KCET 2011 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપેલ છે કે,$\frac{\log x}{b-c}=\frac{\log y}{c-a}=\frac{\log z}{a-b}=k$.
આથી,$\log x = k(b-c)$,$\log y = k(c-a)$,અને $\log z = k(a-b)$.
તેથી $x = e^{k(b-c)}$,$y = e^{k(c-a)}$,અને $z = e^{k(a-b)}$.
હવે,પદાવલિ $E = x^{b+c} \cdot y^{c+a} \cdot z^{a+b}$ લો.
કિંમતો મૂકતા,$E = (e^{k(b-c)})^{b+c} \cdot (e^{k(c-a)})^{c+a} \cdot (e^{k(a-b)})^{a+b}$.
ઘાતાંકના નિયમ $(e^m)^n = e^{mn}$ નો ઉપયોગ કરતા,$E = e^{k(b^2-c^2)} \cdot e^{k(c^2-a^2)} \cdot e^{k(a^2-b^2)}$.
ઘાતાંકોનો સરવાળો કરતા,$E = e^{k(b^2-c^2+c^2-a^2+a^2-b^2)}$.
ઘાતાંકમાં સરવાળો $0$ હોવાથી,$E = e^{k \cdot 0} = e^0 = 1$.

(B) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^{3}-2x+1=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = 0$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = -2$
$\alpha\beta\gamma = -1$
આપણે $\sum\left(\frac{1}{\alpha+\beta-\gamma}\right)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\alpha+\beta+\gamma = 0$ હોવાથી,$\alpha+\beta = -\gamma$ થાય.
આ કિંમત મૂકતા:
$\sum\left(\frac{1}{-\gamma-\gamma}\right) = \sum\left(\frac{1}{-2\gamma}\right) = -\frac{1}{2} \sum\left(\frac{1}{\gamma}\right)$
$= -\frac{1}{2} \left(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma}\right)$
$= -\frac{1}{2} \left(\frac{\beta\gamma + \alpha\gamma + \alpha\beta}{\alpha\beta\gamma}\right)$
$= -\frac{1}{2} \left(\frac{-2}{-1}\right) = -\frac{1}{2} \times 2 = -1$.

(D) ધારો કે $z = \frac{1+i \sqrt{3}}{\left(1+\frac{1}{i+1}\right)^{2}}$.
પ્રથમ,છેદનું સાદુરૂપ આપતા: $1+\frac{1}{i+1} = \frac{i+1+1}{i+1} = \frac{i+2}{i+1}$.
તેથી,$z = \frac{1+i \sqrt{3}}{\left(\frac{i+2}{i+1}\right)^{2}} = \frac{(1+i \sqrt{3})(i+1)^{2}}{(i+2)^{2}}$.
કારણ કે $(i+1)^{2} = i^{2}+1+2i = 2i$ અને $(i+2)^{2} = i^{2}+4+4i = 3+4i$,તેથી $z = \frac{(1+i \sqrt{3})(2i)}{3+4i} = \frac{2i-2\sqrt{3}}{3+4i}$.
હવે,માનાંક શોધતા: $|z| = \frac{|2i-2\sqrt{3}|}{|3+4i|} = \frac{\sqrt{(-2\sqrt{3})^{2} + 2^{2}}}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}$.
$|z| = \frac{\sqrt{12+4}}{\sqrt{9+16}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \frac{4}{5}$.

(D) ધારો કે $z = \frac{(1-i \sqrt{3})(1+i)}{(\sqrt{3}+i)}$.
અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ સંખ્યા $(\sqrt{3}-i)$ વડે ગુણતા:
$z = \frac{(1-i \sqrt{3})(1+i)(\sqrt{3}-i)}{(\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}-i)}$
$z = \frac{(1+i-i\sqrt{3}+\sqrt{3})(\sqrt{3}-i)}{4}$
$z = \frac{(1+\sqrt{3}) + i(1-\sqrt{3})}{4} \cdot (\sqrt{3}-i)$
$z = \frac{1}{4} [4 - 4i] = 1 - i$
Argand સમતલમાં $1-i$ બિંદુ $(1, -1)$ છે.
$x$-યામ ધન અને $y$-યામ ઋણ હોવાથી,આ બિંદુ $IV$ ચરણમાં આવેલું છે.

(A) આપેલ છે કે $\omega^{3} = 1$ અને $1+\omega+\omega^{2} = 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1+\omega^{2} = -\omega$ અને $1+\omega = -\omega^{2}$.
વળી,$\omega^{3} = 1, \omega^{4} = \omega, \omega^{8} = \omega^{2}, \omega^{16} = \omega$.
પદાવલિ $P = (1-\omega+\omega^{2})(1-\omega^{2}+\omega)(1-\omega+\omega^{2})(1-\omega^{2}+\omega) \ldots$ ($2n$ અવયવો) છે.
$1+\omega^{2} = -\omega$ અને $1+\omega = -\omega^{2}$ મૂકતા:
$P = (-\omega-\omega)(-\omega^{2}-\omega^{2})(-\omega-\omega)(-\omega^{2}-\omega^{2}) \ldots$ ($2n$ અવયવો).
$P = (-2\omega)(-2\omega^{2})(-2\omega)(-2\omega^{2}) \ldots$ ($2n$ અવયવો).
અહીં $(-2\omega)(-2\omega^{2}) = 4\omega^{3} = 4(1) = 4$ ની $n$ જોડીઓ છે.
તેથી,$P = (4)^{n} = 2^{2n}$.

(D) આપેલ છે,$z = x + iy$ અને $\left|\frac{z-1}{z+2i}\right| = 1$.
બંને બાજુ માનાંક લેતા,$|z-1| = |z+2i|$ મળે.
$z = x + iy$ મૂકતા,$|(x-1) + iy| = |x + i(y+2)|$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(x-1)^2 + y^2 = x^2 + (y+2)^2$ મળે.
પદ વિસ્તરણ કરતા,$x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + y^2 + 4y + 4$ મળે.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા,$-2x + 1 = 4y + 4$,જે $2x + 4y + 3 = 0$ આપે છે.
આ એક સુરેખાનું સમીકરણ છે.

(C) શ્રેણીનું $n$ મું પદ $T_{n} = \frac{\sum_{k=1}^{n} k^{2}}{\sum_{k=1}^{n} k}$ છે.
સૂત્રો $\sum k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને $\sum k = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_{n} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \times \frac{2}{n(n+1)} = \frac{2n+1}{3}$.
પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો $S_{n} = \sum_{k=1}^{n} T_{k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{2k+1}{3}$ છે.
$S_{n} = \frac{1}{3} \left( 2 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 \right)$.
$S_{n} = \frac{1}{3} \left( 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n \right) = \frac{1}{3} (n^{2} + n + n) = \frac{n^{2}+2n}{3} = \frac{n(n+2)}{3}$.

(A) $7^{171} + (177)!$ ના એકમના અંકને શોધવા માટે,આપણે દરેક પદને અલગથી તપાસીએ.
પ્રથમ,$7^{171}$ ધ્યાનમાં લો. $7$ ની ઘાત $4$ ના ચક્રમાં પુનરાવર્તિત થાય છે: $7^1 = 7$,$7^2 = 49$ (અંતે $9$),$7^3 = 343$ (અંતે $3$),$7^4 = 2401$ (અંતે $1$).
ઘાતાંક $171$ ને $4$ વડે ભાગતા: $171 = 4 \times 42 + 3$.
આમ,$7^{171}$ ના એકમનો અંક $7^3$ ના એકમના અંક જેવો જ એટલે કે $3$ છે.
બીજું,$(177)!$ ધ્યાનમાં લો. કોઈપણ $n \ge 5$ માટે,$n!$ ના અંતે $0$ આવે છે કારણ કે તેમાં $2$ અને $5$ અવયવો હોય છે.
તેથી,$(177)!$ ના એકમનો અંક $0$ છે.
આમ,$7^{171} + (177)!$ ના એકમનો અંક $3 + 0 = 3$ છે.

