KCET 2013 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) ધારો કે $d$ એ સંયુક્ત સંખ્યા $a$ નો સૌથી નાનો ભાજક છે જેથી $1 < d < a$ થાય.
જો $d > \sqrt{a}$ હોય,તો બીજો ભાજક $a/d$ પણ $\sqrt{a}$ કરતા મોટો હોવો જોઈએ કારણ કે $a/d < a/\sqrt{a} = \sqrt{a}$.
આ સૂચવે છે કે $a/d$ એ $d$ કરતા નાનો ભાજક છે,જે $d$ એ $1$ કરતા મોટો સૌથી નાનો ભાજક છે તેવી ધારણાનો વિરોધાભાસ કરે છે.
તેથી,સૌથી નાનો ભાજક $d$ એ $d \leq \sqrt{a}$ નું પાલન કરે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^{3}+a x^{2}+b x+c=0$ છે.
ધારો કે બીજ $(\alpha, \beta, \gamma)$ છે. તેઓ $AP$ માં હોવાથી,$2 \beta = \alpha + \gamma$ થાય.
બીજના સરવાળા પરથી,$\alpha + \beta + \gamma = -a$.
$\alpha + \gamma = 2 \beta$ મૂકતા,$3 \beta = -a$,તેથી $\beta = -\frac{a}{3}$.
$\beta$ એ બીજ હોવાથી,તે સમીકરણનું સમાધાન કરે છે:
$(-\frac{a}{3})^{3} + a(-\frac{a}{3})^{2} + b(-\frac{a}{3}) + c = 0$.
$-\frac{a^{3}}{27} + \frac{a^{3}}{9} - \frac{ab}{3} + c = 0$.
$27$ વડે ગુણતા,$-a^{3} + 3a^{3} - 9ab + 27c = 0$.
$2a^{3} - 9ab + 27c = 0$.
તેથી,$2a^{3} - 9ab = -27c$.

(C) ધારો કે $z = \frac{1+2i}{1-(1-i)^{2}}$.
પ્રથમ,છેદનું સાદું રૂપ આપતા: $(1-i)^{2} = 1^{2} + i^{2} - 2i = 1 - 1 - 2i = -2i$.
આ કિંમત $z$ માં મૂકતા:
$z = \frac{1+2i}{1 - (-2i)} = \frac{1+2i}{1+2i} = 1$.
આમ,$z = 1 + 0i$.
માનાંક $|z| = \sqrt{1^{2} + 0^{2}} = 1$.
કોણાંક $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{0}{1}\right) = 0$.

(D) આપેલ છે,$2x = -1 + i\sqrt{3}$.
$x = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} = \omega$,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું ઘનમૂળ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $1 + \omega = -\omega^2$ અને $1 + \omega^2 = -\omega$.
પદાવલિમાં $x = \omega$ મૂકતા:
$(1 - \omega^2 + \omega)^6 - (1 - \omega + \omega^2)^6$
$= (-\omega^2 - \omega^2)^6 - (-\omega - \omega)^6$
$= (-2\omega^2)^6 - (-2\omega)^6$
$= 2^6 \cdot \omega^{12} - 2^6 \cdot \omega^6$
$\omega^3 = 1$ હોવાથી,$\omega^6 = 1$ અને $\omega^{12} = 1$ થાય.
$= 64(1) - 64(1) = 0$.

(B) શ્રેણીનું $n$-મું પદ $T_n = \frac{n}{(n+1)(n+2)} \cdot 2^n$ છે.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{n}{(n+1)(n+2)} = \frac{2}{n+2} - \frac{1}{n+1}$.
તેથી,$T_n = \left( \frac{2}{n+2} - \frac{1}{n+1} \right) 2^n = \frac{2^{n+1}}{n+2} - \frac{2^n}{n+1}$.
ધારો કે $f(n) = \frac{2^n}{n+1}$. તો $T_n = f(n+1) - f(n)$.
સરવાળો $S_n = \sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n (f(k+1) - f(k)) = f(n+1) - f(1)$.
અહીં $f(n+1) = \frac{2^{n+1}}{n+2}$ અને $f(1) = \frac{2^1}{1+1} = 1$ હોવાથી,$S_n = \frac{2^{n+1}}{n+2} - 1$ મળે છે.

(C) ધારો કે $n = 10^{10}$. પદાવલિ $n(n+1)(n+2)$ બને છે.
આ $3$ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર છે.
કોઈપણ $k$ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર હંમેશા $k!$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
તેથી,$n(n+1)(n+2)$ એ $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,પદાવલિ $6$ વડે સંપૂર્ણપણે વિભાજ્ય હોવાથી,શેષ $0$ મળે છે.

(A) આપણને આપેલ સરવાળો $S = \sum_{k=0}^{n} (k+1) C_{k} = 576$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{k=0}^{n} C_{k} x^{k} = (1+x)^{n}$.
$x$ વડે ગુણતા,$\sum_{k=0}^{n} C_{k} x^{k+1} = x(1+x)^{n}$ મળે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\sum_{k=0}^{n} (k+1) C_{k} x^{k} = (1+x)^{n} + nx(1+x)^{n-1}$.
$x=1$ મુકતા,$\sum_{k=0}^{n} (k+1) C_{k} = (1+1)^{n} + n(1)(1+1)^{n-1} = 2^{n} + n \cdot 2^{n-1}$.
આનું સાદું રૂપ $2^{n-1}(2+n) = 576$ થાય.
આપણે $576 = 64 \times 9 = 2^{6} \times 9 = 2^{7-1}(7+2)$ લખી શકીએ.
$2^{n-1}(n+2) = 2^{7-1}(7+2)$ ની સરખામણી કરતા,$n=7$ મળે છે.

(D) આપેલ પદાવલિ $P = \log(\sin 1^{\circ}) \cdot \log(\sin 2^{\circ}) \cdot \dots \cdot \log(\sin 90^{\circ}) \cdot \dots \cdot \log(\sin 179^{\circ})$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 90^{\circ} = 1$.
તેથી,પદ $\log(\sin 90^{\circ}) = \log(1) = 0$ થાય.
આ પદાવલિ એ $\log(\sin 90^{\circ})$ સહિતના પદોનો ગુણાકાર હોવાથી,સમગ્ર ગુણાકાર $0$ થશે કારણ કે કોઈપણ સંખ્યાનો $0$ સાથેનો ગુણાકાર $0$ થાય છે.
આમ,મૂલ્ય $0$ છે.

