KCET 2011 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,ઉપગ્રહના આવર્તકાળ $T$ નો વર્ગ તેની કક્ષાની ત્રિજ્યા $R$ ના ઘન સાથે પ્રમાણસર હોય છે,જે $T^2 \propto R^3$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $T = 2\pi \sqrt{\frac{R^3}{GM}}$,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે અને $M$ એ ગ્રહનું દળ છે.
નોંધો કે આવર્તકાળ $T$ ફક્ત કક્ષાની ત્રિજ્યા $R$ અને મુખ્ય ગ્રહના દળ $M$ પર આધાર રાખે છે.
તે ઉપગ્રહના દળ $m$ થી સ્વતંત્ર છે.
બંને ઉપગ્રહો સમાન ગ્રહની આસપાસ સમાન ત્રિજ્યા $R$ પર ભ્રમણ કરતા હોવાથી,તેમના આવર્તકાળ સમાન હશે.
તેથી,તેમના પરિભ્રમણ સમયગાળાનો ગુણોત્તર $1: 1$ છે.

(A) કોઈ પદાર્થનું તાપમાન વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q = mc\Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે,$c$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા છે અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
બંને ગોળાઓ સમાન પદાર્થ (તાંબુ) ના બનેલા હોવાથી,$c$ અચળ છે. આપેલ $\Delta T = 1 \ K$ માટે,$Q \propto m$ થાય.
ગોળાનું દળ $m = \rho V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ ઘનતા છે અને $V$ એ કદ છે.
$V = \frac{4}{3}\pi r^3$ હોવાથી,$m \propto r^3$ થાય.
તેથી,$Q \propto r^3$ મળે.
જરૂરી ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{r_1^3}{r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$ થશે.
આપેલ છે કે $r_1 = 1.5 r_2$,તેથી $\frac{r_1}{r_2} = 1.5 = \frac{3}{2}$ થાય.
આમ,$\frac{Q_1}{Q_2} = \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{27}{8}$ મળે.

(D) ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ,અચળ દબાણે વાયુના નિશ્ચિત જથ્થા માટે,કદ તેના નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $V \propto T$ અથવા $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$.
આપેલ પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$.
ધારો કે પ્રારંભિક કદ $V_1 = V$. તો અંતિમ કદ $V_2 = 2V$ થાય.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{V}{300} = \frac{2V}{T_2}$.
$T_2$ માટે ઉકેલતા: $T_2 = 300 \times 2 = 600 \ K$.
અંતિમ તાપમાનને સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_2 = 600 - 273 = 327^{\circ} C$.
તાપમાનમાં થતો વધારો $\Delta T = T_2 - T_1 = 327^{\circ} C - 27^{\circ} C = 300^{\circ} C$ થાય.

(D) $1$. તંત્રનું કુલ દળ $(A + B) = 2 \, kg + 8 \, kg = 10 \, kg$ છે.
$2$. બ્લોક $B$ અને આડી સપાટી વચ્ચેનું મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ (સીમાંત ઘર્ષણ) $f_{max} = \mu_s N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $N$ એ સપાટી દ્વારા લાગતું લંબબળ છે.
$3$. લંબબળ $N = (m_A + m_B)g = 10 \, kg \times 10 \, ms^{-2} = 100 \, N$ થાય.
$4$. તેથી, $f_{max} = 0.5 \times 100 \, N = 50 \, N$ મળે.
$5$. બ્લોક $B$ પર લગાડવામાં આવેલું આડું બળ $F_{app} = 10 \, N$ છે.
$6$. અહીં $F_{app} < f_{max}$ $(10 \, N < 50 \, N)$ હોવાથી, આખું તંત્ર સ્થિર રહેશે.
$7$. તંત્ર સ્થિર હોવાથી અને બ્લોક $A$ પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોવાથી, બ્લોક $A$ અને $B$ વચ્ચેનું ઘર્ષણ બળ શૂન્ય થશે.

(D) ધારો કે બે બળો $F_1$ અને $F_2$ છે. તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 120^{\circ}$ છે.
ધારો કે પરિણામી બળ $R = 10 \,kg$-wt એ બળ $F_1$ ને લંબ છે.
પરિણામી બળ $F_1$ સાથે બનાવે છે તે ખૂણા $\alpha$ માટેનું સૂત્ર:
$\tan \alpha = \frac{F_2 \sin \theta}{F_1 + F_2 \cos \theta}$
પરિણામી બળ $F_1$ ને લંબ હોવાથી, $\alpha = 90^{\circ}$, તેથી $\tan 90^{\circ} = \infty$.
આનો અર્થ એ છે કે છેદ શૂન્ય હોવો જોઈએ: $F_1 + F_2 \cos 120^{\circ} = 0$.
$F_1 + F_2 (-0.5) = 0 \implies F_1 = 0.5 F_2 \implies F_2 = 2 F_1$.
પરિણામી બળનું મૂલ્ય $R^2 = F_1^2 + F_2^2 + 2 F_1 F_2 \cos 120^{\circ}$ દ્વારા મળે છે.
$10^2 = F_1^2 + (2 F_1)^2 + 2 F_1 (2 F_1) (-0.5)$.
$100 = F_1^2 + 4 F_1^2 - 2 F_1^2 = 3 F_1^2$.
$F_1^2 = \frac{100}{3} \implies F_1 = \frac{10}{\sqrt{3}} \,kg$-wt.
આમ, પરિણામી બળને લંબ રહેલું બળ $\frac{10}{\sqrt{3}} \,kg$-wt છે.

(C) કેશનળીમાં પાણીની ઊંચાઈનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$
જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$\theta$ એ સંપર્કકોણ છે,$r$ એ કેશનળીની ત્રિજ્યા છે,$\rho$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
આ સૂત્ર પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $h \propto \frac{1}{r}$.
આમ,ઊંચાઈ $h$ એ નળીની ત્રિજ્યા $r$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,નાના વ્યાસ (નાની ત્રિજ્યા) વાળી નળીમાં પાણીનું સ્તર વધારે ઊંચે ચઢશે.

(A) ધારો કે દરેક નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાંની ત્રિજ્યા $R$ છે. કદ અચળ રહેતું હોવાથી, $8$ નાના ટીપાંનું કદ મોટા ટીપાંના કદ જેટલું થાય:
$8 \cdot (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$R^3 = 8r^3 \implies R = 2r$.
ટર્મિનલ વેગ $v_t$ નું સૂત્ર $v_t = \frac{2}{9} \frac{r^2(\rho - \sigma)g}{\eta}$ છે, જે સૂચવે છે કે $v_t \propto r^2$.
ધારો કે $v_1$ એ નાના ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ છે અને $v_2$ એ મોટા ટીપાંનો ટર્મિનલ વેગ છે.
$\frac{v_2}{v_1} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{(2r)^2}{r^2} = 4$.
આપેલ છે કે $v_1 = 10 \,cm \,s^{-1}$, તેથી $v_2 = 4 \cdot 10 \,cm \,s^{-1} = 40 \,cm \,s^{-1}$.