(A) $242$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ $2 \times 11^2$ છે.
$242$ ના ભાજકો $1, 2, 11, 22, 121, 242$ છે.
$1$ અને $242$ સિવાયના ભાજકો $2, 11, 22, 121$ છે.
આ ભાજકોનો સરવાળો $2 + 11 + 22 + 121 = 156$ થાય છે.

(D) આપેલ છે કે,$(1+x+x^{2}+x^{3})^{n}=\sum_{r=0}^{3n} a_{r} x^{r}$ અને $n$ એક એકી ધન પૂર્ણાંક છે.
$a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\ldots-a_{3n}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે આપેલ વિસ્તરણમાં $x = -1$ મૂકીએ.
ધારો કે $f(x) = (1+x+x^{2}+x^{3})^{n} = \sum_{r=0}^{3n} a_{r} x^{r}$.
$x = -1$ મૂકતા:
$f(-1) = a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + \ldots - a_{3n}$.
હવે,$(1+x+x^{2}+x^{3})^{n}$ નો ઉપયોગ કરીને $f(-1)$ ની કિંમત શોધીએ:
$f(-1) = (1 + (-1) + (-1)^{2} + (-1)^{3})^{n}$
$f(-1) = (1 - 1 + 1 - 1)^{n}$
$f(-1) = (0)^{n}$.
કારણ કે $n$ એક એકી ધન પૂર્ણાંક છે,તેથી $0^{n} = 0$.
આમ,$a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\ldots-a_{3n} = 0$.

(B) $(p+q)^{n}$ ના વિસ્તરણનું સામાન્ય પદ $T_{k+1} = {}^{n}C_{k} p^{n-k} q^{k}$ છે.
આપેલ છે કે $r$-મું પદ અને $(r+1)$-મું પદ સમાન છે,તેથી $T_{r} = T_{r+1}$.
$T_{r} = {}^{n}C_{r-1} p^{n-r+1} q^{r-1}$ અને $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} p^{n-r} q^{r}$.
તેમને સરખાવતા: ${}^{n}C_{r-1} p^{n-r+1} q^{r-1} = {}^{n}C_{r} p^{n-r} q^{r}$.
બંને બાજુ ${}^{n}C_{r-1} p^{n-r} q^{r-1}$ વડે ભાગતા,આપણને $p = \frac{{}^{n}C_{r}}{{}^{n}C_{r-1}} q$ મળે છે.
ગુણધર્મ $\frac{{}^{n}C_{r}}{{}^{n}C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા,$p = \frac{n-r+1}{r} q$ મળે.
ગોઠવતા $pr = (n-r+1)q = nq - rq + q = q(n+1) - rq$ મળે.
આમ,$pr + rq = q(n+1)$,જેનો અર્થ છે કે $r(p+q) = q(n+1)$.
તેથી,$\frac{q(n+1)}{r(p+q)} = 1$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $E = \sin 10^{\circ} \cdot \sin 30^{\circ} \cdot \sin 50^{\circ} \cdot \sin 70^{\circ}$.
$E = \frac{1}{2} \cdot (\sin 10^{\circ} \cdot \sin 50^{\circ} \cdot \sin 70^{\circ})$.
નિત્યસમ $\sin \theta \cdot \sin(60^{\circ}-\theta) \cdot \sin(60^{\circ}+\theta) = \frac{1}{4} \sin 3\theta$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\theta = 10^{\circ}$:
$\sin 10^{\circ} \cdot \sin 50^{\circ} \cdot \sin 70^{\circ} = \sin 10^{\circ} \cdot \sin(60^{\circ}-10^{\circ}) \cdot \sin(60^{\circ}+10^{\circ}) = \frac{1}{4} \sin(3 \times 10^{\circ}) = \frac{1}{4} \sin 30^{\circ} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.
તેથી,$E = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{16}$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin 5\theta - \sin 3\theta + \sin \theta = 0$ જ્યાં $\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$.
પદોને ગોઠવતા: $(\sin 5\theta + \sin \theta) = \sin 3\theta$.
સરવાળાથી ગુણાકારના સૂત્ર $\sin C + \sin D = 2 \sin(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin 3\theta \cos 2\theta = \sin 3\theta$.
$2 \sin 3\theta \cos 2\theta - \sin 3\theta = 0$.
$\sin 3\theta (2 \cos 2\theta - 1) = 0$.
આથી બે કિસ્સા મળે છે:
કિસ્સો $1$: $\sin 3\theta = 0$ $\Rightarrow 3\theta = n\pi$ $\Rightarrow \theta = \frac{n\pi}{3}$. $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ માટે,$\theta = \frac{\pi}{3}$.
કિસ્સો $2$: $2 \cos 2\theta - 1 = 0 \Rightarrow \cos 2\theta = \frac{1}{2} = \cos \frac{\pi}{3}$.
$2\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3} \Rightarrow \theta = n\pi \pm \frac{\pi}{6}$. $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ માટે,$\theta = \frac{\pi}{6}$.
આમ,$\theta$ ની કિંમતો $\frac{\pi}{6}$ અને $\frac{\pi}{3}$ છે. વિકલ્પો મુજબ,$\frac{\pi}{6}$ સાચો જવાબ છે.

(C) આપેલ બિંદુઓ $A(1, 2)$,$B(2, 4)$ અને $C(4, 8)$ છે.
તેઓ સમરેખ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે આ બિંદુઓ દ્વારા બનતા રેખાખંડોના ઢાળની ગણતરી કરીએ છીએ.
$AB$ નો ઢાળ $= \frac{4 - 2}{2 - 1} = \frac{2}{1} = 2$.
$BC$ નો ઢાળ $= \frac{8 - 4}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2$.
કારણ કે $AB$ નો ઢાળ $BC$ ના ઢાળ જેટલો છે અને તેઓ સામાન્ય બિંદુ $B$ ધરાવે છે,તેથી બિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ એક જ સીધી રેખા પર આવેલા છે.
તેથી,આ બિંદુઓ એક સીધી રેખા બનાવે છે.

(B) આપેલ રેખાઓ છે:
$x+3y-6=0$
$2x+y-4=0$
$kx-3y+1=0$
આ રેખાઓ સંગામી હોય જો તેમના સહગુણકોનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થાય:
$\left|\begin{array}{ccc} 1 & 3 & -6 \\ 2 & 1 & -4 \\ k & -3 & 1 \end{array}\right| = 0$
પ્રથમ હાર $(R_1)$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$1(1-12) - 3(2+4k) - 6(-6-k) = 0$
$-11 - 6 - 12k + 36 + 6k = 0$
$-6k + 19 = 0$
$6k = 19$
$k = \frac{19}{6}$

(D) ધારો કે જરૂરી વર્તુળ $S: x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ છે.
વર્તુળ $x^{2}+y^{2}+2g_{i}x+2f_{i}y+c_{i}=0$ માટે,લંબછેદી હોવાની શરત $2gg_{i}+2ff_{i}=c+c_{i}$ છે.
આપેલ વર્તુળો માટે:
$S_{1}: x^{2}+y^{2}+6x+0y-1=0 \implies 6g=c-1$ $(i)$
$S_{2}: x^{2}+y^{2}+0x-3y+2=0 \implies -3f=c+2$ (ii)
$S_{3}: x^{2}+y^{2}+x+y-3=0 \implies g+f=c-3$ (iii)
$(i)$ અને (ii) પરથી: $6g+3f=-3 \implies 2g+f=-1$ (iv)
$(i)$ અને (iii) પરથી: $5g-f=2$ $(v)$
(iv) અને $(v)$ નો સરવાળો કરતા: $7g=1 \implies g=1/7$.
$g$ ની કિંમત (iv) માં મૂકતા: $f=-9/7$.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-g, -f) = (-1/7, 9/7)$ છે.

