KCET 2013 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) केंद्रीय बल गति में,पिंड का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
कोणीय संवेग $L = \vec{r} \times \vec{p} = mvr \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
बिंदु $A$ और $B$ पर,वेग सदिश स्थिति सदिश के लंबवत होता है,इसलिए $\theta = 90^\circ$ और $\sin 90^\circ = 1$ होता है।
अतः,$L = mvr$।
मान लीजिए कि $v_A$ और $v_B$ क्रमशः $A$ और $B$ पर पृथ्वी की गति हैं,और $r_A = OA$ तथा $r_B = OB$ सूर्य से दूरियां हैं।
कोणीय संवेग के संरक्षण के नियम से:
$m v_A r_A = m v_B r_B$
$\Rightarrow \frac{v_A}{v_B} = \frac{r_B}{r_A} = \frac{OB}{OA}$
दिया गया है कि $\frac{OB}{OA} = R$,इसलिए $\frac{v_A}{v_B} = R$।
अतः,$A$ और $B$ पर पृथ्वी के वेगों का अनुपात $R$ है।

(B) प्लवन के नियम के अनुसार,संतुलन में तैरने वाली वस्तु के लिए,वस्तु का भार उत्प्लावन बल (विस्थापित द्रव का भार) के बराबर होता है।
मान लीजिए $V$ प्रत्येक ठोस का कुल आयतन है,$\rho_P$ और $\rho_Q$ उनके घनत्व हैं,और $\rho_w$ पानी का घनत्व है।
ठोस $P$ के लिए: $V \rho_P g = (V/2) \rho_w g \Rightarrow \rho_P = \frac{1}{2} \rho_w$.
ठोस $Q$ के लिए: $V \rho_Q g = (2V/3) \rho_w g \Rightarrow \rho_Q = \frac{2}{3} \rho_w$.
घनत्वों का अनुपात $\frac{\rho_P}{\rho_Q} = \frac{\frac{1}{2} \rho_w}{\frac{2}{3} \rho_w} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$ है।

(D) जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति कर रही होती है, तो लिफ्ट के सापेक्ष गेंद का प्रभावी त्वरण $a_{eff} = g + a$ होता है।
दिया गया है: $g = 10 \,m/s^2$, $a = 5 \,m/s^2$, $s = 1.25 \,m$, और प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
इसलिए, $a_{eff} = 10 + 5 = 15 \,m/s^2$ है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2} a_{eff} t^2$ का उपयोग करने पर:
$1.25 = 0 \times t + \frac{1}{2} \times 15 \times t^2$
$1.25 = 7.5 \times t^2$
$t^2 = \frac{1.25}{7.5} = \frac{1}{6} \approx 0.166 \,s^2$
$t = \sqrt{0.166} \approx 0.4 \,s$.

(A) प्रक्षेप्य गति में,क्षैतिज दिशा में कोई त्वरण न होने के कारण वेग का क्षैतिज घटक पूरी गति के दौरान स्थिर रहता है।
वेग का प्रारंभिक क्षैतिज घटक: $u_x = u \cos 60^{\circ} = 10 \times \frac{1}{2} = 5 \ m/s$.
मान लीजिए कि बाद के क्षण पर चाल $v$ है। इस क्षण पर वेग का क्षैतिज घटक $v_x = v \cos 30^{\circ}$ होगा।
चूंकि $u_x = v_x$,इसलिए:
$5 = v \cos 30^{\circ}$
$5 = v \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$v = \frac{10}{\sqrt{3}} \ m/s$.

(B) सरल लोलक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $l = 1 \,m$ और $g = 10 \,m/s^2$ (या $\pi^2 \approx 10$) लेने पर,हमें $T = 2 \pi \sqrt{\frac{1}{10}} \approx 2 \,s$ प्राप्त होता है।
सरल लोलक के लिए,चरम स्थिति से माध्य स्थिति $(B)$ तक पहुँचने में लगा समय $\frac{T}{4}$ होता है।
चूंकि दोनों गोलों को उनकी संबंधित चरम स्थितियों से छोड़ा जाता है,इसलिए वे दोनों $t = \frac{T}{4} = \frac{2}{4} = 0.5 \,s$ समय पर माध्य स्थिति $B$ पर पहुँचेंगे।
अतः,दोनों गोले $0.5 \,s$ बाद माध्य स्थिति $B$ पर टकराएंगे।

(D) यह निकाय ऊष्मा प्रवाह के लिए दो समानांतर पथों से बना है: आंतरिक ठोस बेलन और बाहरी बेलनाकार खोल।
चूंकि निकाय स्थिर अवस्था में है और बेलनाकार सतह से ऊष्मा का कोई नुकसान नहीं होता है,इसलिए कुल ऊष्मा प्रवाह $Q_{\text{total}}$ दोनों भागों से गुजरने वाले ऊष्मा प्रवाह का योग है: $Q_{\text{total}} = Q_{1} + Q_{2}$।
ऊष्मा प्रवाह की दर $Q = \frac{KA \Delta \theta}{L}$ द्वारा दी जाती है।
आंतरिक बेलन के लिए,क्षेत्रफल $A_{1} = \pi R^{2}$ है।
बाहरी खोल के लिए,क्षेत्रफल $A_{2} = \pi (2R)^{2} - \pi R^{2} = 3\pi R^{2}$ है।
कुल क्षेत्रफल $A = A_{1} + A_{2} = 4\pi R^{2}$ है।
ऊष्मा प्रवाह को बराबर करने पर: $\frac{K(4\pi R^{2}) \Delta \theta}{L} = \frac{K_{1}(\pi R^{2}) \Delta \theta}{L} + \frac{K_{2}(3\pi R^{2}) \Delta \theta}{L}$।
दोनों पक्षों से सामान्य पदों $\frac{\pi R^{2} \Delta \theta}{L}$ को हटाने पर:
$4K = K_{1} + 3K_{2}$।
अतः,प्रभावी ऊष्मीय चालकता $K = \frac{K_{1} + 3K_{2}}{4}$ है।

(C) वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,अधिकतम उत्सर्जन की तरंगदैर्घ्य और परम तापमान का गुणनफल स्थिर रहता है: $\lambda T = b$।
अतः,$\lambda_A T_A = \lambda_B T_B$।
इसका अर्थ है कि तापमान का अनुपात तरंगदैर्घ्य के अनुपात के व्युत्क्रमानुपाती होता है: $\frac{T_A}{T_B} = \frac{\lambda_B}{\lambda_A}$।
यहाँ $\lambda_A = 360 \ nm$ और $\lambda_B = 480 \ nm$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\frac{T_A}{T_B} = \frac{480}{360} = \frac{4}{3}$।
इस प्रकार,$A$ और $B$ के सतह के तापमान का अनुपात $4: 3$ है।

(D) कार्नोट हीट इंजन की दक्षता का सूत्र $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ है,जहाँ $T_1$ स्रोत का तापमान है और $T_2$ सिंक का तापमान है।
विकल्प $A$ के लिए: $\eta_A = 1 - \frac{400}{600} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \approx 0.333$.
विकल्प $B$ के लिए: $\eta_B = 1 - \frac{200}{400} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = 0.500$.
विकल्प $C$ के लिए: $\eta_C = 1 - \frac{300}{500} = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5} = 0.400$.
विकल्प $D$ के लिए: $\eta_D = 1 - \frac{100}{300} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \approx 0.667$.
इन मानों की तुलना करने पर,$\eta_D$ अधिकतम दक्षता है।
अतः,सही संयोजन $T_1 = 300 \ K$ और $T_2 = 100 \ K$ है।

(B) $1$. ऊष्मीय चालकता $(K)$: $Q = \frac{KA(T_2 - T_1)t}{d}$ से,हमें $[K] = [M^{1} L^{1} T^{-3} K^{-1}]$ प्राप्त होता है। यह सही है।
$2$. विभव $(V)$: $V = \frac{W}{q}$. $[V] = \frac{[M^{1} L^{2} T^{-2}]}{[A^{1} T^{1}]} = [M^{1} L^{2} T^{-3} A^{-1}]$. दिए गए विकल्प $B$ में $[M^{1} L^{2} T^{3} A^{-1}]$ दिया गया है,जो गलत है।
$3$. निर्वात की पारगम्यता $(\mu_{0})$: $F = \frac{\mu_{0} I_1 I_2 L}{2\pi d}$ से,हमें $[\mu_{0}] = [M^{1} L^{1} T^{-2} A^{-2}]$ प्राप्त होता है। यह सही है।
अतः,विकल्प $B$ गलत कथन है।