(A) તારનું વિસ્તરણ $e$ એ સૂત્ર $e = \frac{FL}{AY}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $F$ એ લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ છે,$L$ એ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી,$e = \frac{FL}{\pi r^2 Y}$ થાય.
અહીં $F$ અને $Y$ બધા તાર માટે સમાન હોવાથી,વિસ્તરણ એ $\frac{L}{r^2}$ ના ગુણોત્તરના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $e \propto \frac{L}{r^2}$.
ચાલો દરેક વિકલ્પ માટે $\frac{L}{r^2}$ ની કિંમત ગણીએ:
વિકલ્પ $A$ માટે: $\frac{100}{(0.2)^2} = \frac{100}{0.04} = 2500$.
વિકલ્પ $B$ માટે: $\frac{200}{(0.4)^2} = \frac{200}{0.16} = 1250$.
વિકલ્પ $C$ માટે: $\frac{300}{(0.6)^2} = \frac{300}{0.36} \approx 833.3$.
વિકલ્પ $D$ માટે: $\frac{400}{(0.8)^2} = \frac{400}{0.64} = 625$.
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $A$ માં રહેલા તાર માટે $\frac{L}{r^2}$ ની કિંમત સૌથી વધુ છે,તેથી તેમાં સૌથી વધુ વિસ્તરણ થશે.

(D) વ્યાખ્યા મુજબ,સ્થાનાંતર-સમયના આલેખનો ઢાળ એ વેગ દર્શાવે છે.
$v = \tan \theta$
અહીં આપેલા ખૂણા $\theta_1 = 30^{\circ}$ અને $\theta_2 = 45^{\circ}$ છે.
તેમના વેગનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ મળે:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{\tan \theta_1}{\tan \theta_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{\tan 30^{\circ}}{\tan 45^{\circ}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ અને $\tan 45^{\circ} = 1$ છે,તેથી:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{1/\sqrt{3}}{1} = \frac{1}{\sqrt{3}}$
આમ,વેગનો ગુણોત્તર $1: \sqrt{3}$ છે.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે ગતિના સમીકરણો નીચે મુજબ આપેલા છે:
$x = 6t$ $(i)$
$y = 8t - 5t^2$ (ii)
આ સમીકરણોને પ્રક્ષિપ્ત ગતિના પ્રમાણિત સમીકરણો સાથે સરખાવતા:
$x = (u \cos \theta)t$
$y = (u \sin \theta)t - \frac{1}{2}gt^2$
સમીકરણ $(i)$ પરથી,વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = u \cos \theta = 6 \text{ m/s}$ છે.
સમીકરણ (ii) પરથી,વેગનો શિરોલંબ ઘટક $u_y = u \sin \theta = 8 \text{ m/s}$ છે.
પ્રારંભિક પ્રક્ષેપણ વેગ $u$ નું મૂલ્ય નીચે મુજબ મળે છે:
$u = \sqrt{u_x^2 + u_y^2}$
$u = \sqrt{6^2 + 8^2}$
$u = \sqrt{36 + 64}$
$u = \sqrt{100}$
$u = 10 \text{ m/s}$.

(B) મધ્યમાન સ્થાનથી શરૂ થતી સરળ આવર્ત ગતિ માટે સ્થાનાંતરનું સમીકરણ $y = a \sin(\omega t)$ છે, જ્યાં $\omega = \frac{2\pi}{T}$ છે.
અહીં કણ મધ્યમાન સ્થાન $(y = 0)$ થી કંપવિસ્તારના અડધા $(y = a/2)$ સુધી જાય છે, તેથી:
$\frac{a}{2} = a \sin\left(\frac{2\pi}{T} t\right)$
$\frac{1}{2} = \sin\left(\frac{2\pi}{T} t\right)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(\pi/6) = 1/2$, તેથી:
$\frac{2\pi}{T} t = \frac{\pi}{6}$
$t$ માટે ઉકેલતા:
$t = \frac{T}{12}$
આપેલ આવર્તકાળ $T = 6 \,s$ હોવાથી:
$t = \frac{6}{12} = 0.5 \,s = \frac{1}{2} \,s$.

(D) સરક્યા વગર ગબડતા પદાર્થની કુલ ગતિઊર્જા $(KE)$ એ તેની સ્થાનાંતરીય ગતિઊર્જા અને ચાકગતિઊર્જાનો સરવાળો છે.
$KE = KE_{\text{trans}} + KE_{\text{rot}}$
$KE = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} I \omega^{2}$
નક્કર ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} m R^{2}$ છે અને સરક્યા વગર ગબડવાની શરત $v = R \omega$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\omega = \frac{v}{R}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$KE = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} m R^{2}) (\frac{v}{R})^{2}$
$KE = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} m v^{2})$
$KE = \frac{1}{2} m v^{2} (1 + \frac{2}{5})$
$KE = \frac{1}{2} m v^{2} (\frac{7}{5})$
$KE = \frac{7}{10} m v^{2}$

(A) આપેલ છે કે સળિયા સમાન છે,તેથી દરેક સળિયાની લંબાઈ $l$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A_{area}$ ધારો.
ધારો કે $K_{A}, K_{B}, K_{C}$ એ અનુક્રમે સળિયા $A, B, C$ ની ઉષ્મા વાહકતા છે.
પ્રશ્ન મુજબ:
$K_{B} = \frac{1}{2} K_{A}$
$K_{B} = 3 K_{C} \implies K_{C} = \frac{K_{B}}{3} = \frac{K_{A}}{6}$
સળિયા શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,સમતુલ્ય ઉષ્મીય અવરોધ $R_{eq}$ એ વ્યક્તિગત અવરોધોનો સરવાળો છે:
$R_{eq} = R_{A} + R_{B} + R_{C}$
$\frac{3l}{K_{eq} A_{area}} = \frac{l}{K_{A} A_{area}} + \frac{l}{K_{B} A_{area}} + \frac{l}{K_{C} A_{area}}$
$\frac{3}{K_{eq}} = \frac{1}{K_{A}} + \frac{1}{K_{A}/2} + \frac{1}{K_{A}/6}$
$\frac{3}{K_{eq}} = \frac{1}{K_{A}} + \frac{2}{K_{A}} + \frac{6}{K_{A}}$
$\frac{3}{K_{eq}} = \frac{9}{K_{A}}$
$K_{eq} = \frac{3 K_{A}}{9} = \frac{1}{3} K_{A}$

(C) વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ, મહત્તમ તીવ્રતાને અનુરૂપ તરંગલંબાઇ $(\lambda_{m})$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે, એટલે કે $\lambda_{m} T = \text{અચળ}$.
આવૃત્તિ $\nu_{m}$ એ તરંગલંબાઇ સાથે $\nu_{m} = c / \lambda_{m}$ દ્વારા સંબંધિત હોવાથી, આપણે સ્થાનાંતરના નિયમમાં $\lambda_{m} = c / \nu_{m}$ મૂકી શકીએ છીએ.
આનાથી $(c / \nu_{m}) T = \text{અચળ}$ મળે છે, જેનું સાદું રૂપ આપતા $\nu_{m} / T = \text{અચળ}'$ અથવા $\nu_{m} \propto T$ મળે છે.
તેથી, સંપૂર્ણ કૃષ્ણ પદાર્થ માટે $\nu_{m}$ વિરુદ્ધ $T$ નો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા છે, જે આપેલી આકૃતિમાં રેખા $C$ ને અનુરૂપ છે.

(B) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $y = 10 \sin \left( \frac{2 \pi}{45} t + \alpha \right)$ છે.
$t = 0$ સમયે,સ્થાનાંતર $y = 5 \text{ cm}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $5 = 10 \sin \left( \frac{2 \pi}{45} \times 0 + \alpha \right) = 10 \sin \alpha$.
તેથી,$\sin \alpha = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = \frac{\pi}{6}$.
તરંગની કુલ કળા $\phi = \frac{2 \pi}{45} t + \alpha$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t = 7.5 \text{ s} = \frac{15}{2} \text{ s}$ સમયે,કુલ કળા:
$\phi = \frac{2 \pi}{45} \times \frac{15}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}$.
$\phi = \frac{2 \pi + \pi}{6} = \frac{3 \pi}{6} = \frac{\pi}{2}$.