(C) આપેલ છે,$\sin x - \sin y = \frac{1}{2} \dots (i)$ અને $\cos x - \cos y = 1 \dots (ii)$.
સરવાળા-ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \sin \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{1}{2} \dots (iii)$
$-2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \sin \left(\frac{x-y}{2}\right) = 1 \dots (iv)$
$(iv)$ ને $(iii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{-2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \sin \left(\frac{x-y}{2}\right)}{2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \sin \left(\frac{x-y}{2}\right)} = \frac{1}{1/2}$
$-\tan \left(\frac{x+y}{2}\right) = 2 \implies \tan \left(\frac{x+y}{2}\right) = -2$.
સૂત્ર $\tan(2\theta) = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\theta = \frac{x+y}{2}$:
$\tan(x+y) = \frac{2 \tan \left(\frac{x+y}{2}\right)}{1 - \tan^2 \left(\frac{x+y}{2}\right)} = \frac{2(-2)}{1 - (-2)^2} = \frac{-4}{1 - 4} = \frac{-4}{-3} = \frac{4}{3}$.

(A) આપેલ છે,$\sin x - \cos x = \sqrt{2}$
બંને બાજુ $\sqrt{2}$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = 1$
$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin x \cos \frac{\pi}{4} - \cos x \sin \frac{\pi}{4} = 1$
નિત્યસમ $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = 1$
$\sin \theta = 1$ હોવાથી $\theta = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$ થાય:
$x - \frac{\pi}{4} = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$
$x = 2n\pi + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}$
$x = 2n\pi + \frac{3\pi}{4}$

(A) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $(\cos^{2} \alpha - 1) x^{2} - 2 \cos^{2} \alpha \cdot xy + \sin^{2} \alpha y^{2} = 0$ છે.
તેને વ્યાપક સમીકરણ $ax^{2} + 2hxy + by^{2} = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$a = \cos^{2} \alpha - 1 = -\sin^{2} \alpha$,
$h = -\cos^{2} \alpha$,
$b = \sin^{2} \alpha$.
ધારો કે $\theta$ એ રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો છે. ખૂણા માટેનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{2 \sqrt{h^{2} - ab}}{a + b} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$a + b = -\sin^{2} \alpha + \sin^{2} \alpha = 0$.
છેદ $0$ હોવાથી,$\tan \theta$ ની કિંમત અવ્યાખ્યાયિત છે,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 90^{\circ}$.
આમ,રેખાઓ પરસ્પર લંબ છે.

(B) ધારો કે $\triangle OAB$ ના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$A(\cos \theta, \sin \theta)$ અને $B(\sin \theta, -\cos \theta)$ છે.
ધારો કે $\triangle OAB$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(h, k)$ છે.
ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્રનું સૂત્ર $(h, k) = (\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$ છે.
આપેલ યામો મૂકતા:
$h = \frac{0 + \cos \theta + \sin \theta}{3} \Rightarrow 3h = \cos \theta + \sin \theta$ ... $(i)$
$k = \frac{0 + \sin \theta - \cos \theta}{3} \Rightarrow 3k = \sin \theta - \cos \theta$ ... (ii)
બિંદુપથ શોધવા માટે,સમીકરણ $(i)$ અને (ii) નો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(3h)^{2} + (3k)^{2} = (\cos \theta + \sin \theta)^{2} + (\sin \theta - \cos \theta)^{2}$
$9h^{2} + 9k^{2} = (\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta + 2\sin \theta \cos \theta) + (\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta - 2\sin \theta \cos \theta)$
$9h^{2} + 9k^{2} = 1 + 1 = 2$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $9x^{2} + 9y^{2} = 2$ મળે છે.

(D) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $3 \cos \theta \cdot x + 4 \sin \theta \cdot y = 12$ છે.
$12$ વડે ભાગતા,આપણને અંતઃખંડ સ્વરૂપ મળે છે:
$\frac{x}{4 / \cos \theta} + \frac{y}{3 / \sin \theta} = 1$.
આ રેખા યામ અક્ષોને $A\left(\frac{4}{\cos \theta}, 0\right)$ અને $B\left(0, \frac{3}{\sin \theta}\right)$ બિંદુઓમાં છેદે છે.
$\triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ:
$\Delta = \frac{1}{2} \times |OA| \times |OB| = \frac{1}{2} \times \left| \frac{4}{\cos \theta} \right| \times \left| \frac{3}{\sin \theta} \right| = \frac{6}{|\sin \theta \cos \theta|} = \frac{12}{|\sin 2 \theta|}$.
ક્ષેત્રફળ ન્યૂનતમ હોવા માટે,$|\sin 2 \theta|$ મહત્તમ હોવું જોઈએ. કારણ કે $|\sin 2 \theta|$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે,તેથી ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ:
$\Delta_{\min} = \frac{12}{1} = 12$.

(A) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $6x - 7y + 8 + \lambda(3x - y + 5) = 0$ છે.
$x$ અને $y$ ના પદોને ગોઠવતા:
$(6 + 3\lambda)x - (7 + \lambda)y + (8 + 5\lambda) = 0$.
રેખા $y$-અક્ષને સમાંતર હોય ત્યારે $y$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ અને $x$ નો સહગુણક શૂન્ય ન હોવો જોઈએ.
$y$ ના સહગુણકને શૂન્ય લેતા:
$-(7 + \lambda) = 0$
$\lambda + 7 = 0$
$\lambda = -7$.
$\lambda = -7$ માટે $x$ નો સહગુણક ચકાસતા:
$6 + 3(-7) = 6 - 21 = -15 \neq 0$.
આમ,રેખા $x = \text{અચળ}$ સ્વરૂપની છે,જે $y$-અક્ષને સમાંતર છે.

(A) આપેલ છે કે,વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(3,4)$ છે.
વર્તુળ $5x+12y-11=0$ રેખાને સ્પર્શે છે,તેથી વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ એ કેન્દ્ર $(3,4)$ થી રેખા પરના લંબ અંતર જેટલી થાય.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $ax+by+c=0$ પરના લંબ અંતર $d$ નું સૂત્ર $d = \frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$r = \frac{|5(3)+12(4)-11|}{\sqrt{5^2+12^2}}$
$r = \frac{|15+48-11|}{\sqrt{25+144}}$
$r = \frac{|52|}{\sqrt{169}}$
$r = \frac{52}{13} = 4$.
વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $= \pi(4)^2 = 16\pi$ ચોરસ એકમ.

