે છે અને સપાટી $EFGH$ માંથી બહાર નીકળે છે.
સપાટી $ABCD$ માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_1 = -E_1 A = -(6 \times 10^3 \,NC^{-1}) \times (0.01 \,m^2) = -60 \,Nm^2C^{-1}$ છે.
સપાટી $EFGH$ માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_2 = E_2 A = (9 \times 10^3 \,NC^{-1}) \times (0.01 \,m^2) = 90 \,Nm^2C^{-1}$ છે.
બાકીની ચાર સપાટીઓમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ શૂન્ય છે કારણ કે વિદ્યુતક્ષેત્ર આ સપાટીઓને સમાંતર છે.
ઘનમાંથી પસાર થતું કુલ ફ્લક્સ $\phi_{net} = \phi_1 + \phi_2 = -60 + 90 = 30 \,Nm^2C^{-1}$ છે.
ગૌસના નિયમ મુજબ, $\phi_{net} = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$.
તેથી, $q_{enclosed} = \phi_{net} \times \varepsilon_0 = 30 \,Nm^2C^{-1} \times 9 \times 10^{-12} \,Fm^{-1} = 270 \times 10^{-12} \,C = 0.27 \times 10^{-9} \,C = 0.27 \,nC$.

(A) બિંદુ $A$ પરનું વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V_A$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ સમાન છે અને જમણી તરફ દિશામાન છે,તેથી વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં સ્થિતિમાન ઘટે છે.
$A$ અને $B$ વચ્ચેનું સમક્ષિતિજ અંતર $x$ છે. તેથી,$A$ અને $B$ વચ્ચેનો સ્થિતિમાનનો તફાવત $\Delta V = V_B - V_A = -E \cdot x$ થાય.
આમ,$B$ પરનું સ્થિતિમાન $V_B = V_A - Ex$ થશે.
કોઈ બિંદુ પર $V$ સ્થિતિમાન ધરાવતા વિદ્યુતભાર $q$ ની સ્થિતિઊર્જા $U = qV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,બિંદુ $B$ પર વિદ્યુતભારની સ્થિતિઊર્જા $U_B = q V_B = q(V_A - Ex)$ થશે.

(D) આપેલ છે: શંટ અવરોધ $S = 10 \, \Omega$, ગેલ્વેનોમીટર અવરોધ $G = 90 \, \Omega$, કુલ રેન્જ $i = 5 \, mA = 5 \times 10^{-3} \, A$.
શૂન્યની એક બાજુએ કાપાની સંખ્યા $50$ છે.
ફુલ-સ્કેલ ડિફ્લેક્શન સમયે ગેલ્વેનોમીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i_g$ શંટના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $i_g = \frac{S}{S+G} \times i$.
$i_g = \left( \frac{10}{10+90} \right) \times (5 \times 10^{-3} \, A) = \left( \frac{10}{100} \right) \times 5 \times 10^{-3} \, A = 0.1 \times 5 \times 10^{-3} \, A = 5 \times 10^{-4} \, A$.
પ્રવાહ સંવેદનશીલતા એટલે એકમ પ્રવાહ દીઠ કાપાની સંખ્યા: $\text{સંવેદનશીલતા} = \frac{\text{કાપાની સંખ્યા}}{i_g}$.
$\text{સંવેદનશીલતા} = \frac{50}{5 \times 10^{-4} \, A} = 10 \times 10^4 \, div/A = 1 \times 10^5 \, div/A$.

(A) એક સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં મૂકવામાં આવેલા $M$ ચુંબકીય મોમેન્ટ ધરાવતા ચુંબકીય ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau$ નું સૂત્ર $\tau = M B \sin \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ ડાયપોલ અક્ષ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ટોર્ક શૂન્ય હોવા માટે,આપણે $\tau = 0$ લેવું પડે.
સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા,આપણને $M B \sin \theta = 0$ મળે છે.
અહીં $M$ અને $B$ શૂન્ય નથી,તેથી $\sin \theta = 0$ હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $\theta = 0^{\circ}$ અથવા $\theta = 180^{\circ}$.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,સાચો ખૂણો $0^{\circ}$ છે.