(C) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$C_1: x^2 + y^2 - 6x - 8y + 9 = 0$
$C_2: x^2 + y^2 = 1$
$C_1$ માટે,કેન્દ્ર $(3, 4)$ છે અને ત્રિજ્યા $R_1 = \sqrt{3^2 + 4^2 - 9} = 4$ છે.
$C_2$ માટે,કેન્દ્ર $(0, 0)$ છે અને ત્રિજ્યા $R_2 = 1$ છે.
કેન્દ્રો $C_1(3, 4)$ અને $C_2(0, 0)$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = 5$ છે.
અહીં $R_1 + R_2 = 4 + 1 = 5$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = R_1 + R_2$ હોવાથી,બંને વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે છે.
જ્યારે બે વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શતા હોય,ત્યારે તેમને $3$ સામાન્ય સ્પર્શકો હોય છે.

(B) આપેલ શંકુનું સમીકરણ $3x^{2} - 4y + 6x - 3 = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$3x^{2} + 6x = 4y + 3$ મળે.
$3$ સામાન્ય લેતા,$3(x^{2} + 2x) = 4y + 3$ મળે.
કૌંસમાં પૂર્ણવર્ગ બનાવતા,$3(x^{2} + 2x + 1 - 1) = 4y + 3$ મળે.
$3((x + 1)^{2} - 1) = 4y + 3$.
$3(x + 1)^{2} - 3 = 4y + 3$.
$3(x + 1)^{2} = 4y + 6$.
$(x + 1)^{2} = \frac{4}{3}(y + \frac{6}{4}) = \frac{4}{3}(y + \frac{3}{2})$.
આને પરવલયના પ્રમાણિત સ્વરૂપ $X^{2} = 4aY$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $X = x + 1$ અને $Y = y + \frac{3}{2}$,આપણને $4a = \frac{4}{3}$ મળે છે.
લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ $4a = \frac{4}{3}$ છે.

(A) ધારો કે પરવલય $y^{2} = 4ax$ પરના બિંદુઓ $P$ અને $Q$ ના યામ $(at_{1}^{2}, 2at_{1})$ અને $(at_{2}^{2}, 2at_{2})$ છે.
$PQ$ એ નાભિ જીવા હોવાથી,$t_{1}t_{2} = -1$ થાય.
બિંદુઓ $P$ અને $Q$ ના નાભિ અંતરો $r_{1} = a(1 + t_{1}^{2})$ અને $r_{2} = a(1 + t_{2}^{2})$ છે.
વ્યસ્તનો સરવાળો $\frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{2}} = \frac{1}{a(1 + t_{1}^{2})} + \frac{1}{a(1 + t_{2}^{2})}$ થાય.
$t_{2} = -\frac{1}{t_{1}}$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{a(1 + t_{1}^{2})} + \frac{1}{a(1 + \frac{1}{t_{1}^{2}})} = \frac{1}{a(1 + t_{1}^{2})} + \frac{t_{1}^{2}}{a(t_{1}^{2} + 1)}$ મળે.
$= \frac{1 + t_{1}^{2}}{a(1 + t_{1}^{2})} = \frac{1}{a}$.

(D) આપેલ વક્ર $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ છે. બિંદુ $P\left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}\right)$ છે.
વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dx} = -\frac{b^{2}x}{a^{2}y}$ મળે.
$P$ આગળ સ્પર્શકનો ઢાળ $m_{t} = -\frac{b}{a}$ છે.
સ્પર્શકનું સમીકરણ $bx + ay = \sqrt{2}ab$ છે.
$x$-અક્ષ $(y=0)$ માટે,$x = \sqrt{2}a$. તેથી,પ્રથમ શિરોબિંદુ $A(\sqrt{2}a, 0)$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m_{n} = \frac{a}{b}$ છે.
અભિલંબનું સમીકરણ $ax - by = \frac{a^{2}-b^{2}}{\sqrt{2}}$ છે.
$x$-અક્ષ $(y=0)$ માટે,$x = \frac{a^{2}-b^{2}}{a\sqrt{2}}$. તેથી,બીજું શિરોબિંદુ $B\left(\frac{a^{2}-b^{2}}{a\sqrt{2}}, 0\right)$ છે.
ત્રીજું શિરોબિંદુ $P\left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}\right)$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times \left|\sqrt{2}a - \frac{a^{2}-b^{2}}{a\sqrt{2}}\right| \times \frac{b}{\sqrt{2}} = \frac{b(a^{2}+b^{2})}{4a}$.

(D) રેખા $y = mx + c$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ નો સ્પર્શક હોય તેની શરત $c^2 = a^2m^2 + b^2$ છે.
આપેલ રેખા $x \cos \alpha + y \sin \alpha = 4$ ને $y = -x \cot \alpha + 4 \operatorname{cosec} \alpha$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$m = -\cot \alpha$,$c = 4 \operatorname{cosec} \alpha$,$a^2 = 25$,અને $b^2 = 9$ છે.
શરત $c^2 = a^2m^2 + b^2$ માં કિંમતો મૂકતા:
$16 \operatorname{cosec}^2 \alpha = 25 \cot^2 \alpha + 9$.
$\operatorname{cosec}^2 \alpha = 1 + \cot^2 \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,$16(1 + \cot^2 \alpha) = 25 \cot^2 \alpha + 9$.
$16 + 16 \cot^2 \alpha = 25 \cot^2 \alpha + 9$.
$9 \cot^2 \alpha = 7 \implies \cot^2 \alpha = 7/9$.
તેથી,$\tan^2 \alpha = 9/7$,જે દર્શાવે છે કે $\tan \alpha = 3/\sqrt{7}$.
આમ,$\alpha = \tan^{-1}(3/\sqrt{7})$.

(C) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ છે.
નાભિઓના યામ $S(ae, 0)$ અને $S^{\prime}(-ae, 0)$ છે.
ધારો કે ઉપવલય પરનું બિંદુ $P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ છે.
$\triangle S P S^{\prime}$ નું ક્ષેત્રફળ નિશ્ચાયક સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |ae(b \sin \theta - 0) + a \cos \theta(0 - 0) + (-ae)(0 - b \sin \theta)|$
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} |aeb \sin \theta + aeb \sin \theta| = |abe \sin \theta|$.
$\sin \theta$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ હોવાથી,$\triangle S P S^{\prime}$ નું મહત્તમ ક્ષેત્રફળ $abe$ થાય.

(B) ધારો કે બિંદુ $P(h, k)$ છે.
$P_{1}$ એ $P$ થી $x$-અક્ષ $(y=0)$ પરના લંબની લંબાઈ છે,તેથી $P_{1} = |k|$.
$P_{2}$ એ $P$ થી $x-y=0$ રેખા પરના લંબની લંબાઈ છે,તેથી $P_{2} = \frac{|h-k|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}} = \frac{|h-k|}{\sqrt{2}}$.
આપેલ છે કે $P_{1} = 2P_{2}$,તેથી:
$|k| = 2 \cdot \frac{|h-k|}{\sqrt{2}}$
$|k| = \sqrt{2} |h-k|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$k^{2} = 2(h-k)^{2}$
$k^{2} = 2(h^{2} + k^{2} - 2hk)$
$k^{2} = 2h^{2} + 2k^{2} - 4hk$
$2h^{2} - 4hk + k^{2} = 0$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ છે:
$2x^{2} - 4xy + y^{2} = 0$

(A) ઉપવલય $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$ માટે,$a^2=16$ અને $b^2=4$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e_1$ માટે $b^2 = a^2(1-e_1^2)$,તેથી $4 = 16(1-e_1^2)$,જે $1-e_1^2 = \frac{1}{4}$ આપે છે,તેથી $e_1^2 = \frac{3}{4}$,$e_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
નાભિઓ $(\pm a_1 e_1, 0) = (\pm 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) = (\pm 2\sqrt{3}, 0)$ છે.
અતિવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{9}=1$ માટે,$A^2=a^2$ અને $B^2=9$ છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e_2$ માટે $B^2 = A^2(e_2^2-1)$,તેથી $9 = a^2(e_2^2-1) = a^2 e_2^2 - a^2$.
નાભિઓ $(\pm A e_2, 0) = (\pm a e_2, 0)$ છે.
નાભિઓ સમાન હોવાથી,$a e_2 = 2\sqrt{3}$,તેથી $a^2 e_2^2 = 12$.
અતિવલયના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $9 = 12 - a^2$.
આમ,$a^2 = 3$,જેનો અર્થ છે કે $a = \sqrt{3}$.

