KCET 2013 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) કેન્દ્રીય બળની ગતિમાં,પદાર્થનું કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
કોણીય વેગમાન $L = \vec{r} \times \vec{p} = mvr \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $A$ અને $B$ પર,વેગ સદિશ એ સ્થાન સદિશને લંબ હોય છે,તેથી $\theta = 90^\circ$ અને $\sin 90^\circ = 1$ થાય.
આમ,$L = mvr$.
ધારો કે $v_A$ અને $v_B$ એ અનુક્રમે $A$ અને $B$ આગળ પૃથ્વીની ઝડપ છે,અને $r_A = OA$ તથા $r_B = OB$ એ સૂર્યથી અંતર છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m v_A r_A = m v_B r_B$
$\Rightarrow \frac{v_A}{v_B} = \frac{r_B}{r_A} = \frac{OB}{OA}$
આપેલ છે કે $\frac{OB}{OA} = R$,તેથી $\frac{v_A}{v_B} = R$.
આમ,$A$ અને $B$ આગળ પૃથ્વીના વેગનો ગુણોત્તર $R$ છે.

(B) પ્લવનના નિયમ મુજબ,સંતુલનમાં તરતા પદાર્થ માટે,પદાર્થનું વજન એ ઉત્પ્લાવક બળ (વિસ્થાપિત પ્રવાહીનું વજન) જેટલું હોય છે.
ધારો કે $V$ એ દરેક ઘન પદાર્થનું કુલ કદ છે,$\rho_P$ અને $\rho_Q$ તેમની ઘનતા છે,અને $\rho_w$ એ પાણીની ઘનતા છે.
ઘન પદાર્થ $P$ માટે: $V \rho_P g = (V/2) \rho_w g \Rightarrow \rho_P = \frac{1}{2} \rho_w$.
ઘન પદાર્થ $Q$ માટે: $V \rho_Q g = (2V/3) \rho_w g \Rightarrow \rho_Q = \frac{2}{3} \rho_w$.
ઘનતાનો ગુણોત્તર $\frac{\rho_P}{\rho_Q} = \frac{\frac{1}{2} \rho_w}{\frac{2}{3} \rho_w} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$ થાય.

(D) જ્યારે લિફ્ટ $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરતી હોય, ત્યારે લિફ્ટની સાપેક્ષમાં દડાનો અસરકારક પ્રવેગ $a_{eff} = g + a$ થાય છે।
આપેલ છે: $g = 10 \,m/s^2$, $a = 5 \,m/s^2$, $s = 1.25 \,m$, અને પ્રારંભિક વેગ $u = 0$।
તેથી, $a_{eff} = 10 + 5 = 15 \,m/s^2$।
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2} a_{eff} t^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1.25 = 0 \times t + \frac{1}{2} \times 15 \times t^2$
$1.25 = 7.5 \times t^2$
$t^2 = \frac{1.25}{7.5} = \frac{1}{6} \approx 0.166 \,s^2$
$t = \sqrt{0.166} \approx 0.4 \,s$.

(A) પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં,સમક્ષિતિજ દિશામાં કોઈ પ્રવેગ ન હોવાથી વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
વેગનો પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ ઘટક: $u_x = u \cos 60^{\circ} = 10 \times \frac{1}{2} = 5 \ m/s$.
ધારો કે પછીની ક્ષણે ઝડપ $v$ છે. આ ક્ષણે વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = v \cos 30^{\circ}$ થશે.
કારણ કે $u_x = v_x$,તેથી:
$5 = v \cos 30^{\circ}$
$5 = v \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$v = \frac{10}{\sqrt{3}} \ m/s$.

(B) સરળ લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $l = 1 \,m$ અને $g = 10 \,m/s^2$ (અથવા $\pi^2 \approx 10$) લેતા,આપણને $T = 2 \pi \sqrt{\frac{1}{10}} \approx 2 \,s$ મળે છે.
સરળ લોલક માટે,અંતિમ સ્થાનથી મધ્યમાન સ્થાન $(B)$ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $\frac{T}{4}$ છે.
બંને ગોળાઓ તેમના સંબંધિત અંતિમ સ્થાનોથી મુક્ત કરવામાં આવતા હોવાથી,તેઓ બંને $t = \frac{T}{4} = \frac{2}{4} = 0.5 \,s$ સમયે મધ્યમાન સ્થાન $B$ પર પહોંચશે.
તેથી,બંને ગોળાઓ $0.5 \,s$ પછી મધ્યમાન સ્થાન $B$ પર અથડાશે.

(D) આ તંત્ર ઉષ્માના વહન માટે બે સમાંતર માર્ગો ધરાવે છે: અંદરનો નક્કર નળાકાર અને બહારનું નળાકાર કવચ.
તંત્ર સ્થાયી અવસ્થામાં હોવાથી અને નળાકાર સપાટી પરથી ઉષ્માનો વ્યય થતો ન હોવાથી,કુલ ઉષ્મા પ્રવાહ $Q_{\text{total}}$ એ બંને ભાગોમાંથી પસાર થતા ઉષ્મા પ્રવાહનો સરવાળો છે: $Q_{\text{total}} = Q_{1} + Q_{2}$.
ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $Q = \frac{KA \Delta \theta}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અંદરના નળાકાર માટે,ક્ષેત્રફળ $A_{1} = \pi R^{2}$ છે.
બહારના કવચ માટે,ક્ષેત્રફળ $A_{2} = \pi (2R)^{2} - \pi R^{2} = 3\pi R^{2}$ છે.
કુલ ક્ષેત્રફળ $A = A_{1} + A_{2} = 4\pi R^{2}$ છે.
ઉષ્મા પ્રવાહને સરખાવતા: $\frac{K(4\pi R^{2}) \Delta \theta}{L} = \frac{K_{1}(\pi R^{2}) \Delta \theta}{L} + \frac{K_{2}(3\pi R^{2}) \Delta \theta}{L}$.
બંને બાજુથી સામાન્ય પદો $\frac{\pi R^{2} \Delta \theta}{L}$ ને દૂર કરતા:
$4K = K_{1} + 3K_{2}$.
તેથી,અસરકારક ઉષ્મા વાહકતા $K = \frac{K_{1} + 3K_{2}}{4}$ મળે છે.

(C) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,મહત્તમ ઉત્સર્જનની તરંગલંબાઇ અને નિરપેક્ષ તાપમાનનો ગુણાકાર અચળ રહે છે: $\lambda T = b$.
તેથી,$\lambda_A T_A = \lambda_B T_B$.
આનો અર્થ એ છે કે તાપમાનનો ગુણોત્તર એ તરંગલંબાઇના ગુણોત્તરના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{T_A}{T_B} = \frac{\lambda_B}{\lambda_A}$.
અહીં $\lambda_A = 360 \ nm$ અને $\lambda_B = 480 \ nm$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_A}{T_B} = \frac{480}{360} = \frac{4}{3}$.
આમ,$A$ અને $B$ ના સપાટીના તાપમાનનો ગુણોત્તર $4: 3$ છે.

(D) કાર્નોટ હીટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતાનું સૂત્ર $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ છે,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન છે અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન છે.
વિકલ્પ $A$ માટે: $\eta_A = 1 - \frac{400}{600} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \approx 0.333$.
વિકલ્પ $B$ માટે: $\eta_B = 1 - \frac{200}{400} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} = 0.500$.
વિકલ્પ $C$ માટે: $\eta_C = 1 - \frac{300}{500} = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5} = 0.400$.
વિકલ્પ $D$ માટે: $\eta_D = 1 - \frac{100}{300} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \approx 0.667$.
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$\eta_D$ એ મહત્તમ કાર્યક્ષમતા છે.
તેથી,સાચું સંયોજન $T_1 = 300 \ K$ અને $T_2 = 100 \ K$ છે.