(A) સાયક્લોટ્રોનમાં,વીજભારિત કણ લંબચુંબકીય ક્ષેત્રને કારણે ડીઝ ($D_1$ અને $D_2$) ની અંદર વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે. કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ છે,જે હંમેશા વેગ $\vec{v}$ ને લંબ હોય છે. કારણ કે બળ વેગને લંબ છે,તે કણ પર કોઈ કાર્ય કરતું નથી,અને તેથી,ડીઝની અંદર કણની ઝડપ અચળ રહે છે.
જ્યારે કણ ડીઝ વચ્ચેની ગેપમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તે ઓસિલેટિંગ વિદ્યુતક્ષેત્રને આધીન હોય છે. આ વિદ્યુતક્ષેત્ર કણ પર વિદ્યુત બળ લગાડે છે,જે તેના પર કાર્ય કરે છે,જેનાથી તેની ગતિ ઊર્જા અને ઝડપમાં વધારો થાય છે. આમ,વીજભારિત કણની ઝડપ માત્ર $D_1$ અને $D_2$ વચ્ચેની ગેપમાં જ વધે છે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $R = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે કણ $y = \frac{2mv}{qB}$ રેખા પર ગતિ કરે છે,જે $y = 2R$ ને અનુરૂપ છે.
જ્યારે $t = 0$ સમયે વિદ્યુતક્ષેત્ર બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કણ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ કરે છે.
આ વર્તુળાકાર ગતિનો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi m}{qB}$ છે.
$t = \frac{\pi m}{qB} = \frac{T}{2}$ સમયે,કણ અર્ધવર્તુળ પૂર્ણ કરે છે.
શરૂઆતમાં,કણ $(0, 2R)$ પર છે અને $\vec{v} = v\hat{i}$ વેગ સાથે ગતિ કરે છે.
$t = \frac{T}{2}$ સમય પછી,કણ $\vec{v} = -v\hat{i}$ વેગ સાથે $(0, -2R)$ સ્થાન પર પહોંચે છે.
ઉગમબિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = m(\vec{r} \times \vec{v})$ છે.
$t = \frac{T}{2}$ સમયે,સ્થાન સદિશ $\vec{r} = -2R\hat{j}$ અને વેગ $\vec{v} = -v\hat{i}$ છે.
$\vec{L} = m[(-2R\hat{j}) \times (-v\hat{i})] = 2mRv(\hat{j} \times \hat{i}) = -2mRv\hat{k}$.
કોણીય વેગમાનનું મૂલ્ય $L = 2mRv = 2m (\frac{mv}{qB}) v = \frac{2m^2v^2}{qB}$ છે.
વેલોસિટી સિલેક્ટરની શરત મુજબ,$v = \frac{E}{B}$.
$v$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $L = \frac{2m^2E^2}{qB^3}$ મળે છે. જોકે,આપેલ વિકલ્પો મુજબ ગણતરી કરતા $4mRv$ લેતા જવાબ $\frac{4m^2E^2}{qB^3}$ મળે છે,જે વિકલ્પ $B$ છે.

(D) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણની ત્રિજ્યા $r$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$r = \frac{mv}{Bq}$
અહીં વેગ $v$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ બંને કણો માટે સમાન હોવાથી,ત્રિજ્યા એ દળ અને વિદ્યુતભારના ગુણોત્તરના સમપ્રમાણમાં છે:
$r \propto \frac{m}{q}$
પ્રોટોન માટે,દળ $m_p = m$ અને વિદ્યુતભાર $q_p = e$ છે.
આલ્ફા-કણ માટે,દળ $m_\alpha = 4m$ અને વિદ્યુતભાર $q_\alpha = 2e$ છે.
પ્રોટોનના પથની ત્રિજ્યા $(r_p)$ અને આલ્ફા-કણના પથની ત્રિજ્યા $(r_\alpha)$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{r_p}{r_\alpha} = \frac{m_p}{m_\alpha} \times \frac{q_\alpha}{q_p}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{r_p}{r_\alpha} = \frac{m}{4m} \times \frac{2e}{e} = \frac{1}{4} \times 2 = \frac{1}{2}$
આમ,ગુણોત્તર $1: 2$ છે.