(B) વર્તુળનું સમીકરણ $2x^{2} + 2y^{2} - 3x + 4y = 0$ છે. $2$ વડે ભાગતા,આપણને પ્રમાણિત સ્વરૂપ મળે છે: $x^{2} + y^{2} - \frac{3}{2}x + 2y = 0$.
અહીં,$AB$ એ બિંદુ $B(2, 1)$ થી વર્તુળ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ દર્શાવે છે.
બિંદુ $(x_{1}, y_{1})$ થી વર્તુળ $x^{2} + y^{2} + 2gx + 2fy + c = 0$ પરના સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + 2gx_{1} + 2fy_{1} + c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$B(2, 1)$ ના યામ વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$AB = \sqrt{(2)^{2} + (1)^{2} - \frac{3}{2}(2) + 2(1)}$
$AB = \sqrt{4 + 1 - 3 + 2}$
$AB = \sqrt{4} = 2 \text{ એકમ}$.

(D) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}+3x+2y-8=0$ છે.
તેને વ્યાપક સમીકરણ $x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $g=\frac{3}{2}$,$f=1$,અને $c=-8$ મળે છે.
$y$-અક્ષ દ્વારા બનતા અંતઃખંડની લંબાઈનું સૂત્ર $2\sqrt{f^{2}-c}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
લંબાઈ $= 2\sqrt{(1)^{2}-(-8)}$
$= 2\sqrt{1+8}$
$= 2\sqrt{9}$
$= 2 \times 3 = 6$.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}+2x-2y+7=0$ છે.
તેને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=1$,$f=-1$,અને $c=7$ મળે છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^{2}+f^{2}-c}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$r = \sqrt{1^{2}+(-1)^{2}-7} = \sqrt{1+1-7} = \sqrt{-5}$.
અહીં ત્રિજ્યા $\sqrt{-5}$ છે,જે કાલ્પનિક સંખ્યા છે,તેથી આપેલ સમીકરણ વાસ્તવિક વર્તુળ દર્શાવતું નથી.
તેથી,કોઈ પણ વાસ્તવિક વર્તુળ આ કાલ્પનિક વર્તુળને લંબચ્છેદી રીતે છેદી શકે નહીં.
આમ,આવા વાસ્તવિક વર્તુળોની સંખ્યા $0$ છે.

(D) આપેલ છે કે,પરવલયનું સમીકરણ $y^{2}=4x$ છે.
$y^{2}=4ax$ સાથે સરખાવતા,$a=1$ મળે છે.
પરવલયના સ્પર્શકનું ઢાળ સ્વરૂપમાં સમીકરણ $y=mx+\frac{a}{m}$ છે.
$a=1$ મૂકતા,$y=mx+\frac{1}{m} \quad (i)$ મળે છે.
સ્પર્શક $x$-અક્ષની ધન દિશા સાથે $\frac{\pi}{4}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી ઢાળ $m = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.
સમીકરણ $(i)$ માં $m=1$ મૂકતા,$y = (1)x + \frac{1}{1}$ મળે છે.
આથી $y = x + 1$,એટલે કે $x - y + 1 = 0$ થાય.

(A) આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ છે.
અહીં,$a^{2}=4$ અને $b^{2}=3$.
ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e_{1}=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1-\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$ છે.
આપેલ અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{3}=1$ છે.
અહીં,$a^{2}=4$ અને $b^{2}=3$.
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e_{2}=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1+\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{7}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{2}$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતાઓના વર્ગોનો સરવાળો $e_{1}^{2}+e_{2}^{2} = (\frac{1}{2})^{2} + (\frac{\sqrt{7}}{2})^{2} = \frac{1}{4} + \frac{7}{4} = \frac{8}{4} = 2$ થાય.

(D) ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ ના સહાયક વર્તુળનું સમીકરણ $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ છે.
સહાયક વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ $= \pi a^{2}$.
ઉપવલયનું ક્ષેત્રફળ $= \pi ab$.
પ્રશ્ન મુજબ,સહાયક વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ ઉપવલયના ક્ષેત્રફળ કરતાં બમણું છે:
$\pi a^{2} = 2(\pi ab)$
$a^{2} = 2ab$
$a = 2b \Rightarrow b = \frac{a}{2}$.
ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e$ નીચે મુજબ છે:
$e = \sqrt{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}}$
$e = \sqrt{1 - \frac{(a/2)^{2}}{a^{2}}}$
$e = \sqrt{1 - \frac{a^{2}/4}{a^{2}}}$
$e = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(A) અતિવલયનું આપેલ સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ છે.
નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $= 2ae$.
નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર $= \frac{2a}{e}$.
આપેલ ગુણોત્તર $3: 2$ છે,તેથી $\frac{2ae}{2a/e} = \frac{3}{2}$.
આ સાદું રૂપ આપતા $e^{2} = \frac{3}{2}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે અતિવલય માટે $e^{2} = 1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}$.
$e^{2} = \frac{3}{2}$ મૂકતા,$1 + \frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{3}{2}$.
$\frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\frac{b}{a} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,જેનો અર્થ છે કે $a: b = \sqrt{2}: 1$.

(C) આપેલ લક્ષ: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\log _{e}(1+x)}{3^{x}-1}$
આ $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપમાં છે.
અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા ($L$'Hospital નો નિયમ):
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx}(\log _{e}(1+x))}{\frac{d}{dx}(3^{x}-1)}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{1+x}}{3^{x} \cdot \log _{e} 3}$
$x = 0$ મૂકતા:
$= \frac{\frac{1}{1+0}}{3^{0} \cdot \log _{e} 3} = \frac{1}{1 \cdot \log _{e} 3} = \frac{1}{\log _{e} 3}$
$\frac{1}{\log _{a} b} = \log _{b} a$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$= \log _{3} e$

(B) આપેલ વિધાન $(p \wedge \sim q) \rightarrow r$ છે.
શરતી વિધાન $A \rightarrow B$ નું પ્રતિ-વિધાન $\sim A \rightarrow \sim B$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
અહીં,$A = (p \wedge \sim q)$ અને $B = r$ છે.
તેથી,પ્રતિ-વિધાન $\sim (p \wedge \sim q) \rightarrow \sim r$ થશે.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim (p \wedge \sim q) \equiv \sim p \vee \sim (\sim q) \equiv \sim p \vee q$.
આમ,પ્રતિ-વિધાન $(\sim p) \vee q \rightarrow (\sim r)$ છે.