(B) दिया गया समीकरण: $y=0.05 \sin \pi(2 t-0.02 x)$
समीकरण का विस्तार करने पर: $y=0.05 \sin (2 \pi t - 0.02 \pi x)$
इसे मानक तरंग समीकरण $y=a \sin (\omega t - k x)$ के साथ तुलना करने पर:
कोणीय आवृत्ति $\omega = 2 \pi \ rad/s$
तरंग संख्या $k = 0.02 \pi \ m^{-1}$
समान कला में स्थित दो कणों के बीच की न्यूनतम दूरी तरंगदैर्ध्य $\lambda$ होती है।
चूंकि $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$,इसलिए $\lambda = \frac{2 \pi}{k} = \frac{2 \pi}{0.02 \pi} = \frac{2}{0.02} = 100 \ m$।
तरंग का वेग $v$,$v = \frac{\omega}{k}$ द्वारा दिया जाता है।
$v = \frac{2 \pi}{0.02 \pi} = \frac{2}{0.02} = 100 \ m/s$।

(B) व्यक्ति ट्यूनिंग फोर्क के साथ दीवार की ओर बढ़ रहा है। ट्यूनिंग फोर्क से सीधे सुनाई देने वाली ध्वनि की आवृत्ति $f = 338 \,Hz$ है।
दीवार से परावर्तित होकर आने वाली ध्वनि व्यक्ति को सुनाई देती है। दीवार एक स्थिर स्रोत के रूप में कार्य करती है और व्यक्ति दीवार की ओर बढ़ रहा है।
दीवार द्वारा परावर्तित ध्वनि की आवृत्ति $f' = f \left( \frac{v + v_0}{v - v_0} \right)$ सूत्र द्वारा प्राप्त होती है।
यहाँ $v = 340 \,ms^{-1}$ और $v_0 = 2 \,ms^{-1}$ है।
अतः, $f' = 338 \left( \frac{340 + 2}{340 - 2} \right) = 338 \left( \frac{342}{338} \right) = 342 \,Hz$.
बीट आवृत्ति = $f' - f = 342 - 338 = 4 \,Hz$.

(A) $L_o$ लंबाई की खुली पाइप के लिए,$n$ वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = \frac{n v}{2 L_o}$ होती है। दूसरा ओवरटोन $3$ रे हार्मोनिक $(n=3)$ के अनुरूप होता है,इसलिए $f_{o} = \frac{3 v}{2 L_o}$।
$L_c$ लंबाई की बंद पाइप के लिए,$n$ वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_n = \frac{(2n-1) v}{4 L_c}$ होती है। पहला ओवरटोन $3$ रे हार्मोनिक $(n=2)$ के अनुरूप होता है,इसलिए $f_{c} = \frac{3 v}{4 L_c}$।
यह दिया गया है कि $f_o = f_c$,इसलिए $\frac{3 v}{2 L_o} = \frac{3 v}{4 L_c}$।
इसे सरल करने पर,हमें $\frac{1}{2 L_o} = \frac{1}{4 L_c}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\frac{L_o}{L_c} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1}$।

(C) रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,गोली दागने के बाद बंदूक का संवेग $(p_g)$ और गोली का संवेग $(p_b)$ परिमाण में समान होना चाहिए,अर्थात $p_g = p_b = p$।
$m$ द्रव्यमान वाली वस्तु की $p$ संवेग के साथ गतिज ऊर्जा $K = \frac{p^2}{2m}$ संबंध द्वारा दी जाती है।
चूंकि संवेग $p$ दोनों के लिए समान है,इसलिए $K \propto \frac{1}{m}$ होगा।
चूंकि बंदूक का द्रव्यमान $(M)$ गोली के द्रव्यमान $(m)$ से बहुत अधिक होता है,इसलिए बंदूक की गतिज ऊर्जा $(K_g = \frac{p^2}{2M})$ गोली की गतिज ऊर्जा $(K_b = \frac{p^2}{2m})$ से काफी कम होगी।
अतः,बंदूक की गतिज ऊर्जा $K$ से कम होगी।

(A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$0$ से $v$ तक त्वरित करने के लिए किया गया कार्य $W_1 = \frac{1}{2}mv^2 - 0 = \frac{1}{2}mv^2$ है।
$v$ से $2v$ तक त्वरित करने के लिए किया गया कार्य $W_2 = \Delta K = \frac{1}{2}m(2v)^2 - \frac{1}{2}mv^2$ है।
$W_2 = \frac{1}{2}m(4v^2) - \frac{1}{2}mv^2 = 2mv^2 - 0.5mv^2 = 1.5mv^2$ है।
$W_2$ की $W_1$ से तुलना करने पर:
$W_2 = 3 \times (\frac{1}{2}mv^2) = 3W_1$ प्राप्त होता है।
अतः,किया गया कार्य विराम अवस्था से $v$ तक त्वरित करने में किए गए कार्य का तीन गुना है।

(A) प्रारंभिक प्रतिबाधा (impedance) $Z = \sqrt{R^2 + X_c^2}$ है,जहाँ $X_c = \frac{1}{\omega C}$ है।
प्रारंभिक धारा $I = \frac{V}{Z}$ है।
जब आवृत्ति बदलकर $\omega' = \frac{\omega}{3}$ हो जाती है,तो नया धारिता प्रतिघात $X_c' = \frac{1}{\omega' C} = \frac{1}{(\omega/3) C} = 3X_c$ होता है।
नई प्रतिबाधा $Z' = \sqrt{R^2 + (X_c')^2} = \sqrt{R^2 + (3X_c)^2}$ है।
दिया गया है कि नई धारा $I' = \frac{I}{2}$ है,इसलिए $\frac{V}{Z'} = \frac{1}{2} \frac{V}{Z}$,जिसका अर्थ है $Z' = 2Z$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(Z')^2 = 4Z^2$,इसलिए $R^2 + 9X_c^2 = 4(R^2 + X_c^2)$।
$R^2 + 9X_c^2 = 4R^2 + 4X_c^2$।
$5X_c^2 = 3R^2$।
$\frac{X_c^2}{R^2} = \frac{3}{5} = 0.6$।
अतः,अनुपात $\frac{X_c}{R} = \sqrt{0.6}$ है।

(A) प्रारंभ में, प्रत्येक घटक पर विभवांतर $V_R = V_L = V_C = 20 \, V$ है। चूंकि $V_L = V_C$, परिपथ अनुनाद (resonance) की स्थिति में है, जिसका अर्थ है कि प्रतिबाधा $Z = R$ है। स्रोत वोल्टेज $V = V_R = 20 \, V$ है।
जब प्रतिरोध $R$ को दोगुना करके $2R$ कर दिया जाता है, तो नई प्रतिबाधा $Z' = \sqrt{(2R)^2 + (X_L - X_C)^2}$ हो जाती है। अनुनाद पर $X_L = X_C$ होने के कारण, $Z' = 2R$ होता है।
परिपथ में नई धारा $I' = V / Z' = V / (2R) = I / 2$ है, जहाँ $I$ मूल धारा है।
प्रतिरोधक पर नया विभवांतर $V_R' = I' \times (2R) = (I/2) \times (2R) = IR = 20 \, V$ है।
प्रेरक (inductor) पर नया विभवांतर $V_L' = I' X_L = (I/2) X_L = V_L / 2 = 20 / 2 = 10 \, V$ है।
संधारित्र (capacitor) पर नया विभवांतर $V_C' = I' X_C = (I/2) X_C = V_C / 2 = 20 / 2 = 10 \, V$ है।
अतः, नया विभवांतर $20 \, V, 10 \, V, 10 \, V$ है।

(B) दिया गया है: टर्न्स अनुपात $\frac{n_{s}}{n_{p}} = 3$,दक्षता $\eta = 0.75$,प्राथमिक धारा $I_{p} = 2 \,A$,प्राथमिक वोल्टेज $V_{p} = 100 \,V$.
ट्रांसफार्मर के लिए,वोल्टेज अनुपात टर्न्स अनुपात के बराबर होता है: $\frac{V_{s}}{V_{p}} = \frac{n_{s}}{n_{p}} = 3$.
अतः,$V_{s} = 3 \times V_{p} = 3 \times 100 \,V = 300 \,V$.
दक्षता $\eta$ आउटपुट पावर और इनपुट पावर का अनुपात है: $\eta = \frac{V_{s} I_{s}}{V_{p} I_{p}}$.
मान रखने पर: $0.75 = \frac{300 \times I_{s}}{100 \times 2}$.
$0.75 = \frac{300 \times I_{s}}{200} = 1.5 \times I_{s}$.
$I_{s} = \frac{0.75}{1.5} = 0.5 \,A$.
इस प्रकार,द्वितीयक वोल्टेज $300 \,V$ और द्वितीयक धारा $0.5 \,A$ है।