(D) અતિવલયના અનંતસ્પર્શકોનું સમીકરણ $3x \pm 5y = 0$ આપેલ છે.
અતિવલયનું સમીકરણ $(3x + 5y)(3x - 5y) = \lambda$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $\lambda$ એક અચળાંક છે.
આ સાદું રૂપ આપતા $9x^2 - 25y^2 = \lambda$ મળે છે.
અતિવલયના શિરોબિંદુઓ $(\pm 5, 0)$ હોવાથી,બિંદુ $(5, 0)$ અતિવલયના સમીકરણનું સમાધાન કરશે.
સમીકરણ $9x^2 - 25y^2 = \lambda$ માં $(x, y) = (5, 0)$ મૂકતા:
$9(5)^2 - 25(0)^2 = \lambda$
$9(25) = \lambda$
$\lambda = 225$
તેથી,અતિવલયનું સમીકરણ $9x^2 - 25y^2 = 225$ છે.

(D) લક્ષ $L = \lim _{x \rightarrow a} \frac{\sqrt{a+2x} - \sqrt{3x}}{\sqrt{3a+x} - 2\sqrt{x}}$ ની ગણતરી કરવા માટે,અંશ અને છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow a} \left( \frac{a-x}{3(a-x)} \cdot \frac{\sqrt{3a+x} + 2\sqrt{x}}{\sqrt{a+2x} + \sqrt{3x}} \right)$
$L = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{4a} + 2\sqrt{a}}{\sqrt{3a} + \sqrt{3a}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{4\sqrt{a}}{2\sqrt{3a}} = \frac{2}{3\sqrt{3}}$

(D) $p \rightarrow (\sim p \vee q)$ નું નિષેધ શોધવા માટે,આપણે તાર્કિક સમાનતા $\sim(A \rightarrow B) \equiv A \wedge \sim B$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$A = p$ અને $B = (\sim p \vee q)$ છે.
તેથી,$\sim[p \rightarrow (\sim p \vee q)] \equiv p \wedge \sim(\sim p \vee q)$.
ડી મોર્ગનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\sim(\sim p \vee q) \equiv \sim(\sim p) \wedge \sim q \equiv p \wedge \sim q$.
આ કિંમત પાછી મૂકતા,આપણને $p \wedge (p \wedge \sim q)$ મળે છે.
કારણ કે $p \wedge p \equiv p$,તેથી પદાવલિ $p \wedge \sim q$ માં સરળ બને છે.
આમ,નિષેધ $p \wedge \sim q$ છે.

(A) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે અને ટાવરનું તળિયું $P$ છે. ધારો કે $CP = x$,$BC = y$,અને $AB = z$ છે.
$\triangle QCP$ માં,$\tan 60^{\circ} = \frac{h}{x} \Rightarrow x = \frac{h}{\sqrt{3}}$.
$\triangle QBP$ માં,$\tan 45^{\circ} = \frac{h}{x+y}$ $\Rightarrow x+y = h$ $\Rightarrow y = h - \frac{h}{\sqrt{3}} = h\left(1 - \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = h\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}\right)$.
$\triangle QAP$ માં,$\tan 30^{\circ} = \frac{h}{x+y+z}$ $\Rightarrow x+y+z = h\sqrt{3}$ $\Rightarrow z = h\sqrt{3} - (x+y) = h\sqrt{3} - h = h(\sqrt{3}-1)$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{AB}{BC} = \frac{z}{y} = \frac{h(\sqrt{3}-1)}{h\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}\right)} = \sqrt{3}$.
આમ,$AB: BC = \sqrt{3}: 1$.

(C) સાઇન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = 2R = k$,તેથી $\sin A = ak$ અને $\sin B = bk$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 2A = 1 - 2\sin^2 A$ અને $\cos 2B = 1 - 2\sin^2 B$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{1 - 2\sin^2 A}{a^2} - \frac{1 - 2\sin^2 B}{b^2}$
$= \frac{1 - 2(ak)^2}{a^2} - \frac{1 - 2(bk)^2}{b^2}$
$= \frac{1 - 2a^2k^2}{a^2} - \frac{1 - 2b^2k^2}{b^2}$
$= (\frac{1}{a^2} - 2k^2) - (\frac{1}{b^2} - 2k^2)$
$= \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}$

(D) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$2 x^{2}+2 y^{2}+4 x+5 y+1=0 \Rightarrow x^{2}+y^{2}+2 x+\frac{5}{2} y+\frac{1}{2}=0 \quad \dots (i)$
$3 x^{2}+3 y^{2}+6 x-7 y+3 k=0 \Rightarrow x^{2}+y^{2}+2 x-\frac{7}{3} y+k=0 \quad \dots (ii)$
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0$ સાથે સરખાવતા:
$(i)$ માટે: $g_{1}=1, f_{1}=\frac{5}{4}, c_{1}=\frac{1}{2}$
$(ii)$ માટે: $g_{2}=1, f_{2}=-\frac{7}{6}, c_{2}=k$
બે વર્તુળો લંબકોણીય હોવાની શરત $2 g_{1} g_{2}+2 f_{1} f_{2}=c_{1}+c_{2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$2(1)(1)+2\left(\frac{5}{4}\right)\left(-\frac{7}{6}\right)=\frac{1}{2}+k$
$2-\frac{35}{12}=\frac{1}{2}+k$
$\frac{24-35}{12}=\frac{1}{2}+k$
$-\frac{11}{12}=\frac{1}{2}+k$
$k=-\frac{11}{12}-\frac{6}{12}=-\frac{17}{12}$

(C) આપેલ વક્રોના સમીકરણો:
$y^{2}=4x$ $(i)$
$x^{2}+y^{2}=12$ (ii)
પ્રથમ,$(i)$ ને (ii) માં મૂકીને છેદબિંદુઓ શોધો:
$x^{2}+4x=12 \Rightarrow x^{2}+4x-12=0$
$(x+6)(x-2)=0$
$y^{2}=4x$ હોવાથી,$x \ge 0$ હોવું જોઈએ,તેથી $x=2$.
$x=2$ માટે,$y^{2}=8 \Rightarrow y=\pm 2\sqrt{2}$.
છેદબિંદુઓ $(2, 2\sqrt{2})$ અને $(2, -2\sqrt{2})$ છે.
હવે,વિકલન કરીને ઢાળ $m_{1}$ અને $m_{2}$ શોધો:
$(i)$ માટે: $2y \frac{dy}{dx} = 4 \Rightarrow m_{1} = \frac{2}{y}$.
(ii) માટે: $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow m_{2} = -\frac{x}{y}$.
બિંદુ $(2, 2\sqrt{2})$ આગળ:
$m_{1} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $m_{2} = -\frac{2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \left| \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} - (-\frac{1}{\sqrt{2}})}{1 + (\frac{1}{\sqrt{2}})(-\frac{1}{\sqrt{2}})} \right| = \left| \frac{\frac{2}{\sqrt{2}}}{1 - \frac{1}{2}} \right| = \left| \frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} \right| = 2\sqrt{2}$.
આમ,$\theta = \tan^{-1}(2\sqrt{2})$.