(C) આપેલ છે,$150 x \equiv 35 \pmod{31}$.
પ્રથમ,સામાન્ય અવયવ $5$ વડે ભાગીને સમરૂપતાને સરળ બનાવો (કારણ કે $\gcd(5, 31) = 1$):
$30 x \equiv 7 \pmod{31}$.
આપણે $30$ ને $-1 \pmod{31}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ:
$-x \equiv 7 \pmod{31}$.
બંને બાજુ $-1$ વડે ગુણતા:
$x \equiv -7 \pmod{31}$.
ધન શેષ શોધવા માટે,$31$ ઉમેરો:
$x \equiv -7 + 31 \pmod{31} \Rightarrow x \equiv 24 \pmod{31}$.
આમ,$x = 24$ એ આપેલ સમરૂપતાનું સમાધાન કરે છે.

(B) આપેલ છે કે,$\triangle ABC$ માં,$\frac{\cos A}{a}=\frac{\cos B}{b}=\frac{\cos C}{c} \dots (i)$
સાઇનના નિયમ મુજબ,$\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c} \dots (ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા,આપણને $\tan A = \tan B = \tan C$ મળે છે.
ત્રિકોણના ખૂણાઓ હોવાથી,$A = B = C$.
તેથી,$\triangle ABC$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
$A+B+C = 180^{\circ}$ હોવાથી,$3A = 180^{\circ}$,એટલે કે $A = B = C = 60^{\circ}$.
સમબાજુ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ છે.
$a = 2$ આપેલ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{3}}{4} (2)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4 = \sqrt{3}$ થાય.

(C) આપેલ વક્રો $x^{2}+y^{2}=4x$ અને $x^{2}+y^{2}=8$ છે.
પ્રથમ વક્ર $x^{2}+y^{2}=4x$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 4$ મળે,તેથી $\frac{dy}{dx} = \frac{2-x}{y}$.
બિંદુ $(2,2)$ પર,ઢાળ $m_{1} = \frac{2-2}{2} = 0$.
બીજા વક્ર $x^{2}+y^{2}=8$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ મળે,તેથી $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$.
બિંદુ $(2,2)$ પર,ઢાળ $m_{2} = -\frac{2}{2} = -1$.
વક્રો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \left| \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}} \right|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\tan \theta = \left| \frac{0 - (-1)}{1 + (0)(-1)} \right| = \left| \frac{1}{1} \right| = 1$.
તેથી $\tan \theta = 1$ હોવાથી,$\theta = 45^{\circ}$ મળે.
આપેલ છે કે $\theta = \sin^{-1} a$,તેથી $\sin^{-1} a = 45^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $a = \sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(C) ધારો કે દરેક શિરોબિંદુનો અંશ (degree) $K$ છે.
આલેખ નિયમિત હોવાથી,દરેક શિરોબિંદુનો અંશ $K$ સમાન છે.
આલેખમાં તમામ શિરોબિંદુઓના અંશનો સરવાળો એ શિરોબિંદુઓની સંખ્યા અને દરેક શિરોબિંદુના અંશના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
અહીં $15$ શિરોબિંદુઓ છે અને તેમના અંશનો સરવાળો $60$ છે,તેથી:
$15 \times K = 60$
બંને બાજુ $15$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$K = \frac{60}{15} = 4$
તેથી,દરેક શિરોબિંદુનો અંશ $4$ છે.

(A) આપેલ છે કે જૂથ $(G, *)$ માં $a^{2} = e$ છે.
બંને બાજુ $a^{-1}$ ($a$ નો વ્યસ્ત) વડે ગુણતા:
$a^{-1} * (a * a) = a^{-1} * e$
$(a^{-1} * a) * a = a^{-1}$
$e * a = a^{-1}$
$a = a^{-1}$

(D) આપેલ છે કે,જૂથ $(Z, *)$ માં,ક્રિયા $a * b = a + b - n$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
પ્રથમ,આપણે તટસ્થ ઘટક $e$ શોધીએ છીએ જેથી $a * e = a$ થાય.
$a + e - n = a \implies e = n$.
હવે,$(-n)$ નો વ્યસ્ત શોધવા માટે,ધારો કે વ્યસ્ત $x$ છે જેથી $(-n) * x = e$ થાય.
$e = n$ હોવાથી,$(-n) * x = n$.
ક્રિયાની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા:
$(-n) + x - n = n$.
$x - 2n = n$.
$x = 3n$.
આમ,$(-n)$ નો વ્યસ્ત $3n$ છે.

(C) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ એ $n$ કક્ષાના ચોરસ શ્રેણિકો છે જેથી $A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B)$ થાય.
શ્રેણિક ગુણાકારના વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$(A-B)(A+B) = A(A+B) - B(A+B) = A^{2} + AB - BA - B^{2}$.
આને ડાબી બાજુ સાથે સરખાવતા:
$A^{2} - B^{2} = A^{2} + AB - BA - B^{2}$.
બંને બાજુથી $A^{2} - B^{2}$ બાદ કરતા,આપણને મળે છે:
$0 = AB - BA$.
તેથી,$AB = BA$.
આ સૂચવે છે કે શ્રેણિકો $A$ અને $B$ ક્રમનો નિયમ પાળે છે (Commute).

(D) આપેલ છે,$C = \left[\begin{array}{rr}2 & 3 \\ 5 & -1\end{array}\right] = A+B$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ચોરસ શ્રેણિક $C$ ને એક સંમિત શ્રેણિક $A$ અને વિસંમિત શ્રેણિક $B$ ના સરવાળા તરીકે અનન્ય રીતે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $A = \frac{1}{2}(C+C^T)$ અને $B = \frac{1}{2}(C-C^T)$.
પ્રથમ,$C$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક $C^T$ શોધો: $C^T = \left[\begin{array}{rr}2 & 5 \\ 3 & -1\end{array}\right]$.
હવે,$B = \frac{1}{2}(C-C^T)$ ની ગણતરી કરો:
$B = \frac{1}{2} \left( \left[\begin{array}{rr}2 & 3 \\ 5 & -1\end{array}\right] - \left[\begin{array}{rr}2 & 5 \\ 3 & -1\end{array}\right] \right)$
$B = \frac{1}{2} \left[\begin{array}{rr}2-2 & 3-5 \\ 5-3 & -1-(-1)\end{array}\right]$
$B = \frac{1}{2} \left[\begin{array}{rr}0 & -2 \\ 2 & 0\end{array}\right]$
$B = \left[\begin{array}{rr}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right]$.

