KCET 2011 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) दिया गया है,$\frac{\log x}{b-c}=\frac{\log y}{c-a}=\frac{\log z}{a-b}=k$.
इससे हमें $\log x = k(b-c)$,$\log y = k(c-a)$,और $\log z = k(a-b)$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $x = e^{k(b-c)}$,$y = e^{k(c-a)}$,और $z = e^{k(a-b)}$।
अब,व्यंजक $E = x^{b+c} \cdot y^{c+a} \cdot z^{a+b}$ पर विचार करें।
मान प्रतिस्थापित करने पर,$E = (e^{k(b-c)})^{b+c} \cdot (e^{k(c-a)})^{c+a} \cdot (e^{k(a-b)})^{a+b}$।
घातांक के नियम $(e^m)^n = e^{mn}$ का उपयोग करते हुए,$E = e^{k(b^2-c^2)} \cdot e^{k(c^2-a^2)} \cdot e^{k(a^2-b^2)}$।
घातांकों को जोड़ने पर,$E = e^{k(b^2-c^2+c^2-a^2+a^2-b^2)}$।
चूंकि घातांक में योग $0$ है,इसलिए $E = e^{k \cdot 0} = e^0 = 1$।

(B) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^{3}-2x+1=0$ है जिसके मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार:
$\alpha+\beta+\gamma = 0$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = -2$
$\alpha\beta\gamma = -1$
हमें $\sum\left(\frac{1}{\alpha+\beta-\gamma}\right)$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $\alpha+\beta+\gamma = 0$,इसलिए $\alpha+\beta = -\gamma$ होगा।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$\sum\left(\frac{1}{-\gamma-\gamma}\right) = \sum\left(\frac{1}{-2\gamma}\right) = -\frac{1}{2} \sum\left(\frac{1}{\gamma}\right)$
$= -\frac{1}{2} \left(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma}\right)$
$= -\frac{1}{2} \left(\frac{\beta\gamma + \alpha\gamma + \alpha\beta}{\alpha\beta\gamma}\right)$
$= -\frac{1}{2} \left(\frac{-2}{-1}\right) = -\frac{1}{2} \times 2 = -1$.

(D) माना $z = \frac{1+i \sqrt{3}}{\left(1+\frac{1}{i+1}\right)^{2}}$.
सबसे पहले,हर का सरलीकरण करने पर: $1+\frac{1}{i+1} = \frac{i+1+1}{i+1} = \frac{i+2}{i+1}$.
अतः,$z = \frac{1+i \sqrt{3}}{\left(\frac{i+2}{i+1}\right)^{2}} = \frac{(1+i \sqrt{3})(i+1)^{2}}{(i+2)^{2}}$.
चूंकि $(i+1)^{2} = i^{2}+1+2i = 2i$ और $(i+2)^{2} = i^{2}+4+4i = 3+4i$,इसलिए $z = \frac{(1+i \sqrt{3})(2i)}{3+4i} = \frac{2i-2\sqrt{3}}{3+4i}$.
अब,मापांक ज्ञात करने पर: $|z| = \frac{|2i-2\sqrt{3}|}{|3+4i|} = \frac{\sqrt{(-2\sqrt{3})^{2} + 2^{2}}}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}$.
$|z| = \frac{\sqrt{12+4}}{\sqrt{9+16}} = \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{25}} = \frac{4}{5}$.

(D) माना $z = \frac{(1-i \sqrt{3})(1+i)}{(\sqrt{3}+i)}$.
अंश और हर को हर के संयुग्मी $(\sqrt{3}-i)$ से गुणा करने पर:
$z = \frac{(1-i \sqrt{3})(1+i)(\sqrt{3}-i)}{(\sqrt{3}+i)(\sqrt{3}-i)}$
$z = \frac{(1+i-i\sqrt{3}+\sqrt{3})(\sqrt{3}-i)}{4}$
$z = \frac{(1+\sqrt{3}) + i(1-\sqrt{3})}{4} \cdot (\sqrt{3}-i)$
$z = \frac{1}{4} [4 - 4i] = 1 - i$
Argand समतल में $1-i$ बिंदु $(1, -1)$ है।
चूँकि $x$-निर्देशांक धनात्मक है और $y$-निर्देशांक ऋणात्मक है,इसलिए यह बिंदु $IV$ चतुर्थांश में स्थित है।

(A) दिया गया है कि $\omega^{3} = 1$ और $1+\omega+\omega^{2} = 0$.
हम जानते हैं कि $1+\omega^{2} = -\omega$ और $1+\omega = -\omega^{2}$.
साथ ही,$\omega^{3} = 1, \omega^{4} = \omega, \omega^{8} = \omega^{2}, \omega^{16} = \omega$.
व्यंजक $P = (1-\omega+\omega^{2})(1-\omega^{2}+\omega)(1-\omega+\omega^{2})(1-\omega^{2}+\omega) \ldots$ ($2n$ गुणनखंड) है।
$1+\omega^{2} = -\omega$ और $1+\omega = -\omega^{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$P = (-\omega-\omega)(-\omega^{2}-\omega^{2})(-\omega-\omega)(-\omega^{2}-\omega^{2}) \ldots$ ($2n$ गुणनखंड)।
$P = (-2\omega)(-2\omega^{2})(-2\omega)(-2\omega^{2}) \ldots$ ($2n$ गुणनखंड)।
यहाँ $(-2\omega)(-2\omega^{2}) = 4\omega^{3} = 4(1) = 4$ के $n$ जोड़े हैं।
अतः,$P = (4)^{n} = 2^{2n}$.

(D) दिया गया है,$z = x + iy$ और $\left|\frac{z-1}{z+2i}\right| = 1$।
दोनों पक्षों का मापांक लेने पर,$|z-1| = |z+2i|$ प्राप्त होता है।
$z = x + iy$ प्रतिस्थापित करने पर,$|(x-1) + iy| = |x + i(y+2)|$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(x-1)^2 + y^2 = x^2 + (y+2)^2$ प्राप्त होता है।
पदों का विस्तार करने पर,$x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + y^2 + 4y + 4$ प्राप्त होता है।
समीकरण को सरल करने पर,$-2x + 1 = 4y + 4$,जो $2x + 4y + 3 = 0$ देता है।
यह एक सरल रेखा का समीकरण है।

(C) श्रेणी का $n$ वां पद $T_{n} = \frac{\sum_{k=1}^{n} k^{2}}{\sum_{k=1}^{n} k}$ है।
सूत्रों $\sum k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum k = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$T_{n} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \times \frac{2}{n(n+1)} = \frac{2n+1}{3}$।
प्रथम $n$ पदों का योग $S_{n} = \sum_{k=1}^{n} T_{k} = \sum_{k=1}^{n} \frac{2k+1}{3}$ है।
$S_{n} = \frac{1}{3} \left( 2 \sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1 \right)$।
$S_{n} = \frac{1}{3} \left( 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n \right) = \frac{1}{3} (n^{2} + n + n) = \frac{n^{2}+2n}{3} = \frac{n(n+2)}{3}$।

(A) $7^{171} + (177)!$ के इकाई अंक को ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक पद का अलग-अलग मूल्यांकन करते हैं।
सबसे पहले,$7^{171}$ पर विचार करें। $7$ की घातें $4$ के चक्र में चलती हैं: $7^1 = 7$,$7^2 = 49$ (इकाई अंक $9$),$7^3 = 343$ (इकाई अंक $3$),$7^4 = 2401$ (इकाई अंक $1$)।
घातांक $171$ को $4$ से विभाजित करने पर: $171 = 4 \times 42 + 3$।
अतः,$7^{171}$ का इकाई अंक $7^3$ के इकाई अंक के समान यानी $3$ है।
दूसरा,$(177)!$ पर विचार करें। किसी भी $n \ge 5$ के लिए,$n!$ का इकाई अंक $0$ होता है क्योंकि इसमें $2$ और $5$ गुणनखंड के रूप में होते हैं।
अतः,$(177)!$ का इकाई अंक $0$ है।
इसलिए,$7^{171} + (177)!$ का इकाई अंक $3 + 0 = 3$ है।