(D) रेखीय उत्सर्जन स्पेक्ट्रम परमाणु अवस्था में उत्तेजित पदार्थ द्वारा उत्पन्न होता है,जैसे कि पारा वाष्प लैंप द्वारा।
रेखीय अवशोषण स्पेक्ट्रम तब उत्पन्न होता है जब विद्युत चुम्बकीय विकिरण किसी माध्यम से गुजरते हैं; इसलिए,सूर्य के प्रकाश का स्पेक्ट्रम एक रेखीय अवशोषण स्पेक्ट्रम है।
बैंड स्पेक्ट्रम का उपयोग आणविक संरचना का अध्ययन करने के लिए किया जाता है।
चूंकि कथन $A$,$B$ और $C$ सभी सही हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(B) क्वार्क्स प्राथमिक कण हैं जो संयुक्त कण बनाते हैं जिन्हें हैड्रॉन्स (hadrons) कहा जाता है।
प्रोटॉन और न्यूट्रॉन बेरियॉन्स (baryons) हैं,जो तीन क्वार्क्स से बने होते हैं।
$\pi$-मेसॉन (pions) मेसॉन्स हैं,जो एक क्वार्क और एक एंटीक्वार्क से बने होते हैं।
पॉजिट्रॉन इलेक्ट्रॉन का प्रतिकण (antiparticle) है,जो एक लेप्टॉन (lepton) है।
लेप्टॉन्स मौलिक कण होते हैं और क्वार्क्स से नहीं बने होते हैं।
इसलिए,पॉजिट्रॉन क्वार्क्स से नहीं बना है।

(A) जब इलेक्ट्रॉन $3E$ से $E$ तक डी-एक्साइट होता है,तो ऊर्जा का अंतर $\Delta E_1 = 3E - E = 2E$ होता है।
उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\frac{hc}{\lambda} = 2E$ द्वारा दी जाती है ... $(i)$
जब इलेक्ट्रॉन $\frac{5E}{3}$ से $E$ तक डी-एक्साइट होता है,तो ऊर्जा का अंतर $\Delta E_2 = \frac{5E}{3} - E = \frac{2E}{3}$ होता है।
उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $\frac{hc}{\lambda'} = \frac{2E}{3}$ है ... (ii)
समीकरण $(i)$ को समीकरण (ii) से विभाजित करने पर:
$\frac{hc/\lambda}{hc/\lambda'} = \frac{2E}{2E/3}$
$\frac{\lambda'}{\lambda} = \frac{2E \times 3}{2E} = 3$
$\lambda' = 3\lambda$

(C) दी गई व्यवस्था में,प्लेट $Q$ समानांतर में जुड़े दो संधारित्रों के लिए सामान्य है,क्योंकि प्लेट $P$ और $R$ दोनों ग्राउंडेड ($0 \,V$ पर) हैं।
मान लीजिए प्लेट $Q$ का विभव $V$ है।
पहले संधारित्र की धारिता ($P$ और $Q$ के बीच) $C_1 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ है।
दूसरे संधारित्र की धारिता ($Q$ और $R$ के बीच) $C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{2d}$ है।
चूंकि वे समानांतर में हैं,प्रभावी धारिता $C_{\text{eff}} = C_1 + C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{d} + \frac{\varepsilon_0 A}{2d} = \frac{3 \varepsilon_0 A}{2d}$ है।
दिया गया है $q = 8.85 \times 10^{-8} \,C$,$A = 2.0 \,m^2$,$d = 2 \times 10^{-3} \,m$,और $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \,F/m$.
$q = C_{\text{eff}} V$ का उपयोग करते हुए,हमें मिलता है $V = \frac{q}{C_{\text{eff}}} = \frac{q \cdot 2d}{3 \varepsilon_0 A}$.
मान रखने पर: $V = \frac{8.85 \times 10^{-8} \times 2 \times (2 \times 10^{-3})}{3 \times (8.85 \times 10^{-12}) \times 2.0} = \frac{8.85 \times 4 \times 10^{-11}}{3 \times 8.85 \times 2 \times 10^{-12}} = \frac{4 \times 10}{3 \times 2} = \frac{20}{3} \approx 6.67 \,V$.

(D) संधारित्र में संचित ऊर्जा का सूत्र $U = \frac{q^2}{2C}$ होता है।
मान लीजिए कि प्रारंभिक आवेश $q_1 = q$ है और अंतिम आवेश $q_2 = q + 2 \text{ C}$ है।
प्रारंभिक ऊर्जा $U_1 = \frac{q^2}{2C}$ है और अंतिम ऊर्जा $U_2 = \frac{(q+2)^2}{2C}$ है।
यह दिया गया है कि ऊर्जा में $21 \%$ की वृद्धि होती है,इसलिए $U_2 = U_1 + 0.21 U_1 = 1.21 U_1$ होगा।
$U_1$ और $U_2$ के व्यंजक रखने पर:
$\frac{(q+2)^2}{2C} = 1.21 \times \frac{q^2}{2C}$.
दोनों पक्षों से $\frac{1}{2C}$ को हटाने पर,हमें $(q+2)^2 = 1.21 q^2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $q + 2 = 1.1 q$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $1.1 q - q = 2$,जिससे $0.1 q = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$q = \frac{2}{0.1} = 20 \text{ C}$।

(B) दिए गए परिपथ आरेख से, ऊपरी शाखा में दो $2 \, \mu F$ के संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_{1} = \frac{2 \times 2}{2+2} = 1 \, \mu F$ है।
इसी प्रकार, दाईं और निचली शाखा में दो $2 \, \mu F$ के संधारित्र श्रेणीक्रम में हैं। उनकी तुल्य धारिता $C_{2} = \frac{2 \times 2}{2+2} = 1 \, \mu F$ है।
अब, परिपथ $C \, \mu F$ और $C_{2} = 1 \, \mu F$ के समांतर संयोजन में सरल हो जाता है, जो $C_{1} = 1 \, \mu F$ के साथ श्रेणीक्रम में है।
प्रभावी धारिता $C_{\text{eff}}$ इस प्रकार है:
$C_{\text{eff}} = \frac{(C + 1) \times 1}{(C + 1) + 1} = \frac{C + 1}{C + 2} \, \mu F$.
दिया गया है, आवेश $q = 0.75 \, mC = 0.75 \times 10^{-3} \, C$ और विभव $V = 10^{3} \, V$.
प्रभावी धारिता $C_{\text{eff}} = \frac{q}{V} = \frac{0.75 \times 10^{-3}}{10^{3}} = 0.75 \times 10^{-6} \, F = 0.75 \, \mu F$.
$C_{\text{eff}}$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$0.75 = \frac{C + 1}{C + 2}$
$\frac{3}{4} = \frac{C + 1}{C + 2}$
$3(C + 2) = 4(C + 1)$
$3C + 6 = 4C + 4$
$C = 2 \, \mu F$.

(A) मान लीजिए कि तीन चालकों के प्रतिरोध $R_1, R_2$ और $R_3$ हैं। जब उन्हें $V$ वोल्टेज की बैटरी से अलग-अलग जोड़ा जाता है, तो धाराएँ $I_1 = 1 \,A, I_2 = 2 \,A$ और $I_3 = 3 \,A$ होती हैं।
ओम के नियम $V = I R$ का उपयोग करते हुए:
$R_1 = \frac{V}{1} = V$
$R_2 = \frac{V}{2}$
$R_3 = \frac{V}{3}$
जब उन्हें श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है, तो तुल्य प्रतिरोध $R_{eq}$ होगा:
$R_{eq} = R_1 + R_2 + R_3 = V + \frac{V}{2} + \frac{V}{3} = V \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) = V \left( \frac{6 + 3 + 2}{6} \right) = \frac{11V}{6}$
उसी बैटरी से श्रेणीक्रम में खींची गई धारा $I$ होगी:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{V}{11V/6} = \frac{6}{11} \,A$.