(C) ધારો કે અજ્ઞાત આવૃત્તિ $n \,Hz$ છે.
$A$ $(n_A = 258 \,Hz)$ સાથેની બીટ આવૃત્તિ $x = |n - 258|$ છે.
$B$ $(n_B = 262 \,Hz)$ સાથેની બીટ આવૃત્તિ $2x = |n - 262|$ છે.
જો $n < 258$ હોય, તો $x = 258 - n$.
તેથી $2x = |n - 262| = 262 - n$.
$x$ ની કિંમત મૂકતા: $2(258 - n) = 262 - n$.
$516 - 2n = 262 - n$.
$n = 516 - 262 = 254 \,Hz$.
શરત તપાસતા: જો $n = 254 \,Hz$ હોય, તો $A$ સાથેના બીટ્સ $|254 - 258| = 4 \,Hz$ થાય.
$B$ સાથેના બીટ્સ $|254 - 262| = 8 \,Hz$ થાય.
જેથી $8 = 2 \times 4$ થાય છે, જે શરતનું પાલન કરે છે.

$(A)$ ખેંચાયેલા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિનું સૂત્ર: $f = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$, જ્યાં $\mu = \pi r^2 \rho$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે。
$\mu$ ની કિંમત મૂકતા: $f = \frac{1}{2lr} \sqrt{\frac{T}{\pi \rho}}$.
પ્રારંભિક શરતો: $f_1 = 600 \,Hz$, લંબાઈ $l_1 = l$, ત્રિજ્યા $r_1 = r$, અને તણાવ $T_1 = T$.
નવી શરતો: $l_2 = 2l$, $r_2 = r/2$, અને $T_2 = T/9$.
આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર: $\frac{f_2}{f_1} = \frac{l_1}{l_2} \times \frac{r_1}{r_2} \times \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{f_2}{600} = \frac{l}{2l} \times \frac{r}{r/2} \times \sqrt{\frac{T/9}{T}}$.
$\frac{f_2}{600} = \frac{1}{2} \times 2 \times \sqrt{\frac{1}{9}} = 1 \times \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$.
તેથી, $f_2 = \frac{600}{3} = 200 \,Hz$.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 5 \,kg$,પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $KE_i = 490 \,J$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \,ms^{-2}$.
જરૂરી ઊંચાઈ $h$ પર,ગતિઊર્જા $KE_f$ એ પ્રારંભિક મૂલ્ય કરતા અડધી થાય છે:
$KE_f = \frac{1}{2} KE_i = \frac{490}{2} = 245 \,J$.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ યાંત્રિક ઊર્જા અચળ રહે છે:
$KE_i = KE_f + PE_f$
$KE_i = KE_f + mgh$
કિંમતો મૂકતા:
$490 = 245 + 5 \times 9.8 \times h$
$490 - 245 = 49 \times h$
$245 = 49h$
$h = \frac{245}{49} = 5 \,m$.
તેથી,ઊંચાઈ $5 \,m$ છે.

(D) ટ્રાન્સફોર્મર એ એક વિદ્યુત ઉપકરણ છે જે વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણ દ્વારા બે કે તેથી વધુ સર્કિટ વચ્ચે વિદ્યુત ઊર્જાનું સ્થાનાંતર કરે છે.
તેમાં બે ગૂંચળાં હોય છે,પ્રાથમિક ગૂંચળું અને ગૌણ ગૂંચળું,જે ચુંબકીય રીતે જોડાયેલા હોય છે.
જ્યારે પ્રાથમિક ગૂંચળામાંથી એસી $(AC)$ પ્રવાહ વહે છે,ત્યારે તે બદલાતું ચુંબકીય ફ્લક્સ ઉત્પન્ન કરે છે.
આ બદલાતું ચુંબકીય ફ્લક્સ ગૌણ ગૂંચળા સાથે જોડાયેલું હોય છે,જે તેમાં વિદ્યુતચાલક બળ $(EMF)$ પ્રેરિત કરે છે.
આ ઘટના,જેમાં એક ગૂંચળામાં પ્રવાહના ફેરફારને કારણે નજીકના ગૂંચળામાં $EMF$ પ્રેરિત થાય છે,તેને અન્યોન્ય પ્રેરણ (mutual induction) કહેવામાં આવે છે.
તેથી,ટ્રાન્સફોર્મર અન્યોન્ય પ્રેરણના સિદ્ધાંત પર કાર્ય કરે છે.

(A) આપેલ સમીકરણો $V = V_0 \sin(\omega t)$ અને $I = I_0 \sin(\omega t + \phi)$ છે.
આપેલ કિંમતો સાથે સરખાવતા,$V_0 = 150 \text{ V}$,$I_0 = 150 \text{ A}$,અને ફેઝ તફાવત $\phi = \pi/3 = 60^\circ$ છે.
$AC$ સર્કિટમાં વ્યય થતો સરેરાશ પાવર $P = V_{rms} I_{rms} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$V_{rms} = V_0 / \sqrt{2}$ અને $I_{rms} = I_0 / \sqrt{2}$ હોવાથી,સૂત્ર $P = \frac{1}{2} V_0 I_0 \cos \phi$ બને છે.
કિંમતો મૂકતા: $P = \frac{1}{2} \times 150 \times 150 \times \cos(60^\circ)$.
$\cos(60^\circ) = 0.5$ હોવાથી,$P = 0.5 \times 150 \times 150 \times 0.5$.
$P = 0.25 \times 22500 = 5625 \text{ W}$.

(D) આપેલ છે: ઇન્ડક્ટન્સ $L = 1 \text{ H}$,કેપેસિટન્સ $C = 20 \mu\text{F} = 20 \times 10^{-6} \text{ F}$,અવરોધ $R = 300 \Omega$,આવૃત્તિ $f = \frac{50}{\pi} \text{ Hz}$.
સૌ પ્રથમ,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_{L}$ ની ગણતરી કરો:
$X_{L} = 2 \pi f L = 2 \pi \left(\frac{50}{\pi}\right) \times 1 = 100 \Omega$.
ત્યારબાદ,કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_{C}$ ની ગણતરી કરો:
$X_{C} = \frac{1}{2 \pi f C} = \frac{1}{2 \pi \left(\frac{50}{\pi}\right) \times 20 \times 10^{-6}} = \frac{1}{100 \times 20 \times 10^{-6}} = \frac{1}{2 \times 10^{-3}} = 500 \Omega$.
શ્રેણી $L-C-R$ સર્કિટનો ઈમ્પીડન્સ $Z$ નીચે મુજબ છે:
$Z = \sqrt{R^{2} + (X_{C} - X_{L})^{2}}$.
કિંમતો મૂકતા:
$Z = \sqrt{(300)^{2} + (500 - 100)^{2}} = \sqrt{300^{2} + 400^{2}} = \sqrt{90000 + 160000} = \sqrt{250000} = 500 \Omega$.

(A) ફ્લેશ સ્પેક્ટ્રમ એ ખગ્રાસ સૂર્યગ્રહણ દરમિયાન થોડી સેકન્ડો માટે સૂર્યના વર્ણપટમાં જોવા મળતી તેજસ્વી ઉત્સર્જન રેખાઓની શ્રેણી છે. જ્યારે ચંદ્ર સૂર્યના તેજસ્વી પ્રકાશમંડળ (photosphere) ને સંપૂર્ણપણે ઢાંકી દે છે,ત્યારે રંગમંડળ (chromosphere) નું પાતળું પડ દૃશ્યમાન થાય છે,જે આ વિશિષ્ટ ઉત્સર્જન વર્ણપટ ઉત્પન્ન કરે છે.

