જો $2i + 3j$,$i + j + k$ અને $\lambda i + 4j + 2k$ ને ક્રમમાં લેતા તે $2$ ઘન એકમ ઘનફળ ધરાવતા સમાંતરફલક (parallelepiped) ની ધાર હોય,તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.

જો $a, b, c$ અસમતલીય સદિશો હોય અને $\lambda$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા હોય,તો સદિશો $a + 2b + 3c, \lambda b + 4c$ અને $(2\lambda - 1)c$ કઈ કિંમતો માટે અસમતલીય થશે?

ધારો કે $\vec{u} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$,$\vec{v} = b\hat{i} + c\hat{j} + a\hat{k}$,અને $\vec{w} = c\hat{i} + a\hat{j} + b\hat{k}$. જો $[\vec{u} \, \vec{v} \, \vec{w}] = 0$ અને $\vec{w} = \lambda \vec{x} + \mu \vec{y}$ જ્યાં $(a + b + c) \neq 0$ અને $\lambda, \mu \neq 0$ હોય,તો સદિશો $\vec{x}, \vec{y}, \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ કેવા છે?

એક સમાંતર ષષ્ટફલક (parallelepiped) કે જેની ધાર એકમ સદિશો $\hat{a}, \hat{b}, \hat{c}$ દ્વારા દર્શાવેલ છે,જ્યાં $\hat{a} \cdot \hat{b} = \hat{b} \cdot \hat{c} = \hat{c} \cdot \hat{a} = \frac{1}{2}$ હોય,તો તેનું ઘનફળ શોધો.

જો સદિશો $\vec{a} = \hat{i} + a\hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{j} + a\hat{k}$,અને $\vec{c} = a\hat{i} + \hat{k}$ આપેલા હોય,તો $a$ ની એવી કિંમત શોધો જેના માટે આ ત્રણ સદિશો દ્વારા બનતા સમાંતર ષટફલકનું ઘનફળ ન્યૂનતમ થાય.

જો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ એ અસમતલીય સદિશો હોય અને $(\vec{a} - \lambda \vec{b}) \cdot (\vec{b} - 2\vec{c}) \times (\vec{c} + 2\vec{a}) = 0$ હોય,તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.