(B) विद्युत धारा $I$ समानांतर जुड़े प्रतिरोधकों $R$ और $2R$ से होकर $I_1$ और $I_2$ में विभाजित होती है। करंट डिवाइडर नियम का उपयोग करते हुए:
$I_1 = I \times \frac{2R}{R + 2R} = \frac{2I}{3}$
$I_2 = I \times \frac{R}{R + 2R} = \frac{I}{3}$
प्रतिरोधक में उत्पन्न ऊष्मा $H = I^2 R t$ द्वारा दी जाती है। मान लें कि समय $t$ सभी के लिए समान है:
$H_1 = I_1^2 R = \left(\frac{2I}{3}\right)^2 R = \frac{4I^2 R}{9}$
$H_2 = I_2^2 (2R) = \left(\frac{I}{3}\right)^2 (2R) = \frac{2I^2 R}{9}$
$1.5R$ प्रतिरोधक के लिए,कुल विद्युत धारा $I$ इससे होकर बहती है:
$H_3 = I^2 (1.5R) = 1.5 I^2 R = \frac{13.5 I^2 R}{9}$
अनुपात $H_1 : H_2 : H_3 = \frac{4}{9} : \frac{2}{9} : \frac{13.5}{9} = 4 : 2 : 13.5 = 8 : 4 : 27$.

(D) टैंजेंट गैल्वेनोमीटर के लिए,धारा $I = K \tan \theta$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $K = \frac{2r B_{H}}{n \mu_{0}}$ है।
चूंकि गैल्वेनोमीटर समानांतर में जुड़े हैं,उनके बीच का वोल्टेज $V$ समान है। अतः,$I_1 R_1 = I_2 R_2$,जिसका अर्थ है $\frac{I_1}{I_2} = \frac{R_2}{R_1} = \frac{3}{1}$।
सूत्र $I = K \tan \theta$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास है $\frac{I_1}{I_2} = \frac{n_2}{n_1} \cdot \frac{\tan \theta_1}{\tan \theta_2}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{3}{1} = \frac{n_2}{n_1} \cdot \frac{\tan 30^{\circ}}{\tan 60^{\circ}}$।
$\frac{3}{1} = \frac{n_2}{n_1} \cdot \frac{1/\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{n_2}{n_1} \cdot \frac{1}{3}$।
अतः,$\frac{n_1}{n_2} = \frac{1}{9}$।

(A) माना $R_{1} = R_{2} = R$ है। $R_{2}$ से प्रवाहित धारा $(I - 1.5) \ A$ है।
$E, R_{1}$,और $R_{2}$ वाले लूप में किरचॉफ का वोल्टेज नियम $(KVL)$ लागू करने पर:
$E - I R_{1} - (I - 1.5) R_{2} = 0$
चूंकि $R_{1} = R_{2} = R$,इसलिए $E = I R + (I - 1.5) R = R(2I - 1.5) \quad ... (i)$
बाहरी लूप जिसमें $E, R_{1}$,और $R'$ हैं,में $KVL$ लागू करने पर:
$E - I R_{1} - 1.5 R' = 0$
$E = I R + 1.5 R' \quad ... (ii)$
दिए गए परिपथ आरेख के अनुसार,$R_{2}$ के सिरों पर वोल्टेज और $R'$ के सिरों पर वोल्टेज समान है,इसलिए $V_{R_{2}} = V_{R'}$.
$(I - 1.5) R = 1.5 R'$
$R' = \frac{(I - 1.5) R}{1.5}$
$R'$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$E = I R + 1.5 \left[ \frac{(I - 1.5) R}{1.5} \right] = I R + (I - 1.5) R = R(2I - 1.5)$
यह सुसंगतता की पुष्टि करता है। दिए गए विकल्पों में से,$R = 60 \ \Omega$ और $E = 180 \ V$ का परीक्षण करने पर:
$180 = 60(2I - 1.5) \Rightarrow 3 = 2I - 1.5 \Rightarrow 2I = 4.5 \Rightarrow I = 2.25 \ A$.
तब $I - 1.5 = 2.25 - 1.5 = 0.75 \ A$.
$R_{2}$ पर वोल्टेज $= 0.75 \times 60 = 45 \ V$.
$R'$ पर वोल्टेज $= 1.5 \times R' = 45 \ V \Rightarrow R' = 30 \ \Omega$.
यह एक वैध भौतिक परिपथ है। अतः,$E = 180 \ V$ और $R_{1} = 60 \ \Omega$ सही युग्म है।

(D) दिया गया है कि द्रव्यमान का अनुपात $m_{1}: m_{2}: m_{3} = 1: 3: 5$ है और लंबाई का अनुपात $l_{1}: l_{2}: l_{3} = 5: 3: 1$ है।
हम जानते हैं कि विद्युत प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि घनत्व $d = \frac{m}{V} = \frac{m}{Al}$ है,इसलिए $A = \frac{m}{dl}$ होगा।
प्रतिरोध के सूत्र में $A$ का मान रखने पर,$R = \rho \frac{l}{(m/dl)} = \rho d \frac{l^{2}}{m}$ प्राप्त होता है।
तांबे के तारों के लिए $\rho$ और $d$ स्थिर हैं,इसलिए $R \propto \frac{l^{2}}{m}$ होगा।
अतः,प्रतिरोधों का अनुपात $R_{1}: R_{2}: R_{3} = \frac{l_{1}^{2}}{m_{1}}: \frac{l_{2}^{2}}{m_{2}}: \frac{l_{3}^{2}}{m_{3}}$ होगा।
दिए गए मानों को रखने पर: $R_{1}: R_{2}: R_{3} = \frac{5^{2}}{1}: \frac{3^{2}}{3}: \frac{1^{2}}{5} = \frac{25}{1}: \frac{9}{3}: \frac{1}{5} = 25: 3: 0.2$ प्राप्त होता है।
अनुपात को सरल बनाने के लिए $5$ से गुणा करने पर: $125: 15: 1$ प्राप्त होता है।

(B) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 m E_{k}}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $h$ और $m$ स्थिरांक हैं,इसलिए $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{E_{k}}}$ है।
माना प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E_{k1} = E$ है और अंतिम गतिज ऊर्जा $E_{k2}$ है।
दिया गया है कि $\lambda_1 = 1 \ nm$ और $\lambda_2 = 0.5 \ nm$,इसलिए $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{1}{0.5} = 2$ है।
संबंध $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{E_{k2}}{E_{k1}}}$ का उपयोग करने पर,$2 = \sqrt{\frac{E_{k2}}{E}}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\frac{E_{k2}}{E} = 4$,इसलिए $E_{k2} = 4E$ है।
आवश्यक अतिरिक्त ऊर्जा $\Delta E = E_{k2} - E_{k1} = 4E - E = 3E$ है।
अतः,अतिरिक्त ऊर्जा प्रारंभिक गतिज ऊर्जा का $3$ गुना है।

(D) इलेक्ट्रॉन के $n_i$ से $n_f$ स्तर में संक्रमण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की ऊर्जा $E = 13.6 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \text{ eV}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$n=3$ से $n=2$ के संक्रमण के लिए ऊर्जा $E_{3-2} = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = 13.6 \left( \frac{5}{36} \right) \approx 1.89 \text{ eV}$ है।
चूंकि फोटोइलेक्ट्रॉन बस उत्सर्जित हो रहे हैं, इसलिए धातु का कार्य फलन (work function) $\Phi = 1.89 \text{ eV}$ है।
फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव के लिए, आपतित फोटॉन की ऊर्जा कार्य फलन से अधिक या उसके बराबर होनी चाहिए $(E \ge \Phi)$।
दिए गए विकल्पों के लिए ऊर्जा की गणना करते हैं:
$A$: $n=2$ से $n=1$: $E = 13.6 (1 - 1/4) = 10.2 \text{ eV} > 1.89 \text{ eV}$ (संभव है)।
$B$: $n=3$ से $n=1$: $E = 13.6 (1 - 1/9) = 12.09 \text{ eV} > 1.89 \text{ eV}$ (संभव है)।
$C$: $n=5$ से $n=2$: $E = 13.6 (1/4 - 1/25) = 13.6 (21/100) = 2.856 \text{ eV} > 1.89 \text{ eV}$ (संभव है)।
$D$: $n=4$ से $n=3$: $E = 13.6 (1/9 - 1/16) = 13.6 (7/144) \approx 0.66 \text{ eV} < 1.89 \text{ eV}$ (संभव नहीं है)।
अतः, $n=4$ से $n=3$ के संक्रमण के लिए फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव संभव नहीं है।