(D) આપેલ છે કે,$n=3$ કક્ષાના (વાસ્તવિક) શ્રેણિક $A$ ના એડજોઈન્ટનો નિશ્ચાયક $|\operatorname{adj} A| = 25$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$ ગુણધર્મ છે.
$n=3$ મૂકતા,આપણને $|\operatorname{adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2$ મળે છે.
તેથી,$|A|^2 = 25$,જેનો અર્થ છે કે $|A| = \pm 5$.
આપણે શ્રેણિકના વ્યસ્તનો નિશ્ચાયક $|A^{-1}|$ શોધવાનો છે.
$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $|A^{-1}| = \frac{1}{\pm 5} = \pm 0.2$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે,$A = \begin{bmatrix} \alpha & 2 \\ 2 & \alpha \end{bmatrix}$.
સૌ પ્રથમ,આપણે $A$ નો નિશ્ચાયક શોધીએ:
$|A| = \begin{vmatrix} \alpha & 2 \\ 2 & \alpha \end{vmatrix} = \alpha^{2} - 4 \quad (i)$.
આપણને આપેલ છે કે $|A^{3}| = 125$.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મ $|A^{n}| = |A|^{n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|A|^{3} = 125$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા:
$|A| = \sqrt[3]{125} = 5$.
હવે,$|A| = 5$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$5 = \alpha^{2} - 4$.
$\alpha^{2} = 5 + 4 = 9$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\alpha = \pm 3$.

(B) આપેલ છે,$A = \begin{vmatrix} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{vmatrix}$
પ્રથમ હારને સાપેક્ષ વિસ્તરણ કરતા:
$A = x(x^2 - 1) - 1(x - 1) + 1(1 - x)$
$A = x^3 - x - x + 1 + 1 - x$
$A = x^3 - 3x + 2$
$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$\frac{dA}{dx} = 3x^2 - 3$ ... $(i)$
વળી,આપેલ છે કે $B = \begin{vmatrix} x & 1 \\ 1 & x \end{vmatrix} = x^2 - 1$
$3$ વડે ગુણતા:
$3B = 3(x^2 - 1) = 3x^2 - 3$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ પરથી,આપણને મળે છે:
$\frac{dA}{dx} = 3B$

(B) ધારો કે આપેલ પદાવલિ $E = \cos \left(2 \cos ^{-1} \frac{1}{5}+\sin ^{-1} \frac{1}{5}\right)$ છે.
આપણે પદાવલિને $E = \cos \left(\cos ^{-1} \frac{1}{5} + \left(\cos ^{-1} \frac{1}{5} + \sin ^{-1} \frac{1}{5}\right)\right)$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ.
નિત્યસમ $\cos ^{-1} x + \sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\cos ^{-1} \frac{1}{5} + \sin ^{-1} \frac{1}{5} = \frac{\pi}{2}$ મળે છે.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $E = \cos \left(\cos ^{-1} \frac{1}{5} + \frac{\pi}{2}\right)$ મળે છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos \left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $E = -\sin \left(\cos ^{-1} \frac{1}{5}\right)$ મળે છે.
ધારો કે $\theta = \cos ^{-1} \frac{1}{5}$,તો $\cos \theta = \frac{1}{5}$ થાય.
$\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta}$ હોવાથી,$\sin \theta = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{25}} = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$ મળે.
તેથી,$E = -\frac{2 \sqrt{6}}{5}$.

(A) આપણે સૂત્ર $\tan ^{-1} A - \tan ^{-1} B = \tan ^{-1} \left( \frac{A-B}{1+AB} \right)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
ધારો કે $A = \frac{x}{y}$ અને $B = \frac{x-y}{x+y}$.
તેથી,$\tan ^{-1} \left( \frac{x}{y} \right) - \tan ^{-1} \left( \frac{x-y}{x+y} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{x}{y} - \frac{x-y}{x+y}}{1 + \frac{x}{y} \cdot \frac{x-y}{x+y}} \right)$.
અંશનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{x(x+y) - y(x-y)}{y(x+y)} = \frac{x^2 + xy - xy + y^2}{y(x+y)} = \frac{x^2 + y^2}{y(x+y)}$.
છેદનું સાદુંરૂપ આપતા: $1 + \frac{x^2 - xy}{y(x+y)} = \frac{xy + y^2 + x^2 - xy}{y(x+y)} = \frac{x^2 + y^2}{y(x+y)}$.
આમ,પદાવલિ $\tan ^{-1} \left( \frac{\frac{x^2 + y^2}{y(x+y)}}{\frac{x^2 + y^2}{y(x+y)}} \right) = \tan ^{-1}(1)$ બને છે.
કારણ કે $\tan ^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$,તેથી અંતિમ મૂલ્ય $\frac{\pi}{4}$ છે.

(D) આપેલ વિધેય $f(x) = \sin [x]$ માટે $-\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{\pi}{4} \approx 0.785$ અને $-\frac{\pi}{4} \approx -0.785$.
$x$ માટેનો અંતરાલ $(-0.785, 0.785)$ છે.
$x \in [0, 0.785)$ માટે,મહત્તમ પૂર્ણાંક કિંમત $[x] = 0$ થાય. તેથી,$f(x) = \sin(0) = 0$.
$x \in (-0.785, 0)$ માટે,મહત્તમ પૂર્ણાંક કિંમત $[x] = -1$ થાય. તેથી,$f(x) = \sin(-1) = -\sin(1)$.
આમ,વિધેયનો વિસ્તાર $\{0, -\sin 1\}$ છે.

(C) આપેલ છે,$f(x) = \begin{cases} x, & \text{જો } x \text{ અસંમેય હોય} \\ 0, & \text{જો } x \text{ સંમેય હોય} \end{cases}$.
કોઈપણ $a \neq 0$ માટે,સંમેય સંખ્યાઓની શ્રેણી $r_n \to a$ અને અસંમેય સંખ્યાઓની શ્રેણી $i_n \to a$ ધ્યાનમાં લો.
ત્યારે $\lim_{n \to \infty} f(r_n) = \lim_{n \to \infty} 0 = 0$ અને $\lim_{n \to \infty} f(i_n) = \lim_{n \to \infty} i_n = a$.
કારણ કે $a \neq 0$ માટે $0 \neq a$ છે,તેથી $a \neq 0$ માટે લક્ષ $\lim_{x \to a} f(x)$ અસ્તિત્વ ધરાવતું નથી.
$x=0$ આગળ,$\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ કારણ કે કોઈપણ શ્રેણી $x_n \to 0$ માટે,$f(x_n)$ કાં તો $x_n$ (જો $x_n$ અસંમેય હોય) અથવા $0$ (જો $x_n$ સંમેય હોય) છે,જે બંને $0$ ને અનુલક્ષે છે.
કારણ કે $f(0) = 0$,તેથી વિધેય માત્ર $x=0$ આગળ સતત છે.

