KCET 2013 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) मान लीजिए कि $d$ एक संयुक्त संख्या $a$ का सबसे छोटा भाजक है ताकि $1 < d < a$ हो।
यदि $d > \sqrt{a}$ है,तो दूसरा भाजक $a/d$ भी $\sqrt{a}$ से बड़ा होना चाहिए क्योंकि $a/d < a/\sqrt{a} = \sqrt{a}$ है।
यह दर्शाता है कि $a/d$ एक भाजक है जो $d$ से छोटा है,जो इस धारणा का खंडन करता है कि $d$,$1$ से बड़ा सबसे छोटा भाजक है।
इसलिए,सबसे छोटा भाजक $d$ को $d \leq \sqrt{a}$ को संतुष्ट करना चाहिए।

(D) दिया गया समीकरण $x^{3}+a x^{2}+b x+c=0$ है।
माना मूल $(\alpha, \beta, \gamma)$ हैं। चूँकि वे $AP$ में हैं,इसलिए $2 \beta = \alpha + \gamma$ है।
मूलों के योग से,$\alpha + \beta + \gamma = -a$ है।
$\alpha + \gamma = 2 \beta$ प्रतिस्थापित करने पर,$3 \beta = -a$,अतः $\beta = -\frac{a}{3}$ है।
चूँकि $\beta$ एक मूल है,यह समीकरण को संतुष्ट करता है:
$(-\frac{a}{3})^{3} + a(-\frac{a}{3})^{2} + b(-\frac{a}{3}) + c = 0$.
$-\frac{a^{3}}{27} + \frac{a^{3}}{9} - \frac{ab}{3} + c = 0$.
$27$ से गुणा करने पर,$-a^{3} + 3a^{3} - 9ab + 27c = 0$.
$2a^{3} - 9ab + 27c = 0$.
अतः,$2a^{3} - 9ab = -27c$.

(C) माना $z = \frac{1+2i}{1-(1-i)^{2}}$.
सबसे पहले,हर का सरलीकरण करने पर: $(1-i)^{2} = 1^{2} + i^{2} - 2i = 1 - 1 - 2i = -2i$.
इस मान को $z$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$z = \frac{1+2i}{1 - (-2i)} = \frac{1+2i}{1+2i} = 1$.
अतः,$z = 1 + 0i$.
मापांक $|z| = \sqrt{1^{2} + 0^{2}} = 1$.
कोणांक $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{0}{1}\right) = 0$.

(D) दिया गया है,$2x = -1 + i\sqrt{3}$।
$x = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} = \omega$,जहाँ $\omega$ इकाई का घनमूल है।
हम जानते हैं कि $1 + \omega + \omega^2 = 0$,जिसका अर्थ है $1 + \omega = -\omega^2$ और $1 + \omega^2 = -\omega$।
व्यंजक में $x = \omega$ रखने पर:
$(1 - \omega^2 + \omega)^6 - (1 - \omega + \omega^2)^6$
$= (-\omega^2 - \omega^2)^6 - (-\omega - \omega)^6$
$= (-2\omega^2)^6 - (-2\omega)^6$
$= 2^6 \cdot \omega^{12} - 2^6 \cdot \omega^6$
चूंकि $\omega^3 = 1$,इसलिए $\omega^6 = 1$ और $\omega^{12} = 1$ है।
$= 64(1) - 64(1) = 0$.

(B) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \frac{n}{(n+1)(n+2)} \cdot 2^n$ है।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$\frac{n}{(n+1)(n+2)} = \frac{2}{n+2} - \frac{1}{n+1}$.
अतः,$T_n = \left( \frac{2}{n+2} - \frac{1}{n+1} \right) 2^n = \frac{2^{n+1}}{n+2} - \frac{2^n}{n+1}$.
मान लीजिए $f(n) = \frac{2^n}{n+1}$. तब $T_n = f(n+1) - f(n)$.
योग $S_n = \sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n (f(k+1) - f(k)) = f(n+1) - f(1)$.
चूंकि $f(n+1) = \frac{2^{n+1}}{n+2}$ और $f(1) = \frac{2^1}{1+1} = 1$,इसलिए $S_n = \frac{2^{n+1}}{n+2} - 1$ प्राप्त होता है।

(C) माना $n = 10^{10}$ है। व्यंजक $n(n+1)(n+2)$ हो जाता है।
यह $3$ क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है।
किन्हीं भी $k$ क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा $k!$ से विभाज्य होता है।
अतः,$n(n+1)(n+2)$,$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ से विभाज्य है।
चूंकि व्यंजक $6$ से पूर्णतः विभाज्य है,इसलिए शेषफल $0$ है।

(A) हमें दिया गया योग $S = \sum_{k=0}^{n} (k+1) C_{k} = 576$ है।
हम जानते हैं कि $\sum_{k=0}^{n} C_{k} x^{k} = (1+x)^{n}$ होता है।
$x$ से गुणा करने पर,$\sum_{k=0}^{n} C_{k} x^{k+1} = x(1+x)^{n}$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\sum_{k=0}^{n} (k+1) C_{k} x^{k} = (1+x)^{n} + nx(1+x)^{n-1}$।
$x=1$ रखने पर,$\sum_{k=0}^{n} (k+1) C_{k} = (1+1)^{n} + n(1)(1+1)^{n-1} = 2^{n} + n \cdot 2^{n-1}$।
यह $2^{n-1}(2+n) = 576$ में सरल हो जाता है।
हम $576 = 64 \times 9 = 2^{6} \times 9 = 2^{7-1}(7+2)$ लिख सकते हैं।
$2^{n-1}(n+2) = 2^{7-1}(7+2)$ की तुलना करने पर,$n=7$ प्राप्त होता है।

(D) दी गई व्यंजक $P = \log(\sin 1^{\circ}) \cdot \log(\sin 2^{\circ}) \cdot \dots \cdot \log(\sin 90^{\circ}) \cdot \dots \cdot \log(\sin 179^{\circ})$ है।
हम जानते हैं कि $\sin 90^{\circ} = 1$ होता है।
इसलिए,पद $\log(\sin 90^{\circ}) = \log(1) = 0$ होगा।
चूंकि यह व्यंजक $\log(\sin 90^{\circ})$ सहित कई पदों का गुणनफल है,इसलिए पूरा गुणनफल $0$ हो जाएगा क्योंकि किसी भी संख्या का $0$ से गुणा करने पर परिणाम $0$ आता है।
अतः,मान $0$ है।

(C) दिया गया है,$\sin x - \sin y = \frac{1}{2} \dots (i)$ और $\cos x - \cos y = 1 \dots (ii)$.
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \sin \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{1}{2} \dots (iii)$
$-2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \sin \left(\frac{x-y}{2}\right) = 1 \dots (iv)$
$(iv)$ को $(iii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{-2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \sin \left(\frac{x-y}{2}\right)}{2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \sin \left(\frac{x-y}{2}\right)} = \frac{1}{1/2}$
$-\tan \left(\frac{x+y}{2}\right) = 2 \implies \tan \left(\frac{x+y}{2}\right) = -2$.
सूत्र $\tan(2\theta) = \frac{2\tan \theta}{1 - \tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $\theta = \frac{x+y}{2}$:
$\tan(x+y) = \frac{2 \tan \left(\frac{x+y}{2}\right)}{1 - \tan^2 \left(\frac{x+y}{2}\right)} = \frac{2(-2)}{1 - (-2)^2} = \frac{-4}{1 - 4} = \frac{-4}{-3} = \frac{4}{3}$.