(A) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન કક્ષા $n_1$ થી $n_2$ માં સંક્રમણ કરે છે ત્યારે શોષાયેલા વિકિરણની તરંગલંબાઇ $\lambda$ રિડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2} \right]$
અહીં $n_1 = 2$ અને $n_2 = 4$ આપેલ છે:
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right]$
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right]$
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{4 - 1}{16} \right]$
$\frac{1}{\lambda} = \frac{3 R}{16}$
તેથી,તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{16}{3 R}$ થશે.

(C) રધરફોર્ડના આલ્ફા-કણ પ્રકીર્ણન પ્રયોગથી ન્યુક્લિયસની શોધ થઈ. તેમના પરમાણુ મોડેલે સૂચવ્યું કે પરમાણુનો સમગ્ર ધન વીજભાર અને મોટાભાગનું દળ ખૂબ જ નાના કેન્દ્રીય ભાગમાં કેન્દ્રિત હોય છે જેને ન્યુક્લિયસ કહેવામાં આવે છે. તેથી,તે પરમાણુના ધન વીજભારિત કેન્દ્રીય ભાગને સમજાવવામાં સફળ રહ્યું હતું. તે પરમાણુની સ્થિરતા અને રેખીય વર્ણપટના ઉદ્ગમને સમજાવવામાં નિષ્ફળ ગયું હતું,જે પાછળથી બોહરના મોડેલ દ્વારા સમજાવવામાં આવ્યું હતું.

(C) સૌ પ્રથમ, કેપેસિટર $C$ ની જમણી બાજુના નેટવર્કને સરળ બનાવો। $6 \mu F$ અને $12 \mu F$ ના કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે, તેથી $C_{6,12} = \frac{6 \times 12}{6 + 12} = 4 \mu F$. આ $4 \mu F$ એ $2 \mu F$ કેપેસિટર સાથે સમાંતર છે, તેથી $C_{p1} = 4 + 2 = 6 \mu F$. આ $6 \mu F$ એ $4 \mu F$ કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં છે, તેથી $C_{s1} = \frac{6 \times 4}{6 + 4} = 2.4 \mu F$.
ત્યારબાદ, $1 \mu F$ અને $2 \mu F$ ના કેપેસિટર શ્રેણીમાં છે, તેથી $C_{1,2} = \frac{1 \times 2}{1 + 2} = \frac{2}{3} \mu F$. આ $2 \mu F$ કેપેસિટર સાથે સમાંતર છે, તેથી $C_{p2} = \frac{2}{3} + 2 = \frac{8}{3} \mu F$.
આ બંને શાખાઓ સમાંતર છે, તેથી $C_{eq_rest} = 2.4 + \frac{8}{3} = \frac{12}{5} + \frac{8}{3} = \frac{36 + 40}{15} = \frac{76}{15} \mu F$.
અંતે, આ $8 \mu F$ કેપેસિટર સાથે શ્રેણીમાં છે, તેથી $C_{total_rest} = \frac{(\frac{76}{15}) \times 8}{(\frac{76}{15}) + 8} = \frac{608}{76 + 120} = \frac{608}{196} = \frac{152}{49} \mu F$.
કુલ સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $3 \mu F$ આપેલ હોવાથી, $\frac{C \times (152/49)}{C + (152/49)} = 3$. $C$ માટે ઉકેલતા $C = 48 \mu F$ મળે છે.

(B) અવરોધકો માટે કલર કોડ નીચે મુજબના ક્રમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે: લીલો,વાદળી,કથ્થઈ અને સિલ્વર.
$1$. પ્રથમ રંગ (લીલો) પ્રથમ અંક દર્શાવે છે: $5$.
$2$. બીજો રંગ (વાદળી) બીજો અંક દર્શાવે છે: $6$.
$3$. ત્રીજો રંગ (કથ્થઈ) ગુણક (multiplier) દર્શાવે છે: $10^1$.
$4$. ચોથો રંગ (સિલ્વર) ટોલરન્સ (tolerance) દર્શાવે છે: $\pm 10 \%$.
આ બધાને જોડતા,અવરોધ $R = 56 \times 10^1 \Omega \pm 10 \% = 560 \Omega \pm 10 \%$ મળે છે.

(B) સૌ પ્રથમ,$12 \Omega$ અને $4 \Omega$ ના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ શોધો:
$R_p = \frac{12 \times 4}{12 + 4} = \frac{48}{16} = 3 \Omega$
હવે,શ્રેણી અવરોધ અને આંતરિક અવરોધ સહિત પરિપથનો કુલ અવરોધ શોધો:
$R_{total} = R_p + 2 \Omega + 1 \Omega = 3 \Omega + 2 \Omega + 1 \Omega = 6 \Omega$
બેટરીમાંથી વહેતો કુલ વિદ્યુતપ્રવાહ $I$:
$I = \frac{V}{R_{total}} = \frac{12 \text{ V}}{6 \Omega} = 2 \text{ A}$
સમાંતર અવરોધો માટે કરંટ ડિવાઈડર નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$i_1 = I \times \frac{R_2}{R_1 + R_2} = 2 \times \frac{4}{12 + 4} = 2 \times \frac{4}{16} = 0.5 \text{ A}$
$i_2 = I \times \frac{R_1}{R_1 + R_2} = 2 \times \frac{12}{12 + 4} = 2 \times \frac{12}{16} = 1.5 \text{ A}$
આમ,$i_1 = 0.5 \text{ A}$ અને $i_2 = 1.5 \text{ A}$ થાય.

(B) વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ અને ડ્રિફ્ટ વેગ $v_{d}$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $I = n A e v_{d}$.
અહીં, $n = 10^{29} \,m^{-3}$ એ ઇલેક્ટ્રોન ઘનતા છે, $A = 1 \,mm^{2} = 10^{-6} \,m^{2}$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે, $e = 1.6 \times 10^{-19} \,C$ એ ઇલેક્ટ્રોનનો વિદ્યુતભાર છે, અને $I = 20 \,A$ છે।
ડ્રિફ્ટ વેગ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $v_{d} = \frac{I}{n A e}$.
કિંમતો મૂકતા: $v_{d} = \frac{20}{10^{29} \times 10^{-6} \times 1.6 \times 10^{-19}}$.
$v_{d} = \frac{20}{1.6 \times 10^{4}} = \frac{20}{16000} = 1.25 \times 10^{-3} \,ms^{-1}$.