(B) $1$. ઉષ્મીય વાહકતા $(K)$: $Q = \frac{KA(T_2 - T_1)t}{d}$ પરથી,આપણને $[K] = [M^{1} L^{1} T^{-3} K^{-1}]$ મળે છે. આ સાચું છે.
$2$. સ્થિતિમાન $(V)$: $V = \frac{W}{q}$. $[V] = \frac{[M^{1} L^{2} T^{-2}]}{[A^{1} T^{1}]} = [M^{1} L^{2} T^{-3} A^{-1}]$. આપેલ વિકલ્પ $B$ માં $[M^{1} L^{2} T^{3} A^{-1}]$ આપેલ છે,જે ખોટું છે.
$3$. શૂન્યાવકાશની પરમિએબિલિટી $(\mu_{0})$: $F = \frac{\mu_{0} I_1 I_2 L}{2\pi d}$ પરથી,આપણને $[\mu_{0}] = [M^{1} L^{1} T^{-2} A^{-2}]$ મળે છે. આ સાચું છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ એ ખોટું વિધાન છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $y=0.05 \sin \pi(2 t-0.02 x)$
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $y=0.05 \sin (2 \pi t - 0.02 \pi x)$
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y=a \sin (\omega t - k x)$ સાથે સરખાવતા:
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2 \pi \ rad/s$
તરંગ સંખ્યા $k = 0.02 \pi \ m^{-1}$
સમાન કળામાં રહેલા બે કણો વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ છે.
$k = \frac{2 \pi}{\lambda}$ હોવાથી,$\lambda = \frac{2 \pi}{k} = \frac{2 \pi}{0.02 \pi} = \frac{2}{0.02} = 100 \ m$.
તરંગનો વેગ $v$ એ $v = \frac{\omega}{k}$ દ્વારા મળે છે.
$v = \frac{2 \pi}{0.02 \pi} = \frac{2}{0.02} = 100 \ m/s$.

(B) વ્યક્તિ ટ્યુનિંગ ફોર્ક સાથે દીવાલ તરફ ગતિ કરી રહી છે। ટ્યુનિંગ ફોર્કમાંથી સીધો સંભળાતો અવાજ $f = 338 \,Hz$ છે।
દીવાલ પરથી પરાવર્તિત થઈને આવતો અવાજ વ્યક્તિને સંભળાય છે। દીવાલ સ્થિર સ્ત્રોત તરીકે વર્તે છે અને વ્યક્તિ દીવાલ તરફ ગતિ કરે છે।
દીવાલ દ્વારા પરાવર્તિત અવાજની આવૃત્તિ $f' = f \left( \frac{v + v_0}{v - v_0} \right)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે।
અહીં $v = 340 \,ms^{-1}$ અને $v_0 = 2 \,ms^{-1}$ છે।
તેથી, $f' = 338 \left( \frac{340 + 2}{340 - 2} \right) = 338 \left( \frac{342}{338} \right) = 342 \,Hz$.
બીટ આવૃત્તિ = $f' - f = 342 - 338 = 4 \,Hz$.

(A) $L_o$ લંબાઈની ખુલ્લી પાઈપ માટે,$n$ માં હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = \frac{n v}{2 L_o}$ છે. બીજો ઓવરટોન એ $3$ જો હાર્મોનિક $(n=3)$ ને અનુરૂપ છે,તેથી $f_{o} = \frac{3 v}{2 L_o}$.
$L_c$ લંબાઈની બંધ પાઈપ માટે,$n$ માં હાર્મોનિકની આવૃત્તિ $f_n = \frac{(2n-1) v}{4 L_c}$ છે. પ્રથમ ઓવરટોન એ $3$ જો હાર્મોનિક $(n=2)$ ને અનુરૂપ છે,તેથી $f_{c} = \frac{3 v}{4 L_c}$.
આપેલ છે કે $f_o = f_c$,તેથી $\frac{3 v}{2 L_o} = \frac{3 v}{4 L_c}$.
આને સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{1}{2 L_o} = \frac{1}{4 L_c}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{L_o}{L_c} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1}$.

(C) રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગોળી છોડ્યા પછી બંદૂકનું વેગમાન $(p_g)$ અને ગોળીનું વેગમાન $(p_b)$ સમાન હોવું જોઈએ,એટલે કે $p_g = p_b = p$.
$m$ દળ ધરાવતા પદાર્થની $p$ વેગમાન સાથેની ગતિઊર્જા $K = \frac{p^2}{2m}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં વેગમાન $p$ સમાન હોવાથી,$K \propto \frac{1}{m}$ થાય.
બંદૂકનું દળ $(M)$ એ ગોળીના દળ $(m)$ કરતા ઘણું વધારે હોવાથી,બંદૂકની ગતિઊર્જા $(K_g = \frac{p^2}{2M})$ એ ગોળીની ગતિઊર્જા $(K_b = \frac{p^2}{2m})$ કરતા ઘણી ઓછી હશે.
તેથી,બંદૂકની ગતિઊર્જા $K$ કરતા ઓછી હશે.

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,થયેલું કાર્ય એ ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$0$ થી $v$ સુધી પ્રવેગિત કરવા માટે થયેલું કાર્ય $W_1 = \frac{1}{2}mv^2 - 0 = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
$v$ થી $2v$ સુધી પ્રવેગિત કરવા માટે થયેલું કાર્ય $W_2 = \Delta K = \frac{1}{2}m(2v)^2 - \frac{1}{2}mv^2$ છે.
$W_2 = \frac{1}{2}m(4v^2) - \frac{1}{2}mv^2 = 2mv^2 - 0.5mv^2 = 1.5mv^2$.
$W_2$ ની $W_1$ સાથે સરખામણી કરતા:
$W_2 = 3 \times (\frac{1}{2}mv^2) = 3W_1$.
તેથી,થયેલું કાર્ય એ સ્થિર સ્થિતિમાંથી $v$ સુધી પ્રવેગિત કરવા માટે થયેલા કાર્ય કરતા ત્રણ ગણું છે.

(A) પ્રારંભિક ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_c^2}$ છે,જ્યાં $X_c = \frac{1}{\omega C}$.
પ્રારંભિક પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z}$ છે.
જ્યારે આવૃત્તિ બદલાઈને $\omega' = \frac{\omega}{3}$ થાય છે,ત્યારે નવો કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ $X_c' = \frac{1}{\omega' C} = \frac{1}{(\omega/3) C} = 3X_c$ થાય છે.
નવો ઈમ્પીડન્સ $Z' = \sqrt{R^2 + (X_c')^2} = \sqrt{R^2 + (3X_c)^2}$ છે.
આપેલ છે કે નવો પ્રવાહ $I' = \frac{I}{2}$,તેથી $\frac{V}{Z'} = \frac{1}{2} \frac{V}{Z}$,જેનો અર્થ છે કે $Z' = 2Z$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(Z')^2 = 4Z^2$,તેથી $R^2 + 9X_c^2 = 4(R^2 + X_c^2)$.
$R^2 + 9X_c^2 = 4R^2 + 4X_c^2$.
$5X_c^2 = 3R^2$.
$\frac{X_c^2}{R^2} = \frac{3}{5} = 0.6$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{X_c}{R} = \sqrt{0.6}$ થાય.

(A) શરૂઆતમાં, દરેક ઘટક પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_R = V_L = V_C = 20 \, V$ છે. $V_L = V_C$ હોવાથી, પરિપથ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં છે, જેનો અર્થ છે કે ઈમ્પીડન્સ $Z = R$ છે. ઉદગમ વોલ્ટેજ $V = V_R = 20 \, V$ છે.
જ્યારે અવરોધ $R$ ને બમણો કરીને $2R$ કરવામાં આવે છે, ત્યારે નવો ઈમ્પીડન્સ $Z' = \sqrt{(2R)^2 + (X_L - X_C)^2}$ થાય છે. અનુનાદ સમયે $X_L = X_C$ હોવાથી, $Z' = 2R$ થાય છે.
પરિપથમાં નવો પ્રવાહ $I' = V / Z' = V / (2R) = I / 2$ થાય છે, જ્યાં $I$ એ મૂળ પ્રવાહ છે.
અવરોધ પરનો નવો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_R' = I' \times (2R) = (I/2) \times (2R) = IR = 20 \, V$ છે.
ઈન્ડક્ટર પરનો નવો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_L' = I' X_L = (I/2) X_L = V_L / 2 = 20 / 2 = 10 \, V$ છે.
કેપેસિટર પરનો નવો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_C' = I' X_C = (I/2) X_C = V_C / 2 = 20 / 2 = 10 \, V$ છે.
આમ, નવો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $20 \, V, 10 \, V, 10 \, V$ છે.

(B) આપેલ છે: ટર્ન્સ રેશિયો $\frac{n_{s}}{n_{p}} = 3$,કાર્યક્ષમતા $\eta = 0.75$,પ્રાયમરી પ્રવાહ $I_{p} = 2 \,A$,પ્રાયમરી વોલ્ટેજ $V_{p} = 100 \,V$.
ટ્રાન્સફોર્મર માટે,વોલ્ટેજ રેશિયો એ ટર્ન્સ રેશિયો જેટલો હોય છે: $\frac{V_{s}}{V_{p}} = \frac{n_{s}}{n_{p}} = 3$.
તેથી,$V_{s} = 3 \times V_{p} = 3 \times 100 \,V = 300 \,V$.
કાર્યક્ષમતા $\eta$ એ આઉટપુટ પાવર અને ઇનપુટ પાવરનો ગુણોત્તર છે: $\eta = \frac{V_{s} I_{s}}{V_{p} I_{p}}$.
કિંમતો મૂકતા: $0.75 = \frac{300 \times I_{s}}{100 \times 2}$.
$0.75 = \frac{300 \times I_{s}}{200} = 1.5 \times I_{s}$.
$I_{s} = \frac{0.75}{1.5} = 0.5 \,A$.
આમ,સેકન્ડરી વોલ્ટેજ $300 \,V$ અને સેકન્ડરી પ્રવાહ $0.5 \,A$ છે.