(A) दिया गया है,$\sin x - \cos x = \sqrt{2}$
दोनों पक्षों को $\sqrt{2}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin x - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = 1$
$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ का उपयोग करने पर:
$\sin x \cos \frac{\pi}{4} - \cos x \sin \frac{\pi}{4} = 1$
सर्वसमिका $\sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\sin(x - \frac{\pi}{4}) = 1$
चूँकि $\sin \theta = 1$ का अर्थ है $\theta = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$:
$x - \frac{\pi}{4} = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$
$x = 2n\pi + \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}$
$x = 2n\pi + \frac{3\pi}{4}$

(A) सरल रेखाओं के युग्म का दिया गया समीकरण $(\cos^{2} \alpha - 1) x^{2} - 2 \cos^{2} \alpha \cdot xy + \sin^{2} \alpha y^{2} = 0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $ax^{2} + 2hxy + by^{2} = 0$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = \cos^{2} \alpha - 1 = -\sin^{2} \alpha$,
$h = -\cos^{2} \alpha$,
$b = \sin^{2} \alpha$.
माना $\theta$ रेखाओं के बीच का कोण है। कोण के लिए सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{2 \sqrt{h^{2} - ab}}{a + b} \right|$ है।
मान रखने पर:
$a + b = -\sin^{2} \alpha + \sin^{2} \alpha = 0$.
चूंकि हर $0$ है,इसलिए $\tan \theta$ का मान अपरिभाषित है,जिसका अर्थ है कि $\theta = 90^{\circ}$।
अतः,रेखाएं परस्पर लंबवत हैं।

(B) माना $\triangle OAB$ के शीर्ष $O(0, 0)$,$A(\cos \theta, \sin \theta)$ और $B(\sin \theta, -\cos \theta)$ हैं।
माना $\triangle OAB$ का केंद्रक $(h, k)$ है।
त्रिभुज के केंद्रक का सूत्र $(h, k) = (\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$ होता है।
दिए गए निर्देशांकों को रखने पर:
$h = \frac{0 + \cos \theta + \sin \theta}{3} \Rightarrow 3h = \cos \theta + \sin \theta$ ... $(i)$
$k = \frac{0 + \sin \theta - \cos \theta}{3} \Rightarrow 3k = \sin \theta - \cos \theta$ ... (ii)
बिंदुपथ ज्ञात करने के लिए,समीकरण $(i)$ और (ii) का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(3h)^{2} + (3k)^{2} = (\cos \theta + \sin \theta)^{2} + (\sin \theta - \cos \theta)^{2}$
$9h^{2} + 9k^{2} = (\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta + 2\sin \theta \cos \theta) + (\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta - 2\sin \theta \cos \theta)$
$9h^{2} + 9k^{2} = 1 + 1 = 2$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,अभीष्ट बिंदुपथ $9x^{2} + 9y^{2} = 2$ है।

(D) रेखा का दिया गया समीकरण $3 \cos \theta \cdot x + 4 \sin \theta \cdot y = 12$ है।
$12$ से विभाजित करने पर,हमें अंतःखंड रूप प्राप्त होता है:
$\frac{x}{4 / \cos \theta} + \frac{y}{3 / \sin \theta} = 1$.
यह रेखा निर्देशांक अक्षों को $A\left(\frac{4}{\cos \theta}, 0\right)$ और $B\left(0, \frac{3}{\sin \theta}\right)$ पर काटती है।
$\triangle OAB$ का क्षेत्रफल है:
$\Delta = \frac{1}{2} \times |OA| \times |OB| = \frac{1}{2} \times \left| \frac{4}{\cos \theta} \right| \times \left| \frac{3}{\sin \theta} \right| = \frac{6}{|\sin \theta \cos \theta|} = \frac{12}{|\sin 2 \theta|}$.
क्षेत्रफल को न्यूनतम होने के लिए,$|\sin 2 \theta|$ को अधिकतम होना चाहिए। चूँकि $|\sin 2 \theta|$ का अधिकतम मान $1$ है,इसलिए न्यूनतम क्षेत्रफल:
$\Delta_{\min} = \frac{12}{1} = 12$.

(A) दी गई रेखा का समीकरण $6x - 7y + 8 + \lambda(3x - y + 5) = 0$ है।
$x$ और $y$ के पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(6 + 3\lambda)x - (7 + \lambda)y + (8 + 5\lambda) = 0$ प्राप्त होता है।
रेखा के $y$-अक्ष के समांतर होने के लिए,$y$ का गुणांक शून्य होना चाहिए और $x$ का गुणांक शून्य नहीं होना चाहिए।
$y$ के गुणांक को शून्य रखने पर:
$-(7 + \lambda) = 0$
$\lambda + 7 = 0$
$\lambda = -7$।
$\lambda = -7$ के लिए $x$ के गुणांक की जाँच करने पर:
$6 + 3(-7) = 6 - 21 = -15 \neq 0$।
अतः,रेखा $x = \text{अचर}$ के रूप में है,जो $y$-अक्ष के समांतर है।

(A) दिया गया है कि वृत्त का केंद्र $C(3,4)$ है।
चूँकि वृत्त रेखा $5x+12y-11=0$ को स्पर्श करता है,इसलिए वृत्त की त्रिज्या $r$,केंद्र $(3,4)$ से रेखा पर डाले गए लंब की लंबाई के बराबर होगी।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $ax+by+c=0$ की लंबवत दूरी $d$ का सूत्र $d = \frac{|ax_1+by_1+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ है।
मान रखने पर:
$r = \frac{|5(3)+12(4)-11|}{\sqrt{5^2+12^2}}$
$r = \frac{|15+48-11|}{\sqrt{25+144}}$
$r = \frac{|52|}{\sqrt{169}}$
$r = \frac{52}{13} = 4$.
वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल $= \pi(4)^2 = 16\pi$ वर्ग इकाई।