(A) $242$ का अभाज्य गुणनखंडन $2 \times 11^2$ है।
$242$ के भाजक $1, 2, 11, 22, 121, 242$ हैं।
$1$ और $242$ को छोड़कर भाजक $2, 11, 22, 121$ हैं।
इन भाजकों का योग $2 + 11 + 22 + 121 = 156$ है।

(D) दिया गया है,$(1+x+x^{2}+x^{3})^{n}=\sum_{r=0}^{3n} a_{r} x^{r}$ और $n$ एक विषम धनात्मक पूर्णांक है।
$a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\ldots-a_{3n}$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम दिए गए विस्तार में $x = -1$ प्रतिस्थापित करते हैं।
माना $f(x) = (1+x+x^{2}+x^{3})^{n} = \sum_{r=0}^{3n} a_{r} x^{r}$ है।
$x = -1$ रखने पर:
$f(-1) = a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + \ldots - a_{3n}$।
अब,$(1+x+x^{2}+x^{3})^{n}$ का उपयोग करके $f(-1)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f(-1) = (1 + (-1) + (-1)^{2} + (-1)^{3})^{n}$
$f(-1) = (1 - 1 + 1 - 1)^{n}$
$f(-1) = (0)^{n}$।
चूंकि $n$ एक विषम धनात्मक पूर्णांक है,इसलिए $0^{n} = 0$।
अतः,$a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\ldots-a_{3n} = 0$।

(B) $(p+q)^{n}$ के विस्तार का सामान्य पद $T_{k+1} = {}^{n}C_{k} p^{n-k} q^{k}$ है।
दिया गया है कि $r$-वाँ पद और $(r+1)$-वाँ पद समान हैं,इसलिए $T_{r} = T_{r+1}$।
$T_{r} = {}^{n}C_{r-1} p^{n-r+1} q^{r-1}$ और $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} p^{n-r} q^{r}$।
उन्हें बराबर करने पर: ${}^{n}C_{r-1} p^{n-r+1} q^{r-1} = {}^{n}C_{r} p^{n-r} q^{r}$।
दोनों पक्षों को ${}^{n}C_{r-1} p^{n-r} q^{r-1}$ से विभाजित करने पर,हमें $p = \frac{{}^{n}C_{r}}{{}^{n}C_{r-1}} q$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $\frac{{}^{n}C_{r}}{{}^{n}C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का उपयोग करने पर,$p = \frac{n-r+1}{r} q$ मिलता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $pr = (n-r+1)q = nq - rq + q = q(n+1) - rq$ प्राप्त होता है।
अतः,$pr + rq = q(n+1)$,जिसका अर्थ है $r(p+q) = q(n+1)$।
इसलिए,$\frac{q(n+1)}{r(p+q)} = 1$।

(D) हम जानते हैं कि $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$.
माना $E = \sin 10^{\circ} \cdot \sin 30^{\circ} \cdot \sin 50^{\circ} \cdot \sin 70^{\circ}$.
$E = \frac{1}{2} \cdot (\sin 10^{\circ} \cdot \sin 50^{\circ} \cdot \sin 70^{\circ})$.
सर्वसमिका $\sin \theta \cdot \sin(60^{\circ}-\theta) \cdot \sin(60^{\circ}+\theta) = \frac{1}{4} \sin 3\theta$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\theta = 10^{\circ}$:
$\sin 10^{\circ} \cdot \sin 50^{\circ} \cdot \sin 70^{\circ} = \sin 10^{\circ} \cdot \sin(60^{\circ}-10^{\circ}) \cdot \sin(60^{\circ}+10^{\circ}) = \frac{1}{4} \sin(3 \times 10^{\circ}) = \frac{1}{4} \sin 30^{\circ} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.
अतः,$E = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{16}$.

(B) दिया गया समीकरण: $\sin 5\theta - \sin 3\theta + \sin \theta = 0$ जहाँ $\theta \in (0, \frac{\pi}{2})$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(\sin 5\theta + \sin \theta) = \sin 3\theta$.
योग-से-गुणनफल सूत्र $\sin C + \sin D = 2 \sin(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin 3\theta \cos 2\theta = \sin 3\theta$.
$2 \sin 3\theta \cos 2\theta - \sin 3\theta = 0$.
$\sin 3\theta (2 \cos 2\theta - 1) = 0$.
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $\sin 3\theta = 0$ $\Rightarrow 3\theta = n\pi$ $\Rightarrow \theta = \frac{n\pi}{3}$. $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ के लिए,$\theta = \frac{\pi}{3}$.
स्थिति $2$: $2 \cos 2\theta - 1 = 0 \Rightarrow \cos 2\theta = \frac{1}{2} = \cos \frac{\pi}{3}$.
$2\theta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{3} \Rightarrow \theta = n\pi \pm \frac{\pi}{6}$. $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ के लिए,$\theta = \frac{\pi}{6}$.
अतः,$\theta$ के मान $\frac{\pi}{6}$ और $\frac{\pi}{3}$ हैं। विकल्पों के अनुसार,$\frac{\pi}{6}$ सही उत्तर है।

(C) दिए गए बिंदु $A(1, 2)$,$B(2, 4)$ और $C(4, 8)$ हैं।
यह जांचने के लिए कि क्या वे संरेख (collinear) हैं,हम इन बिंदुओं द्वारा निर्मित रेखाखंडों के ढाल (slope) की गणना करते हैं।
$AB$ का ढाल $= \frac{4 - 2}{2 - 1} = \frac{2}{1} = 2$.
$BC$ का ढाल $= \frac{8 - 4}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2$.
चूंकि $AB$ का ढाल $BC$ के ढाल के बराबर है और वे एक सामान्य बिंदु $B$ साझा करते हैं,इसलिए बिंदु $A$,$B$ और $C$ एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं।
अतः,ये बिंदु एक सीधी रेखा बनाते हैं।

(B) दी गई रेखाएँ हैं:
$x+3y-6=0$
$2x+y-4=0$
$kx-3y+1=0$
ये रेखाएँ संगामी होंगी यदि उनके गुणांकों का सारणिक शून्य हो:
$\left|\begin{array}{ccc} 1 & 3 & -6 \\ 2 & 1 & -4 \\ k & -3 & 1 \end{array}\right| = 0$
प्रथम पंक्ति $(R_1)$ के सापेक्ष विस्तार करने पर:
$1(1-12) - 3(2+4k) - 6(-6-k) = 0$
$-11 - 6 - 12k + 36 + 6k = 0$
$-6k + 19 = 0$
$6k = 19$
$k = \frac{19}{6}$

(D) माना अभीष्ट वृत्त $S: x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ है।
वृत्त $x^{2}+y^{2}+2g_{i}x+2f_{i}y+c_{i}=0$ के लिए,लंबकोणीय होने की शर्त $2gg_{i}+2ff_{i}=c+c_{i}$ है।
दिए गए वृत्तों के लिए:
$S_{1}: x^{2}+y^{2}+6x+0y-1=0 \implies 6g=c-1$ $(i)$
$S_{2}: x^{2}+y^{2}+0x-3y+2=0 \implies -3f=c+2$ (ii)
$S_{3}: x^{2}+y^{2}+x+y-3=0 \implies g+f=c-3$ (iii)
$(i)$ और (ii) से: $6g+3f=-3 \implies 2g+f=-1$ (iv)
$(i)$ और (iii) से: $5g-f=2$ $(v)$
(iv) और $(v)$ को जोड़ने पर: $7g=1 \implies g=1/7$.
$g$ का मान (iv) में रखने पर: $f=-9/7$.
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (-1/7, 9/7)$ है।