(B) આપેલ છે કે,$\omega^{3}=1$ અને $1+\omega+\omega^{2}=0$.
નિશ્ચાયક $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 1 & \omega^{2} & 1-\omega \\ \omega & 1 & 1+\omega^{2} \\ 1 & \omega & \omega^{2} \end{array}\right|$.
$1+\omega^{2} = -\omega$ નો ઉપયોગ કરતા,$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 1 & \omega^{2} & 1-\omega \\ \omega & 1 & -\omega \\ 1 & \omega & \omega^{2} \end{array}\right|$.
$R_{1}$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$\Delta = 1(\omega^{2} - (-\omega^{2})) - \omega^{2}(\omega^{3} - (-\omega)) + (1-\omega)(\omega^{2} - 1)$
$\Delta = 2\omega^{2} - \omega^{2}(1+\omega) + (\omega^{2} - 1 - 1 + \omega)$
$\Delta = 2\omega^{2} - \omega^{2} - 1 + \omega^{2} - 2 + \omega = 2\omega^{2} + \omega - 3$.
$1+\omega+\omega^{2}=0$ હોવાથી,$\omega = -1-\omega^{2}$.
તેથી,$\Delta = 2\omega^{2} + (-1-\omega^{2}) - 3 = \omega^{2} - 4$.

(B) આપેલ છે,$y = \sin x \cdot \sin 2x \cdot \sin 3x \cdot \ldots \cdot \sin nx$.
બંને બાજુ લઘુગણક (log) લેતા:
$\ln y = \ln(\sin x) + \ln(\sin 2x) + \ln(\sin 3x) + \ldots + \ln(\sin nx)$
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{y} \cdot y^{\prime} = \frac{\cos x}{\sin x} + 2 \cdot \frac{\cos 2x}{\sin 2x} + 3 \cdot \frac{\cos 3x}{\sin 3x} + \ldots + n \cdot \frac{\cos nx}{\sin nx}$
$\frac{y^{\prime}}{y} = \sum_{k=1}^{n} k \cot kx$
તેથી,$y^{\prime} = y \cdot \sum_{k=1}^{n} k \cot kx$.

(C) આપેલ દ્વિ ક્રિયા $a * b = \frac{3ab}{2}$ છે.
પ્રથમ,આપણે તટસ્થ ઘટક $e$ શોધીએ છીએ જેથી $a * e = a$ થાય.
$\frac{3ae}{2} = a \implies e = \frac{2}{3}$.
હવે,આપણે વ્યસ્ત ઘટક $3^{-1}$ શોધીએ છીએ જેથી $3 * 3^{-1} = e = \frac{2}{3}$ થાય.
$\frac{3 \cdot 3 \cdot 3^{-1}}{2} = \frac{2}{3} \implies \frac{9 \cdot 3^{-1}}{2} = \frac{2}{3} \implies 3^{-1} = \frac{4}{27}$.
વળી,$2 * x = \frac{3 \cdot 2 \cdot x}{2} = 3x$.
આપેલ સમીકરણ: $(2 * x) * 3^{-1} = 4^{-1}$.
અહીં $4^{-1}$ એ $4$ નો વ્યસ્ત છે,તેથી $4 * 4^{-1} = \frac{2}{3} \implies 4^{-1} = \frac{1}{9}$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $(3x) * \frac{4}{27} = \frac{1}{9}$.
$\frac{3 \cdot (3x) \cdot (4/27)}{2} = \frac{1}{9}$.
$\frac{36x}{54} = \frac{1}{9} \implies \frac{2x}{3} = \frac{1}{9}$.
$x = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$.

(B) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} x & x \\ x & x \end{bmatrix}$. તદેવ ઘટક $E = \begin{bmatrix} e & e \\ e & e \end{bmatrix}$ માટે $AE = A$ થાય.
$\begin{bmatrix} x & x \\ x & x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e & e \\ e & e \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2xe & 2xe \\ 2xe & 2xe \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x & x \\ x & x \end{bmatrix}$.
તેથી,$2xe = x \implies e = 1/2$. તદેવ ઘટક $E = \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{bmatrix}$ છે.
ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 1/3 & 1/3 \\ 1/3 & 1/3 \end{bmatrix}$ નો વ્યસ્ત $A^{-1} = \begin{bmatrix} y & y \\ y & y \end{bmatrix}$ છે.
માટે $AA^{-1} = E \implies \begin{bmatrix} 1/3 & 1/3 \\ 1/3 & 1/3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y & y \\ y & y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{bmatrix}$.
ગુણાકાર કરતા: $\begin{bmatrix} 2y/3 & 2y/3 \\ 2y/3 & 2y/3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{bmatrix}$.
સરખાવતા: $2y/3 = 1/2 \implies y = 3/4$.
તેથી,$A^{-1} = \begin{bmatrix} 3/4 & 3/4 \\ 3/4 & 3/4 \end{bmatrix}$.

(A) આપેલ ગણ $A = \{1, 2, 3, 4\}$ અને સંબંધ $x R y$ જો $x$ એ $y$ ને ભાગે છે.
સંબંધ $R$ નીચે મુજબ છે: $R = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 4)\}$.
$1$. સ્વવાચક: કોઈપણ $x \in A$ માટે,$x$ એ $x$ ને ભાગે છે (એટલે કે $x/x = 1$),તેથી $(x, x) \in R$. આમ,$R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિત: $R$ સંમિત હોવા માટે,$(x, y) \in R$ નો અર્થ $(y, x) \in R$ થવો જોઈએ. અહીં,$(1, 2) \in R$ છે પણ $(2, 1) \notin R$. તેથી,$R$ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિત: જો $(x, y) \in R$ અને $(y, z) \in R$ હોય,તો $x$ એ $y$ ને ભાગે છે અને $y$ એ $z$ ને ભાગે છે. આનો અર્થ એ છે કે $x$ એ $z$ ને ભાગે છે,તેથી $(x, z) \in R$. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
તેથી,$R$ સ્વવાચક અને પરંપરિત છે.

(A) આપેલ છે કે,$A = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક $A$ નો પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^{\prime} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ થાય.
હવે,ગુણાકાર $A \cdot A^{\prime}$ શોધીએ:
$A \cdot A^{\prime} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$
શ્રેણિક ગુણાકાર કરતા:
$A \cdot A^{\prime} = \begin{bmatrix} (\cos \theta)(\cos \theta) + (\sin \theta)(\sin \theta) & (\cos \theta)(-\sin \theta) + (\sin \theta)(\cos \theta) \\ (-\sin \theta)(\cos \theta) + (\cos \theta)(\sin \theta) & (-\sin \theta)(-\sin \theta) + (\cos \theta)(\cos \theta) \end{bmatrix}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A \cdot A^{\prime} = \begin{bmatrix} \cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta & -\sin \theta \cos \theta + \sin \theta \cos \theta \\ -\sin \theta \cos \theta + \sin \theta \cos \theta & \sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta \end{bmatrix}$
$A \cdot A^{\prime} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$
આમ,$A \cdot A^{\prime} = I$,જે એકમ શ્રેણિક છે.

(D) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સમાન કક્ષાના સંમિત શ્રેણિકો છે,તેથી $A^T = A$ અને $B^T = B$ થાય.
$(i)$ $(A+B)^T = A^T + B^T = A+B$. તેથી,$A+B$ સંમિત છે.
(ii) $(A-B)^T = A^T - B^T = A-B$. તેથી,$A-B$ સંમિત છે.
(iii) $(AB+BA)^T = (AB)^T + (BA)^T = B^T A^T + A^T B^T = BA + AB = AB+BA$. તેથી,$AB+BA$ સંમિત છે.
(iv) $(AB-BA)^T = (AB)^T - (BA)^T = B^T A^T - A^T B^T = BA - AB = -(AB-BA)$. તેથી,$AB-BA$ એ વિસંમિત શ્રેણિક છે,સંમિત નથી.
આમ,'$AB-BA$ સંમિત છે' તે વિધાન સત્ય નથી.