(A) આપેલ છે,$f(x) = \begin{cases} 2a - x & \text{જ્યારે } -a < x < a \\ 3x - 2a & \text{જ્યારે } a \leq x \end{cases}$.
પ્રથમ,$x = a$ આગળ સાતત્ય ચકાસો:
ડાબી બાજુની લક્ષ: $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^-} (2a - x) = 2a - a = a$.
જમણી બાજુની લક્ષ: $\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^+} (3x - 2a) = 3a - 2a = a$.
વિધેયનું મૂલ્ય: $f(a) = 3(a) - 2a = a$.
અહીં $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$ હોવાથી,વિધેય $x = a$ આગળ સતત છે.
હવે,$x = a$ આગળ વિકલનીયતા ચકાસો:
ડાબી બાજુનું વિકલન: $Lf'(a) = \frac{d}{dx}(2a - x) = -1$.
જમણી બાજુનું વિકલન: $Rf'(a) = \frac{d}{dx}(3x - 2a) = 3$.
અહીં $Lf'(a) \neq Rf'(a)$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ એ $x = a$ આગળ વિકલનીય નથી.

(B) આપેલ છે,$f(x)=\cos ^{-1}\left\{\frac{2}{\sqrt{13}} \cos x-\frac{3}{\sqrt{13}} \sin x\right\}$.
ધારો કે $\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{13}}$ અને $\sin \alpha = \frac{3}{\sqrt{13}}$.
તેથી,$f(x)=\cos ^{-1}(\cos \alpha \cos x - \sin \alpha \sin x)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$f(x) = \cos ^{-1}(\cos(x+\alpha)) = x+\alpha$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(x+\alpha) = 1 + 0 = 1$.
તેથી,$f^{\prime}(0.5) = 1$.

(B) આપેલ છે,$x+y=\tan ^{-1} y$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$1 + \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+y^2} \cdot \frac{dy}{dx}$
પદોને ગોઠવતા:
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{1}{1+y^2} - 1 \right) = 1$
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{1 - 1 - y^2}{1+y^2} \right) = 1$
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{-y^2}{1+y^2} \right) = 1$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1+y^2}{y^2} = -\left( \frac{1}{y^2} + 1 \right)$
હવે,ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{d}{dx} (y^{-2} + 1)$
$\frac{d^2y}{dx^2} = -(-2y^{-3}) \cdot \frac{dy}{dx}$
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2}{y^3} \cdot \frac{dy}{dx}$
આને આપેલ સમીકરણ $\frac{d^2y}{dx^2} = f(y) \frac{dy}{dx}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f(y) = \frac{2}{y^3}$ મળે છે.

(A) આપેલ વક્ર $x y^{n} = a$ છે.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$x \cdot n y^{n-1} \cdot \frac{dy}{dx} + y^{n} = 0$
$\Rightarrow y^{n-1} [x n \frac{dy}{dx} + y] = 0$
કારણ કે $y \neq 0$,તેથી $x n \frac{dy}{dx} + y = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{nx}$.
સબટેન્જન્ટની લંબાઈ $|\frac{y}{dy/dx}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\frac{dy}{dx}$ ની કિંમત મૂકતા:
સબટેન્જન્ટની લંબાઈ $= |\frac{y}{-y/nx}| = |nx| = |n| |x|$.
આમ,સબટેન્જન્ટની લંબાઈ એબ્સિસા $x$ ના પ્રમાણમાં હોવાથી,$|n|$ એક અચળાંક હોવો જોઈએ.
તેથી,$n$ કોઈપણ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યા હોઈ શકે છે.

(A) આપેલ છે,$f(x) = \frac{x}{3} + \frac{3}{x}$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે:
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{3} - \frac{3}{x^2}$.
વિધેય ઘટતું હોવા માટે,$f^{\prime}(x) < 0$ હોવું જોઈએ.
$\frac{1}{3} - \frac{3}{x^2} < 0$
$\frac{1}{3} < \frac{3}{x^2}$
$x^2 < 9$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $|x| < 3$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $x \in (-3, 3)$.
નોંધો કે $x=0$ આગળ વિધેય અવ્યાખ્યાયિત છે,પરંતુ અંતરાલ $(-3, 3)$ એ અસમતા $x^2 < 9$ માટે પ્રમાણિત ઉકેલ છે.

(D) ધારો કે લંબચોરસની લંબાઈ $a$ અને પહોળાઈ $b$ છે. લંબચોરસનો વિકર્ણ એ વર્તુળનો વ્યાસ છે,તેથી $d = 2r = 2(2) = 4$.
વિકર્ણ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$a^2 + b^2 = d^2 = 4^2 = 16$.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $A = a \cdot b$ છે.
કારણ કે $b = \sqrt{16 - a^2}$,તેથી $A = a \sqrt{16 - a^2}$.
$A$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $A^2 = f(a) = a^2(16 - a^2) = 16a^2 - a^4$ ને મહત્તમ કરીએ.
$a$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $f'(a) = 32a - 4a^3$.
$f'(a) = 0$ લેતા,આપણને $4a(8 - a^2) = 0$ મળે છે. $a > 0$ હોવાથી,$a^2 = 8$,તેથી $a = 2\sqrt{2}$.
ત્યારબાદ $b = \sqrt{16 - 8} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $A = (2\sqrt{2})(2\sqrt{2}) = 8 \text{ ચોરસ એકમ}$ થાય.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{\cos ^{n-1} x}{\sin ^{n+1} x} d x$.
આપણે સંકલ્યને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$I = \int \frac{\cos ^{n-1} x}{\sin ^{n-1} x \cdot \sin^2 x} d x = \int \cot^{n-1} x \cdot \csc^2 x d x$.
ધારો કે $t = \cot x$.
તેથી $dt = -\csc^2 x d x$,જેનો અર્થ છે કે $\csc^2 x d x = -dt$.
આ કિંમતોને સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int t^{n-1} (-dt) = -\int t^{n-1} dt$.
સંકલન માટે ઘાતનો નિયમ $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ વાપરતા:
$I = -\frac{t^n}{n} + C$.
$t = \cot x$ પાછું મૂકતા:
$I = -\frac{\cot^n x}{n} + C$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{x-1}{(x+1)^{3}} e^{x} d x$.
અંશને $(x+1)-2$ તરીકે લખતા:
$I = \int \frac{(x+1)-2}{(x+1)^{3}} e^{x} d x$
$I = \int \left( \frac{x+1}{(x+1)^{3}} - \frac{2}{(x+1)^{3}} \right) e^{x} d x$
$I = \int \frac{e^{x}}{(x+1)^{2}} d x - \int \frac{2 e^{x}}{(x+1)^{3}} d x$.
હવે,પ્રથમ સંકલન $\int \frac{e^{x}}{(x+1)^{2}} d x$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$u = \frac{1}{(x+1)^{2}}$ અને $dv = e^{x} dx$ લેતા:
$du = -2(x+1)^{-3} dx$ અને $v = e^{x}$.
$\int \frac{e^{x}}{(x+1)^{2}} d x = \frac{e^{x}}{(x+1)^{2}} - \int e^{x} \left( -\frac{2}{(x+1)^{3}} \right) d x$
$= \frac{e^{x}}{(x+1)^{2}} + \int \frac{2 e^{x}}{(x+1)^{3}} d x$.
આ કિંમત $I$ માં મૂકતા:
$I = \left( \frac{e^{x}}{(x+1)^{2}} + \int \frac{2 e^{x}}{(x+1)^{3}} d x \right) - \int \frac{2 e^{x}}{(x+1)^{3}} d x$
$I = \frac{e^{x}}{(x+1)^{2}} + C$.