(D) આપેલ છે:
પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક,$B_H = 3 \times 10^{-5} \,T$
નમનકોણ,$\delta = 45^{\circ}$
આપણે જાણીએ છીએ કે સમક્ષિતિજ ઘટક $B_H$ અને પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$B_H = B \cos \delta$
તેથી,પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચે મુજબ મળે:
$B = \frac{B_H}{\cos \delta}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{3 \times 10^{-5}}{\cos 45^{\circ}}$
કારણ કે $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી:
$B = \frac{3 \times 10^{-5}}{1 / \sqrt{2}}$
$B = 3 \sqrt{2} \times 10^{-5} \,T$

(B) ક્યુરી-વેઇસના નિયમ મુજબ, ક્યુરી તાપમાન $T_C$ થી ઉપર ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થની મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટી $\chi$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: $\chi = \frac{C}{T - T_C}$, જ્યાં $C$ એ ક્યુરી અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે।
આ પદાર્થો માટે ક્યુરી અચળાંક $C$ લગભગ સમાન હોવાથી, $\chi \propto \frac{1}{T - T_C}$ થાય।
તેથી, કોબાલ્ટની મેગ્નેટિક સસેપ્ટિબિલિટીનો આયર્ન સાથેનો ગુણોત્તર:
$\frac{\chi_{\text{cobalt}}}{\chi_{\text{iron}}} = \frac{T - (T_C)_{\text{iron}}}{T - (T_C)_{\text{cobalt}}}$
અહીં $T = 1600 \,K$, $(T_C)_{\text{cobalt}} = 1400 \,K$, અને $(T_C)_{\text{iron}} = 1000 \,K$ આપેલ છે।
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\chi_{\text{cobalt}}}{\chi_{\text{iron}}} = \frac{1600 - 1000}{1600 - 1400} = \frac{600}{200} = 3$.

(B) આપેલ છે: $Q = 5.5 \ MeV$,પિતૃ ન્યુક્લિયસનો દળ ક્રમાંક $A = 220$.
પ્રક્રિયા છે: ${}^{220}Y \longrightarrow {}^{216}X + {}^{4}_{2}\alpha$.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,આલ્ફા કણનું વેગમાન $(p_{\alpha})$ અને ડોટર ન્યુક્લિયસનું વેગમાન $(p_{X})$ સમાન હોય છે: $p_{\alpha} = p_{X}$.
ગતિઊર્જા $K$ અને વેગમાન $p$ વચ્ચેનો સંબંધ $K = \frac{p^2}{2m}$ છે.
તેથી,$\frac{K_{\alpha}}{K_{X}} = \frac{M_{X}}{M_{\alpha}} = \frac{216}{4} = 54$.
આથી,$K_{X} = \frac{K_{\alpha}}{54}$.
કુલ $Q$ મૂલ્ય એ ગતિઊર્જાનો સરવાળો છે: $Q = K_{\alpha} + K_{X}$.
$5.5 = K_{\alpha} + \frac{K_{\alpha}}{54} = K_{\alpha} \left( 1 + \frac{1}{54} \right) = K_{\alpha} \left( \frac{55}{54} \right)$.
$K_{\alpha} = 5.5 \times \frac{54}{55} = 0.1 \times 54 = 5.4 \ MeV$.

(A) $\beta^{-}$ ક્ષયમાં,પ્રક્રિયા દળ ક્રમાંક અને પરમાણુ ક્રમાંકના સંરક્ષણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
${ }_{83}^{210} Bi \longrightarrow { }_{84}^{210} X + { }_{-1}^{0} e + \bar{\nu}$
અહીં,સંતતિ ન્યુક્લિયસ $X$ માટે દળ ક્રમાંક $A = 210$ અને પરમાણુ ક્રમાંક $Z = 84$ છે.
ન્યુટ્રોનની સંખ્યા $N$ ની ગણતરી $N = A - Z$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
$N = 210 - 84 = 126$.