(D) રેખીય ઉત્સર્જન વર્ણપટ પરમાણુ અવસ્થામાં રહેલા ઉત્તેજિત પદાર્થ દ્વારા ઉત્પન્ન થાય છે,જેમ કે મર્ક્યુરી વેપર લેમ્પ.
રેખીય શોષણ વર્ણપટ ત્યારે ઉત્પન્ન થાય છે જ્યારે વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણો કોઈ માધ્યમમાંથી પસાર થાય છે; તેથી,સૂર્યપ્રકાશનો વર્ણપટ એ રેખીય શોષણ વર્ણપટ છે.
બેન્ડ વર્ણપટનો ઉપયોગ આણ્વિય બંધારણનો અભ્યાસ કરવા માટે થાય છે.
આમ,વિધાનો $A$,$B$ અને $C$ ત્રણેય સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ક્વાર્કસ એ મૂળભૂત કણો છે જે સંયુક્ત કણો બનાવે છે જેને હેડ્રોન્સ (hadrons) કહેવામાં આવે છે.
પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન એ બેરિયોન્સ (baryons) છે,જે ત્રણ ક્વાર્કસના બનેલા હોય છે.
$\pi$-મેસોન (pions) એ મેસોન્સ છે,જે એક ક્વાર્ક અને એક એન્ટિક્વાર્કથી બનેલા હોય છે.
પોઝિટ્રોન એ ઇલેક્ટ્રોનનો એન્ટિકણ છે,જે લેપ્ટોન (lepton) છે.
લેપ્ટોન્સ એ મૂળભૂત કણો છે અને તે ક્વાર્કસના બનેલા હોતા નથી.
તેથી,પોઝિટ્રોન ક્વાર્કસ દ્વારા બનેલું નથી.

(A) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન $3E$ થી $E$ પર સંક્રાંતિ કરે છે,ત્યારે ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E_1 = 3E - E = 2E$ છે.
ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\frac{hc}{\lambda} = 2E$ દ્વારા આપવામાં આવે છે ... $(i)$
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન $\frac{5E}{3}$ થી $E$ પર સંક્રાંતિ કરે છે,ત્યારે ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E_2 = \frac{5E}{3} - E = \frac{2E}{3}$ છે.
ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\frac{hc}{\lambda'} = \frac{2E}{3}$ છે ... (ii)
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ (ii) વડે ભાગતા:
$\frac{hc/\lambda}{hc/\lambda'} = \frac{2E}{2E/3}$
$\frac{\lambda'}{\lambda} = \frac{2E \times 3}{2E} = 3$
$\lambda' = 3\lambda$

(C) આપેલ ગોઠવણીમાં,પ્લેટ $Q$ એ સમાંતરમાં જોડાયેલા બે કેપેસિટર માટે સામાન્ય છે,કારણ કે પ્લેટ $P$ અને $R$ બંને ગ્રાઉન્ડેડ ($0 \,V$ પર) છે.
ધારો કે પ્લેટ $Q$ નું સ્થિતિમાન $V$ છે.
પ્રથમ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ ($P$ અને $Q$ વચ્ચે) $C_1 = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ છે.
બીજા કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ ($Q$ અને $R$ વચ્ચે) $C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{2d}$ છે.
તેઓ સમાંતરમાં હોવાથી,અસરકારક કેપેસિટન્સ $C_{\text{eff}} = C_1 + C_2 = \frac{\varepsilon_0 A}{d} + \frac{\varepsilon_0 A}{2d} = \frac{3 \varepsilon_0 A}{2d}$ થાય.
આપેલ છે કે $q = 8.85 \times 10^{-8} \,C$,$A = 2.0 \,m^2$,$d = 2 \times 10^{-3} \,m$,અને $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \,F/m$.
$q = C_{\text{eff}} V$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $V = \frac{q}{C_{\text{eff}}} = \frac{q \cdot 2d}{3 \varepsilon_0 A}$.
કિંમતો મૂકતા: $V = \frac{8.85 \times 10^{-8} \times 2 \times (2 \times 10^{-3})}{3 \times (8.85 \times 10^{-12}) \times 2.0} = \frac{8.85 \times 4 \times 10^{-11}}{3 \times 8.85 \times 2 \times 10^{-12}} = \frac{4 \times 10}{3 \times 2} = \frac{20}{3} \approx 6.67 \,V$.

(D) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{q^2}{2C}$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક વિદ્યુતભાર $q_1 = q$ છે અને અંતિમ વિદ્યુતભાર $q_2 = q + 2 \text{ C}$ છે.
પ્રારંભિક ઉર્જા $U_1 = \frac{q^2}{2C}$ અને અંતિમ ઉર્જા $U_2 = \frac{(q+2)^2}{2C}$ છે.
આપેલ છે કે ઉર્જામાં $21 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $U_2 = U_1 + 0.21 U_1 = 1.21 U_1$.
$U_1$ અને $U_2$ ના સૂત્રો મૂકતા:
$\frac{(q+2)^2}{2C} = 1.21 \times \frac{q^2}{2C}$.
બંને બાજુથી $\frac{1}{2C}$ ને દૂર કરતા,આપણને $(q+2)^2 = 1.21 q^2$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $q + 2 = 1.1 q$.
પદોને ગોઠવતા: $1.1 q - q = 2$,જે $0.1 q = 2$ આપે છે.
તેથી,$q = \frac{2}{0.1} = 20 \text{ C}$.

(B) આપેલ સર્કિટ આકૃતિ પરથી, ઉપરની શાખામાં રહેલા બે $2 \, \mu F$ ના કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે। તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{1} = \frac{2 \times 2}{2+2} = 1 \, \mu F$ છે।
તે જ રીતે, જમણી અને નીચેની શાખામાં રહેલા બે $2 \, \mu F$ ના કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે। તેમનું સમતુલ્ય કેપેસિટન્સ $C_{2} = \frac{2 \times 2}{2+2} = 1 \, \mu F$ છે।
હવે, સર્કિટ $C \, \mu F$ અને $C_{2} = 1 \, \mu F$ ના સમાંતર જોડાણમાં સરળ બને છે, જે $C_{1} = 1 \, \mu F$ સાથે શ્રેણીમાં છે।
અસરકારક કેપેસિટન્સ $C_{\text{eff}}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$C_{\text{eff}} = \frac{(C + 1) \times 1}{(C + 1) + 1} = \frac{C + 1}{C + 2} \, \mu F$.
આપેલ છે કે, વિદ્યુતભાર $q = 0.75 \, mC = 0.75 \times 10^{-3} \, C$ અને વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = 10^{3} \, V$.
અસરકારક કેપેસિટન્સ $C_{\text{eff}} = \frac{q}{V} = \frac{0.75 \times 10^{-3}}{10^{3}} = 0.75 \times 10^{-6} \, F = 0.75 \, \mu F$.
$C_{\text{eff}}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$0.75 = \frac{C + 1}{C + 2}$
$\frac{3}{4} = \frac{C + 1}{C + 2}$
$3(C + 2) = 4(C + 1)$
$3C + 6 = 4C + 4$
$C = 2 \, \mu F$.

(A) ધારો કે ત્રણ વાહકોના અવરોધ $R_1, R_2$ અને $R_3$ છે. જ્યારે તેમને $V$ વોલ્ટેજની બેટરી સાથે અલગ-અલગ જોડવામાં આવે છે, ત્યારે પ્રવાહ $I_1 = 1 \,A, I_2 = 2 \,A$ અને $I_3 = 3 \,A$ મળે છે.
ઓહ્મના નિયમ $V = I R$ નો ઉપયોગ કરતા:
$R_1 = \frac{V}{1} = V$
$R_2 = \frac{V}{2}$
$R_3 = \frac{V}{3}$
જ્યારે તેમને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે, ત્યારે સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$:
$R_{eq} = R_1 + R_2 + R_3 = V + \frac{V}{2} + \frac{V}{3} = V \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) = V \left( \frac{6 + 3 + 2}{6} \right) = \frac{11V}{6}$
તે જ બેટરીમાંથી શ્રેણીમાં ખેંચાતો પ્રવાહ $I$:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{V}{11V/6} = \frac{6}{11} \,A$.