(A) જો શ્રેણિક $A$ સિંગ્યુલર હોય,તો તેનો નિશ્ચાયક $|A| = 0$ થાય.
આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & x-2 & 1 \\ x & 1 & 1 \end{bmatrix}$.
નિશ્ચાયકને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$\begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & x-2 & 1 \\ x & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર $(R_1)$ ની સાપેક્ષમાં વિસ્તરણ કરતા:
$1((x-2)(1) - (1)(1)) - 2((1)(1) - (1)(x)) + (-1)((1)(1) - (x)(x-2)) = 0$
$1(x-2-1) - 2(1-x) - 1(1 - (x^2 - 2x)) = 0$
$(x-3) - 2 + 2x - 1 + x^2 - 2x = 0$
$x^2 + x - 6 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(x+3)(x-2) = 0$
તેથી,$x = -3$ અથવા $x = 2$ મળે છે.

(A) આપેલ નિશ્ચાયક $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\sin \alpha & \cos \alpha & \sin (\alpha+\delta) \\ \sin \beta & \cos \beta & \sin (\beta+\delta) \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \sin (\gamma+\delta)\end{array}\right|$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે ત્રીજા સ્તંભનું વિસ્તરણ કરી શકીએ છીએ:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\sin \alpha & \cos \alpha & \sin \alpha \cos \delta + \cos \alpha \sin \delta \\ \sin \beta & \cos \beta & \sin \beta \cos \delta + \cos \beta \sin \delta \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \sin \gamma \cos \delta + \cos \gamma \sin \delta\end{array}\right|$.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મ મુજબ,આપણે તેને બે નિશ્ચાયકોના સરવાળા તરીકે વિભાજિત કરી શકીએ છીએ:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\sin \alpha & \cos \alpha & \sin \alpha \cos \delta \\ \sin \beta & \cos \beta & \sin \beta \cos \delta \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \sin \gamma \cos \delta\end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc}\sin \alpha & \cos \alpha & \cos \alpha \sin \delta \\ \sin \beta & \cos \beta & \cos \beta \sin \delta \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \cos \gamma \sin \delta\end{array}\right|$.
પ્રથમ નિશ્ચાયકના ત્રીજા સ્તંભમાંથી $\cos \delta$ અને બીજા નિશ્ચાયકના ત્રીજા સ્તંભમાંથી $\sin \delta$ સામાન્ય લેતા:
$\Delta = \cos \delta \left|\begin{array}{ccc}\sin \alpha & \cos \alpha & \sin \alpha \\ \sin \beta & \cos \beta & \sin \beta \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \sin \gamma\end{array}\right| + \sin \delta \left|\begin{array}{ccc}\sin \alpha & \cos \alpha & \cos \alpha \\ \sin \beta & \cos \beta & \cos \beta \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \cos \gamma\end{array}\right|$.
પ્રથમ નિશ્ચાયકમાં,સ્તંભ $1$ અને સ્તંભ $3$ સમાન છે,તેથી તેનું મૂલ્ય $0$ છે.
બીજા નિશ્ચાયકમાં,સ્તંભ $2$ અને સ્તંભ $3$ સમાન છે,તેથી તેનું મૂલ્ય $0$ છે.
તેથી,$\Delta = \cos \delta (0) + \sin \delta (0) = 0$.

(C) આપેલ વિધેય $f(x) = \sin^{-1}\left[\log_{2}\left(\frac{x}{2}\right)\right]$ છે.
વિધેય $\sin^{-1}(u)$ વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,તેનો ચલ $u$ એ $-1 \leq u \leq 1$ ની વચ્ચે હોવો જોઈએ.
તેથી,$-1 \leq \log_{2}\left(\frac{x}{2}\right) \leq 1$ થવું જોઈએ.
લઘુગણકની વ્યાખ્યા મુજબ,આ અસમતા $2^{-1} \leq \frac{x}{2} \leq 2^{1}$ ને સમાન છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$\frac{1}{2} \leq \frac{x}{2} \leq 2$ મળે છે.
આખી અસમતાને $2$ વડે ગુણતા,આપણને $1 \leq x \leq 4$ મળે છે.
આમ,વિધેયનો પ્રદેશ $x \in [1, 4]$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\tan ^{-1} x = \frac{\pi}{4} - \tan ^{-1} \left( \frac{1}{3} \right)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{\pi}{4} = \tan ^{-1}(1)$,તેથી:
$\tan ^{-1} x = \tan ^{-1}(1) - \tan ^{-1} \left( \frac{1}{3} \right)$
સૂત્ર $\tan ^{-1} A - \tan ^{-1} B = \tan ^{-1} \left( \frac{A - B}{1 + AB} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left( \frac{1 - \frac{1}{3}}{1 + 1 \times \frac{1}{3}} \right)$
$\tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{3}} \right)$
$\tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left( \frac{2}{4} \right)$
$\tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left( \frac{1}{2} \right)$
તેથી,$x = \frac{1}{2}$.

(C) આપેલ છે કે વિધેય $f(x)$ એ $x=1$ આગળ સતત છે,તેથી સાતત્યની શરત મુજબ $f(1) = \lim_{x \to 1} f(x)$ થાય.
વિધેયની વ્યાખ્યા મુજબ,$f(1) = k$ છે.
તેથી,આપણે લક્ષની કિંમત શોધવી પડશે: $k = \lim_{x \to 1} \frac{\log x}{x-1}$.
$x=1$ મૂકતા,આપણને $\frac{0}{0}$ સ્વરૂપ મળે છે.
લોપિટલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,અંશ અને છેદનું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$k = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{dx}(\log x)}{\frac{d}{dx}(x-1)} = \lim_{x \to 1} \frac{1/x}{1}$.
$x \to 1$ લેતા:
$k = \frac{1/1}{1} = 1$.
આમ,$k$ ની કિંમત $1$ છે.

(A) ધારો કે $y = \cos ^{2}\left(\cot ^{-1} \sqrt{\frac{2+x}{2-x}}\right)$.
$x = 2 \cos \theta$ મૂકતા,જેથી $\cos \theta = \frac{x}{2}$ થાય.
તેથી,$\sqrt{\frac{2+x}{2-x}} = \sqrt{\frac{2+2\cos \theta}{2-2\cos \theta}} = \sqrt{\frac{2(1+\cos \theta)}{2(1-\cos \theta)}} = \sqrt{\frac{2\cos^2(\theta/2)}{2\sin^2(\theta/2)}} = \cot(\theta/2)$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,$y = \cos^2(\cot^{-1}(\cot(\theta/2))) = \cos^2(\theta/2)$ મળે.
નિત્યસમ $\cos^2(\theta/2) = \frac{1+\cos \theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos \theta$ મળે.
$\cos \theta = \frac{x}{2}$ હોવાથી,$y = \frac{1}{2} + \frac{x}{4}$ થાય.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{1}{2} + \frac{x}{4}) = 0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.

(C) આપેલ છે,$f(x) = \frac{\sin^{2} x}{1+\cot x} + \frac{\cos^{2} x}{1+\tan x}$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$f(x) = \frac{\sin^{2} x}{1+\frac{\cos x}{\sin x}} + \frac{\cos^{2} x}{1+\frac{\sin x}{\cos x}}$
$f(x) = \frac{\sin^{3} x}{\sin x + \cos x} + \frac{\cos^{3} x}{\cos x + \sin x}$
$f(x) = \frac{\sin^{3} x + \cos^{3} x}{\sin x + \cos x}$
નિત્યસમ $a^{3} + b^{3} = (a+b)(a^{2} - ab + b^{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(x) = \frac{(\sin x + \cos x)(\sin^{2} x - \sin x \cos x + \cos^{2} x)}{\sin x + \cos x}$
$f(x) = \sin^{2} x - \sin x \cos x + \cos^{2} x$
$f(x) = 1 - \sin x \cos x = 1 - \frac{1}{2} \sin(2x)$.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા:
$f^{\prime}(x) = -\frac{1}{2} \cdot \cos(2x) \cdot 2 = -\cos(2x)$.
$x = \frac{\pi}{4}$ મુકતા:
$f^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$.