(C) दिया गया है: अधिकतम वेग $v = 1.8 \times 10^{6} \ m/s$ और विशिष्ट आवेश $\frac{e}{m} = 1.8 \times 10^{11} \ C/kg$ है।
सबसे तेज़ फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा निरोधी विभव $V_{0}$ द्वारा किए गए कार्य के बराबर होती है,जिसे समीकरण $e V_{0} = \frac{1}{2} m v^{2}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
दोनों पक्षों को $m$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $V_{0} \left(\frac{e}{m}\right) = \frac{v^{2}}{2}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$V_{0} \times (1.8 \times 10^{11}) = \frac{(1.8 \times 10^{6})^{2}}{2}$।
$V_{0} \times 1.8 \times 10^{11} = \frac{3.24 \times 10^{12}}{2}$।
$V_{0} \times 1.8 \times 10^{11} = 1.62 \times 10^{12}$।
$V_{0} = \frac{1.62 \times 10^{12}}{1.8 \times 10^{11}} = 0.9 \times 10 = 9 \ V$।

$(A)$ दिया गया है: फेरों की संख्या $n = 100$, क्षेत्रफल $A = 0.1 \,m \times 0.05 \,m = 0.005 \,m^{2}$.
प्रारंभिक चुंबकीय क्षेत्र $B_{1} = 0.1 \,T$, अंतिम चुंबकीय क्षेत्र $B_{2} = 0.05 \,T$, और समय अंतराल $dt = 0.05 \,s$.
चुंबकीय फ्लक्स $\phi$ का सूत्र $\phi = nBA \cos \theta$ है। चूंकि कुंडली चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत है, इसलिए कोण $\theta = 0^{\circ}$ होगा, अतः $\cos 0^{\circ} = 1$.
फैराडे के नियम के अनुसार प्रेरित e.m.f. $e = \left| -\frac{d\phi}{dt} \right| = nA \frac{|dB|}{dt}$ है।
मान रखने पर: $e = 100 \times 0.005 \times \frac{(0.1 - 0.05)}{0.05}$.
$e = 0.5 \times \frac{0.05}{0.05} = 0.5 \,V$.

(C) लेंज के नियम के अनुसार,कुंडली $B$ में प्रेरित धारा उस कारण का विरोध करेगी जो इसे उत्पन्न करता है।
जैसे-जैसे कुंडली $A$ में धारा बढ़ती है,कुंडली $B$ से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स बढ़ता है।
चुंबकीय फ्लक्स में इस वृद्धि का विरोध करने के लिए,कुंडली $B$ में एक प्रेरित धारा कुंडली $A$ की धारा की विपरीत दिशा में बहती है।
चूंकि दोनों कुंडलियों के निकटवर्ती पक्षों में धाराएं विपरीत दिशाओं में बहती हैं,इसलिए वे एक-दूसरे पर प्रतिकर्षण बल लगाती हैं।
इसलिए,कुंडली $B$ प्रतिकर्षित होती है।

(B) दिया गया है कि तेल की बूंद स्थिर है,इसलिए नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल ऊपर की ओर कार्य करने वाले विद्युत बल द्वारा संतुलित होता है।
$qE = mg$
चूंकि दो प्लेटों के बीच विद्युत क्षेत्र $E = \frac{V}{d}$ द्वारा दिया जाता है,जहां $V$ विभवांतर है और $d$ प्लेटों के बीच की दूरी है:
$q \left(\frac{V}{d}\right) = mg$
आवेश $q$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$q = \frac{mgd}{V}$
दिए गए मान:
$m = 10^{-6} \,kg$
$g = 10 \,ms^{-2}$
$d = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$
$V = 500 \,V$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$q = \frac{10^{-6} \times 10 \times 10^{-3}}{500}$
$q = \frac{10^{-8}}{500} = \frac{10^{-8}}{5 \times 10^2} = 0.2 \times 10^{-10} \,C = 2 \times 10^{-11} \,C$

(D) एक समान विद्युत क्षेत्र में, विद्युत क्षेत्र रेखाओं की दिशा में विद्युत विभव $V$ घटता है। एक समान विद्युत क्षेत्र $\vec{E} = E\hat{i}$ में किसी बिंदु $(x, y)$ पर विभव $V = -Ex + \text{स्थिरांक}$ द्वारा दिया जाता है।
एक ही ऊर्ध्वाधर रेखा पर स्थित बिंदुओं (क्षेत्र रेखाओं के लंबवत) का विभव समान होता है क्योंकि उनका $x$-निर्देशांक समान होता है।
चित्र को देखने पर:
$1$. बिंदु $C$ सबसे बाईं ओर है, इसलिए इसका $x$-निर्देशांक सबसे छोटा है, जिसका अर्थ है कि $V_{C}$ सबसे अधिक है।
$2$. बिंदु $D$ सबसे दाईं ओर है, इसलिए इसका $x$-निर्देशांक सबसे बड़ा है, जिसका अर्थ है कि $V_{D}$ सबसे कम है।
$3$. बिंदु $A$ और $B$ एक ही ऊर्ध्वाधर रेखा पर हैं, इसलिए $V_{A} = V_{B}$ है।
$4$. चूंकि $C$, $D$ के बाईं ओर है, इसलिए $V_{C} > V_{D}$ है।
अतः, सही संबंध $V_{A} = V_{B}$ और $V_{C} > V_{D}$ है।

(C) जब दो धातु के गोलों को एक तार से जोड़ा जाता है,तो आवेश उच्च विभव वाले गोले से निम्न विभव वाले गोले की ओर तब तक प्रवाहित होता है जब तक कि वे समान विभव प्राप्त न कर लें।
मान लीजिए कि अंतिम आवेश $q_1'$ और $q_2'$ हैं। चूँकि विभव $V$ समान है,$V_1 = V_2$.
$\frac{k q_1'}{r_1} = \frac{k q_2'}{r_2} \implies \frac{q_1'}{q_2'} = \frac{r_1}{r_2} = \frac{0.01}{0.02} = \frac{1}{2}$.
कुल आवेश संरक्षित रहता है: $q_1' + q_2' = 15 \ mC + 45 \ mC = 60 \ mC$.
अनुपात का उपयोग करते हुए,$q_1' = \left( \frac{1}{1+2} \right) \times 60 \ mC = \frac{1}{3} \times 60 \ mC = 20 \ mC$.
चूँकि $20 \ mC = 20 \times 10^{-3} \ C$,इसलिए पहले गोले पर अंतिम आवेश $20 \times 10^{-3} \ C$ है।

(A) $R$ त्रिज्या और $q$ आवेश वाले गोलाकार कोश के केंद्र पर विद्युत विभव $V = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} R}$ होता है।
दो संकेंद्रीय गोलों के लिए,सामान्य केंद्र पर कुल विभव $V$ प्रत्येक गोले के कारण उत्पन्न विभव का योग है:
$V = V_{1} + V_{2} = \frac{q_{1}}{4 \pi \varepsilon_{0} R} + \frac{q_{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} r}$.
दिया गया है कि पृष्ठीय आवेश घनत्व समान है,$\sigma = \frac{q_{1}}{4 \pi R^{2}} = \frac{q_{2}}{4 \pi r^{2}}$.
इसका अर्थ है $q_{1} = 4 \pi R^{2} \sigma$ और $q_{2} = 4 \pi r^{2} \sigma$.
इन मानों को विभव के समीकरण में रखने पर:
$V = \frac{4 \pi R^{2} \sigma}{4 \pi \varepsilon_{0} R} + \frac{4 \pi r^{2} \sigma}{4 \pi \varepsilon_{0} r}$.
$V = \frac{R \sigma}{\varepsilon_{0}} + \frac{r \sigma}{\varepsilon_{0}} = \frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}(R + r)$.