(B) વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ એ સમાંતર જોડેલા અવરોધકો $R$ અને $2R$ માંથી $I_1$ અને $I_2$ માં વિભાજિત થાય છે. કરંટ ડિવાઈડરના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$I_1 = I \times \frac{2R}{R + 2R} = \frac{2I}{3}$
$I_2 = I \times \frac{R}{R + 2R} = \frac{I}{3}$
અવરોધમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $H = I^2 R t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ધારો કે સમય $t$ બધા માટે સમાન છે:
$H_1 = I_1^2 R = \left(\frac{2I}{3}\right)^2 R = \frac{4I^2 R}{9}$
$H_2 = I_2^2 (2R) = \left(\frac{I}{3}\right)^2 (2R) = \frac{2I^2 R}{9}$
$1.5R$ અવરોધ માટે,કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ તેમાંથી વહે છે:
$H_3 = I^2 (1.5R) = 1.5 I^2 R = \frac{13.5 I^2 R}{9}$
ગુણોત્તર $H_1 : H_2 : H_3 = \frac{4}{9} : \frac{2}{9} : \frac{13.5}{9} = 4 : 2 : 13.5 = 8 : 4 : 27$.

(D) ટેન્જન્ટ ગેલ્વેનોમીટર માટે,પ્રવાહ $I = K \tan \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K = \frac{2r B_{H}}{n \mu_{0}}$.
ગેલ્વેનોમીટર સમાંતર જોડાયેલા હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો વોલ્ટેજ $V$ સમાન છે. તેથી,$I_1 R_1 = I_2 R_2$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{I_1}{I_2} = \frac{R_2}{R_1} = \frac{3}{1}$.
સૂત્ર $I = K \tan \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{I_1}{I_2} = \frac{n_2}{n_1} \cdot \frac{\tan \theta_1}{\tan \theta_2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{1} = \frac{n_2}{n_1} \cdot \frac{\tan 30^{\circ}}{\tan 60^{\circ}}$.
$\frac{3}{1} = \frac{n_2}{n_1} \cdot \frac{1/\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{n_2}{n_1} \cdot \frac{1}{3}$.
તેથી,$\frac{n_1}{n_2} = \frac{1}{9}$.

(A) ધારો કે $R_{1} = R_{2} = R$. $R_{2}$ માંથી વહેતો પ્રવાહ $(I - 1.5) \ A$ છે.
$E, R_{1}$,અને $R_{2}$ ધરાવતા લૂપમાં કિર્ચોફનો વોલ્ટેજ નિયમ $(KVL)$ લાગુ કરતા:
$E - I R_{1} - (I - 1.5) R_{2} = 0$
$R_{1} = R_{2} = R$ હોવાથી,$E = I R + (I - 1.5) R = R(2I - 1.5) \quad ... (i)$
$E, R_{1}$,અને $R'$ ધરાવતા બહારના લૂપમાં $KVL$ લાગુ કરતા:
$E - I R_{1} - 1.5 R' = 0$
$E = I R + 1.5 R' \quad ... (ii)$
આપેલ પરિપથ આકૃતિ મુજબ,$R_{2}$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વોલ્ટેજ અને $R'$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વોલ્ટેજ સમાન છે,તેથી $V_{R_{2}} = V_{R'}$.
$(I - 1.5) R = 1.5 R'$
$R' = \frac{(I - 1.5) R}{1.5}$
$R'$ ને સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$E = I R + 1.5 \left[ \frac{(I - 1.5) R}{1.5} \right] = I R + (I - 1.5) R = R(2I - 1.5)$
આ સુસંગતતા દર્શાવે છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$R = 60 \ \Omega$ અને $E = 180 \ V$ ચકાસતા:
$180 = 60(2I - 1.5) \Rightarrow 3 = 2I - 1.5 \Rightarrow 2I = 4.5 \Rightarrow I = 2.25 \ A$.
તેથી $I - 1.5 = 2.25 - 1.5 = 0.75 \ A$.
$R_{2}$ પરનો વોલ્ટેજ $= 0.75 \times 60 = 45 \ V$.
$R'$ પરનો વોલ્ટેજ $= 1.5 \times R' = 45 \ V \Rightarrow R' = 30 \ \Omega$.
આ એક માન્ય ભૌતિક પરિપથ છે. આમ,$E = 180 \ V$ અને $R_{1} = 60 \ \Omega$ સાચી જોડી છે.

(D) આપેલ છે કે,દળનો ગુણોત્તર $m_{1}: m_{2}: m_{3} = 1: 3: 5$ અને લંબાઈનો ગુણોત્તર $l_{1}: l_{2}: l_{3} = 5: 3: 1$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિદ્યુત અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઘનતા $d = \frac{m}{V} = \frac{m}{Al}$ હોવાથી,$A = \frac{m}{dl}$ મળે.
અવરોધના સૂત્રમાં $A$ ની કિંમત મૂકતા,$R = \rho \frac{l}{(m/dl)} = \rho d \frac{l^{2}}{m}$ મળે.
તાંબાના તાર માટે $\rho$ અને $d$ અચળ હોવાથી,$R \propto \frac{l^{2}}{m}$ થાય.
તેથી,અવરોધનો ગુણોત્તર $R_{1}: R_{2}: R_{3} = \frac{l_{1}^{2}}{m_{1}}: \frac{l_{2}^{2}}{m_{2}}: \frac{l_{3}^{2}}{m_{3}}$ થશે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $R_{1}: R_{2}: R_{3} = \frac{5^{2}}{1}: \frac{3^{2}}{3}: \frac{1^{2}}{5} = \frac{25}{1}: \frac{9}{3}: \frac{1}{5} = 25: 3: 0.2$.
ગુણોત્તરને સરળ બનાવવા માટે $5$ વડે ગુણતા: $125: 15: 1$ મળે.

(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2 m E_{k}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $h$ અને $m$ અચળ હોવાથી,$\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{E_{k}}}$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $E_{k1} = E$ છે અને અંતિમ ગતિ ઉર્જા $E_{k2}$ છે.
આપેલ છે કે $\lambda_1 = 1 \ nm$ અને $\lambda_2 = 0.5 \ nm$,તેથી $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{1}{0.5} = 2$.
સંબંધ $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{E_{k2}}{E_{k1}}}$ નો ઉપયોગ કરતા,$2 = \sqrt{\frac{E_{k2}}{E}}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{E_{k2}}{E} = 4$,તેથી $E_{k2} = 4E$.
જરૂરી વધારાની ઉર્જા $\Delta E = E_{k2} - E_{k1} = 4E - E = 3E$ થાય.
આમ,વધારાની ઉર્જા એ પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જાના $3$ ગણી છે.

(D) ઇલેક્ટ્રોન જ્યારે $n_i$ થી $n_f$ સ્તરમાં સંક્રમણ કરે ત્યારે ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઊર્જા $E = 13.6 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \text{ eV}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$n=3$ થી $n=2$ ના સંક્રમણ માટે ઊર્જા $E_{3-2} = 13.6 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right) = 13.6 \left( \frac{5}{36} \right) \approx 1.89 \text{ eV}$ છે.
અહીં ફોટોઇલેક્ટ્રોન માંડ ઉત્સર્જિત થાય છે, તેથી ધાતુનું વર્ક ફંક્શન $\Phi = 1.89 \text{ eV}$ છે.
ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર માટે આપાત ફોટોનની ઊર્જા વર્ક ફંક્શન કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ $(E \ge \Phi)$.
આપેલા વિકલ્પો માટે ઊર્જાની ગણતરી કરીએ:
$A$: $n=2$ થી $n=1$: $E = 13.6 (1 - 1/4) = 10.2 \text{ eV} > 1.89 \text{ eV}$ (શક્ય છે).
$B$: $n=3$ થી $n=1$: $E = 13.6 (1 - 1/9) = 12.09 \text{ eV} > 1.89 \text{ eV}$ (શક્ય છે).
$C$: $n=5$ થી $n=2$: $E = 13.6 (1/4 - 1/25) = 13.6 (21/100) = 2.856 \text{ eV} > 1.89 \text{ eV}$ (શક્ય છે).
$D$: $n=4$ થી $n=3$: $E = 13.6 (1/9 - 1/16) = 13.6 (7/144) \approx 0.66 \text{ eV} < 1.89 \text{ eV}$ (શક્ય નથી).
તેથી, $n=4$ થી $n=3$ ના સંક્રમણ માટે ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર શક્ય નથી.