(A) વાહક માટે,અવરોધ $R$ એ $V-I$ આલેખના ઢાળ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R = \frac{V}{I}$ છે.
આકૃતિ પરથી,$T_{1}$ ને અનુરૂપ રેખાનો ઢાળ $T_{2}$ ને અનુરૂપ રેખાના ઢાળ કરતા વધારે છે.
તેથી,$R_{1} > R_{2}$ થાય.
ધાતુના વાહક માટે,તાપમાન વધવાની સાથે અવરોધ વધે છે $(R \propto T)$.
આમ,$R_{1} > R_{2}$ હોવાથી,$T_{1} > T_{2}$ મળે છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $A$ પરનું સ્થિતિમાન $V_A$ અને બિંદુ $B$ પરનું સ્થિતિમાન $V_B$ છે. ધારો કે ઉપરના જંકશન પરનું સ્થિતિમાન $V_1$ અને નીચેના જંકશન પરનું સ્થિતિમાન $V_2$ છે.
ઉપરના જંકશન પર કિર્ચોફનો પ્રવાહનો નિયમ $(KCL)$ લાગુ પાડતા:
$\frac{V_1 - V_A}{R} + \frac{V_1 - V_B}{R} + \frac{V_1 - V_2}{G} = 0$
નીચેના જંકશન પર $KCL$ લાગુ પાડતા:
$\frac{V_2 - V_A}{2R} + \frac{V_2 - V_B}{2R} + \frac{V_2 - V_1}{G} = 0$
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા,$G$ વાળા પદો રદ થઈ જાય છે:
$\frac{V_1 - V_A}{R} + \frac{V_1 - V_B}{R} + \frac{V_2 - V_A}{2R} + \frac{V_2 - V_B}{2R} = 0$
$\frac{2(V_1 - V_A) + 2(V_1 - V_B) + (V_2 - V_A) + (V_2 - V_B)}{2R} = 0$
$4V_1 + 2V_2 = 3(V_A + V_B)$
અહીં બંને બાજુ અવરોધનો ગુણોત્તર $\frac{R}{2R} = \frac{1}{2}$ હોવાથી,બ્રિજ સંતુલિત છે. તેથી,$V_1 = V_2$,અને $G$ માંથી વહેતો પ્રવાહ શૂન્ય છે. વિધાન $(3)$ સાચું છે.
$G$ માંથી પ્રવાહ શૂન્ય હોવાથી,આપણે $G$ ને દૂર કરી શકીએ છીએ. પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓમાં વહેંચાય છે: એક $R+R = 2R$ અને બીજી $2R+2R = 4R$.
$R_{\text{eff}} = \frac{(2R)(4R)}{2R + 4R} = \frac{8R^2}{6R} = \frac{4}{3} R$. વિધાન $(2)$ સાચું છે.
બ્રિજ સંતુલિત હોવાથી સમતુલ્ય અવરોધ $G$ થી સ્વતંત્ર છે,તેથી વિધાન $(1)$ પણ સાચું છે.

(B) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે,જ્યાં $h$ પ્લાન્કનો અચળાંક છે,$m$ દળ છે અને $v$ ઝડપ છે.
ઇલેક્ટ્રોન માટે,તરંગલંબાઈ $\lambda_{e} = \frac{h}{m_{e}v}$ છે.
પ્રોટોન માટે,તરંગલંબાઈ $\lambda_{p} = \frac{h}{m_{p}v}$ છે.
બંને તરંગલંબાઈનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\lambda_{e}}{\lambda_{p}} = \frac{h / m_{e}v}{h / m_{p}v} = \frac{m_{p}}{m_{e}}$.
આપેલ છે કે પ્રોટોનનું દળ $m_{p} \approx 1.67 \times 10^{-27} \ kg$ અને ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $m_{e} \approx 9.11 \times 10^{-31} \ kg$ છે,તેથી ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_{e}}{\lambda_{p}} = \frac{1.67 \times 10^{-27}}{9.11 \times 10^{-31}} \approx 1833 \approx 1836$ (પ્રમાણિત દળ ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા).
આમ,ગુણોત્તર $\lambda_{e} / \lambda_{p} = 1836$ છે.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,આપાત ફોટોનની ઉર્જા એ વર્ક ફંક્શન $(W)$ અને ઉત્સર્જિત ઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $(KE)$ ના સરવાળા જેટલી હોય છે.
$E = W + KE$
$KE = E - W$
અહીં $E = \frac{hc}{\lambda}$ અને $W = \frac{hc}{\lambda_{0}}$ હોવાથી:
$KE = \frac{hc}{\lambda} - \frac{hc}{\lambda_{0}}$
$KE = hc \left( \frac{1}{\lambda} - \frac{1}{\lambda_{0}} \right)$
$KE = hc \left( \frac{\lambda_{0} - \lambda}{\lambda \lambda_{0}} \right)$

(B) $L$ આત્મ-પ્રેરકત્વ ધરાવતા અને $I$ પ્રવાહ વહેવડાવતા ઇન્ડક્ટરમાં સંગ્રહિત ચુંબકીય સ્થિતિ ઉર્જા $U$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$U = \frac{1}{2} L I^{2}$
આ ઉર્જા ઇન્ડક્ટરમાંથી વહેતા પ્રવાહ દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં સંગ્રહિત થાય છે.

(A) ધારો કે દરેક ગોળાનું દળ $m$ અને કદ $V$ છે. ગોળાની ઘનતા $\rho = m/V$ છે,તેથી $m = V\rho$.
હવામાં,ગોળા પર લાગતા બળો તણાવ $T$,વજન $mg$ અને સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F_e = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q^2}{r^2}$ છે.
સંતુલન માટે,$\tan(\theta/2) = \frac{F_e}{mg} = \frac{q^2}{4\pi\epsilon_0 r^2 mg}$.
$\sigma$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં,ગોળા પર ઉત્પ્લાવક બળ $F_b = V\sigma g$ લાગે છે. અસરકારક વજન $mg' = mg - V\sigma g = Vg(\rho - \sigma)$ થાય છે.
પ્રવાહીમાં સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F_e' = \frac{F_e}{K}$ થાય છે.
ખૂણો $\theta$ સમાન રહેતો હોવાથી,$\tan(\theta/2) = \frac{F_e'}{mg'} = \frac{F_e}{K Vg(\rho - \sigma)}$.
$\tan(\theta/2)$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{F_e}{V\rho g} = \frac{F_e}{K Vg(\rho - \sigma)}$.
$K$ માટે ઉકેલતા,આપણને $K = \frac{\rho}{\rho - \sigma}$ મળે છે.

(C) ધારો કે વિદ્યુત ડાયપોલ $x$-અક્ષ પર છે. $(r, \theta)$ બિંદુએ વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ ત્રિજ્યા સદિશ $\vec{r}$ સાથે $\alpha$ ખૂણો બનાવે છે,જે $\tan \alpha = \frac{1}{2} \tan \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\theta$ એ સ્થાન સદિશ ડાયપોલ અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ ડાયપોલ અક્ષ સાથે જે ખૂણો બનાવે છે તે $\phi = \theta + \alpha$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર ડાયપોલ અક્ષને લંબ હોવા માટે,ખૂણો $\phi$ એ $90^{\circ}$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$\theta + \alpha = 90^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 90^{\circ} - \theta$.
આ કિંમતને $\tan \alpha = \frac{1}{2} \tan \theta$ સંબંધમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\tan(90^{\circ} - \theta) = \frac{1}{2} \tan \theta$
$\cot \theta = \frac{1}{2} \tan \theta$
$\tan^2 \theta = 2$
$\tan \theta = \sqrt{2}$
$\theta = \tan^{-1}(\sqrt{2})$.

(C) ખગોળીય મેગ્નિટ્યુડ સ્કેલમાં,તારાઓની તેજસ્વિતાને તેમના દેખીતા મેગ્નિટ્યુડ દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે. સૌથી તેજસ્વી તારાઓનું મેગ્નિટ્યુડ મૂલ્ય ઓછું (અથવા ઋણ) હોય છે,જ્યારે આદર્શ પરિસ્થિતિઓમાં માનવ આંખ દ્વારા જોઈ શકાય તેવા સૌથી ઝાંખા તારાઓને છઠ્ઠા મેગ્નિટ્યુડના તારાઓ તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.