(C) दिए गए वृत्तों के समीकरण हैं:
$C_1: x^2 + y^2 - 6x - 8y + 9 = 0$
$C_2: x^2 + y^2 = 1$
$C_1$ के लिए,केंद्र $(3, 4)$ है और त्रिज्या $R_1 = \sqrt{3^2 + 4^2 - 9} = 4$ है।
$C_2$ के लिए,केंद्र $(0, 0)$ है और त्रिज्या $R_2 = 1$ है।
केंद्रों $C_1(3, 4)$ और $C_2(0, 0)$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = 5$ है।
यहाँ $R_1 + R_2 = 4 + 1 = 5$ है।
चूंकि केंद्रों के बीच की दूरी $d = R_1 + R_2$ है,इसलिए दोनों वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।
जब दो वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,तो उनकी $3$ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ होती हैं।

(B) दिए गए शांकव का समीकरण $3x^{2} - 4y + 6x - 3 = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$3x^{2} + 6x = 4y + 3$ प्राप्त होता है।
$3$ को उभयनिष्ठ लेने पर,$3(x^{2} + 2x) = 4y + 3$ प्राप्त होता है।
कोष्ठक के अंदर पूर्ण वर्ग बनाने पर,$3(x^{2} + 2x + 1 - 1) = 4y + 3$ प्राप्त होता है।
$3((x + 1)^{2} - 1) = 4y + 3$.
$3(x + 1)^{2} - 3 = 4y + 3$.
$3(x + 1)^{2} = 4y + 6$.
$(x + 1)^{2} = \frac{4}{3}(y + \frac{6}{4}) = \frac{4}{3}(y + \frac{3}{2})$.
इसे परवलय के मानक रूप $X^{2} = 4aY$ से तुलना करने पर,जहाँ $X = x + 1$ और $Y = y + \frac{3}{2}$,हमें $4a = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः नाभिलम्ब की लंबाई $4a = \frac{4}{3}$ है।

(A) माना परवलय $y^{2} = 4ax$ पर बिंदुओं $P$ और $Q$ के निर्देशांक $(at_{1}^{2}, 2at_{1})$ और $(at_{2}^{2}, 2at_{2})$ हैं।
चूंकि $PQ$ एक नाभि जीवा है,इसलिए $t_{1}t_{2} = -1$ है।
बिंदुओं $P$ और $Q$ की नाभीय दूरियाँ $r_{1} = a(1 + t_{1}^{2})$ और $r_{2} = a(1 + t_{2}^{2})$ हैं।
व्युत्क्रमों का योग $\frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{2}} = \frac{1}{a(1 + t_{1}^{2})} + \frac{1}{a(1 + t_{2}^{2})}$ है।
$t_{2} = -\frac{1}{t_{1}}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{a(1 + t_{1}^{2})} + \frac{1}{a(1 + \frac{1}{t_{1}^{2}})} = \frac{1}{a(1 + t_{1}^{2})} + \frac{t_{1}^{2}}{a(t_{1}^{2} + 1)}$ प्राप्त होता है।
$= \frac{1 + t_{1}^{2}}{a(1 + t_{1}^{2})} = \frac{1}{a}$।

(D) दिया गया वक्र $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ है। बिंदु $P\left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}\right)$ है।
अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{b^{2}x}{a^{2}y}$ प्राप्त होता है।
$P$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_{t} = -\frac{b}{a}$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $bx + ay = \sqrt{2}ab$ है।
$x$-अक्ष $(y=0)$ के लिए,$x = \sqrt{2}a$ है। अतः,पहला शीर्ष $A(\sqrt{2}a, 0)$ है।
अभिलंब की ढाल $m_{n} = \frac{a}{b}$ है।
अभिलंब का समीकरण $ax - by = \frac{a^{2}-b^{2}}{\sqrt{2}}$ है।
$x$-अक्ष $(y=0)$ के लिए,$x = \frac{a^{2}-b^{2}}{a\sqrt{2}}$ है। अतः,दूसरा शीर्ष $B\left(\frac{a^{2}-b^{2}}{a\sqrt{2}}, 0\right)$ है।
तीसरा शीर्ष $P\left(\frac{a}{\sqrt{2}}, \frac{b}{\sqrt{2}}\right)$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times \left|\sqrt{2}a - \frac{a^{2}-b^{2}}{a\sqrt{2}}\right| \times \frac{b}{\sqrt{2}} = \frac{b(a^{2}+b^{2})}{4a}$.

(D) रेखा $y = mx + c$ के दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^2 = a^2m^2 + b^2$ है।
दी गई रेखा $x \cos \alpha + y \sin \alpha = 4$ को $y = -x \cot \alpha + 4 \operatorname{cosec} \alpha$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$m = -\cot \alpha$,$c = 4 \operatorname{cosec} \alpha$,$a^2 = 25$,और $b^2 = 9$ है।
शर्त $c^2 = a^2m^2 + b^2$ में मान रखने पर:
$16 \operatorname{cosec}^2 \alpha = 25 \cot^2 \alpha + 9$.
$\operatorname{cosec}^2 \alpha = 1 + \cot^2 \alpha$ का उपयोग करने पर,$16(1 + \cot^2 \alpha) = 25 \cot^2 \alpha + 9$.
$16 + 16 \cot^2 \alpha = 25 \cot^2 \alpha + 9$.
$9 \cot^2 \alpha = 7 \implies \cot^2 \alpha = 7/9$.
अतः,$\tan^2 \alpha = 9/7$,जिससे $\tan \alpha = 3/\sqrt{7}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$\alpha = \tan^{-1}(3/\sqrt{7})$।

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ है।
नाभियों के निर्देशांक $S(ae, 0)$ और $S^{\prime}(-ae, 0)$ हैं।
माना दीर्घवृत्त पर बिंदु $P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ है।
$\triangle S P S^{\prime}$ का क्षेत्रफल सारणिक सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |ae(b \sin \theta - 0) + a \cos \theta(0 - 0) + (-ae)(0 - b \sin \theta)|$
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} |aeb \sin \theta + aeb \sin \theta| = |abe \sin \theta|$.
चूंकि $\sin \theta$ का अधिकतम मान $1$ है,इसलिए $\triangle S P S^{\prime}$ का अधिकतम क्षेत्रफल $abe$ है।

(B) माना बिंदु $P(h, k)$ है।
$P_{1}$,$P$ से $x$-अक्ष $(y=0)$ पर लंब की लंबाई है,इसलिए $P_{1} = |k|$.
$P_{2}$,$P$ से रेखा $x-y=0$ पर लंब की लंबाई है,इसलिए $P_{2} = \frac{|h-k|}{\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}}} = \frac{|h-k|}{\sqrt{2}}$.
दिया गया है कि $P_{1} = 2P_{2}$,इसलिए:
$|k| = 2 \cdot \frac{|h-k|}{\sqrt{2}}$
$|k| = \sqrt{2} |h-k|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$k^{2} = 2(h-k)^{2}$
$k^{2} = 2(h^{2} + k^{2} - 2hk)$
$k^{2} = 2h^{2} + 2k^{2} - 4hk$
$2h^{2} - 4hk + k^{2} = 0$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदु पथ है:
$2x^{2} - 4xy + y^{2} = 0$

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$ के लिए,$a^2=16$ और $b^2=4$ है।
उत्केंद्रता $e_1$ के लिए $b^2 = a^2(1-e_1^2)$,इसलिए $4 = 16(1-e_1^2)$,जिससे $1-e_1^2 = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है,अतः $e_1^2 = \frac{3}{4}$,$e_1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$।
नाभियाँ $(\pm a_1 e_1, 0) = (\pm 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) = (\pm 2\sqrt{3}, 0)$ हैं।
अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{9}=1$ के लिए,$A^2=a^2$ और $B^2=9$ है।
उत्केंद्रता $e_2$ के लिए $B^2 = A^2(e_2^2-1)$,इसलिए $9 = a^2(e_2^2-1) = a^2 e_2^2 - a^2$।
नाभियाँ $(\pm A e_2, 0) = (\pm a e_2, 0)$ हैं।
चूँकि नाभियाँ संपाती हैं,$a e_2 = 2\sqrt{3}$,इसलिए $a^2 e_2^2 = 12$।
अतिपरवलय के समीकरण में मान रखने पर: $9 = 12 - a^2$।
अतः,$a^2 = 3$,जिसका अर्थ है $a = \sqrt{3}$।