(C) આપેલ છે: મહત્તમ વેગ $v = 1.8 \times 10^{6} \ m/s$ અને વિશિષ્ટ વીજભાર $\frac{e}{m} = 1.8 \times 10^{11} \ C/kg$.
સૌથી ઝડપી ફોટોઇલેક્ટ્રોનની ગતિઊર્જા એ સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_{0}$ દ્વારા કરવામાં આવેલા કાર્ય જેટલી હોય છે,જે સમીકરણ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે: $e V_{0} = \frac{1}{2} m v^{2}$.
બંને બાજુને $m$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $V_{0} \left(\frac{e}{m}\right) = \frac{v^{2}}{2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$V_{0} \times (1.8 \times 10^{11}) = \frac{(1.8 \times 10^{6})^{2}}{2}$.
$V_{0} \times 1.8 \times 10^{11} = \frac{3.24 \times 10^{12}}{2}$.
$V_{0} \times 1.8 \times 10^{11} = 1.62 \times 10^{12}$.
$V_{0} = \frac{1.62 \times 10^{12}}{1.8 \times 10^{11}} = 0.9 \times 10 = 9 \ V$.

$(A)$ આપેલ છે: આંટાની સંખ્યા $n = 100$, ક્ષેત્રફળ $A = 0.1 \,m \times 0.05 \,m = 0.005 \,m^{2}$.
પ્રારંભિક ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{1} = 0.1 \,T$, અંતિમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{2} = 0.05 \,T$, અને સમયગાળો $dt = 0.05 \,s$.
ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ નું સૂત્ર $\phi = nBA \cos \theta$ છે। કોઈલ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ હોવાથી, ખૂણો $\theta = 0^{\circ}$ થશે, તેથી $\cos 0^{\circ} = 1$.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ પ્રેરિત e.m.f. $e = \left| -\frac{d\phi}{dt} \right| = nA \frac{|dB|}{dt}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $e = 100 \times 0.005 \times \frac{(0.1 - 0.05)}{0.05}$.
$e = 0.5 \times \frac{0.05}{0.05} = 0.5 \,V$.

(C) લેન્ઝના નિયમ મુજબ,ગૂંચળા $B$ માં પ્રેરિત વિદ્યુતપ્રવાહ તેને ઉત્પન્ન કરનાર કારણનો વિરોધ કરશે.
જેમ ગૂંચળા $A$ માં વિદ્યુતપ્રવાહ વધે છે,તેમ ગૂંચળા $B$ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં વધારો થાય છે.
આ ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતા વધારાનો વિરોધ કરવા માટે,ગૂંચળા $B$ માં પ્રેરિત વિદ્યુતપ્રવાહ ગૂંચળા $A$ ના વિદ્યુતપ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં વહે છે.
બે ગૂંચળાઓની નજીકની બાજુઓમાં વિદ્યુતપ્રવાહ વિરુદ્ધ દિશામાં વહેતો હોવાથી,તેઓ એકબીજા પર અપાકર્ષણ બળ લગાડે છે.
તેથી,ગૂંચળું $B$ અપાકર્ષાય છે.

(B) આપેલ છે કે તેલનું ટીપું સ્થિર છે,તેથી નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ઉપરની તરફ લાગતા વિદ્યુત બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે।
$qE = mg$
બે પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{V}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે અને $d$ એ પ્લેટો વચ્ચેનું અંતર છે:
$q \left(\frac{V}{d}\right) = mg$
વિદ્યુતભાર $q$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$q = \frac{mgd}{V}$
આપેલ કિંમતો:
$m = 10^{-6} \,kg$
$g = 10 \,ms^{-2}$
$d = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$
$V = 500 \,V$
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$q = \frac{10^{-6} \times 10 \times 10^{-3}}{500}$
$q = \frac{10^{-8}}{500} = \frac{10^{-8}}{5 \times 10^2} = 0.2 \times 10^{-10} \,C = 2 \times 10^{-11} \,C$

(D) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્રમાં, વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાઓની દિશામાં વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ ઘટે છે. સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E} = E\hat{i}$ માં કોઈપણ બિંદુ $(x, y)$ પરનું સ્થિતિમાન $V = -Ex + \text{અચળાંક}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એક જ શિરોલંબ રેખા પરના બિંદુઓ (ક્ષેત્ર રેખાઓને લંબ) સમાન સ્થિતિમાન ધરાવે છે કારણ કે તેમનો $x$-યામ સમાન હોય છે.
આકૃતિ જોતા:
$1$. બિંદુ $C$ સૌથી ડાબી બાજુએ છે, તેથી તેનો $x$-યામ સૌથી નાનો છે, જેનો અર્થ છે કે $V_{C}$ સૌથી વધુ છે.
$2$. બિંદુ $D$ સૌથી જમણી બાજુએ છે, તેથી તેનો $x$-યામ સૌથી મોટો છે, જેનો અર્થ છે કે $V_{D}$ સૌથી ઓછું છે.
$3$. બિંદુ $A$ અને $B$ એક જ શિરોલંબ રેખા પર છે, તેથી $V_{A} = V_{B}$.
$4$. $C$ એ $D$ ની ડાબી બાજુએ હોવાથી, $V_{C} > V_{D}$.
આમ, સાચો સંબંધ $V_{A} = V_{B}$ અને $V_{C} > V_{D}$ છે.

(C) જ્યારે બે ધાતુના ગોળાઓને તાર વડે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર ઊંચા સ્થિતિમાનવાળા ગોળાથી નીચા સ્થિતિમાનવાળા ગોળા તરફ વહે છે જ્યાં સુધી બંને સમાન સ્થિતિમાન પ્રાપ્ત ન કરે.
ધારો કે અંતિમ વિદ્યુતભાર $q_1'$ અને $q_2'$ છે. સ્થિતિમાન $V$ સમાન હોવાથી,$V_1 = V_2$.
$\frac{k q_1'}{r_1} = \frac{k q_2'}{r_2} \implies \frac{q_1'}{q_2'} = \frac{r_1}{r_2} = \frac{0.01}{0.02} = \frac{1}{2}$.
કુલ વિદ્યુતભારનું સંરક્ષણ થાય છે: $q_1' + q_2' = 15 \ mC + 45 \ mC = 60 \ mC$.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા,$q_1' = \left( \frac{1}{1+2} \right) \times 60 \ mC = \frac{1}{3} \times 60 \ mC = 20 \ mC$.
$20 \ mC = 20 \times 10^{-3} \ C$ હોવાથી,પ્રથમ ગોળા પરનો અંતિમ વિદ્યુતભાર $20 \times 10^{-3} \ C$ છે.

(A) $R$ ત્રિજ્યા અને $q$ વીજભાર ધરાવતા ગોળાકાર કવચના કેન્દ્ર પર વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} R}$ છે.
બે સમકેન્દ્રીય ગોળાઓ માટે,સામાન્ય કેન્દ્ર પર કુલ સ્થિતિમાન $V$ એ દરેક ગોળાને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V = V_{1} + V_{2} = \frac{q_{1}}{4 \pi \varepsilon_{0} R} + \frac{q_{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} r}$.
આપેલ છે કે પૃષ્ઠ વીજભાર ઘનતા સમાન છે,$\sigma = \frac{q_{1}}{4 \pi R^{2}} = \frac{q_{2}}{4 \pi r^{2}}$.
આનો અર્થ એ છે કે $q_{1} = 4 \pi R^{2} \sigma$ અને $q_{2} = 4 \pi r^{2} \sigma$.
આ કિંમતોને સ્થિતિમાનના સમીકરણમાં મૂકતા:
$V = \frac{4 \pi R^{2} \sigma}{4 \pi \varepsilon_{0} R} + \frac{4 \pi r^{2} \sigma}{4 \pi \varepsilon_{0} r}$.
$V = \frac{R \sigma}{\varepsilon_{0}} + \frac{r \sigma}{\varepsilon_{0}} = \frac{\sigma}{\varepsilon_{0}}(R + r)$.

(D) $I_{1}$ પ્રવાહ ધરાવતી $R$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર લૂપને કારણે કેન્દ્ર $O$ પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર: $B_{1} = \frac{\mu_{0} I_{1}}{2 R}$.
$I_{2}$ પ્રવાહ ધરાવતા લાંબા સીધા વાહકથી $d = OA + AB = R + R = 2R$ જેટલા લંબ અંતરે આવેલા કેન્દ્ર $O$ પર ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર: $B_{2} = \frac{\mu_{0} I_{2}}{2 \pi d} = \frac{\mu_{0} I_{2}}{2 \pi (2R)} = \frac{\mu_{0} I_{2}}{4 \pi R}$.
કેન્દ્ર $O$ પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર શૂન્ય હોવાથી,લૂપ અને સીધા વાહક દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રોના મૂલ્યો સમાન હોવા જોઈએ: $B_{1} = B_{2}$.
સમીકરણો મૂકતા: $\frac{\mu_{0} I_{1}}{2 R} = \frac{\mu_{0} I_{2}}{4 \pi R}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{I_{1}}{2} = \frac{I_{2}}{4 \pi}$.
તેથી,પ્રવાહનો ગુણોત્તર: $\frac{I_{1}}{I_{2}} = \frac{2}{4 \pi} = \frac{1}{2 \pi}$.