(B) કોઈલની ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = N I A$ છે।
આપેલ છે: $N = 10$, $I = \frac{21}{44} \,A$, $A = 1 \,mm^{2} = 10^{-6} \,m^{2}$.
$M = 10 \times \frac{21}{44} \times 10^{-6} \,A-m^{2}$.
સોલેનોઈડની અંદર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \mu_{0} n I_{s}$ છે।
આપેલ છે: $n = 10^{3} \,turns/m$, $I_{s} = 2.5 \,A$, $\mu_{0} = 4\pi \times 10^{-7} \,T-m/A$.
$B = (4 \times \frac{22}{7} \times 10^{-7}) \times 10^{3} \times 2.5 \,T$.
કોઈલની અક્ષને ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ રાખવા માટે જરૂરી ટોર્ક $\tau = M B \sin(90^{\circ}) = M B$ છે।
$\tau = (10 \times \frac{21}{44} \times 10^{-6}) \times (4 \times \frac{22}{7} \times 10^{-7} \times 10^{3} \times 2.5)$.
$\tau = (10 \times \frac{21}{44} \times 10^{-6}) \times (4 \times \frac{22}{7} \times 2.5 \times 10^{-4})$.
$\tau = (10 \times \frac{21}{44} \times 10^{-6}) \times (22 \times 10^{-4}) = 1.5 \times 10^{-8} \,N-m$.

(B) ધારો કે $G$ એ ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ છે અને $I$ એ કુલ પ્રવાહ છે.
જ્યારે ગેલ્વેનોમીટરને $S = 40 \Omega$ ના અવરોધ સાથે શંટ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ગેલ્વેનોમીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_G$ એ કરંટ ડિવાઈડરના નિયમ મુજબ નીચે મુજબ મળે છે:
$I_G = I \left( \frac{S}{G + S} \right)$
આપેલ છે કે વિચલન અડધું થઈ જાય છે,તેથી ગેલ્વેનોમીટરમાંથી વહેતો પ્રવાહ કુલ પ્રવાહના અડધા જેટલો થાય છે,એટલે કે $I_G = \frac{I}{2}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{I}{2} = I \left( \frac{40}{G + 40} \right)$
$\frac{1}{2} = \frac{40}{G + 40}$
$G + 40 = 80$
$G = 40 \Omega$
તેથી,ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ $40 \Omega$ છે.

(A) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબરૂપે ગતિ કરે છે,ત્યારે ચુંબકીય લોરેન્ટ્ઝ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$F_m = F_c$
$q v B = \frac{m v^2}{r}$
અહીં,વિદ્યુતભાર $q = e$ છે.
સમીકરણમાં $q = e$ મૂકતા:
$e v B = \frac{m v^2}{r}$
$r$ ને કર્તા બનાવતા:
$r = \frac{m v^2}{e v B}$
$r = \frac{m v}{e B}$

(D) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $r = \frac{mv}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે કણો સમાન વેગ $v$ અને સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં પ્રવેશ કરે છે,તેથી ત્રિજ્યા $r$ એ દળ અને વિદ્યુતભારના ગુણોત્તરના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $r \propto \frac{m}{q}$.
$1$. ન્યુટ્રોન તટસ્થ $(q=0)$ છે,તેથી તેના પર કોઈ ચુંબકીય બળ લાગતું નથી અને તે સીધા માર્ગે ગતિ કરે છે,જે માર્ગ $C$ છે.
$2$. ઇલેક્ટ્રોન ઋણ વિદ્યુતભારિત છે,જ્યારે પ્રોટોન અને $\alpha$-કણ ધન વિદ્યુતભારિત છે. ફ્લેમિંગના ડાબા હાથના નિયમ મુજબ,ઇલેક્ટ્રોન ધન વિદ્યુતભારિત કણોની વિરુદ્ધ દિશામાં વિચલિત થશે.
$3$. વિદ્યુતભારિત કણોમાં,ઇલેક્ટ્રોનનો દળ-વિદ્યુતભાર ગુણોત્તર $(m/q)$ સૌથી ઓછો છે. તેથી,તેની વક્રતા ત્રિજ્યા સૌથી ઓછી હશે.
$4$. ઇલેક્ટ્રોન ઋણ વિદ્યુતભારિત હોવાથી અને તેની ત્રિજ્યા સૌથી ઓછી હોવાથી,તે માર્ગ $D$ ને અનુસરે છે.

(B) ટેન્જન્ટ ગેલ્વેનોમીટરનો સિદ્ધાંત $I = K \tan \theta$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પ્રવાહ છે,$K$ એ રિડક્શન ફેક્ટર છે અને $\theta$ એ કોણાવર્તન છે.
આપેલ પ્રવાહ $I = \frac{2}{\sqrt{3}} \text{ A}$ અને કોણાવર્તન $\theta = 60^{\circ}$ છે.
રિડક્શન ફેક્ટર $K$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$K = \frac{I}{\tan \theta}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$K = \frac{2 / \sqrt{3}}{\tan 60^{\circ}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,તેથી:
$K = \frac{2 / \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{2}{3} \text{ A}$.
આમ,રિડક્શન ફેક્ટર $\frac{2}{3} \text{ A}$ છે.

(D) $CNO$ ચક્ર (કાર્બન-નાઇટ્રોજન-ઓક્સિજન ચક્ર) માં,તારાઓની અંદર હાઇડ્રોજન ન્યુક્લિયસ જોડાઈને હિલિયમ ન્યુક્લિયસ બનાવે છે.
આ પ્રક્રિયામાં કાર્બન ઉદ્દીપક તરીકે કાર્ય કરે છે.
તે શરૂઆતના તબક્કામાં નાઇટ્રોજન અને ઓક્સિજનના આઇસોટોપ્સ બનાવવા માટે વપરાય છે,પરંતુ ચક્રના અંતે તે ફરીથી ઉત્પન્ન થાય છે.
તેથી,ચોખ્ખી પ્રતિક્રિયા એ ચાર હાઇડ્રોજન ન્યુક્લિયસનું એક હિલિયમ ન્યુક્લિયસમાં સંલયન છે,જેમાં કાર્બનનો કુલ જથ્થો બદલાતો નથી.

(D) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયનો નિયમ $N(t) = N_{0} e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે અર્ધ-આયુષ્ય $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$.
આપેલ સમય $t = \frac{1}{2} T_{1/2}$ છે.
આ કિંમતોને ક્ષયના સમીકરણમાં મૂકતા:
$N(t) = N_{0} e^{-(\frac{\ln 2}{T_{1/2}}) (\frac{1}{2} T_{1/2})}$
$N(t) = N_{0} e^{-\frac{1}{2} \ln 2} = N_{0} e^{\ln(2^{-1/2})}$
$N(t) = N_{0} (2^{-1/2}) = \frac{N_{0}}{\sqrt{2}}$.
બાકી રહેતો અંશ $\frac{N(t)}{N_{0}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ છે.

(B) રેડિયોએક્ટિવિટીનો એકમ,ક્યુરી $(Ci)$,$1 \ g$ રેડિયમ-$226$ ની એક્ટિવિટી તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$1$ ક્યુરી એ $3.7 \times 10^{10}$ વિભંજન પ્રતિ સેકન્ડ બરાબર છે.
આ મૂલ્ય તેના ક્ષય નીપજો સાથે સંતુલનમાં રહેલા $1$ ગ્રામ રેડિયમ-$226$ ની એક્ટિવિટી પર આધારિત છે.