(D) अतिपरवलय के अनंतस्पर्शियों का समीकरण $3x \pm 5y = 0$ दिया गया है।
अतिपरवलय का समीकरण $(3x + 5y)(3x - 5y) = \lambda$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $\lambda$ एक स्थिरांक है।
यह सरल होकर $9x^2 - 25y^2 = \lambda$ बन जाता है।
चूँकि अतिपरवलय के शीर्ष $(\pm 5, 0)$ हैं,इसलिए बिंदु $(5, 0)$ अतिपरवलय के समीकरण को संतुष्ट करेगा।
समीकरण $9x^2 - 25y^2 = \lambda$ में $(x, y) = (5, 0)$ रखने पर:
$9(5)^2 - 25(0)^2 = \lambda$
$9(25) = \lambda$
$\lambda = 225$
अतः,अतिपरवलय का समीकरण $9x^2 - 25y^2 = 225$ है।

(D) सीमा $L = \lim _{x \rightarrow a} \frac{\sqrt{a+2x} - \sqrt{3x}}{\sqrt{3a+x} - 2\sqrt{x}}$ का मूल्यांकन करने के लिए,अंश और हर का परिमेयकरण करने पर:
$L = \lim _{x}$ ${\rightarrow a} \left( \frac{a-x}{3(a-x)} \cdot \frac{\sqrt{3a+x} + 2\sqrt{x}}{\sqrt{a+2x} + \sqrt{3x}} \right)$
$L = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{4a} + 2\sqrt{a}}{\sqrt{3a} + \sqrt{3a}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{4\sqrt{a}}{2\sqrt{3a}} = \frac{2}{3\sqrt{3}}$

(D) $p \rightarrow (\sim p \vee q)$ का निषेध ज्ञात करने के लिए,हम तार्किक तुल्यता $\sim(A \rightarrow B) \equiv A \wedge \sim B$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$A = p$ और $B = (\sim p \vee q)$ है।
अतः,$\sim[p \rightarrow (\sim p \vee q)] \equiv p \wedge \sim(\sim p \vee q)$।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$\sim(\sim p \vee q) \equiv \sim(\sim p) \wedge \sim q \equiv p \wedge \sim q$।
इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर,हमें $p \wedge (p \wedge \sim q)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p \wedge p \equiv p$,व्यंजक सरल होकर $p \wedge \sim q$ हो जाता है।
अतः,निषेध $p \wedge \sim q$ है।

(A) माना मीनार की ऊँचाई $h$ है और मीनार का पाद $P$ है। माना $CP = x$,$BC = y$,और $AB = z$ है।
$\triangle QCP$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{h}{x} \Rightarrow x = \frac{h}{\sqrt{3}}$.
$\triangle QBP$ में,$\tan 45^{\circ} = \frac{h}{x+y}$ $\Rightarrow x+y = h$ $\Rightarrow y = h - \frac{h}{\sqrt{3}} = h\left(1 - \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = h\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}\right)$.
$\triangle QAP$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{h}{x+y+z}$ $\Rightarrow x+y+z = h\sqrt{3}$ $\Rightarrow z = h\sqrt{3} - (x+y) = h\sqrt{3} - h = h(\sqrt{3}-1)$.
अब,अनुपात $\frac{AB}{BC} = \frac{z}{y} = \frac{h(\sqrt{3}-1)}{h\left(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}\right)} = \sqrt{3}$.
अतः,$AB: BC = \sqrt{3}: 1$.

(C) ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = 2R = k$,इसलिए $\sin A = ak$ और $\sin B = bk$ है।
हम जानते हैं कि $\cos 2A = 1 - 2\sin^2 A$ और $\cos 2B = 1 - 2\sin^2 B$ होता है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1 - 2\sin^2 A}{a^2} - \frac{1 - 2\sin^2 B}{b^2}$
$= \frac{1 - 2(ak)^2}{a^2} - \frac{1 - 2(bk)^2}{b^2}$
$= \frac{1 - 2a^2k^2}{a^2} - \frac{1 - 2b^2k^2}{b^2}$
$= (\frac{1}{a^2} - 2k^2) - (\frac{1}{b^2} - 2k^2)$
$= \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}$

(D) वृत्तों के दिए गए समीकरण हैं:
$2 x^{2}+2 y^{2}+4 x+5 y+1=0 \Rightarrow x^{2}+y^{2}+2 x+\frac{5}{2} y+\frac{1}{2}=0 \quad \dots (i)$
$3 x^{2}+3 y^{2}+6 x-7 y+3 k=0 \Rightarrow x^{2}+y^{2}+2 x-\frac{7}{3} y+k=0 \quad \dots (ii)$
इन्हें मानक रूप $x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0$ से तुलना करने पर:
$(i)$ के लिए: $g_{1}=1, f_{1}=\frac{5}{4}, c_{1}=\frac{1}{2}$
$(ii)$ के लिए: $g_{2}=1, f_{2}=-\frac{7}{6}, c_{2}=k$
दो वृत्तों के लंबकोणीय होने की शर्त $2 g_{1} g_{2}+2 f_{1} f_{2}=c_{1}+c_{2}$ है।
मान रखने पर:
$2(1)(1)+2\left(\frac{5}{4}\right)\left(-\frac{7}{6}\right)=\frac{1}{2}+k$
$2-\frac{35}{12}=\frac{1}{2}+k$
$\frac{24-35}{12}=\frac{1}{2}+k$
$-\frac{11}{12}=\frac{1}{2}+k$
$k=-\frac{11}{12}-\frac{6}{12}=-\frac{17}{12}$

(C) दिए गए वक्रों के समीकरण हैं:
$y^{2}=4x$ $(i)$
$x^{2}+y^{2}=12$ (ii)
सबसे पहले,$(i)$ को (ii) में प्रतिस्थापित करके प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$x^{2}+4x=12 \Rightarrow x^{2}+4x-12=0$
$(x+6)(x-2)=0$
चूंकि $y^{2}=4x$,इसलिए $x \ge 0$ होना चाहिए,अतः $x=2$.
$x=2$ के लिए,$y^{2}=8 \Rightarrow y=\pm 2\sqrt{2}$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 2\sqrt{2})$ और $(2, -2\sqrt{2})$ हैं।
अब,अवकलन करके ढाल $m_{1}$ और $m_{2}$ ज्ञात करें:
$(i)$ के लिए: $2y \frac{dy}{dx} = 4 \Rightarrow m_{1} = \frac{2}{y}$.
(ii) के लिए: $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow m_{2} = -\frac{x}{y}$.
बिंदु $(2, 2\sqrt{2})$ पर:
$m_{1} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $m_{2} = -\frac{2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = \left| \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} - (-\frac{1}{\sqrt{2}})}{1 + (\frac{1}{\sqrt{2}})(-\frac{1}{\sqrt{2}})} \right| = \left| \frac{\frac{2}{\sqrt{2}}}{1 - \frac{1}{2}} \right| = \left| \frac{\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} \right| = 2\sqrt{2}$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}(2\sqrt{2})$.

(B) दिया गया है,$\omega^{3}=1$ और $1+\omega+\omega^{2}=0$.
सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 1 & \omega^{2} & 1-\omega \\ \omega & 1 & 1+\omega^{2} \\ 1 & \omega & \omega^{2} \end{array}\right|$.
$1+\omega^{2} = -\omega$ का उपयोग करने पर,$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 1 & \omega^{2} & 1-\omega \\ \omega & 1 & -\omega \\ 1 & \omega & \omega^{2} \end{array}\right|$.
$R_{1}$ के सापेक्ष विस्तार करने पर:
$\Delta = 1(\omega^{2} - (-\omega^{2})) - \omega^{2}(\omega^{3} - (-\omega)) + (1-\omega)(\omega^{2} - 1)$
$\Delta = 2\omega^{2} - \omega^{2}(1+\omega) + (\omega^{2} - 1 - 1 + \omega)$
$\Delta = 2\omega^{2} - \omega^{2} - 1 + \omega^{2} - 2 + \omega = 2\omega^{2} + \omega - 3$.
चूंकि $1+\omega+\omega^{2}=0$,इसलिए $\omega = -1-\omega^{2}$.
अतः,$\Delta = 2\omega^{2} + (-1-\omega^{2}) - 3 = \omega^{2} - 4$.