(A) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r$ નું સૂત્ર $r = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mE}}{qB}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે બંને કણો માટે ગતિઊર્જા $E$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ સમાન છે,તેથી $r \propto \frac{\sqrt{m}}{q}$ મળે.
પ્રોટોન માટે,દળ $m_P = m$ અને વિદ્યુતભાર $q_P = q$ છે.
હિલિયમ ન્યુક્લિયસ (આલ્ફા કણ) માટે,દળ $m_{He} = 4m$ અને વિદ્યુતભાર $q_{He} = 2q$ છે.
તેથી,તેમની ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $\frac{r_P}{r_{He}} = \frac{\sqrt{m_P}/q_P}{\sqrt{m_{He}}/q_{He}} = \sqrt{\frac{m}{4m}} \times \frac{2q}{q} = \frac{1}{2} \times 2 = 1$ થાય.
આમ,ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $1: 1$ છે.

(C) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ પરસ્પર લંબ એવા વિદ્યુતક્ષેત્ર અને ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી વિચલિત થયા વગર પસાર થાય છે,ત્યારે વિદ્યુત બળ $(F_e)$ અને ચુંબકીય બળ $(F_m)$ સમાન હોવા જોઈએ.
$F_e = F_m$
$qE = qvB \sin \theta$
અહીં ક્ષેત્રો પરસ્પર લંબ હોવાથી,$\theta = 90^{\circ}$,તેથી $\sin 90^{\circ} = 1$.
આમ,$E = vB$.
આપેલ છે:
વેગ $v = 2 \times 10^{3} \ ms^{-1}$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 1.5 \ T$
$E = (2 \times 10^{3}) \times 1.5 = 3 \times 10^{3} \ V/m$ (અથવા $NC^{-1}$).
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $3 \times 10^{3} \ NC^{-1}$ છે.

(B) તટસ્થ હિલિયમ પરમાણુ $(He)$ માંથી પ્રથમ ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા $24.6 eV$ આપેલ છે.
પ્રથમ ઇલેક્ટ્રોન દૂર થયા પછી,બાકી રહેલો આયન $He^+$ છે,જે $Z = 2$ પરમાણુ ક્રમાંક ધરાવતી હાઇડ્રોજન જેવી પ્રજાતિ છે.
$He^+$ ની ધરા અવસ્થામાંથી બીજા ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી ઉર્જાનું સૂત્ર $E = Z^2 \times 13.6 eV$ છે.
$Z = 2$ મૂકતા,આપણને $E = (2)^2 \times 13.6 eV = 4 \times 13.6 eV = 54.4 eV$ મળે છે.
બંને ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટે જરૂરી કુલ ઉર્જા એ પ્રથમ અને બીજા ઇલેક્ટ્રોનને દૂર કરવા માટેની ઉર્જાનો સરવાળો છે.
કુલ ઉર્જા $= 24.6 eV + 54.4 eV = 79 eV$.

(C) આપેલ છે:
${ }_{1} H^{2}$ માટે ન્યુક્લિઓન દીઠ બંધન ઉર્જા = $1.1 \ MeV$.
${ }_{2} He^{4}$ માટે ન્યુક્લિઓન દીઠ બંધન ઉર્જા = $7 \ MeV$.
ન્યુક્લિયર ફ્યુઝન પ્રક્રિયા: ${ }_{1} H^{2} + { }_{1} H^{2} \longrightarrow { }_{2} He^{4} + Q$.
પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઉર્જા (બે ડ્યુટેરોન) = $2 \times (2 \times 1.1 \ MeV) = 4.4 \ MeV$.
નિપજની કુલ બંધન ઉર્જા (એક હિલિયમ ન્યુક્લિયસ) = $4 \times 7 \ MeV = 28 \ MeV$.
મુક્ત થતી ઉર્જા $Q$ એ નિપજ અને પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઉર્જા વચ્ચેનો તફાવત છે:
$Q = BE_{\text{product}} - BE_{\text{reactants}}$
$Q = 28 \ MeV - 4.4 \ MeV = 23.6 \ MeV$.

(D) વિધાન $I$: $\beta^-$-ક્ષય દરમિયાન,એક ન્યુટ્રોન પ્રોટોન,ઇલેક્ટ્રોન અને એન્ટિન્યુટ્રિનોમાં રૂપાંતરિત થાય છે. આમ,તે એન્ટિન્યુટ્રિનો (અથવા $\beta^+$-ક્ષયમાં ન્યુટ્રિનો) સાથે સંકળાયેલ છે. આ વિધાન સાચું છે.
વિધાન $II$: ન્યુક્લિયર બળો ન્યુક્લિયોન્સ (પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન) વચ્ચે તેમના વિદ્યુતભારને ધ્યાનમાં લીધા વિના કાર્ય કરે છે. તેથી,ન્યુક્લિયર બળ વિદ્યુતભારથી સ્વતંત્ર છે. આ વિધાન સાચું છે.
વિધાન $III$: હાઇડ્રોજનનું હિલિયમમાં ન્યુક્લિયર સંલયન એ તારાઓમાં ઉર્જાનો પ્રાથમિક સ્ત્રોત છે. આ વિધાન સાચું છે.
તેથી,ત્રણેય વિધાનો સાચા છે.

(B) ધારો કે ડોટર ન્યુક્લિયસની રિકોઈલ ઝડપ $v^{\prime}$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ન્યુક્લિયસનું પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે.
તેથી,તંત્રનું અંતિમ વેગમાન પણ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે $\alpha$-કણનું દળ $4$ એકમ છે અને ડોટર ન્યુક્લિયસનું દળ $(A-4)$ એકમ છે.
$0 = (A-4) v^{\prime} + 4 v$
$(A-4) v^{\prime} = -4 v$
$v^{\prime} = -\frac{4 v}{A-4}$
રિકોઈલ ઝડપનું મૂલ્ય $\frac{4 v}{A-4}$ છે.

(C) ચોક્કસ સમયગાળામાં ક્ષય પામતા કિરણોત્સર્ગી ન્યુક્લિયસની સંખ્યા હાજર રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યાના પ્રમાણમાં હોય છે।
ધારો કે શરૂઆતમાં ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_0$ છે।
પ્રથમ $2 \,s$ માં $100$ કણો ઉત્સર્જિત થાય છે, તેથી બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસ $N_0 - 100$ છે।
ત્યારબાદના $2 \,s$ માં $50$ કણો ઉત્સર્જિત થાય છે।
સમાન સમયગાળામાં ક્ષય પામતા કણોની સંખ્યા અડધી થતી હોવાથી, અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = 2 \,s$ થાય।
સરેરાશ આયુષ્ય $T_m$ અને અર્ધ-આયુષ્ય વચ્ચેનો સંબંધ $T_m = \frac{T_{1/2}}{0.693}$ છે।
$T_{1/2} = 2 \,s$ મૂકતા, આપણને $T_m = \frac{2}{0.693} \,s$ મળે છે।

(D) દરેક વિધાનનું વિશ્લેષણ કરીએ:
$(i)$ ફોરવર્ડ બાયસ સ્થિતિમાં,ડેપ્લેશન લેયરની પહોળાઈ ઘટે છે,જેનાથી વિદ્યુતપ્રવાહ વહી શકે છે; આમ,ડાયોડ વહન કરે છે. આ વિધાન સાચું છે.
(ii) પેકિંગ ફ્રેક્શનને $f = (M - A) / A$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. નાનું અથવા ઋણ પેકિંગ ફ્રેક્શન ન્યુક્લિયસની વધુ સ્થિરતા સૂચવે છે. આ વિધાન સાચું છે.
(iii) બંધન ઉર્જા એ ન્યુક્લિયસને તેના ઘટક પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોનમાં વિભાજિત કરવા માટે જરૂરી ઉર્જા છે,જે આઈન્સ્ટાઈનના સમીકરણ $E = \Delta m c^2$ દ્વારા દળ ક્ષતિ $\Delta m$ ને સમકક્ષ છે. આ વિધાન સાચું છે.
(iv) સ્વયંભૂ વિખંડન એ એક દુર્લભ રેડિયોએક્ટિવ ક્ષય પ્રક્રિયા છે જે ફક્ત ખૂબ જ ભારે ન્યુક્લિયસમાં (દા.ત.,$U-238$,$Cf-252$) થાય છે. તે તમામ રેડિયોએક્ટિવ તત્વોનો સામાન્ય ગુણધર્મ નથી. તેથી,એવું વિધાન કે રેડિયોએક્ટિવ તત્વો સ્વયંભૂ વિખંડન પામી શકે છે તે ખોટું છે.