(C) માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu$ એ શૂન્યાવકાશ (અથવા હવા) માં તરંગલંબાઈ $\lambda_a$ અને માધ્યમમાં તરંગલંબાઈ $\lambda_m$ ના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\mu = \frac{\lambda_a}{\lambda_m} = \frac{6000 \ Å}{4000 \ Å} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.
ક્રાંતિકોણ $C$ અને વક્રીભવનાંક $\mu$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\sin C = \frac{1}{\mu}$.
$\mu$ ની કિંમત મૂકતા:
$\sin C = \frac{1}{3/2} = \frac{2}{3}$.
તેથી,ક્રાંતિકોણ:
$C = \sin ^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$ થાય.

(C) આપેલ છે કે,બે પાતળા લેન્સના પાવરનો સરવાળો $P_1 + P_2 = 9 \text{ D}$ છે.
જ્યારે તેમને $d = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}$ ના અંતરે રાખવામાં આવે છે,ત્યારે સમતુલ્ય પાવર $P$ નું સૂત્ર:
$P = P_1 + P_2 - d P_1 P_2$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{27}{5} = 9 - 0.2 \times P_1 P_2$
$5.4 = 9 - 0.2 \times P_1 P_2$
$0.2 \times P_1 P_2 = 9 - 5.4 = 3.6$
$P_1 P_2 = \frac{3.6}{0.2} = 18$
આપણી પાસે $P_1 + P_2 = 9$ અને $P_1 P_2 = 18$ છે. દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (P_1+P_2)x + P_1 P_2 = 0$ એ $x^2 - 9x + 18 = 0$ બને છે.
આને ઉકેલતા,$(x-3)(x-6) = 0$,તેથી $x = 3$ અથવા $x = 6$.
આમ,વ્યક્તિગત પાવર $3 \text{ D}$ અને $6 \text{ D}$ છે.

(D) જ્યારે પ્રકાશનું કિરણ ચાંદીની સપાટી પરથી પરાવર્તન પામીને પોતાનો માર્ગ પુનઃપ્રાપ્ત કરે,ત્યારે તે સપાટીને લંબરૂપે આપાત થવું જોઈએ.
આથી,બીજી સપાટી પર વક્રીભવનકોણ $r_{2} = 0^{\circ}$ થશે.
પ્રિઝમ માટે,$r_{1} + r_{2} = A$ થાય.
અહીં $A = 30^{\circ}$ અને $r_{2} = 0^{\circ}$ હોવાથી,$r_{1} = 30^{\circ}$ મળે.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલના નિયમ મુજબ: $n = \frac{\sin i}{\sin r_{1}}$.
અહીં $n = 1.414 = \sqrt{2}$ આપેલ છે,તેથી $\sqrt{2} = \frac{\sin i}{\sin 30^{\circ}}$.
$\sin i = \sqrt{2} \times \sin 30^{\circ} = \sqrt{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,$i = 45^{\circ}$ મળે.

(B) માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $n$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $(c)$ અને માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $(v)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $n = c/v$.
આપેલ છે, $n = 1.5$ અને $c = 3 \times 10^{8} \,m/s$.
તેથી, કાચના સ્લેબમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = c/n = (3 \times 10^{8}) / 1.5 = 2 \times 10^{8} \,m/s$ થશે.
કાચના સ્લેબની જાડાઈ $d = 4 \,mm = 4 \times 10^{-3} \,m$ છે.
સ્લેબમાંથી પસાર થવા માટે લાગતો સમય $t = d/v$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $t = (4 \times 10^{-3} \,m) / (2 \times 10^{8} \,m/s) = 2 \times 10^{-11} \,s$.

(D) કિસ્સો $1$: વક્ર સપાટી ટેબલના સંપર્કમાં છે.
લેન્સની વાસ્તવિક ઊંડાઈ $t = 6 \,cm$ છે. આભાસી ઊંડાઈ $d' = 4 \,cm$ છે.
વક્રીભવનાંક $n = \frac{\text{વાસ્તવિક ઊંડાઈ}}{\text{આભાસી ઊંડાઈ}} = \frac{6}{4} = 1.5$.
કિસ્સો $2$: સમતલ સપાટી ટેબલના સંપર્કમાં છે.
ગોળીય સપાટી પર વક્રીભવનનું સૂત્ર વાપરતા: $\frac{n_2}{v} - \frac{n_1}{u} = \frac{n_2 - n_1}{R}$.
અહીં, પ્રકાશ લેન્સ $(n = 1.5)$ માંથી હવા $(n = 1)$ માં જાય છે.
વાસ્તવિક ઊંડાઈ $u = 6 \,cm$, આભાસી ઊંડાઈ $v = -\frac{17}{4} \,cm$ (આભાસી પ્રતિબિંબ).
સૂત્ર $\frac{1}{v} - \frac{1.5}{u} = \frac{1 - 1.5}{R}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{-17/4} - \frac{1.5}{6} = \frac{-0.5}{R}$
$-\frac{4}{17} - 0.25 = -\frac{0.5}{R}$
$-\frac{4}{17} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{2R}$
$-\frac{16 + 17}{68} = -\frac{1}{2R}$
$\frac{33}{68} = \frac{1}{2R} \implies R = 34 \,cm$.

(D) ફોરવર્ડ બાયસિંગમાં,બેટરીનો ધન ટર્મિનલ $p$-વિસ્તાર સાથે અને ઋણ ટર્મિનલ $n$-વિસ્તાર સાથે જોડાયેલ હોય છે.
પરંપરાગત પ્રવાહ ડાયોડ દ્વારા બેટરીના ધન ટર્મિનલથી ઋણ ટર્મિનલ તરફ વહે છે.
$p$-વિસ્તારની અંદર,મુખ્ય ચાર્જ કેરિયર્સ હોલ્સ છે,અને પરંપરાગત પ્રવાહ હોલ્સના પ્રવાહની દિશામાં (જંકશન તરફ) વહે છે.
$n$-વિસ્તારની અંદર,મુખ્ય ચાર્જ કેરિયર્સ ઇલેક્ટ્રોન છે,અને પરંપરાગત પ્રવાહ ઇલેક્ટ્રોનના પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં (જંકશન તરફ) વહે છે.
તેથી,બંને વિસ્તારોમાં,પરંપરાગત પ્રવાહ ડિપ્લેશન લેયર તરફ નિર્દેશિત થાય છે.
આ $p$ અને $n$ બંને વિસ્તારોમાં જંકશન તરફ નિર્દેશ કરતા તીરને અનુરૂપ છે,જે આકૃતિ $D$ માં દર્શાવેલ છે.

(B) $n-p-n$ ટ્રાન્ઝિસ્ટર બે $p-n$ જંકશનનું બનેલું હોય છે.
$n-p-n$ ટ્રાન્ઝિસ્ટરમાં,એમિટર-બેઝ જંકશન એ $p-n$ જંકશન છે અને કલેક્ટર-બેઝ જંકશન પણ $p-n$ જંકશન છે.
બેઝ એ સામાન્ય $p$-પ્રકારનો વિસ્તાર છે.
$n-p-n$ ટ્રાન્ઝિસ્ટર માટે,એમિટર $n$-પ્રકારનું,બેઝ $p$-પ્રકારનું અને કલેક્ટર $n$-પ્રકારનું હોય છે.
આનો અર્થ એ છે કે એમિટર-બેઝ ડાયોડની $n$-બાજુ એમિટર પર અને $p$-બાજુ બેઝ પર હોય છે.
કલેક્ટર-બેઝ ડાયોડની $n$-બાજુ કલેક્ટર પર અને $p$-બાજુ બેઝ પર હોય છે.
તેથી,બે ડાયોડ તેમના કેથોડ ($n$-બાજુઓ) બહારની તરફ રહે તે રીતે જોડાયેલા હોય છે અને તેમના એનોડ ($p$-બાજુઓ) બેઝ પર એકસાથે જોડાયેલા હોય છે.
આપેલ આકૃતિઓ જોતા,વિકલ્પ $B$ સાચી રીતે બે ડાયોડ દર્શાવે છે જેના એનોડ બેઝ $B$ પર જોડાયેલા છે અને કેથોડ અનુક્રમે એમિટર $E$ અને કલેક્ટર $C$ તરફ નિર્દેશ કરે છે.