(B) वृत्त का समीकरण $2x^{2} + 2y^{2} - 3x + 4y = 0$ है। $2$ से विभाजित करने पर,हमें मानक रूप प्राप्त होता है: $x^{2} + y^{2} - \frac{3}{2}x + 2y = 0$।
यहाँ,$AB$ बिंदु $B(2, 1)$ से वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई को दर्शाता है।
बिंदु $(x_{1}, y_{1})$ से वृत्त $x^{2} + y^{2} + 2gx + 2fy + c = 0$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{x_{1}^{2} + y_{1}^{2} + 2gx_{1} + 2fy_{1} + c}$ द्वारा दी जाती है।
$B(2, 1)$ के निर्देशांकों को वृत्त के समीकरण में रखने पर:
$AB = \sqrt{(2)^{2} + (1)^{2} - \frac{3}{2}(2) + 2(1)}$
$AB = \sqrt{4 + 1 - 3 + 2}$
$AB = \sqrt{4} = 2 \text{ इकाई}$.

(D) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^{2}+y^{2}+3x+2y-8=0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $g=\frac{3}{2}$,$f=1$,और $c=-8$ प्राप्त होता है।
$y$-अक्ष द्वारा बनाए गए अंतःखंड की लंबाई का सूत्र $2\sqrt{f^{2}-c}$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
लंबाई $= 2\sqrt{(1)^{2}-(-8)}$
$= 2\sqrt{1+8}$
$= 2\sqrt{9}$
$= 2 \times 3 = 6$.

(A) दिए गए वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}+2x-2y+7=0$ है।
इसे मानक रूप $x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=1$,$f=-1$,और $c=7$ प्राप्त होता है।
वृत्त की त्रिज्या $r = \sqrt{g^{2}+f^{2}-c}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$r = \sqrt{1^{2}+(-1)^{2}-7} = \sqrt{1+1-7} = \sqrt{-5}$।
चूंकि त्रिज्या $\sqrt{-5}$ है,जो एक काल्पनिक संख्या है,इसलिए दिया गया समीकरण एक वास्तविक वृत्त को निरूपित नहीं करता है।
अतः,कोई भी वास्तविक वृत्त इस काल्पनिक वृत्त को लंबकोणीय रूप से नहीं काट सकता है।
इसलिए,ऐसे वास्तविक वृत्तों की संख्या $0$ है।

(D) दिया गया है,परवलय का समीकरण $y^{2}=4x$ है।
$y^{2}=4ax$ से तुलना करने पर,$a=1$ प्राप्त होता है।
ढाल रूप में परवलय की स्पर्श रेखा का समीकरण $y=mx+\frac{a}{m}$ है।
$a=1$ प्रतिस्थापित करने पर,$y=mx+\frac{1}{m} \quad (i)$ प्राप्त होता है।
स्पर्श रेखा $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ $\frac{\pi}{4}$ का कोण बनाती है,इसलिए ढाल $m = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ है।
समीकरण $(i)$ में $m=1$ रखने पर,$y = (1)x + \frac{1}{1}$ प्राप्त होता है।
यह $y = x + 1$ में सरल हो जाता है,अर्थात $x - y + 1 = 0$।

(A) दिया गया दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ है।
यहाँ,$a^{2}=4$ और $b^{2}=3$ है।
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e_{1}=\sqrt{1-\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1-\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$ है।
दिया गया अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{3}=1$ है।
यहाँ,$a^{2}=4$ और $b^{2}=3$ है।
अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e_{2}=\sqrt{1+\frac{b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt{1+\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{7}{4}}=\frac{\sqrt{7}}{2}$ है।
उत्केंद्रताओं के वर्गों का योग $e_{1}^{2}+e_{2}^{2} = (\frac{1}{2})^{2} + (\frac{\sqrt{7}}{2})^{2} = \frac{1}{4} + \frac{7}{4} = \frac{8}{4} = 2$ है।

(D) दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ के सहायक वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ है।
सहायक वृत्त का क्षेत्रफल $= \pi a^{2}$।
दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल $= \pi ab$।
प्रश्न के अनुसार,सहायक वृत्त का क्षेत्रफल दीर्घवृत्त के क्षेत्रफल का दोगुना है:
$\pi a^{2} = 2(\pi ab)$
$a^{2} = 2ab$
$a = 2b \Rightarrow b = \frac{a}{2}$।
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e$ इस प्रकार है:
$e = \sqrt{1 - \frac{b^{2}}{a^{2}}}$
$e = \sqrt{1 - \frac{(a/2)^{2}}{a^{2}}}$
$e = \sqrt{1 - \frac{a^{2}/4}{a^{2}}}$
$e = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$।

(A) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ है।
नाभियों के बीच की दूरी $= 2ae$ है।
नियताओं के बीच की दूरी $= \frac{2a}{e}$ है।
दिया गया अनुपात $3: 2$ है,इसलिए $\frac{2ae}{2a/e} = \frac{3}{2}$।
इसे सरल करने पर $e^{2} = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि अतिपरवलय के लिए $e^{2} = 1 + \frac{b^{2}}{a^{2}}$ होता है।
$e^{2} = \frac{3}{2}$ रखने पर,$1 + \frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{3}{2}$।
$\frac{b^{2}}{a^{2}} = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$।
अतः,$\frac{b}{a} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,जिसका अर्थ है कि $a: b = \sqrt{2}: 1$।

(C) दी गई सीमा: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\log _{e}(1+x)}{3^{x}-1}$
यह $\frac{0}{0}$ के अनिर्धारित रूप में है।
अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर ($L$'Hospital नियम):
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{d}{dx}(\log _{e}(1+x))}{\frac{d}{dx}(3^{x}-1)}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{1+x}}{3^{x} \cdot \log _{e} 3}$
$x = 0$ रखने पर:
$= \frac{\frac{1}{1+0}}{3^{0} \cdot \log _{e} 3} = \frac{1}{1 \cdot \log _{e} 3} = \frac{1}{\log _{e} 3}$
गुणधर्म $\frac{1}{\log _{a} b} = \log _{b} a$ का उपयोग करने पर:
$= \log _{3} e$