(D) એક્ટિવિટી $A$ એ $A = \lambda N = \frac{0.693}{T_{1/2}} N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $A$ અને $B$ માટે પરમાણુઓની પ્રારંભિક સંખ્યા $N_0$ સમાન છે,તેથી પ્રારંભિક એક્ટિવિટી $A_0$ એ અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2}$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,$\frac{A_0(A)}{A_0(B)} = \frac{T_{1/2}(B)}{T_{1/2}(A)} = \frac{2 \text{ days}}{1 \text{ day}} = 2$.
આપેલ છે કે $A_0(A) + A_0(B) = 1200 \text{ dis/min}$.
$A_0(A) = 2 A_0(B)$ મૂકતા,આપણને $2 A_0(B) + A_0(B) = 1200$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $3 A_0(B) = 1200$,તેથી $A_0(B) = 400 \text{ dis/min}$ અને $A_0(A) = 800 \text{ dis/min}$.
$t = 4 \text{ days}$ પછી,$A$ ની એક્ટિવિટી $A(A) = \frac{A_0(A)}{2^{t/T_{1/2}(A)}} = \frac{800}{2^{4/1}} = \frac{800}{16} = 50 \text{ dis/min}$ થશે.
$B$ ની એક્ટિવિટી $A(B) = \frac{A_0(B)}{2^{t/T_{1/2}(B)}} = \frac{400}{2^{4/2}} = \frac{400}{4} = 100 \text{ dis/min}$ થશે.
$4 \text{ days}$ પછી કુલ એક્ટિવિટી $50 + 100 = 150 \text{ dis/min}$ થશે.

(A) પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે, પ્રકાશ ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં જવો જોઈએ અને આપાતકોણ $\theta$ એ ક્રાંતિકોણ $C$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
અહીં માધ્યમ $M_{1}$ અને $M_{2}$ માં પ્રકાશની ઝડપ $v_{1} = 1.5 \times 10^{8} \text{ m/s}$ અને $v_{2} = 2 \times 10^{8} \text{ m/s}$ છે.
અહીં $v_{1} < v_{2}$ હોવાથી, માધ્યમ $M_{1}$ એ $M_{2}$ કરતા ઘટ્ટ છે.
ક્રાંતિકોણ $C$ માટેનું સૂત્ર $\sin C = \frac{v_{1}}{v_{2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\sin C = \frac{1.5 \times 10^{8}}{2 \times 10^{8}} = \frac{1.5}{2} = \frac{3}{4}$.
તેથી, $C = \sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.
પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટે, આપાતકોણ $\theta$ એ શરત $\theta > C$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
આમ, $\theta > \sin^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.

(D) આપેલ છે: વક્રતા ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $\frac{R_{1}}{R_{2}} = \frac{1}{2}$, કેન્દ્રલંબાઈ $f = 6 \,cm$ અને વક્રીભવનાંક $\mu = 1.5$.
ધારો કે $R_{1} = R$ અને $R_{2} = 2R$.
અભિસારી લેન્સ માટે, લેન્સ મેકરનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} \right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{6} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{2R} \right)$.
$\frac{1}{6} = 0.5 \left( \frac{2 + 1}{2R} \right) = 0.5 \left( \frac{3}{2R} \right) = \frac{1.5}{2R} = \frac{3}{4R}$.
$R$ માટે ઉકેલતા: $4R = 18$, તેથી $R = 4.5 \,cm$.
તેથી, $R_{1} = 4.5 \,cm$ અને $R_{2} = 2 \times 4.5 = 9 \,cm$.

(B) આપેલ છે કે મોટવણી $m = 2$ અને પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક છે. વાસ્તવિક પ્રતિબિંબ માટે,પદાર્થ અને પ્રતિબિંબ વચ્ચેનું અંતર $D = |u| + |v| = 0.72 \ m$ છે.
કારણ કે $m = \frac{|v|}{|u|} = 2$,તેથી $|v| = 2|u|$.
આ કિંમત અંતરના સમીકરણમાં મૂકતા: $|u| + 2|u| = 0.72 \ m \Rightarrow 3|u| = 0.72 \ m \Rightarrow |u| = 0.24 \ m$ અને $|v| = 0.48 \ m$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v = 0.48 \ m$ અને $u = -0.24 \ m$ છે:
$\frac{1}{f} = \frac{1}{0.48} - \frac{1}{-0.24} = \frac{1 + 2}{0.48} = \frac{3}{0.48} \Rightarrow f = 0.16 \ m$.
જ્યારે પદાર્થને લેન્સ તરફ $0.04 \ m$ ખસેડવામાં આવે છે,ત્યારે નવું પદાર્થ અંતર $u' = -(0.24 - 0.04) = -0.20 \ m$ થાય છે.
ફરીથી લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v'} - \frac{1}{-0.20} = \frac{1}{0.16} \Rightarrow \frac{1}{v'} = \frac{1}{0.16} - \frac{1}{0.20} = \frac{5 - 4}{0.80} = \frac{1}{0.80} \Rightarrow v' = 0.80 \ m$.
નવી મોટવણી $m' = \frac{v'}{u'} = \frac{0.80}{-(-0.20)} = 4$ થશે.

(C) ધારો કે $n_1$ એ પ્રથમ સપાટીની બહારના માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે, $n_2$ એ પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક છે, અને $n_3$ એ બીજી સપાટીની બહારના માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે।
કિરણ લંબ તરફ વળે તે માટે, તેણે પાતળા માધ્યમમાંથી ઘટ્ટ માધ્યમમાં જવું જોઈએ $(n_{\text{આપાત}} < n_{\text{વક્રીભૂત}})$।
કિરણ લંબથી દૂર જાય તે માટે, તેણે ઘટ્ટ માધ્યમમાંથી પાતળા માધ્યમમાં જવું જોઈએ $(n_{\text{આપાત}} > n_{\text{વક્રીભૂત}})$।
કિસ્સા $(a)$ માં, કિરણ પ્રથમ સપાટી પર લંબ તરફ વળે છે $(n_1 < n_2)$ અને બીજી સપાટી પરથી ઘસાઈને જાય છે, જે પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અથવા ક્રાંતિકોણની સ્થિતિ સૂચવે છે $(n_2 > n_3)$। આમ, $n_2 > n_1$ અને $n_2 > n_3$ સાચું છે।
કિસ્સા $(b)$ માં, કિરણ પ્રથમ સપાટી પર વિચલન વગર પ્રવેશ કરે છે $(n_1 = n_2)$ અને બીજી સપાટી પર લંબથી દૂર જાય છે $(n_2 > n_3)$। આ સાચું છે।
કિસ્સા $(c)$ માં, કિરણ પ્રથમ સપાટી પર લંબ તરફ વળે છે $(n_1 < n_2)$ અને બીજી સપાટી પર લંબથી દૂર જાય છે $(n_2 > n_3)$। વિધાન કહે છે કે $n_2 < n_1$ અને $n_2 = n_3$, જે અવલોકન કરેલા વળાંકથી વિરોધાભાસી છે। તેથી, $(c)$ ખોટું વિધાન છે।

(C) પાર્શ્વીય સ્થાનાંતર $L_{s} = t \frac{\sin(i-r)}{\cos r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ આપાતકોણ $i$ વધે છે,તેમ પાર્શ્વીય સ્થાનાંતર $L_{s}$ વધે છે. તેથી,વિધાન $A$ સાચું છે.
જેમ વક્રીભવનાંક $\mu$ વધે છે,તેમ વક્રીભવનકોણ $r$ ઘટે છે,જેના પરિણામે પાર્શ્વીય સ્થાનાંતર $L_{s}$ માં વધારો થાય છે. તેથી,વિધાન $B$ સાચું છે.
લંબ સ્થાનાંતર $L_{N} = t(1 - \frac{1}{\mu})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જેમ વક્રીભવનાંક $\mu$ વધે છે,તેમ પદ $\frac{1}{\mu}$ ઘટે છે,જેનો અર્થ છે કે $(1 - \frac{1}{\mu})$ વધે છે. તેથી,વક્રીભવનાંક વધતા લંબ સ્થાનાંતર $L_{N}$ વધે છે. આમ,વિધાન $C$ ખોટું છે.
$L_{s}$ અને $L_{N}$ બંને માધ્યમની જાડાઈ $t$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે. તેથી,વિધાન $D$ સાચું છે.
આથી,ખોટું વિધાન $C$ છે.