(C) આપેલ સર્કિટમાં બે $OR$ ગેટ અને ત્યારબાદ એક $AND$ ગેટનો સમાવેશ થાય છે.
$1$. પ્રથમ $OR$ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે. તેથી,તેનું આઉટપુટ $(A+B)$ છે.
$2$. બીજા $OR$ ગેટના ઇનપુટ $A$ અને $C$ છે. તેથી,તેનું આઉટપુટ $(A+C)$ છે.
$3$. આ બંને આઉટપુટ $(A+B)$ અને $(A+C)$ ને અંતિમ $AND$ ગેટના ઇનપુટ તરીકે આપવામાં આવે છે.
$4$. $AND$ ગેટનું આઉટપુટ $Y$ એ તેના ઇનપુટનો ગુણાકાર છે: $Y = (A+B) \cdot (A+C)$.

(A) કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જાનું સૂત્ર $U = \frac{1}{2} C V^{2}$ છે.
અહીં $\frac{1}{2}$ એ પરિમાણરહિત અચળાંક હોવાથી,$C V^{2}$ નું પારિમાણિક સૂત્ર એ ઉર્જા $(U)$ ના પારિમાણિક સૂત્રને સમાન થાય.
ઉર્જાનું પારિમાણિક સૂત્ર $[Work] = [Force \times Displacement] = [MLT^{-2} \times L] = [ML^{2} T^{-2}]$ છે.
તેથી,$C V^{2}$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^{2} T^{-2} A^{0}]$ થાય.

(A) એક સ્લિટના વિવર્તન માટે, $n$-માં ન્યૂનતમ માટેની શરત $a \sin \theta = n \lambda$ છે, જ્યાં $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે, $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે અને $\theta$ એ કોણીય સ્થાન છે।
આપેલ છે: $\lambda = 6000 \text{ Å} = 6000 \times 10^{-10} \text{ m} = 6 \times 10^{-7} \text{ m}$ અને $a = 0.3 \text{ mm} = 0.3 \times 10^{-3} \text{ m} = 3 \times 10^{-4} \text{ m}$.
પ્રથમ ન્યૂનતમ માટે, $n = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $3 \times 10^{-4} \sin \theta = 1 \times 6 \times 10^{-7}$.
$\sin \theta = \frac{6 \times 10^{-7}}{3 \times 10^{-4}} = 2 \times 10^{-3}$.
કારણ કે $\theta$ ખૂબ નાનું છે, $\sin \theta \approx \theta$.
તેથી, $\theta = 2 \times 10^{-3} \text{ rad}$.

(D) $A_1$ અને $A_2$ કંપવિસ્તાર અને $\phi$ કળા તફાવત ધરાવતા બે વ્યતિકરણ પામતા તરંગોનો પરિણામી કંપવિસ્તાર $R = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2 A_1 A_2 \cos \phi}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $A_1 = 3 A$,$A_2 = 2 A$ અને $\phi = 60^{\circ}$ આપેલ છે.
તીવ્રતા $I$ એ પરિણામી કંપવિસ્તારના વર્ગના પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $I \propto R^2$.
$R^2 = (3 A)^2 + (2 A)^2 + 2(3 A)(2 A) \cos(60^{\circ})$.
$R^2 = 9 A^2 + 4 A^2 + 12 A^2 \times (0.5)$.
$R^2 = 13 A^2 + 6 A^2 = 19 A^2$.
તેથી,તીવ્રતા $19 A^2$ ના પ્રમાણમાં હશે.

(B) ક્રાંતિકોણ $C$ માટે $\sin C = \frac{3}{5}$ આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે માધ્યમનો વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{1}{\sin C} = \frac{1}{3/5} = \frac{5}{3}$ થાય.
બ્રુસ્ટરના નિયમ મુજબ,પોલરાઇઝિંગ કોણ $i_p$ અને વક્રીભવનાંક $\mu$ વચ્ચેનો સંબંધ $\tan i_p = \mu$ છે.
$\mu$ ની કિંમત મૂકતા,$\tan i_p = \frac{5}{3}$ મળે.
તેથી,પોલરાઇઝિંગ કોણ $i_p = \tan^{-1}\left(\frac{5}{3}\right)$ થશે.

(A) વ્યાખ્યા મુજબ,તરંગાગ્ર એ માધ્યમના એવા તમામ બિંદુઓનો બિંદુપથ છે જે દોલનની સમાન સ્થિતિમાં હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ સમાન કળા (phase) ધરાવે છે.
જેમ જેમ તરંગ આગળ વધે છે,તરંગાગ્ર પરના તમામ બિંદુઓ એક જ સમયે તેમના મહત્તમ સ્થાનાંતર સુધી પહોંચે છે,જે તેમની વચ્ચે શૂન્યનો અચળ કળા તફાવત જાળવી રાખે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં,વ્યતિકરણ માટેની પ્રાથમિક જરૂરિયાત સુસંગત સ્ત્રોતોની હાજરી છે.
વિધાન $(1)$ સાચું છે: પ્રકાશનો સામાન્ય વિસ્તૃત સ્ત્રોત અસંગત હોય છે,તેથી અવકાશી સુસંગતતા સુનિશ્ચિત કરવા માટે બિંદુ સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરવા માટે એક સ્લિટ $S$ જરૂરી છે.
વિધાન $(2)$ ખોટું છે: ભલે બીમ સારી રીતે કોલિમેટેડ હોય,તે બે સ્લિટો માટે ગૌણ સુસંગત સ્ત્રોતો તરીકે કાર્ય કરવા માટે જરૂરી અવકાશી સુસંગતતાની ખાતરી આપતું નથી.
વિધાન $(3)$ સાચું છે: જો સ્ત્રોત પહેલેથી જ અવકાશી રીતે સુસંગત હોય,તો બે સ્લિટો પર પહોંચતા પ્રકાશના તરંગો અચળ કળા તફાવત જાળવી રાખે છે,જેનાથી પ્રારંભિક સ્લિટ $S$ ની જરૂર રહેતી નથી.
તેથી,વિધાનો $(1)$ અને $(3)$ સાચા છે.

(C) રેલેના સ્કેટરિંગના નિયમ મુજબ, સ્કેટરિંગ તીવ્રતા $I$ એ તરંગલંબાઈ $\lambda$ ની ચતુર્થ ઘાતના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે:
$I \propto \frac{1}{\lambda^{4}}$
અહીં $\lambda_{1} = 500 \text{ nm}$ પર $I_{1} = 8 \text{ units}$ આપેલ છે અને આપણે $\lambda_{2} = 400 \text{ nm}$ પર $I_{2}$ શોધવાનું છે.
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{I_{2}}{I_{1}} = \left(\frac{\lambda_{1}}{\lambda_{2}}\right)^{4}$
$\frac{I_{2}}{8} = \left(\frac{500}{400}\right)^{4} = (1.25)^{4}$
$(1.25)^{4} = 2.4414 \approx 2.5$
$I_{2} = 8 \times 2.4414 \approx 19.53 \text{ units}$
આપેલા વિકલ્પો મુજબ, $I_{2} \approx 20 \text{ units}$ થાય.