(B) दिया है,$y = \sin x \cdot \sin 2x \cdot \sin 3x \cdot \ldots \cdot \sin nx$.
दोनों पक्षों का लघुगणक (log) लेने पर:
$\ln y = \ln(\sin x) + \ln(\sin 2x) + \ln(\sin 3x) + \ldots + \ln(\sin nx)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{y} \cdot y^{\prime} = \frac{\cos x}{\sin x} + 2 \cdot \frac{\cos 2x}{\sin 2x} + 3 \cdot \frac{\cos 3x}{\sin 3x} + \ldots + n \cdot \frac{\cos nx}{\sin nx}$
$\frac{y^{\prime}}{y} = \sum_{k=1}^{n} k \cot kx$
अतः,$y^{\prime} = y \cdot \sum_{k=1}^{n} k \cot kx$.

(C) दी गई द्विआधारी संक्रिया $a * b = \frac{3ab}{2}$ है।
सबसे पहले,हम तत्समक अवयव $e$ ज्ञात करते हैं ताकि $a * e = a$ हो।
$\frac{3ae}{2} = a \implies e = \frac{2}{3}$.
अब,हम प्रतिलोम $3^{-1}$ ज्ञात करते हैं ताकि $3 * 3^{-1} = e = \frac{2}{3}$ हो।
$\frac{3 \cdot 3 \cdot 3^{-1}}{2} = \frac{2}{3} \implies \frac{9 \cdot 3^{-1}}{2} = \frac{2}{3} \implies 3^{-1} = \frac{4}{27}$.
साथ ही,$2 * x = \frac{3 \cdot 2 \cdot x}{2} = 3x$.
दिया गया समीकरण: $(2 * x) * 3^{-1} = 4^{-1}$.
यहाँ $4^{-1}$ संख्या $4$ का प्रतिलोम है,इसलिए $4 * 4^{-1} = \frac{2}{3} \implies 4^{-1} = \frac{1}{9}$.
समीकरण में मान रखने पर: $(3x) * \frac{4}{27} = \frac{1}{9}$.
$\frac{3 \cdot (3x) \cdot (4/27)}{2} = \frac{1}{9}$.
$\frac{36x}{54} = \frac{1}{9} \implies \frac{2x}{3} = \frac{1}{9}$.
$x = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$.

(B) माना $A = \begin{bmatrix} x & x \\ x & x \end{bmatrix}$ है। तत्समक अवयव $E = \begin{bmatrix} e & e \\ e & e \end{bmatrix}$ के लिए $AE = A$ होना चाहिए।
$\begin{bmatrix} x & x \\ x & x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} e & e \\ e & e \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2xe & 2xe \\ 2xe & 2xe \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x & x \\ x & x \end{bmatrix}$ है।
अतः,$2xe = x \implies e = 1/2$ है। तत्समक अवयव $E = \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{bmatrix}$ है।
माना $A = \begin{bmatrix} 1/3 & 1/3 \\ 1/3 & 1/3 \end{bmatrix}$ का प्रतिलोम $A^{-1} = \begin{bmatrix} y & y \\ y & y \end{bmatrix}$ है।
तब $AA^{-1} = E \implies \begin{bmatrix} 1/3 & 1/3 \\ 1/3 & 1/3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y & y \\ y & y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{bmatrix}$ है।
गुणा करने पर: $\begin{bmatrix} 2y/3 & 2y/3 \\ 2y/3 & 2y/3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 \end{bmatrix}$ है।
तुलना करने पर: $2y/3 = 1/2 \implies y = 3/4$ है।
अतः,$A^{-1} = \begin{bmatrix} 3/4 & 3/4 \\ 3/4 & 3/4 \end{bmatrix}$ है।

(A) दिया गया समुच्चय $A = \{1, 2, 3, 4\}$ और संबंध $x R y$ यदि $x, y$ को विभाजित करता है।
संबंध $R$ इस प्रकार है: $R = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 4)\}$.
$1$. स्वतुल्य: किसी भी $x \in A$ के लिए,$x, x$ को विभाजित करता है (अर्थात $x/x = 1$),इसलिए $(x, x) \in R$. अतः,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममित: $R$ के सममित होने के लिए,$(x, y) \in R$ का अर्थ $(y, x) \in R$ होना चाहिए। यहाँ,$(1, 2) \in R$ है लेकिन $(2, 1) \notin R$. अतः,$R$ सममित नहीं है।
$3$. संक्रामक: यदि $(x, y) \in R$ और $(y, z) \in R$ है,तो $x, y$ को विभाजित करता है और $y, z$ को विभाजित करता है। इसका अर्थ है कि $x, z$ को विभाजित करता है,इसलिए $(x, z) \in R$. अतः,$R$ संक्रामक है।
इसलिए,$R$ स्वतुल्य और संक्रामक है।

(A) दिया गया है,$A = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
आव्यूह $A$ का परिवर्त आव्यूह $A^{\prime} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ है।
अब,गुणनफल $A \cdot A^{\prime}$ की गणना करते हैं:
$A \cdot A^{\prime} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$
आव्यूह गुणन करने पर:
$A \cdot A^{\prime} = \begin{bmatrix} (\cos \theta)(\cos \theta) + (\sin \theta)(\sin \theta) & (\cos \theta)(-\sin \theta) + (\sin \theta)(\cos \theta) \\ (-\sin \theta)(\cos \theta) + (\cos \theta)(\sin \theta) & (-\sin \theta)(-\sin \theta) + (\cos \theta)(\cos \theta) \end{bmatrix}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta = 1$ का उपयोग करने पर:
$A \cdot A^{\prime} = \begin{bmatrix} \cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta & -\sin \theta \cos \theta + \sin \theta \cos \theta \\ -\sin \theta \cos \theta + \sin \theta \cos \theta & \sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta \end{bmatrix}$
$A \cdot A^{\prime} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$
अतः,$A \cdot A^{\prime} = I$,जो कि एक तत्समक आव्यूह है।

(D) दिया गया है कि $A$ और $B$ समान कोटि के सममित आव्यूह हैं,इसलिए $A^T = A$ और $B^T = B$ है।
$(i)$ $(A+B)^T = A^T + B^T = A+B$. अतः,$A+B$ सममित है।
(ii) $(A-B)^T = A^T - B^T = A-B$. अतः,$A-B$ सममित है।
(iii) $(AB+BA)^T = (AB)^T + (BA)^T = B^T A^T + A^T B^T = BA + AB = AB+BA$. अतः,$AB+BA$ सममित है।
(iv) $(AB-BA)^T = (AB)^T - (BA)^T = B^T A^T - A^T B^T = BA - AB = -(AB-BA)$. अतः,$AB-BA$ एक विषम-सममित आव्यूह है,सममित नहीं।
इसलिए,कथन '$AB-BA$ सममित है' सत्य नहीं है।