(A) $p-n$ જંકશન ડાયોડમાં,જ્યારે રિવર્સ બાયસ આપવામાં આવે છે,ત્યારે બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્ર ડેપ્લેશન રિજનના આંતરિક વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં જ હોય છે. આના કારણે મેજોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સ જંકશનથી દૂર જાય છે,જેનાથી ડેપ્લેશન રિજનની પહોળાઈ વધે છે. તેનાથી ઉલટું,ફોરવર્ડ બાયસમાં,બાહ્ય ક્ષેત્ર આંતરિક ક્ષેત્રનો વિરોધ કરે છે,જે ડેપ્લેશન રિજનની પહોળાઈ ઘટાડે છે.

(D) ટ્રાન્ઝિસ્ટરનો એમ્પ્લીફાયર તરીકે ઉપયોગ કરવા માટે,ઇનપુટ સર્કિટ (એમિટર-બેઝ જંકશન) ને ફોરવર્ડ બાયસ્ડ રાખવી પડે છે જેથી પ્રવાહ વહી શકે,અને આઉટપુટ સર્કિટ (કલેક્ટર-બેઝ જંકશન) ને રિવર્સ બાયસ્ડ રાખવી પડે છે જેથી ઉચ્ચ અવરોધ અને વોલ્ટેજ ગેઇન મળી શકે.
તેથી,એમિટર-બેઝ જંકશન ફોરવર્ડ બાયસ્ડ હોય છે અને કલેક્ટર-બેઝ જંકશન રિવર્સ બાયસ્ડ હોય છે.

(D) ધારો કે $OR$ ગેટના ઇનપુટ્સ $A$ અને $B$ છે. $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y = A + B$ છે.
આ આઉટપુટ $Y$ ને $NAND$ ગેટના બંને ઇનપુટ્સ સાથે જોડવામાં આવે છે. ધારો કે $NAND$ ગેટના ઇનપુટ્સ $X_1$ અને $X_2$ છે,જ્યાં $X_1 = X_2 = Y = A + B$ છે.
$X_1$ અને $X_2$ ઇનપુટ્સ ધરાવતા $NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $\overline{X_1 \cdot X_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$X_1 = X_2 = A + B$ મૂકતા,અંતિમ આઉટપુટ $Y^{\prime} = \overline{(A + B) \cdot (A + B)}$ મળે છે.
બુલિયન આઈડેન્ટિટી $X \cdot X = X$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $Y^{\prime} = \overline{A + B}$ મળે છે.
અભિવ્યક્તિ $\overline{A + B}$ એ $NOR$ ગેટની બુલિયન કામગીરી દર્શાવે છે.
તેથી,આ સંયોજન $NOR$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે.

(C) $p$-પ્રકારનો અર્ધવાહક ત્રિસંયોજક અશુદ્ધિ પરમાણુ (સમૂહ $13$ ના તત્વ) ઉમેરીને મેળવવામાં આવે છે.
ગેલિયમ $(Ga)$ એ ત્રિસંયોજક તત્વ છે.
તેથી,જ્યારે જર્મેનિયમ $(Ge)$ માં ગેલિયમ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે તે $p$-પ્રકારનો અર્ધવાહક બનાવે છે.
બિસ્મથ $(Bi)$,એન્ટિમની $(Sb)$ અને ફોસ્ફરસ $(P)$ એ પંચસંયોજક તત્વો (સમૂહ $15$) છે,જે $n$-પ્રકારના અર્ધવાહકો બનાવે છે.

(A) ખાંડના દ્રાવણ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું પ્રકાશીય પરિભ્રમણ $\theta$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\theta = S \cdot l \cdot C$, જ્યાં $S$ એ વિશિષ્ટ પરિભ્રમણ છે, $l$ એ ટ્યુબની લંબાઈ છે અને $C$ એ દ્રાવણની સાંદ્રતા છે。
પ્રથમ કિસ્સામાં, $\theta = S \cdot l \cdot C$, જ્યાં $l = 0.2 \,m$ અને $C = \frac{m}{V}$, જ્યાં $m$ એ ખાંડનું દળ છે અને $V$ એ ટ્યુબનું કદ છે $(V = \pi R^2 l)$。
આમ, $\theta = S \cdot l \cdot \frac{m}{\pi R^2 l} = \frac{S \cdot m}{\pi R^2}$。
બીજા કિસ્સામાં, સમાન દળ $m$ ધરાવતી ખાંડને $l_1 = 0.3 \,m$ લંબાઈ અને સમાન ત્રિજ્યા $R$ ધરાવતી ટ્યુબમાં રાખવામાં આવે છે। નવી ટ્યુબનું કદ $V_1 = \pi R^2 l_1 = \pi R^2 (0.3)$ છે。
બીજા કિસ્સામાં દ્રાવણની સાંદ્રતા $C_1 = \frac{m}{V_1} = \frac{m}{\pi R^2 (0.3)}$ છે。
નવું પરિભ્રમણ $\theta_1 = S \cdot l_1 \cdot C_1 = S \cdot (0.3) \cdot \frac{m}{\pi R^2 (0.3)} = \frac{S \cdot m}{\pi R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે。
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા, આપણને $\theta_1 = \theta$ મળે છે。

(C) હ્યુગેન્સ દ્વારા પ્રસ્તાવિત પ્રકાશનો તરંગવાદ,વ્યતિકરણ,વિવર્તન અને ઘટ્ટ માધ્યમમાં પ્રકાશનો વેગ પાતળા માધ્યમ કરતા ઓછો હોય છે તે હકીકતને સફળતાપૂર્વક સમજાવે છે.
જોકે,તરંગવાદ પ્રકાશના પ્રકીર્ણનને સમજાવી શકતો નથી,જેને પ્રકાશના કણ સ્વરૂપ અથવા ક્વોન્ટમ સિદ્ધાંત દ્વારા વધુ સારી રીતે સમજાવી શકાય છે.
તેથી,ઘટનાઓ $(2)$,$(3)$ અને $(4)$ પ્રકાશના તરંગવાદને સમર્થન આપે છે.

(C) પાતળા પડ માટે,પરાવર્તિત પ્રકાશમાં સહાયક વ્યતિકરણ (મહત્તમ) માટેની શરત $2 \mu t \cos r = (n + 1/2) \lambda_1$ છે,જ્યાં $n$ પૂર્ણાંક છે.
વિનાશક વ્યતિકરણ (ન્યૂનતમ) માટેની શરત $2 \mu t \cos r = m \lambda_2$ છે,જ્યાં $m$ પૂર્ણાંક છે.
અહીં $\lambda_1 = 600 \ nm$ અને $\lambda_2 = 450 \ nm$ આપેલ છે. લંબ આપાતકોણ $(\cos r = 1)$ ધારતા:
$2 \mu t = (n + 1/2) \lambda_1 = (2n + 1) \frac{\lambda_1}{2} = (2n + 1) \times 300 \ nm$
$2 \mu t = m \lambda_2 = m \times 450 \ nm$
બંનેને સરખાવતા: $(2n + 1) \times 300 = m \times 450 \implies (2n + 1) \times 2 = 3m \implies 4n + 2 = 3m$.
વચ્ચે કોઈ ન્યૂનતમ ન હોય તેવી સૌથી નાની જાડાઈ માટે,$n=1$ લેતા: $4(1) + 2 = 6 = 3m \implies m = 2$.
મહત્તમની શરતમાં $n=1$ મૂકતા:
$2 \times 1.5 \times t = (1 + 0.5) \times 600 \ nm$
$3t = 1.5 \times 600 \ nm = 900 \ nm$
$t = 300 \ nm = 3 \times 10^{-7} \ m$.
આમ,પડની જાડાઈ $3$ એકમ છે.

(A) યંગના ડબલ-સ્લિટ પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઇ છે,$D$ એ પડદાનું અંતર છે અને $d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
આ સૂચવે છે કે $\beta \propto \lambda$.
ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર મુજબ,ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ છે. ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર થવા માટે,આપાત ફોટોનની ઉર્જા ધાતુના વર્ક ફંક્શન $(\Phi)$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ,એટલે કે $\frac{hc}{\lambda} \geq \Phi$.
આનો અર્થ એ છે કે નાની તરંગલંબાઇ ઉચ્ચ ઉર્જા સાથે સંબંધિત છે.
જેহেতু $\lambda_{1}$ ફોટોઇલેક્ટ્રિક અસર ઉત્પન્ન કરી શકે છે અને $\lambda_{2}$ કરી શકતી નથી,તેથી તેનો અર્થ એ છે કે $\lambda_{1}$ ની ઉર્જા $\lambda_{2}$ કરતા વધારે છે,જેનો અર્થ છે કે $\lambda_{1} < \lambda_{2}$.
જેহেতু $\beta \propto \lambda$,તેથી $\beta_{1} < \beta_{2}$ થાય છે.