(B) આપેલ છે કે, અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 3$ વર્ષ.
આપણે જાણીએ છીએ કે સમય $t$ પર એક્ટિવિટી $R$ એ $R = R_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$.
આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે $R = \frac{R_0}{5}$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{R_0}{5} = R_0 e^{-\lambda t} \Rightarrow \frac{1}{5} = e^{-\lambda t}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા: $\ln(1/5) = -\lambda t \Rightarrow \ln(5) = \lambda t$.
તેથી, $t = \frac{\ln 5}{\lambda} = \frac{\ln 5}{\ln 2 / T_{1/2}} = \frac{\ln 5}{\ln 2} \times T_{1/2}$.
$\ln 5 \approx 1.609$ અને $\ln 2 \approx 0.693$ લેતા:
$t = \frac{1.609}{0.693} \times 3 \approx 2.3218 \times 3 \approx 6.965$ વર્ષ.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા, $t \approx 7$ વર્ષ.

(B) ક્રાંતિકોણ $C$ નું સૂત્ર $\sin C = \frac{1}{\mu}$ છે,જ્યાં $\mu$ એ પાતળા માધ્યમની સાપેક્ષ ઘટ્ટ માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે.
કોશીના સમીકરણ મુજબ,વક્રીભવનાંક $\mu$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,તેથી જે રંગની તરંગલંબાઈ સૌથી વધુ હોય તેનો વક્રીભવનાંક સૌથી ઓછો હોય છે.
દ્રશ્ય પ્રકાશમાં લાલ રંગની તરંગલંબાઈ સૌથી વધુ હોવાથી,લાલ રંગ માટે વક્રીભવનાંક $\mu$ સૌથી ઓછો હોય છે.
ક્રાંતિકોણ $C = \arcsin(1/\mu)$ એ વક્રીભવનાંકના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,સૌથી ઓછો $\mu$ એ મહત્તમ ક્રાંતિકોણ આપે છે.
તેથી,લાલ રંગ માટે ક્રાંતિકોણ મહત્તમ હોય છે.

(D) આપેલ છે,${ }^a \mu_g = \frac{3}{2}$,$f_{\text{air}} = f$.
પાણીનો વક્રીભવનાંક,${ }^a \mu_w = \frac{4}{3}$.
લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જ્યારે લેન્સ હવામાં હોય:
$\frac{1}{f} = (\mu_g - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \left( \frac{3}{2} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \quad \dots(i)$
જ્યારે લેન્સને પાણીમાં ડુબાડવામાં આવે છે,ત્યારે કેન્દ્રલંબાઈ $f_w$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{f_w} = \left( \frac{\mu_g}{\mu_w} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \left( \frac{3/2}{4/3} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \left( \frac{9}{8} - 1 \right) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) = \frac{1}{8} \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right) \quad \dots(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{f_w}{f} = \frac{1/2}{1/8} = 4 \implies f_w = 4f$.
કેન્દ્રલંબાઈમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર:
$\frac{f_w - f}{f} \times 100 = \frac{4f - f}{f} \times 100 = 300 \%$ વધારો.

(C) આપેલ છે: કેન્દ્રલંબાઈ $f = 10 \,cm$, પદાર્થની ઝડપ $v_o = |du/dt| = 1 \,ms^{-1}$, પ્રતિબિંબની ઝડપ $v_i = |dv/dt| = 1 \,ms^{-1}$.
લેન્સના સૂત્ર મુજબ: $1/f = 1/v - 1/u$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $0 = -1/v^2 (dv/dt) + 1/u^2 (du/dt)$.
આથી: $dv/dt = (v^2/u^2) (du/dt)$.
પ્રતિબિંબની ઝડપ અને પદાર્થની ઝડપ સમાન હોવાથી, $|dv/dt| = |du/dt|$, તેથી $v^2/u^2 = 1$, જેનો અર્થ છે કે $|v| = |u|$.
બહિર્ગોળ લેન્સ દ્વારા બનતા વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે, મોટવણી $m = v/u = -1$ (કારણ કે પ્રતિબિંબ ઉલટું અને વાસ્તવિક છે).
લેન્સના સૂત્ર $1/f = 1/v - 1/u$ માં $v = -u$ મૂકતા:
$1/f = 1/(-u) - 1/u = -2/u$.
$u = -2f = -2(10) = -20 \,cm$.
ઓપ્ટિકલ સેન્ટરથી અંતર $20 \,cm$ છે.