(B) दिया गया कथन $(p \wedge \sim q) \rightarrow r$ है।
एक सशर्त कथन $A \rightarrow B$ का प्रतिलोम $\sim A \rightarrow \sim B$ के रूप में परिभाषित होता है।
यहाँ,$A = (p \wedge \sim q)$ और $B = r$ है।
इसलिए,प्रतिलोम $\sim (p \wedge \sim q) \rightarrow \sim r$ होगा।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim (p \wedge \sim q) \equiv \sim p \vee \sim (\sim q) \equiv \sim p \vee q$ है।
अतः,प्रतिलोम $(\sim p) \vee q \rightarrow (\sim r)$ है।

(C) दिया गया है,$150 x \equiv 35 \pmod{31}$।
सबसे पहले,उभयनिष्ठ गुणनखंड $5$ से विभाजित करके सर्वांगसमता को सरल करें (चूंकि $\gcd(5, 31) = 1$):
$30 x \equiv 7 \pmod{31}$।
हम $30$ को $-1 \pmod{31}$ के रूप में लिख सकते हैं:
$-x \equiv 7 \pmod{31}$।
दोनों पक्षों को $-1$ से गुणा करने पर:
$x \equiv -7 \pmod{31}$।
धनात्मक शेषफल ज्ञात करने के लिए,$31$ जोड़ें:
$x \equiv -7 + 31 \pmod{31} \Rightarrow x \equiv 24 \pmod{31}$।
अतः,$x = 24$ दी गई सर्वांगसमता को संतुष्ट करता है।

(B) दिया है,$\triangle ABC$ में,$\frac{\cos A}{a}=\frac{\cos B}{b}=\frac{\cos C}{c} \dots (i)$
ज्या नियम (sine rule) से,$\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c} \dots (ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर,हमें $\tan A = \tan B = \tan C$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A, B, C$ त्रिभुज के कोण हैं,इसलिए $A = B = C$ होगा।
अतः,$\triangle ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है।
$A+B+C = 180^{\circ}$ होने के कारण,$3A = 180^{\circ}$,जिससे $A = B = C = 60^{\circ}$ प्राप्त होता है।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ होता है।
$a = 2$ दिया गया है,इसलिए क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} (2)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4 = \sqrt{3}$ है।

(C) दिए गए वक्र $x^{2}+y^{2}=4x$ और $x^{2}+y^{2}=8$ हैं।
प्रथम वक्र $x^{2}+y^{2}=4x$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 4$ प्राप्त होता है,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{2-x}{y}$।
बिंदु $(2,2)$ पर,ढाल $m_{1} = \frac{2-2}{2} = 0$ है।
दूसरे वक्र $x^{2}+y^{2}=8$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है,अतः $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$।
बिंदु $(2,2)$ पर,ढाल $m_{2} = -\frac{2}{2} = -1$ है।
वक्रों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\tan \theta = \left| \frac{0 - (-1)}{1 + (0)(-1)} \right| = \left| \frac{1}{1} \right| = 1$।
चूंकि $\tan \theta = 1$,इसलिए $\theta = 45^{\circ}$ है।
यह दिया गया है कि $\theta = \sin^{-1} a$,अतः $\sin^{-1} a = 45^{\circ}$,जिसका अर्थ है कि $a = \sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।

(C) माना प्रत्येक शीर्ष की डिग्री $K$ है।
चूंकि ग्राफ नियमित है,इसलिए प्रत्येक शीर्ष की डिग्री $K$ समान है।
ग्राफ में सभी शीर्षों की डिग्री का योग शीर्षों की संख्या और प्रत्येक शीर्ष की डिग्री के गुणनफल के बराबर होता है।
यहाँ $15$ शीर्ष हैं और उनकी डिग्री का योग $60$ है,इसलिए:
$15 \times K = 60$
दोनों पक्षों को $15$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$K = \frac{60}{15} = 4$
अतः,प्रत्येक शीर्ष की डिग्री $4$ है।

(A) दिया गया है कि समूह $(G, *)$ में $a^{2} = e$ है।
दोनों पक्षों को $a^{-1}$ ($a$ का प्रतिलोम) से गुणा करने पर:
$a^{-1} * (a * a) = a^{-1} * e$
$(a^{-1} * a) * a = a^{-1}$
$e * a = a^{-1}$
$a = a^{-1}$

(D) दिया गया है कि समूह $(Z, *)$ में,संक्रिया $a * b = a + b - n$ के रूप में परिभाषित है।
सबसे पहले,हम तत्समक अवयव (identity element) $e$ ज्ञात करते हैं ताकि $a * e = a$ हो।
$a + e - n = a \implies e = n$.
अब,$(-n)$ का प्रतिलोम ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए प्रतिलोम $x$ है ताकि $(-n) * x = e$ हो।
चूँकि $e = n$,इसलिए $(-n) * x = n$ होगा।
संक्रिया की परिभाषा का उपयोग करने पर:
$(-n) + x - n = n$.
$x - 2n = n$.
$x = 3n$.
अतः,$(-n)$ का प्रतिलोम $3n$ है।

(C) दिया गया है कि $A$ और $B$ क्रम $n$ के वर्ग आव्यूह हैं,इस प्रकार कि $A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B)$ है।
आव्यूह गुणन के वितरण गुण का उपयोग करके दाहिने पक्ष का विस्तार करने पर:
$(A-B)(A+B) = A(A+B) - B(A+B) = A^{2} + AB - BA - B^{2}$ प्राप्त होता है।
इसे बाएं पक्ष के बराबर रखने पर:
$A^{2} - B^{2} = A^{2} + AB - BA - B^{2}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों से $A^{2} - B^{2}$ घटाने पर,हमें मिलता है:
$0 = AB - BA$।
अतः,$AB = BA$।
यह दर्शाता है कि आव्यूह $A$ और $B$ क्रमविनिमेय (Commute) हैं।

(D) दिया गया है,$C = \left[\begin{array}{rr}2 & 3 \\ 5 & -1\end{array}\right] = A+B$.
हम जानते हैं कि किसी भी वर्ग आव्यूह $C$ को एक सममित आव्यूह $A$ और एक विषम-सममित आव्यूह $B$ के योग के रूप में अद्वितीय रूप से व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $A = \frac{1}{2}(C+C^T)$ और $B = \frac{1}{2}(C-C^T)$ है।
सबसे पहले,$C$ का परिवर्त आव्यूह $C^T$ ज्ञात करें: $C^T = \left[\begin{array}{rr}2 & 5 \\ 3 & -1\end{array}\right]$.
अब,$B = \frac{1}{2}(C-C^T)$ की गणना करें:
$B = \frac{1}{2} \left( \left[\begin{array}{rr}2 & 3 \\ 5 & -1\end{array}\right] - \left[\begin{array}{rr}2 & 5 \\ 3 & -1\end{array}\right] \right)$
$B = \frac{1}{2} \left[\begin{array}{rr}2-2 & 3-5 \\ 5-3 & -1-(-1)\end{array}\right]$
$B = \frac{1}{2} \left[\begin{array}{rr}0 & -2 \\ 2 & 0\end{array}\right]$
$B = \left[\begin{array}{rr}0 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right]$.