(D) $I_{1}$ धारा ले जाने वाली $R$ त्रिज्या की वृत्ताकार लूप के कारण केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र: $B_{1} = \frac{\mu_{0} I_{1}}{2 R}$ है।
$I_{2}$ धारा ले जाने वाले लंबे सीधे चालक से $d = OA + AB = R + R = 2R$ की लंबवत दूरी पर स्थित केंद्र $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र: $B_{2} = \frac{\mu_{0} I_{2}}{2 \pi d} = \frac{\mu_{0} I_{2}}{2 \pi (2R)} = \frac{\mu_{0} I_{2}}{4 \pi R}$ है।
चूंकि केंद्र $O$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र शून्य है,इसलिए लूप और सीधे चालक द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्रों के परिमाण समान होने चाहिए: $B_{1} = B_{2}$।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\mu_{0} I_{1}}{2 R} = \frac{\mu_{0} I_{2}}{4 \pi R}$।
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{I_{1}}{2} = \frac{I_{2}}{4 \pi}$।
अतः,धाराओं का अनुपात: $\frac{I_{1}}{I_{2}} = \frac{2}{4 \pi} = \frac{1}{2 \pi}$ है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गतिमान आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r$ का सूत्र $r = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mE}}{qB}$ होता है।
यहाँ दिया गया है कि दोनों कणों के लिए गतिज ऊर्जा $E$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ समान हैं,इसलिए $r \propto \frac{\sqrt{m}}{q}$ होगा।
प्रोटॉन के लिए,द्रव्यमान $m_P = m$ और आवेश $q_P = q$ है।
हीलियम नाभिक (अल्फा कण) के लिए,द्रव्यमान $m_{He} = 4m$ और आवेश $q_{He} = 2q$ है।
अतः,उनकी त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{r_P}{r_{He}} = \frac{\sqrt{m_P}/q_P}{\sqrt{m_{He}}/q_{He}} = \sqrt{\frac{m}{4m}} \times \frac{2q}{q} = \frac{1}{2} \times 2 = 1$ होगा।
इस प्रकार,त्रिज्याओं का अनुपात $1: 1$ है।

(C) जब एक आवेशित कण परस्पर लंबवत विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों से बिना विक्षेपित हुए गुजरता है,तो विद्युत बल $(F_e)$ और चुंबकीय बल $(F_m)$ का मान समान होना चाहिए।
$F_e = F_m$
$qE = qvB \sin \theta$
चूँकि क्षेत्र परस्पर लंबवत हैं,$\theta = 90^{\circ}$,इसलिए $\sin 90^{\circ} = 1$ होगा।
अतः,$E = vB$।
दिया गया है:
वेग $v = 2 \times 10^{3} \ ms^{-1}$
चुंबकीय क्षेत्र $B = 1.5 \ T$
$E = (2 \times 10^{3}) \times 1.5 = 3 \times 10^{3} \ V/m$ (या $NC^{-1}$)।
इसलिए,विद्युत क्षेत्र का परिमाण $3 \times 10^{3} \ NC^{-1}$ है।

(B) एक उदासीन हीलियम परमाणु $(He)$ से पहले इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा $24.6 eV$ दी गई है।
पहले इलेक्ट्रॉन को हटाने के बाद,शेष आयन $He^+$ है,जो $Z = 2$ परमाणु क्रमांक वाली हाइड्रोजन जैसी प्रजाति है।
$He^+$ की मूल अवस्था से दूसरे इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा का सूत्र $E = Z^2 \times 13.6 eV$ है।
$Z = 2$ रखने पर,हमें $E = (2)^2 \times 13.6 eV = 4 \times 13.6 eV = 54.4 eV$ प्राप्त होता है।
दोनों इलेक्ट्रॉनों को हटाने के लिए आवश्यक कुल ऊर्जा पहले और दूसरे इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा का योग है।
कुल ऊर्जा $= 24.6 eV + 54.4 eV = 79 eV$.

(C) दिया गया है:
${ }_{1} H^{2}$ के लिए प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा = $1.1 \ MeV$.
${ }_{2} He^{4}$ के लिए प्रति न्यूक्लियॉन बंधन ऊर्जा = $7 \ MeV$.
नाभिकीय संलयन अभिक्रिया है: ${ }_{1} H^{2} + { }_{1} H^{2} \longrightarrow { }_{2} He^{4} + Q$.
अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा (दो ड्यूटेरॉन) = $2 \times (2 \times 1.1 \ MeV) = 4.4 \ MeV$.
उत्पाद की कुल बंधन ऊर्जा (एक हीलियम नाभिक) = $4 \times 7 \ MeV = 28 \ MeV$.
मुक्त ऊर्जा $Q$,उत्पाद और अभिकारकों की कुल बंधन ऊर्जा के बीच का अंतर है:
$Q = BE_{\text{product}} - BE_{\text{reactants}}$
$Q = 28 \ MeV - 4.4 \ MeV = 23.6 \ MeV$.

(D) कथन $I$: $\beta^-$-क्षय के दौरान,एक न्यूट्रॉन प्रोटॉन,इलेक्ट्रॉन और एंटीन्यूट्रिनो में परिवर्तित हो जाता है। अतः,यह एंटीन्यूट्रिनो (या $\beta^+$-क्षय में न्यूट्रिनो) के साथ होता है। यह कथन सही है।
कथन $II$: नाभिकीय बल न्यूक्लियॉन (प्रोटॉन और न्यूट्रॉन) के बीच उनके आवेश की परवाह किए बिना कार्य करते हैं। अतः,नाभिकीय बल आवेश से स्वतंत्र है। यह कथन सही है।
कथन $III$: तारों में ऊर्जा का प्राथमिक स्रोत हाइड्रोजन का हीलियम में नाभिकीय संलयन है। यह कथन सही है।
अतः,तीनों कथन सही हैं।

(B) माना कि संतति नाभिक की प्रतिक्षेप चाल $v^{\prime}$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,नाभिक का प्रारंभिक संवेग शून्य है।
इसलिए,निकाय का अंतिम संवेग भी शून्य होना चाहिए।
माना कि $\alpha$-कण का द्रव्यमान $4$ इकाई है और संतति नाभिक का द्रव्यमान $(A-4)$ इकाई है।
$0 = (A-4) v^{\prime} + 4 v$
$(A-4) v^{\prime} = -4 v$
$v^{\prime} = -\frac{4 v}{A-4}$
प्रतिक्षेप चाल का परिमाण $\frac{4 v}{A-4}$ है।

(C) किसी दिए गए समयांतराल में क्षय होने वाले रेडियोधर्मी नाभिकों की संख्या उपस्थित नाभिकों की संख्या के समानुपाती होती है।
मान लीजिए कि प्रारंभिक नाभिकों की संख्या $N_0$ है।
पहले $2 \,s$ में $100$ कण उत्सर्जित होते हैं, इसलिए शेष नाभिक $N_0 - 100$ हैं।
अगले $2 \,s$ में $50$ कण उत्सर्जित होते हैं।
चूंकि समान समयांतराल में क्षय होने वाले कणों की संख्या आधी हो रही है, इसलिए अर्ध-आयु $T_{1/2} = 2 \,s$ है।
माध्य जीवनकाल $T_m$ और अर्ध-आयु के बीच संबंध $T_m = \frac{T_{1/2}}{0.693}$ है।
$T_{1/2} = 2 \,s$ रखने पर, हमें $T_m = \frac{2}{0.693} \,s$ प्राप्त होता है।

(D) आइए प्रत्येक कथन का विश्लेषण करें:
$(i)$ अग्र अभिनत स्थिति में,अवक्षय परत (depletion layer) की चौड़ाई कम हो जाती है,जिससे धारा प्रवाहित हो सकती है; अतः डायोड चालन करता है। यह सही है।
(ii) पैकिंग फ्रैक्शन को $f = (M - A) / A$ के रूप में परिभाषित किया गया है। छोटा या ऋणात्मक पैकिंग फ्रैक्शन नाभिक की उच्च स्थिरता को दर्शाता है। यह सही है।
(iii) बंधन ऊर्जा वह ऊर्जा है जो एक नाभिक को उसके घटक प्रोटॉन और न्यूट्रॉन में अलग करने के लिए आवश्यक होती है,जो आइंस्टीन के समीकरण $E = \Delta m c^2$ के माध्यम से द्रव्यमान क्षति $\Delta m$ के समतुल्य है। यह सही है।
(iv) स्वतःस्फूर्त विखंडन एक दुर्लभ रेडियोधर्मी क्षय प्रक्रिया है जो केवल बहुत भारी नाभिकों (जैसे $U-238$,$Cf-252$) में होती है। यह सभी रेडियोधर्मी तत्वों का सामान्य गुण नहीं है। इसलिए,यह कथन कि रेडियोधर्मी तत्व स्वतःस्फूर्त विखंडन से गुजर सकते हैं,गलत है।