(C) બહિર્ગોળ અરીસાની સામે મૂકવામાં આવેલા કોઈપણ વાસ્તવિક પદાર્થ માટે,અરીસાથી પદાર્થના અંતરને ધ્યાનમાં લીધા વિના,તે હંમેશા આભાસી,ચત્તું અને નાનું પ્રતિબિંબ રચે છે.

(A) $p-n$ જંકશન ડાયોડમાં,સેમિકન્ડક્ટરમાં પ્રવાહ ઇલેક્ટ્રોન અને હોલ્સ બંનેને કારણે હોય છે.
જોકે,બાહ્ય કનેક્ટિંગ વાયરમાં,પ્રવાહ સંપૂર્ણપણે ઇલેક્ટ્રોનિક હોય છે.
જ્યારે ડાયોડ ફોરવર્ડ બાયસમાં હોય છે,ત્યારે પોટેન્શિયલ તફાવતને કારણે મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન બાહ્ય સર્કિટ (કનેક્ટિંગ વાયર) દ્વારા નેગેટિવ ટર્મિનલથી પોઝિટિવ ટર્મિનલ તરફ વહે છે.
તેથી,કનેક્ટિંગ વાયરમાં વહેતા વિદ્યુતભાર વાહકો મુક્ત ઇલેક્ટ્રોન છે.

(A) $LED$ નો એનર્જી ગેપ $E_g = 2.4 \ eV$ આપેલ છે.
આ ઉર્જાને જૂલમાં ફેરવવા માટે,આપણે તેને $1.6 \times 10^{-19} \ J/eV$ વડે ગુણીએ છીએ:
$E = 2.4 \times 1.6 \times 10^{-19} \ J = 3.84 \times 10^{-19} \ J$.
ફોટોનનું વેગમાન $p$ તેની ઉર્જા $E$ સાથે સૂત્ર $p = \frac{E}{c}$ દ્વારા સંબંધિત છે,જ્યાં $c$ એ પ્રકાશની ગતિ $(3 \times 10^8 \ m/s)$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$p = \frac{3.84 \times 10^{-19}}{3 \times 10^8} \ kg \ ms^{-1}$.
$p = 1.28 \times 10^{-27} \ kg \ ms^{-1}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) આપેલ લોજિક સર્કિટમાં એક $NOR$ ગેટ અને એક $AND$ ગેટ છે,જેનું આઉટપુટ $NAND$ ગેટમાં જાય છે. ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે.
$1$. $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{A+B}$ છે.
$2$. $AND$ ગેટનું આઉટપુટ $A \cdot B$ છે.
$3$. આ બંને આઉટપુટ $NAND$ ગેટમાં જાય છે. અંતિમ આઉટપુટ $Y$ નીચે મુજબ મળે છે:
$Y = \overline{(\overline{A+B}) \cdot (A \cdot B)}$
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$\overline{X \cdot Y} = \overline{X} + \overline{Y}$:
$Y = \overline{(\overline{A+B})} + \overline{(A \cdot B)}$
$Y = (A+B) + (\overline{A} + \overline{B})$
$Y = (A + \overline{A}) + (B + \overline{B})$
કારણ કે $A + \overline{A} = 1$ અને $B + \overline{B} = 1$:
$Y = 1 + 1 = 1$
આમ,ઇનપુટ $A$ અને $B$ ના તમામ સંયોજનો માટે આઉટપુટ $Y$ હંમેશા $1$ રહે છે. તેથી,ટ્રુથ ટેબલમાં આઉટપુટ $Y$ માટેની તમામ હરોળમાં $1$ હશે. આપેલ વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(D) ફૂલ-વેવ રેક્ટિફાયરમાં, એક ડાયોડ ઇનપુટ એસી વોલ્ટેજના ધન અર્ધ-ચક્ર દરમિયાન વહન કરે છે અને બીજો ડાયોડ ઋણ અર્ધ-ચક્ર દરમિયાન વહન કરે છે.
એક પૂર્ણ ચક્રમાં એક ધન અર્ધ-ચક્ર અને એક ઋણ અર્ધ-ચક્ર હોય છે, તેથી દરેક ડાયોડ દરેક પૂર્ણ ચક્રમાં એકવાર વહન કરે છે.
આપેલ એસી સપ્લાયની આવૃત્તિ $50 \,Hz$ છે, જેનો અર્થ છે કે $1 \,s$ માં $50$ પૂર્ણ ચક્રો થાય છે.
તેથી, ડાયોડ $D_1$ એ $1 \,s$ માં $50$ વખત વહન કરશે.