(D) दिया गया है कि $n=3$ कोटि के एक (वास्तविक) आव्यूह $A$ के सहखंडज का सारणिक $|\operatorname{adj} A| = 25$ है।
हम जानते हैं कि गुणधर्म $|\operatorname{adj} A| = |A|^{n-1}$ होता है।
$n=3$ रखने पर,हमें $|\operatorname{adj} A| = |A|^{3-1} = |A|^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$|A|^2 = 25$,जिसका अर्थ है कि $|A| = \pm 5$।
हमें आव्यूह के व्युत्क्रम का सारणिक $|A^{-1}|$ ज्ञात करना है।
गुणधर्म $|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$ का उपयोग करने पर,हमें $|A^{-1}| = \frac{1}{\pm 5} = \pm 0.2$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है,$A = \begin{bmatrix} \alpha & 2 \\ 2 & \alpha \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,हम $A$ का सारणिक ज्ञात करते हैं:
$|A| = \begin{vmatrix} \alpha & 2 \\ 2 & \alpha \end{vmatrix} = \alpha^{2} - 4 \quad (i)$.
हमें दिया गया है कि $|A^{3}| = 125$.
सारणिक के गुणधर्म $|A^{n}| = |A|^{n}$ का उपयोग करते हुए:
$|A|^{3} = 125$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$|A| = \sqrt[3]{125} = 5$.
अब,$|A| = 5$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$5 = \alpha^{2} - 4$.
$\alpha^{2} = 5 + 4 = 9$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\alpha = \pm 3$.

(B) दिया गया है,$A = \begin{vmatrix} x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x \end{vmatrix}$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$A = x(x^2 - 1) - 1(x - 1) + 1(1 - x)$
$A = x^3 - x - x + 1 + 1 - x$
$A = x^3 - 3x + 2$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dA}{dx} = 3x^2 - 3$ ... $(i)$
साथ ही,दिया गया है $B = \begin{vmatrix} x & 1 \\ 1 & x \end{vmatrix} = x^2 - 1$
$3$ से गुणा करने पर:
$3B = 3(x^2 - 1) = 3x^2 - 3$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dA}{dx} = 3B$

(B) माना कि दिया गया व्यंजक $E = \cos \left(2 \cos ^{-1} \frac{1}{5}+\sin ^{-1} \frac{1}{5}\right)$ है।
हम व्यंजक को $E = \cos \left(\cos ^{-1} \frac{1}{5} + \left(\cos ^{-1} \frac{1}{5} + \sin ^{-1} \frac{1}{5}\right)\right)$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $\cos ^{-1} x + \sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\cos ^{-1} \frac{1}{5} + \sin ^{-1} \frac{1}{5} = \frac{\pi}{2}$ है।
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $E = \cos \left(\cos ^{-1} \frac{1}{5} + \frac{\pi}{2}\right)$ प्राप्त होता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos \left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin \theta$ का उपयोग करते हुए,हमें $E = -\sin \left(\cos ^{-1} \frac{1}{5}\right)$ प्राप्त होता है।
माना $\theta = \cos ^{-1} \frac{1}{5}$,तो $\cos \theta = \frac{1}{5}$ होगा।
चूंकि $\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta}$,इसलिए $\sin \theta = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{25}} = \sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$E = -\frac{2 \sqrt{6}}{5}$।

(A) हम सूत्र $\tan ^{-1} A - \tan ^{-1} B = \tan ^{-1} \left( \frac{A-B}{1+AB} \right)$ का उपयोग करते हैं।
माना $A = \frac{x}{y}$ और $B = \frac{x-y}{x+y}$ है।
तब,$\tan ^{-1} \left( \frac{x}{y} \right) - \tan ^{-1} \left( \frac{x-y}{x+y} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{x}{y} - \frac{x-y}{x+y}}{1 + \frac{x}{y} \cdot \frac{x-y}{x+y}} \right)$।
अंश का सरलीकरण: $\frac{x(x+y) - y(x-y)}{y(x+y)} = \frac{x^2 + xy - xy + y^2}{y(x+y)} = \frac{x^2 + y^2}{y(x+y)}$।
हर का सरलीकरण: $1 + \frac{x^2 - xy}{y(x+y)} = \frac{xy + y^2 + x^2 - xy}{y(x+y)} = \frac{x^2 + y^2}{y(x+y)}$।
अतः,व्यंजक $\tan ^{-1} \left( \frac{\frac{x^2 + y^2}{y(x+y)}}{\frac{x^2 + y^2}{y(x+y)}} \right) = \tan ^{-1}(1)$ हो जाता है।
चूंकि $\tan ^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$,इसलिए अंतिम मान $\frac{\pi}{4}$ है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = \sin [x]$ है,जहाँ $-\frac{\pi}{4} < x < \frac{\pi}{4}$ है।
हम जानते हैं कि $\frac{\pi}{4} \approx 0.785$ और $-\frac{\pi}{4} \approx -0.785$ है।
$x$ के लिए अंतराल $(-0.785, 0.785)$ है।
$x \in [0, 0.785)$ के लिए,महत्तम पूर्णांक मान $[x] = 0$ है। अतः,$f(x) = \sin(0) = 0$ है।
$x \in (-0.785, 0)$ के लिए,महत्तम पूर्णांक मान $[x] = -1$ है। अतः,$f(x) = \sin(-1) = -\sin(1)$ है।
इसलिए,फलन का परिसर $\{0, -\sin 1\}$ है।

(C) दिया गया है,$f(x) = \begin{cases} x, & \text{यदि } x \text{ अपरिमेय है} \\ 0, & \text{यदि } x \text{ परिमेय है} \end{cases}$।
किसी भी $a \neq 0$ के लिए,परिमेय संख्याओं के अनुक्रम $r_n \to a$ और अपरिमेय संख्याओं के अनुक्रम $i_n \to a$ पर विचार करें।
तब $\lim_{n \to \infty} f(r_n) = \lim_{n \to \infty} 0 = 0$ और $\lim_{n \to \infty} f(i_n) = \lim_{n \to \infty} i_n = a$।
चूंकि $a \neq 0$ के लिए $0 \neq a$ है,इसलिए $a \neq 0$ के लिए सीमा $\lim_{x \to a} f(x)$ का अस्तित्व नहीं है।
$x=0$ पर,$\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ क्योंकि किसी भी अनुक्रम $x_n \to 0$ के लिए,$f(x_n)$ या तो $x_n$ (यदि $x_n$ अपरिमेय है) या $0$ (यदि $x_n$ परिमेय है) है,जो दोनों $0$ की ओर अग्रसर हैं।
चूंकि $f(0) = 0$,इसलिए फलन केवल $x=0$ पर सतत है।