(B) ધારો કે $u = \tan ^{-1}\left(\frac{\sin x}{1+\cos x}\right)$ અને $v = \tan ^{-1}\left(\frac{\cos x}{1+\sin x}\right)$.
$u$ માટે:
$u = \tan ^{-1}\left(\frac{2 \sin(x/2) \cos(x/2)}{2 \cos^2(x/2)}\right) = \tan ^{-1}(\tan(x/2)) = x/2$.
તેથી,$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2}$.
$v$ માટે:
$v = \tan ^{-1}\left(\frac{\cos^2(x/2) - \sin^2(x/2)}{(\cos(x/2) + \sin(x/2))^2}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{(\cos(x/2) - \sin(x/2))(\cos(x/2) + \sin(x/2))}{(\cos(x/2) + \sin(x/2))^2}\right)$.
$v = \tan ^{-1}\left(\frac{\cos(x/2) - \sin(x/2)}{\cos(x/2) + \sin(x/2)}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{1 - \tan(x/2)}{1 + \tan(x/2)}\right) = \tan ^{-1}\left(\tan\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right)\right) = \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}$.
તેથી,$\frac{dv}{dx} = -\frac{1}{2}$.
હવે,$\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx} = \frac{1/2}{-1/2} = -1$.

(D) આપેલ છે,$\sqrt{r} = a e^{\theta \cot \alpha}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $r = a^{2} e^{2 \theta \cot \alpha}$ મળે છે.
$\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dr}{d\theta} = a^{2} \cdot e^{2 \theta \cot \alpha} \cdot (2 \cot \alpha) = 2 a^{2} \cot \alpha \cdot e^{2 \theta \cot \alpha}$.
ફરીથી $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d^{2}r}{d\theta^{2}} = 2 a^{2} \cot \alpha \cdot e^{2 \theta \cot \alpha} \cdot (2 \cot \alpha) = 4 a^{2} \cot^{2} \alpha \cdot e^{2 \theta \cot \alpha}$.
કારણ કે $r = a^{2} e^{2 \theta \cot \alpha}$,આપણે આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકી શકીએ:
$\frac{d^{2}r}{d\theta^{2}} = 4 \cot^{2} \alpha \cdot (a^{2} e^{2 \theta \cot \alpha}) = 4 r \cot^{2} \alpha$.
તેથી,$\frac{d^{2}r}{d\theta^{2}} - 4 r \cot^{2} \alpha = 0$.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\left(1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}\right)^{2/3} = \frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ છે.
ઘાત શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ ઘન કરીને અપૂર્ણાંક ઘાતાંક દૂર કરવો પડશે:
$\left(1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}\right)^{2} = \left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)^{3}$.
અહીં કક્ષા $n$ એ સૌથી વધુ વિકલન છે,જે $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ છે,તેથી $n = 2$.
ઘાત $m$ એ સૌથી વધુ વિકલનની ઘાત છે,જે $3$ છે,તેથી $m = 3$.
હવે,જરૂરી કિંમતની ગણતરી કરીએ: $\frac{m+n}{m-n} = \frac{3+2}{3-2} = \frac{5}{1} = 5$.

(A) આપેલ છે કે ગોલકના ઘનફળમાં વધારાનો દર $\frac{dV}{dt} = \pi \text{ cm}^3/\text{s}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ગોલકનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ મળે.
$\frac{dV}{dt} = \pi$ મૂકતા,$\pi = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{4r^2}$.
ગોલકની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 4 \pi r^2$ છે.
$t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dS}{dt} = 8 \pi r \frac{dr}{dt}$ મળે.
$\frac{dr}{dt} = \frac{1}{4r^2}$ મૂકતા,$\frac{dS}{dt} = 8 \pi r \left( \frac{1}{4r^2} \right) = \frac{2 \pi}{r}$ મળે.
જ્યારે $r = 1 \text{ cm}$ હોય,ત્યારે સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં વધારાનો દર $\frac{dS}{dt} = \frac{2 \pi}{1} = 2 \pi \text{ cm}^2/\text{s}$ થાય.

(D) આપેલ છે કે $x > 0$ માટે,આપણે $I = \int \cos^{-1}\left(\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}\right) dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.
ત્રિકોણમિતીય આદેશ $x = \tan \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $x > 0$ માટે,$\cos^{-1}\left(\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}\right) = 2 \tan^{-1} x$ થાય.
આને સંકલનમાં મૂકતા,આપણને $I = \int 2 \tan^{-1} x dx = 2 \int \tan^{-1} x dx$ મળે.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,ધારો કે $u = \tan^{-1} x$ અને $dv = dx$. તેથી $du = \frac{1}{1+x^{2}} dx$ અને $v = x$ થાય.
$I = 2 \left( x \tan^{-1} x - \int \frac{x}{1+x^{2}} dx \right)$.
$\int \frac{x}{1+x^{2}} dx$ ને ઉકેલવા માટે,ધારો કે $t = 1+x^{2}$,તેથી $dt = 2x dx$,એટલે કે $x dx = \frac{1}{2} dt$ થાય.
આમ,$\int \frac{x}{1+x^{2}} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} \log(1+x^{2})$ થાય.
આ કિંમત પાછી મૂકતા,$I = 2x \tan^{-1} x - 2 \left( \frac{1}{2} \log(1+x^{2}) \right) + C = 2x \tan^{-1} x - \log(1+x^{2}) + C$ મળે.

(C) આપણને સંકલન $I = \int e^{x} \left( \frac{\sin x + \cos x}{\cos^2 x} \right) dx$ આપેલ છે.
નિત્યસમ $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે પદને ફરીથી લખીએ:
$I = \int e^{x} \left( \frac{\sin x}{\cos^2 x} + \frac{\cos x}{\cos^2 x} \right) dx$
$I = \int e^{x} (\tan x \sec x + \sec x) dx$
ધારો કે $f(x) = \sec x$. તો $f'(x) = \sec x \tan x$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રમાણિત સંકલનનું સૂત્ર $\int e^{x} [f(x) + f'(x)] dx = e^{x} f(x) + C$ છે.
આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int e^{x} (\sec x + \sec x \tan x) dx = e^{x} \sec x + C$.

(B) $\int_{0}^{4}|x-1| dx$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે પહેલા તે બિંદુ શોધીએ છીએ જ્યાં માનાંકની અંદરની અભિવ્યક્તિ ચિહ્ન બદલે છે,જે $x = 1$ છે.
આપણે સંકલનને $x = 1$ પર વિભાજિત કરીએ છીએ:
$\int_{0}^{4}|x-1| dx = \int_{0}^{1}-(x-1) dx + \int_{1}^{4}(x-1) dx$
પ્રથમ ભાગનું મૂલ્યાંકન કરતા:
$\int_{0}^{1}(-x+1) dx = [-\frac{x^2}{2} + x]_{0}^{1} = (-\frac{1}{2} + 1) - (0) = \frac{1}{2}$
બીજા ભાગનું મૂલ્યાંકન કરતા:
$\int_{1}^{4}(x-1) dx = [\frac{x^2}{2} - x]_{1}^{4} = (\frac{16}{2} - 4) - (\frac{1}{2} - 1) = (8 - 4) - (-\frac{1}{2}) = 4 + \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$
બંને ભાગોનો સરવાળો કરતા:
$\frac{1}{2} + \frac{9}{2} = \frac{10}{2} = 5$

(A) આપેલ સંકલન $I_{n} = \int_{0}^{\pi / 4} \tan ^{n} x d x$ છે.
આપણે $\tan^{n} x$ ને $\tan^{n-2} x \cdot \tan^{2} x$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
નિત્યસમ $\tan^{2} x = \sec^{2} x - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I_{n} = \int_{0}^{\pi / 4} \tan^{n-2} x (\sec^{2} x - 1) d x$.
$I_{n} = \int_{0}^{\pi / 4} \tan^{n-2} x \sec^{2} x d x - \int_{0}^{\pi / 4} \tan^{n-2} x d x$.
ધારો કે $t = \tan x$,તો $dt = \sec^{2} x dx$. જ્યારે $x=0, t=0$ અને જ્યારે $x=\pi/4, t=1$.
$I_{n} = \int_{0}^{1} t^{n-2} dt - I_{n-2}$.
$I_{n} = \left[ \frac{t^{n-1}}{n-1} \right]_{0}^{1} - I_{n-2}$.
$I_{n} = \frac{1}{n-1} - I_{n-2}$.
તેથી,$I_{n} + I_{n-2} = \frac{1}{n-1}$.
$n=10$ માટે,આપણને $I_{10} + I_{8} = \frac{1}{10-1} = \frac{1}{9}$ મળે છે.