(D) આપેલ છે,$\frac{(x+1)^{2}}{x^{3}+x} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^{2}+1} \dots (i)$
બંને બાજુ $x(x^{2}+1)$ વડે ગુણતા:
$(x+1)^{2} = A(x^{2}+1) + (Bx+C)x$
$x^{2} + 2x + 1 = Ax^{2} + A + Bx^{2} + Cx$
$x^{2} + 2x + 1 = (A+B)x^{2} + Cx + A$
બંને બાજુ $x^{2}$,$x$ અને અચળ પદના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$A+B = 1$
$C = 2$
$A = 1$
$A=1$ ને $A+B=1$ માં મૂકતા,$1+B=1$,તેથી $B=0$ મળે છે.
હવે,$\sin^{-1} A + \tan^{-1} B + \sec^{-1} C$ ની ગણતરી કરતા:
$\sin^{-1}(1) + \tan^{-1}(0) + \sec^{-1}(2)$
$= \frac{\pi}{2} + 0 + \frac{\pi}{3}$
$= \frac{3\pi + 2\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

(D) આપણને $I_{1} = \int_{0}^{\pi / 2} x \sin x \, dx$ અને $I_{2} = \int_{0}^{\pi / 2} x \cos x \, dx$ આપેલ છે.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
$I_{1}$ માટે,$u = x$ અને $dv = \sin x \, dx$ લેતા,$du = dx$ અને $v = -\cos x$ મળે.
$I_{1} = [x(-\cos x)]_{0}^{\pi / 2} - \int_{0}^{\pi / 2} (-\cos x) \, dx = [0 - 0] + [\sin x]_{0}^{\pi / 2} = 1 - 0 = 1$.
$I_{2}$ માટે,$u = x$ અને $dv = \cos x \, dx$ લેતા,$du = dx$ અને $v = \sin x$ મળે.
$I_{2} = [x \sin x]_{0}^{\pi / 2} - \int_{0}^{\pi / 2} \sin x \, dx = [\frac{\pi}{2} \sin(\frac{\pi}{2}) - 0] - [-\cos x]_{0}^{\pi / 2} = \frac{\pi}{2} - [-(0 - 1)] = \frac{\pi}{2} - 1$.
બંને પરિણામોનો સરવાળો કરતા,$I_{1} + I_{2} = 1 + (\frac{\pi}{2} - 1) = \frac{\pi}{2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ધારો કે $I = \int_{-1}^{2} \frac{|x|}{x} d x$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|x| = \begin{cases} x, & \text{જો } x \geq 0 \\ -x, & \text{જો } x < 0 \end{cases}$.
$x = 0$ આગળ સંકલનનું વિભાજન કરતા,આપણને મળે છે:
$I = \int_{-1}^{0} \frac{-x}{x} d x + \int_{0}^{2} \frac{x}{x} d x$
$I = \int_{-1}^{0} (-1) d x + \int_{0}^{2} (1) d x$
$I = -[x]_{-1}^{0} + [x]_{0}^{2}$
$I = -(0 - (-1)) + (2 - 0)$
$I = -(1) + 2$
$I = 1$.

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{\pi} \frac{\cos ^{4} x}{\sin ^{4} x+\cos ^{4} x} d x$.
અહીં $f(\pi - x) = \frac{\cos^4(\pi - x)}{\sin^4(\pi - x) + \cos^4(\pi - x)} = \frac{(-\cos x)^4}{(\sin x)^4 + (-\cos x)^4} = \frac{\cos^4 x}{\sin^4 x + \cos^4 x} = f(x)$ હોવાથી,આપણે ગુણધર્મ $\int_{0}^{2a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$ નો ઉપયોગ કરીશું.
તેથી,$I = 2 \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos ^{4} x}{\sin ^{4} x+\cos ^{4} x} d x \dots (i)$.
ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = 2 \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos ^{4}(\frac{\pi}{2}-x)}{\sin ^{4}(\frac{\pi}{2}-x)+\cos ^{4}(\frac{\pi}{2}-x)} d x = 2 \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin ^{4} x}{\cos ^{4} x+\sin ^{4} x} d x \dots (ii)$.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2I = 2 \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos^4 x + \sin^4 x}{\sin^4 x + \cos^4 x} dx = 2 \int_{0}^{\pi / 2} 1 dx = 2[x]_{0}^{\pi / 2} = 2(\frac{\pi}{2}) = \pi$.
આમ,$I = \frac{\pi}{2}$.