(A) दिया गया है,$f(x) = \begin{cases} 2a - x & \text{जब } -a < x < a \\ 3x - 2a & \text{जब } a \leq x \end{cases}$.
सबसे पहले,$x = a$ पर सांतत्य की जाँच करें:
बाएँ हाथ की सीमा: $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^-} (2a - x) = 2a - a = a$.
दाएँ हाथ की सीमा: $\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^+} (3x - 2a) = 3a - 2a = a$.
फलन का मान: $f(a) = 3(a) - 2a = a$.
चूंकि $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$,इसलिए फलन $x = a$ पर संतत है।
अब,$x = a$ पर अवकलनीयता की जाँच करें:
बाएँ हाथ का अवकलज: $Lf'(a) = \frac{d}{dx}(2a - x) = -1$.
दाएँ हाथ का अवकलज: $Rf'(a) = \frac{d}{dx}(3x - 2a) = 3$.
चूंकि $Lf'(a) \neq Rf'(a)$,इसलिए फलन $f(x)$,$x = a$ पर अवकलनीय नहीं है।

(B) दिया गया है,$f(x)=\cos ^{-1}\left\{\frac{2}{\sqrt{13}} \cos x-\frac{3}{\sqrt{13}} \sin x\right\}$.
मान लीजिए $\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{13}}$ और $\sin \alpha = \frac{3}{\sqrt{13}}$.
तब,$f(x)=\cos ^{-1}(\cos \alpha \cos x - \sin \alpha \sin x)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(x) = \cos ^{-1}(\cos(x+\alpha)) = x+\alpha$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(x+\alpha) = 1 + 0 = 1$.
अतः,$f^{\prime}(0.5) = 1$.

(B) दिया गया है,$x+y=\tan ^{-1} y$।
$x$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$1 + \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+y^2} \cdot \frac{dy}{dx}$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{1}{1+y^2} - 1 \right) = 1$
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{1 - 1 - y^2}{1+y^2} \right) = 1$
$\frac{dy}{dx} \left( \frac{-y^2}{1+y^2} \right) = 1$
$\frac{dy}{dx} = -\frac{1+y^2}{y^2} = -\left( \frac{1}{y^2} + 1 \right)$
अब,$x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{d}{dx} (y^{-2} + 1)$
$\frac{d^2y}{dx^2} = -(-2y^{-3}) \cdot \frac{dy}{dx}$
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2}{y^3} \cdot \frac{dy}{dx}$
इसे दिए गए समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2} = f(y) \frac{dy}{dx}$ से तुलना करने पर,हमें $f(y) = \frac{2}{y^3}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया वक्र $x y^{n} = a$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x \cdot n y^{n-1} \cdot \frac{dy}{dx} + y^{n} = 0$
$\Rightarrow y^{n-1} [x n \frac{dy}{dx} + y] = 0$
चूंकि $y \neq 0$,इसलिए $x n \frac{dy}{dx} + y = 0$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{nx}$।
सबटेंजेंट की लंबाई $|\frac{y}{dy/dx}|$ द्वारा दी जाती है।
$\frac{dy}{dx}$ का मान रखने पर:
सबटेंजेंट की लंबाई $= |\frac{y}{-y/nx}| = |nx| = |n| |x|$।
चूंकि सबटेंजेंट की लंबाई भुज $x$ के समानुपाती है,इसलिए $|n|$ एक स्थिरांक होना चाहिए।
अतः,$n$ कोई भी शून्येतर वास्तविक संख्या हो सकती है।

(A) दिया गया है,$f(x) = \frac{x}{3} + \frac{3}{x}$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f^{\prime}(x) = \frac{1}{3} - \frac{3}{x^2}$.
फलन के ह्रासमान होने के लिए,$f^{\prime}(x) < 0$ होना चाहिए।
$\frac{1}{3} - \frac{3}{x^2} < 0$
$\frac{1}{3} < \frac{3}{x^2}$
$x^2 < 9$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $|x| < 3$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x \in (-3, 3)$.
ध्यान दें कि $x=0$ पर फलन अपरिभाषित है,लेकिन अंतराल $(-3, 3)$ असमिका $x^2 < 9$ के लिए मानक समाधान है।

(D) माना आयत की लंबाई $a$ और चौड़ाई $b$ है। आयत का विकर्ण वृत्त का व्यास है,इसलिए $d = 2r = 2(2) = 4$.
विकर्ण द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,$a^2 + b^2 = d^2 = 4^2 = 16$.
आयत का क्षेत्रफल $A = a \cdot b$ है।
चूंकि $b = \sqrt{16 - a^2}$,इसलिए $A = a \sqrt{16 - a^2}$.
$A$ को अधिकतम करने के लिए,हम $A^2 = f(a) = a^2(16 - a^2) = 16a^2 - a^4$ को अधिकतम करते हैं।
$a$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $f'(a) = 32a - 4a^3$.
$f'(a) = 0$ रखने पर,हमें $4a(8 - a^2) = 0$ प्राप्त होता है। चूंकि $a > 0$,इसलिए $a^2 = 8$,अतः $a = 2\sqrt{2}$.
तब $b = \sqrt{16 - 8} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
अधिकतम क्षेत्रफल $A = (2\sqrt{2})(2\sqrt{2}) = 8 \text{ वर्ग इकाई}$ है।

(C) माना $I = \int \frac{\cos ^{n-1} x}{\sin ^{n+1} x} d x$.
हम समाकल्य को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \frac{\cos ^{n-1} x}{\sin ^{n-1} x \cdot \sin^2 x} d x = \int \cot^{n-1} x \cdot \csc^2 x d x$.
माना $t = \cot x$.
तब $dt = -\csc^2 x d x$,जिसका अर्थ है कि $\csc^2 x d x = -dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int t^{n-1} (-dt) = -\int t^{n-1} dt$.
समाकलन के लिए घात नियम $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ का उपयोग करने पर:
$I = -\frac{t^n}{n} + C$.
$t = \cot x$ वापस रखने पर:
$I = -\frac{\cot^n x}{n} + C$.