(NONE) આપેલ વક્રો $y=m x^{2}$ અને $x=m y^{2}$ છે,જ્યાં $m>0$.
છેદબિંદુઓ શોધવા માટે,$y=m x^{2}$ ને $x=m y^{2}$ માં મૂકતા:
$x=m(m x^{2})^{2} = m^{3} x^{4}$
$m^{3} x^{4}-x=0 \Rightarrow x(m^{3} x^{3}-1)=0$
છેદબિંદુઓ $x=0$ અને $x=1/m$ છે.
વક્રો વચ્ચેનું ક્ષેત્રફળ $A$ નીચે મુજબ મળે છે:
$A = \int_{0}^{1/m} (\sqrt{x/m} - m x^{2}) dx$
$A = [\frac{1}{\sqrt{m}} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - m \cdot \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1/m}$
$A = [\frac{2}{3 \sqrt{m}} \cdot (1/m)^{3/2} - \frac{m}{3} \cdot (1/m)^{3}]$
$A = \frac{2}{3 m^{2}} - \frac{1}{3 m^{2}} = \frac{1}{3 m^{2}}$
આપેલ છે કે $A = 1/4$,તેથી $\frac{1}{3 m^{2}} = \frac{1}{4}$
$3 m^{2} = 4 \Rightarrow m^{2} = 4/3$
$m>0$ હોવાથી,$m = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
નોંધ: આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ ગણતરી કરેલ પરિણામ સાથે મેળ ખાતું નથી. સાચી કિંમત $m = 2/\sqrt{3}$ છે.

(B) આપેલ છે,$\cos ^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)=n \log \left(\frac{x}{n}\right)$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$-\frac{1}{\sqrt{1-(y/b)^2}} \cdot \frac{1}{b} \cdot y_1 = n \cdot \frac{1}{(x/n)} \cdot \frac{1}{n}$
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$-\frac{1}{\sqrt{(b^2-y^2)/b^2}} \cdot \frac{y_1}{b} = \frac{n}{x}$
$-\frac{b}{\sqrt{b^2-y^2}} \cdot \frac{y_1}{b} = \frac{n}{x}$
$-\frac{y_1}{\sqrt{b^2-y^2}} = \frac{n}{x}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$-x y_1 = n \sqrt{b^2-y^2}$
$x y_1 + n \sqrt{b^2-y^2} = 0$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} = 1 - x^{2} - y^{2} + x^{2}y^{2}$
જમણી બાજુના પદોને અવયવ પાડતા: $\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} = (1 - x^{2}) - y^{2}(1 - x^{2}) = (1 - x^{2})(1 - y^{2})$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{dy}{dx} = \sqrt{1 - x^{2}} \sqrt{1 - y^{2}}$
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dy}{\sqrt{1 - y^{2}}} = \sqrt{1 - x^{2}} dx$
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{\sqrt{1 - y^{2}}} = \int \sqrt{1 - x^{2}} dx$
પ્રમાણિત સંકલનનો ઉપયોગ કરતા $\int \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} dy = \sin^{-1} y$ અને $\int \sqrt{1 - x^{2}} dx = \frac{x}{2} \sqrt{1 - x^{2}} + \frac{1}{2} \sin^{-1} x + C_1$:
$\sin^{-1} y = \frac{x}{2} \sqrt{1 - x^{2}} + \frac{1}{2} \sin^{-1} x + C_1$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $2 \sin^{-1} y = x \sqrt{1 - x^{2}} + \sin^{-1} x + 2C_1$
ધારો કે $C = 2C_1$,તો: $2 \sin^{-1} y = x \sqrt{1 - x^{2}} + \sin^{-1} x + C$

(C) આપેલ છે કે $a, b, c$ એકમ સદિશો છે,તેથી $|a| = |b| = |c| = 1$.
વળી,$a + b + c = 0$,જેનો અર્થ થાય છે કે $a + b = -c$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $(a + b) \cdot (a + b) = (-c) \cdot (-c)$.
$|a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) = |c|^2$.
કિંમતો મૂકતા,$1^2 + 1^2 + 2(a \cdot b) = 1^2$.
$2 + 2(a \cdot b) = 1$.
$2(a \cdot b) = -1$,તેથી $a \cdot b = -\frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a \cdot b = |a||b| \cos \theta$,તેથી $1 \cdot 1 \cdot \cos \theta = -\frac{1}{2}$.
$\cos \theta = -\frac{1}{2} = \cos \left(\frac{2\pi}{3}\right)$.
તેથી,$\theta = \frac{2\pi}{3}$.

(C) આપેલ છે કે $a, b, c$ અસમતલીય છે,તેથી અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[a b c] \neq 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $[a b c] = [b c a] = [c a b]$.
ધારો કે $V = [a b c]$.
પદાવલિ $E = a \cdot \left\{ \frac{b \times c}{3 b \cdot (c \times a)} \right\} - b \cdot \left\{ \frac{c \times a}{2 c \cdot (a \times b)} \right\}$ છે.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ,$b \cdot (c \times a) = [b c a] = [a b c] = V$ અને $c \cdot (a \times b) = [c a b] = [a b c] = V$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$E = \frac{a \cdot (b \times c)}{3 [a b c]} - \frac{b \cdot (c \times a)}{2 [a b c]}$
$E = \frac{[a b c]}{3 [a b c]} - \frac{[b c a]}{2 [a b c]}$
કારણ કે $[a b c] = [b c a] = V$,તેથી:
$E = \frac{V}{3V} - \frac{V}{2V} = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2 - 3}{6} = -\frac{1}{6}$.

(D) ધારો કે સદિશો $\vec{a} = 2i + 3j + 0k$,$\vec{b} = i + j + k$,અને $\vec{c} = \lambda i + 4j + 2k$ છે.
સમાંતરફલકનું ઘનફળ તેના અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકારના માનાંક જેટલું હોય છે: $|[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]| = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$.
પ્રથમ,$\vec{a} \times \vec{b}$ શોધો:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = i(3-0) - j(2-0) + k(2-3) = 3i - 2j - k$.
હવે,અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર શોધો:
$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = (3i - 2j - k) \cdot (\lambda i + 4j + 2k) = 3\lambda - 8 - 2 = 3\lambda - 10$.
આપેલ ઘનફળ $2$ છે,તેથી $|3\lambda - 10| = 2$.
કિસ્સો $1$: $3\lambda - 10 = 2 \Rightarrow 3\lambda = 12 \Rightarrow \lambda = 4$.
કિસ્સો $2$: $3\lambda - 10 = -2 \Rightarrow 3\lambda = 8 \Rightarrow \lambda = 8/3$.
વિકલ્પ મુજબ સાચો જવાબ $4$ છે.

(B) ધારો કે $\vec{u} = i+j+k$ અને $\vec{v} = 2i+j+3k$.
$\vec{u}$ અને $\vec{v}$ બંનેને લંબ સદિશ તેમના સદિશ ગુણાકાર $\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{w} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = i(3-1) - j(3-2) + k(1-2) = 2i - j - k$.
$\vec{w}$ નું માન $|\vec{w}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$ છે.
બંનેને લંબ એકમ સદિશ $\pm \frac{\vec{w}}{|\vec{w}|} = \pm \frac{2i-j-k}{\sqrt{6}}$ થાય.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો જવાબ $\frac{2i-j-k}{\sqrt{6}}$ છે.