(D) सक्रियता $A$ को $A = \lambda N = \frac{0.693}{T_{1/2}} N$ द्वारा दर्शाया जाता है।
चूंकि $A$ और $B$ के लिए परमाणुओं की प्रारंभिक संख्या $N_0$ समान है,इसलिए प्रारंभिक सक्रियता $A_0$ अर्ध-आयु $T_{1/2}$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
अतः,$\frac{A_0(A)}{A_0(B)} = \frac{T_{1/2}(B)}{T_{1/2}(A)} = \frac{2 \text{ days}}{1 \text{ day}} = 2$.
दिया गया है कि $A_0(A) + A_0(B) = 1200 \text{ dis/min}$.
$A_0(A) = 2 A_0(B)$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2 A_0(B) + A_0(B) = 1200$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $3 A_0(B) = 1200$,इसलिए $A_0(B) = 400 \text{ dis/min}$ और $A_0(A) = 800 \text{ dis/min}$.
$t = 4 \text{ days}$ के बाद,$A$ की सक्रियता $A(A) = \frac{A_0(A)}{2^{t/T_{1/2}(A)}} = \frac{800}{2^{4/1}} = \frac{800}{16} = 50 \text{ dis/min}$ होगी।
$B$ की सक्रियता $A(B) = \frac{A_0(B)}{2^{t/T_{1/2}(B)}} = \frac{400}{2^{4/2}} = \frac{400}{4} = 100 \text{ dis/min}$ होगी।
$4 \text{ days}$ के बाद कुल सक्रियता $50 + 100 = 150 \text{ dis/min}$ होगी।

(A) पूर्ण आंतरिक परावर्तन होने के लिए, प्रकाश को सघन माध्यम से विरल माध्यम में जाना चाहिए और आपतन कोण $\theta$ क्रांतिक कोण $C$ से अधिक होना चाहिए।
माध्यम $M_{1}$ और $M_{2}$ में प्रकाश की गति $v_{1} = 1.5 \times 10^{8} \text{ m/s}$ और $v_{2} = 2 \times 10^{8} \text{ m/s}$ दी गई है।
चूंकि $v_{1} < v_{2}$, माध्यम $M_{1}$ माध्यम $M_{2}$ की तुलना में सघन है।
क्रांतिक कोण $C$ का सूत्र $\sin C = \frac{v_{1}}{v_{2}}$ है।
मान रखने पर: $\sin C = \frac{1.5 \times 10^{8}}{2 \times 10^{8}} = \frac{1.5}{2} = \frac{3}{4}$।
अतः, $C = \sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$।
पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए, आपतन कोण $\theta$ को शर्त $\theta > C$ को पूरा करना होगा।
इसलिए, $\theta > \sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$।

(D) दिया गया है: वक्रता त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{R_{1}}{R_{2}} = \frac{1}{2}$, फोकस दूरी $f = 6 \,cm$ और अपवर्तनांक $\mu = 1.5$.
मान लीजिए $R_{1} = R$ और $R_{2} = 2R$.
अभिसारी लेंस के लिए, लेंस मेकर सूत्र $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} \right)$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{6} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{2R} \right)$.
$\frac{1}{6} = 0.5 \left( \frac{2 + 1}{2R} \right) = 0.5 \left( \frac{3}{2R} \right) = \frac{1.5}{2R} = \frac{3}{4R}$.
$R$ के लिए हल करने पर: $4R = 18$, इसलिए $R = 4.5 \,cm$.
अतः, $R_{1} = 4.5 \,cm$ और $R_{2} = 2 \times 4.5 = 9 \,cm$.

(B) दिया गया है कि आवर्धन $m = 2$ है और प्रतिबिंब वास्तविक है। वास्तविक प्रतिबिंब के लिए,वस्तु और प्रतिबिंब के बीच की दूरी $D = |u| + |v| = 0.72 \ m$ है।
चूंकि $m = \frac{|v|}{|u|} = 2$,इसलिए $|v| = 2|u|$ है।
इस मान को दूरी के समीकरण में रखने पर: $|u| + 2|u| = 0.72 \ m \Rightarrow 3|u| = 0.72 \ m \Rightarrow |u| = 0.24 \ m$ और $|v| = 0.48 \ m$ प्राप्त होता है।
लेंस सूत्र $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $v = 0.48 \ m$ और $u = -0.24 \ m$ है:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{0.48} - \frac{1}{-0.24} = \frac{1 + 2}{0.48} = \frac{3}{0.48} \Rightarrow f = 0.16 \ m$।
जब वस्तु को लेंस की ओर $0.04 \ m$ खिसकाया जाता है,तो नई वस्तु दूरी $u' = -(0.24 - 0.04) = -0.20 \ m$ हो जाती है।
पुनः लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{v'} - \frac{1}{-0.20} = \frac{1}{0.16} \Rightarrow \frac{1}{v'} = \frac{1}{0.16} - \frac{1}{0.20} = \frac{5 - 4}{0.80} = \frac{1}{0.80} \Rightarrow v' = 0.80 \ m$।
नया आवर्धन $m' = \frac{v'}{u'} = \frac{0.80}{-(-0.20)} = 4$ होगा।

(C) मान लीजिए $n_1$ पहली सतह के बाहर के माध्यम का अपवर्तनांक है, $n_2$ प्रिज्म का अपवर्तनांक है, और $n_3$ दूसरी सतह के बाहर के माध्यम का अपवर्तनांक है।
किरण के अभिलंब की ओर मुड़ने के लिए, इसे विरल से सघन माध्यम में जाना चाहिए $(n_{\text{आपतित}} < n_{\text{अपवर्तित}})$।
किरण के अभिलंब से दूर मुड़ने के लिए, इसे सघन से विरल माध्यम में जाना चाहिए $(n_{\text{आपतित}} > n_{\text{अपवर्तित}})$।
स्थिति $(a)$ में, किरण पहली सतह पर अभिलंब की ओर मुड़ती है $(n_1 < n_2)$ और दूसरी सतह से होकर गुजरती है, जो पूर्ण आंतरिक परावर्तन या क्रांतिक कोण की स्थिति को दर्शाती है $(n_2 > n_3)$। अतः, $n_2 > n_1$ और $n_2 > n_3$ सही है।
स्थिति $(b)$ में, किरण पहली सतह पर बिना विचलित हुए प्रवेश करती है $(n_1 = n_2)$ और दूसरी सतह पर अभिलंब से दूर मुड़ती है $(n_2 > n_3)$। यह सही है।
स्थिति $(c)$ में, किरण पहली सतह पर अभिलंब की ओर मुड़ती है $(n_1 < n_2)$ और दूसरी सतह पर अभिलंब से दूर मुड़ती है $(n_2 > n_3)$। कथन कहता है कि $n_2 < n_1$ और $n_2 = n_3$, जो देखे गए झुकाव के विपरीत है। इसलिए, $(c)$ गलत कथन है।

(C) पार्श्व विस्थापन $L_{s} = t \frac{\sin(i-r)}{\cos r}$ द्वारा दिया जाता है। जैसे-जैसे आपतन कोण $i$ बढ़ता है,पार्श्व विस्थापन $L_{s}$ बढ़ता है। अतः,कथन $A$ सही है।
जैसे-जैसे अपवर्तनांक $\mu$ बढ़ता है,अपवर्तन कोण $r$ घटता है,जिससे पार्श्व विस्थापन $L_{s}$ में वृद्धि होती है। अतः,कथन $B$ सही है।
सामान्य विस्थापन $L_{N} = t(1 - \frac{1}{\mu})$ द्वारा दिया जाता है। जैसे-जैसे अपवर्तनांक $\mu$ बढ़ता है,पद $\frac{1}{\mu}$ घटता है,जिसका अर्थ है कि $(1 - \frac{1}{\mu})$ बढ़ता है। इसलिए,अपवर्तनांक बढ़ने पर सामान्य विस्थापन $L_{N}$ बढ़ता है। अतः,कथन $C$ गलत है।
$L_{s}$ और $L_{N}$ दोनों माध्यम की मोटाई $t$ के सीधे आनुपातिक होते हैं। अतः,कथन $D$ सही है।
इसलिए,गलत कथन $C$ है।