(A) यदि आव्यूह $A$ सिंगुलर है,तो उसका सारणिक $|A| = 0$ होता है।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & x-2 & 1 \\ x & 1 & 1 \end{bmatrix}$।
सारणिक को शून्य के बराबर रखने पर:
$\begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 1 & x-2 & 1 \\ x & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति $(R_1)$ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1((x-2)(1) - (1)(1)) - 2((1)(1) - (1)(x)) + (-1)((1)(1) - (x)(x-2)) = 0$
$1(x-2-1) - 2(1-x) - 1(1 - (x^2 - 2x)) = 0$
$(x-3) - 2 + 2x - 1 + x^2 - 2x = 0$
$x^2 + x - 6 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(x+3)(x-2) = 0$
अतः,$x = -3$ या $x = 2$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\sin \alpha & \cos \alpha & \sin (\alpha+\delta) \\ \sin \beta & \cos \beta & \sin (\beta+\delta) \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \sin (\gamma+\delta)\end{array}\right|$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करके,हम तीसरे स्तंभ का विस्तार कर सकते हैं:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\sin \alpha & \cos \alpha & \sin \alpha \cos \delta + \cos \alpha \sin \delta \\ \sin \beta & \cos \beta & \sin \beta \cos \delta + \cos \beta \sin \delta \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \sin \gamma \cos \delta + \cos \gamma \sin \delta\end{array}\right|$.
सारणिक के गुणधर्म के अनुसार,हम इसे दो सारणिकों के योग के रूप में विभाजित कर सकते हैं:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}\sin \alpha & \cos \alpha & \sin \alpha \cos \delta \\ \sin \beta & \cos \beta & \sin \beta \cos \delta \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \sin \gamma \cos \delta\end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc}\sin \alpha & \cos \alpha & \cos \alpha \sin \delta \\ \sin \beta & \cos \beta & \cos \beta \sin \delta \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \cos \gamma \sin \delta\end{array}\right|$.
पहले सारणिक के तीसरे स्तंभ से $\cos \delta$ और दूसरे सारणिक के तीसरे स्तंभ से $\sin \delta$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\Delta = \cos \delta \left|\begin{array}{ccc}\sin \alpha & \cos \alpha & \sin \alpha \\ \sin \beta & \cos \beta & \sin \beta \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \sin \gamma\end{array}\right| + \sin \delta \left|\begin{array}{ccc}\sin \alpha & \cos \alpha & \cos \alpha \\ \sin \beta & \cos \beta & \cos \beta \\ \sin \gamma & \cos \gamma & \cos \gamma\end{array}\right|$.
पहले सारणिक में,स्तंभ $1$ और स्तंभ $3$ समान हैं,इसलिए इसका मान $0$ है।
दूसरे सारणिक में,स्तंभ $2$ और स्तंभ $3$ समान हैं,इसलिए इसका मान $0$ है।
अतः,$\Delta = \cos \delta (0) + \sin \delta (0) = 0$.

(C) दिया गया फलन $f(x) = \sin^{-1}\left[\log_{2}\left(\frac{x}{2}\right)\right]$ है।
फलन $\sin^{-1}(u)$ के परिभाषित होने के लिए,इसका तर्क $u$ को $-1 \leq u \leq 1$ को संतुष्ट करना चाहिए।
अतः,हमें $-1 \leq \log_{2}\left(\frac{x}{2}\right) \leq 1$ प्राप्त होता है।
लघुगणक की परिभाषा का उपयोग करते हुए,यह असमिका $2^{-1} \leq \frac{x}{2} \leq 2^{1}$ के बराबर है।
इसे सरल करने पर,$\frac{1}{2} \leq \frac{x}{2} \leq 2$ प्राप्त होता है।
पूरी असमिका को $2$ से गुणा करने पर,हमें $1 \leq x \leq 4$ प्राप्त होता है।
अतः,फलन का प्रांत $x \in [1, 4]$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\tan ^{-1} x = \frac{\pi}{4} - \tan ^{-1} \left( \frac{1}{3} \right)$
चूंकि $\frac{\pi}{4} = \tan ^{-1}(1)$,हम लिख सकते हैं:
$\tan ^{-1} x = \tan ^{-1}(1) - \tan ^{-1} \left( \frac{1}{3} \right)$
सूत्र $\tan ^{-1} A - \tan ^{-1} B = \tan ^{-1} \left( \frac{A - B}{1 + AB} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left( \frac{1 - \frac{1}{3}}{1 + 1 \times \frac{1}{3}} \right)$
$\tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left( \frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{3}} \right)$
$\tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left( \frac{2}{4} \right)$
$\tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \left( \frac{1}{2} \right)$
अतः,$x = \frac{1}{2}$।

(C) दिया गया है कि फलन $f(x)$,$x=1$ पर सतत है,इसलिए सांतत्य की शर्त के अनुसार $f(1) = \lim_{x \to 1} f(x)$ होगा।
फलन की परिभाषा के अनुसार,$f(1) = k$ है।
अतः,हमें सीमा का मान ज्ञात करना है: $k = \lim_{x \to 1} \frac{\log x}{x-1}$।
$x=1$ रखने पर,हमें $\frac{0}{0}$ अनिर्धार्य रूप प्राप्त होता है।
एल'हॉपिटल नियम का उपयोग करते हुए,अंश और हर का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$k = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{dx}(\log x)}{\frac{d}{dx}(x-1)} = \lim_{x \to 1} \frac{1/x}{1}$।
$x \to 1$ सीमा लेने पर:
$k = \frac{1/1}{1} = 1$।
अतः,$k$ का मान $1$ है।

(A) माना $y = \cos ^{2}\left(\cot ^{-1} \sqrt{\frac{2+x}{2-x}}\right)$.
$x = 2 \cos \theta$ रखने पर,जिससे $\cos \theta = \frac{x}{2}$ प्राप्त होता है।
तब,$\sqrt{\frac{2+x}{2-x}} = \sqrt{\frac{2+2\cos \theta}{2-2\cos \theta}} = \sqrt{\frac{2(1+\cos \theta)}{2(1-\cos \theta)}} = \sqrt{\frac{2\cos^2(\theta/2)}{2\sin^2(\theta/2)}} = \cot(\theta/2)$.
इस मान को व्यंजक में रखने पर,$y = \cos^2(\cot^{-1}(\cot(\theta/2))) = \cos^2(\theta/2)$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\cos^2(\theta/2) = \frac{1+\cos \theta}{2}$ का उपयोग करने पर,$y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos \theta$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos \theta = \frac{x}{2}$,इसलिए $y = \frac{1}{2} + \frac{x}{4}$ होगा।
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{1}{2} + \frac{x}{4}) = 0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$।

(C) दिया गया है,$f(x) = \frac{\sin^{2} x}{1+\cot x} + \frac{\cos^{2} x}{1+\tan x}$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$f(x) = \frac{\sin^{2} x}{1+\frac{\cos x}{\sin x}} + \frac{\cos^{2} x}{1+\frac{\sin x}{\cos x}}$
$f(x) = \frac{\sin^{3} x}{\sin x + \cos x} + \frac{\cos^{3} x}{\cos x + \sin x}$
$f(x) = \frac{\sin^{3} x + \cos^{3} x}{\sin x + \cos x}$
सर्वसमिका $a^{3} + b^{3} = (a+b)(a^{2} - ab + b^{2})$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \frac{(\sin x + \cos x)(\sin^{2} x - \sin x \cos x + \cos^{2} x)}{\sin x + \cos x}$
$f(x) = \sin^{2} x - \sin x \cos x + \cos^{2} x$
$f(x) = 1 - \sin x \cos x = 1 - \frac{1}{2} \sin(2x)$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$f^{\prime}(x) = -\frac{1}{2} \cdot \cos(2x) \cdot 2 = -\cos(2x)$.
$x = \frac{\pi}{4}$ रखने पर:
$f^{\prime}\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\cos\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$.