(A) $I$ તીવ્રતા ધરાવતો અધ્રુવીભૂત પ્રકાશ જ્યારે પ્રથમ પોલેરોઇડમાંથી પસાર થાય છે,ત્યારે તેની તીવ્રતા $\frac{I}{2}$ બને છે.
મેલસના નિયમ મુજબ,બીજા પોલેરોઇડમાંથી બહાર આવતા પ્રકાશની તીવ્રતા $I^{\prime}$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$I^{\prime} = I_{0} \cos^2 \theta$
જ્યાં $I_{0} = \frac{I}{2}$ એ બીજા પોલેરોઇડ પર આપાત થતા પ્રકાશની તીવ્રતા છે અને $\theta$ એ પાસ અક્ષો વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે $I^{\prime} = \frac{I}{4}$,તેથી:
$\frac{I}{4} = \frac{I}{2} \cos^2 \theta$
$\cos^2 \theta = \frac{1}{2}$
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\theta = 45^{\circ}$

(D) હાઈગન્સના સિદ્ધાંત મુજબ,તરંગઅગ્ર પરનો દરેક બિંદુ ગૌણ તરંગિકાઓના ઉદગમ તરીકે વર્તે છે.
સમાંગ અને સમદિગ્ધર્મી માધ્યમમાં,આ ગૌણ તરંગિકાઓ તમામ દિશાઓમાં તે માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ જેટલી જ ઝડપથી ગતિ કરે છે.
કારણ કે પ્રાથમિક તરંગઅગ્ર પોતે માધ્યમમાં પ્રકાશના વેગથી પ્રસરણ પામીને બને છે,તેથી પ્રાથમિક તરંગઅગ્રનો વેગ ગૌણ તરંગિકાઓના વેગ જેટલો જ હોય છે.

(C) આપેલ છે કે,$I_0 = 2 \times 10^{-2} \ W \ m^{-2}$ અને $x = \frac{\beta}{3}$.
$YDSE$ માં,$x$ અંતરે પથ તફાવત $\Delta x = \frac{xd}{D}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ હોવાથી,$\frac{d}{D} = \frac{\lambda}{\beta}$ થાય.
પથ તફાવતના સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $\Delta x = x \times \frac{\lambda}{\beta} = \frac{\beta}{3} \times \frac{\lambda}{\beta} = \frac{\lambda}{3}$.
કળા તફાવત $\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2\pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
પરિણામી તીવ્રતા $I = 4I_0 \cos^2\left(\frac{\Delta \phi}{2}\right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $I = 4I_0 \cos^2\left(\frac{2\pi/3}{2}\right) = 4I_0 \cos^2\left(\frac{\pi}{3}\right)$.
$\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$I = 4I_0 \times (\frac{1}{2})^2 = 4I_0 \times \frac{1}{4} = I_0$.
તેથી,$I = 2 \times 10^{-2} \ W \ m^{-2}$.