(B) माना $I = \int \frac{x-1}{(x+1)^{3}} e^{x} d x$ है।
अंश को $(x+1)-2$ के रूप में लिखने पर:
$I = \int \frac{(x+1)-2}{(x+1)^{3}} e^{x} d x$
$I = \int \left( \frac{x+1}{(x+1)^{3}} - \frac{2}{(x+1)^{3}} \right) e^{x} d x$
$I = \int \frac{e^{x}}{(x+1)^{2}} d x - \int \frac{2 e^{x}}{(x+1)^{3}} d x$.
अब,पहले समाकलन $\int \frac{e^{x}}{(x+1)^{2}} d x$ के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \frac{1}{(x+1)^{2}}$ और $dv = e^{x} dx$ लेने पर:
$du = -2(x+1)^{-3} dx$ और $v = e^{x}$.
$\int \frac{e^{x}}{(x+1)^{2}} d x = \frac{e^{x}}{(x+1)^{2}} - \int e^{x} \left( -\frac{2}{(x+1)^{3}} \right) d x$
$= \frac{e^{x}}{(x+1)^{2}} + \int \frac{2 e^{x}}{(x+1)^{3}} d x$.
इस मान को $I$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \left( \frac{e^{x}}{(x+1)^{2}} + \int \frac{2 e^{x}}{(x+1)^{3}} d x \right) - \int \frac{2 e^{x}}{(x+1)^{3}} d x$
$I = \frac{e^{x}}{(x+1)^{2}} + C$.

(D) दिया गया है,$\frac{(x+1)^{2}}{x^{3}+x} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^{2}+1} \dots (i)$
दोनों पक्षों को $x(x^{2}+1)$ से गुणा करने पर:
$(x+1)^{2} = A(x^{2}+1) + (Bx+C)x$
$x^{2} + 2x + 1 = Ax^{2} + A + Bx^{2} + Cx$
$x^{2} + 2x + 1 = (A+B)x^{2} + Cx + A$
दोनों पक्षों में $x^{2}$,$x$ और अचर पद के गुणांकों की तुलना करने पर:
$A+B = 1$
$C = 2$
$A = 1$
$A=1$ को $A+B=1$ में रखने पर,$1+B=1$,अतः $B=0$ प्राप्त होता है।
अब,$\sin^{-1} A + \tan^{-1} B + \sec^{-1} C$ का मान ज्ञात करते हैं:
$\sin^{-1}(1) + \tan^{-1}(0) + \sec^{-1}(2)$
$= \frac{\pi}{2} + 0 + \frac{\pi}{3}$
$= \frac{3\pi + 2\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

(D) हमें $I_{1} = \int_{0}^{\pi / 2} x \sin x \, dx$ और $I_{2} = \int_{0}^{\pi / 2} x \cos x \, dx$ दिया गया है।
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$\int u \, dv = uv - \int v \, du$।
$I_{1}$ के लिए,$u = x$ और $dv = \sin x \, dx$ लें। तब $du = dx$ और $v = -\cos x$ होगा।
$I_{1} = [x(-\cos x)]_{0}^{\pi / 2} - \int_{0}^{\pi / 2} (-\cos x) \, dx = [0 - 0] + [\sin x]_{0}^{\pi / 2} = 1 - 0 = 1$।
$I_{2}$ के लिए,$u = x$ और $dv = \cos x \, dx$ लें। तब $du = dx$ और $v = \sin x$ होगा।
$I_{2} = [x \sin x]_{0}^{\pi / 2} - \int_{0}^{\pi / 2} \sin x \, dx = [\frac{\pi}{2} \sin(\frac{\pi}{2}) - 0] - [-\cos x]_{0}^{\pi / 2} = \frac{\pi}{2} - [-(0 - 1)] = \frac{\pi}{2} - 1$।
दोनों परिणामों को जोड़ने पर,$I_{1} + I_{2} = 1 + (\frac{\pi}{2} - 1) = \frac{\pi}{2}$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) माना $I = \int_{-1}^{2} \frac{|x|}{x} d x$.
हम जानते हैं कि $|x| = \begin{cases} x, & \text{यदि } x \geq 0 \\ -x, & \text{यदि } x < 0 \end{cases}$.
$x = 0$ पर समाकलन को विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{-1}^{0} \frac{-x}{x} d x + \int_{0}^{2} \frac{x}{x} d x$
$I = \int_{-1}^{0} (-1) d x + \int_{0}^{2} (1) d x$
$I = -[x]_{-1}^{0} + [x]_{0}^{2}$
$I = -(0 - (-1)) + (2 - 0)$
$I = -(1) + 2$
$I = 1$.

(B) माना $I = \int_{0}^{\pi} \frac{\cos ^{4} x}{\sin ^{4} x+\cos ^{4} x} d x$.
चूंकि $f(\pi - x) = \frac{\cos^4(\pi - x)}{\sin^4(\pi - x) + \cos^4(\pi - x)} = \frac{(-\cos x)^4}{(\sin x)^4 + (-\cos x)^4} = \frac{\cos^4 x}{\sin^4 x + \cos^4 x} = f(x)$,हम गुणधर्म $\int_{0}^{2a} f(x) dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) dx$ का उपयोग करते हैं।
अतः,$I = 2 \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos ^{4} x}{\sin ^{4} x+\cos ^{4} x} d x \dots (i)$.
गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = 2 \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos ^{4}(\frac{\pi}{2}-x)}{\sin ^{4}(\frac{\pi}{2}-x)+\cos ^{4}(\frac{\pi}{2}-x)} d x = 2 \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin ^{4} x}{\cos ^{4} x+\sin ^{4} x} d x \dots (ii)$.
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = 2 \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos^4 x + \sin^4 x}{\sin^4 x + \cos^4 x} dx = 2 \int_{0}^{\pi / 2} 1 dx = 2[x]_{0}^{\pi / 2} = 2(\frac{\pi}{2}) = \pi$.
अतः,$I = \frac{\pi}{2}$.