(B) माना $u = \tan ^{-1}\left(\frac{\sin x}{1+\cos x}\right)$ और $v = \tan ^{-1}\left(\frac{\cos x}{1+\sin x}\right)$.
$u$ के लिए:
$u = \tan ^{-1}\left(\frac{2 \sin(x/2) \cos(x/2)}{2 \cos^2(x/2)}\right) = \tan ^{-1}(\tan(x/2)) = x/2$.
अतः,$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2}$.
$v$ के लिए:
$v = \tan ^{-1}\left(\frac{\cos^2(x/2) - \sin^2(x/2)}{(\cos(x/2) + \sin(x/2))^2}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{(\cos(x/2) - \sin(x/2))(\cos(x/2) + \sin(x/2))}{(\cos(x/2) + \sin(x/2))^2}\right)$.
$v = \tan ^{-1}\left(\frac{\cos(x/2) - \sin(x/2)}{\cos(x/2) + \sin(x/2)}\right) = \tan ^{-1}\left(\frac{1 - \tan(x/2)}{1 + \tan(x/2)}\right) = \tan ^{-1}\left(\tan\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right)\right) = \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}$.
अतः,$\frac{dv}{dx} = -\frac{1}{2}$.
अब,$\frac{du}{dv} = \frac{du/dx}{dv/dx} = \frac{1/2}{-1/2} = -1$.

(D) दिया गया है,$\sqrt{r} = a e^{\theta \cot \alpha}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $r = a^{2} e^{2 \theta \cot \alpha}$ प्राप्त होता है।
$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dr}{d\theta} = a^{2} \cdot e^{2 \theta \cot \alpha} \cdot (2 \cot \alpha) = 2 a^{2} \cot \alpha \cdot e^{2 \theta \cot \alpha}$.
पुनः $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^{2}r}{d\theta^{2}} = 2 a^{2} \cot \alpha \cdot e^{2 \theta \cot \alpha} \cdot (2 \cot \alpha) = 4 a^{2} \cot^{2} \alpha \cdot e^{2 \theta \cot \alpha}$.
चूंकि $r = a^{2} e^{2 \theta \cot \alpha}$,हम इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$\frac{d^{2}r}{d\theta^{2}} = 4 \cot^{2} \alpha \cdot (a^{2} e^{2 \theta \cot \alpha}) = 4 r \cot^{2} \alpha$.
अतः,$\frac{d^{2}r}{d\theta^{2}} - 4 r \cot^{2} \alpha = 0$.

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\left(1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}\right)^{2/3} = \frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ है।
घात ज्ञात करने के लिए,हमें दोनों पक्षों का घन करके भिन्नात्मक घातांक को हटाना होगा:
$\left(1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2}\right)^{2} = \left(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\right)^{3}$.
यहाँ कोटि $n$ उच्चतम अवकलज है,जो $\frac{d^{2}y}{dx^{2}}$ है,इसलिए $n = 2$.
घात $m$ उच्चतम अवकलज की घात है,जो $3$ है,इसलिए $m = 3$.
अब,अभीष्ट मान की गणना करें: $\frac{m+n}{m-n} = \frac{3+2}{3-2} = \frac{5}{1} = 5$.

(A) दिया गया है कि गोले के आयतन के बढ़ने की दर $\frac{dV}{dt} = \pi \text{ cm}^3/\text{s}$ है।
हम जानते हैं कि गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dV}{dt} = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
$\frac{dV}{dt} = \pi$ रखने पर,$\pi = 4 \pi r^2 \frac{dr}{dt}$ होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dr}{dt} = \frac{1}{4r^2}$।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi r^2$ होता है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dS}{dt} = 8 \pi r \frac{dr}{dt}$ प्राप्त होता है।
$\frac{dr}{dt} = \frac{1}{4r^2}$ रखने पर,$\frac{dS}{dt} = 8 \pi r \left( \frac{1}{4r^2} \right) = \frac{2 \pi}{r}$ प्राप्त होता है।
जब $r = 1 \text{ cm}$ है,तो पृष्ठीय क्षेत्रफल के बढ़ने की दर $\frac{dS}{dt} = \frac{2 \pi}{1} = 2 \pi \text{ cm}^2/\text{s}$ है।

(D) दिया गया है कि $x > 0$ के लिए,हमें $I = \int \cos^{-1}\left(\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}\right) dx$ का मूल्यांकन करना है।
त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन $x = \tan \theta$ का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $x > 0$ के लिए,$\cos^{-1}\left(\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}\right) = 2 \tan^{-1} x$ होता है।
इसे समाकलन में रखने पर,हमें $I = \int 2 \tan^{-1} x dx = 2 \int \tan^{-1} x dx$ प्राप्त होता है।
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $u = \tan^{-1} x$ और $dv = dx$ है। तब $du = \frac{1}{1+x^{2}} dx$ और $v = x$ होगा।
$I = 2 \left( x \tan^{-1} x - \int \frac{x}{1+x^{2}} dx \right)$।
$\int \frac{x}{1+x^{2}} dx$ को हल करने के लिए,मान लीजिए $t = 1+x^{2}$,तब $dt = 2x dx$,अर्थात $x dx = \frac{1}{2} dt$ होगा।
अतः,$\int \frac{x}{1+x^{2}} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} \log(1+x^{2})$ होगा।
इस मान को वापस रखने पर,$I = 2x \tan^{-1} x - 2 \left( \frac{1}{2} \log(1+x^{2}) \right) + C = 2x \tan^{-1} x - \log(1+x^{2}) + C$ प्राप्त होता है।

(C) हमें समाकलन $I = \int e^{x} \left( \frac{\sin x + \cos x}{\cos^2 x} \right) dx$ दिया गया है।
सर्वसमिका $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$ का उपयोग करके,हम व्यंजक को पुनः लिखते हैं:
$I = \int e^{x} \left( \frac{\sin x}{\cos^2 x} + \frac{\cos x}{\cos^2 x} \right) dx$
$I = \int e^{x} (\tan x \sec x + \sec x) dx$
मान लीजिए $f(x) = \sec x$. तब $f'(x) = \sec x \tan x$ होगा।
हम जानते हैं कि मानक समाकलन सूत्र $\int e^{x} [f(x) + f'(x)] dx = e^{x} f(x) + C$ होता है।
इस सूत्र का उपयोग करने पर:
$I = \int e^{x} (\sec x + \sec x \tan x) dx = e^{x} \sec x + C$.

(B) $\int_{0}^{4}|x-1| dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम पहले वह बिंदु पहचानते हैं जहाँ मापांक के अंदर का व्यंजक अपना चिह्न बदलता है,जो $x = 1$ है।
हम समाकलन को $x = 1$ पर विभाजित करते हैं:
$\int_{0}^{4}|x-1| dx = \int_{0}^{1}-(x-1) dx + \int_{1}^{4}(x-1) dx$
पहले भाग का मूल्यांकन करने पर:
$\int_{0}^{1}(-x+1) dx = [-\frac{x^2}{2} + x]_{0}^{1} = (-\frac{1}{2} + 1) - (0) = \frac{1}{2}$
दूसरे भाग का मूल्यांकन करने पर:
$\int_{1}^{4}(x-1) dx = [\frac{x^2}{2} - x]_{1}^{4} = (\frac{16}{2} - 4) - (\frac{1}{2} - 1) = (8 - 4) - (-\frac{1}{2}) = 4 + \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$
दोनों भागों को जोड़ने पर:
$\frac{1}{2} + \frac{9}{2} = \frac{10}{2} = 5$

(A) दिया गया समाकलन $I_{n} = \int_{0}^{\pi / 4} \tan ^{n} x d x$ है।
हम $\tan^{n} x$ को $\tan^{n-2} x \cdot \tan^{2} x$ के रूप में लिख सकते हैं।
सर्वसमिका $\tan^{2} x = \sec^{2} x - 1$ का उपयोग करने पर:
$I_{n} = \int_{0}^{\pi / 4} \tan^{n-2} x (\sec^{2} x - 1) d x$.
$I_{n} = \int_{0}^{\pi / 4} \tan^{n-2} x \sec^{2} x d x - \int_{0}^{\pi / 4} \tan^{n-2} x d x$.
माना $t = \tan x$,तो $dt = \sec^{2} x dx$ होगा। जब $x=0, t=0$ और जब $x=\pi/4, t=1$।
$I_{n} = \int_{0}^{1} t^{n-2} dt - I_{n-2}$.
$I_{n} = \left[ \frac{t^{n-1}}{n-1} \right]_{0}^{1} - I_{n-2}$.
$I_{n} = \frac{1}{n-1} - I_{n-2}$.
अतः,$I_{n} + I_{n-2} = \frac{1}{n-1}$.
$n=10$ के लिए,हमें $I_{10} + I_{8} = \frac{1}{10-1} = \frac{1}{9}$ प्राप्त होता है।