(A) $p-n$ जंक्शन डायोड में,जब रिवर्स बायस लगाया जाता है,तो बाहरी विद्युत क्षेत्र अवक्षय परत (depletion region) के आंतरिक विद्युत क्षेत्र की ही दिशा में होता है। इसके कारण बहुसंख्यक आवेश वाहक (majority charge carriers) जंक्शन से दूर चले जाते हैं,जिससे अवक्षय परत की चौड़ाई बढ़ जाती है। इसके विपरीत,फॉरवर्ड बायस में,बाहरी क्षेत्र आंतरिक क्षेत्र का विरोध करता है,जिससे अवक्षय परत की चौड़ाई कम हो जाती है।

(D) ट्रांजिस्टर का एम्पलीफायर के रूप में उपयोग करने के लिए,इनपुट सर्किट (उत्सर्जक-आधार जंक्शन) को फॉरवर्ड बायस्ड होना चाहिए ताकि धारा प्रवाहित हो सके,और आउटपुट सर्किट (संग्राहक-आधार जंक्शन) को रिवर्स बायस्ड होना चाहिए ताकि उच्च प्रतिरोध और वोल्टेज लाभ प्राप्त हो सके।
इसलिए,उत्सर्जक-आधार जंक्शन फॉरवर्ड बायस्ड होता है और संग्राहक-आधार जंक्शन रिवर्स बायस्ड होता है।

(D) मान लीजिए कि $OR$ गेट के इनपुट $A$ और $B$ हैं। $OR$ गेट का आउटपुट $Y = A + B$ है।
यह आउटपुट $Y$ एक $NAND$ गेट के दोनों इनपुट से जुड़ा है। मान लीजिए कि $NAND$ गेट के इनपुट $X_1$ और $X_2$ हैं,जहाँ $X_1 = X_2 = Y = A + B$ है।
$X_1$ और $X_2$ इनपुट वाले $NAND$ गेट का आउटपुट $\overline{X_1 \cdot X_2}$ द्वारा दिया जाता है।
$X_1 = X_2 = A + B$ प्रतिस्थापित करने पर,अंतिम आउटपुट $Y^{\prime} = \overline{(A + B) \cdot (A + B)}$ प्राप्त होता है।
बूलियन पहचान $X \cdot X = X$ का उपयोग करने पर,हमें $Y^{\prime} = \overline{A + B}$ प्राप्त होता है।
व्यंजक $\overline{A + B}$ एक $NOR$ गेट के बूलियन ऑपरेशन को दर्शाता है।
इसलिए,यह संयोजन एक $NOR$ गेट के रूप में कार्य करता है।

(C) $p$-प्रकार का अर्धचालक एक त्रिसंयोजक अशुद्धि परमाणु (समूह $13$ का तत्व) मिलाकर प्राप्त किया जाता है।
गैलियम $(Ga)$ एक त्रिसंयोजक तत्व है।
इसलिए,जब जर्मेनियम $(Ge)$ में गैलियम मिलाया जाता है,तो यह $p$-प्रकार का अर्धचालक बनाता है।
बिस्मथ $(Bi)$,एंटीमनी $(Sb)$ और फास्फोरस $(P)$ पंचसंयोजक तत्व (समूह $15$) हैं,जो $n$-प्रकार के अर्धचालक बनाते हैं।

(A) चीनी के घोल द्वारा उत्पन्न प्रकाशीय घूर्णन $\theta$ को सूत्र $\theta = S \cdot l \cdot C$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $S$ विशिष्ट घूर्णन है, $l$ नली की लंबाई है, और $C$ घोल की सांद्रता है。
पहले मामले में, $\theta = S \cdot l \cdot C$, जहाँ $l = 0.2 \,m$ और $C = \frac{m}{V}$, जहाँ $m$ चीनी का द्रव्यमान है और $V$ नली का आयतन है $(V = \pi R^2 l)$。
अतः, $\theta = S \cdot l \cdot \frac{m}{\pi R^2 l} = \frac{S \cdot m}{\pi R^2}$。
दूसरे मामले में, चीनी की समान मात्रा $m$ को $l_1 = 0.3 \,m$ लंबाई और समान त्रिज्या $R$ वाली नली में रखा जाता है। नई नली का आयतन $V_1 = \pi R^2 l_1 = \pi R^2 (0.3)$ है。
दूसरे मामले में घोल की सांद्रता $C_1 = \frac{m}{V_1} = \frac{m}{\pi R^2 (0.3)}$ है。
नया घूर्णन $\theta_1 = S \cdot l_1 \cdot C_1 = S \cdot (0.3) \cdot \frac{m}{\pi R^2 (0.3)} = \frac{S \cdot m}{\pi R^2}$ द्वारा दिया जाता है。
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर, हमें $\theta_1 = \theta$ प्राप्त होता है。

(C) ह्यूगेन्स द्वारा प्रस्तावित प्रकाश का तरंग सिद्धांत,व्यतिकरण,विवर्तन और इस तथ्य को सफलतापूर्वक समझाता है कि सघन माध्यम में प्रकाश का वेग विरल माध्यम की तुलना में कम होता है।
हालाँकि,तरंग सिद्धांत प्रकाश के प्रकीर्णन को नहीं समझा पाता है,जिसे प्रकाश की कण प्रकृति या क्वांटम सिद्धांत द्वारा बेहतर ढंग से समझाया जाता है।
इसलिए,घटनाएँ $(2)$,$(3)$ और $(4)$ प्रकाश के तरंग सिद्धांत का समर्थन करती हैं।

(C) पतली फिल्म के लिए,परावर्तित प्रकाश में संपोषी व्यतिकरण (उच्चिष्ठ) की शर्त $2 \mu t \cos r = (n + 1/2) \lambda_1$ है,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है।
विनाशी व्यतिकरण (निम्निष्ठ) के लिए शर्त $2 \mu t \cos r = m \lambda_2$ है,जहाँ $m$ एक पूर्णांक है।
यहाँ $\lambda_1 = 600 \ nm$ और $\lambda_2 = 450 \ nm$ दिया गया है। लंबवत आपतन $(\cos r = 1)$ मानते हुए:
$2 \mu t = (n + 1/2) \lambda_1 = (2n + 1) \frac{\lambda_1}{2} = (2n + 1) \times 300 \ nm$
$2 \mu t = m \lambda_2 = m \times 450 \ nm$
दोनों को बराबर करने पर: $(2n + 1) \times 300 = m \times 450 \implies (2n + 1) \times 2 = 3m \implies 4n + 2 = 3m$.
बीच में कोई निम्निष्ठ न होने वाली सबसे छोटी मोटाई के लिए,$n=1$ रखने पर: $4(1) + 2 = 6 = 3m \implies m = 2$.
उच्चिष्ठ की शर्त में $n=1$ रखने पर:
$2 \times 1.5 \times t = (1 + 0.5) \times 600 \ nm$
$3t = 1.5 \times 600 \ nm = 900 \ nm$
$t = 300 \ nm = 3 \times 10^{-7} \ m$.
अतः,फिल्म की मोटाई $3$ इकाई है।

(A) यंग के डबल-स्लिट प्रयोग में फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है,जहाँ $\lambda$ तरंगदैर्ध्य है,$D$ स्क्रीन की दूरी है और $d$ स्लिट्स के बीच की दूरी है।
यह दर्शाता है कि $\beta \propto \lambda$ है।
प्रकाश-विद्युत प्रभाव के अनुसार,फोटॉन की ऊर्जा $E = \frac{hc}{\lambda}$ होती है। प्रकाश-विद्युत प्रभाव होने के लिए,आपतित फोटॉन की ऊर्जा धातु के कार्य फलन $(\Phi)$ से अधिक या उसके बराबर होनी चाहिए,अर्थात $\frac{hc}{\lambda} \geq \Phi$।
इसका अर्थ है कि छोटी तरंगदैर्ध्य उच्च ऊर्जा से संबंधित है।
चूंकि $\lambda_{1}$ प्रकाश-विद्युत प्रभाव उत्पन्न कर सकती है और $\lambda_{2}$ नहीं कर सकती,इसका अर्थ है कि $\lambda_{1}$ की ऊर्जा $\lambda_{2}$ से अधिक है,जिसका अर्थ है कि $\lambda_{1} < \lambda_{2}$।
चूंकि $\beta \propto \lambda$ है,इसलिए $\beta_{1} < \beta_{2}$ होगा।