(C) જરૂરી ક્ષેત્રફળ સંકલન $\int_{0}^{3\pi} y \, dx = \int_{0}^{3\pi} \sin \left(\frac{x}{3}\right) \, dx$ દ્વારા મળે છે.
ધારો કે $t = \frac{x}{3}$,તેથી $dx = 3 \, dt$.
જ્યારે $x = 0$ હોય,ત્યારે $t = 0$.
જ્યારે $x = 3\pi$ હોય,ત્યારે $t = \pi$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{\pi} \sin(t) \cdot 3 \, dt = 3 \int_{0}^{\pi} \sin(t) \, dt$.
$= 3 [-\cos(t)]_{0}^{\pi}$.
$= -3 [\cos(\pi) - \cos(0)]$.
$= -3 [-1 - 1] = -3(-2) = 6$.
આમ,ક્ષેત્રફળ $6$ ચોરસ એકમ છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left(y^{\prime \prime}\right)^{5}+4 \cdot \frac{\left(y^{\prime \prime}\right)^{3}}{y^{\prime \prime \prime}}+y^{\prime \prime \prime}=\sin x$ છે.
કક્ષા અને પરિમાણ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણને $y^{\prime \prime \prime}$ વડે ગુણીને અપૂર્ણાંક દૂર કરવો પડશે.
$y^{\prime \prime \prime}$ વડે ગુણતા,આપણને મળે: $\left(y^{\prime \prime}\right)^{5} \cdot y^{\prime \prime \prime} + 4 \cdot \left(y^{\prime \prime}\right)^{3} + \left(y^{\prime \prime \prime}\right)^{2} = \sin x \cdot y^{\prime \prime \prime}$.
અહીં સૌથી વધુ કક્ષાનું વિકલન $y^{\prime \prime \prime}$ છે,તેથી કક્ષા $m = 3$ છે.
પરિમાણ $n$ એ સૌથી વધુ કક્ષાના વિકલનની ઘાત છે જ્યારે સમીકરણ વિકલનોના બહુપદી સ્વરૂપમાં હોય.
સૌથી વધુ કક્ષાના વિકલન વાળું પદ $\left(y^{\prime \prime \prime}\right)^{2}$ છે,તેથી પરિમાણ $n = 2$ છે.

(D) આપેલ છે કે,$f^{\prime \prime}(x)+f(x)=0$ ... $(i)$
અને $g(x)=[f(x)]^{2}+[f^{\prime}(x)]^{2}$.
$g(x)$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$g^{\prime}(x) = 2f(x)f^{\prime}(x) + 2f^{\prime}(x)f^{\prime \prime}(x)$
સમીકરણ $(i)$ પરથી $f^{\prime \prime}(x) = -f(x)$ મૂકતા:
$g^{\prime}(x) = 2f(x)f^{\prime}(x) + 2f^{\prime}(x)(-f(x))$
$g^{\prime}(x) = 2f(x)f^{\prime}(x) - 2f(x)f^{\prime}(x) = 0$.
કારણ કે $g(x)$ નું વિકલન $0$ છે,તેથી $g(x)$ એ અચળ વિધેય છે.
આપેલ છે કે $g(3) = 8$,તેથી દરેક $x$ માટે $g(x) = 8$ થાય.
આમ,$g(8) = 8$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\sqrt{1-x^{2} y^{2}} \cdot dx = y \cdot dx + x \cdot dy$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $d(xy) = y \cdot dx + x \cdot dy$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\sqrt{1-(xy)^{2}} \cdot dx = d(xy)$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$dx = \frac{d(xy)}{\sqrt{1-(xy)^{2}}}$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int dx = \int \frac{d(xy)}{\sqrt{1-(xy)^{2}}}$ મળે છે.
આથી $x = \sin^{-1}(xy) + C$ મળે છે.
બંને બાજુ સાઈન લેતા,$\sin(x - C) = xy$ મળે છે,જે $\sin(x + C) = xy$ ને સમાન છે (જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે).

(A) આપેલ સમીકરણ: $f(x) = f'(x) + f''(x) + f'''(x) + \ldots$
ધારો કે $f(x) = e^{kx}$. તો $f'(x) = ke^{kx}$,$f''(x) = k^2e^{kx}$,$f'''(x) = k^3e^{kx}$,વગેરે.
આ કિંમતોને આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$e^{kx} = ke^{kx} + k^2e^{kx} + k^3e^{kx} + \ldots$
$e^{kx}$ વડે ભાગતા:
$1 = k + k^2 + k^3 + \ldots$
આ એક અનંત ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = k$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = k$ છે.
અનંત ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1-r}$ થાય છે.
તેથી,$1 = \frac{k}{1-k}$.
$1 - k = k \implies 2k = 1 \implies k = \frac{1}{2}$.
આમ,$f(x) = Ce^{x/2}$.
$f(0) = 1$ આપેલ હોવાથી,$Ce^0 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $C = 1$.
તેથી,$f(x) = e^{x/2}$.

(C) આપેલ છે કે $a \perp b$,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર $a \cdot b = 0$ થાય.
કારણ કે $(a+b) \perp (a+mb)$,તેથી તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય થાય:
$(a+b) \cdot (a+mb) = 0$
અદિશ ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા:
$a \cdot a + m(a \cdot b) + (b \cdot a) + m(b \cdot b) = 0$
$a \cdot b = 0$ અને $b \cdot a = 0$ મૂકતા:
$|a|^{2} + m(0) + 0 + m|b|^{2} = 0$
$|a|^{2} + m|b|^{2} = 0$
$m$ માટે ઉકેલતા:
$m|b|^{2} = -|a|^{2}$
$m = -\frac{|a|^{2}}{|b|^{2}}$

(B) આપેલ છે કે $a, b$ અને $c$ એકમ સદિશો છે.
તેથી,$|a| = |b| = |c| = 1 \dots (i) $
આપણને સમીકરણ $a+b+c = 0$ આપેલ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે:
$|a+b+c|^2 = |0|^2$
$|a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$
સમીકરણ $(i)$ માંથી કિંમતો મૂકતા:
$1 + 1 + 1 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$
$3 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$
$2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = -3$
$a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a = -\frac{3}{2}$

(B) આપેલ છે કે,$a$ એ $b$ અને $c$ બંનેને લંબ છે.
તેથી,$a \cdot b = 0$ અને $a \cdot c = 0$ ... $(i)$
હવે,સદિશ ત્રિગુણનફળના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$a \times (b \times c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c$
સમીકરણ $(i)$ માંથી કિંમતો મૂકતા:
$a \times (b \times c) = (0) b - (0) c$
$a \times (b \times c) = 0 - 0 = 0$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલ સદિશો $a = (1, 2, 3)$,$b = (2, -1, 1)$,અને $c = (3, 2, 1)$ છે.
સદિશ ત્રિગુણન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$.
પ્રથમ,ડોટ ગુણાકારની ગણતરી કરો:
$a \cdot c = (1)(3) + (2)(2) + (3)(1) = 3 + 4 + 3 = 10$.
$a \cdot b = (1)(2) + (2)(-1) + (3)(1) = 2 - 2 + 3 = 3$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$a \times (b \times c) = 10b - 3c$.
આપણને $a \times (b \times c) = \alpha a + \beta b + \gamma c$ આપેલ છે.
તેથી,$0a + 10b - 3c = \alpha a + \beta b + \gamma c$.
$a, b,$ અને $c$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે:
$\alpha = 0, \beta = 10, \gamma = -3$.