(C) अभीष्ट क्षेत्रफल समाकलन $\int_{0}^{3\pi} y \, dx = \int_{0}^{3\pi} \sin \left(\frac{x}{3}\right) \, dx$ द्वारा प्राप्त होता है।
माना $t = \frac{x}{3}$,तब $dx = 3 \, dt$.
जब $x = 0$ है,तब $t = 0$.
जब $x = 3\pi$ है,तब $t = \pi$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
क्षेत्रफल $= \int_{0}^{\pi} \sin(t) \cdot 3 \, dt = 3 \int_{0}^{\pi} \sin(t) \, dt$.
$= 3 [-\cos(t)]_{0}^{\pi}$.
$= -3 [\cos(\pi) - \cos(0)]$.
$= -3 [-1 - 1] = -3(-2) = 6$.
अतः,क्षेत्रफल $6$ वर्ग इकाई है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\left(y^{\prime \prime}\right)^{5}+4 \cdot \frac{\left(y^{\prime \prime}\right)^{3}}{y^{\prime \prime \prime}}+y^{\prime \prime \prime}=\sin x$ है।
कोटि और घात ज्ञात करने के लिए,हमें पूरे समीकरण को $y^{\prime \prime \prime}$ से गुणा करके भिन्न को हटाना होगा।
$y^{\prime \prime \prime}$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\left(y^{\prime \prime}\right)^{5} \cdot y^{\prime \prime \prime} + 4 \cdot \left(y^{\prime \prime}\right)^{3} + \left(y^{\prime \prime \prime}\right)^{2} = \sin x \cdot y^{\prime \prime \prime}$।
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $y^{\prime \prime \prime}$ है,इसलिए कोटि $m = 3$ है।
घात $n$ उच्चतम कोटि के अवकलज की घात होती है जब समीकरण को अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जाता है।
उच्चतम कोटि के अवकलज वाला पद $\left(y^{\prime \prime \prime}\right)^{2}$ है,इसलिए घात $n = 2$ है।

(D) दिया गया है,$f^{\prime \prime}(x)+f(x)=0$ ... $(i)$
और $g(x)=[f(x)]^{2}+[f^{\prime}(x)]^{2}$।
$g(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$g^{\prime}(x) = 2f(x)f^{\prime}(x) + 2f^{\prime}(x)f^{\prime \prime}(x)$
समीकरण $(i)$ से $f^{\prime \prime}(x) = -f(x)$ रखने पर:
$g^{\prime}(x) = 2f(x)f^{\prime}(x) + 2f^{\prime}(x)(-f(x))$
$g^{\prime}(x) = 2f(x)f^{\prime}(x) - 2f(x)f^{\prime}(x) = 0$।
चूँकि $g(x)$ का अवकलज $0$ है,इसलिए $g(x)$ एक अचर फलन है।
दिया गया है कि $g(3) = 8$,अतः सभी $x$ के लिए $g(x) = 8$ होगा।
इस प्रकार,$g(8) = 8$।

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\sqrt{1-x^{2} y^{2}} \cdot dx = y \cdot dx + x \cdot dy$ है।
हम जानते हैं कि $d(xy) = y \cdot dx + x \cdot dy$ होता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें $\sqrt{1-(xy)^{2}} \cdot dx = d(xy)$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$dx = \frac{d(xy)}{\sqrt{1-(xy)^{2}}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int dx = \int \frac{d(xy)}{\sqrt{1-(xy)^{2}}}$ प्राप्त होता है।
इससे $x = \sin^{-1}(xy) + C$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का साइन लेने पर,$\sin(x - C) = xy$ प्राप्त होता है,जो $\sin(x + C) = xy$ के बराबर है (जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है)।

(A) दिया गया समीकरण: $f(x) = f'(x) + f''(x) + f'''(x) + \ldots$
मान लीजिए $f(x) = e^{kx}$। तब $f'(x) = ke^{kx}$,$f''(x) = k^2e^{kx}$,$f'''(x) = k^3e^{kx}$,इत्यादि।
इन मानों को दिए गए समीकरण में रखने पर:
$e^{kx} = ke^{kx} + k^2e^{kx} + k^3e^{kx} + \ldots$
$e^{kx}$ से भाग देने पर:
$1 = k + k^2 + k^3 + \ldots$
यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = k$ और सार्व अनुपात $r = k$ है।
अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ होता है।
अतः,$1 = \frac{k}{1-k}$।
$1 - k = k \implies 2k = 1 \implies k = \frac{1}{2}$।
इस प्रकार,$f(x) = Ce^{x/2}$।
चूंकि $f(0) = 1$ दिया गया है,इसलिए $Ce^0 = 1$,जिसका अर्थ है $C = 1$।
अतः,$f(x) = e^{x/2}$।

(C) दिया गया है कि $a \perp b$,इसलिए उनका अदिश गुणनफल $a \cdot b = 0$ है।
चूंकि $(a+b) \perp (a+mb)$,इसलिए उनका अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$(a+b) \cdot (a+mb) = 0$
अदिश गुणनफल का विस्तार करने पर:
$a \cdot a + m(a \cdot b) + (b \cdot a) + m(b \cdot b) = 0$
$a \cdot b = 0$ और $b \cdot a = 0$ रखने पर:
$|a|^{2} + m(0) + 0 + m|b|^{2} = 0$
$|a|^{2} + m|b|^{2} = 0$
$m$ के लिए हल करने पर:
$m|b|^{2} = -|a|^{2}$
$m = -\frac{|a|^{2}}{|b|^{2}}$

(B) दिया गया है कि $a, b$ और $c$ इकाई सदिश हैं।
अतः,$|a| = |b| = |c| = 1 \dots (i) $
हमें समीकरण $a+b+c = 0$ दिया गया है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$|a+b+c|^2 = |0|^2$
$|a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$
समीकरण $(i)$ से मान प्रतिस्थापित करने पर:
$1 + 1 + 1 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$
$3 + 2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = 0$
$2(a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a) = -3$
$a \cdot b + b \cdot c + c \cdot a = -\frac{3}{2}$

(B) दिया गया है कि $a$,$b$ और $c$ दोनों के लंबवत है।
अतः,$a \cdot b = 0$ और $a \cdot c = 0$ ... $(i)$
अब,सदिश त्रिक गुणनफल के सूत्र का उपयोग करने पर:
$a \times (b \times c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c$
समीकरण $(i)$ से मान रखने पर:
$a \times (b \times c) = (0) b - (0) c$
$a \times (b \times c) = 0 - 0 = 0$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) दिए गए सदिश $a = (1, 2, 3)$,$b = (2, -1, 1)$,और $c = (3, 2, 1)$ हैं।
सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करते हुए: $a \times (b \times c) = (a \cdot c)b - (a \cdot b)c$.
सबसे पहले,अदिश गुणन (डॉट प्रोडक्ट) की गणना करें:
$a \cdot c = (1)(3) + (2)(2) + (3)(1) = 3 + 4 + 3 = 10$.
$a \cdot b = (1)(2) + (2)(-1) + (3)(1) = 2 - 2 + 3 = 3$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$a \times (b \times c) = 10b - 3c$.
हमें $a \times (b \times c) = \alpha a + \beta b + \gamma c$ दिया गया है।
इसलिए,$0a + 10b - 3c = \alpha a + \beta b + \gamma c$.
$a, b,$ और $c$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\alpha = 0, \beta = 10, \gamma = -3$.