(NONE) दिए गए वक्र $y=m x^{2}$ और $x=m y^{2}$ हैं,जहाँ $m>0$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y=m x^{2}$ को $x=m y^{2}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x=m(m x^{2})^{2} = m^{3} x^{4}$
$m^{3} x^{4}-x=0 \Rightarrow x(m^{3} x^{3}-1)=0$
प्रतिच्छेदन बिंदु $x=0$ और $x=1/m$ हैं।
वक्रों के बीच का क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = \int_{0}^{1/m} (\sqrt{x/m} - m x^{2}) dx$
$A = [\frac{1}{\sqrt{m}} \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} - m \cdot \frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1/m}$
$A = [\frac{2}{3 \sqrt{m}} \cdot (1/m)^{3/2} - \frac{m}{3} \cdot (1/m)^{3}]$
$A = \frac{2}{3 m^{2}} - \frac{1}{3 m^{2}} = \frac{1}{3 m^{2}}$
दिया गया है $A = 1/4$,इसलिए $\frac{1}{3 m^{2}} = \frac{1}{4}$
$3 m^{2} = 4 \Rightarrow m^{2} = 4/3$
चूँकि $m>0$,इसलिए $m = \frac{2}{\sqrt{3}}$।
नोट: दिए गए विकल्पों में से कोई भी गणना किए गए परिणाम से मेल नहीं खाता है। सही मान $m = 2/\sqrt{3}$ है।

(B) दिया गया है,$\cos ^{-1}\left(\frac{y}{b}\right)=n \log \left(\frac{x}{n}\right)$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$-\frac{1}{\sqrt{1-(y/b)^2}} \cdot \frac{1}{b} \cdot y_1 = n \cdot \frac{1}{(x/n)} \cdot \frac{1}{n}$
व्यंजक को सरल करने पर:
$-\frac{1}{\sqrt{(b^2-y^2)/b^2}} \cdot \frac{y_1}{b} = \frac{n}{x}$
$-\frac{b}{\sqrt{b^2-y^2}} \cdot \frac{y_1}{b} = \frac{n}{x}$
$-\frac{y_1}{\sqrt{b^2-y^2}} = \frac{n}{x}$
वज्र गुणन करने पर:
$-x y_1 = n \sqrt{b^2-y^2}$
$x y_1 + n \sqrt{b^2-y^2} = 0$.

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} = 1 - x^{2} - y^{2} + x^{2}y^{2}$
दाहिनी ओर के पदों का गुणनखंड करने पर: $\left(\frac{dy}{dx}\right)^{2} = (1 - x^{2}) - y^{2}(1 - x^{2}) = (1 - x^{2})(1 - y^{2})$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $\frac{dy}{dx} = \sqrt{1 - x^{2}} \sqrt{1 - y^{2}}$
चरों को अलग करने पर: $\frac{dy}{\sqrt{1 - y^{2}}} = \sqrt{1 - x^{2}} dx$
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{\sqrt{1 - y^{2}}} = \int \sqrt{1 - x^{2}} dx$
मानक समाकलनों का उपयोग करने पर $\int \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} dy = \sin^{-1} y$ और $\int \sqrt{1 - x^{2}} dx = \frac{x}{2} \sqrt{1 - x^{2}} + \frac{1}{2} \sin^{-1} x + C_1$:
$\sin^{-1} y = \frac{x}{2} \sqrt{1 - x^{2}} + \frac{1}{2} \sin^{-1} x + C_1$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर: $2 \sin^{-1} y = x \sqrt{1 - x^{2}} + \sin^{-1} x + 2C_1$
मान लीजिए $C = 2C_1$,तो: $2 \sin^{-1} y = x \sqrt{1 - x^{2}} + \sin^{-1} x + C$

(C) दिया गया है कि $a, b, c$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|a| = |b| = |c| = 1$.
साथ ही,$a + b + c = 0$,जिसका अर्थ है $a + b = -c$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $(a + b) \cdot (a + b) = (-c) \cdot (-c)$.
$|a|^2 + |b|^2 + 2(a \cdot b) = |c|^2$.
मान रखने पर,$1^2 + 1^2 + 2(a \cdot b) = 1^2$.
$2 + 2(a \cdot b) = 1$.
$2(a \cdot b) = -1$,इसलिए $a \cdot b = -\frac{1}{2}$.
चूंकि $a \cdot b = |a||b| \cos \theta$,हमारे पास है $1 \cdot 1 \cdot \cos \theta = -\frac{1}{2}$.
$\cos \theta = -\frac{1}{2} = \cos \left(\frac{2\pi}{3}\right)$.
अतः,$\theta = \frac{2\pi}{3}$.

(C) दिया गया है कि $a, b, c$ असमतलीय हैं,इसलिए अदिश त्रिक गुणनफल $[a b c] \neq 0$ है।
हम जानते हैं कि $[a b c] = [b c a] = [c a b]$ होता है।
माना $V = [a b c]$ है।
व्यंजक $E = a \cdot \left\{ \frac{b \times c}{3 b \cdot (c \times a)} \right\} - b \cdot \left\{ \frac{c \times a}{2 c \cdot (a \times b)} \right\}$ है।
अदिश त्रिक गुणनफल की परिभाषा के अनुसार,$b \cdot (c \times a) = [b c a] = [a b c] = V$ और $c \cdot (a \times b) = [c a b] = [a b c] = V$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$E = \frac{a \cdot (b \times c)}{3 [a b c]} - \frac{b \cdot (c \times a)}{2 [a b c]}$
$E = \frac{[a b c]}{3 [a b c]} - \frac{[b c a]}{2 [a b c]}$
चूंकि $[a b c] = [b c a] = V$ है,इसलिए:
$E = \frac{V}{3V} - \frac{V}{2V} = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2 - 3}{6} = -\frac{1}{6}$.

(D) माना सदिश $\vec{a} = 2i + 3j + 0k$,$\vec{b} = i + j + k$,और $\vec{c} = \lambda i + 4j + 2k$ हैं।
समांतर षट्फलक का आयतन उसके अदिश त्रिक गुणनफल के मापांक के बराबर होता है: $|[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]| = |(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}|$.
सबसे पहले,$\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = i(3-0) - j(2-0) + k(2-3) = 3i - 2j - k$.
अब,अदिश त्रिक गुणनफल की गणना करें:
$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = (3i - 2j - k) \cdot (\lambda i + 4j + 2k) = 3\lambda - 8 - 2 = 3\lambda - 10$.
दिया गया आयतन $2$ है,इसलिए $|3\lambda - 10| = 2$.
स्थिति $1$: $3\lambda - 10 = 2 \Rightarrow 3\lambda = 12 \Rightarrow \lambda = 4$.
स्थिति $2$: $3\lambda - 10 = -2 \Rightarrow 3\lambda = 8 \Rightarrow \lambda = 8/3$.
विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $4$ है।

(B) माना $\vec{u} = i+j+k$ और $\vec{v} = 2i+j+3k$ है।
$\vec{u}$ और $\vec{v}$ दोनों के लंबवत सदिश उनके सदिश गुणनफल $\vec{w} = \vec{u} \times \vec{v}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{w} = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = i(3-1) - j(3-2) + k(1-2) = 2i - j - k$.
$\vec{w}$ का परिमाण $|\vec{w}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$ है।
दोनों के लंबवत इकाई सदिश $\pm \frac{\vec{w}}{|\vec{w}|} = \pm \frac{2i-j-k}{\sqrt{6}}$ है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही उत्तर $\frac{2i-j-k}{\sqrt{6}}$ है।